对数函数及其性质1
对数函数的定义和性质
对数函数的定义和性质对数函数是高中数学中比较重要的一个概念，它在很多领域中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨对数函数的定义和性质，并介绍一些与其相关的概念。
一、对数函数的定义对数函数的定义使用到了指数函数。
在指数函数中，我们定义了以正实数a为底数的指数函数：y = a^x其中，x是自变量，a是常数。
而在对数函数中，我们定义以正实数a为底数的对数函数y = loga x 为正实数x的对数，满足以下条件：a^y = x, x > 0, a > 0, a ≠ 1这里的a是底数，x是实数，y是未知数。
例如，以2为底的对数函数记作y = log2 x。
如果x = 8，则y = log2 8 = 3，因为2的3次方等于8。
二、对数函数的性质1.对数函数的定义域和值域对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)，值域为实数集。
2.对数函数与指数函数由对数函数的定义可以得到：loga(1) = 0,loga(a) = 1,loga(ab) = loga(a) + loga(b),loga(a/b) = loga(a) - loga(b),loga(1/x) = -loga(x),loga(x^p) = ploga(x), p为实数。
其中后两个性质又称为对数函数的换底公式。
由以上性质可以看出，对数函数和指数函数是互逆的。
具体地说，如果有：y = a^x，则x = loga y。
3.对数函数的图像以底数a = 2为例，我们可以得到对数函数y = log2 x的图像如下：对于底数不同的对数函数，其图像的形状也有所差别，但都有以下共同点：(1)图像在y轴右侧，x轴左侧；(2)图像在y = 0处有一个奇点(即定义中的loga(1) = 0)。
从图像中可以看出，对数函数呈现出不断增长的趋势，但增长速度逐渐变缓。
4.对数函数的应用对数函数在很多领域中都有着广泛的应用。
以下是其中几个常见的应用举例：(1) 对数函数可以用来描述质量年龄指数(QALY)。
对数函数及其性质(一)
2.2.2 对数函数及其性质（一）一、教学目的和要求【知识与技能目标】通过具体实例，直观了解对数函数模型刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，并能画出具体对数函数的图像，掌握对数函数的图象和性质。
【过程与方法】通过从具体到一般的过程，数形结合的方法，体会研究具体函数及其性质的过程和方法。
【情感、态度与价值观】培养学生数形结合的思想，学会研究函数性质的方法，能应用对数函数的性质解有关问题。
二、重点难点教学重点：对数函数的概念，图像和性质教学难点：利用数形结合的方法从具体到一般地探究，理解对数函数的图象及其性质。
三、教学过程（一）复习引入2.2.1例6 生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代。
死亡年数t 就是要得到的碳14的含量P 的函数。
这个函数写成对数的形式是 。
（二）讲授新课 1. 对数函数的定义：函数y ＝log ax (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数，定义域为(0,＋∞)，值域为(－∞,＋∞)。
提问：①．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1。
②．为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解。
判断下列函数是不是对数函数：例1 求下列函数的定义域:2. 对数函数的图象： P t 573021log =x y 2log )1(2=x y 2log )2(-=1log )3(2+=x y 2log )1(x y a =)4(log )2(x y a -=)9(log )3(2x y a -=通过列表、描点、连线作x y 2log =与x y 21log =的图像。
思考：两图像有什么关系？因为x x y x 2log log log log 212221-===,所以两图像关于x 轴对称。
对数函数及其性质PPT课件(1)
a ＝ log3π>1 ， b ＝ log2
1 3＝2
故有 a>b>c.故选 A. 【答案】 A
1 (1)已知 loga3>1，求 a 的取值范围； 1 1 (2)已知 log32a<log3(a－1)， 求 a 的取值范围．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①(1)中底数含有参数； ②(2)中底数相同． 解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式(组)求解．
2a>a－1 即 ，解得 a>1.即实数 a 的取值范围是 a－1>0
a>1.
