高中数学教学论文在解析几何中求参数范围的种方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），=-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P 在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
浅谈解析几何中最值和参数范围问题的求解策略
浅谈解析几何中最值和参数范围问题的求解策略作者：陆爱莲来源：《教育教学科研》2013年第03期作者简介：陆爱莲，2002年毕业于广西师范大学数学教育专业，大学本科学历，理学学士，同年9月至今任教于马山中学，2008年12月获得中学一级教师资格。
积极参加教研教改活动，所撰写的论文多次在省、国家级论文评选中获二、三等奖。
【摘要】：解析几何中的最值和参数范围问题是高中数学的重要内容.其主要特点是综合性强，在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角等内容.因此，在教学中应重视对数学思想、方法进行归纳提炼，如方程思想、函数思想、参数思想、数形结合的思想、对称思想、整体思想等思想方法，达到优化解题思维、简化解题过程的目的.本文通过对一些典型例题的分析和解答，归纳了解析几何中常见的解决最值和参数范围问题的思想方法，总结了解答典型例题的具体规律，并提供了一些常用的解题方法、技能与技巧。
【关键词】：解析几何最值问题参数范围求解策略解析几何中涉及最值和参数范围问题常有求面积、距离最值、参数范围问或与之相关的一些问题；求直线与圆锥曲线中几何元素的最值或与之相关的一些问题。
我们可以从两个方面来研究圆锥曲线的最值和参数范围问题，一方面用代数的方法研究几何，题中涉及较多数字计算与字母运算，对运算及变形的能力要求较高，用代数的方法解决几何；另一方面要善于从曲线的定义、性质等几何的角度思考，利用数形结合的思想解决问题。
一、代数法：借助代数函数求最值和参数取值范围的方法。
运用代数法时，先要建立“目标函数”，然后根据“目标函数”的特点灵活运用求最值。
常用的方法有： 1.配方法。
由于二次曲线的特点，所求“目标函数”的表达式常常和二次函数在某一个闭区间上的最值联系紧密，这时可对二次函数进行配方，并根据顶点的横坐标结合区间的端点确定所求函数的最值。
1、已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1。
求参数的取值范围(解析几何)
03求参数的取值范围一、基础知识：求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。
常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围① 椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例），则[],x a a ∈-，[],y b b ∈-② 双曲线：（以()22221,0x y a b a b-=>为例），则(],x a ∈-∞-（左支）[),a +∞（右支）y R ∈③ 抛物线：（以()220y px p =>为例，则[)0,x ∈+∞（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程0∆>（3）点与椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例）位置关系：若点()00,x y 在椭圆内，则2200221x y a b +< （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”()0ay x a x=+>；③ 反比例函数；④分式函数。
若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。
（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。
3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域 （2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F 、2F ()3,1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12,A A 分别是椭圆长轴的左右端点，Q 为椭圆上动点，设直线1A Q 斜率为，且11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求直线2A Q 斜率的取值范围；解：（1）c e a ==::a b c ∴= ∴椭圆方程为：222213x y b b+=代入()3,1可得：24b =22312a b ∴== ∴椭圆方程为：221124x y +=（2）由（1）可得：()()12,A A - 设(),Q x y ，则k =2A Q k22212A Q y k k x ∴⋅==- Q 在椭圆上 ()222211121243x y y x ∴+=⇒=-2221123A Q y k k x ∴⋅==--213A Q k k ∴=- 11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭12,133k ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭即22,13A Q