中考数学压轴题目十大类型之三角形的存在问题目备考练习

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中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习(含答案解析)

中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习（含答案解析）一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x 轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D （t ，t 2+t ﹣4），连接OD ．令y ＝0，则x 2+x ﹣4＝0，解得x ＝﹣4或2，∴A （﹣4，0），C （2，0），∵B （0，﹣4），∴OA ＝OB ＝4，∵S △ABD ＝S △AOD +S △OBD ﹣S △AOB ＝×4×（﹣﹣t +4）+×4×（﹣t ）﹣×4×4＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，∵﹣1＜0，∴t ＝﹣2时，△ABD 的面积最大，最大值为4，此时D （﹣2，﹣4）；（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥抛物线的对称轴于点M ．则N （﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC 于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE ＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC 与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC ＝S△ABC时，求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．令y＝0，得．解得x1＝﹣2，x2＝8．∴点B的坐标为（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b．把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．∵抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标为．∴S四边形ABDC ＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC 于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）41。

2020年中考数学难题突破：函数中特殊三角形存在性问题解析与练习及参考答案

(3 ) ①x＝ 1 (1 ，a)
②三 AQ＝ BQ，AB＝BQ， AQ＝AB
解： (1) ∵直线 y＝3x＋ 3，
∴当 x＝0 时， y＝ 3，当 y＝0 时， x＝－ 1，
∴点 A 的坐标为 ( －1，0) ，点 B 的坐标为 (0 ，3) ．
(2) 设抛物线对应的函数表达式为
y＝ax2＋ bx＋c，由题意，得
③当 AQ＝ AB时，如图③，由勾股定理，得 22＋a2＝ 10，解得 a＝± 6，此时点 Q的坐标是 (1 ， 6) 或(1 ，－ 6) ．综上所述，存在符合条件的点 Q，点 Q的坐标为 (1 ，1) 或 (1 ，0) 或 (1 ， 6) 或(1 ，－ 6) ．类型 2 直角三角形、全等三角形存在性问题例 2 如图 2，已知直线 y＝kx －6 与抛物线 y＝ ax2＋bx＋c 相交于 A，B 两点，且点 A(1，－ 4) 为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上．
解得
1－ m＝ 2
13
1＋ m＝ 2
13 ＞0，舍去
，
∴点 P 的坐标为
1－ 2
13 ，
13－1 . 2
(3) 如图，①当∠ Q1AB＝90°时，△ DAQ∽1 △ DOB，
AD DQ1
5 DQ1
∴OD＝ DB，即6＝ 3ຫໍສະໝຸດ ， 557
∴DQ1＝ 2，∴ OQ1＝2，
7 即点 Q1的坐标为 0，－ 2 ；
C(3，0) ．
(1) 求点 A，B 的坐标．
(2) 求抛物线对应的函数表达式．
图1
(3) 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△ ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 Q的坐
标；若不存在，请说明理由．

【中考数学压轴题】十大类型之三角形的存在性问题备考练习(含答案)

【中考数学压轴题】十大类型之三角形的存在性问题备考练习一、解答题(共2道，每道50分)1.如图，已知直线l1的解析式为y=3x+6，直线l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线l2经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q 在直线l2从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（1＜t＜10）．（1）求直线l2的解析式．（2）设△PCQ的面积为S，请求出S 关于t的函数关系式．（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？答案：（1）l2的解析式为．（2）（3）t=5，或，或时，△PCQ为等腰三角形．解题思路：（1）由题意，知B(0，6)，C(8，0).设直线l2的解析式为y=kx+b，则，解得，b=6．∴l2的解析式为．（2）解法一：如图，过P作PD⊥l2于D，则△PDC∽△BOC．∴．由题意知，OA=2，OB=6，OC=8，∴，PC=10－t∴，∴∴解法二：如图，过Q作QD⊥x轴于D，则△CQD∽△CBO．∴．由题意知，OA=2，OB=6，OC=8．∴，∴，．（3）根据等腰三角形的基本特征画出图形，进行分类讨论，再表达出相对应的个线段的长度建立等式来进行求解．要想使△PCQ为等腰三角形，需满足CP=CQ，或QC=QP，或PC=PQ．①当CP=CQ时（如图①），得10－t=t，解得t=5．②当QC=QP时（如图②），过Q作QD⊥x轴于D，则．∵△QDC∽△BOC，∴，即，解得．③当PC=PQ时（如图③），过P作PD⊥l2于D，则∵△CDP∽△COB，∴．∴，解得．综上所述，当t=5，或，或时，△PCQ为等腰三角形．试题难度：三颗星知识点：中考压轴之三角形存在性问题2.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连结AC、BC，A、C两点的坐标分别为A(-3,0)、C，且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等．（1）求实数a、b、c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．答案：（1）（2）；P（-1，）（3）Q（）解题思路：（1）由题意，得,解之得（2）由（1）得，当y=0时，x=-3或1，∴B（1，0），A（-3，0），C（0，）∴OA=3，OB=1，OC=.易求得AC=，BC=2，AB=4∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∠A=30°，∠B=60°又由BM=BN=PN=PM知四边形PMBN为菱形，∴PN∥AB，∴，∴过P做PE⊥AB于E，在Rt△PEM中，∠PME=∠B=，PM=∴ME=又OM=BM-OB=故OE=1，∴P（-1，）（3）由（1）、（2）知抛物线的对称轴为直线x=-1，且∠ACB=90°，①若∠BQN=90°∵BN的中点到对称轴的距离大于1，而，∴以BN为直径的圆不与对称轴相交，∴∠BQN≠，即此时不存在符合条件的Q点②若∠BNQ=90°，当∠NBQ=60°，则Q、E重合，此时∠BNQ≠；当∠NBQ=30°，则Q、P重合，此时∠BNQ≠即此时不存在符合条件的Q点③若∠QBN=时，延长NM交对称轴于点Q，此时，Q为P关于x轴的对称点。