1 求函数 y＝log (3＋2x－x2)的单调区间和值域． 2 【思路点拨】 由题目可以获取以下主要信息： 1 ①函数由 y＝log2u 与 u＝3＋2x－x2 复合． ②要注意在函数定义域内讨论单调性．
1 【解析】 由 3＋2x－x2>0 解得函数 y＝log2 (3＋2x－x2)的定义域是{x|－1<x<3}． 设 u ＝ 3 ＋ 2x － x2( － 1<x<3) ， 又 设 － 1<x1<x2≤1， 1 1 则 u1<u2.从而 log2u1>log2u2，即 y1>y2. 故函数 y 1 ＝log2(3＋2x－x2)在区间(－1,1]上单调递减． 同理可得函数在区间(1,3)上单调递增． 函数 u＝3＋2x－x2(－1<x<3]的值域是(0,4]， 1 1 2 故函数 y＝log (3＋2x－x )的值域是 y≥log 4. 2 2 即{y|y≥－2}．
Байду номын сангаас
(1)解对数不等式问题通常转化为一般不等式(组)求解，其依据是对 数函数的单调性． (2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则． (3)若含有字母，应考虑分类讨论．
高中数学：2.2.2对数函数及其性质 (1)
2．2.2对数函数及其性质第二课时对数函数及其性质的应用(习题课)比较对数值的大小[例1]比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log a5.1，log a5.9(a＞0，且a≠1)．[解](1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4＜log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7.(3)当a＞1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，于是log a5.1＜log a5.9；当0＜a＜1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，于是log a5.1＞log a5.9.比较对数值大小时常用的4种方法(1)同底的利用对数函数的单调性．1．比较下列各题中两个值的大小： (1)lg 6，lg 8； (2)log 0.56，log 0.54； (3)log 132与log 152;(4)log 23与log 54.解：(1)因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8. (2)因为函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log 0.56＜log 0.54. (3)由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215. 又∵对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13＞15，∴0＞log 2 13＞log 2 15，∴1log 213＜1log 215.∴log 132＜log 152. (4)取中间值1，∵log 23＞log 22＝1＝log 55＞log 54，∴log 23＞log 54.[例2] (1)已知log a 12＞1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )＜log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． [解] (1)由log a 12＞1得log a 12＞log a a .求解对数不等式①当a ＞1时，有a ＜12，此时无解．②当0＜a ＜1时，有12＜a ，从而12＜a ＜1.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)．常见对数不等式的2种解法(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．2．已知log a (3a －1)恒为正，求a 的取值范围． 解：由题意知log a (3a －1)＞0＝log a 1. 当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1＞1，3a －1＞0，解得a ＞23，∴a ＞1；当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜1，3a －1＞0，解得13＜a ＜23.∴13＜a ＜23. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23∪(1，＋∞).有关对数型函数的值域与最值问题[例3] 求下列函数的值域．(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．[解] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R. 因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2， 所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4. 因为u ＞0，所以0＜u ≤4.又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，所以log 12u ≥log 124＝－2，所以y ＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为[－2，＋∞)．(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解． (2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．3．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及此时x 的值． 解：y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋log 3x 2＋2＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. ∵f (x )的定义域为[1,9]， ∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中，x必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，∴6≤y ≤13. ∴当x ＝3时，y 取得最大值，为13.[例4] 已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中(a ＞0且a ≠1)，设h (x )＝f (x )－g (x )．求函数h (x )的定义域，判断h (x )的奇偶性，并说明理由． [解] ∵f (x )＝log a (1＋x )的定义域为{x |x ＞－1}， g (x )＝log a (1－x )的定义域为{x |x ＜1}，∴h (x )＝f (x )－g (x )的定义域为{x |x ＞－1}∩{x |x ＜1}＝{x |－1＜x ＜1}． ∵h (x )＝f (x )－g (x )＝log a (1＋x )－log a (1－x )，∴h (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (1－x )]＝－h (x )， ∴h (x )为奇函数． [一题多变]1．[变条件]若f (x )变为log a 1＋x1－x (a ＞1)：求f (x )的定义域．解：因为f (x )＝log a 1＋x1－x，需有1＋x1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＞0，1－x ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜0，1－x ＜0，所以－1＜x ＜1.所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．2．[变设问]在本例条件下，若f (3)＝2，求使h (x )＜0成立的x 的集合． 解：∵f (3)＝log a (1＋3)＝log a 4＝2，∴a ＝2. ∴h (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， ∴h (x )＜0等价于log 2(1＋x )＜log 2(1－x )，对数函数性质的综合应用∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x ，1＋x ＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜0.故使h (x )＜0成立的x 的集合为{x |－1＜x ＜0}．