k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭例2：已知椭圆()2222:10xy C a b a b+=>>，其左，右焦点分别是12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于,E G 两点，且2EGF 的周长为 （1）求椭圆C 的方程（2）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当25PA PB -<时，求实数t 的取值范围 解：（1）c e a ==::a b c ∴2EGF 的周长4C a a ===1b ∴=，椭圆方程为：2212x y +=（2）设直线AB 的方程为()2y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，(),P x y OA OB tOP += 1212x x txy y ty +=⎧∴⎨+=⎩联立直线与椭圆方程：()()222222212882021y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩()()()22228412820k k k ∴∆=-+->，解得：212k <()23121212222884,44212121k k kx x y y k x x k k k k k +=+=+-=-=-+++ ()()222821421k x t k k y t k ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=-⎪+⎩，代入2212x y +=可得：()()2222284222121k k t k t k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2221612k t k∴=+，由条件25PA PB -<可得：25AB <12AB x ∴-<()()22121220149k x x x x ⎡⎤∴++-<⎣⎦，代入22121222882,2121k k x x x x k k -+==++可得： ()()()222222228822014411413021219k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥+-⋅<⇒-+> ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦214k ∴> 211,42k ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，22221618=16,411232k t k k⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+262,,2t ⎛⎛⎫∴∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例3：在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，且在所有（1）求椭圆方程（2）若过点()0,2B 的直线l与椭圆交于不同的两点,E F （E 在,B F 之间），求三角形OBE与三角形OBF 面积比值的范围解：（1）c e a == ::a b c ∴由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为22b a=1,b a ∴==∴椭圆方程为2212x y +=（2）设:2l y kx =+，()()1122,,,E x y F x y112211,22OBEOBFSOB x x S OB x x ∴=⋅⋅==⋅⋅= 1122OBE OBF x S xS x x ∴== 联立直线与椭圆方程：()222221286022y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩ ()()22238241202k k k ∴∆=-+>⇒>12122286,01212k x x x x k k +=-=>++ 12,x x ∴同号 ()()22221212212212832122631212k x x x x k k x x x x k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭∴===++++232k > ()22232321164,1333122k k k ⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+，122116423x x x x <++< 设120x t x =>，所解不等式为：124111612333t t tt t t ⎧++>⇒≠⎪⎪⎨⎪++<⇒<<⎪⎩()121,11,33x x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，即()1,11,33OBE OBF S S ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>，直线:2l y x =+与以原点为圆心，椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆1C 的方程（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程 （3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点,R S 在2C上，且满足0QR RS ⋅=，求QS 的取值范围解：（1）c e a a==⇒= :2l y x =+与圆222x y b +=相切，O l d b -∴==b ∴=3a c =，22222b a c c ∴=-=即21c =，解得1c =a ∴，221:132x y C ∴+=（2）由（1）可得1:1l x =- 线段2PF 的垂直平分线交2l 于点2PM MF ∴=，即12M l d MF -=M ∴的轨迹为以2F 为焦点，1l 为准线的抛物线，设为()220y px p =>()21,0F 2p ∴= 22:4C y x ∴=（3）思路：由已知可得()0,0Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则所求QS 为关于2y 的函数，只需确定2y 的范围即可，因为0QR RS ⋅=，所以有可能对2y 的取值有影响，可利用此条件得到2y 关于1y 的函数，从而求得2y 范围。
解析几何中参数取值范围问题（精）
解析⼏何中参数取值范围问题（精）解析⼏何中参数取值范围问题⼀．学习⽬标：1、掌握求参数取值范围的基本思路与⽅法，会解决⼀些简单的求参数取值问题；2、了解双参数问题的求解思路。
⼆．思想⽅法技巧1．利⽤数形结合思想求解：挖掘参数的⼏何意义，转化为直线斜率、距离等问题求解； 2．通过建⽴参数的不等式求解：（1）利⽤题设中已有的不等关系建⽴不等式；（2）利⽤判别式建⽴不等式（3）利⽤图形特征建⽴不等式 3．双参数问题求解策略：建⽴参数的不等式、⽅程的混合组，通过消元转化为⼀元不等式，或转化为求函数值域问题求解。
4、分类讨论思想的运⽤三．基础训练1．已知两点A （－3，4）．B （3，2），过点P （2，－1）的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．[1,3]-B ．(1,3)-C ．(,1][3,)-∞-?+∞D ．(,1)(3,)-∞-?+∞2．直线y kx =与双曲线221169x y -=不相交，则k 的取值范围是 3．已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）（A ）），（2222-（B ）），（22-（C ）），（4242-（D ）），（8181-⼆．典型例题1．若直线y=x+b 与曲线21y x -=恰有⼀个公共点,则有b 的取值范围是。
2．双曲线1422=+ky x 的离⼼率为e ，且e ∈(1，2)则k 的范围是________。
3．若直线y x b =+与曲线224(0)x y y +=≥有公共点，则b 的取值范围是（）A ． [2,2]-B ． [0,2]C ．D ． [-4．直线y=kx －2与焦点在x 轴上的椭圆1522=+my x 恒有公共点，求m 的取值范围5．已知椭圆C ：2214x y += 和直线:2l y x m =+，椭圆C 上存在两个不同的点A 、B 关于直线l 对称，求m 的取值范围三．巩固练习1．若平⾯上两点A （-4，1），B （3，-1），直线2+=kx y 与线段AB 恒有公共点，则k 的取值范围是。
解析几何中求参数取值范围的方法(精)
解析几何中求参数取值范围的方法近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。
学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。
那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x 1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF•FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ<ARCTAN4< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 ( )A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<A<2< p>分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )二、利用判别式构造不等式在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )A [-12 ,12 ]B [-2,2]C [-1,1]D [-4,4]分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)由得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<K<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)<0;若P在曲线外，则f(x0,y0)>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
解析几何中的取值范围问题
解析几何中的取值范围问题
在解析几何中，取值范围问题是非常重要的一个部分。
一般来说，我们需要根据题意来确定自变量的取值范围，进而求解函数的值域或图像。
下面是一些常见的取值范围问题的解决方法:
1. 明确函数的定义域：在求解函数值域时，我们需要明确函数的定义域。
通常情况下，函数的定义域是求解域的子集，但也可能会出现定义域不包含求解域的情况。
2. 分析函数的导数：在求解函数值域时，我们可以利用函数的导数来确定其值域。
一般情况下，函数的导数在区间端点处取值为零，但在一些特殊情况下，导数可能不为零。
