点和直线对称问题
与直线有关的对称问题
与直线有关的对称问题山东 杨道叶一、知识精析1．关于直线对称的点若两点111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称，则线段12PP的中点在对称轴l 上，而且连结1P 、2P 的直线垂直于对称轴l ，由方程组 12121212022x x y y A B C y y Bx x A⎧++⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨-⎪=⎪-⎩可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标222(,)P x y （其中120,A x x ≠≠）。
2．关于直线对称的两条直线此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决。
若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l 上，然后再求出1l 上任一个已知点1P 关于对称轴l 对称的点2P ，那么经过交点及点2P 的直线就是2l ；若已知直线1l 与对称轴l 平行，则与1l 对称的直线和1l 到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出1l 的对称直线。
3．点关于特殊直线对称点的坐标例1 求与点(3,5)P 关于直线l ：320x y -+=对称的点/P 的坐标。
分析：设点/P 的坐标为00(,)x y ，则直线l 为/PP 的垂直平分线，所以/PP l ⊥，/PP 的中点M 在l 上，列出关于0x ，0y 的方程组，求解即可。
解析：设/00(,)P x y ，则/0053PP y k x -=-，/PP 的中点0035,22x y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭。
∴0000511333532022y x x y -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪-⨯+=⎪⎩，解得0051x y =⎧⎨=-⎩， ∴点/P 的坐标为()5,1-。
评注：另解为：先求出过点(3,5)P 与l 垂直的直线/PP 的方程，解/PP 与直线l 的方程组成的方程组，求得交点M 的坐标，再运用中点坐标公式求出点/P 的坐标。
例2 求直线a ：240x y +-=关于直线l ：3410x y +-=对称的直线b 的方程。
点 ,线关于直线对称问题
13 13
13
A(33 , 9 ) ； 13 13
例 2 已知点 A(x0 , y0 ) ，（1）求 A 关于直线 x y c 0 的对称点坐标；（2）求 A 关
于直线 x y c 0 的对称点坐标；
解（1）设对称点 B(x1, y1) ，则由求对称点公式得：
x1 x0 1 2(x0 y0 c) y0 c ， y1 y0 1 2(x0 y0 c) x0 c ，
2
2
2
2
所以对称点是 ( y0 c,x0 c) ；
（2） x1 x0 1 2(x0 y0 c) y0 c ， y1 y0 1 2(x0 y0 c) x0 c
2
2
2
2
即对称点是： ( y0 c, x0 c) ；
二 圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
对于此类问题有第一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1） 和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生，下面举例说明：
产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.
上有不同两点关于这条直线对称.
解：设存在两点 A（x1,y1）、B(x2,y2)关于 l 对称，中点为 C（x,y），则
3x12＋4y12=12,
3x22＋4y22=12,
得
y1－y2 x1－x2
=－
3(x1＋x2) 4(y1＋y2)
=－
3x 4y
=－
1 4
,
∴ y=3x.
联立 y=4x＋m,解的 x=－m,y=－3m,
一 点关于直线的对称点的一种公式求法
结论：设直线 l : ax by c 0 ，（ a 、 b 至少有一个不为 0），点 A(x0 , y0 ) 关于直线 l 的
点和直线对称问题
·P
x
法一： l2上的任意一点的对称点在l 1上; 法二： l1∥l2 ,点斜式；
法三： l1∥l2点P到两直线等距。
练习:直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)的对 称直线方程
.
四、直线关于直线对称
例4. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线l2:3x-y-1=0
对称的直线l 的方程。
解： 7x+y+6=0
C、3x-4y+5=0
D、-3y+4x-5=0
五、反射问题
例5.光 线 通A（ 过2， 4） ， 经 过l直 ：2x线 y70 反 射 ， 若 反 射 线B（ 通 5， 8） 过， 点求 入 射 线 和 反 所在的直线. 方程
y-4 2 ·2=-1
A′ (10，-2) y
x-2 y+4 2·2 - 2 -7=0
.