层级一 学业水平达标1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选B ∵lg(2x －4)≤1，∴0＜2x －4≤10，解得2＜x ≤7，∴x 的取值范围是(2,7]，故选B.2．已知log 12m ＜log 12n ＜0，则( )A ．n ＜m ＜1B ．m ＜n ＜1C ．1＜m ＜nD ．1＜n ＜m解析：选D 因为0＜12＜1，log 12m ＜log 12n ＜0，所以m ＞n ＞1，故选D.3．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．4．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝⎛⎭⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：选D 由题知，a ＝log 45＞1，b ＝⎝⎛⎭⎫120＝1，c ＝log 30.4＜0，故c ＜b ＜a . 5．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝lg1(x 2＋1)－x 2＝lg 1＝0，∴f (x )为奇函数，故选A. 6．比较大小： (1)log 22______log 23； (2)log 3π______log π3.解析：(1)因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且2＞3，所以log 22＞log 2 3. (2)因为函数y ＝log 3x 增函数，且π＞3，所以log 3π＞log 33＝1. 同理1＝log ππ＞log π3，所以log 3π＞log π3. -=-=答案=-=-：(1)＞ (2)＞7．不等式log 13(5＋x )<log 13(1－x )的解集为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧5＋x >0，1－x >0，5＋x >1－x ，得－2<x <1.-=-=答案=-=-：{x |－2<x <1}8．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析：∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上递增， ∴log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，∴a 12＝2，a ＝4. -=-=答案=-=-：49．已知对数函数f (x )的图象过点(4,2)，试解不等式f (2x －3)＞f (x )． 解：设f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)， 因为f (4)＝2，所以log a 4＝2，所以a ＝2，所以f (x )＝log 2x ，所以f (2x －3)＞f (x )⇒log 2(2x －3)＞log 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0，x ＞0，2x －3＞x ⇒x ＞3，所以原不等式的解集为(3，＋∞)．10．求函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间，并求函数的最小值．解：要使y ＝log 12(1－x 2)有意义，则1－x 2＞0，∴x 2＜1，则－1＜x ＜1，因此函数的定义域为(－1,1)． 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1)．当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝log 12t 减小，∴x ∈(－1,0]时，y ＝log 12(1－x 2)是减函数；同理当x ∈[0,1)时，y ＝log 12(1－x 2)是增函数．故函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值y min ＝log 12(1－02)＝0.层级二 应试能力达标1．若a ＞0，且log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C ∵log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，∴a 2＜a 3，即a 2(1－a )＜0，∴a ＞1，故选C.2．设a ＝log 54，b ＝log 53，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c解析：选D 由于b ＝log 53＜a ＝log 54＜1＜log 45＝c ，故b ＜a ＜c . 3．关于函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性的叙述正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是增函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是减函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数 D ．.f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是减函数 解析：选C 由于底数12∈(0,1)，所以函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性与y ＝1－2x 的单调性相反．由1－2x ＞0，得x ＜12，所以f (x )＝log 12(1－2x )的定义域为(－∞，12)．因为y ＝1－2x 在(－∞，＋∞)内是减函数，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数，故选C. 4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．5．若y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：由y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，所以2a －3＞1，解得a ＞2. -=-=答案=-=-：(2，＋∞)6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为________________．解析：∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称．∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，做出函数图象如图所示．由f ⎝⎛⎭⎫13＝0，得f ⎝⎛⎭⎫－13＝0. ∴f (log 18x )＞0⇒log 18x ＜－13或log 18x ＞13⇒x ＞2或0＜x ＜12， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． -=-=答案=-=-：⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 7．求函数f (x )＝log 2(4x )·log 14x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤12，4的值域． 解：f (x )＝log 2(4x )·log 14x 2 ＝(log 2x ＋2)·⎣⎡⎦⎤－12(log 2x －1) ＝－12[](log 2x )2＋log 2x －2. 设log 2x ＝t .∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴t ∈[－1,2]，则有y ＝－12(t 2＋t －2)，t ∈[－1,2]， 因此二次函数图象的对称轴为t ＝－12， ∴它在⎣⎡⎦⎤－1，－12上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－12，2上是减函数， ∴当t ＝－12时，有最大值，且y max ＝98. 当t ＝2时，有最小值，且y min ＝－2.∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－2，98.8．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0＜a ＜1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．解：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0， 解得－3＜x ＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为：f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]， 因为－3＜x ＜1，所以0＜－(x ＋1)2＋4≤4. 因为0＜a ＜1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4＝4，所以a ＝4－14＝22.。
