高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教案 新人教A版选修2-1
高中数学 第三章 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案 新人教A版选修2-1
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标：1.了解空间向量基本定理及其意义． 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(难点) 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量． 思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组{x ，y ，z }是否唯一？[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． (2)唯一确定．2．空间向量的正交分解及其坐标表示[基础自测]1．思考辨析(1)若{a ，b ，c }为空间一个基底，且p ＝x a ＋y b ＋z c ．若p ＝0，则x ＝y ＝z ＝0.( ) (2)若三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面．( ) (3)以原点O 为起点的向量OP →的坐标和点P 的坐标相同．( ) (4)若OP →＝(2,3,0)，则点P 在平面xOy 内．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，可以作为空间向量一个基底的是( )A ．AB →，AC →，AD →B ．AB →，AA 1→，AB 1→C ．D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →D ．AC 1→，A 1C →，CC 1→C [由题意知，D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →不共面，可以作为空间向量的一个基底．]3．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________.【导学号：46342147】a ＝(4，－8,3)b ＝(－2，－3,7) [由题意知a ＝(4，－8，3)，b ＝(－2，－3,7)．][合 作 探 究·攻 重 难]列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．[解] (1)如图所示，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →， 则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1.由于A ，B 1，C ，D 1四点不共面，可知向量x ，y ，z 也不共面，同理b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，故选C ．[答案] C(2)设OA →＝xOB →＋yOC →，则e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)，即e 1＋2e 2－e 3＝(y －3x )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3∴⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＝1x ＋y ＝22x －y ＝－1此方程组无解．即不存在实数x ，y 使得OA →＝xOB →＋yOC →， 所以OA →，OB →，OC →不共面．所以{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底．1．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为空间的一个基底．[解] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，即a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ)C ．∵{a ，b ，c }是空间的一个基底，∴a ，b ，c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )， ∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．如图3129，四棱锥P OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.图3129[思路探究]利用图形寻找待求向量与a ，b ，c 的关系→利用向量运算进行分拆→直至向量用a ，b ，c 表示[解] 连接BO ，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12C ．BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CP →＝BC →＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12C ．AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12C ． EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .2．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且PM →＝23PC →，PN →＝ND →，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值分别为( )【导学号：46342148】A ．－23，16，16B ．23，－16，16 C ．－23，16，－16D ．－23，－16，16D [如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN →＝EN →－EM →＝12CD →－(PM →－PE →)＝12CD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫23PC →－12PC →＝12CD →－16PC →＝－12AB →－16(－AP →＋AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →，比较知x ＝－23，y ＝－16，z ＝16，故选D ．][1．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？提示：分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．2．若AB →＝(a ，b ，c )，则BA →的坐标是多少？ 提示：BA →＝(－a ，－b ，－c )．如图3130，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN →，BA 1→，A 1B →的坐标．图3130[思路探究] 以点C 为原点，分别以CA →，CB →，CC 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN ，BA 1→，A 1B →分别用CA →，CB →，CC 1→表示出来，再写出它们的坐标．[解]法一：由题意知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，AC ⊥BC ，以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz ，如图所示．∴BN →＝AN →－AB →＝12CC 1→＋CA →－CB →＝CA →－CB →＋12CC 1→，∴BN →的坐标为(1，－1,1)， 而BA 1→＝CA 1→－CB →＝CA →－CB →＋CC 1→， ∴BA 1→的坐标为(1，－1,2)．又∵A 1B →＝－BA 1→，∴A 1B →的坐标为(－1,1，－2)．法二：建系同法一，则B (0,1,0)，A (1,0,0)，A 1(1,0,2)，N (1,0,1)， ∴BN →＝(1，－1,1)，BA 1→＝(1，－1,2)，A 1B →＝(－1,1，－2)．3.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点，如图3131所示建立空间直角坐标系．图3131(1)写出各顶点的坐标； (2)写出向量EF →，B 1F →，A 1E →的坐标．