解三角形(正弦定理、余弦定理、三角形面积公式) PPT
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正弦定理和余弦定理课件PPT
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个 角的正弦.
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
解三角形ppt课件
解三角形中的最值问题
01
总结词
02
详细描述
03
示例
利用三角形性质和函数性 质，解决三角形中的最值 问题。
在解三角形问题中，常常 会遇到需要求最值的问题 。这类问题通常涉及到三 角形的边长、角度等性质 ，需要利用三角形的基本 性质和函数的基本性质进 行推理和求解。
在三角形ABC中，已知a 、b、c分别为角A、B、C 所对的边，且a = 2, b = 3, C = 60度。求三角形 ABC的面积的最大值。
航海定位问题
经验积累
解决航海定位问题需要丰富的经验积累，因 为在实际航行中会遇到各种复杂的情况。只 有通过不断实践和经验积累，才能熟练掌握 解三角形的方法，提高定位精度和航行安全
性。
建筑结构设计问题
结构设计基础
建筑结构设计问题是建筑学中的基础问题之一，涉及 到建筑物的稳定性和安全性。解三角形的方法可以用 来确定建筑物的结构形式和受力情况，保证建筑物的 质量和安全性。
测量距离问题
实践性强
解决测量距离问题需要很强的实践能力，需要具备一定的测 量和计算能力。同时，还需要对实际环境有足够的了解，能 够根据实际情况选择合适的解三角形方法。
航海定位问题
重要应用
航海定位问题在航海学中非常重要，因为准确的定位是保 证航行安全的前提。解三角形的方法可以用来确定船只的 位置和航向，保证航行路线的准确性。
解三角形ppt课件
contents
目录
• 引言 • 三角形的基本性质 • 解三角形的方法 • 实际应用案例 • 解三角形的进阶技巧 • 总结与展望
01
引言
三角形的定义与性质
三角形是由三条边和三个角构成的二 维图形。
三角形的边和角之间存在一定的关系 ，如两边之和大于第三边、内角和为 180度等。
解三角形(正弦定理、余弦定理、三角形面积公式)
2020年9月11日11时45分
9
考点突破 考点一 余弦定理应用——2、判断三角形的形状
【训练1】（3）在△ABC中，a : b : c 3+1: 6:2， 判断三角形的形状并求三角形的最小角.
解析 由a : b : c 3+1: 6:2知，a b c
所以∠A ∠B ∠C，即∠A为最大角，∠C为最小角
【例1】（3）已知在△ABC中，a 2，b 3，c 4， 那么这个三角形的形状是______.
解析
由题意可知：c b a，
所以∠C ∠B ∠A，即∠C为最大角，
由余弦定理得：cosC= a2 b2 c2 2ab
4 9 16 1 0
2 23
4
所以∠C为钝角，即△ABC为钝角三角形。
2020年9月11日11时45分
11
余弦定理、正弦定理和三角形面积公式
➢ 夯基释疑
概要
➢ 考点突破
➢ 课堂小结
2020年9月11日11时45分
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
考点三
例 3 训练3
12
考点突破 考点二 正弦定理的应用——求三角形的边角
【例2】（1）在△ABC中，a=2，∠A=300，∠C =450 , 则b等于_______.
