任意角和弧度制练习题(含答案)教学内容
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以1 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(1)求经过1 s 后，∠BOA的弧度；(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．【答案】（1）＋2.（2）s【解析】解：(1)经过1 s 后，∠BOA的弧度为＋2.(2)设经过t s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋1)＋＝2π，所以t＝，即经过s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇．3.设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．【答案】四【解析】由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋ (k∈Z)，kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin知sin<0，所以只能是第四象限角．4.点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A．(－，)B．(－，－)C．(－，－)D．(－，)【解析】设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cosα，y＝sinα，∴x＝－，y＝，∴Q点的坐标为(－，)．5.已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．【答案】sinα＝－，tanα＝【解析】解：∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.6. [2014·潍坊质检]已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－，则m等于()A．－B．C．－4D．4【答案】C【解析】cosα＝＝－ (m<0)，解之得m＝－4，选C项．7.角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为角终边上有一点，所以因此即角的终边上的点在第三象限，所以选C.【考点】三角函数定义8.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.9.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.10.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.11.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵sin>0,cos>0,∴角α的终边在第一象限,∴tanα====,∴角α的最小正值为.12.若角θ的终边在射线y=-2x(x<0)上,则cosθ=.【答案】-【解析】由已知得角的终边落在第二象限,故可设角终边上一点P(-1,2),则r2=(-1)2+22=5,∴r=,此时cosθ==-.13.已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________．【答案】【解析】由题意可知，点P在第四象限，且点P落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，故θ＝.14.已知则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数求值.15.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值16.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值17.角的终边经过点，则的可能取值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1.任意角的三角函数；2.同角三角函数的基本关系18.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.19.求值：________.【答案】【解析】.【考点】三角函数的计算及诱导公式.20.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式21.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】扇形弧长公式.22.在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则sin5α＝．【答案】【解析】根据题意，由于平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则可知，那么可知sin5α=sin,故答案为【考点】三角函数定义点评：解决的关键是利用三角函数的定义来求解三角函数值，属于基础题。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角的终边经过点（-4,3），则cos=( )A．B．C．－D．－【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.【考点】三角函数的概念.2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关;④若sinα=sinβ,则α与β的终边相同;⑤若cosθ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin=sin,但与的终边不相同,故④错;当θ=π,cosθ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.4.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【答案】A【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.5.α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，求sinα的值．【答案】【解析】∵OP＝，∴cosα＝＝x.又α是第二象限角，∴x<0，得x＝－，∴sinα＝＝.6.已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为________cm2.【答案】4【解析】设扇形半径为rcm，弧长为lcm，则2r＋l＝8，S＝rl＝r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以S＝4(cm2)max7.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.8.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.9.已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用商数关系及题设变形整理即得的值；（2）注意既是一个无理式，又是一个分式，那么化简时既要考虑通分，又要考虑化为有理式.考虑通分，显然将两个式子的分母的积作为公分母，这样一来，被开方式又是完全平方式，即可以开方去掉根号，从将该三角式化简.试题解析：（1）∵∴ 2分解之得 4分（2）∵是第三象限的角∴= 6分=== 10分由第（1）问可知：原式＝＝ 12分【考点】三角函数同角关系式.10.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.12.已知角的终边经过点，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故点的坐标为，所以，所以，解得，故选A.【考点】三角函数的定义13.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：两点等分单位圆时，有相应正确关系为，三等分单位圆时，有相应正确关系为，由此推出：四等分单位圆时的相应正确关系为 .【答案】【解析】用两点等分单位圆时，关系为，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差为：，用三点等分单位圆时，关系为，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为有，依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角为，第三个角，第四个角为，即其关系为.【考点】三角函数的定义与三角恒等式.14.已知扇形的周长是8cm，圆心角为2 rad，则扇形的弧长为 cm．【答案】4【解析】设扇形的弧长，半径，圆心角分别为，则，又由即，得.【考点】扇形的弧长公式.15.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.16.（1）设扇形的周长是定值为，中心角．求证：当时该扇形面积最大；（2）设．求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由扇形周长为定值可得半径与弧长关系(定值)，而扇形面积，一般地求二元函数最值可消元化为一元函数(见下面详解)，也可考虑利用基本不等式，求出最值，并判断等号成立条件，从而得解；（2）这是一个双变元(和)的函数求最值问题，由于这两个变元没有制约关系，所以可先将其中一个看成主元，另一个看成参数求出最值(含有另一变元)，再求解这一变元下的最值，用配方法或二次函数图象法. 试题解析：（1）证明：设弧长为，半径为，则， 2分所以，当时， 5分此时，而所以当时该扇形面积最大 7分（2）证明：9分∵，∴， 11分∴当时， 14分又，所以，当时取等号，即． 16分法二：9分∵，, 11分∴当时，， 14分又∵，∴当时取等号即． 16分【考点】扇形的周长和面积、三角函数、二次函数.17.已知角的终边与单位圆交于，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，角的终边与单位圆交于，所以，，=，故选.【考点】三角函数的定义，三角函数诱导公式、倍角公式.18.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，，因为所以，，所以.【考点】三角函数的定义，和差角公式.19.若角与角终边相同，则在内终边与角终边相同的角是 .【答案】【解析】因为角与角终边相同，所以=2kπ+，z，=，令k=0，1,2,3分别得到，即为所求。
高考数学专题《任意角和弧度制及任意角的三角函数》习题含答案解析