对数函数的图像与性质
对数函数的图像与性质对数函数是数学中非常重要的一类函数，它在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将着重探讨对数函数的图像和性质，帮助读者更好地理解和应用对数函数。
一、对数函数的定义与基本性质对数函数的定义如下：定义：设a为正实数且不等于1，x为正实数，那么以a为底的对数函数y = loga x 定义为x = a^y。
对数函数的图像在直角坐标系中呈曲线状，其主要性质如下：1. 定义域与值域：对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
2. 特殊性质：当x = 1 时，对数函数的值为0，即loga 1 = 0。
3. 单调性：当0 < a < 1 时，对数函数随着x的增大而递减；当a > 1 时，对数函数随着x的增大而递增。
4. 对称性：对数函数在y轴上有一个对称中心O(1,0)。
以上是对数函数的基本性质，接下来我们将进一步探讨对数函数的图像。
二、对数函数的图像特点对数函数的图像在直角坐标系中呈现出一些特殊的特点，我们将分别从底数的大小和常数c的引入的平移和伸缩等方面进行讨论。
1. 底数的大小对图像的影响底数a的大小对对数函数的图像有显著的影响。
当0 < a < 1 时，对数函数的图像在一象限内，从左上方无穷递减到右下方；当a > 1 时，对数函数的图像在一、三象限内，从左下方无穷递增到右上方。
2. 平移和伸缩对图像的影响引入常数c对对数函数的图像进行平移和伸缩。
当常数c大于0时，对数函数的图像在x轴的正方向上平移c个单位；当常数c小于0时，对数函数的图像在x轴的负方向上平移|c|个单位。
另外，对数函数的图像近似于一条曲线，它的凹性和凸性取决于底数的大小。
当0 < a < 1 时，对数函数图像凸向下；当a > 1 时，对数函数图像凹向下。
三、对数函数在实际问题中的应用对数函数在各个领域中都有着广泛的应用。
以下是一些常见的实际问题：1. 指数增长问题：对数函数可以用来描述指数增长的问题，例如人口增长、物种扩散等。
对数函数及其性质(1)
2.2.2 对数函数及其性质（1）学习目标1.理解对数函数的概念，知道对数函数是一类重要的函数模型；2.理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点；重点难点重点：对数函数的定义、图象及其性质；难点：由对数函数图象总结归纳出对数函数性质。
自主学案预习学案1. 定义：一般地,我们把函数log (0a y x a =>,且1)a ≠叫做对数函数，其中 是自变量,函数的定义域是2. 对数函数图象与性质a>10<a<1图 象 y0 xy0 x性 质①定义域： ②值域： ③过定点： ④增区间：④减区间：预习思考1. 函数log (0a y x a =>,且1)a ≠的图象过定点2.函数2()log 2f x x =-的定义域3.函数5()2+log f x x =(1x ≥)值域是合作探究探究点一：对数函数的概念 一、概念一般地，我们把函数log (0a y x a =>,且1)a ≠叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0+∞，. 二、概念理解1、在函数的定义中，为什么要限定0,a >且1a ≠？2、为什么对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的定义域是()0+∞，？3、下列函数是不是对数函数？①2-log y x =，②212log y x =，③3log (1)y x =+，④31log y x=，⑤log 5x y = 三、典例剖析例1. 求下列函数的定义域(1)22log (45)y x x =-- (2) log (22)y x =-(5-x)类题突破2 (1) 23log (31)2x y x x +=++-2 （2）0.5log (43)y x =-探究点二：对数函3数的图象和性质 一、对数函数2log y x =与12log y x =的图象请用描点法分别作出两个函数图象！ “列表——描点——连线”x121 2 4 8 162log y x =12log y x =y y2log y x = 12log y x =0 1 x 0 1 x思考：函数2log y x =与12log y x =的图象有什么关系？y 1.注意结合x 、y 对应值表以及2log y x = 函数图象观察分析！关系：2.如何证明这种关系？1 x12log y x =二、探究对数函数的性质在同一直角坐标系下分别作出函数13log y x =，12log y x =，2log y x =，3log y x =的图象，观察图象，你能发现它们有哪些共同特征？y0 1 x三、对数函数log (0a y x a =>,且1)a ≠的图象及性质a>1 0<a<1图 象性 质①定义域： ②值域：③过定点 ，即当x= 时，y= ④在(0,+∞)上是 函数④在(0,+∞)上是 函数四、典例剖析例3、比较大小：①2log 3与2log 4；②12log 5与12log 3；③log 2a 与log 5a .例4、已知下述4个函数图象是底数分别为 A 、B 、C 、D 的对数函数图象，试比较 A 、B 、C 、D 的大小.例5、若函数log (34)a y x =+（0<a<1）的函数值恒大于0，求x 的取值范围？类题突破6 求使函数log (34)a y x =+的值恒为负值的x 的取值范围？概括整合1、对数函数的概念，底数、真数的取值范围；2、对数函数的图象及其性质的应用；3、用数形结合的方法解决问题.4、。
对数函数及其性质(第一课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
）
（1）A已．知cab0.3a0.4 ，A．b cB．lobga34ab，cc lBo．g0.a3 4C，b．则b（c a c ）C． b Da．bc c a D．b c a
A． c b a B． a b c
C．b a c
D．b c a
例题讲练
（2）设 a log3 ， b log2 3 ， c log3 2 ，则（
x lxogaloyg（a ya （ 0a且 a0 且 1a），1x），也是x 也以是y以为自y 为变自量变的量函的数函（数其（中其y 中 0y， 0x ， Rx ），R ）， 根据根我据们我的们认的知认习知惯习，惯我，们我把们x 把 lxogaloyg中a 字y 中母字x 母， xy，对调y 对，调， 写成写y成 lyogaloxg（a 其x （中其x 中 0x， 0y， Ry ）．R ）．
例题讲练
【练习习 55】】
（（11））已已知知ff((xx))的的定定义义域域为为[0[,10],1，] ，则函则数函数f [lof g[l1o(g31(3x)] 的x)定] 的义定域义为域___为____________．_____．
22
例题讲练
（2）已知函数 y f [lg(x 1)] 的定义域为 (0,99] ，则函数 y f [log2 (x 2)] 的定义域为__________．
§4.4 对数函数及其性质 (第一课时)
人教版高中数学必修一
课堂引入：
通过前面的学习我们知道，某细胞经过 x 次分裂后，变成的细胞个数 y 2x ,
得由到一由y 个y2指x 数2x函x数x．lo由gglo22gyyy2y2对x 于对任于x意任的意lo细的g2胞细y个胞，数个对数y于，任y 我，意们我的都们细可都胞以可个通以数过通y对过，数对我运数们算运都算可 得到以得唯通到一唯过的一对的数x 与运x 之与算对之得应对到，应唯所，一以所的细以x胞细与分胞之裂分对次裂应数次,所数x以也x细可也胞以可分看以裂出看次以出数细以x胞细也个胞可数个以数y看为y成自为以变自细变胞个 量的数量函的y数函为．数自．变量的函数． 同样同地样，地根，据根指据数指与数对与数对的数关的系关，系由，y由 ayx（aax （ 0a且 a0 且 1a）可1）以可得以到得：到：
对数函数及其性质
