旋转曲面的方程直角坐标系
几种常用的二次曲面与空间曲线
1. 指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
55
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
53
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
54
思考与练习
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z c
2 2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
20
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
o y
S : x2 z2 2 py
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S : x2 y2 2 pz
4.3旋转曲面
绕y轴旋转一周,所成旋转曲面S S的方程为
f y,
x2 z2 0
o
y
x
xoz平面上的曲线 C f ( x , z ) 0 y0 绕x轴旋转一周,所成旋转曲面S S的方程为
f
o
z
C y
x, y2 z2 0
x
xoy平面上的曲线
f ( x, y ) 0 C z0
所求旋转曲面方程为
x y z 2 2 2 1 2 a a a b
2 2 2
x
P
M0
M
l1
这是由 xoz平面上的双曲线
x z 2 2 1 2 a a b y0
2 2
l2
y
O
z
x
绕z轴旋转而成的 单叶旋转双曲面.
z
y
写出下列旋转曲面的方程 (1) 母线
4 x 2 9 y 2 36 : z0
z0 z
2 0
2 2
y x y z z0 0 x2 y2 z2 x 2 y 2 z 2 0 0 0 y0 x 2 y 2 f ( y0 , z0 ) 0 x0 0 f x 2 y 2 , z 0 为S的方程
v i ( 1,0,0 ) 1X 0Y 0Z 0 X 0 v ( 0,Y , Z ) k (0,0,1) Y 0 可设 v ( 0,1, b )
故 l1 的方程为
x a y z 1 b 0
x a y z 设 l1 绕 l2 旋转,所成旋转曲面S l1 : 0 1 b x l1 M ( x , y , z ) 旋转曲面S P M 0 ( x0 , y0 , z0 ) M 0 ( x0 , y0 , z0 ) l1 使得 M 0 M ( x x0 , y y0 , z z0 ) k (0,0,1) M ( x, y, z )
空间几何旋转曲面方程记忆口诀
空间几何旋转曲面方程记忆口诀空间几何旋转曲面方程记忆口诀一、引子在学习空间几何的过程中，我们经常会遇到旋转曲面方程这一内容。
它们在三维空间中呈现出各种不同的形态，对于我们理解和掌握空间几何的知识至关重要。
但是，由于其复杂的形式和多样的变化，我们往往会感到困惑和不知所措。
本文将结合口诀的形式，带领大家逐步记忆和理解空间几何旋转曲面方程，希望对大家的学习能够有所帮助。
二、空间几何旋转曲面简介在空间几何中，旋转曲面是指直线或者曲线绕着一条轴线旋转而形成的曲面。
它们可以分为圆锥曲面、双曲面、抛物面等多种类型，每种类型又有不同的特点和方程形式。
而要深入理解和掌握这些旋转曲面的方程，我们首先需要记忆它们的具体形式和特点。
三、提出口诀为了更好地帮助大家记忆空间几何旋转曲面的方程，我特意设计了如下口诀，希望能够带给大家一些帮助：“圆锥曲面轴中心，双曲面两异心。