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
2020年9月11日11时45分
S 1 ab sin C 2
S 1 bc sin A 2
S 1 ac sin B 2
三角函数解三角形正弦定理和余弦定理课件理新ppt
正弦定理的应用
01
正弦定理可以应用于求解三角形中的边、角、面积等问题，其中最常用的应用 是求解三角形的三边关系和三角形的面积公式。
02
在求解三角形的三边关系时，可以使用正弦定理得到两边之比的表达式，再结 合余弦定理得到第三边的表达式，从而得到三边之间的关系。
03
在求解三角形的面积公式时，可以使用正弦定理得到三角形的底和高，从而得 到三角形的面积公式。
三角函数解三角形正弦定理和余弦 定理课件理新ppt
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 正弦定理 • 余弦定理 • 案例分析 • 结论与展望 • 参考文献
01
引言
课程背景
1
三角函数是数学中的基础内容之一，具有广泛 的应用价值。
2
解三角形是三角函数应用的重要方面之一，涉 及到很多实际问题。
《三角函数解题方 法与技巧》
《高中数学竞赛教 程》
《三角函数图像与 性质》
THANKS
利用正弦定理和余弦定理解三角形
如何根据三角形的已知信息求解三边长
利用正弦定理求解三角形边长
利用余弦定理求解三角形边长
通过具体案例展示，进行计算
三角形的判定方法
如何判断一个三角形是否为直 角三角形
利用正弦定理和余弦定理进行 三角形判定
通过具体案例展示，进行计算
05
结论与展望
总结正余弦定理在解三角形中的应用
正弦定理：对于任意三角形，已知一边和它的对角 ，无法确定三角形的大小和形状，需要再知道其他
一些信息才能确定三角形的大小和形状．
余弦定理：对于任意三角形，已知三边，可确定这 个三角形的形状和大小；已知两边和其中一边的对
解三角形(正弦定理、余弦定理、三角形面积公式)
授课人：张凤喜
授课班级：13级1班 授课时间：15年12月1日
2019年7月4日9时48分
1
余弦定理、正弦定理和三角形面积公 式
夯基释疑
概要
考点突破
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
课堂小结
考点三
例 3 训练3
2019年7月4日9时48分
2
夯基释疑
熟记公式是本节的基本要求。
所以sin A=
3=
3
3
3 2 1
12
12
12
2
因为a b，所以0 ∠A 2 ，则∠A= ，
3
6
因为∠C= 2
63 6
所以S
1 ABC = 2 ab sin C
14 2
3 12 1 12 2
3
2019年7月4日9时48分
19
余弦定理、正弦定理和三角形面积公 式
夯基释疑
概要
考点突破
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
课堂小结
考点三
例 3 训练3
2019年7月4日9时48分
17
考点突破 考点三 三角形面积公式的应用
【例3】（2013年高考题）在△ABC中，a 3，b=4，c= 37， 则△ABC的面积是 _________ .
解析
a2 b2 c2 9 16 37 1
21
请完成《学海领航课堂训练》
2019年7月4日9时48分
22
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/4
5
所以cosA 1 ( 4)2 3 ,
5
授课班级：13级1班 授课时间：15年12月1日
2019年7月4日9时48分
1
余弦定理、正弦定理和三角形面积公 式
夯基释疑
概要
考点突破
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
课堂小结
考点三
例 3 训练3
2019年7月4日9时48分
2
夯基释疑
熟记公式是本节的基本要求。
所以sin A=
3=
3
3
3 2 1
12
12
12
2
因为a b，所以0 ∠A 2 ，则∠A= ，
3
6
因为∠C= 2
63 6
所以S
1 ABC = 2 ab sin C
14 2
3 12 1 12 2
3
2019年7月4日9时48分
19
余弦定理、正弦定理和三角形面积公 式
夯基释疑
概要
考点突破
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
课堂小结
考点三
例 3 训练3
2019年7月4日9时48分
17
考点突破 考点三 三角形面积公式的应用
【例3】（2013年高考题）在△ABC中，a 3，b=4，c= 37， 则△ABC的面积是 _________ .