专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．（2021·宁夏高三三模（文））已知角α终边经过点()1,2,P-则cosα=（）A．12B．12-C D．【答案】D【解析】直接利用三角函数的定义即可.【详解】由三角函数定义，cos5α==-.故选：D.2.（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知角α的终边经过点()3,1P-，则cosα=（）A B．C．D【答案】C【解析】由三角函数的定义即可求得cosα的值．【详解】角α的终边经过点(3,1)P-，cosα∴==故选：C．3．（2020·全国高一课时练习）若α＝－2，则α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】练基础根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.【详解】因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．故选：C.4．（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.【详解】对于①：钝角是大于90小于180的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；对于②：锐角是大于0小于90的角，小于90的角也可能是负角. 故②错误；对于③：359-显然是第一象限角. 故③错误；对于④：135是第二象限角，361是第一象限角，但是135361<. 故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；对于⑥：因为157.3rad≈，所以5557.3=286.5rad≈⨯，是第四象限角. 故⑥正确.综上，①⑥正确.故选：B.5．（2021·辽宁高三其他模拟）装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为23π，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（）A．55厘米B．63厘米C．69厘米D．76厘米【答案】B【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小， 所以可以用弧长近似代替弦长， 所以导线的长度为23020633ππ⨯=≈(厘米）． 故选：B6．（2021·上海格致中学高三三模）半径为2，中心角为3π的扇形的面积等于（ ） A ．43π B ．πC ．23π D ．3π 【答案】C 【解析】根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】解：因为扇形的半径2r ，中心角3πα=，所以扇形的面积2211222233S r ππα==⨯⨯=， 故选：C.7．（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B 【解析】根据扇形面积公式计算可得； 【详解】解：扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B8．（2021·重庆八中高三其他模拟）如图所示，扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10，两条直边AD 与BC 的长都是3，则此扇环的面积为（ ）A ．84B ．63C ．42D ．21【答案】D 【解析】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，依题意可得4αr =且()310αr +=，解得α、r ，进而可得结果. 【详解】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，由题可得4αr =且()310αr +=，解得2α=，2r ，从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=. 故选：D ．9．（2021·浙江高二期末）已知角α的终边过点(1,)P y ，若sin 3α=，则y =___________．【答案】【解析】利用三角函数的定义可求y . 【详解】由三角函数的定义可得sin α==y =故答案为：10．（2021·山东日照市·高三月考）已知函数()3sin,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 【答案】12- 【解析】利用分段函数直接进行求值即可． 【详解】∵函数()3,06log ,0xsinx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩， ∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝， ∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：12-.1．（2021·河南洛阳市·高一期中（文））点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（ ）A ．1,2⎛ ⎝⎭B ．12⎛- ⎝⎭C ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先求出旋转角，就可以计算点的坐标了. 【详解】设旋转角为θ，则22123θπππ⨯⨯=，得23πθ=，从而可得1(,22P '-. 故选：B.2．（2021·上海高二课时练习）若A 是三角形的最小内角，则A 的取值范围是（ ）练提升A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由给定条件结合三角形三内角和定理即可作答. 【详解】设B ，C 是三角形的另外两个内角，则必有,A B A C ≤≤，又A B C π++=, 则3A A A A A B C π=++≤++=，即3A π≤，当且仅当3C B A π===，即A 是正三角形内角时取“=”，又0A >，于是有03A π<≤，所以A 的取值范围是(0,]3π.故选：D3．（2021·北京清华附中高三其他模拟）已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解. 【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=，则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈， 由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件. 故选：A4．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为()02θθπ<<，面积为98π，若()tan 3θϕ+=，则tan ϕ=（ ） A ．12-B ．34C ．12D ．43【答案】C 【解析】由扇形的面积公式得4πθ=,进而根据正切的和角公式解方程得1tan 2ϕ=. 【详解】解:由扇形的面积公式212S r θ=得9928πθ=,解得4πθ=, 所以()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--,解得1tan 2ϕ=故选:C5．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）一个圆心角为60的扇形，它的弧长是4π，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【答案】B 【解析】设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，求得3r x =，结合弧长公式，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ， 过点O 作OD CD ⊥， 在直角CDO 中，可得2sin 30ODCO x ==，所以扇形的半径为23r x x x =+=， 又由扇形的弧长公式，可得343x ππ⨯=，解得4x =，即扇形的内切圆的半径等于4. 故选：B.6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知顶点在原点的锐角α，始边在x 轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过3π后交单位圆于1(,)3P y -，则sin α的值为（ ）A ．6B C ．16D ．16【答案】B 【解析】根据任意角的三角函数的定义求出1cos()33πα+=-，然后凑角结合两角差的正弦公式求出sin α. 【详解】由题意得1cos()33πα+=-(α为锐角) ∵α为锐角，∴5336πππα，∴sin()03πα+>sin()sin sin ()3333πππααα⎡⎤⇒+=⇒=+-⎢⎥⎣⎦1132326⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭ 故选：B7．（2020·安徽高三其他模拟（文））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan()4πα+=（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．-1【解析】根据终边上的点求出tan 3α=-，再结合正切和公式求解即可． 【详解】由题知tan 3α=-，则tan tan3114tan()41321tan tan 4παπαπα+-++===-+-. 故选：B8．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））已知顶点在原点，始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于P x ⎛ ⎝⎭，则sin α的值为（ ） ABCD． 【答案】C 【解析】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，由2113x +=，则x =，分x 的值结合三角函数的定义，求解即可，根据条件进行取舍. 【详解】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，则3πβα=+，由α为锐角， 根据题意角β终边交单位圆于,3P x ⎛ ⎝⎭，则2113x +=，则3x =±若3x =，则sin ,cos 33ββ==所以sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭，与α为锐角不符合.若x =，则sin ββ==所以sin sin sin cos cos sin 0333πππαβββ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭,满足条件.9．（2021·安徽宣城市·高三二模（文））刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当π取3.1416时，可得sin 2︒的近似值为（ ）A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491【答案】D 【解析】由圆的垂径定理，求得2sin 2AB =︒，根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，列出方程，即可求解. 【详解】将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒， 因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长， 所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈， 所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈． 故选：D ．10．