3. 利用不等式来确定取值范围：在解析几何中，我们经常利用不等式来确定自变量的取值范围。
例如，利用均值不等式、柯西不等式、排序不等式等。
4. 利用几何图形来确定取值范围：在解析几何中，几何图形是非常重要的一部分。
我们可以通过几何图形来直观理解自变量的取值范围，进而求解函数的值域或图像。
在实际应用中，取值范围问题是非常常见的。
因此，我们需要熟练掌握各种取值范围问题的解决方法，并能够灵活运用这些方法来解决实际的问题。
拓展:
在解析几何中，还有一种非常重要的取值范围问题，那就是参数方程的取值范围问题。
一般来说，参数方程的取值范围取决于参数的取值。
我们需要根据题意来确定参数的取值范围，进而求解参数方程的值域或图像。
在求解参数方程的值域或图像时，我们可以利用参数方程的导数和不等式等方法来确定其取值范围。
也谈解析几何中参数取值范围的求解方法
２ 借 助方 程 ， 定参数 的取值 范 围 确
的综 合性 问题 ， 内涵 丰 富 ， 培养 和考 查 学生 能力 是
的 良好 素 材 ， 是 高考 命题 的热点 ． 生对 此往 往 也 学 感到 比较 困惑 ． 笔者 的教 学 实践 ， 据 浅谈 解 此类 问 题 的几 种 常用 策略 ．
ｒ ＞ Ｏ △ ’
即
ｊ ＜解 １ ＜ 。得＜ 厄
Ｉ 素 ＞０ 『 二 ’
，ｒ ） ｚ一 ，忌
Ｉ Ｂ Ｉ （ ＋ ） （ ｌ ＝ １ 。Ｅｘ ＋ ２ Ａ ） 一４ １２ ｘ ｚ ］一 ９ ，
所 ４ 一 ６ ［，］ 以６ 一 忌又 ∈舌导， ，
所 以 ７≤ ｒ 一 忌 ≤ ９ 。 ，
鍪 置 系构 关 参 的 数 并 定 定 域 范 为音号，求 线 Ｂ 斜 角 的 值 Ｉ 关 ，造 于 数 函 ，确 其 义 ， 围 ［，］ 直 Ａ 的 率 ａ 取 试
荔 问转 为 数 域 求 ． Ｉ 题化函值的解 将
学Ｉ
例 １ 直线Ｙ ｘ 与双曲线ｚ一Ｙ一１ —ｋ ＋１
数 的取 值范 围． 例 ２ 长 为 ３的线段 Ａ 的两端 点在 抛 物线 Ｂ
１ 借 助 函 数 。 足 参 数 的 取 值 范 围 确
雅
根 圆 曲 的 何 质 与 锥曲 的 据 锥 线 几 性 或 圆 线 位
Ｙ— ｚ 一 １ 移动 ， 直线 ＡＢ在 轴 上 截距 ６的 上 若
２ 借 助不等 式 ， 定 参数 的取 值范 围 确 根据 圆锥 曲线 的几何 性 质及 题 目中 内涵 挖 掘
２ 。＋ 忌＋ ２ 忌
—
２ 足一 ｚ＋ １ （ １） ７‘
因 为 ｋ∈ （ ， １
，
不等 量关 系构 造参 数 的 不 等 式 ， 利 用 题 目中明 或 显 的不等 量关 系 ， 问题 转 化为 解不 等 式． 将
解析几何中有关参数范围问题的求解策略
由 ＝（ ｆ ＋ １ ｙ
ｙ －＋ ＝ｘｍ 得 到关于 Ｘ的一元二次方程 利用 Ａ＝ 得 ｍ＝ ． 上所得 ， ２ ／ ＋ ≤ｍ＜２ ／ ＋ Ｏ ６综 一 、 １ 、 １
戥 ｍ
ｙ
Ｊ
２ ＝ ２ 从 而 弦 Ａ 的 中点 Ｍ （ ｃ ｋ一 ｃ， Ｂ
， ）， 此 及 一 由
问题 的 求解 策 略
高 瑞 芳
（ 西 煤化 高级 技 Ｔ学 校 ， 汾 山西 介 休
设Ｂ Ｃ Ｃ、 Ａ这两条直线的斜率分别为 ｋ 、２ １ ｋ ，则由斜 率的 摘 要： 针对技 校学生 的特 点 ， 运用函数思想 、 方程 思想 、 定义可知 ， 直线 ｎ） ｙ ２ ０的斜率 ｋ应满足 ｋ １或 ｋ １＋ ＋ ＝ （ ≥ｋ ≤
点Ｍ 直 上 一 一 ｋ 孚 一ｊ ｃｋ，２ 在 线１得：ｋ １ （Ｚ １ ２ ３ ， 下 ＝ ） — － ＿ ｃ Ｋ ｋ ＋
代入 （）式得 ：２ （３ｋ ２ ＞０ １ ｋ—２ｋ－ ＋ ） ｊ 一
１
一
＜ ｋ ２ ０ ＋ ）
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、
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＿一 ＼
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２ ＋） ｋ ２＜０，
一
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运用数形结合探求参数范围
３已 】 知抛物线的顶点在原点， 以双曲 善 线ｘ 一
＝ １的左 准线 为 准线 。
【 Ｉ为 值 ， 线 ＝ ＋ 与 椭 斋 ＋ 例１ 何 时 直 ｙ ｘ 半 圆 ａ ｒ －ｍ
； ＝ （ ） １ｙ 只有一个公共点？ ≥１
分析 ： 因为椭圆 立 ＋ ２ ０
ｃ
数形结合思想等方法进行讲授 ， 是提高解析 几何 教学质量 的一种手段。
Ｊ
ｋ ，． （２３ （ ２． １ ÷ ｋ － ２ 。 一 ，）Ｂ３ ）． ＝ 。 Ａ ， 。 ｋ ２ ÷ ＝
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从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。
由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。
背景之一：题目所给的条件利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。
这是求范围问题最显然的一个背景。
例1：椭圆),0(12222为半焦距c b c a by a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点P(x , y )为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。