二、点关于直线对称
例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方
程为3x+y-2=0,求点A关于直线l 的
对称点A’的坐标。
y-4
-3· x-(-4) =-1
解： 3·-42+x +
4+y
A·
2 -2=0
解题要点： k • kAA’ = -1 O
AA’中点在l 上
y
·A′ (x，y)
(2，6)
点P（x,y）关于a,点 b）（ 对称的点_(的 2_a _坐 x_,2b _标 _y_)
点 P（ x,y）关于 yx直 对线 称的点_(的 _ y, _ x)坐 __ 点 P（ x,y）关于 y直 x对线 称的点 (__ y的 ,_x_ )坐 _
点 P（ x,y）关于 yx直 m 对 线称的点 (y_m _的 ,x __ m 坐 )_ 点 P（ x,y）关于 y直 xm 对 线称的( 点 y_m _的 , _x _m 坐
常见的对称问题及求解方法
常见的对称问题及求解方法一、中心对称1、点关于点的对称，可以利用中点坐标公式求解例1、已知点(5,6)A 和点(1,2)B ，求点A 关于点B 的对称点A '。
解：设(,)A x y '，由题意可知点B 为点A 与点A '的中点，即有512622x x +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 解得32x y =-⎧⎨=-⎩所以点A '的坐标为(3,2)A '--。
2、直线关于点的对称，可以利用点到直线的距离来求解例2、已知直线:210l x y ++=和点(1,2)A ，求直线l 关于点A 对称的直线l '。
分析：l '与l 互相平行，且点A 到直线l '的距离等于点A 到直线l 的距离 解：设直线l '的方程为：20(1)x y m m ++=≠，则有|= 解得11m =-或1m =（舍）所以直线l '的方程为：2110x y +-=。
3、图形关于点的对称，可以转化为点关于点的对称来求解例3、求曲线1C 22231x y +=的图象关于点(1,1)A 对称的曲线2C 的解析式。
解：在曲线2C 上任取一点(,)P x y ，则它关于点(1,1)A 的对称点为(2,2)Q x y --， 由点Q 在22231x y +=上可得 222(2)3(2)1x y -+-=即曲线2C 的解析式为222(2)3(2)1x y -+-=。
二、轴对称1、点关于直线的对称，可以利用垂直平分线的性质求解例4、已知直线:230l x y ++=和点(1,1)A ，求点A 关于直线l 的对称点A '的坐标。
解：设(,)A x y '，则由点A 与点A '关于直线l 对称可得，A A l '⊥，且点A 与点A '的中点 在直线l 上。
故有11()1121123022y x x y -⎧⋅-=-⎪⎪-⎨++⎪+⋅+=⎪⎩ 解得75195x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以点A '的坐标为719(,)55A '--。
函数的点对称和线对称问题
函数的点对称和线对称问题对称问题是中学数学中常见的一类问题，抽象函数的对称问题是其中的重要组成部分。
函数的对称问题又分为点对称问题和直线对称问题，下面，谈谈这两种对称问题。
一、点对称问题所谓点对称问题，即：中心对称问题，其具体表现形式为：1、若函数恒满足，则函数的图象关于点对称。
2、若函数的定义域为R，且是奇函数，则函数的图象关于点对称。
3、函数与函数的图象关于点对称。
例1、与直线关于点对称的直线的方程是（）解析：对于直线，可以看作是函数，则其关于点对称的函数为，即：，故应选（A）。
例2、定义域为R的函数恒满足，当>2时，单调递增，如果，则有，那么的值为（）解析：由，得即：函数的图象关于点（2，0）对称。
又当>2时，单调递增,所以函数的图象在定义域为R也单调递增，且又因，有则、中必有一个大于2，一个小于2，设小于2，则大于2，,由单调性得所以，应选（C）。
二、直线对称问题所谓直线对称问题，即：轴对称问题，其具体表现形式为：以下函数的定义域都为R1、函数与函数的图象关于轴对称。
2、函数与函数的图象关于轴对称。
3、函数与函数的图象关于直线对称。
4、函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称。
5、若函数对于任意的实数恒有，则函数的图象关于直线对称。
例3、若函数=任意的实数恒有，则（）解析：由对于任意的实数恒有，知二次函数的对称轴为，所以∵抛物线开口向上，在时，单调递增例4、函数=，若是偶函数，则的一个可能值是（）解析：由是偶函数，知函数的一条对称轴为轴。
⑵、定义域为R的函数满足下列三个条件：①,②对于任意的都有，③的图象关于轴对称，则下列结论中，正确的是（）⑶、定义域为R的函数满足为奇函数，当时，；那么，当时，的减区间是（）⑷、设定义域为R的奇函数，且的图象关于直线对称，则（）。
⑸、若为奇函数，为偶函数，且，则（）。
答案：⑴、（C），⑵、（B），⑶、（C），⑷、0，⑸、。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
高中数学点线对称问题(精选.)
