高中数学向量的概念教案新人教A版必修
学新教材高中数学第六章平面向量及其应用平面向量的概念教学用书教案新人教A版必修第二册
第六章平面向量及其应用6．１平面向量的概念素养目标·定方向素养目标学法指导１．理解向量的有关概念及向量的几何表示.（直观想象）２．理解共线向量、相等向量的概念.（数学抽象）３．正确区分向量平行与直线平行.（逻辑推理）４．能够利用向量知识解决实际问题，培养数学建模能力.（数学建模）１．向量是一个既有大小又有方向的量，学习时可以结合物理中的矢量来学习，同时对比数量来感受要素的差异.２．向量可以用有向线段来表示，因而必然具备有向线段的三要素：起点、方向、长度.学习向量的有关概念时注意类比有向线段，通过对特殊向量的认识，逐步把握向量的特征.３．相等向量与共线向量之间有一些特殊关系，要善于对比数量特征加深认识.必备知识·探新知知识点１向量的基本概念与表示１．向量的概念（１）向量：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量.（２）数量：只有大小没有__方向__的量称为数量.２．有向线段（１）有向线段：具有__方向__的线段叫做有向线段.（２）表示方法：以A为起点，B为终点的有向线段记作__错误!__.（３）有向线段错误!的长度：线段AB的长度也叫做有向线段错误!的长度，记作__|错误!|__.（４）有向线段的三要素：__起点__、__方向__、__长度__.３．向量的表示方法几何表示用__有向线段__来表示向量，有向线段的长度表示向量的__大小__，有向线段的方向表示向量的__方向__.即用有向线段的起点、终点字母表示，如错误!，…字母表示用小写字母a，b，c，…表示[知识解读] 用小写字母表示向量，手写时必须加箭头，如：a，b，c.书写用错误!，错误!，错误! .４．向量的相关概念向量的模向量错误!的大小称为向量错误!的长度（或模），记作__|错误!|__零向量长度为0的向量叫做零向量，记作__0__单位向量长度等于__１个单位长度__的向量，叫做单位向量知识点２相等向量与共线向量１．平行向量：方向__相同或相反__的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，记作__a∥b__；规定：零向量与任意向量__平行__，即对任意向量a，都有__0∥a__.２．相等向量：长度__相等__且方向__相同__的向量叫做相等向量，记作a＝b.３．共线向量：平行向量也叫做共线向量.[知识解读] １．理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的.２．共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上，共线向量（平行向量）有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.共线向量是相等向量的必要条件.关键能力·攻重难题型探究题型一向量的有关概念１时间、摩擦力、重力都是向量；２两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；３若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；４在菱形ABCD中，一定有错误!＝错误!.其中所有正确命题的序号为__３４__.[分析] 利用向量定义、相等向量、单位向量的定义进行判断.[解析] 时间不是向量，故１不正确.两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故２不正确.单位向量的长度为１，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，１为半径的圆上，故３正确.４显然正确，故所有正确命题的序号为３４.[归纳提升] 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度.如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.【对点练习】１下列说法中正确的是（ D ）Ａ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小Ｂ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小Ｃ．向量的大小与方向有关Ｄ．向量的模可以比较大小[解析] 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.题型二向量的几何表示及应用典例２某人从A点出发向东走了５米到达B点，然后改变方向按东北方向走了１0错误!米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了１0米到达D点.（１）作出向量错误!，错误!，错误!.（２）求错误!的模.[分析] 先确定好向量的起点和终点，用有向线段表示出所求向量.[解析] （１）作出向量错误!，错误!，错误!，如图所示：（２）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝１0错误!米，CD＝１0米，所以BD ＝１0米.△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝５米，BD＝１0米，所以AD＝错误!＝５错误!（米），所以|错误!|＝５错误!.[归纳提升] 向量的两种表示方法及应用（１）几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点.便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础.（２）字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示但需是黑体，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如错误!，错误!，错误!等.便于向量的运算.【对点练习】２在如图的方格纸中，画出下列向量.（１）|错误!|＝３，点A在点O的正西方向；（２）|错误!|＝３错误!，点B在点O北偏西４５°方向；（３）求出|错误!|的值.[解析] 取每个方格的单位长为１，依题意，结合向量的表示可知，（１）（２）的向量如图所示.（３）由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以|错误!|＝错误!＝３．题型三共线向量与相等向量典例３如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点.（１）写出与错误!共线的向量；（２）写出与错误!长度相等的向量；（３）写出与错误!相等的向量.