解：设P(x 1, y )，∠F 1PF 2是钝角⇔cos∠F 1PF 2 =||||2||||||212212221PF PF F F PF PF ⋅-+222212221)(||||||0y c x F F PF PF ++⇔<+⇔<2)(c x -+22224y x c y +⇔<+22222222222)(x ab ac x a a b x c -⇔<-+⇔<)(2222222b c c a x b c -<⇔-< 2222b c ca xbc c a -<<--⇔。
说明：利用∠F 1PF 2为钝角，得到一个不等式是解题的关键。
把本题特殊化就可以得到2000年全国高考题理科第14题：椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________。
（答案为 x 553(-∈，)553） 例2：（2000年全国高考题理科第22题）如图，已知梯形ABCD 中，AB =2CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过点C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。
当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。
解：如图，以线段AB 的垂直平分线为 y 轴。
因为双曲线经过点C 、D ，且与A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关y 轴对称，依题意，记A )0,(c -，C(2c，h)，E(x 0，y 0), 其中c =AB 21为双曲线的半焦距，h 是梯形的高。
由定比分点坐标公式得：x 0=λλ++-12cc =)1(2)2(+-λλc ，y 0=λλ+1h。
设双曲线方程为22a x －22b y =1，则离心率e =ac。
由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和e =ac代入双曲线方程得 14222=-b h e ①1)1()12(422222=+-+-b h e λλλλ ②由①式得14222-=e bh③将③式代入②式，整理得：23121222+-=+-=e e e λ ∴10743231322≤≤⇒≤+-≤e e 说明：建立λ与e 的函数关系式，再利用已知λ的范围，即可求得e 的范围。
背景之二：曲线自身的范围圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆a by a x (12222=+>b>0)中，x ,10],,[],,[<<-∈-∈e b b y a a ，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。
例3：（2002年全国高考题）设点P 到点M(－1，0)、N(1，0)距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围。
解：设点P 的坐标为(x ，y)，由题设得2||||=x y ，即y =0,2≠±x x ① 由于x 0≠，所以点P(x ，y)、M(－1，0)、N(1，0)三点不共线，得1||02||||2||||0<<⇒=<=-<m MN m PN PM因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2m 的双曲线上，故22221my m x --=1 ②将①式代入②，解得222251)1(m m m x --=由22m x ≥且012>-m ，得<<⇒>-m m 55051255，又m 0≠∴ )0,55(-∈m (0, )55说明：P 到x 轴、y 轴距离之比为2，所以P 不能在x 轴上，由此得到m 0≠，这一隐含条件容易忽视。
例4：（2004年全国卷Ⅲ理科21题 文科22题）设椭圆1122=++y m x 的 两个焦点是F 1(－c, 0)与F 2(c, 0) (c > 0)，且椭圆上存在一点P ，使得直线PF 1与PF 2垂直。
(1)求实数m 的取值范围；(2)设l 相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与l 相交于Q ，若32||2-=PF QF ，求直线PF 2的方程。
解：(1)依题设有m ＋1>1,即m > 0，c =m ,设点P 的坐标为(x 0, y 0)，由PF 1⊥PF 2 ，得m y x cx y c x y =+⇒-=+⋅-202000001 ① 将①与112020=++y m x 联立，解得x my m m 1,12020=-= 由此得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤+≤-≤01101102m m m m m 1≥⇒m 故m 1[∈, +∞)(2)答案为y =±(23-) (x-2) ( 解答略)背景之三：二次方程有解的条件直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确定参数取值范围的一个常见背景。
例5：（全国高考题）给定双曲线x ２－22y = 1，过点B(1，1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于P 1及P 2，且点B 是线段P 1P 2的中点这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。
