高中数学教学论文在解析几何中求参数范围的种方法

从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景

解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。

背景之一：题目所给的条件

利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。

例1：椭圆),0(1

22

22为半焦距c b c a b

y a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点P(x , y )为其

上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。

解：设P(x 1, y )，∠F 1PF 2是钝角⇔cos∠F 1PF 2 =||||2||||||2

12

212221PF PF F F PF PF ⋅-+

222212221)(||||||0y c x F F PF PF ++⇔<+⇔<2)(c x -+2

2224y x c y +⇔<+22

22222222

2

)(x a

b a

c x a a b x c -⇔<-+⇔<)(2

222222b c c a x b c -<⇔-< 22

22b c c

a x

b

c c a -<<--

⇔。 说明：利用∠F 1PF 2为钝角，得到一个不等式是解题的关键。把本题特殊化就可以得到2000年全国高考题理科第14题：

椭圆14

92

2=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________。

（答案为 x 553(-

∈，

)5

5

3） 例2：（2000年全国高考题理科第22题）如图，已知梯形ABCD 中，AB =2CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线

过点C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。当

4

3

32≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。 解：如图，以线段AB 的垂直平分线为 y 轴。因为双曲线经过点C 、D ，且与A 、B 为焦

点，由双曲线的对称性知C 、D 关y 轴对称，依题意，记A )0,(c -，C(2

c

，h)，E(x 0，y 0), 其中c =

AB 2

1

为双曲线的半焦距，h 是梯形的高。 由定比分点坐标公式得：x 0=λλ++-12c

c =)1(2)2(+-λλc ，y 0=λλ+1h

。

设双曲线方程为22a x －22b y =1，则离心率e =a

c

。

由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和e =

a

c

代入双曲线方程得 142

2

2=-b h e ①

1)1()12(422

222=+-+-b h e λλλλ ②

由①式得142

22-=e b

h

③

将③式代入②式，整理得：2

3

1212

22+-=+-=e e e λ ∴

1074

3

231322≤≤⇒≤+-≤e e 说明：建立λ与e 的函数关系式，再利用已知λ的范围，即可求得e 的范围。 背景之二：曲线自身的范围

圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆a b

y a x (122

22=+>b>0)

中，x ,10],,[],,[<<-∈-∈e b b y a a ，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。

例3：（2002年全国高考题）设点P 到点M(－1，0)、N(1，0)距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围。

解：设点P 的坐标为(x ，y)，由题设得

2|

||

|=x y ，即y =0,2≠±x x ① 由于x 0≠，所以点P(x ，y)、M(－1，0)、N(1，0)三点不共线，得

1||02||||2||||0<<⇒=<=-

因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2m 的双曲线上，故

22

221m

y m x --=1 ②

将①式代入②，解得2

222

51)1(m m m x --=

由22m x ≥且012

>-m ，得<<⇒

>-m m 5

5

0512

55，又m 0≠

∴ )0,55(-

∈m (0, )5

5

说明：P 到x 轴、y 轴距离之比为2，所以P 不能在x 轴上，由此得到m 0≠，这一隐含条件容易忽视。

例4：（2004年全国卷Ⅲ理科21题 文科22题）设椭圆

11

22

=++y m x 的 两个焦点是F 1(－c, 0)与F 2(c, 0) (c > 0)，且椭圆上存在一点P ，使得直线PF 1与PF 2垂直。

(1)求实数m 的取值范围；

(2)设l 相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与l 相交于Q ，若32|

|2-=PF QF ，求直线PF 2

的方程。

解：(1)依题设有m ＋1>1,即m > 0，c =m ,设点P 的坐标为(x 0, y 0)，由PF 1⊥PF 2 ，得

m y x c

x y c x y =+⇒-=+⋅-202

000001 ① 将①与112020=++y m x 联立，解得x m

y m m 1,1202

0=-= 由此得

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨

⎧>≤≤+≤-≤011011

02m m m m m 1≥⇒m 故m 1[∈, +∞)

(2)答案为y =±(23-) (x-2) ( 解答略)