[分析] （１）共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；（２）在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；（３）相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段EF平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与错误!的方向相同的向量.[解析] （１）∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，∴与错误!共线的向量为错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!.（２）∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，∴EF＝错误!BC，BD＝DC＝错误!BC，∴EF＝BD＝DC.∵AB，BC，AC均不相等，∴与错误!长度相等的向量为错误!，错误!，错误!，错误!，错误!.（３）与错误!相等的向量为错误!，错误!.[归纳提升] 相等向量与共线向量的探求方法寻找相等向量先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线寻找共线向量先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量【对点练习】３如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有__１２３__.（填序号）１错误!＝错误!；２错误!∥错误!；３错误!与错误!共线；４错误!＝错误!.[解析] ∵错误!与错误!方向相同，长度相等，∴１正确；∵A，O，C三点在一条直线上，∴错误!∥错误!，２正确；∵AB∥DC，∴错误!∥错误!共线，３正确；∵错误!与错误!方向不同，∴二者不相等，４错误.易错警示混淆向量的有关概念Ａ．0个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．３个[错解] D[错因分析] 对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆.[正解] １忽略了0与0的区别，a＝0；２混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；３两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；４当b＝0时，a、c可以为任意向量，故a不一定平行于c.[误区警示] 明确向量及其相关概念的联系与区别：（１）区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关.（２）零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的.零向量的方向是任意的.（３）平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量.【对点练习】４下列说法正确的是（ C ）Ａ．平行向量就是向量所在直线平行的向量Ｂ．长度相等的向量叫相等向量Ｃ．零向量的长度为0Ｄ．共线向量是在一条直线上的向量[解析] 平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错.故选Ｃ．。
高中数学(平面向量的实际背景及基本概念)教案6 新人教A版必修4 教案
向量的物理背景与概念一教学目标1 知识与技能（1）了解向量产生的物理背景，理解位移的概念；（2）理解向量的概念，向量的几何意义，能用向量表示点的位置；（3）初步理解零向量，相等向量，共线向量的意义2 过程与方法（1）通过向量概念的形成过程体会由实例引入概念的方法；（2）由实例体验用向量表示点的位置的方法3 情感，态度，价值观：通过本节的学习，让学生认识到向量在刻画数学问题和物理问题中的作用，从而激发学生学习数学的兴趣二教学重点与难点1 教学重点————向量的概念；2 教学难点————对向量概念的理解三教学方法采用提出问题，引导学生通过观察，类比，归纳，抽象的方式形成概念，结合几何直观引导启发学生去理解概念，不断创设问题情景，激发学生探究。
四教学过程练习：判断下列说法是否正确，并说明理由。
①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝DC⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.例题2：已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中:(1)试找出与FE共线的向量；(2)确定与FE相等的向量；(3)OA与BC相等吗？若不相等，则它们之间有什么关系？例题分析：例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：（1）平行向量的方向一定相同（2）不相等的向量一定不平行（3）与零向量相等的向量是什么向量？（4）存在与任何向量都平行的向量吗（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的充要条件是什么？（7）共线向量一定在同一直线上．例2：D、E、F依次是等边△ABC的边AB、BC、CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为起点或终点的向量中，(1)找出与向量 DE相等的向量；(2)找出与向量 DF共线的向量．学生讨论后回答，教师订正讲解学生自主完成，然后回答，其他学生纠正师：如何找相等向通过习题的设置巩固向量的相关概念将问题给学生，让学生去归纳小结7 用向量表示点的位置利用向量可以确定一点相对与另一点的位置例题3：天津位于北京东偏南50度，114km，用向量表示天津相对于北京的位置。
高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念教案2 新人教A版必修4
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、三维目标
1、知识与技能
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系
（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、过程与方法
引导发现法与讨论相结合。
这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。
体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。
3、情感目标与价值观
通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。