解：画出图像知，当直线斜率不存在时，满足题设条件的l 不存在。
当直线l 斜率存在时，设为k ，则l 方程为y = k (x －1)＋1，联立1222=-y x ，得032)22()2(2222=-+--+-k k x k k x k 。
设,22222,12),,(),,(2221222111=⇒=--=+k k kk x x y x P y x P 即则此时 002,0)32)(2(4)22(22222>∆≠-<-+----=∆且不满足k k k k k k 。
故满足已知条件的直线l 不存在。
例6：（2004年湖北省高考题理科20题 文科20题）直线1:+=kx y l 与双曲线12:22=-y x C 的右支交于不同的两点A 、B 。
(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过曲线C 的右焦点F 若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。
解：(1)将直线1+=kx y 代入双曲线方程，并整理得022)2(22=++-kx x k 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-022220)2(8)2(0222222k k k k k k 22-<<-⇒k(2)答案是存在566+-=k 满足题设。
说明：问题(1)涉及到直线与双曲线右支相交的问题，转化为方程有不等 的两正根，由方程根的分布的充要条件建立不等式组即可。
背景之四：已知变量的范围利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。
1、双参数中知道其中一个参数的范围；例7：（2004年浙江省高考题理科21题 文科22题）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1, 0)，点P 、Q 在双曲线的右支上，点M(m, 0)到直线AP 的距离为1。
(1)若直线AP 的斜率为k ，且]3,33[||∈k ，求实数m 的取值范围； (2)当12+=m 时，APQ ∆的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程解：(1)由条件知直线AP 的方程为0),1(=---=k y kx x k y 即，因为点 M 到直线AP 的距离为1，所以22211||1|1|11||kk k m k k mk +=+=-⇒=+-。
∵]3,33[||∈k ∴33211313322|1|332-≤≤-≤≤+⇒≤-≤m m m 或 故]3,3321[]3321,1[+--∈ m (2)答案是1)122(22=--y x （解答略）例8：（2004年全国高考卷Ⅱ理科21题）给定抛物线x y C 4:2=，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。
(1)设l 的斜率为1，求OB OA 与的夹角的大小；(2)设]9,4[,∈=λλ若AF FB ，求l 在y 轴上截距m 的变化范围。
解：(1)答案为41143arccos-π（解答略）。
(2)F(1, 0), 设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), 由题设AF FB λ=, 得),1(),1(1122y x y x --=-λ，即⎩⎨⎧-=-=-21)1(11212y y x x λλ由得②得21222y y λ= ∵2221214,4x y x y == ∴122x x λ=③联立①、③解得λ=2x ，依题意有0>λ∴)0,1(),2,(),2,(F B B 又或λλλλ-得直线l 方程为：)1(2)1(),1(2)1(--=--=-x y x y λλλλ或当]9,4[∈λ时，方程l 在y 轴上的截距1212--=-=λλλλm m 或。
由1212)1)(1(2)1(212-++=-++-=-λλλλλλλ，可知在]9,4[上是递减的。
∵]9,4[∈λ ∴43343443-≤≤-≤≤m m 或。
故直线l 在y 轴上截距m 的变化范围是]34,43[]43,34[ --。
说明：例7和例8都是已知一个变量的范围求另一变量的范围，可先利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围。
这类背景也可归结为背景一。
2、双参数中的范围均未知例9：（2004年全国卷Ⅰ文2 理21）设双曲线)0(1:222>=-a y ax C 与直线1:=+y x l 相交于不同的点A 、B 。
(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围； (2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且125=，求a 的值。
解：(1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=-11222y x y a x 有两个不同的实数解，消去y 并整理得：022)1(2222=-+-a x a x a由1200)2)(1(4)2(0122222≠<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>---=∆≠-a a a a a a 且∴双曲线的离心率11122+=+=aa a e ∵120≠<<a a 且∴226≠>e e 且 故),2()2,26(∞+∈ e (2)略说明：先求出a 的范围，再建立e 与a 的函数关系式，即可求出e 的范围。