正弦定理、解三角形
解三角形知识点
《必修五》解三角形知识点归纳一、正弦定理 正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 符号语言：2sin sin sin a b cR A B C=== 特点：对称美、和谐美 （一）理解定理1、正弦定理：在△ABC 中，2sin sin sin sin sin sin a b c a b cR A B C A B C++====++【在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角，从而知正弦定理的基本作用是进行三角形中的边角互化】2、正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如角化边sin sin b Aa B=②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a BA b= 3、常用公式及其结论⑴正弦定理包含三个等式sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a c A C=每一个等式中都包含四个量，可以“知三求一” (2)三内角和为180︒即180A B C ︒++=，222A B C π+=- (3)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,,;,,.a b c a c b b c a a b c b c a a c b +>+>+>-<-<-< (4)面积公式：2111sin sin sin 2sin sin sin 2224abcS ab C bc A ac B R A B C R===== ⑸三角函数的恒等变形：sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=- ，()tan tan A B C +=-，sincos 22A B C +=，cos sin 22A B C+=，tan tan 22A B C +=，tan tan +tan tan tan tan A B C A B C +=⋅⋅ ⑹C B A c b a sin :sin :sin ::= ⑺角化边: C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===⑻边化角:RcC Rb B Ra A 2sin 2sin 2sin ===⑼在△ABC 中，①若B b A a cos cos =，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形; ②若B a A b cos cos =，则△ABC 是等腰三角形;③若222cos cos +cos 1A B C +=或cos cos cos a A b B c C +=，则△ABC 是直角三角形.⑽在△ABC 中，sin sin sin A B C a b c A B C >>⇔>>⇔>>（二）题型：使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1： 利用正弦定理公式原型解三角形题型2： 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化.例如：222222sin 3sin 2sin 32A B C a b c +=⇒+=题型3： 三角形解的个数的讨论 方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数.（三）三角形内角平分线定理：△ABC 中，AD 是A ∠的角平分线，则DCBDAC AB = 我们知道，当一个三角形已知任意两角和一边时，根据全等三角形的判定定理可以得知这个三角形就是唯一确定的,也就是可解的.先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理计算另两边.另外，一个三角形的三边之间必须满足：任意两边之和大于第三步且任意两边之差小于第三边.当已知一个三角形的三边时，已知的三条边必须满足上面的条件才能够作出三角形.否则作不出三角形，当然也无法解三角形.从上面的探讨可以得知，已知三角形的三边要解三角形时，必须满足三边关系，解三角形才有意义.当已知三边时，连续利用余弦定理的推论求出较小边的对角，再用三角形内角和求出第三个角. 如果已知三角形的两边及其夹角，那么根据三角形的判定定理我们知道这个三角形是唯一确定的，也就是可解的.我们可以利用余弦定理计算第三边，用余弦定理的推论或正弦定理计算其余两个角. 如果已知任意两边及其中一边的对角如何来解三角形呢？我们先看下面的例题： 例题：已知：在△ABC 中，22,25,133,a cm b cm A ︒===解三角形. 解：22,25,133a cm b cm A ︒===∴根据正弦定理，得sin 25sin133sin 0.831122b A B a ︒==≈ 0180B ︒︒<< ∴56.21B ︒≈，或123.79B ︒≈ 180A B C ︒++= ∴9.21C ︒=-或76.79C ︒=-【师】：问题出在哪里呢？【生】：分析已知条件，我们注意到,133a b A ︒<=，是一个钝角，根据三角形的性质应该有A B <,因而B 也是一个钝角.而在一个三角形中是不可能存在两个钝角的.【师】：从上面的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形.如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解);②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)二、余弦定理（一）知识与工具：余弦定理：222222222222222222cos 22cos 2cos cos 22cos cos 2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩（二）题型:使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1:利用余弦定理公式的原型解三角形题型2:利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。
正弦定理、余弦定理和解斜三角形
正弦定理、余弦定理和解直角三角形一、基础知识熟练记忆1、 正弦定理推导在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1.1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==,A则sin sin sin abccABC=== b c从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcA B C ==C a B 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1.1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB =， C同理可得sin sin cbCB =， b a 从而sin sin ab A B=sin cC =A D B(图1.1-3) 证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =Abc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==两边同除以abc21即得：A a sin =B b sin =C c sin 证明三：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴RCD D aA a 2sin sin === (R 为外接圆的半径)同理 B b sin =2R ，C csin ＝2R由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