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT 是一个以点O 为圆心､QT 长为直径的半圆，QT =.QST 的圆心为P ，2dm PQ PT ==.QRT与QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为___________2dm .6π 【解析】连接PO ，可得PO QT ⊥，求出23QPT π∠=，利用割补法即可求出月牙的面积. 【详解】解：连接PO ，可得PO QT ⊥，因为sin 2QO QPO PQ ∠==， 所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙的面积为2221121(21)dm 22326S πππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯=.6π.1．（全国高考真题）已知角α的终边经过点(−4,3)，则cosα=（ ）A ．45B ．35C ．−35D ．−45 练真题【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以cosα=x r =−45.故选D. 2．（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0 【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<故选：D. 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.3.（2015·上海高考真题（文））已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）. A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意，设OA 与x 轴所成的角为，显然，，故，故纵坐标为4．（2018·全国高考真题（文））已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1 ， a)，B(2 ， b)，且cos2α=23，则|a −b |= A ．15 B ．√55 C ．2√55D ．1 【答案】B【解析】由O,A,B 三点共线，从而得到b =2a ，因为cos2α=2cos 2α−1=2⋅(√a 2+1)2−1=23， 解得a 2=15，即|a |=√55， 所以|a −b |=|a −2a |=√55，故选B.5.（2017·北京高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=___________. 【答案】79- 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 6．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___． 【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 【解析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解. 【详解】(cos ,sin )P θθ与cos ,sin66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称， 即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈， 则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π. 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.。
新高考高中数学必修一-任意角和弧度制同步测试题(含解析)
人教A 版（2019）必修第一册 5.1 任意角和弧度制一、单选题1．已知第二象限角α的终边上一点()sin ,tan P ββ，则角β的终边在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．“角A 小于2π”是“角A 是第一象限角”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件3．下列选项中，满足αβ<的是（ ） A ．1α=，2β=︒ B ．1α=，60β=-︒ C ．225α=︒，4β= D ．180α=︒，πβ=4．下列各组的两个角中，终边不相同的一组角是（ ） A ．-56°与664° B ．800°与-1360° C ．150°与630° D ．-150°与930°5．角α和β满足关系：2()k k αππβ=+-∈Z ，则角α与β的终边（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上答案都不对6．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（ ） （1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长； （3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长； （4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等； （5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．半径为1cm ，圆心角为120︒的扇形的弧长为（ ） A ．1cm 3B ．2cm 3C ．cm 3πD ．2cm 3π8．已知()1,4k k k πθααπ⎧⎫∈=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z ，则角θ的终边所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第一或第二象限D ．第三或第四象限9．如图所示的时钟显示的时刻为4:30，此时时针与分针的夹角为()0ααπ<≤．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为（ ）A ．2πB ．4π C ．8π D ．16π10．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形面积为（ ） A ．2π B ．3πC ．154π D ．52π11．下列说法：①终边相同的角必相等；①锐角必是第一象限角；①小于90︒的角是锐角；①第二象限的角必大于第一象限的角；①若角α的终边经过点(0,3)M -，则角α是第三或第四象限角，其中错误的是（ ） A ．①①①B ．①①①C ．①①①①D ．①①①①{}|4590,B k k Z ββ==︒+⋅︒∈，则（ ）A ．AB =∅ B ．B①AC ．A①BD ．A B =二、填空题13．已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈.现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是 _______．14．已知角2020α=-︒，则与α终边相同的最小正角是______．15．大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.16．已知扇形的周长为16cm ，面积为162cm ，则扇形的圆心角α的弧度数为___________.三、解答题17．已知扇形的周长为20cm ，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数．18．一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形面积最大，并求此扇形的最大面积.19．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图7-1-7所示）．20．把下列各角化为2(02,)k k πααπ+<∈Z 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合． （1）463π-； （2）1485-︒；21．分别写出当角α在第四象限时，角2α的所在象限．参考答案：1．C根据第二象限横纵坐标的正负值判断得sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩再判断角β的象限即可.【详解】因为点()sin ,tan P ββ在第二象限，所以有sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩所以β是第三象限角.故选：C本题考查各象限三角函数值的正负.属于基础题. 2．D利用特殊值法结合充分、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若角A 小于2π，取4A π=-，此时，角A 不是第一象限角，即“角A 小于2π”⇒“角A 是第一象限角”；若角A 是第一象限角，取24A ππ=+，此时，2A π>，即“角A 小于2π”⇐/“角A 是第一象限角”. 因此，“角A 小于2π”是“角A 是第一象限角”的既不充分也不必要条件.故选：D. 3．C先判断出B ，D 不满足αβ<；然后利用角度制与弧度制的互化，判断出C 正确． 【详解】解：对于选项B ，有αβ>， 对于D ，有αβ=； 对于A ，因为1801()2π=︒>︒，所以满足αβ>， 对于C ，因为18044()225π=⨯︒>︒，满足αβ<．故选：C ． 4．C利用终边相同的两个角符合的规律逐一判断各选项即可得解. 【详解】因终边相同的两个角总是相差360的整数倍，对于A ，664(56)7202360--==⋅，即角-56°与664°终边相同，A 不正确； 对于B ，800(1360)21606360--==⋅，即角800°与-1360°终边相同，B 不正确； 对于C ，6301504801360120-==⋅+，即角150°与630°终边不相同，C 正确； 对于D ，930(150)10803360--==⋅，即角-150°与930°终边相同，D 不正确， 所以角150°与630°终边不相同. 故选：C 5．B根据终边相同角的定义判断可得； 【详解】解：因为角α和β满足关系：2()k k αππβ=+-∈Z ， 因为β与πβ-的终边关于y 轴对称， 而2()k k αππβ=+-∈Z 与πβ-的终边相同， 所以角α与β的终边关于y 轴对称 故选：B 6．B若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，根据定义逐项判断即可得出结论. 【详解】若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12， （1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误； （2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； （3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为1326ππ⨯⨯=，圆的周长为122ππ⨯=，故它们的周长相等，正确； （5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为2166ππ⨯=，正三角形的面积1112S =⨯⨯，则一个弓形面积6S π=则整个区域的面积为3(62ππ= 而圆的面积为2124ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不相等，故错误；综上，正确的有2个， 故选：B.