解析
a2 b2 c2 9 16 37 1
21
请完成《学海领航课堂训练》
2019年7月4日9时48分
22
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/4
5
所以cosA 1 ( 4)2 3 ,
5
三角函数解三角形正弦定理和余弦定理课件理ppt
算法优化
针对正弦和余弦函数的计算，数学家们不断优化算法，提高计算的效率和准 确性，例如快速傅里叶变换（FFT）等算法。
正弦定理和余弦定理在物理和工程中的应用进展
量子力学
在量子力学中，正弦和余弦函数是描述波动性粒子的基本波函数的常见形式，例 如电子和光子的波函数。
信号处理
正弦和余弦函数是信号处理的基础，包括模拟信号和数字信号的处理，如振幅调 制、频率调制、数字信号处理（DSP）等。
01
航海
在航海中，三角函数被用来确定船只的位置、航向和速度等。利用三
角函数可以计算船只与目标之间的角度、距离和时间等参数，从而保
证船只的准确航行。
02
航空
在航空中，三角函数被用来确定飞机的位置、航向和速度等。利用三
角函数可以计算飞机与目标之间的角度、距离和时间等参数，从而保
证飞机的准确航行。
03
地理
工程学
02
在工程学中，三角形边角关系可以用来解决结构分析和设计问
题。
物理学
03
在物理学中，三角形边角关系可以用来解决速度、加速度和力
的问题。
05
解三角形的实际应用
在工程、建筑和物理中的应用
工程设计
在工程设计中，三角函数被广泛应用于各种设计问题，如结构支撑、悬臂和框架等。利用 三角函数可以求出所需的数据，如压力、扭矩、弯曲等。
正弦定理的变式和推论
变式
正弦定理的变式包括比例式、等角式和差角式等。这些变式都可以由正弦定理推 出。
推论
正弦定理的推论有很多，比如正弦定理的逆定理、正弦定理的推广等。这些推论 都可以帮助我们更好地应用正弦定理。
03
余弦定理
余弦定理的证明和应用
针对正弦和余弦函数的计算，数学家们不断优化算法，提高计算的效率和准 确性，例如快速傅里叶变换（FFT）等算法。
正弦定理和余弦定理在物理和工程中的应用进展
量子力学
在量子力学中，正弦和余弦函数是描述波动性粒子的基本波函数的常见形式，例 如电子和光子的波函数。
信号处理
正弦和余弦函数是信号处理的基础，包括模拟信号和数字信号的处理，如振幅调 制、频率调制、数字信号处理（DSP）等。
01
航海
在航海中，三角函数被用来确定船只的位置、航向和速度等。利用三
角函数可以计算船只与目标之间的角度、距离和时间等参数，从而保
证船只的准确航行。
02
航空
在航空中，三角函数被用来确定飞机的位置、航向和速度等。利用三
角函数可以计算飞机与目标之间的角度、距离和时间等参数，从而保
证飞机的准确航行。
03
地理
工程学
02
在工程学中，三角形边角关系可以用来解决结构分析和设计问
题。
物理学
03
在物理学中，三角形边角关系可以用来解决速度、加速度和力
的问题。
05
解三角形的实际应用
在工程、建筑和物理中的应用
工程设计
在工程设计中，三角函数被广泛应用于各种设计问题，如结构支撑、悬臂和框架等。利用 三角函数可以求出所需的数据，如压力、扭矩、弯曲等。
正弦定理的变式和推论
变式
正弦定理的变式包括比例式、等角式和差角式等。这些变式都可以由正弦定理推 出。
推论
正弦定理的推论有很多，比如正弦定理的逆定理、正弦定理的推广等。这些推论 都可以帮助我们更好地应用正弦定理。
03
余弦定理
余弦定理的证明和应用
3-6第六节 正弦定理和余弦定理(55张PPT)
备考这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用． 2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数 性质相结合.