二、教学重点及难点
1重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等
2难点：向量的概念和共线向量的概念。
人教A版高中数学必修四新课标优秀教案示范教案平面向量的实际背景及基本概念
第二章平面向量本章教材分析1.丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.2.教学的最佳契机,全新的思维视角.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.3.本章充分体现出新教材特点.以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.整体设计教学分析本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.三维目标1.通过实例,利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素,搞清数量与向量的区别.2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判断向量之间的关系,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.3.在教学过程中,应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系,揭示向量可以平移这一特性.重点难点教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.图1思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择.推进新课新知探究提出问题①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？③数量与向量的区别在哪里？活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量.教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题.讨论结果:①略.②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.③略.提出问题①如何表示向量?②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么?③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量?④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗?⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?⑦数量与向量有什么区别?⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别?活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB 的两个端点中,规定一个顺序,假设A 为起点、B 为终点,我们就说线段AB 具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作.起点要写在终点的前面.已知,线段AB 的长度也叫做有向线段的长度,记作|AB |.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.图2知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.用有向线段表示向量的方法是:1°起点是A,终点是B 的有向线段,对应的向量记作:AB . 这里要提醒学生注意的方向是由点A 指向点B,点A 是向量的起点.2°用字母a ,b ,c ,…表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a ,书写用)3°向量(或a )的大小,就是向量(或a )的长度(或称模),记作||(或|a |).教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a ＞b 就没有意义,而|a |>|b |有意义.讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a →来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如、CD.注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.图3③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.图4又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出＝a,=b,=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小.⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.应用示例例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C 两地的位移.(精确到1 km)图5分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.解:表示A地至B地的位移,且||≈232 km;(AB长度×8 000 000÷100 000)表示A地至C地的位移,且||≈296 km.(AC长度×8 000 000÷100 000)点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置.变式训练一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.图6解:根据题意画出示意图,如图6所示.||=100 m,|BC|=100 m,∠ABC=45°+15°=60°,∴△ABC为正三角形.∴||=100 m,即此人从C点返回A点所走的路程为100 m.∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.故此人从C点走回A点的位移为沿西偏北15°方向100 m.图7例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1)ABCD中,与是共线向量;(2)单位向量都相等.活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7.