中考数学压轴题专项练习：特殊三角形问题（10道）及答案

中考数学压轴题专项练习：特殊三角形问题（10道）及答案题库：二次函数压轴题-特殊三角形问题1.如图，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B 两点，与y 轴交于点C (0，2)，抛物线的对称轴交x 轴于点D.(1)求抛物线的解析式； (2)求sin ∠ABC 的值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．第1题图解：(1)将点A (－1，0)，C (0，2)代入抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 中得，－12－b ＋c ＝0c ＝2，解得b ＝32c ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2； (2)令y ＝－12x 2＋32x ＋2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4，∴点B 的坐标为(4，0)，在Rt △BOC 中，BC ＝OC 2＋OB 2＝22＋42＝25，∴sin ∠ABC ＝OC BC ＝225＝55；(3)存在，点P 坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)．【解法提示】由抛物线y ＝－12x 2＋32x ＋2得对称轴为直线x ＝32，∴点D 的坐标为(32，0)．∴CD ＝OC 2＋OD 2＝22＋（32）2＝52.∵点P 在对称轴x ＝32上，且△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，∴当点D 为顶点时，有DP ＝CD ＝52，此时点P 的坐标为(32，52)或(32，－52)；当点C 为顶点时，如解图，连接CP ，则CP ＝CD ，过点C 作CG ⊥DP 于点G ，则DG ＝PG ，第1题解图∵DG ＝2，∴PG ＝2，PD ＝4，∴点P 的坐标为(32，4)．综上，存在点P 使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，点P 的坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)．2. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A (1，0)，C (0，3)两点，与x 轴的另一个交点为B .(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式； (2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．第2题图解：(1)由题意得－b2a ＝－1a ＋b ＋c ＝0c ＝3，解得a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为直线x ＝－1，抛物线经过A (1，0)，∴B (－3，0)．设直线BC 的解析式y ＝mx ＋n ，把B (－3，0)，C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n 得－3m ＋n ＝0n ＝3，解得m ＝1n ＝3，∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3； (2)如解图，连接MA ，第2题解图∵MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2.∴M (－1，2);(3)设P (－1，t )，∵B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18， PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2， PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t＝－2；②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4；③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即： 4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172.综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (0，－6)和点C (6，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x 轴的负半轴交于点B ，试判断△ABC 的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△P AC 是以AC 为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)将C 、A 两点坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c ，可得36＋6b ＋c ＝0c ＝－6，解得b ＝－5c ＝－6，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－5x －6； (2)当y ＝0时，则有：x 2－5x －6＝0，即(x ＋1)(x －6)＝0，∴解得x 1＝－1，x 2＝6(舍)，∴B (－1，0)．由两点之间的距离公式可得： BC 2＝[(－1)－6]2＝49， AC 2＝(6－0)2＋[0－(－6)]2＝72，AB 2＝(－1－0)2＋[0－(－6)]2＝37，∵AB 2＋BC 2>AC 2，∴△ABC 为锐角三角形．(3)存在满足条件的点P ，使得△P AC 是以AC 为底的等腰三角形理由：如解图，过线段AC 的中点M ，作AC 的垂线交抛物线于点P ，第3题解图直线MP 与抛物线必有两个满足条件的交点P ，∵A (0，－6)，C (6，0)，∴点M 的坐标为(3，－3)，且OA =OC ，∴直线MP 过点O ，设直线MP 的解析式为y ＝kx ，将点M (3，－3)代入得，k ＝－1，即直线MP 的解析式为y ＝－x ，联立y ＝－x y ＝x 2－5x －6，解得x 1＝2－10y 1＝10－2或x 2＝2＋10y 2＝－2－10 ，∴点P 的坐标为(2－10，10－2)或(2＋10，－2－10)．4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－2x ＋10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是(8，4)，连接AC ，BC .(1)求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；(2)动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒．当t 为何值时，P A ＝QA?(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)∵直线y ＝－2x ＋10与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，∴A (5，0)，B (0，10)，设过O 、A 、C 三点的抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx (a ≠0)，把点A (5，0)和C (8，4)代入可得25a ＋5b ＝064a ＋8b ＝4，解得a ＝16b ＝－56，∴抛物线的解析式为y ＝16x 2－56x ；∵A (5，0)，B (0，10)，C (8，4)，∴AB 2＝125，AC 2＝25，BC 2＝100，∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 是直角三角形．(2)如解图，连接AP ，AQ ，当P ，Q 运动t 秒，即OP ＝2t ，CQ ＝10－t ，第4题解图在Rt △AOP 和Rt △ACQ 中，AC ＝OAP A ＝QA，∴Rt △AOP ≌Rt △ACQ ，∴OP ＝CQ ，∴2t ＝10－t ，∴t ＝103，∵t <5，∴当运动时间为103秒时，P A ＝QA ； (3)存在．由题可得，抛物线的对称轴直线为x ＝52，设点M 的坐标为( 52，b )，利用点的坐标可求得 AB 2＝102＋52＝125， MB 2＝(52)2＋(b －10)2， MA 2＝(52)2＋b 2，∵△MAB 是等腰三角形，∴可分以下三种情况讨论：①当AB ＝MA 时，即125＝(52)2＋b 2，解得b ＝±5192，即点M 的坐标为(52，5192)或(52，－5192)；②当AB ＝BM 时，即125＝(52)2＋(b －10)2，解得b ＝10±5192，即点M 的坐标为(52，10＋5192)或(52，10－5192)；③当MB ＝MA 时，即(52)2＋(b －10)2＝(52)2＋b 2，解得b ＝5，此时点A 、M 、B 共线，故这样的点M 不存在．综上所述，存在点M ，使以点A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，点M 的坐标为(52，5192)或(52，－5192)或(52，10＋5192)或(52，10－5192)．5. 如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为(3，0)，与y 轴交于点C (0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在x 轴下方的抛物线上，过点P 的直线y ＝x ＋m 与直线BC 交于点E ，与y 轴交于点F ，求PE ＋EF 的最大值；(3)点D 为抛物线对称轴上一点，当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，求点D 的坐标．解：(1)由题意得32＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得b ＝－4c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3；(2)如解图①，过点P 作PG ∥CF 交CB 与点G ，第5题解图①由题可知，直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，OC ＝OB ＝3，∴∠OCB ＝45°. 同理可知∠OFE ＝45°，∴△CEF 为等腰直角三角形，∵PG ∥CF ，∴△GPE 为等腰直角三角形，∵F(0，m)，C(0，3)，∴CF＝3－m，∵△CEF∽△GEP∴EF＝22CF＝22(3－m), PE＝22PG，设P(t，t2－4t＋3)(1<t<="">2PG＝22(－t＋3－t－m)＝22(－m－2t＋3)，∵点P是直线y＝x＋m与抛物线的交点，∴t2－4t＋3＝t＋m，∴PE＋EF＝22(3－m)＋22(－m－2t＋3)＝22(－2t－2m＋6)＝－2(t＋m－3)＝－2(t2－4t)＝－2(t－2)2＋42，∴当t＝2时，PE＋EF最大，最大值为42；(3)由(1)知对称轴x＝2，设点D(2，n)，如解图②.第5题解图②当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论：(ⅰ)D在C上方D1位置时，由勾股定理得CD21＋BC2＝BD21，即(2－0)2＋(n －3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2 ，解得n＝5；(ⅱ)D 在C 下方D 2位置时，由勾股定理得BD 22＋BC 2＝CD 22，即(2－3)2＋(n －0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n －3)2 ，解得n ＝－1，综上所述，当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 为(2，5)或(2，－1)．6.如图，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c (a ≠0)与y 轴交于点C (0，4)，与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为N ，在x 轴上找一点K ，使CK ＋KN 的值最小，求出此时点K 的坐标；(3)若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第6题图解：(1)∵抛物线经过点C (0，4)，A (4，0)，∴c=a a c=??-+?41680，解得a=c=?-124，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；</t。