本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键． 7．D利用扇形弧长公式直接计算即可. 【详解】圆心角120︒化为弧度为23π， 则弧长为221cm 33ππ⨯=. 故选：D.8．C利用终边相同的角的概念，对当k 是奇数和偶数进行分类讨论，即可得解. 【详解】由已知，()1,4k k k πθααπ⎧⎫∈=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z ，当()2k m m =∈Z 时，24m πθπ=+，即角θ的终边在第一象限；当()21k m m =+∈Z 时，324m πθπ=+，即角θ的终边在第二象限． 所以角θ的终边在第一或第二象限． 故选：C 9．C求出α的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积. 【详解】由图可知，1284παπ=⨯=，所以该扇形的面积212481S ππ=⨯⨯=．故选：C. 10．B把圆心角化为弧度，然后由面积公式计算． 【详解】 21203π︒=．2123323S ππ=⨯⨯=． 故选：B ． 11．C①取特殊角：0︒与360︒进行判断；①根据锐角的范围直接判断； ①取负角进行否定； ①取特殊角进行否定； ①取特殊角进行否定． 【详解】①终边相同的角必相等错误，如0︒与360︒终边相同，但不相等； ①锐角的范围为(0,90)︒︒，必是第一象限角，正确； ①小于90︒的角是锐角错误，如负角；①第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120︒是第二象限角，390︒是第一象限角； ①若角α的终边经过点(0,3)M -，则角α是终边在y 轴负半轴上的角，故①错误． 其中错误的是①①①①． 故选C ．（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.（2）角的概念的辨析题中，通常可以取特殊角来否定结论. 12．D考虑A 中角的终边的位置，再考虑B 中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系. 【详解】. 45180,k k Z α=︒+⋅︒∈ 表示终边在直线y x =上的角，135180,k k Z α=︒+⋅︒∈ 表示终边在直线y x =-上的角，而4590,k k Z β=︒+⋅︒∈ 表示终边在四条射线上的角，四条射线分别是射线,0;,0;,0;,0y x x y x x y x x y x x =≥=-≤=≤=-≥ ， 它们构成直线y x =、直线y x =-，故A B =. 故选：D.本题考查终边相同的角，注意180k α⋅︒+的终边与α 的终边的关系是重合或互为反向延长线，而90k α⋅︒+的终边与α 的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题. 13．2π-先明确1小时是60分钟，得到分针转过的角度，再算出弧度数. 【详解】因为1小时是60分钟，分针正好转过一周360-， 所以转过的角的弧度数是2π-. 故答案为：2π-本题主要考查弧度制，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 14．140°先求出与α终边相同角的集合，再通过解不等式进行求解即可. 【详解】与2020α=-︒终边相同的角的集合为{}2020360,k k Z θθ=-︒+⋅︒∈， 令20203600k -︒+⋅︒>︒，解得10118k >，故当6k =时，140θ=︒满足条件． 故答案为：140° 15．285-︒根据终边相同的角的概念进行判断. 【详解】大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是285-︒. 故答案为：285-︒本题考查终边相同的角，属于基础题. 16．2设扇形圆心角为α，半径为r ，列方程组求出α的值．【详解】解：由扇形的周长为16cm ，面积为216cm ，可设扇形圆心角为α，且(0,2)απ∈，半径为r ， 则22161162r r r αα+=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩， 解得24r α=⎧⎨=⎩所以2α=．故答案为：2．17．面积最大值为225cm ，此时圆心角弧度数为2设扇形的半径为R ，弧长为l ，依题意有220l R +=，利用扇形面积公式12S lR =扇形，利用基本不等式即可求得答案．【详解】解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则220l R +=．()()()210112021025222R R S lR R R R R -+⎡⎤==-⋅=-⋅=⎢⎥⎣⎦扇形（当且仅当5R =时取等号）． S 扇形最大值为25，此时5R =，10l =．故扇形圆心角的弧度数2l Rα==． 所以扇形面积最大值为225cm ，此时圆心角弧度数为2.18．2α=弧度，最大面积225cm设扇形的半径为r ，得出弧长为202,010r r -<<，确定扇形面积函数式，利用二次函数的性质，求出面积最大时半径和弧长的值，即可得出结论【详解】设扇形的半径为r ，其周长为20，则扇形弧长为202r -，且2020,010r r ->∴<<， 扇形面积221(202)10(5)252S r r r r r =-=-+=--+， 当=5r ，1025α==时，S 取最大值为25， 所以圆心角为2弧度时，扇形面积最大为25.本题考查扇形面积、弧长公式的应用、以及二次函数的最值，合理设元是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.19．（1）522,612k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； （2）3322,44k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； （3）,62k k k ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．将角度化成弧度，结合任意角概念表示出来即可.【详解】对图（1），可看作5,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦范围内的角，结合任意角概念，可表示为522,612k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 对图（2），可看作33,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦范围内的角，结合任意角概念，可表示为3322,44k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 对图（3），可看作由,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的范围角，经过旋转半圈整数倍形成的角，故可表示为,62k k k ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．20．（1）第二象限角，终边相同的角的集合为22,3k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣；（2）第四象限角．终边相同的角的集合为72,4k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣；（3）第四象限角，终边相同的角的集合为{2(820),}k k ββππ=+-∈Z ∣．利用与角α终边相同的角的集合的结论，即可得出结果.【详解】（1）4628233πππ-=-⨯+，它是第二象限角，终边相同的角的集合为22,3k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣． （2）714855*********ππ-︒=-⨯︒+︒=-⨯+，它是第四象限角．终边相同的角的集合为72,4k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣． （3）2042(820)ππ-=-⨯+-，而382022πππ<-<． 所以20-是第四象限角，终边相同的角的集合为{2(820),}k k ββππ=+-∈Z ∣． 21．答案见解析由终边相同的角和象限角的定义进行判断即可【详解】（1）当角α在第一象限时，即22,2k k k Z ππαπ<<+∈，则,24k k k Z απππ<<+∈， 当2k n =（n Z ∈）时，22,24n n n Z απππ<<+∈，则2α为第一象限的角， 当21k n =+（n Z ∈）时，(21)(21),24n n n Z απππ+<<++∈，即522,24n n n Z αππππ+<<+∈，则角2α为第三象限的角， 综上，角2α在第一或第三象限； （2）当角α在第二象限时，即22,2k k k απ+π<<π+π∈Z ，则,422k k k αππ+π<<+π∈Z ， 当2k n =（n Z ∈）时，22,422n n n Z παπππ+<<+∈，则 2α为第一象限的角，当21k n =+（n Z ∈）时，(21)(21),422n n n Z παπππ++<<++∈，即5322,422n n n Z παπππ+<<+∈，则 2α为第三象限的角， 综上，角2α在第一或第三象限； （3）当角α在第三象限时，即322,2k k k Z πππαπ+<<+∈，则3,224k k k Z παπππ+<<+∈， 当2k n =（n Z ∈）时，322,224n n n Z παπππ+<<+∈，则2α为第二象限的角， 当21k n =+（n Z ∈）时，3(21)(21),224n n n Z παπππ++<<++∈，即3722,224n n n Z παπππ+<<+∈，则2α为第四象限的角， 综上，角2α在第二或第四象限； （4）当角α在第四象限时，即3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，则3,42k k k Z παπππ+<<+∈， 当2k n =（n Z ∈）时，322,42n n n Z παπππ+<<+∈，则2α为第二象限的角， 当21k n =+（n Z ∈）时，3(21)(21),42n n n Z παπππ++<<++∈，即 7222,42n n n Z παπππ+<<+∈，则2α在第二或第四象限， 综上，角2α在第二或第四象限。
任意角的概念与弧度制知识点习题附答案
典型题一 有关角的概念的问题
1.下列命题正确的是： （ ）
A.终边相同的角一定相等。
B.第一象限的角都是锐角。
C.锐角都是第一象限的角。
D.小于 900 的角都是锐角。
2.下列结论：①第一象限角都是锐角
②锐角都是第一象限角
③第一象限角一定不是负角
④第二象限角是钝角
⑤小于 180°的角是钝角、直角、或锐角。
4.与角 终边相同的角的集合为 k 360 , k k 180 45, k
1）终边落在 y=x 上：
45 +k 360, k
2）终边落在第一象限角平分线上：
5.弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。 以弧度为单位来度量角的单位制度叫弧度制。
C.3 个
D.4 个
2.[四川遂宁 2019 高一测试]将表的分针拨慢 20 分钟,则分针转过的角的弧度是（
）
A. 2 3
B. 3
C. 2 3
D.