[解] (1)由图知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (0,0,0)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，D 1(0,0,2)，(2)因为E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点， 由中点坐标公式，得E (2,2,1)，F (0,1,0)．所以EF →＝(－2，－1，－1)，B 1F →＝(－2，－1，－2)，A 1E →＝(0,2，－1)．[当 堂 达 标·固 双 基]1．O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A ．OA →，OB →，OC →共线 B ．OA →，OB →共线C ．OB →，OC →共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面D [由题意知，向量OA →，OB →，OC →共面，从而O ，A ，B ，C 四点共面．] 2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同D [因为A 点不一定为坐标原点，所以A ，B ，C 都不对；由于AB →＝OB →－OA →，故D 正确．] 3．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )【导学号：46342149】A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 A [如图，由已知OG →＝34OG →1＝34(OA →＋AG 1→)＝34[OA →＋13(AB →＋AC →)] ＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝14OA →＋14OB →＋14OC →， 从而x ＝y ＝z ＝14.]4．三棱锥P ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.]5．如图3132所示，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量：图3132(1)AP →；(2)AM →.[解] 如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中连接AC ，AD 1，(1)AP →＝12(AC →＋AA 1→)＝12(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD 1→)＝12(AB →＋2AD →＋AA 1→) ＝12a ＋b ＋12c ．。
(新课程)高中数学《3.1.4 空间向量的正交分解》导学案 新人教a版选修2-1
§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；92-96复习1：平面向量基本定理： 对平面上的任意一个向量P ，,a b 是平面上两个 向量，总 是存在 实数对(),x y ，使得向量P 可以用,a b 来表示，表达式为 ，其中,a b 叫做 . 若a b ⊥，则称向量P 正交分解.复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x 轴和y 轴上的 向量,i j 作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a xi y j =+，，则称有序对(),x y为向量a 的 ，即a ＝ .二、新课导学※ 学习探究 探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知：⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ，对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把 的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p = .⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝ .⑹向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈；⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++.试试：1. 设23a i j k =-+，则向量a 的坐标为 .2. 若A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB ＝ .3. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b※ 典型例题例1 已知向量,,a b c 是空间的一个基底，从向量,,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量,p a b =+ q a b =-构成空间的另一个基底？变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C 是否共面？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.例2 如图，M,N 分别是四面体QABC 的边OA,BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用,,OA OB OC 表示OP 和OQ .变式：已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点G是侧面''BB C C 的中心，且OA a =，',OC b OO c ==，试用向量,,a b c 表示下列向量: ⑴''',,;OB BA CA ⑵ OG .※ 动手试试练1. 已知()()()2,3,1,2,0,3,0,0,2a b c =-==，求： ⑴()a b c ∙+； ⑵68a b c +-.练2. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则点1D ，',AC AC 的坐标分别是 ， ， .三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表示及其运算※ 知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若{}a,,b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）A.,,a a b a b +-B. ,,b a b a b +-C. ,,c a b a b +-D. 2,,a b a b a b ++-2. 设i 、j 、k 为空间直角坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且AB i j k =-+-，则点B 的坐标是3. 在三棱锥OABC 中，G 是ABC ∆的重心（三条中线的交点），选取,,OA OB OC 为基底，试用基底表示OG ＝4. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，E 为BB 1中点，则E 的坐标是 .5. 已知关于x 的方程()222350x t x t t --+++=有两个实根，c a tb =+，且()()1,1,3,1,0,2a b =-=-， 当t ＝ 时，c 的模取得最大值.1. 已知()()3,5,7,2,4,3A B =-=-,求,,AB BA 线段AB 的中点坐标及线段AB 的长度.2. 已知,,a b c 是空间的一个正交基底，向量,,a b a b c +-是另一组基底，若p 在,,a b c 的坐标是()1,2,3，求p 在,,a b a b c +-的坐标.。
【数学】3.1.4《空间向量运算的正交分解及基坐标表示》课件(新人教A版选修2-1)
教学目标 教学目
• ⒈理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向 量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出； • ⒉理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充 要条件； • ⒊会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题． • 教学重点：点在已知平面内的充要条件．共线、共面定理 教学重点： 及其应用． • 教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用． 教学难点： • 授课类型：新授课. 授课类型： • 课时安排：1课时. 课时安排：
空间向量类似于平面向量可以用坐标表示, 空间向量类似于平面向量可以用坐标表示, 而且也类似于平面向量可以用坐标 来进行各种运算及进行有关判断. 来进行各种运算及进行有关判断. 1.长度的计算 如: 1.长度的计算 r r 已知 a = ( x , y , z ) ,则 a = x 2 + y 2 + z 2