.2对数函数及其性质1．对数函数的概念1定义：一般地,我们把函数y＝log a xa＞0,且a≠1叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是0,＋∞．2对数函数的特征：特征错误!判断一个函数是否为对数函数,只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y＝log7x是对数函数,而函数y＝－3log4x和y＝log x2均不是对数函数,其原因是不符合对数函数解析式的特点．例1－1函数fx＝a2－a＋1log a＋1x是对数函数,则实数a＝__________．解析：由a2－a＋1＝1,解得a＝0,1．又a＋1＞0,且a＋1≠1,∴a＝1．答案：1例1－2下列函数中是对数函数的为__________．1y＝log a＞0,且a≠1；2y＝log2x＋2；3y＝8log2x＋1；4y＝log x6x＞0,且x≠1；5y＝log6x．解析：答案：52．对数函数y＝log a xa＞0,且a≠1的图象与性质1图象与性质谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧,其单调性取决于底数．a＞1时,函数单调递增；0＜a＜1时,函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象,在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．2指数函数与对数函数的性质比较3底数a对对数函数的图象的影响①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时,对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时,对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1还是0＜a＜1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿,1,0点处把花扎,若是底数小于1,左上穿点渐右下,若是底数大于1,左下穿点渐右上,绕点旋转底变化,顺时方向底变大,可用直线y ＝1来切,自左到右a 变大．例2如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a 43,35,110中取值,则相应曲线C 1,C 2,C 3,C 4的a 值依次为A 43,35,110B 43,110,35C ．4335,110D ．43110,35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知,C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4,43,35,110．答案：A点技巧 根据图象判断对数函数的底数大小的方法 1方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”,在x 轴下方“底大图左”；2方法二：作直线y ＝1,它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数,由此判断各底数的大小．3．反函数1对数函数的反函数指数函数y＝a x a＞0,且a≠1与对数函数y＝log a xa＞0,且a≠1互为反函数．2互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．3求已知函数的反函数,一般步骤如下：①由y＝fx解出x,即用y表示出x；②把x替换为y,y替换为x；③根据y＝fx的值域,写出其反函数的定义域．例3－1若函数y＝fx是函数y＝a x a＞0,且a≠1的反函数,且f2＝1,则fx＝A．log2x B．12xC．12log x D．2x－2解析：因为函数y＝a x a＞0,且a≠1的反函数是fx＝log a x,又f2＝1,即log a2＝1,所以a＝2．故fx＝log2x．答案：A例3－2函数fx＝3x0＜x≤2的反函数的定义域为A．0,＋∞ B．1,9C．0,1 D．9,＋∞解析：∵ 0＜x≤2,∴1＜3x≤9,即函数fx的值域为1,9．故函数fx的反函数的定义域为1,9．答案：B例3－3若函数y＝fx的反函数图象过点1,5,则函数y＝fx的图象必过点A．5,1 B．1,5 C．1,1 D．5,5解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称,而点1,5关于直线y＝x的对称点为5,1,所以函数y＝fx的图象必经过点5,1．答案：A4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y＝log a xa＞0,且a≠1中仅含有一个常数a,则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式,这样的条件往往是已知fm＝n或图象过点m,n等等．通常利用待定系数法求解,设出对数函数的解析式fx＝log a xa＞0,且a≠1,利用已知条件列方程求出常数a的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时,常常遇到解方程,比如log a m＝n,这时先把对数式log a m＝n化为指数式的形式a n＝m,把m化为以n为指数的指数幂形式m＝k n k＞0,且k≠1,则解得a＝k＞0．还可以直接写出1na m=,再利用指数幂的运算性质化简1nm．例如：解方程log a4＝－2,则a－2＝4,由于2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以12a=±．又a＞0,所以12a=．当然,也可以直接写出124a-=,再利用指数幂的运算性质,得11212214(2)22a---====．例4－1已知f e x＝x,则f5＝A．e5B．5e C．ln 5 D．log5e解析：方法一令t＝e x,则x＝ln t,所以ft＝ln t,即fx＝ln x．所以f5＝ln 5．方法二令e x＝5,则x＝ln 5,所以f5＝ln 5．答案：C例4－2已知对数函数fx的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭,试求f3的值．分析：设出函数fx的解析式,利用待定系数法即可求出．解：设fx＝log a xa＞0,且a≠1,∵对数函数fx的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭,∴11log299af⎛⎫==⎪⎝⎭．∴a2＝19．∴a＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴fx＝13log x．∴f3＝111331log 3log3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．例4－3已知对数函数fx的反函数的图象过点2,9,且fb＝12,试求b的值．解：设fx＝log a xa＞0,且a≠1,则它的反函数为y＝a x a＞0,且a≠1,由条件知a2＝9＝32,从而a＝3．于是fx＝log3x,则fb＝log3b＝12,解得b＝123=5．对数型函数的定义域的求解1对数函数的定义域为0,＋∞．2在求对数型函数的定义域时,要考虑到真数大于0,底数大于0,且不等于1．若底数和真数中都含有变量,或式子中含有分式、根式等,在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地,判断类似于y＝log a fx的定义域时,应首先保证fx＞0．3求函数的定义域应满足以下原则：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零,如果在一个函数中数条并存,求交集．例5求下列函数的定义域．1y ＝log 51－x ；2y ＝log 2x －15x －4；3y =．分析：利用对数函数y ＝log a xa ＞0,且a ≠1的定义求解．解：1要使函数有意义,则1－x ＞0,解得x ＜1,所以函数y ＝log 51－x 的定义域是{x |x ＜1}．2要使函数有意义,则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1,所以函数y ＝log 2x －15x －4的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭1,＋∞．3要使函数有意义,则0.5430,log (43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1,所以函数y =的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．6．对数型函数的值域的求解1充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．2对于形如y ＝log a fxa ＞0,且a ≠1的复合函数,其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ,u ＝fx 这两个函数；②求fx 的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．3对于函数y ＝f log a xa ＞0,且a ≠1,可利用换元法,设log a x ＝t ,则函数ftt R 的值域就是函数f log a xa ＞0,且a ≠1的值域．注意：1若对数函数的底数是含字母的代数式或单独一个字母,要考查其单调性,就必须对底数进行分类讨论．2求对数函数的值域时,一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时,有时需讨论参数的取值范围．例6－1求下列函数的值域：1y ＝log 2x 2＋4；2y ＝212log (32)x x ＋－．解：1∵x 2＋4≥4,∴log 2x 2＋4≥log 24＝2．∴函数y ＝log 2x 2＋4的值域为2,＋∞．2设u ＝3＋2x －x 2,则u ＝－x －12＋4≤4．∵u ＞0,∴0＜u ≤4．