从上面的研究过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC =a bcOB C AD(1) 理解定理(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；(2）sin sin abA B =sin c C =等价于sin sin ab A B =，sin sin cb CB =，sin aA=sin cC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A Bb=。
正弦定理解三角形
利用正弦定理解三角形利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：1、已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角。
2、已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角。
例题设计一：已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）。
（1）∠A＝60°∠B=45° a＝10（2）∠A＝45°∠B＝105° c＝10（1）属于已知三角形的两角和其中一角的对边，先由三角形内角和定理知∠C＝180°-∠A-∠B＝75°，然后由正弦定理直接得：b＝＝＝≈8.2，c==≈11.2（2）为已知两角和另一角的对边，这时先利用∠A+∠B+∠C＝π，求出另一角∠C＝30°，然后由正弦定理得：a===b===这两道例题均选自教材，使学生明确在三角形中已知两角和任意一边时，这样的三角形是唯一确定的。
学会用方程思想分析正弦定理解决问题。
习题设计一：设计意图：巩固当堂内容已知在△ABC中,c=10, ∠A=45°,∠C=30°,求a、b和∠B.解：∵，∴a＝，∠B＝180°-（∠A+∠C）＝180°-（45°+30°）＝105°，∵，∴ b＝＝20sin75°=20×=5+5.例题设计二：已知△ABC中，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）（1） a=3 b=4 ∠A＝30°（2） a=b＝6 ∠A＝120°（3） a=2 b=3 ∠A＝45°（1）由正弦定理得sinB＝＝＝，再由三角形内角和定理知∠B的范围为：0°＜B＜150°，∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°，再根据“三角形中大边对大角”知 b=4＞a＝3，∴∠B＞∠A，∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°；当∠B≈41.8°时，∠C≈180°-30°-41.8°＝108.2°，c＝＝≈5.7；当∠B≈138.2°时，∠C≈180°-30°-138.2°≈11.8°，c＝＝≈1.2。
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式三角形是平面几何中的一个基本图形，研究三角形的性质与定理在数学中具有重要地位。
本文将介绍三角形中的三个重要定理，正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式。
一、正弦定理：正弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，正弦定理可以表述为：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中，sin(A)表示A角的正弦值，a表示边a的长度。
正弦定理可以从三角形的面积公式推导得出。
二、余弦定理：余弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的另一个重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，余弦定理可以表述为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，cos(C)表示C角的余弦值，c表示边c的长度。
余弦定理可以用来求解三角形的边长或角度，进而计算三角形的面积。
三、三角形的面积公式：给定一个三角形，设其底边长度为b，对应的高为h。
那么，三角形的面积可以通过以下公式来计算：S=1/2*b*h其中，S表示三角形的面积。
在计算三角形的面积时，还可以使用海伦公式。
海伦公式可以通过三角形的三边长来计算三角形的面积，其公式如下：S=√(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))其中，p表示三角形的半周长，计算公式为：p=(a+b+c)/2在使用海伦公式计算三角形面积时，需确保三条边长满足三角不等式，即任意两边之和大于第三边的长度。
总结：通过正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，可以解决三角形相关的问题。
正弦定理和余弦定理给出了通过角度和边长计算三角形的方法，而三角形的面积公式提供了计算三角形面积的途径。
这些定理在三角形等应用中具有重要的价值，对于解题和扩展应用都非常有帮助。
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。
如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解 ）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解 ） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
解三角形
C .10( 6 2 ) D.10( 6 2 )
典例:
例1：在△ABC中，∠B=450，AC= cosC= 2 5
5
（1）求BC边的长
10 ，
（2）记AB的中点为D，求中线CD的长度
例2：
在ABC中，m
(cos
C
,
sin
C
),n
(cos
（4）余弦定理的变式：cos C a2 b2 c2 2ab
（5）三角形面积公式：SΔ
1 ah
2
,
SΔ
1 ab sinC
2
（6）在△ABC中，易推出： ① sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C),
tanA=-tan(B+C)
② sin A cos B C , cos A sin B C ,
解斜三角形
知识要点归纳
（1）正弦定理：
a b c 2R sinA sinB sinC
（2）余弦定理： c2=a2+b2-2abcosC
（3）正弦定理的变式：
a=2RsinA b=2RsinB
sin A a sinB b
2R
2R
c=2RsinC.
