解三角形(1)---正弦定理

解三角形(1)---正弦定理

【定理推导】

如图1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。思考： （1）∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？

（2）显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大，能否用一个 等式把这种关系精确地表示出来？

如图1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a 、AC=b 、AB=c ，根据锐角三角函数

中正弦函数的定义，有a

sinA c =，sin b B c =，又sin 1c C c

==,

则a b c c sinA sinB sinC ===，从而在直角三角形ABC 中，

sin sin sin a b c A B C ==。

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（分为锐角三角形和钝角三角形两种情况）

如图1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =，则：sin sin a

b

A

B

=

， 同理可得

sin sin c

b

C

B

=

，从而

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

证法二：（向量法）过点A 作j AC ⊥ ，由向量的加法可得AB AC CB =+

则

()j AB j AC CB ⋅=⋅+ ∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅

()()0

0cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C ∴sin sin =c A a C ，即

sin sin =

a c

A C

证明三：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴

2sin sin a a

CD R A D

===， 同理：sin b B =2R ，sin c

C

＝2R

同理，过点C 作⊥ j BC ，可得sin sin =b c B C ，从而a b c sinA sinB sinC

==

类推：当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。

从上面的探究过程，可得以下定理：

c b a

C

B A (图1-2)

c

b a

C

B

A (图1-3)

c b a

C

B

A j C

B

A

(图1-1)

a

b

c

O

B C

A

D

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a b c sinA sinB sinC

==

【解析定理】

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，

sin b k B =，sin c k C =；

（2）a b c sinA sinB sinC ==

等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A

a B

=

； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b

=。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

【例题分析】

【例1】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆

解：0030,45,10===C A c

∴00105)(180=+-=C A B

由C c A a sin sin = 得：21030

sin 45sin 10sin sin 0

=⨯==C A c a 由C c B b sin sin = 得：256575sin 2030

sin 105sin 10sin sin 00

+==⨯==C B c b 【例2】C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆

解：2

3

245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a A c C C c A a 0012060,1800或=∴︒<<︒C C

1360

sin 75sin 6sin sin ,75600

+=====∴C B c b B C 时，当， 1360

sin 15sin 6sin sin ,151200

-=====∴C B c b B C 时，当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b

【例3】在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆

解：∵21

3

60sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b

00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角，

∴222=+=c b a

【变式】02,135,3,ABC a A b B ∆===中，求