3
3.已知扇形的周长为 6cm,半径是 2cm,则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．4
B.1
C.1 或 4
D.2
4.若角α是第二象限角,则 是(
)
2
D. α-β=90°+ k 360 （k∈Z）
12.已知角α与β的终边关于 y 轴对称，则α与β的关系为（ ）
A. α-β=π+2kπ B. α-β=π +2kπ
2
13.若α=2kπ+π （k∈Z），则α的终边在（
3
3
2
C. α+β=2kπ ）
A．第一象限
B．第四象限
任意角和弧度制测试题(含解析)
任意角和弧度制测试题一、单选题1.在单位圆中，200∘的圆心角所对的弧长为( )A. 7π10B. 10π9C. 9πD. 10π二、多选题2.给出下列说法正确的有()A. 终边相同的角同一三角函数值相等；B. 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；C. 若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；D. 若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角3.下列说法错误．．的是．( )A. 若角α=2rad，则角α为第二象限角B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°C. 若角α为第一象限角，则角α2也是第一象限角D. 若一扇形的圆心角为30°，半径为3cm，则扇形面积为3π2cm24.下列结论正确的是( )A. 是第三象限角B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为C. 若角的终边过点，则D. 若角为锐角，则角为钝角三、填空题5.(1)第三象限角的集合表示为(以弧度为单位)．(2)弧度数为3的角的终边落在第象限．(3)−2π3弧度化为角度应为．(4)与880∘终边相同的最小正角是.(5)若角α的终边经过点A(−2,3)，则tanα值为．(6)已知扇形的圆心角α=2π3，半径r=3，则扇形的弧长l为．6.下列说法中，正确的是.(填序号)①第一象限的角必为锐角；②锐角是第一象限的角；③终边相同的角必相等；④小于900的角一定为锐角；⑤角α与−α的终边关于x轴对称；⑥第二象限的角必大于第一象限的角．7.集合{α|k⋅180∘+45∘⩽α⩽k⋅180∘+90∘,k∈Z}中，角所表示的取值范围(阴影部分)正确的是(填序号)．8.−600°是第象限角，与−600°终边相同的最小正角为弧度．9.线段OA的长度为3，将OA绕点O顺时针旋转120∘，得到扇形的圆心角的弧度数为，扇形的面积为．四、解答题10.已知角β的终边在直线y=−x上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式−360°<β<360°的元素．答案和解析1.B 根据弧长公式，l =nπR 180，代入计算即可．2.AB 解：对于A ，由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，故A 正确；对于B ，不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，故B 正确； 对于C ，若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，若cos θ<0，则θ是第二或第三象限角或θ的终边落在x 轴的非正半轴上，故D 错误． 3.BCD 解：对于选项A .若角α=2rad ，2∈(π2,π)，则角α为第二象限角，正确；对于选项B .将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是−30°，故错误；对于选项C .若角α为第一象限角，2kπ<α<π2+2kπ,k ∈Z ，则kπ<α2<π4+kπ,k ∈Z ， 当k =2n ，n ∈Z 时，2nπ<α2<π4+2nπ,k ∈Z ，即角α2是第一象限角；当k =2n +1，n ∈Z 时，2nπ+π<α2<5π4+2nπ,k ∈Z ，即角α2是第三象限角； 则角α2是第一或第三象限角，故错误；对于选项D .扇形面积为30°π·32360°=3π4cm 2，故错误． 4.BC 解：A 、−7π6=−2π+5π6，所以−7π6与5π6终边相同，是第二象限角，所以不正确； B 、若圆心角为π3的扇形半径为r ，由弧长为π3⋅r =π，则半径r =3，所以该扇形面积为12×π×3=3π2，正确；C 、若角α的终边过点P(−3,4)，则r =√(−3)2+42=5，cos α=−35，正确； D 、若角α为锐角，设α=30∘，则角2α=60∘为锐角，所以不正确． 5.解：(1)第三象限角的集合表示为{α|π+2kπ<α<3π2+2kπ,k ∈Z}． 故答案为{α|π+2kπ<α<3π2+2kπ,k ∈Z}． (2）∵π2<3<π,∴弧度数为3的角为第二象限角，故其终边落在第二象限，故答案为二．(3)−2π3=−23×180°=−120°，故答案为−120∘．(4)与880∘终边相同的角α=880°+360°×k (k ∈Z )，当k =−2时，α=160∘即为最小正角，故答案为160∘．(5)根据任意角三角函数的定义，可知tanα=y x =−32，故答案为−32． (6)l =|α|·r =2π，故答案为2π． 6.解：命题①，390°角的终边在第一象限内，但不是锐角，故说法错误;命题②，锐角是第一象限角，故说法正确;命题③，390°角与30°角的终边相同，但两个角不相等，故说法错误;命题④，−30°小于90°，但不是锐角，故说法错误;命题⑤，角α与角−α的终边关于x 轴对称，故说法正确;命题⑥，120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，120°小于390°，故说法错误． 故答案为②⑤．7.解：集合{α|k ⋅180∘+45∘⩽α⩽k ⋅180∘+90∘,k ∈Z}中，当k 为偶数时，集合为 {α|n ⋅360∘+45∘⩽α⩽n ⋅360∘+90∘,n ∈Z}，当k 为奇数时，集合为 {α|n ⋅360∘+225∘⩽α⩽n ⋅360∘+270∘,n ∈Z}，符合题意的只有③8.解：由−600°=(−2)×360°+120°，∴−600°在第二象限，∴与−600°终边相同的最小正角为120°，而120°=2π3，故答案为二；2π3． 9.解：由题意得扇形的圆心角α=−120∘ =−2π3，故扇形的面积S =12|α|⋅|OA|2= 12×2π3×9=3π．10.解：(1)直线y =−x 过原点，它是第二、四象限的角平分线所在的直线，故在0°～360°范围内，终边在直线y =−x 上的角有两个：135°，315°．因此，终边在直线y =−x 上的角的集合S ={β|β=135°+k ·360°,k ∈Z}∪{β|β=315°+k ·360°,k ∈Z}={β|β=135°+2k ·180°,k ∈Z}∪{β|β=135°+(2k +1)·180°,k ∈Z} ={β|β=135°+n ·180°,n ∈Z}．(2)由于−360°<β<360°，即−360°<135°+n ·180°<360°，n ∈Z ．解得−114<n <54，n ∈Z.所以n =−2，−1，0，1．所以集合S 中适合不等式−360°<β<360°的元素为：135°−2×180°=−225°；135°−1×180°=−45°；135°+0×180°=135°； 135°+1×180°=315°；(2)在集合S 内，分别取k =−2，−1，0，1，可得适合不等式−360°<β<360°的元素．。
高中数学新教材必修第一册第五章 三角函数 5.1 任意角和弧度制(南开题库含详解)