中考数学压轴题十大类型经典题目

中考数学压轴题十大类型目录第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题 7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题 13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题 19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题 25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系 31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题 38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题 44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究 50 第十讲中考压轴题十大类型之圆 56 第十一讲中考压轴题综合训练一 62 第十二讲中考压轴题综合训练二 68第一讲中考压轴题十大类型之动点问题1.2011吉林如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD =90°,CE ⊥AD 于点E ,AD =8cm,BC =4cm,AB =5cm ．从初始时刻开始,动点P ,Q 分别从点A ,B 同时出发,运动速度均为1cm/s,动点P 沿A -B -C -E 方向运动,到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动,到点D 停止,设运动时间为x s,△PAQ 的面积为y cm 2,这里规定：线段是面积为0的三角形解答下列问题：1 当x =2s 时,y =_____ cm 2；当x =92s 时,y =_______ cm 2． 2当5 ≤ x ≤ 14时,求y 与x 之间的函数关系式．3当动点P 在线段BC 上运动时,求出154 y S 梯形ABCD 时x 的值． 4直接写出在整个．．运动过程中,使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．D C BA 2.2007河北如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =DC =50,AD =75,BC =135．点P 从点B 出发沿折线段BA -AD -DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点Q 向上作射线QK ⊥BC ,交折线段CD -DA -AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动,当点P 与点C 重合时停止运动,点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒t ＞0．1当点P 到达终点C 时,求t 的值,并指出此时BQ 的长；2当点P 运动到AD 上时,t 为何值能使PQ ∥DC3设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ,分别求出点E 运动到CD 、DA 上时,S 与t 的关系式；,写出t 的取值范围；若不能,请说明理由．备用图3.2008河北如图,在Rt ABC △中,∠C=90°,AB =50,AC =30,D ,E ,F 分别是AC ,AB ,B C 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,过点Q 作射线QK AB ⊥,交折线BC -CA 于点G ．点P Q ，同时出发,当点P 绕行一周回到点D 时停止运动,点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒0t >．1D F ，两点间的距离是；2射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分若能,求出t 的值．若不能,说明理由；3当点P 运动到折线EF FC -上,且点P 又恰好落在射线QK 上时,求t 的值； 4连结PG ,当PG AB ∥时,请直接．．写出t 的值． 4.2011山西太原如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点．点A 的坐标为8,0,点B 的坐标为11,4,动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动,同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动,过点P 作PM 垂直于x 轴,与折线O -C -B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P 、Q 运动的时间为t秒0t>,△MPQ的面积为S．1点C的坐标为________,直线l的解析式为__________．2试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围．3试求题2中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值．4随着P、Q两点的运动,当点M在线段CB上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时,△QMN为等腰三角形请直接写出t的值．5.2011四川重庆如图,矩形ABCD中,AB＝6,BC＝2错误!,点O是AB的中点,点P在AB的延长线上,且BP＝3个单位长度的速度沿OA匀速运动,到达A点后,F从P点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中,以和矩形ABCD在射线PA的同侧,设运动的时间为t秒1当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值；2在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请直接写出S 与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；3设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t,使△AOH是等腰三角形若存在,求出对应的t的值；若不存在,请说明理由．备用图1备用图2三、测试提高1．2011山东烟台如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上．直线CB的表达式为41633y x=-+,点A、D的坐标分别为－4,0,0,4．动点P自A点出发,在AB上匀速运动．动点Q自点B出发,在折线BCD 上匀速运动,速度均为每秒1个单位．当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动．设点P运动t秒时,△OPQ的面积为S不能构成△OPQ的动点除外．1求出点B、C的坐标；2求S随t变化的函数关系式；3当t为何值时S有最大值并求出最大值．备用图第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题12011浙江温州如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标为-4,0,点B的坐标为0,bb＞0．P是直线AB上的一个动点,作PC⊥x轴,垂足为C,记点P 关于y轴的对称点为P′ 点P′不在y轴上,连结P P′,P′A,P′C,设点P的横坐标为a．（1）当b =3时,①直线AB 的解析式；②若点P ′的坐标是-1,m ,求m 的值；2若点P 在第一象限,记直线AB 与P ′C 的交点为D ．当P ′D :DC =1:3时,求a 的值； 3是否同时存在a ,b ,使△P ′CA 为等腰直角三角形若存在,请求出所有满足要求的a ,b 的值；若不存在,请说明理由．2. 2010武汉如图,抛物线212y ax ax b=-+经过A －1,0,C 2,32两点,与x 轴交于另一点B ． 1求此抛物线的解析式； 2若抛物线的顶点为M ,点P 为线段OB 上一动点不与点B 重合,点Q 在线段MB 上移动,且∠MPQ =45°,设线段OP =x ,MQ=22y ,求y 2与x 的函数关系式,并直接写出自变量x 的取值范围； 3在同一平面直角坐标系中,两条直线x =m ,x =n 分别与抛物线交于点E ,G ,与2中的函数图象交于点F ,H ．问四边形EFHG 能否为平行四边形若能,求m ,n 之间的数量关系；若不能,请说明理由．备用图3. 2011江苏镇江在平面直角坐标系xOy 中,直线1l 过点A 1,0且与y 轴平行,直线2l 过点B 0,2且与x 轴平行,直线1l 与2l 相交于点P ．点E 为直线2l 上一点,反比例函数k y x=k >0的图象过点E 且与直线1l 相交于点F ． 1若点E 与点P 重合,求k 的值； 2连接OE 、OF 、EF ．若k >2,且△OEF 的面积为△PEF 的面积2倍,求点E 的坐标； 3是否存在点E 及y 轴上的点M ,使得以点M 、E 、F 为顶点的三角形与△PEF 全等若存在,求E 点坐标；若不存在,请说明理由．4. 2010浙江舟山△ABC 中,∠A =∠B =30°,AB=ABC 放在平面直角坐标系中,使AB 的中点位于坐标原点O 如图,△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．