因为AB//CD,所以AB∥CD.由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.解:(1)正确;(2)不正确.点评:本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.图8例3 如图8,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中所示向量与相等的量.活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断与,与是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.解:OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO.点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同.变式训练本例变式一:与向量OA长度相等的向量有多少个？(11个)本例变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？(存在)例4 下列命题正确的是( )A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b 共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,即只有C正确.答案:C点评:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合.变式训练1.判断:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？(平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段B.一段圆弧C.两个点D.一个圆答案:D3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是( )A.一个点B.两个点C.一个圆D.一条线段答案:B知能训练课本本节练习.解答:1.通过具体的例子,让学生动手画两个方向不同、大小不等的力(向量),图略.2.|AB|,|BA|,这两个向量的长度相等,但它们不等.点评:向量是既有大小,又有方向的量.长度相等的两个向量未必是两个相等的量.3.||=2,|CD|=2.5,||=3,|GH|=22.点评:方格纸是学生学习几何、向量等内容的好工具.在方格纸中,长度和角度非常容易表现.建议在向量内容的学习中把方格纸作为重要的学具.4.(1)它们的终点相同;(2)它们的终点不同.点评:方向相同的两个向量,如果它们的起点相同,它们的终点只与长度有关.课堂小结本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.作业课本习题2.1 1、2.设计感想本节是平面向量的第一节,显然属于“概念课”,概念的理解无疑是重点,但也是难点.本教案设计的指导思想是:把学生划分小组合作讨论学习,经过小组成员们的合作探究,对平面向量的基本概念和基本解题方法都明了了不少,应该有很多的成功之处或收获.对失败或教训之处可能是由于一些概念性问题没有深入研究,导致解题存在困难,不过这些会通过学习的深入弥补过来的.作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后,给中学数学带来了无限生机.通过本节具体问题的解决,让学生体会到数学在生活中的重要作用,并在实际课堂教学中规范学生的习惯,培养严谨的思考习惯和代数与几何相结合的习惯,为后面学习打下基础.。
高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念教案第二册
6。
1 平面向量的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书—必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》,本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念,并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念"中介绍向量的定义；在“向量的几何表示"中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量;在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量,共线向量定义等1。
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.多媒体意的,单位向量的方向具体而定.（2）注意:向量是不能比较大小的，但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的。
例1。
在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离(精确到1km）（三）。
相等向量与共线向量思考1:向量由其模和方向所确定.对于两个向量b a,，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？【答案】模相等，方向相同；模相等，方向不相同;模不相等，方向相同; 模不相等,方向不相同；1.平行向量定义：[来源：学科网ZXXK]通过例题进一步理解向量的概念，提高学生用向量解决问题的能力。
通过思考，引入平行向量，提高学生的理解问题的能力。
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ.2。
相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:（1)向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等;（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线．．．．段的起点无关．．．．．．。
向量的概念及表示教案
向量的概念及表示一、教学目标：1. 让学生理解向量的概念，知道向量是有大小和方向的量。
2. 让学生掌握向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。
3. 让学生学会向量的加减法和数乘运算。
二、教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量，可以用来表示物体的位移、速度等。
2. 向量的表示方法：（1）字母表示：用大写字母表示向量，如\( \vec{a} \)，\( \vec{b} \) 等。