第五章三角函数 5.1 任意角和弧度制一、选择题（共40小题；共200分）1. 下列四个选项中，与角终边相同的角是A. B. C. D.2. 已知一个扇形的圆心角的弧度数为，则该扇形的弧长与半径的比等于A. B. C. D.3. 的弧度数是A. B. C. D.4. 与的终边相同的角是A. B. C. D.5. 把表示成的形式，使最小的的值是A. B. C. D.6. 与角的终边相同的角是A. B. C. D.7. 将化为弧度为A. B. C. D.8. 是A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角9. 一个扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为A. B. C. D.10. 已知为第二象限角，则所在的象限是A. 第一或第二象限B. 第二或第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限11. 在单位圆中，面积为的扇形所对的弧长为A. B. C. D.12. 与角终边相同的角是A. B. C. D.13. 下列说法正确的是A. 第二象限的角比第一象限的角大B. 若，则C. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角14. 将分针拨慢分钟，则分钟转过的弧度数是A. B. C. D.15. 已知扇形的周长为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为A. B. C. D.16. 已知集合，，则等于A.B.C.D. 或17. ，则的终边在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限18. 圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为A. B. C. D.19. 时钟经过一小时，时针转过了A. B. C. D.20. 集合中的角的终边所在的范围（阴影部分）是A. B.C. D.21. 下列命题中：①小于的角是锐角，②第二象限角是钝角，③终边相同的角相等，④若与有相同的终边，则必有，正确的个数是A. B. C. D.22. 时钟经过一小时，时针转过了A. B. C. D.23. 设小于的角，锐角，第一象限的角，小于但不小于的角，那么有A. B.C. D.A. 轴正半轴上B. 轴正半轴上C. 轴或轴上D. 轴正半轴或轴正半轴上25. 已知扇形的半径为，周长为，则扇形的圆心角等于A. B. C. D.26. 设集合，，那么A. B. C. D.27. 若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为A. B. C. D.28. 已知扇形的周长为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为A. B. C. D.29. 下列结论中错误的是A. 若，则B. 若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C. 若角的终边过点，则D. 若扇形的周长为，半径为，则其中心角的大小为弧度30. 给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；④若，则与的终边相同；⑤若，则是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是A. B. C. D.31. 设集合，集合，则．A. B. C. D.32. 若是第二象限角，那么和都不是A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角33. 若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为A. B. C. D.34. 设集合，，那么A. B. C. D.35. 已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是A. 或B.C.D.36. 若角和角的终边关于轴对称，则角可以用角表示为A. B.C. D.37. 若角和角的终边关于轴对称，则角可以用角表示为A. B.C. D.38. 设，下列终边相同的角是A. 与B. 与C. 与D. 与39. 中心角为的扇形，它的弧长为，则三角形的内切圆半径为A. B. C. D.40. 一圆内切于圆心角为，半径为的扇形，则该圆的面积与扇形面积之比为A. B. C. D.二、填空题（共40小题；共200分）41. 若是第三象限的角，则是第象限角．42. 若角，则角的终边在第象限．43. 如图，射线绕顶点顺时针旋转到，再逆时针旋转到达，则的度数为．44. 将化为弧度为．45. 若是第四象限，则是第象限角．46. 已知扇形的半径为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为．47. 已知角的终边经过点，且为第三象限角，则的取值范围是．48. 若扇形的中心角为，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为．49. 终边与角的终边互相垂直的角的集合是．50. 某蒸汽机上的飞轮直径为，每分钟按顺时针方向旋转转，则飞轮每秒钟转过的弧度数是；轮周上的一点每秒钟经过的弧长为．51. 与角终边相同的角的集合是，它们中最小的正角是，最大的负角是，它们是第象限角．52. 的角化为角度制的结果为，的角化为弧度制的结果为．53. 已知扇形的周长为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为．54. 设，且角的终边与角的终边相同，则．55. 如图所示，用集合表示终边在阴影部分的角的集合为．56. 已知，的终边所在的象限是．57. 有下列四个结论：①角和的终边重合，则，；②角和的终边关于原点对称，则，；③角和的终边关于轴对称，则，；④角和的终边关于轴对称，则，．其中正确的有．（填序号）58. 如果把化为（，）的形式，那么，．59. 在集合中，属于区间的角的集合是．60. 若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是．61. 把写成的形式为．62. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则它的内切圆半径是．63. 如图，点，，是圆上的点，且，，则劣弧的长为．64. 如图，已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形中所含弓形的面积是．65. 若将时钟拨慢，则时针转了；若将时钟拨快，则分针转了．66. 已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，那么扇形的周长为．68. 巳知一扇形的圆心角，那么此扇形的面积与其内切圆的面积之比为．69. 下列说法：①终边相同的角一定相等；②第二象限角大于第一象限角；③的角是第一象限角；④小于的角是钝角，直角或锐角．⑤弧度是的圆心角所对的弧；⑥弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角；⑦弧度等于．其中正确的序号为（把正确的序号都写出来）．70. 给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若，则与的终边相同；若，则是第二或第三象限的角．其中不正确的命题是．71. 若扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为．72. （）终边在直线上的角的集合是．（）若角的终边与角的终边相同，则在内终边与角的终边相同的角的个数为．73. 若角的终边与角的终边关于直线对称，且，则．74. 有下列四个结论：①角和角的终边重合，则，；②角和角的终边关于原点对称，则，；③角和角的终边关于轴对称，则，；④角和角的终边关于轴对称，则，．其中正确的有．（填序号）75. 扇形的周长为，若这个扇形的面积为，则圆心角的大小为 .76. 已知扇形的周长为，那么当扇形的半径为时，扇形的面积最大．77. 若某扇形的面积是，它的周长是，则该扇形圆心角的弧度数为．78. 如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于时，的坐标为．79. 圆的半径为，为圆周上一点，现将如图放置的边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点和点重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点第一次回到点的位置，则点走过的路径的长度为．80. 圆的半径为，为圆周上一点，现将如图放置的边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合）沿圆周逆时针滚动，点第一次回到点的位置，则点走过的路径的长度为．三、解答题（共20小题；共260分）81. 将集合中的角（角度制）在数轴上表达出来，并表示出第一象限角，锐角，负角的区间．82. 今天是周日，那天后是周几?过多少天是周二?在数轴上表达：如图，周二是那些天?如何统一表达?83. 已知角的终边与的终边相同，求在内与终边相同的角．84. 