1当点B 在第一象限,,求点B 的横坐标； x y P'DO C B A P2如果抛物线2y ax bx c =++a ≠0的对称轴经过点C ,请你探究：①当a =,12b =-,c =,A ,B 两点是否都在这条抛物线上并说明理由； ②设b =-2am ,是否存在这样的m 值,使A ,B 两点不可能同时在这条抛物线上若存在,直接写出m 的值；若不存在,请说明理由．5.12若点N 为线段BMQ ．当点N 在线段BM 上运动时点N 不与点B ,点M 面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式及自变量3,求出所有符合条件的点P 4将△OAC 补成矩形,使得△,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标不需要计算过程．三、测试提高1． 2011山东东营如图所示,四边形OABC 是矩形,点A 、C 的坐标分别为30-，,0,1,点D是线段BC 上的动点与端点B 、C 不重合,过点D 作直线12y x b =+交折线OAB 于点E ． 1记△ODE 的面积为S ．求S 与b 的函数关系式；2当点E 在线段OA 上时,且tan ∠DEO =12．若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形1111O A B C ．试探究四边形1111O A B C 与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积；若改变,请说明理由．第三讲中考压轴题十大类型之面积问题1. 2011辽宁大连如图,抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A －1,0、B 3,0、C 0,3三点,对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ,连接PB ．1求该抛物线的解析式；2抛物线上是否存在一点Q ,使△QMB 与△PMB 的面积相等,若存在,求点Q 的坐标；若不存在,说明理由；3在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ,使△RPM 与△RMB 的面积相等,若存在,直接写出点R 的坐标；若不存在,说明理由．2. 2011湖北十堰如图,和点 B ,与y 轴交于点C 0,-3．1求抛物线的解析式；2如图1,己知点H 0,-1．问在抛物线上是否存在点G 点G 在y 轴的左侧,使得S △GHC =S △GHA 若存在,求出点G 的坐标,若不存在,请说明理由：3如图2,抛物线上点D 在x 轴上的正投影为点E ﹣2,0,F 是OC 的中点,连接DF ,P 为线段BD 上的一点,若∠EPF =∠BDF ,求线段PE 的长．3. 2010天津在平面直角坐标系中,已知抛物线2y x bx =-+c +与x 轴交于点A 、B 点A 在点B 的左侧,与y 轴的正半轴交于点C ,顶点为E ． Ⅰ若2b =,3c =,求此时抛物线顶点E 的坐标；Ⅱ将Ⅰ中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC 中满足S △BCE = S △ABC ,求此时直线BC 的解析式；Ⅲ将Ⅰ中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC 中满足S △BCE =2S △AOC ,且顶点E 恰好落在直线43y x =-+上,求此时抛物线的解析式．4. 2011山东聊城如图,在矩形ABCD 中,AB ＝12cm,BC ＝8cm ．点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点E 、G 的速度均为2cm/s,点F 的速度为4cm/s,当点F 追上点G 即点F 与点G 重合时,三个点随之停止移动．设移动开始后第t s 时,△EFG 的面积为S cm 2．1当t ＝1s 时,S 的值是多少2写出S 与t 之间的函数解析式,并指出自变量t 的取值范围；3若点F 在矩形的边BC 上移动,当t 为何值时,以点B 、E 、F 为顶点的三角形与以C 、F 、G 为顶点的三角形相似请说明理由．5. 2011江苏淮安如图,在Rt△ABC中,∠C =90°,AC =8,BC =6,点P 在AB 上,AP =2,点E 、F 同时从点P 出发,分别沿PA 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动,点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动,点F 运动到点B 时停止,点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中,以EF 为边作正方形EFGH ,使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒t ＞0,正方形EFGH 与△ABC 重叠部分面积为S ．1当t =1时,正方形EFGH 的边长是．当t =3时,正方形EFGH 的边长是． 2当0＜t ≤2时,求S 与t 的函数关系式；3直接答出：在整个运动过程中,当t 为何值时,S 最大最大面积是多少A EB FC GDA 备用图三、测试提高1. 2010山东东营如图,在锐角三角形ABC 中,BC =12,△ABC 的面积为48,D ,E 分别是边AB ,AC 上的两个动点D 不与A ,B 重合,且保持DE ∥BC ,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG ．1当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时,求正方形DEFG 的边长；2设DE = x ,△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,写出x 的取值范围,并求出y 的最大值．第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题板块一、等腰三角形存在性1. 2011江苏盐城如图,已知一次函数7y x =-+与正比例函数34y x =的图象交于点A ,且与x 轴交于点B ．1求点A 和点B 的坐标；2过点A 作AC ⊥y 轴于点C ,过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长的速度,沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l 交x 轴于点R ,交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时,点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中,设动点P 运动的时间为t 秒．是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形若存在,求t 的值；若不存在,请说明理由．备用图2. 2009湖北黄冈如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点A ,与y 轴的交点为点B ,过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC ．现有两动点P ,Q 分别从O ,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ,Q 移动的时间为t 单位：秒B AD E F G C B 备用图1 A C B 备用图2 A C1求A ,B ,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；2当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形请写出计算过程；3当902t <<时,△PQF 的面积是否总为定值若是,求出此定值,若不是,请说明理由；4当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形请写出解答过程．板块二、直角三角形3. 2009四川眉山如图,已知直线112y x =+与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为 1,0． 1求该抛物线的解析式；2动点P 在x 轴上移动,当△PAE 是直角三角形时,求点P 的坐标．4. 2010广东中山如图所示,矩形ABCD 的边长AB =6,BC =4,点F 在DC 上,DF =2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发,沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动点M 可运动到DA 的延长线上,当动点N 运动到点A 时,M 、N 两点同时停止运动．连接FM 、FN ,当F 、N 、M 不在同一直线上时,可得△FMN ,过△FMN 三边的中点作△PWQ ．设动点M 、N 的速度都是1个单位/秒,M 、N 运动的时间为x 秒．试解答下列问题：1说明△FMN ∽△QWP ；2设04x ≤≤即M 从D 到A 运动的时间段．试问x 为何值时,△PWQ 为直角三角形当x 在何范围时,△PQW 不为直角三角形3问当x 为何值时,线段MN 最短求此时MN 的值．板块三、相似三角形存在性 5. 2011湖北天门在平面直角坐标系中,抛物线2y ax bx =+ 3+与x 轴的两个交点分别为-3,0、B 1,0,过顶点C 作CH ⊥x 轴于点． 