（2）坐标表示：用小写字母加上坐标轴上的坐标表示，如\( \vec{a} = (a_x, a_y) \)，\( \vec{b} = (b_x, b_y) \) 等。
3. 向量的加减法：（1）向量加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (\vec{a}_x + \vec{b}_x, \vec{a}_y + \vec{b}_y) \)。
（2）向量减法：\( \vec{a} \vec{b} = (\vec{a}_x \vec{b}_x, \vec{a}_y \vec{b}_y) \)。
4. 向量的数乘：（1）数乘向量：\( k\vec{a} = (ka_x, ka_y) \)，其中\( k \) 是实数。
三、教学重点与难点：1. 重点：向量的概念、表示方法以及向量的加减法和数乘运算。
2. 难点：向量的坐标表示以及向量的加减法和数乘运算的坐标表示。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解向量的概念和表示方法。
2. 采用练习法，让学生通过例题和练习掌握向量的加减法和数乘运算。
3. 采用提问法，检查学生对向量知识的理解和掌握程度。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，如物体位移、速度等，引入向量的概念。
2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量有大小和方向。
3. 讲解向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。
4. 讲解向量的加减法，让学生掌握向量加减法的运算规则。
5. 讲解向量的数乘，让学生掌握向量数乘的运算规则。
高中数学向量及其应用教案
高中数学向量及其应用教案
一、教学目标：
1. 理解向量的概念和表示方法；
2. 掌握向量的运算规则和性质；
3. 能够应用向量解决实际问题；
4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：
1. 向量的概念及表示方法；
2. 向量的运算（加法、减法、数量积、向量积）；
3. 向量的性质和运算规则；
4. 向量在几何和物理中的应用。
三、教学过程：
1. 引入向量的概念，介绍向量的定义和表示方法；
2. 讲解向量的加法和减法，进行相关练习；
3. 讲解向量的数量积和向量积，进行相关练习；
4. 总结向量的性质和运算规则；
5. 应用向量解决几何和物理问题，如力的合成、平面向量几何等；
6. 汇总课程内容，进行综合练习和讨论，巩固所学知识；
7. 布置作业，让学生练习和应用向量的知识。
四、教学方式：
1. 讲授教学法，结合实例讲解向量的概念和运算规则；
2. 分组讨论和练习，提高学生的合作能力和解决问题的能力；
3. 案例分析和应用实践，引导学生将所学知识应用到实际问题中。
五、教学资源：
1. 教科书和教辅材料；
2. 多媒体教学工具；
3. 实验器材和实际问题的案例。
六、评价与反思：
1. 考察学生的学习效果和掌握程度；
2. 认真听取学生的反馈意见，及时调整教学方法和内容；
3. 总结教学经验，不断改进教学方式，提高教学效果。
通过以上教学范本，相信能够帮助教师更好地设计和实施高中数学向量及其应用的教学活动，提升学生的学习效果和能力。
希望教师们能够根据实际情况，灵活运用这一模板，更好地开展教学工作。
人教A版新课标高中数学必修二教案 《平面向量的概念》
《平面向量的概念》教学设计本课是《平面向量》这一章的起始课，具有核心地位、统领全局的作用。
在此之前，学生已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）。
另外，学生在物理学科中已经积累了很多向量模型，并且在三角函数的学习过程中接触到有向线段的概念，为本节课的学习提供了知识准备。
本节将学习平面向量的概念、表示及关系。
现实生活中的位移、力、速度是其物理背景，向量的概念就是从这些实际背景抽象而成；通常借用有向线段形象直观的表示向量及其运算。
（1）了解向量的实际背景，经历平面向量及其概念的形成过程，培养学生抽象问题的能力；（2）掌握向量的几何表示，理解平面向量、相等向量和共线向量的概念，体会数学研究的一般过程。
教学重点：本节的重点是向量概念的形成过程。
1．教学问题：（1）学习过程中，学生对脱离背景之后理解向量的概念，一时难以适应；（2）向量的几何表示与平面向量是学生学生的易混点。
2．教学支持条件：方格纸，科大讯飞问答系统。
【问题1】老鼠由A 向东北方向以每秒6米的速度逃窜， 如果猫由B 向正东方向以每秒10米速度追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？【设计意图】创设情境，建构概念。
通过学生熟悉的问题情境引发学生思考。
只有大小，没有方向的量，并不能确定具体的位置，从而指出速度是一个既有大小、又有方向的量，凸◆教材分析 ◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备 ◆教学过程A B显向量的两大要素，同时引出向量的概念。
【预设师生活动】（1）学生：猫的速度虽然比老鼠的速度大，但方向不对，所以无法抓到老鼠。
（2）老师：你能否再举出一些既有大小、又有方向的量？（3）学生：重力、浮力、弹力、位移……（4）老师：生活中有没有只有大小、没有方向的量？（5）学生：年龄、身高、面积、体积等。
（6）老师：回顾学习数的概念，我们从一本书、一支笔、一棵树……中抽象出只有大小的数量“1”。
类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小、又有方向的量进行抽象，形成一种新的量。
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山东省临朐县实验中学2014年高中数学向量的概念教案新人教A
版必修4
教学难点————对向量概念的理解；
到
学案使课堂从“教”为中心转到“学”为中心
练习1：判断下列说法
①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D
⑤共线的向量，若起点不同，则终点一定不同
试找出与
FE相等的向量；
BC相等吗？若不相等，则它们之间有什么关系？
学案使学生从“听众”角色转变为“演员”角色
、
(1)
30度，
（用向量表示点的位置，利用向量可以确定一点相对与另一点的位置）
导读、导听、导思、导做
是正的中心，则向量
、、
O ABC AO BO CO
与是共线向量，则、、、四点必在一直线上
CD B C D
变题：=，则
则;a b
=
a b
若∥则a b a b
=
a b a b
,;
变题：若，则∥；
=
===
则
a b b c a c
,,;
则
a b b c a c
//,//,//.
归纳小结：向量的简单应用，找相等向量和用向量表示点的位置。