又y ＝12log u 在0,＋∞上为减函数,∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为－2,＋∞．例6－2已知fx ＝2＋log 3x ,x ∈1,3,求y ＝fx 2＋fx 2的最大值及相应的x 的值．分析：先确定y ＝fx 2＋fx 2的定义域,然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数,利用一元二次函数求最值．解：∵fx ＝2＋log 3x ,x ∈1,3,∴y ＝fx 2＋fx 2＝log 3x 2＋6log 3x ＋6且定义域为1,3．令t ＝log 3xx ∈1,3．∵t ＝log 3x 在区间1,3上是增函数,∴0≤t ≤1．从而要求y ＝fx 2＋fx 2在区间1,3上的最大值,只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间0,1上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在－3,＋∞上是增函数,∴当t ＝1,即x ＝3时,y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知,当x ＝3时,y ＝fx 2＋fx 2的最大值为13．7．对数函数的图象变换及定点问题1与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a xa ＞0,且a ≠1过定点1,0,即对任意的a ＞0,且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y＝b＋k log a fxk,b均为常数,且k≠0,令fx＝1,解方程得x＝m,则该函数恒过定点m,b．方程fx＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．2对数函数的图象变换的问题①函数y＝log a xa＞0,且a≠1错误!函数y＝log a x＋ba＞0,且a≠1②函数y＝log a xa＞0,且a≠1错误!函数y＝log a x＋ba＞0,且a≠1③函数y＝log a xa＞0,且a≠1错误!函数y＝log a|x|a＞0,且a≠1④函数y＝log a xa＞0,且a≠1错误!函数y＝|log a x|a＞0,且a≠1例7－1若函数y＝log a x＋b＋ca＞0,且a≠1的图象恒过定点3,2,则实数b,c的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点3,2,∴将3,2代入y＝log a x＋b＋ca＞0,且a≠1,得2＝log a3＋b＋c．又∵当a＞0,且a≠1时,log a1＝0恒成立,∴c＝2．∴log a3＋b＝0．∴b＝－2．答案：－2,2例7－2作出函数y＝|log2x＋1|＋2的图象．解：第一步作函数y＝log2x的图象,如图①；第二步将函数y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度,得函数y＝log2x＋1的图象,如图②；第三步将函数y＝log2x＋1在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换,得函数y＝|log2x ＋1|的图象,如图③；第四步将函数y＝|log2x＋1|的图象,沿y轴方向向上平移2个单位长度,便得到所求函数的图象,如图④．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：1底数相同,真数不同．比较同底数是具体的数值的对数大小,构造对数函数,利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．2底数不同,真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时,可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象,再进行比较,也可以先用换底公式化为同底后,再进行比较．3底数不同,真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时,常借助中间量0,1进行比较．4对于多个对数式的大小比较,应先根据每个数的结构特征,以及它们与“0”和“1”的大小情况,进行分组,再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较,要注意对底数是否大于1进行分类讨论．例8－1比较下列各组中两个值的大小．1,log32；2log23,；3log aπ,．分析：1构造函数y＝log3x,利用其单调性比较；2分别比较与0的大小；3分类讨论底数的取值范围．解：1因为函数y＝log3x在0,＋∞上是增函数,所以f＜f2．所以＜log32．2因为log23＞log21＝0,＜＝0,所以log23＞．3当a＞1时,函数y＝log a x在定义域上是增函数,则有log aπ＞；当0＜a＜1时,函数y＝log a x在定义域上是减函数,则有log aπ＜．综上所得,当a＞1时,log aπ＞；当0＜a＜1时,log aπ＜．例8－2若a2＞b＞a＞1,试比较loga ab,logbba,log b a,log a b的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵b＞a＞1,∴0＜ab＜1．∴loga ab＜0,log a b＞log a a＝1,log b1＜log b a＜log b b,即0＜log b a＜1．由于1＜ba＜b,∴0＜logbba＜1．由log b a－logbba＝2logbab,∵a2＞b＞1,∴2ab＞1．∴2logbab＞0,即log b a＞logbba．∴log a b＞log b a＞logb ba＞logaab．9．利用对数函数的单调性解对数不等式1根据对数函数的单调性,当a＞0,且a≠1时,有①log a fx＝log a gx fx＝gxfx＞0,gx＞0；②当a ＞1时,log a fx ＞log a gx ⇔fx ＞gxfx ＞0,gx ＞0；③当0＜a ＜1时,log a fx ＞log a gx ⇔fx ＜gxfx ＞0,gx ＞0．2常见的对数不等式有三种类型：①形如log a fx ＞log a gx 的不等式,借助函数y ＝log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．②形如log a fx ＞b 的不等式,应将b 化为以a 为对数的对数式的形式,再借助函数y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a fx ＞log b gx 的不等式,基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值,利用对数函数的单调性来脱去对数符号,同时应保证真数大于零,取交集作为不等式的解集．④形如f log a x ＞0的不等式,可用换元法令t ＝log a x ,先解ft ＞0,得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．例9－1解下列不等式：11177log log (4)x x >-；2log x 2x ＋1＞log x 3－x ．解：1由已知,得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．2当x＞1时,有21>3,21>0,3>0,x xxx+-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x＜3；当0＜x＜1时,有21<3,21>0,3>0,x xxx+-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33x x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．例9－2若22log3a⎛⎫⎪⎝⎭＜1,求a的取值范围．解：∵22log3a⎛⎫⎪⎝⎭＜1,∴－1＜2log3a＜1,即12log log log3a a aaa<<．1∵当a＞1时,y＝log a x为增函数,∴123aa<<．∴a＞32,结合a＞1,可知a＞32．2∵当0＜a＜1时,y＝log a x为减函数,∴12>>3aa．∴a＜23,结合0＜a＜1,知0＜a＜23．∴a的取值范围是230<<>32a a a⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．10．对数型函数单调性的讨论1解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1,当底数未明确给出时,则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．2关于形如y＝log a fx一类函数的单调性,有以下结论：函数y＝log a fx的单调性与函数u＝fxfx＞0的单调性,当a＞1时相同,当0＜a＜1时相反．例如：求函数y＝log23－2x的单调区间．