练习 2: 0, ⑴已知 A（ 2, 3)、B（− 2,1, 6), C (1, −1, 5) , 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2
r r r r 2 ⑵ a = ( x , 2,1) , b = ( −3, x , −5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角， 钝角，则 x 的取值范围为 ( − 1, ) . 2
r uuu r r ⑴∵ AP a、 共面, 与 b共面,
r uuu r uuur r ⑵∵已知点 B 、 在平面 α 内且 AB = a , AC = b C
r uuu r r 唯一有序实数对 有序实数 使 AP = xa + yb . ∴ ∃ 唯一有序实数对 (x, y), uuu r r r O 唯一有序实数对 有序实数 P ∴点 P 在平面 α 上 ⇔ ∴ ∃ 唯一有序实数对 (x, y),使 A = xa+yb①
高中数学人教A版选修2-1配套课件：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
牛刀小试 4 ．若a＝3e1 ＋2e2 －e3，{e1 ，e2，e3}为空间的一个单位正 交基底，则a的坐标为__________． [答案] (3,2，－1)
→ → → → [解析] (1)∵OA＋OB＋OC＝3OM， → → → → → → ∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)． → → → → → ∴MA＝BM＋CM＝－MB－MC. → → → ∴向量MA，MB，MC共面． → → → (2)由(1)知，向量MA，MB，MC共面，三个向量又有公共 起点 M，∴M、A、B、C 共面，即点 M 在平面 ABC 内．
定不共面，因此必定不共线，都是非零向量，∴A错，D错，B
正确；△ABC为直角三角形时不一定角A为直角，故C错．
空间向量的正交分解与坐标表示 温故知新
2．复习平面向量的正交分解与坐标表示． 思维导航 2 ．类比平面向量的正交分解，空间向量也可以正交分 解，请思考此时的基底应满足什么条件？
如何选取基底才能实现将空间向量用坐标表示，且计算方
向量，它们可能共面，此时 {a ， b ， c} 不可能成为空间的一个 基底．
6．已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外的一点 M 满 → 1→ 1→ 1→ 足OM＝3OA＋3OB＋3OC. → → → (1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作
新人教A版数学选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
方法技巧 (1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和 平行四边形法则,以及数乘向量的运算进行.
(2)若没给定基底时,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方 便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.
即时训练 2-1:(1)在空间四边形 ABCD 中,AC 和 BD 为对角线,G 为△ABC 的重心,E
注意:(1)若p=xa+yb+zc,则xa+yb+zc叫做向量a,b,c的线性表示式或线性 组合,或者说p可以由a,b,c线性表示. (2)对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面外,还应明确以下三点:① 空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.②基底中的三 个向量a,b,c都不是0.这是因为0与任意向量共线,与任意两个向量共面. ③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的,是一个向量组,基向 量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念.
解析: OA =2a+b+3c=8i+4j+2j+3k+9k-3j=8i+3j+12k. 所以点 A 的坐标为(8,3,12).故选 D.
4.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴,y轴,z轴正方向上的单位向量,
且向量p=i-3j+ 1 k,则p的坐标为
.
2
答案:(1,-3,1 )
2
5.从空间一点 P 引出三条射线 PA,PB,PC,在 PA,PB,PC 上分别取 PQ =a, PR =b,
使得p=xa+yb+zc.
(2)空间向量基本定理的证明
如图,已知 a,b,c 不共面,过点 O 作 OA =a, OB =b, OC =c, OP =p.过点 P 作直线 PP′∥OC,交平面 OAB 于点 P′,在平面 OAB 内过点 P′作 P′A′∥OB,P′B′∥ OA,分别与直线 OA,OB 交于点 A′,B′,连接 OP′.于是存在三个实数 x,y,z,使
高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教案 新人教A版选修2-1
3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
重、难点1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。
2．坐标判断两个空间向量平行。
教学过程1．情景创设： 平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？2．建构数学：如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任一向量a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a ＝（x ，y ，z ）。
在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA 是确定的，容易得到OA =xi y j zk ++。
因此，向量OA 的坐标为OA =（x ，y ，z ）。
这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。
类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。
设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则a +b ＝（112233,,a b a b a b +++），a －b ＝（112233,,a b a b a b ---），λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。
空间向量平行的坐标表示为a ∥b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ⇔===∈R 。
例题分析：例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。
例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。
例3：求点A（2，－3，－1）关于xOy平面，zOx平面及原点O的对称点。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学案新人教A版选修2-1(
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3.1。
4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1。
了解空间向量基本定理。
2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3。
掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一空间向量基本定理思考1 平面向量基本定理的内容是什么?答案如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．思考2 平面向量的基底唯一确定吗？答案不唯一．梳理（1)空间向量基本定理条件三个不共面的向量a,b，c和空间任一向量p结论存在有序实数组｛x,y，z｝，使得p＝x a＋y b＋z c（2)基底条件:三个向量a,b，c不共面．结论：｛a,b,c｝叫做空间的一个基底．基向量：基底中的向量a，b，c都叫做基向量．知识点二空间向量的坐标表示思考平面向量的坐标是如何表示的？答案在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋y j，这样,平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定,我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．设错误!＝x i＋y j，则向量错误!的坐标（x,y)就是点A的坐标，即若错误!＝(x，y)，则A点坐标为（x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)．梳理空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点O的三个两两垂直的单位向量,记作e1,e2,e3空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2,e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y,z｝,使得p＝x e1＋y e2＋z e3，则把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝（x,y,z）（1）空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(×）(2)若{a，b，c｝为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．（√)（3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．（√）（4）任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(×）类型一基底的判断例1 (1）下列能使向量错误!，错误!，错误!成为空间的一个基底的关系式是（)A。
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 课件(人教A选修2-1)
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
空间向量的坐标表示
例1 若{a，b，c}是空间一个基底，试判 断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个 基底． 【解】 假设a＋b，b＋c，c＋a共面， 则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a),
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第三章 空间向量与立体几何
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底， ∴a，b，c 不共面．
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第三章 空间向量与立体几何
想一想 1.空间向量的基底是惟一的吗？ 提示：不惟一． 2.0能是基向量吗？ 提示：不能．
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第三章 空间向量与立体几何
2.空间向量的正交分解及其坐标表示
单位正 交基底ຫໍສະໝຸດ 三个有公共起点O的_两__两__垂__直___的 单位向量e1，e2，e3称为单位正交 基底．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
又∵|O→O1|＝2，|O→A|＝4， |O→B|＝2，(5 分) ∴D→O＝－2e1－e2－2e3， ∴D→O＝(－2，－1，－2)．(6 分) ∵A→1B＝O→B－O→A1＝O→B－(O→A＋A→A1)
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
名师微博 D→O用O→O1、O→A、O→B表示是本题关键， 应注意O→O1、O→A、O→B不是单位向量.
【解】 连接 AC、AD1， (1)A→P＝12(A→C＋A→A1) ＝12(A→B＋A→D＋A→A1) ＝12(a＋b＋c)；
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3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
教学目标
1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
重、难点
1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。
2．坐标判断两个空间向量平行。
教学过程
1．情景创设： 平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？
2．建构数学：
如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任一向量a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a ＝（x ，y ，z ）。
在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA 是确定的，容易得到
OA =xi y j zk ++。
因此，向量OA 的坐标为OA =（x ，y ，z ）。
这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。
类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。
设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则
a +
b ＝（112233,,a b a b a b +++），
a －
b ＝（112233,,a b a b a b ---），
λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。
空间向量平行的坐标表示为
a ∥
b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ⇔===∈R 。
例题分析：
例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。
例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。
例3：求点A （2，－3，－1）关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的对称点。
练习：见学案
小结：
作业：见作业纸
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
课前预习学案
预习目标：1、空间向量与有序数组之间的一一对应关系；
2．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
预习内容： 1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫 ．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 都叫坐标向量． 叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；
2、空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点
A ， ，使 ，有序实数组 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作 ，x 叫 ，y 叫 ，z 叫 ．
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：1、理解空间向量与有序数组之间的一一对应关系；
2．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
重点难点：空间向量的坐标表示
学习过程：
例1：已知a＝（1，－3，8），b＝（3，10，－4），求a+b，a－b，3a。
例2：已知空间四点A（－2，3，1），B（2，－5，3），C（10，0，10）和D（8，4，9），求证：四边形ABCD是梯形。
当堂检测：
1求点A（2，－3，－1）关于xOy平面，zOx平面及原点O的对称点
课后练习与提高：
1．一向量的终点在点B(2,-1,7),它在坐标轴上的射影顺次是4，-4和7，则这向量的终点A的坐标是（）
A、(-2,3,0)
B、(-1,3,5)
C、(3,-1,2)
D、(0,2,-2)
2．点(1,-3,2)关于点(-1,2,1)的对称点是（）
A、(-2,7,1)
B、(-3,7,0)
C、(1,-7,0)
D、(1,2,5)。