1直接填写：a = ,b = ,顶点C 的坐标为；2在y 轴上是否存在点D ,使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形若存在,求出点D 的坐标；若不存在,说明理由； 3若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点点P 与顶点C 不重合,PQ ⊥AC 于点Q ,当△PCQ 与△ACH 相似时,求点P 的坐标． W QPNM F D CB A备用图三、测试提高1. 2009广西钦州如图,已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点, A 点的坐标为－1,0,过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ,点P 是线段BC 上的一个动点,过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ,且01t <<．1填空：点C 的坐标是_____,b ＝_____,c ＝_____；2求线段QH 的长用含t 的式子表示；3依点P 的变化,是否存在t 的值,使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似若存在,求出所有t 的值；若不存在,说明理由．第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题1. 2009黑龙江齐齐哈尔直线364y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点,动点P 、Q 同时从O 点出发,同时到达A 点,运动停止．点Q 沿线段OA 运动,速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动．1直接写出A 、B 两点的坐标；2设点Q 的运动时间为t 秒,△OPQ 的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式；3当485S =时,求出点P 的坐标,并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．2. 2010河南在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A (40)，-,B (04)，-,C (20)，三点．1求抛物线的解析式；2若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m ,△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值．3若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线x y -=上的动点,判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q 的坐标．3. 2011黑龙江鸡西已知直线y =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,∠ABC =60°,BC 与x 轴交于点C ．1试确定直线BC 的解析式；2若动点P 从A 点出发沿AC 向点C 运动不与A 、C 重合,同时动点Q 从C 点出发沿CBA 向点A 运动不与C 、A 重合,动点P 的运动速度是每秒1个单位长度,动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ,P 点的运动时间为t 秒,求S 与t 的函数关系式,并写出自变量的取值范围；3在2的条件下,当△APQ 的面积最大时,y 轴上有一点M ,平面内是否存在一点N ,使以A 、Q 、M 、N 为顶点的四边形为菱形若存在,请直接写出N 点的坐标；若不存在,请说明理由．4. 2007河南如图,对称轴为直线x ＝27的抛物线经过点A 6,0和B0,4．1求抛物线解析式及顶点坐标；2设点Ex ,y 是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形,求四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；3①当四边形OEAF 的面积为24时,请判断OEAF 是否为菱形②是否存在点E ,使四边形OEAF 为正方形若存在,求出点E 的坐标；若不存在,请说明理由．5. 2010黑龙江大兴安岭如图,在平面直角坐标系中,函数2y x =+12的图象分别交x轴、y 轴于A 、B 两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点M,且点M 为线段OB 的中点． 1求直线AM 的解析式；2试在直线AM 上找一点P ,使得S △ABP ＝S △AOB ,请直接写出点P 的坐标；3若点H 为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点H ,使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形若存在,请直接写出点H 的坐标；若不存在,请说明理由．三、测试提高 1. 2009辽宁抚顺已知：如图所示2=++y ax x c a ≠0与x C ．1求出此抛物线的解析式,2在抛物线上有一点D ,D 的坐标,并求出直线AD 的解析式；3在2中的直线AD P ,x 轴上有一动点Q ．是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形如果存在,请直接写出点Q 的坐标；如果不存在,请说明理由．第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系1. 2010天津在平面直角坐标系中,矩形OACB 的顶点O 在坐标原点,顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,3OA =,4OB =,D 为边OB 的中点．Ⅰ若E 为边OA 上的一个动点,当△CDE 的周长最小时,求点E 的坐标；Ⅱ若E 、F 为边OA 上的两个动点,且2EF =,当四边形CDEF 的周长最小时,求点E 、F 的坐标．2. 2011四川广安四边形ABCD 是直角梯形,BC ∥AD ,∠=90°,BC 与y 轴相交于点M ,且M 是BC 的中点,A 、B 、D 三点的坐标分别是A 1 0-，,B 1 2-，,D 3,0．连接DM ,并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ．若抛物线2y ax bx c =++经过点D 、M 、N ．1求抛物线的解析式；2抛物线上是否存在点P ,使得PA =PC ,若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由；3设抛物线与x 轴的另一个交点为E ,点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q 在什么位置时有|QE -QC |最大并求出最大值．3. 2011四川眉山如图,在直角坐标系中,已知点A 0,1,B 4-,4,将点B 绕点A 顺时针方向旋转90°得到点C ,顶点在坐标原点的抛物线经过点B ． 1 求抛物线的解析式和点C 的坐标；2 抛物线上有一动点P ,设点P 到x 轴的距离为1d ,点P 到点A 的距离为2d ,试说明211d d =+；3 在2的条件下,请探究当点P 位于何处时,△PAC 的周长有最小值,并求出△PAC 的周长的最小值．4. 2011福建福州已知,如图,二次函数223y ax ax a =+-(0)a ≠图象的顶点为H ,与x轴交于A 、B 两点B 在A 点右侧,点H 、B 关于直线3:33l y x =+ 1求A 、B 两点坐标,并证明点A 在直线l 上； 2求二次函数解析式；3过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点,M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点,连接HN 、NM 、MK ,求HN +NM +MK 和的最小值．5. 2009湖南郴州如图1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M －2,－1,且y B O D C A xEyB O DC A x温馨提示：如图,可以作点D 关于x 轴的对称点D ',连接CD '与xP －1,－2为双曲线上的一点,Q 为坐标平面上一动点,PA 垂直于x 轴,QB 垂直于y 轴,垂足分别是A 、B ．1写出正比例函数和反比例函数的关系式；2当点Q 在直线MO 上运动时,直线MO 上是否存在这样的点Q ,使得△OBQ 与△OAP 面积相等如果存在,请求出点Q 的坐标,如果不存在,请说明理由；3如图2,当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ,求平行四边形OPCQ 周长的最小值．图1 图26. 2010江苏苏州如图,以A 为顶点的抛物线与y 轴交于点B ．已知A 、B 两点的坐标分别为3,0、0,4． 1求抛物线的解析式；2设()M m n ，M B O A 、、、,求点M 的坐标； 3在2的条件下,试问：22228PA PB PM ++>是否总成立请说明理由．三、测试提高1. 2009浙江舟山如图,已知点A -4,8和点B 2,n 在抛物线2=y ax 上．1求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标,并在x 轴上找一点Q ,使得AQ +QB 最短,求出点Q 的坐标；2平移抛物线2=y ax ,记平移后点A 的对应点为A ′,点B 的对应点为B ′,点C -2,0和点D -4,0是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时,A ′C +CB ′ 最短,求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A ′B ′CD 的周长最短若存在,求出此时抛物线的函数解析式；若不存在,请说明理由．