D 读教材· 抓基础
回扣教材 扫除盲点
课 本 导 读 1．正弦定理 b c a sinB ＝ sinC ＝2R. sinA＝ 其中 2R 为△ABC 外接圆直径． 变式：a＝ 2RsinA ，b＝ 2RsinB ，c＝ 2RsinC . A：b：c＝
●两个注意点 A B C 1．应熟悉掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，2 ＋ 2 ＋ 2 ＝ π 2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数． 2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理 结合得 sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB· sinC· cosA，可以进行化简或证 明．
答案 C
4．已知△ABC 三边满足 a2＋b2＝c2－ 3ab，则此三角形的最 大内角为__________．
解析
2 2 2 a ＋ b － c 3 ∵a2＋b2－c2＝－ 3ab，∴cosC＝ 2ab ＝－ 2 ，
故 C＝150° 为三角形的最大内角．
答案 150°
π 5．在△ABC 中，若 a＝3，b＝ 3，A＝ ，则 C 的大小为 3 ________．
听 课 记 录
(1)sinA ＝ sin75° ＝ sin(30° ＋ 45° ) ＝ sin30° cos45°
2＋ 6 ＋sin45° cos30° ＝ 4 . 由 a＝c＝ 6＋ 2可知，C＝A＝75° ， 1 所以 B＝30° ，则 sinB＝2. 2＋ 6 1 a 由正弦定理得 b＝sinA· sinB＝ × ＝2. 2＋ 6 2 4
3．三角形常用面积公式 1 (1)S＝2a· ha(ha 表示 a 边上的高)． 1 1 1 abc (2)S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA＝ 4R . 1 (3)S＝2r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
解三角形PPT教学课件
数值积分法
采用数值积分方法对定积分进行近 似计算，并讨论积分误差。
04
数值稳定性和精度保持策略
避免大数相除
在计算过程中，尽量避免大数除以小数的情 况，以减少舍入误差。
选择合适的数据类型
根据计算需求选择合适的数据类型，如单精 度浮点数、双精度浮点数等。
逐步细化计算步骤
将复杂计算分解为多个简单步骤，逐步细化 以提高计算精度。
三角形重要性质
三角形的稳定性
01
三角形具有稳定性，是建筑、工程等领域常用的结构形状。
三角形的面积公式
02
包括底乘高的一半、海伦公式等多种计算方法。
三角形的中线、角平分线、高线等性质
03
中线平分对应边、角平分线平分对应角、高线垂直于对应底边
等。
相似与全等三角形
相似三角形定义及性质
对应角相等、对应边成比例的三角形 为相似三角形，具有相似比等性质。
高度测量
解三角形也可以用于测量山峰、建筑物等高度。例如，通过在山脚和山 顶各设置一个观测点，测量两个观测点之间的水平距离和仰角，再利用 三角函数公式求解高度。
角度测量
在地理学中，角度测量也是非常重要的。解三角形可以通过已知三边或 已知两边和夹角等条件，利用三角函数公式求解未知角度。
航海学：航向、航速、航程计算
注意事项
需确保两角为夹边的两角
应用场景
在三角形求解、角度计算等方面有广泛应用
已知三边求角度（SSS）
已知条件
三边a、b、c
求解方法
利用余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/2bc求解角度A，同理可求B、C
注意事项
需注意余弦定理中边长的对应关系
应用场景
在几何、测量等领域中广泛应用
采用数值积分方法对定积分进行近 似计算，并讨论积分误差。
04
数值稳定性和精度保持策略
避免大数相除
在计算过程中，尽量避免大数除以小数的情 况，以减少舍入误差。
选择合适的数据类型
根据计算需求选择合适的数据类型，如单精 度浮点数、双精度浮点数等。
逐步细化计算步骤
将复杂计算分解为多个简单步骤，逐步细化 以提高计算精度。
三角形重要性质
三角形的稳定性
01
三角形具有稳定性，是建筑、工程等领域常用的结构形状。
三角形的面积公式
02
包括底乘高的一半、海伦公式等多种计算方法。
三角形的中线、角平分线、高线等性质
03
中线平分对应边、角平分线平分对应角、高线垂直于对应底边
等。
相似与全等三角形
相似三角形定义及性质
对应角相等、对应边成比例的三角形 为相似三角形，具有相似比等性质。
高度测量
解三角形也可以用于测量山峰、建筑物等高度。例如，通过在山脚和山 顶各设置一个观测点，测量两个观测点之间的水平距离和仰角，再利用 三角函数公式求解高度。