分析：首先确定函数的定义域,函数y＝log23－2x是由对数函数y＝log2u和一次函数u＝3－2x复合而成,求其单调区间或值域时,应从函数u＝3－2x的单调性、值域入手,并结合函数y＝log2u的单调性考虑．解：由3－2x＞0,解得函数y＝log23－2x的定义域是错误!．设u＝3－2x,x 错误!,∵u＝3－2x在错误!上是减函数,且y＝log2u在0,＋∞上单调递增,∴函数y＝log23－2x在错误!上是减函数．∴函数y＝log23－2x的单调减区间是错误!．例10－1求函数y＝log a a－a x的单调区间．解：1若a＞1,则函数y＝log a t递增,且函数t＝a－a x递减．又∵a －a x ＞0,即a x ＜a ,∴x ＜1．∴函数y ＝log a a －a x 在－∞,1上递减．2若0＜a ＜1,则函数y ＝log a t 递减,且函数t ＝a －a x 递增．又∵a －a x ＞0,即a x ＜a ,∴x ＞1．∴函数y ＝log a a －a x 在1,＋∞上递减．综上所述,函数y ＝log a a －a x 在其定义域上递减．析规律 判断函数y ＝log a fx 的单调性的方法 函数y ＝log a fx 可看成是y ＝log a u 与u ＝fx 两个简单函数复合而成的,由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是,在求复合函数的单调性时,首先要考虑函数的定义域,即“定义域优先”．例10－2已知fx ＝12log x 2－ax －a 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数,求a 的取值范围．解：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数fx 的递增区间,说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间,由于是对数函数,还需保证真数大于0．令ux ＝x 2－ax －a ,∵fx ＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数,∴ux 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是减函数,且ux ＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立．∴1,2210,2a u ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a a a ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩ ∴－1≤a ≤12． ∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． 11．对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：1求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判断f －x 与fx 或－fx 是否相等；2当f －x ＝fx 时,此函数是偶函数；当f －x ＝－fx 时,此函数是奇函数；3当f －x ＝fx 且f －x ＝－fx 时,此函数既是奇函数又是偶函数；4当f －x ≠fx 且f －x ≠－fx 时,此函数既不是奇函数也不是偶函数．例如,判断函数fx＝log )a x x ∈R ,a ＞0,且a ≠1的奇偶性．解：∵f －x ＋fx ＝＝log )a x＋log )a x＝log a x 2＋1－x 2＝log a 1＝0,∴f－x＝－fx．∴fx为奇函数．例11已知函数fx＝1log1axx+-a＞0,且a≠1．1求函数fx的定义域；2判断函数fx的奇偶性；3求使fx＞0的x的取值范围．分析：对于第2问,依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第3问,利用函数的单调性去掉对数符号,解出不等式．解：1由11xx+-＞0,得－1＜x＜1,故函数fx的定义域为－1,1．2∵f－x＝1log1axx-+＝1log1axx+--＝－fx,又由1知函数fx的定义域关于原点对称,∴函数fx是奇函数．3当a＞1时,由1log1axx+-＞0＝log a1,得11xx+-＞1,解得0＜x＜1；当0＜a＜1时,由1log1axx+-＞0＝log a1,得0＜11xx+-＜1,解得－1＜x＜0．故当a＞1时,x的取值范围是{x|0＜x＜1}；当0＜a＜1时,x的取值范围是{x|－1＜x＜0}．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液pH的变化规律、航天问题等,可以用对数函数模型来研究．此类题目,通常给出函数解析式模型,但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：1审题：弄清题意,分清条件和结论,抓住关键的词和量,理顺数量关系；2建模：将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,求出函数解析式模型中参数的值；3求模：求解函数模型,得到数学结论；4还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．由此看,直接给定参数待定的函数模型时,利用待定系数法的思想,代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后,还利用模型来研究一些其他问题．代入法、方程思想、对数运算性质,是解答此类问题的方法精髓．例12我国用长征二号F型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船,实现了中国历史上第一次的太空漫步,令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家其中,翟志刚完全出舱,刘伯明的头部和手部部分出舱．在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y单位：km/s关于燃料重量x单位：吨的函数关系式为y＝k ln m＋x－k＋4ln 2k≠0,其中m是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．－1m吨时,火箭的最大速度是4 km/s．1求y＝fx；2已知长征二号F型运载火箭的起飞重量是吨箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料,火箭的最大速度为8 km/s,求装载的燃料重量e＝,精确到．解：1由题意得当x－1m时,y＝4,则4＝k ln m－1m－k＋4ln 2,解得k＝8．所以y＝8ln m＋x－＋4ln 2,即y＝8ln m xm+．2由于m＋x＝,则m＝－x,令479.888ln479.8x=-,解得x≈．故火箭装载的燃料重量约为吨．。
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对数函数y=logax
a＞1 图 象 性 质
y
0 (1,0) x
(a＞0,a≠1) 的图象与性质
0＜a＜1
y
0 (1,0) x
定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R 过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
当x>1时，y>0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y<0
0
1 3.4 8.5
x
∵3.4<8.5
∴ log23.4< log28.5
∴ log23.4< log28.5
比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 (2)解法1：画图找点比高低 解法2：构造函数y=log 0.3 x ,
小
结
0<a<1时为减函数）
２.比较真数值的大小；
３.根据单调性得出结果。
比较下列各组中，两个值的大小： •（3） loga5.1与 loga5.9
解: ①若a>1则函数在区间（0，+∞）上是增函数；
∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 < loga5.9 ②若0<a<1则函数在区间（0，+∞）上是减函 数； ∵5.1<5.9
提示 : log aa＝1 提示: log a1＝0
(3)巩固练习:P73
T3
注意:利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小.当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入 一个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大 小
一、对数函数的定义; 二、对数函数的图象和性质;
三、比较两个对数值的大小.