sinC c 2R
a : b : c sin A: sinB : sinC
基础训练: 1、在△ABC中, 若A 600，a 4 3,b 4 2
则B=
。
2、在△ABC中, a=6,b= 6 3 ,A=300
则边c=
。
3、在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2:3:4, 则CosB=_________
解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12同角的三角函数之间的关系（１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１ （２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１ （３）商的关系：ααααααsin cos cot ,cos sin tan ==特殊角的三角函数值三角函数值0 11１不存在三角函数诱导公式：“ （2k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”，是指（2kπα+），k ∈Z 的三角函数值，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦（正切，余切;正割、余割也同样）;当k 为偶数时，函数名不变。
三角形的角度求解
三角形的角度求解三角形是几何学中的基本形状之一，由三条边和三个角组成。
在解决三角形相关问题时，经常需要求解三角形的角度。
本文将介绍三种常见的方法来求解三角形的角度：正弦定理、余弦定理和正切定理。
1. 正弦定理（Sine Rule）正弦定理是一种常用的三角形角度求解方法，适用于任意三角形，其表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c 分别为三角形的边长，A、B、C 分别为与相应边相对的角度。
2. 余弦定理（Cosine Rule）余弦定理也是常见的三角形角度求解方法，可以用于不等边三角形，其表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，c 为三角形的斜边，a、b 为与此斜边相关的两条边，C 为斜边相对的角度。
3. 正切定理（Tangent Rule）正切定理适用于直角三角形，其表达式为：tanA = a/b, tanB = b/a其中，a、b 分别为直角三角形的两条边，A、B 分别为与相应边相对的角度。
这些定理可以帮助我们在已知三角形边长或角度时求解未知角度。
下面通过具体例子演示这些定理的使用方法。
例1：已知三角形的两条边长 a = 5cm，b = 7cm，以及它们夹角的正弦值 sinC = 0.8，求解三角形的角度。
解：根据正弦定理，我们可以得到：a/sinA = b/sinB = c/sinC5/sinA = 7/sinB = c/0.8根据已知信息可得：sinA = 5/7sinB，c = 0.8c由此可得：sinA = 5/7(0.8)通过反正弦函数，我们可以求得角度 A 的值。
例2：已知三角形的两条边长 a = 3cm，b = 4cm，以及夹角 C = 60°，求解第三边 c 和角度 A、B。
解：根据余弦定理，我们可以得到：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosCc^2 = 3^2 + 4^2 - 2(3)(4)cos60°根据已知信息可得：c^2 = 9 + 16 - 24cos60°通过开方运算，我们可以求得第三边 c 的长度。
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解三角形[前言]1.三角形的构成要素是三条边与三个角，所谓的解 ②该性质对所有三角形均适用，却只关注边且为不 三角形，即根据已知条件求边的长短与角的大小； 等关系，没有体现角；多数情况中，该性质作为判 求解的方法，不再是传统意义上的尺规测量，而是 段三角形构成的条件；借助三角形本身所固有的性质来求角的大小、边的 ③该性质对所有的三角形均适用，尽管同时涉及角 长度，正是“解铃还须系铃人”； 与边，但体现的是不等关系；④⑤⑥这几条性质不能推广，针对某一类具体的三 2.