对称问题专题【知识要点】1•点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点 坐标公式的应用问题.设尸（xo, yo ）,对称中心为A （a, b ）,则尸关于A 的对称点为P' （2”一沏，2〃一四）. 2•点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线” .利用“垂直”“平分”这两个条件建立 方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点P （xo,州）关于直线产入+〃的对称点为P'（『，>，'）,则有可求出丁、y特殊地，点尸（Xo, yo ）关于直线4〃的对称点为P' （2（1—Xo,并）；点尸（物 和）关于直线冲。
的 对称点为P' （AO ,劝一和）.3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可 选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：（1）曲线/ （x, y ） =0关于已知点A （a, b ）的对称曲线的方程是/ （2a 一大2b —y ） =0.（2）曲线/（x, >1） =0关于直线户丘+b 的对称曲线的求法：设曲线/（x, y ） =0上任意一点为尸（xo, yo ）, P 点关于直线尸H+A 的对称点为P' （x, >,）,则由（2） 知，P 与尸’的坐标满足从中解出出、yo,代入已知曲线/（x, y ） =0,应有/（加 第）=0.利用坐标代换法就可求出曲线/G, y ） =0关于直线."云+〃 的对称曲线方程.4•两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： 【典型例题】【例11求直线az 2x+y-4=0关于直线/： 3.v+4y —1=0对称的直线b 的方程.剖析：由平面几何知识可知若直线〃、％关于直线/对称，它们具有下列几何性质：（1）若“、〃相交, 则/是〃、〃交角的平分线；（2）若点A 在直线”上，那么A 关于直线/的对称点8一定在直线〃上，这时 AB_L/,并且A3的中点。
点和直线的有关对称问题
点和直线的有关对称问题摘要：对称问题是中学数学的一个重要知识点,也是近几年高考中的热点,主要有点、直线、曲线关于点和直线对称两种。
中点坐标公式或两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。
解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都可以归结为关于点的对称问题加以解决。
关键词:点；直线；中心对称；轴对称对称思想是近几年高考中的热点,它主要分为中心对称和轴对称两种,解对称问题要把握对称的实质,掌握其解题方法,提高解题的准确性和解题的速度,它主要有以下几种情况:(一)中心对称⒈点关于点对称⒉直线关于点对称例1:求直线x+y-2=0 关于点P(a,b)对称的直线方程.分析一:在已知直线上z任取两点A、B,再分别求出A、B关于P点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程.解:在直线x+y-2=0上取两点A(0,2)、B(1,1),则它们关于P(a,b)对称的点分别为A′(2a,2b-2)、B(2a-1,2b-1),由两点式得所求直线为:分析二:中心对称的两条直线是互相平行的,并且这两条直线与对称中心的距离相等.解:设所求直线方程为x+y+λ=0,则点评:方法三为相关点法,是求曲线方程的一种常用方法,可进一步推广:曲线C:f(x,y)=0关于点P(a,b)对称的曲线C′的方程为f(2a-x,2b-y)=0.特别的, 曲线f(x,y)=0关于原点对称的曲线方程为: f(-x,-y)=0.(二)轴对称⒈点关于直线对称例2:M(-1,3)关于直线:x+y-1=0的对称点M′的坐标.解二:过点M(-1,3)与直线l 垂直的直线的斜率k=1,则直线方程为x-y+4=0.设M关于直线l 的对称点为M′,则E为线段MM′的中点,由中点坐标公式知:M′的坐标为(-2,2) 解三:设M′(a,b), 线段MM′的垂直平分线上的任意一点为A(x,y).∵MA=M′A , ∴(x+1)2+(y-3)2=(x-a)2+(y-b)2这就是已知直线l的方程故点M′的坐标为(-2,2)⒉直线关于直线对称例3:⑴求直线a:2x+y-4=0关于直线l :3x+4y-1=0对称的直线b的方程.⑵求直线l1:2x-y+3=0关于直线l :2x-y+4=0对称的直线l2 的方程.分析:由平面几何知识知,若a、b关于直线l对称,则应具有以下性质:①当a、b相交时,则对称轴是a、b交角的平分线(且通过交点); 当a、b平行时,则a、b与对称轴的距离相等. ②若点A在直线a 上,则点A关于直线l的对称点B一定在直线b上,并且AB⊥l ;AB的中点在l 上.⑴解一:由2x+y-4=03x+4y-1=0得a与l的交点Ｅ为（３,２）则E(3,-2)一定在b上,设b的斜率为k,于是(三)特殊的对称关系点(a,b)关于x轴的对称点为(a,-b)；点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b)；点(a,b)关于原点的对称点为(-a,-b)；点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a)；点(a,b)关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m)；点(a,b)关于直线y=-x+m的对称点为(m-b,m-a).。
高中数学点线对称问题(精选.)
答案：B
2.曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是
A.y2=8－4x
B.y2=4x－8
C.y2=16－4x
D.y2=4x－16
解析：设曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线为 C，在曲线 C 上任取一点 P（x，y），则 P（x，y）关
于直线 x=2 的对称点为 Q（4－x，y）.因为 Q（4－x，y）在曲线 y2=4x 上，
答案：（5，6） 10.已知△ABC 的一个顶点 A（－1，－4），∠B、∠C 的平分线所在直线的方程分别为 l1：y+1=0，l2： x+y+1=0，求边 BC 所在直线的方程. 解：设点 A（－1，－4）关于直线 y+1=0 的对称点为 A′（x1，y1），则 x1=－1，y1=2×（－1）－（－ 4）=2，即 A′（－1，2）. 在直线 BC 上，再设点 A（－1，－4）关于 l2：x+y+1=0 的对称点为 A″（x2，y2），则有
即 (4 0)2 (5 3)2 =4 5 .