已知，若的终边与角的终边重合，求角．85. 用弧度制表达．写出终边在下列阴影部分内的角的集合（含边界）．（1）（2）86. 已知，求，并指出的终边位置．87. 集合，，试确定集合与之间的关系．88. （1）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来：①；②（2）试写出终边在直线上的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来．89. 试求出终边在如图所示阴影区域内的角的集合．90. 如图，三棱锥内接于一个圆锥（有公共顶点和底面，侧棱与圆锥母线重合）．已知，，，，（1）求圆锥的侧面积及侧面展开图的中心角；（2）求经过圆锥的侧面到点的最短距离．91. 如图，动点，从点出发，沿着圆周做匀速运动．点按逆时针方向每秒转，点按顺时针方向每秒转，求点，第一次相遇时所用的时间及点，各自走过的弧长．92. 请回答下列问题：（1）设，，用弧度制表示它们，并指出它们各自所在的象限．（2）设，，用角度制表示它们，并在～的范围内找出终边相同的所有角．93. 己知弦长为，它所对的圆心角，求所夹的扇形面积以及所对的弓形的周长．94. 已知是第二象限的角，求，是第几象限的角．95. 设是第二象限角，试比较，，的大小．96. 如图，在扇形中，，弧长为，求此扇形内切圆的面积．97. 如图所示，点在半径为且圆心在原点的圆上，．点从点出发，依逆时针方向匀速地沿圆周旋转，已知在内转过的角度为，经过到达第三象限，经过后又回到出发点，求，并判断其是第几象限角．98. 已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为．（1）若，，求扇形的面积；（2）若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．99. （1）已知扇形的周长为，面积为，求扇形的圆心角的弧度数．（2）已知扇形的周长为，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?100. 如图，一个扇形的周长为，问它的圆心角取何值时，扇形的面积最大?并求出最大值．答案第一部分1. C2. C3. A4. D5. C6. A7. B8. B9. A 【解析】因为扇形的圆心角为，半径为，所以扇形的面积．10. C11. B12. D13. D14. C15. A【解析】设扇形的弧长为，扇形所在圆的半径为，由题意得解得．扇形16. D17. C18. C19. B 【解析】钟表的指针按顺时针方向转动，角为负角．20. C【解析】当时，；当时，，应选C．21. B22. B 【解析】钟表的指针按顺时针方向转动，角为负角．23. D24. C25. B26. B．27. B 【解析】，所以扇形28. A 【解析】由题意得解得所以．29. C30. A【解析】由于第一象限角不小于第二象限角，故①错；当三角形的内角为时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于，但与的终边不相同，故④错；当，时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．集合31. D 【解析】集合，所以．32. B 【解析】因为是第二象限角，所以，，所以，，所以是第一或第三象限角，而是第三象限角，所以是第四象限角．33. D 【解析】如图，等边三角形是半径为的圆的内接三角形，则线段所对的圆心角，作，垂足为，在中，，，所以，，所以，由弧长公式得．34. B35. A36. B37. B38. A39. B40. B第二部分41. 四42. 二43.44.45. 三46.【解析】根据扇形的弧长公式可得，根据扇形的面积公式可得．47.48.49. 略50. ，51. ；，；，；，三52. ，53.【解析】设扇形的半径为，所以，，所以，扇形的弧长为，半径为，扇形的面积为．54.55.【解析】由题图知，终边落在射线上的角为，以为终边的角与角的终边相同，所以终边落在图中阴影部分的角的集合为．56. 一、二象限57. ①②③④58. 略，略59.60.【解析】设圆半径为，则圆内接正方形的对角线长为，所以正方形边长为，所以圆心角的弧度数是．61.62.【解析】如图，设内切圆半径为，则扇形的半径为，扇形弧长，解得．63.【解析】．64.【解析】因为扇形（），（），所以弓形扇形（）．65. ，【解析】将时针拨慢，时针按逆时针方向转动，转过的是正角，转过的度数为．将时针拨快，分针按顺时针方向转动，转过的是负角，转过的度数为．66.【解析】设扇形的半径为，则，所以，所以扇形的周长为．67.【解析】，，，解得，又，故，，，角为，，．68.【解析】设扇形的半径为，内切圆的半径为，则，即．又扇，内切圆，所以扇内切圆．69. ⑥【解析】（1）明确各种角的定义，逐一判断即可．对于①，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍，故①是错误的；对于②，角是第一象限角，角是第二象限角，，所以②错误；对于③，的角是指的角，其中角不是任何象限的角，为轴线角，故③错误；对于④，小于的角指满足的角，其中也包括负角和零角，故④错误．（2）弧度角的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度的角．由此可知，只有⑥正确．⑤⑦错误．70.【解析】由于第一象限角不小于第二象限角，故错；当三角形的内角为时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于，但与的终边不相同，故错；当，时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故错．综上可知只有正确．71.【解析】由，解得．72. ，【解析】（）在内终边在直线上的角为，所以终边在直线上的角的集合为．（）因为，所以，依题意，，所以，所以＝，即在内与角的终边相同的角为，，共三个．73.74. ①②③④75. 或76.【解析】设扇形的圆心角为，半径为，扇形的弧长．因为，，所以扇形当时，扇形的面积最大．77.【解析】设扇形的半径为，弧长为，由题意知解得所以扇形的圆心角的弧度数为．78.【解析】设，，由题意知劣弧长为，由于圆的半径为，所以．设，则，，所以的坐标为．79.【解析】由题意知，圆的半径，正方形的边长．由图可知，以正方形的边为弦时所对的圆心角为．正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示．当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈共次．设第次滚动，点的路程为，则；；；，因此，点所走过的路径的长度为．80. ．【解析】每次转动一个边长时，圆心角转过，正方形有边，所以需要转动次，回到起点．在这次中，半径为的次，半径为的次，半径为的次，点走过的路径的长度= + = ．第三部分81. 略．82. 略．83. 略84. 略85. （1）略．（2）略．86. 略87. 因为集合表示终边在四个象限的角平分线上角的集合，集合表示终边在坐标轴上（为偶数时）和四个象限的角平分线上（为奇数时）的角的集合，所以．88. （1）①，其中适合不等式的元素为：，，；②，其中适合不等式的元素为：，，．（2）终边在直线上的角的集合其中适合不等式的元素为：，．89. 因为，所以终边在题图所示阴影区域内的角的集合为．90. （1）因为，，，所以为底面圆的直径侧．圆锥的侧面展开图是一个扇形，设此扇形的中心角为，弧长为，则，所以，所以．（2）沿着圆锥的侧棱展开，在展开图中，，，．91. ，得秒，走过的弧长为，走过的弧长为．92. （1），所以在第二象限；，所以在第一象限．（2），与它终边相同的角可表示为，，由，得，所以，，即在～的范围内与终边相同的角是，．同理，在～范围内与终边相同的角是．93. （）；（）．94. ①因为为第二象限角，则，，所以，，所以是第三或第四象限角，以及终边落在轴的非正半轴上的角．②，．令，则，所以为第一象限角．令，则，所以为第二象限角．令，则，所以为第四象限角．所以是第一或第二或第四象限角．95. 因为是第二象限角，所以，，所以，，所以是第一或第三象限角（如图阴影部分）．结合单位圆上的三角函数线可得，（i）当是第一象限角时，，，，从而得；（ii）当是第三象限角时，，，，从而得．综上，当是第一象限角，即，时，；当是第三象限角，即，时，．96. 设扇形的半径为，其内切圆的半径为，由已知得，．又因为，所以．所以内切圆的面积为．97. 由题意，有．所以．又，即，所以，且所以或．故或．易知，故当，是第一象限角；当，是第二象限角．