抛物面退化记，口诀带你追。
”四、口诀解读1. 圆锥曲面轴中心：圆锥曲面的方程一般形式为：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \)当圆锥曲面的轴与坐标轴重合时，即轴线通过空间坐标系的原点时，称之为轴中心圆锥曲面。
2. 双曲面两异心：双曲面的方程有两种形式，一般的双曲面方程为：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \)当双曲面有两个焦点且与坐标轴相交时称之为双曲面两异心。
3. 抛物面退化记：抛物面的一般方程为：\( z = ax^2 + by^2 \)当抛物面变化成简单曲线的时候，我们称之为抛物面退化。
五、口诀应用以上口诀为大家概括了圆锥曲面、双曲面和抛物面的方程形式和特点。
我们可以根据这些口诀，快速记忆和掌握各类旋转曲面的方程，帮助我们更好地理解和应用空间几何的知识。
六、个人观点对于空间几何旋转曲面方程的记忆，我认为口诀是一种非常有效且有趣的方式。
参数方程求旋转曲面
参数方程求旋转曲面旋转曲面是指一个二维曲线绕着一个定轴旋转形成的立体图形。
在数学中，我们可以通过一个参数方程来描述旋转曲面的形状。
本文将介绍旋转曲面的基本概念以及使用参数方程求解旋转曲面的方法。
首先，我们来说明一下什么是旋转曲面。
旋转曲面是指一个平面上的曲线沿着一个固定轴线旋转一周所形成的曲面。
比如，当我们把一个二维平面上的圆绕着垂直于平面的轴线旋转一周，就可以得到一个球体，这就是一个旋转曲面的例子。
旋转曲面的参数方程形式可以通过以下步骤得到。
第一步，我们需要选择一个平面上的曲线作为旋转曲面的基础曲线。
这个曲线可以是任意形状的，比如直线、圆、抛物线等。
在本文中，我们以一个简单的圆为例来讲解。
第二步，我们需要选择一个轴线作为旋转曲面的旋转轴。
这个轴线可以是平面内的一条直线，也可以是垂直于平面的直线。
在本文中，我们选择垂直于平面的直线作为旋转轴。
第三步，我们需要引入一个参数来描述旋转曲面的旋转角度。
这个参数可以取任意实数值，表示旋转曲面沿着旋转轴旋转的角度。
在本文中，我们用θ来表示这个角度。
有了上述三个步骤，我们就可以得到旋转曲面的参数方程了。
以一个圆绕着垂直于平面的轴线旋转为例，我们可以得到以下参数方程：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)z = h其中，r是圆的半径，h是轴线到圆心的距离。
使用这个参数方程，我们可以得到圆绕着轴线旋转一周所形成的旋转曲面。
当θ取值从0到2π时，曲线就完成了一周旋转，同时生成了一个完整的球体。
我们可以通过改变r和h的值，来控制生成的球体的大小和位置。
例如，当r和h都为正数时，球体将位于轴线的正方向，当r和h都为负数时，球体将位于轴线的负方向。
除了圆，我们还可以选择其他形状的曲线，如椭圆、抛物线、或者自定义的曲线作为旋转曲面的基础曲线。
只要我们能够得到基础曲线在平面上的参数方程，就可以通过类似的方法来求解旋转曲面的参数方程。
需要注意的是，以上介绍的是一个基础的旋转曲面的参数方程求解方法。
几种常见的曲面及其方程
二、二次曲面 三元二次方程
Ax2 By2 Cz2 Dxy Eyx Fzx
Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准下方面程仅, 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
(x 2)2 y2 (z 1)2 5.
对比（1）式知，它表示球心在点（2,0,-1）, 半径5为的球面.