对于三角形的性质，常见的可概括为以下几条： 角形适用；①内角和定理：三个内角相加之和为180°； ⑦⑧这些性质反映了三角形的外延问题，往往不在 ②两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 解三角形的范畴③大角对大边，小边对小角； 综括上述性质的特征：④勾股定理：a 2+b 2=c 2； 解三角形所采用的性质必须满足四点要求：(1)对 ⑤在直角三角形中，30°所对的直角边为斜边的一半 所有的三角形均适用；(2)必须为等式；(3)必须有 ⑥等腰三角形两腰相等，两底角相等；等边三角形 角的参与；(4)必须有边的参与.满足四点要求的性 三条边相等，三个角相等； 质有正弦定理与余弦定理，即解三角形的主要方法. ⑦直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点，斜边长为外接圆的直径； 3.所谓角已知，不见得已知角的度数，凡是角的正 ⑧三角形的外角等于与它不相邻的两个内角相加之 弦值、余弦值、正切值已知，即为角已知；在解三 和等等； 角形中，求角的大小，也不见的求角的度数，可以 比较上述性质： 是角的某一个三角函数值，原因在于角已为任意角 ①内角和定理对所有三角形均适用，但只体现了角 不囿于锐角或者特殊角. 的关系，不能解决有关边的问题；[正弦定理]1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等，即a sinA =b sinB =c sinC 其中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边. 对于直角三角形、钝角三角形，同理可证. 2.几何意义：对任意一个∆ABC 中，均有：对于任意一个三角形，对边与对角正弦的比值是 三角形外接圆的直径，借助于正弦定理可求三角 形外接圆的半径. 3.正弦定理的变形：正弦定理建立了对角与对边 间的关系，通过正弦定理可实现角与边的转换. 使用该变形，可将边转化为角，已知条件随之体 现为角与角间的关系；处理角间的关系，需要与内角和定理、两角和差公式、二倍角公式等配套 应用.使用该变形，可将角转化为边，已知条件也转化 为边与边间的关系；处理边间的关系，往往应用 余弦定理.4.一些常见的结论：①在∆ABC 中，三内角A 、B 、C 间有以下关系： sinA =sin (B +C) sinB =sin (A +C) sinC =sin (A +B)cosA =−cos (B +C) cosB =−sin (A +B) cosC =−cos (A +B)②在∆ABC 中，三个内角A 、B 、C 与对边a 、b 、c 间有以下关系：sinA:sinB:sinC =a:b:c a+b+c sinA+sinB+sinC =2R ②根据内角和定理求第三角.需分两种情况：其一 若已知角与所求角以具体的度数形式表示，则第 三角也以度数形式表示大小；其二，若已知角与所 求角至少有一个以三角函数值的形式表示，则第三 角也将以三角函数值的形式表示，优先选择求第三 角的正弦值，同时需要借助两角和差公式； ③再结合正弦定理求出第三边的长度.【例1】(2018∙南通市高三二调)在∆ABC 中，已知AB =1，AC =√2，B =45°，则BC 的长为_________. 解析：由正弦定理可得：ABsinC =ACsinB 即1sinC =√2sin45° 所以sinC =12因为C ∈(0°，180°) 所以C =30°或150°当C =150°时，B +C =195°>180°(舍去) 所以C =30° A =105° 由正弦定理得：AC sinB =BCsinA =2 所以BC =2sin105°=√6+√22【例2】∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c且A =π4，a =6，b =8，则c =( )A.4√2−2或4√2+2B.4√2−2C.4√2+2D.4 解析：由正弦定理可得：a sinA=b sinB即sinB =2√23∵ sin 2B +cos 2B =1 ∴cosB =±13当cosB =13时，∵A +B +C =π∴sinC =sin (A +B )=sin (π4+B)=4+√26由正弦定理可得：a sinA =csinC即c =6√2sinC =4√2+2 当cosB =−13时，∵A +B +C =π ∴sinC =sin (A +B )=sin (π4+B)=4−√26由正弦定理可得：a sinA =c sinC√2sinC √2题型二 两角一边解三角形 已知条件为两角一边模式，采用正弦定理解三角形； 相较与两边一角解三角形(存在对角对边关系)，难度 要低些，且只有一组解. ①利用内角和定理求出第三角.