98. （1）．（2）由题意知，即，，当时，的最大值为，当时，，．即扇形面积的最大值为，此时扇形圆心角的弧度数为．99. （1）设扇形的圆心角的弧度数为，弧长为，半径为．由题意得：解得：，当时，，此时（舍）当时，，此时，∴扇形圆心角的弧度数是．（2）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，．所以当时，扇形的面积最大，这个最大值是，此时．当它的半径和圆心角分别取和弧度时，才能使扇形的面积最大，最大面积是．100. 设扇形的半径为，则周长，所以．．因为，当且仅当，即时等号成立．此时，所以当时，取得最大值为．。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.若为第三象限，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【考点】同角三角函数基本关系及三角函数符号．2.下列各式中，值为的是A．B．C．D．【答案】D【解析】;;;.【考点】二倍角的正弦、余弦、正切公式.3.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.4.是第( )象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】C【解析】本题主要考查三角函数终边相同的角.由得出终边在第三象限，故选C.【考点】终边相同的角的表示.5.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.6.已知点P（）在第三象限，则角在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由已知得，即，则角在第二象限。
【考点】（1）三角函数值符号的判断；（2）象限角的判断。
7. 2400化成弧度制是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查度与弧度的互化，利用公式弧度，可得.【考点】度与弧度的互化.8.的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.任意角的三角函数值可利用诱导公将角化为锐角的三角函数值求得.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.9.若，且，则角的终边所在的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以角的终边所在象限是第四象限，故选D．【考点】1、三角函数值的符号；2、二倍角的正弦．10.设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，求和．【答案】；．【解析】利用余弦函数的定义求得，再利用正弦函数的定义即可求得的值与的值．∵为第四象限角，∴，∴，∴，∴，∴＝，∴，．【考点】任意角的三角函数的定义．11.将120o化为弧度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故.【考点】弧度制与角度的相互转化.12.下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．-30°C．630°D．-630°【答案】B【解析】与330°终边相同的角可写为，当时，可得-30°.【考点】终边相同的角之间的关系.13.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.14.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为 .【答案】【解析】扇形面积公式，即（必须为弧度制）.【考点】扇形面积公式.15.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．16.已知【答案】【解析】由已知得，又因为，所以，而，故答案为．【考点】1．诱导函数；2．特殊角的三角函数值．17.一钟表的分针长5 cm，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm【答案】【解析】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是，分针经40分钟，分针的端点所转过的角的弧度数为2π×=，代入弧长公式l=αr，得出分针的端点所转过的长为×5=（cm）．故答案为：。
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任意角和弧度制练习题(含答案)
§1.1 任意角和弧度制
班级 姓名 学号 得分
一、选择题
1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( )
(A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α
2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( )
(A){α|α=k ·360°，k ∈Z}
(B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z} (C){α|α=k ·180°，k ∈Z} (D){α|α=k ·90°，k ∈Z}
3.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） ( )
(A) α+β=π （B) α-β=2
π (C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( ) (A)3π (B)32π (C)3 (D)2
5.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)
3π (B)－3π (C)6π (D)－6π *6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题：
①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ( )
(A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
二.填空题
7.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 .
8. -12
23πrad 化为角度应为 . 9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.
*10.若角α是第三象限角，则2
α角的终边在 ，2α角的终边在 .
三.解答题
11.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.
12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.
13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
*14.如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.
参考答案
§1.1任意角和弧度制
一、CDDCBA
二、7.{x |x =k ·3600+1800, k ∈Z }, {x |x =k ·1800+450,k ∈Z } ; 8.-345°; 9. 31;
10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y 轴的正半轴上
三、11.{ α|α=k ·3600+1200或α=k ·3600+3000, k ∈Z } -60° 120°
12.由7θ=θ+k ·360°，得θ=k ·60°（k ∈Z ）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°
13.∵l =20－2r ,∴S =21lr =21(20-2r )·r =－r 2+10r =-(r -5)2+25
∴当半径r =5 cm 时，扇形的面积最大为25 cm 2,此时，α=r l =
55220⨯-=2(rad) 14.A 点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜23
π,14分钟后回到原位，∴14θ=2k π,
θ=72πk ，且2π<θ<43π，∴ θ=7
4π或75π。