三、柱面
z
引例. 分析方 x2 y2 R2
表程示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，x2 y2 R2 表示圆C, C o
y
在圆C上任取一M1 (x, y, 0) , 过此点 x M1
平点行z轴的直线l, 对任意z,点M作(x, y, z)
l
的坐标也满足方 x2 y2 R2
程沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面
柱称面为.其圆上所有点的坐标都满足此 故在空
方程,x2 y2 R2 表示圆柱 间
面
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定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线l
给定 yoz 面上曲线 C:f (y, z) 0
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
f ( y1, z1 ) 0
C
当绕 z 轴旋转 该点转到 时M,(x, y, z) , 则有
z z1, x2 y2 y1
M (x, y, z)
o
M1 (0, y1, z1 )
y
故旋转曲面方程为
母线平行于 y 轴;
x
几种常见的曲面及其方程()
2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
P324 题2 (1)
y 5x 1 y x3 y x3
z
y 5x 1
o
y
z
x2 y2 1 4 9 y3
x
2
3
y
z
z
ay x
x 2 y 2 ax z0
M ( x, y, z )
C
M 1 (0, y1 , z1 )
z z1 ,
x y y1
2
2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x 2 y 2 , z) 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z
L
M (0, y, z )
y
两边平方
x
2
z a (x y )
2
2
2
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
几种常见的曲面及其方程二次曲面曲线
x y z 2 2 1 2 a a b
y 2 x2 z 2 1 2 2 a b
222aFra biblioteka y
绕 y轴旋转而成的旋转曲面方程为 即
x
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b a b
例3 求
旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。 解 方程 便得到旋转抛物线的方程为
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1. 椭球面 x2 y 2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(1)范围： x a,
y b,
z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y 2 2 2 1 , 黄a b z0
xoy 面上的抛物线 x ay 2 (a 0) 绕x轴
x ay 2 中的x 不变， 换成 y 2 z 2
x a( y z )
2 2
例4 求 yoz 面上的直线 z ky(k 0) 绕z轴 z 旋转一周而成的圆锥面的方程。
解 所求圆锥面的方程为
即
y
z k x2 y 2
x
l1
y
z
l2
y
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H ( z, x) 0 表示 柱面,
z
x
l3
x
母线 平行于 y 轴;
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
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3.旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
第二章第五节 旋转面、柱面和锥面
一、旋转面 二、柱面 三、和锥面
在右手直角坐标系下讨论
§5
旋转面、柱面和锥面
一、球面的普通方程 二、球面的参数方程，点的球面方程 三、曲面和曲线的普通方程 四、旋转面
5.1 旋转曲面 定义3.1 一条 曲线Γ 绕一条直 线l 旋转一周所 成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线l 叫旋转 曲面的轴， Γ 称为 旋转面的母线。．
0
0
0
0
满足的方程，即为所求 旋转曲面的方程。
任取l 上的点 M1 , | MM1 || M 0 M1 |
例2. 设旋转面的轴线 l 过点M 0 (1,3, 1) ， 平行于向量 u0 (1,1,1) ，准线 是过点 M1 (0, 2,1) 平行于向量 u1 (1, 1,1) 的直线 求此旋转面方程。 x y 2 z 1 解： 先写出准线 方程： 1 1 1 旋转轴 l : x 1 y 3 z 1 设旋转面上点 M ( x, y, z ) 由准线上点 M ( t , 2 t , 1 t ) 旋转而得。 M M u0 M M u0＝0
u (1,1,1) 或( 1,1,1)， (1, 1,1)， (1,1, 1)
设点 M ( x , y, z ) 在圆锥面上
cos OM , u cos e1 , u
P91 例2.16
2 2 2 2 | e1 u |( x y z ) x y z | OM v | | e v | | OM | 1 | u | xy yz 2 zx 2 0 | OM || u | | OM u | | OM |
柱面：（准线为坐标面上的线， 母线平行于坐标轴）
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y
b
0
z
例3 （2）
将双曲线
y2
:
b
2
z2 c2
1
绕实轴
x 0
（即 y 轴）旋转
.
y2 b2
x2 c2
z2 c2
1
y
b
x
0
z
z
例4
将抛物线
:
y2
2
pz
x 0
绕它的对称轴旋转
o
y
z
例4
将抛物线
:
y2
2
pz
x 0
绕它的对称轴旋转
.