比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解法1：画图找点比高低 解法2：利用对数函数的单调性 y log2 x 构造函数y=log 2 x , y log28.5 ∵a=2 > 1, log23.4 ∴函数在区间（0，+∞） 上是增函数；
当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y>0
比较两个对数值的大小.
㈠ 若底数为同一常数,则可由对数 函数的单调性直接进行判断. ㈢ 若底数、真数都不相同,则常借 助1、0、－1等中间量进行比较
(1)作业 Ⅰ 熟记对数函数
连 线
X y=log2x
y
2 1
0
11 42
1/4 1/2 -2 -1
1 0
2 1
4 2
….. …
1
2
3
4
x
-1 -2
作y=log0.5x图像 列 y log2 x 表
y
2
x
1/4
-2 2
1/2
-1 1
1
0 0
2
1 -1
4
2 -2
y log1 x
2 1
0
11 42
描 点 连 线
1
2
3
4
x
-1 -2
∵a=0.3< 1,
∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；
∵1.8<2.7
∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
小结
比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 比较两个同底对数值的大小时: １.观察底数是大于1还是小于1（ a>1时为增函数
⑵ ∵log3π＞log31＝0 log20.8＜log21＝0 ∴ log3π＞log20.8
注意:利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小.当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入 一个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大 小
⑴
比较下列各组中两个值的大小: log 67 , log 7 6 ; ⑵ log 3π , log 2 0.8 .
的图象和性质
Ⅱ P74.习题2.2
7，8
的图象与性质
a＞1 图 象 性 质
0＜a＜1
( 0,+∞) 定义域 : 值 域 : R (1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0 过定点
在(0,+∞)上是 增函数 当x>1时， y>0 当x=1时， y=0 当0<x<1时，y<0
在(0,+∞)上是 减函数 当x>1时， y<0 当x=1时， y=0 当0<x<1时，y>0
这两个函 数的图象 有什么关 系呢？
关于x轴对称
(3)根据对称性（关于x轴对称）已知 f ( x) log3 x 的图象，你能画出 y 1
f ( x) log1 x 的图象吗？
3
o
1
x
(4)当 0<a<1时与a>1时的图象又怎么画呢?
jihehuaban
对数函数y=logax (a＞0,且a≠1)
2.2.2
第一课时 对数函数的概念与图象
本节课的学习预告：
1.对数函数的定义
2.画出对数函数的图象 3.对数函数性质与应用
考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗 址上死亡的残留物，利用 t log P
估计出土文物或古遗址的年代。
5730
1 2
t 能不能看成是 P 的函数？
根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14 含量P，通过对应关系 t log P ，都有唯
∴ loga5.1 > loga5.9
注意：若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论
即0<a<1 和 a > 1
⑴
比较下列各组中两个值的大小: log 67 , log 7 6 ; ⑵ log 3π , log 2 0.8 .
提示 : log aa＝1 提示: log a1＝0
解: ⑴∵log67＞log66＝1 log76＜log77＝1 ∴ log67＞log76
5730
1 2
一确定的年代 t 与它对应，所以，t 是P的函数。
一般地，函数y = loga x (a＞0,且 a≠ 1)叫做对数函数.其中 x是自变量, 函数的定义域是（ 0 , +∞）
求下列函数的定义域：
想 （1）{x|x≠0}（2）{x|x<4} ？
(2) y loga (4 x) (1) y loga x 2 想 为什么函数的定义域是(0,＋∞)？ 1 1 (3) y 一log 7 ( 4) y 即真数大于0？ x 1 log x
3
(3){x|x>1} (4){x|x>0且x≠1}
巩固练习（1）:P73方框练习T2
对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
在同一坐标系中用描点法画出对数函数
y log2 x和y log1 x 的图象。
作图步骤:
2
①列表,
②描点,
③连线。
作y=log2x图象
列 表 描 点