角度测量
在地理学中，角度测量也是非常重要的。解三角形可以通过已知三边或 已知两边和夹角等条件，利用三角函数公式求解未知角度。
航海学：航向、航速、航程计算
注意事项
需确保两角为夹边的两角
应用场景
在三角形求解、角度计算等方面有广泛应用
已知三边求角度（SSS）
已知条件
三边a、b、c
求解方法
利用余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/2bc求解角度A，同理可求B、C
注意事项
需注意余弦定理中边长的对应关系
应用场景
在几何、测量等领域中广泛应用
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解三角形(正弦定理、余弦定理、三角形面 积公式)
余弦定理、正弦定理和三角形面积公式
➢ 夯基释疑
概要
➢ 考点突破
➢ 课堂小结
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
考点三
例 3 训练3
夯基释疑
熟记公式是本节的 A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
（2）根据大角的余弦值的正负判断大角是锐角还是 钝角。如果余弦值是正值，最大角为锐角，则三角形是 锐角三角形；如果余弦值是负值，最大角为钝角，则三 角形是钝角三角形；如果余弦值是0，最大角为直角， 则三角形是直角三角形。
余弦定理、正弦定理和三角形面积公式
➢ 夯基释疑
概要
➢ 考点突破
➢ 课堂小结
考点一 考点二
因 为 0 0 ∠ A 1 8 0 0 所 以 ∠ A = 3 0 0
B C 2 A B 2 A C 2 2 + （ 3 + 1 ） 2 4 2
c o sB
2 B C A B 2 2 （ 3 + 1 ） 2
因 为 0 0 ∠ A 1 8 0 0 所 以 ∠ A = 4 5 0
所 以 ∠ C = 1 8 0 0 3 0 0 4 5 0 = 1 0 5 0
解析
（ 1 ） 由 c 2 = a 2 b 2 2 a b c o s C 可 得
c 2 = 5 2 + 6 2 2 5 6 c o s 1 2 0 0 2 5 3 6 2 5 6 c o s (1 8 0 0 6 0 0 )
61256(1) 2
91
大家有疑问的，可以询问和交流
2bc 2bc 2
函数值求角的 步骤：
1、定象限 2、找锐角
因 为 0 0 ∠ A 1 8 0 0所 以 ∠ A = 1 2 0 0 3、写形式
考点突破 考点一 余弦定理应用——1、求三角形的边角
【 训 练 1 】 （ 1 ） 在 △ A B C 中 ， a = 5 ， b = 6 ， ∠ C = 1 2 0 0 ， 则 c = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（ 2） 在 △ ABC中 ， a2b2c2bc， 则 ∠ A等 于 ______.
解（ 1 ） 因 为 sinA =4， 且 A 为 钝 角 ，
5
所 以 cosA 1(4)2 3,
5
5
则BC2=AB2 AC2 2AB ACcosA
32 52 235(3) 52 5
所以BC=2 13
考点突破 考点一 余弦定理应用——1、求三角形的边角
cosC=a2b2c2 (
3+1)264
2
2ab
2( 3+1) 6 2
因 为 ∠ C是 三 角 形 的 内 角 ， 所 以 ∠ C=450
考点突破 考点一 余弦定理的应用
规律方法
1、运用余弦定理解决两边及其夹角和已知三边求三角 的题目，是春季高考重点考查的知识点，而熟记公式是 解题的关键。 2、（1）判断三角形的形状时，要依据大边对大角求出 最大角的余弦值；
由 余 弦 定 理 得 ： cosC =a2b2c2 2ab
491610 223 4
所 以 ∠ C 为 钝 角 ， 即 △ A B C 为 钝 角 三 角 形 。
考点突破 考点一 余弦定理应用——2、判断三角形的形状
【 训 练 1 】 （ 3 ） 在 △ A B C 中 ， a :b :c3 + 1 :6 : 2 ， 判 断 三 角 形 的 形 状 并 求 三 角 形 的 最 小 角 .
【 例 1】 （ 1） 在 △ ABC中 ， sinA=4， 且 A为 钝 角 ， AB=3， 5
AC=5， 则 BC等 于 _______.
（ 2） 在 △ ABC中 ， a2b2c2bc， 则 ∠ A等 于 ______.
解
知识回顾：
（ 2） 由 a2b2c2bc可 得 ， 已知三角
b2c2a2=bc 则 cosAb2c2a2bc1
考点突破 考点一 余弦定理应用——2、判断三角形的形状
【 例 1 】 （ 3 ） 已 知 在 △ A B C 中 ， a 2 ， b 3 ， c 4 ， 那 么 这 个 三 角 形 的 形 状 是 _ _ _ _ _ _ .