o
y
x
z
例4
将抛物线
:
y2
2
pz
x 0
绕它的对称轴旋转
说明： ⅰ纬圆也可看作垂直于旋转轴 l 的平面与旋转面的交线 ⅱ 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。
l
M
纬圆
经线和母线 一样吗？
旋转曲面也可看作经 线绕轴旋转生成
S
满足什么条件 母线就是经线？
经线
二、旋转曲面的方程（直角坐标系）
1 旋转曲面的一般方程
设旋转曲面的母线
:
F1 x,
F2
母 线 ： F F 1 2xx1 1,,yy1 1,,zz1 1 0 0((3 4))
l M1
注：
ⅰ 写出这母线上任意一点 M1x1,y1,z1的纬圆方程或母线族
ⅱ 写出参数 x1 , y1 , z1 的约束条件 ⅲ 消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）
S
例1
求直线
：x 2
x,
yy,,zz00，旋转轴为直线
l:xx0yy0zz0 XY Z
分析： M 1 x 1 ,y 1 ,z 1 母 线 M1S M1纬 圆＝
平 球
面
当 M1 遍历整个母线Γ 时，得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面
纬 圆 ： X xxx 0x2 1 Y y yy 0y 21 zZ zz0 2z 1 x10 1 x02y1y02z1z02(2) Fx,y,z0
称为旋转曲面（或回转曲面）
l
（. surface of revolution）
Γ 称为旋转曲面的母线
（generating curve）
l 称为旋转曲面的旋转轴
（axis of rotation）
S
一、旋转曲面的有关概念
Ⅰ 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线
Ⅱ 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线
z 0
绕长轴（即 x 轴）旋转
x2 y2 z2 a2 b2 b2 1
y
o
ax
b
z
例6 （2）
将椭圆
x2 : a2
y2 b2
1a b
绕短轴（即 y 轴）旋转
z 0
y
x2 a2
y2 b2
z2 a2
1
o
ax
b
z
2
z2 c2
1
绕实轴
x 0
（即 y 轴）旋转
y
b
0
z
例3 （2）
将双曲线
y2
:
b
2
z2 c2
1
绕实轴
x 0
（即 y 轴）旋转
.
y2 b2
x2 c2
z2 c2
1
y
b
x
0
z
三、几种特殊的旋转曲面（直角坐标系）
1 单叶旋转双曲面 2 双叶旋转双曲面 3 旋转抛物面 4 环面 5 旋转椭球面
.
o
x
x2y22pz
.
y
z
a
o
b
y
例5 将圆 : yb2z2a2ba0 绕 z 轴旋转
x0
z
o
x
例5 将圆 : yb2z2a2ba0 绕 z 轴旋转
x0
y
.
z
o
x
例5 将圆 : yb2z2a2ba0 绕 z 轴旋转. .
x0
y
.
例6 （1）
将椭圆
x2 : a2
y2 b2
1a b
例3 （1）
将双曲线
y2
:
b
2
z2 c2
1
绕虚轴
x 0
（即 z 轴）旋转
z
o
b
y
例3 （1）
将双曲线
y2
:
b
2
z2 c2
1
绕虚轴
x 0
（即 z 轴）旋转
.
x2 y2 z2 1
x
b2 b2 c2
z
o
b
y
例3 （2）
将双曲线
y2
:
b
2
z2 c2
1
绕实轴
x 0
（即 y 轴）旋转
y 1
z 1 绕直线 0
l:xyz
旋转所得的旋转曲面的方程
注：为方便，今后将取旋转曲面的 某一条经线作为它的母线。
例2
设母线
:
F
y, z
0
，⑴
绕
z
轴旋转所得的旋转面方程；
x 0
⑵ 绕 y 轴旋转所得的旋转面方程
z
o
y
规律：
x
一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时，
为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两
坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标
例3 （1）
将双曲线
y2
:
b
2
z2 c2
1
绕虚轴
x 0
（即 z 轴）旋转
z
o
b
y
例3 （1）
将双曲线
y2
:
b
2
z2 c2
1
绕虚轴
x 0
（即 z 轴）旋转
.
x2 y2 z2 1
x
b2 b2 c2
z
o
b
y
例3 （2）
将双曲线
y2
:
b
《》
－Chapter 4
§3 旋转曲面
surface of revolution
Contents
一、旋转曲面的有关概念 二、旋转曲面的方程（直角坐标系） 三、几种特殊的旋转曲面（直角坐标系）
一、旋转曲面的有关概念
l
一、旋转曲面的有关概念
定义1 在空间，一条曲线 Γ 绕着定直线 l 旋转一周所生成的曲面 S