第七讲中考压轴题十大类型之定值问题1. 2011天津已知抛物线1C ：21112y x x =-+,点F 1,1． Ⅰ求抛物线1C 的顶点坐标；Ⅱ①若抛物线1C 与y 轴的交点为A ,连接AF ,并延长交抛物线1C 于点B ,求证：112AF BF +=；②抛物线1C 上任意一点P P P x y ，01P x <<,连接PF ,并延长交抛物线1C 于点Q Q Q x y ，,试判断112PF QF+=是否成立请说明理由； Ⅲ将抛物线1C 作适当的平移,得抛物线2C ：221()2y x h =-,若2x m <≤时,2y x ≤恒成立,求m 的最大值．2. 2009湖南株洲如图,已知△ABC 为直角三角形,90ACB ∠=︒,AC BC =,点A 、C 在x轴上,点B 坐标为3,m 0m >,线段AB 与y 轴相交于点D ,以P 1,0为顶点的抛物线过点B 、D ．1求点A 的坐标用m 表示； 2求抛物线的解析式；3设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点,连结PQ 并延长交BC 于点E ,连结BQ 并延长交AC 于点F ,试证明：()FC AC EC +为定值．3. 2008山东济南已知：抛物线2y ax bx c =++a ≠0,顶点C1,3-,与x 轴交于A 、B 两点,(10)A -，． 1求这条抛物线的解析式； 2如图,以AB 为直径作圆,与抛物线交于点D ,与抛物线对称轴交于点E ,依次连接A 、D 、B 、E ,点P 为线段AB 上一个动点P 与A 、B 两点不重合,过点P 作断PM PNBE AD+是否为PM ⊥AE 于M ,PN ⊥DB 于N ,请判定值若是,请求出此定值；若不是,请说明理由；3在2的条件下,若点S 是线段EP 上一点,过点S 作FG ⊥EP ,FG 分别与边．AE 、BE相交于点F 、GF 与A 、E 不重合,G 与E 、B 不重合,请判断PA EFPB EG=是否成立．若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．4. 2011湖南株洲孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ,两直角边与该抛物线交于A 、B 两点,请解答以下问题： 1若测得OA OB ==如图1,求a 的值；2对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时,过B 作BF x ⊥轴于点F ,测得1OF =,写出此时点B 的坐标,并求点A 的横坐标．．．； 3对该抛物线,孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现,交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标．5. 2009湖北武汉如图,抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，、()04C ，两点,与x 轴交于另一点B ．1求抛物线的解析式；2已知点(),1D m m +在第一象限的抛物线上,求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； 3在2的条件下,连接BD ,点P 为抛物线上一点,且45DBP ∠=︒,求点P 的坐标．三、测试提高1. 2009湖南湘西在直角坐标系xOy与x 轴交于两点A 、B ,与y 的坐标是3,0．将直线y kx =沿y 轴向上平移3（1）求k 的值；（2）求直线BC 和抛物线的解析式；（3）求△ABC 的面积；（4）设抛物线顶点为D ,点P 在抛物线的对称轴上,且∠APD =∠ACB ,求点P 的坐标．、第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题1. 2009山西太原问题解决：如图1,将正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一方法指导：图1 图2 图3 图4αθ4HB 2B 3A 3A 222B 1A 1A 011点E 不与点C ,D 重合,压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时,求AMBN 的值．类比归纳：在图1中,若13CE CD =，则AMBN 的值等于；若14CE CD =，则AMBN的值等于；若1CE CD n=n 为整数,则AMBN 的值等于．用含n 的式子表示联系拓广：如图2,将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E 不与点C D ，重合,压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n=>=，，则AMBN 的值等于．用含m n ，的式子表示 2. 2011陕西如图①,在矩形ABCD 中,将矩形折叠,使B落在边AD 含端点上,落点记为E ,这时折痕与边BC 或边CD 含端点交于点F ,然后再展开铺平,则以B 、E 、F 为顶点的△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”.1由“折痕三角形”的定义可知,矩形ABCD 的任意一个“折痕△BEF ”是一个_________三角形；2如图②,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =4．当它的“折痕△BEF ”的顶点E 位于边AD 的中点时,画出这个“折痕△BEF ”,并求出点F 的坐标；3如图③,在矩形ABCD 中, AB =2,BC =4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF ”若存在,说明理由,并求出此时点E 的坐标；若不存在,为什么图① 图② 图③3. 2010江西南昌课题：两个重叠的正多边形,其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证设旋转角∠A 1A 0B 1＝αα＜∠A 1A 0A 2,θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6所表示的角如图所示． 1用含α的式子表示：θ3＝_________,θ4＝_________,θ5＝_________；图1－图4中,连接A 0H 时,在不添加其他辅助线的情况下,是否存在与直线0H 垂直且被它平分的线段若存在,请选择其中的一个图给出证明；若不存在,请说明理由；归纳与猜想图2NA B CD E F M图1A BCDE FM N设正n 边形A 0A 1A 2…A n -1与正n 边形A 0B 1B 2…B n -1重合其中,A 1与B 1重合,现将正n 边形A 0B 1B 2…B n -1绕顶点A 0逆时针旋转αn1800<<α． 3设θn 与上述“θ3,θ4,…”的意义一样,请直接写出θn 的度数；4试猜想在n 边形且不添加其他辅助线的情形下,是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段若存在,请将这条线段用相应的顶点字母表示出来不要求证明；若不存在,请说明理由．4. 2009山东德州已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点作EF ⊥BD 交BC于F ,连接DF ,G 为DF 中点,连接EG ,CG ． 1求证：EG =CG ；2将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o,如图②所示,取DF 中点G ,连接EG ,CG ．问1中的结论是否仍然成立若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由． 3将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问1中的结论是否仍然成立通过观察你还能得出什么结论均不要求证明5. 2010江苏苏州刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②．图①中,90°，B ∠=306cm °，；A BC ∠==图②中,90D =°，45E ∠=°， 4cm DE =.图③是刘卫同学所做的一个实验：他将DEF △的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起,并将DEF △沿AC 方向移动．在移动过程中,D 、E 两点始终在AC 边上移动开始时点与点重合． 1在DEF △沿AC 方向移动的过程中,刘卫同学发现：F C 、两点间的距离逐渐_________．填“不变”、“变大”或“变小” 2刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题：问题①：当DEF △移动至什么位置,即AD 的长为多少时,F C 、的连线与AB 平行问题②：当DEF △移动至什么位置,即AD 的长为多少时,以线段AD FC BC 、、的长度为三边长的三角形是直角三角形问题③：在DEF △的移动过程中,是否存在某个位置,使得15FCD ∠=°？如果存在,求出AD 的长度；如果不存在,请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．三、测试提高1. 2009湖南常德如图1,若△ABC 和△ADE 为等边三角形,M ,N 分别EB ,CD 的中点,易证：F BA D E G图①F A D G图② F A E 图③ ①图②F ED AB图③D。