所以 ymin=4 5 .
12.直线 y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若 A、B 坐标分别为 A（－4，2）、B（3，1），求点 C 的坐标，并判断△ABC 的形状.
解：由题意，点 A 关于直线 y=2x 的对称点 A′在 BC 所在直线上，设 A′点坐标为（x1，y1），则 x1、y1 满足
y y0 ·k=－1， x x0
可求出 x′、y′.
y y0 =k· x x0 +b，
2
2
特殊地，点 P（x0，y0）关于直线 x=a 的对称点为 P′（2a－x0，y0）；点 P（x0，y0）关于直线 y=关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可
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反射，若反射线通过点B（5，8），求入射线和反射线
所在的直线方程.
y-4 2 ·2=-1
A′ (10，-2) y
x-2 y+4 2·2 - 2 -7=0
A′B：2x+y-18=0 l：2x-y-7=0
A· (-2，4)
·B(5，8)
P
(25／4，11／2)
AP：2x-11y+48=0
O
l
x
A′
(x，y)
点和直线——对称问题
高一数学组
一、点关于点对称
例1. 已知点A(5,8) ，B(-4 ，1) ，试求A点
关于B点的对称点C的坐标。
-4=
5+x 2
1= 8+y 2
得C(-13，-6)
y
·A
解题要点：中点坐标公式的运用 ·B
O
x
C·(x,y)
练习：点P（x，y）关于点M（a，b）的对 称点Q的坐标。
在直线 l1：2x y 4 0上取一点 A(2 ，0)，
设A关于l的对称点 B(x0，y0)
则
y0 x0
0 2
4 3
3
x0 2
2
4
y0 2
0
1
0
l2
B(
4 5
，
85)
A
o.
B
.E
x
故直线l2的方程为：y2((285) )
x3
3
4 5
即
2x 11y
16
0.
五、反射问题
例5.光线通过A（ 2，4），经过直线l：2x y 7 0
六 、最值问题
例6.已知P在x轴上，A(-3，1) ，B(7，2)且 ︱PA︱+︱PB︱最小，则P的坐标是_(1_／__3_,0_)
∣︱MA︱-︱MB︱∣最大 =∣AB∣
y
3x-10y-1=0
y=0
A·
·B(7，2)
M
O P(1／3，0) P
x
A′
(-3，-1)
练习: 已知P在x轴上，A(-3，1) ，B(5，-3)且
︱PA︱+︱PB︱最小，则P的坐标是_(_-1_，__0)
最小值是_4_√_5_
y
x+2y+1=0 y=0
M
A(-3,1)
· P (-1，0)
O
A′
x
·B(5,-3)
变式训练：在直线l:3x-y-1=0上找一 点P,使它到A(4,1),B(0,4)两点的距离 之才差最大
点P（x, y）关于点（a, b）对称的点的坐标是_(2_a___x_,_2_b y)
点P（x, y）关于直线y x对称的点的坐标是_(__y_, _x_)__ 点P（x, y）关于直线 y x对称的点的坐标是(___y_,__x__)
点P（x, y）关于直线 y x m对称的点的坐标是( y___m_,_x___m)
二、点关于直线对称
例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方
程为3x+y-2=0,求点A关于直线l 的
对称点A’的坐标。
y-4
-3· x-(-4) =-1
解：
3·-42+x +
4+y
A·
2 -2=0
解题要点： k • kAA’ = -1 O
AA’中点在l
y
·A′ (x，y)
x
l
上
例
点P（x, y）关于直线 y x m对称的点的坐标(是 y___m_,__x__ m
例2：求直线l1：2x y 4 0关于直线l：3x 4y 1 0
对称的直线l2的方程.
解法二：由
2x 3x
y40 4y 1 0
x y
3 2
l1 y
得 l1 与 l 交点E (3， 2)
l
则E(3， 2)也在直线l2上
解：设Q(x0 , y0 )
则kPQ
y0 5 x0 3
PQ的中点M（ x0 3 , y0 5）
22
y0 x0
5 3
1 3
1
x0 2
3
3
y0 2
5
2
0
解之得xy00
5 1
点Q的坐标是（5，－1）.
小结：
点P（x, y）关于x轴对称的点的坐标是_(_x_,___y_)_ 点P（x, y）关于y轴对称的点的坐标是_(__x__, _y_)_ 点P（x, y）关于原点对称的点的坐标是(___x_,__y_)_