解析
由 题 意 可 知 ： cba ， 所 以 ∠ C ∠ B ∠ A ， 即 ∠ C 为 最 大 角 ，
可以互相讨论下，但要小声点
考点突破 考点一 余弦定理应用——1、求三角形的边角
【 训 练 1 】 （ 2 ） 在 △ A B C 中 ， A B =3 + 1 ， A C = 2 ， B C =2 ， 求 三 角 形 的 三 个 内 角 .
解析 （ 2 ） c o sA A C 2 2 A A C B 2 A B B C 2 4 2 + （ 2 （ 3 + 1 ） 3 2 + 1 ） 2 23
➢ 夯基释疑
概要
➢ 考点突破
➢ 课堂小结
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
考点三
例 3 训练3
考点突破 考点一 余弦定理应用——1、求三角形的边角
【 例 1】 （ 1） 在 △ ABC中 ， sinA=4， 且 A为 钝 角 ， AB=3， 5
AC=5， 则 BC等 于 _______.
cos A b 2 c2 a 2 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac cos C a 2 b 2 c2
2ab
S 1 a b s in C 2
S 1 b c s in A 2
S 1 a c s in B 2
a b c 2R sinA sinB sinC
余弦定理、正弦定理和三角形面积公式
例 1 训练1 例 2 训练2
考点三
例 3 训练3
考点突破 考点二 正弦定理的应用——求三角形的边角
【 例 2 】 （ 1 ） 在 △ A B C 中 ， a = 2 ， ∠ A = 3 0 0 ， ∠ C = 4 5 0 , 则 b 等 于 _ _ _ _ _ _ _ .
解析 由 a :b :c 3 + 1 : 6 : 2 知 ， a b c
所 以 ∠ A ∠ B ∠ C ， 即 ∠ A 为 最 大 角 ， ∠ C 为 最 小 角
由余弦定理得：cosA=b2 c2 a2 64( 3+1)2
2bc
2 62
3 30，所以∠A为锐角， 26
即△ABC为锐角三角形.
余弦定理、正弦定理和三角形面积公式
➢ 夯基释疑
概要
➢ 考点突破
➢ 课堂小结
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
考点三
例 3 训练3
夯基释疑
熟记公式是本节的 A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
（2）根据大角的余弦值的正负判断大角是锐角还是 钝角。如果余弦值是正值，最大角为锐角，则三角形是 锐角三角形；如果余弦值是负值，最大角为钝角，则三 角形是钝角三角形；如果余弦值是0，最大角为直角， 则三角形是直角三角形。
余弦定理、正弦定理和三角形面积公式
➢ 夯基释疑
概要
➢ 考点突破
➢ 课堂小结
考点一 考点二
因 为 0 0 ∠ A 1 8 0 0 所 以 ∠ A = 3 0 0
B C 2 A B 2 A C 2 2 + （ 3 + 1 ） 2 4 2
c o sB
2 B C A B 2 2 （ 3 + 1 ） 2
因 为 0 0 ∠ A 1 8 0 0 所 以 ∠ A = 4 5 0
所 以 ∠ C = 1 8 0 0 3 0 0 4 5 0 = 1 0 5 0
解析
（ 1 ） 由 c 2 = a 2 b 2 2 a b c o s C 可 得
c 2 = 5 2 + 6 2 2 5 6 c o s 1 2 0 0 2 5 3 6 2 5 6 c o s (1 8 0 0 6 0 0 )
61256(1) 2
91
大家有疑问的，可以询问和交流
2bc 2bc 2
函数值求角的 步骤：
1、定象限 2、找锐角
因 为 0 0 ∠ A 1 8 0 0所 以 ∠ A = 1 2 0 0 3、写形式
考点突破 考点一 余弦定理应用——1、求三角形的边角
【 训 练 1 】 （ 1 ） 在 △ A B C 中 ， a = 5 ， b = 6 ， ∠ C = 1 2 0 0 ， 则 c = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（ 2） 在 △ ABC中 ， a2b2c2bc， 则 ∠ A等 于 ______.