九年级中考数学复习三角形综合压轴题专题练习

九年级中考数学复习三角形综合压轴题专题练习1、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；（2）如果CD＝5，求BE的值．2、如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC＝120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC＝∠C1．3、如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．=；（1）求证：BD CE∆（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．当ABC 的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．△中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ 4、在Rt ABC⊥AB,垂足为Q，连接AP．（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；（2）若AC=3,BC=4,当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；△中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在（3）在Rt ABC一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．5、已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8(1) 如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC 边上，EF交AD于点KEF的值①求AK②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值(2) 若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长6、【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．（1）【观察猜想】观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（2）【拓展探究】把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明：否则写出新的结论并说明理由．（3）【问题解决】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝4，BC＝8，请直接写出线段AP长的取值范围．7、感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC．应用：如图3，四边形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，则AB﹣AC=（用含a的代数式表示）8、如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE＝BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q．记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3(1) 求证：EF＋PQ＝BC(2) 若S1＋S3＝S2，求AEPE的值(3) 若S3－S1＝S2，直接写出AEPE的值9、在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝12∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．⑴当AB＝AC时，（如图1），①∠EBF＝_______°；②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；⑵当AB＝kAC时（如图2），求BEFD的值（用含k的式子表示）．10、提出问题⑴如图1，在等边△ABC中，点M是BC上任意一点(不含端点B、C)，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，求证：∠ABC=∠CAN；类比探究⑵如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其它条件不变，⑴中的结论∠ABC=∠CAN还成立吗？请说明理由.拓展延伸⑶如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC，连接CN，试探究∠ABC与∠CAN的数量关系，并说明理由.11、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点M落在AB上时，x=；（2）当点M落在AD上时，x=；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．12、已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E(1) 如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED·EA＝EC·EB3，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积(2) 如图2，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝5为6，求四边形AB CD的面积(3) 如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC＝cos∠ADC3，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）＝513、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s 的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．（1）当t＝2时，PH= cm，DG = cm；（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．14、在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于，线段CE1的长等于；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1= CE1，且BD1⊥CE1；（3）①设BC 的中点为M ，则线段PM 的长为；②点P 到AB 所在直线的距离的最大值为．（直接填写结果）15、我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．（1）概念理解：如图1，在△ABC 中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC 是否是”等高底”三角形，请说明理由．（2）问题探究：如图2，△ABC 是“等高底”三角形，BC 是”等底”，作△ABC 关于BC 所在直线的对称图形得到△A'BC ，连结AA′交直线BC 于点D ．若点B 是△AA′C 的重心，求的值．（3）应用拓展：如图3，已知l 1∥l 2，l 1与l 2之间的距离为2．“等高底”△ABC 的“等底”BC 在直E 1B C E （D 1）A PE 1BCED D 1A线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A′C所在直线交l2于点D．求CD的值．16、【操作发现】如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=．【问题解决】如图②，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．…请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）【灵活运用】如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．17、如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b.填空：当点A位于__________________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_____________.（用含a，b的式子表示）（2）应用点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值.（3）拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2 , 0），点B的坐标为（5 , 0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.18、已知：如图1，图形①满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°。

中考压轴题全面突破之四：三角形的存在性含答案13页.doc

题型特点三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算．解题思路①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；②分类讨论，画图；③建等式，对结果验证取舍．对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题．难点拆解①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k值乘积为 1；②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．1.（2012云南改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误!未找到引用源。

的图象经过点(2，4)，且与直线错误!未找到引用源。

交于A，B两点．（1）求抛物线的函数解析式．（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标．（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2009广西钦州）如图，已知抛物线错误!未找到引用源。

与坐标轴交于A，B，C三点，A点的坐标为(﹣1，0)，过点C的直线错误!未找到引用源。

与x 轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0<t<1．（1）点C的坐标是____________，b=_______，c=______．（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）．（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．3.（2012海南）如图，顶点为P(4，﹣4)的二次函数图象经过原点(0，0)，点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M，N关于点P对称，连接AN，ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点A的坐标是(6，﹣3)，求△ANO的面积．（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①证明：∠ANM=∠ONM；②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．4.（2011湖北天门）在平面直角坐标系中，抛物线错误!未找到引用源。