分两种情况，若已知 两角的度数，所求为第三角的度数；若已知两角的三 角函数值，所求为第三角的三角函数值，优先考虑角 的正弦值，若为余弦值或正切值，需利用同角三角函 数关系式转化为正弦值，注意，作为内角，其正弦值 一律取正； ②根据正弦定理，求出余下两边的长度. 【例3】∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA =45，cosC =513，a =1，则b =____________.解：∵ cos 2A +sin 2A =1且cosA =45∴sinA =35 或sinA =−35(舍)同理可得：sinC =1213∵A +B +C =π ∴sinB =sin (A +C)即sinB =sinAcosC +cosAsinC =6365 由正弦定理可得： asinA=bsinB 故b =2113 答案：2113题型三 角边互换思想的应用利用内角和定理及诱导公式、两角和差公式消角； 消角时尽量选择相对独立的角. 【例4】[2016∙高考全国卷乙]∆ABC 的内角A ，B ，C 的 对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC (acosB +bcosA ) =c ，求角C .解析：由正弦定理可知：a =2RsinA ，b =2RsinB c =2RsinC ∵ 2cosC (acosB +bcosA )=c ∴2cosC (sinAcosB +sinBcosA )=sinC 即2cosCsin (A +B )=sinC ∵A +B +C =π ∴sin (A +B )=sinC∴2cosCsinC =sinC ∵sinC >0(内角的正弦值为正) ∴cosC =12 故C =π3【例5】已知∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，asinA +csinC −√2asinC =bsinB ,求角 B .解析：角边互换中，若将边化为角，则次数将为 二次，正弦定理中次数为1，余弦定理中次数为二 次，选择将角化边使用余弦定理解题.由正弦定理知：sinA =a2R ，sinB =b2R ，sinC =c2R ∵asinA +csinC −√2asinC =bsinB∴ a 2+c 2−√2ac =b 2 即a 2+c 2−b 2=√2ac∴cosB =a 2+c 2−b 22ac =√2ac2ac =√22∴B =π4Cb a h aA D B一种情况是将高逆时针旋转所得∆ABC一种情况是将高顺时针旋转所得∆ADC④若角A的对边大于角A的邻边即a≥b>bsinA，只有一解，如图所示：b h aA另外一种情况如虚线表示，已将角A由内角变为外角不合题意故舍去.当角A为钝角时，若角A的对边大于邻边则有一解否则无解.【例6】不解三角形，判断下列三角形解的个数.(1)a=5，b=4，A=120°；(2)a=7，b=14，A=150°；(3)a=9，b=10，A=60°.解析：(1)∵A为钝角且a>b∴ 满足条件的三角形只有一个；(2)∵A为钝角且b>a∴根据大角对大边应有B>A一个三角形中不会有两个钝角故无解；(3)角A所对的高h=bsinA=10sin60°=5√3∵5√3<a<b ∴ 满足条件的三角形有两个.【模拟练习】1在∆ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2ccosA+a=2b，则角C=____________.2在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c;若acosB+bcosA=csinA，则∆ABC的形状为_________.3.在∆ABC中，a=3，b=2√6，B=2A，则C=____.4.已知a，b，c分别为∆ABC三个内角A，B，C的对边，且√3ac =cosA+2sinC，则角A=________.5.在∆ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，已知sinB+sinA(sinC−cosC)=0，a=2，c=√2，则∠C的值为________.6.[江苏省苏锡常镇四市2018届调研]设三角形∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3c−bb，则cosA=_________.。