解（ 1 ） 因 为 sinA =4， 且 A 为 钝 角 ，
5
所 以 cosA 1(4)2 3,
5
5
则BC2=AB2 AC2 2AB ACcosA
32 52 235(3) 52 5
所以BC=2 13
考点突破 考点一 余弦定理应用——1、求三角形的边角
cosC=a2b2c2 (
3+1)264
2
2ab
2( 3+1) 6 2
因 为 ∠ C是 三 角 形 的 内 角 ， 所 以 ∠ C=450
考点突破 考点一 余弦定理的应用
规律方法
1、运用余弦定理解决两边及其夹角和已知三边求三角 的题目，是春季高考重点考查的知识点，而熟记公式是 解题的关键。 2、（1）判断三角形的形状时，要依据大边对大角求出 最大角的余弦值；
由 余 弦 定 理 得 ： cosC =a2b2c2 2ab
491610 223 4
所 以 ∠ C 为 钝 角 ， 即 △ A B C 为 钝 角 三 角 形 。
考点突破 考点一 余弦定理应用——2、判断三角形的形状
【 训 练 1 】 （ 3 ） 在 △ A B C 中 ， a :b :c3 + 1 :6 : 2 ， 判 断 三 角 形 的 形 状 并 求 三 角 形 的 最 小 角 .
【 例 1】 （ 1） 在 △ ABC中 ， sinA=4， 且 A为 钝 角 ， AB=3， 5
AC=5， 则 BC等 于 _______.
（ 2） 在 △ ABC中 ， a2b2c2bc， 则 ∠ A等 于 ______.
解
知识回顾：
（ 2） 由 a2b2c2bc可 得 ， 已知三角
b2c2a2=bc 则 cosAb2c2a2bc1
考点突破 考点一 余弦定理应用——2、判断三角形的形状
【 例 1 】 （ 3 ） 已 知 在 △ A B C 中 ， a 2 ， b 3 ， c 4 ， 那 么 这 个 三 角 形 的 形 状 是 _ _ _ _ _ _ .
解析
由 题 意 可 知 ： cba ， 所 以 ∠ C ∠ B ∠ A ， 即 ∠ C 为 最 大 角 ，
可以互相讨论下，但要小声点
考点突破 考点一 余弦定理应用——1、求三角形的边角
【 训 练 1 】 （ 2 ） 在 △ A B C 中 ， A B =3 + 1 ， A C = 2 ， B C =2 ， 求 三 角 形 的 三 个 内 角 .
解析 （ 2 ） c o sA A C 2 2 A A C B 2 A B B C 2 4 2 + （ 2 （ 3 + 1 ） 3 2 + 1 ） 2 23
➢ 夯基释疑
概要
➢ 考点突破
➢ 课堂小结
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
考点三
例 3 训练3
考点突破 考点一 余弦定理应用——1、求三角形的边角
【 例 1】 （ 1） 在 △ ABC中 ， sinA=4， 且 A为 钝 角 ， AB=3， 5
AC=5， 则 BC等 于 _______.
cos A b 2 c2 a 2 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac cos C a 2 b 2 c2
2ab
S 1 a b s in C 2
S 1 b c s in A 2
S 1 a c s in B 2
a b c 2R sinA sinB sinC
余弦定理、正弦定理和三角形面积公式
例 1 训练1 例 2 训练2
考点三
例 3 训练3
考点突破 考点二 正弦定理的应用——求三角形的边角
【 例 2 】 （ 1 ） 在 △ A B C 中 ， a = 2 ， ∠ A = 3 0 0 ， ∠ C = 4 5 0 , 则 b 等 于 _ _ _ _ _ _ _ .
解析 由 a :b :c 3 + 1 : 6 : 2 知 ， a b c
所 以 ∠ A ∠ B ∠ C ， 即 ∠ A 为 最 大 角 ， ∠ C 为 最 小 角
由余弦定理得：cosA=b2 c2 a2 64( 3+1)2
2bc
2 62
3 30，所以∠A为锐角， 26
即△ABC为锐角三角形.