第3讲中考压轴题专题之三角形存在性问题

第三讲中考压轴题专题之三角形存在性问题板块一、等腰三角形存在性1．在平面直角坐标系中，已知A（1，2）、B（3，0），AB＝2．在坐标轴上找点P，使A、B、P三点构成等腰三角形，这样的点P有（）个．A．5B．6C．7D．82．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为．3．（2016滨州）如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2014兰州）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．板块二、直角三角形5．如图，二次函数y＝x2+bx+c图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为M，△MAB为直角三角形，图象的对称轴为直线x＝﹣2，点P是抛物线上位于A，C两点之间的一个动点，则△P AC的面积的最大值为（）T5 T7 T8 A．B．C．D．36．将抛物线y＝﹣2x2﹣1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（）A．个单位B．1个单位C．个单位D．个单位7．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D 作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为．8．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．当△P AC为直角三角形时点P的坐标．9．（2015连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y＝x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？10．（2016黄岗）如图，抛物线y＝﹣与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l 交抛物线于点Q．（1）求点A、点B、点C的坐标；（2）求直线BD的解析式；（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．板块三、等腰直角三角形11．已知⼀次函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，将该函数图象绕点A旋转45°，旋转后的图象对应的函数关系式是．12．二次函数y＝x2+bx+c的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则b+2c＝．13．如图，P是抛物线C：y＝2x2﹣8x+8对称轴上的一个动点，直线x＝k平行于y轴，分别与直线y ＝x、抛物线C交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的k为．14．（2019青龙县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C （0，3），且OB＝OC．直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点Q是抛物线的顶点，设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m．（1）求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标．（2）连接CQ，直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系．（3）连接P A、PD，当m为何值时S△APD＝S△DAB？（4）在直线AD上是否存在一点H，使△PQH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．【解答】解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，与坐标轴的交点P1，P2，P3，P4，P5符合题意；作AB的垂直平分线，与坐标轴的交点P6，P7符合题意，故选：C．2．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10，∵D为OA的中点，∴OD＝AD＝5，①当PO＝PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P的坐标为：（2.5，4）；②当OP＝OD时，如图1所示：则OP＝OD＝5，PC＝＝3，∴点P的坐标为：（3，4）；③当DP＝DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED＝90°，DE＝＝3；分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE＝5﹣3＝2，∴点P的坐标为：（2，4）；当E在D的右侧时，如图3所示：OE＝5+3＝8，∴点P的坐标为：（8，4）；综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．3．【解答】解：（1）令y＝0得﹣x2﹣x+2＝0，∴x2+2x﹣8＝0，x＝﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x＝0，得y＝2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象①AB为平行四边形的边时，∵AB＝EF＝6，对称轴x＝﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积＝6×＝．②当点E在抛物线顶点时，点E（﹣1，），设对称轴与x轴交点为M，令EM与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积＝×6×＝．（3）如图所示，①当C为等腰三角形的顶角的顶点时，CM1＝CA，CM2＝CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN＝＝，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为等腰三角形的顶角的顶点时，∵直线AC解析式为y＝﹣x+2，∴线段AC的垂直平分线为y＝x与对称轴的交点为M3（﹣1．﹣1），∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．4．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+mx+n得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）存在．抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，则D（，0），∴CD＝＝＝，如图1，当CP＝CD时，则P1（，4）；当DP＝DC时，则P2（，），P3（，﹣），综上所述，满足条件的P点坐标为（，4）或（，）或（，﹣）；（3）当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，则B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），∴FE＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，∵S△BCF＝S△BEF+S△CEF＝×4×EF＝2（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x，而S△BCD＝×2×（4﹣）＝，∴S四边形CDBF＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x+（0≤x≤4），＝﹣（x﹣2）2+当x＝2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）．5．【解答】解：∵x＝﹣＝﹣2，且a＝1，∴b＝4；则，抛物线：y＝x2+4x+c；∴AB＝x B﹣x A＝＝＝2，点M（﹣2，c﹣4）；∵抛物线是轴对称图形，且△MAB是直角三角形，∴△MAB必为等腰直角三角形，则有：AB＝2＝2|c﹣4|，解得：c＝3；∴抛物线：y＝x2+4x+3，且A（﹣3，0）、B（﹣1，0）、C（0，3）．过点P作直线PQ∥y轴，交直线AC于点Q，如右图；设点P（x，x2+4x+3），由A（﹣3，0）、C（0，3）易知，直线AC：y＝x+3；则：点Q（x，x+3），PQ＝（x+3）﹣（x2+4x+3）＝﹣x2﹣3x；S△P AC＝PQ×OA＝×（﹣x2﹣3x）×3＝﹣（x+）2+，∴△P AC有最大面积，且值为；故选：C．6．解：设抛物线向上平移a（a＞1）个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，且这些交点能构成直角三角形，则有平移后抛物线的解析式为：y＝﹣2x2﹣1+a，AM＝a，∵抛物线y＝﹣2x2﹣1与y轴的交点M为（0，﹣1），即OM＝1，∴OA＝AM﹣OM＝a﹣1，令y＝﹣2x2﹣1+a中y＝0，得到﹣2x2﹣1+a＝0，解得：x＝±，∴B（﹣，0），C（，0），即BC＝2，又△ABC为直角三角形，且B和C关于y轴对称，即O为BC的中点，∴AO＝BC，即a﹣1＝，两边平方得：（a﹣1）2＝，∵a﹣1≠0，∴a﹣1＝，解得：a＝．故选：A．7.【解答】解：如图，连接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短，可得当CD⊥AB时，CD最短，即线段EF的值最小，此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，即×4×3＝×5•CD，解得CD＝2.4，∴线段EF长的最小值为2.4．故答案为：2.48．【解答】解：∵直线y＝x+2过点B（4，m），∴m＝6，∴B（4，6）．将A、B两点坐标代入抛物线解析式得：，解得：∴抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x+6．①若A为直角顶点，如图1，设AC的解析式为：y＝﹣x+b，将A点代入y＝﹣x+b得b＝3∴AC的解析式为y＝﹣x+3，由，解得：或（舍去）令P点的横坐标为3，则纵坐标为5，∴P（3，5）；②若C为直角顶点，如图2，令，解得：x＝或x＝（舍去），令P点的横坐标为，则纵坐标为，∴P（，）；故答案为：（3，5）或（，）．9．【解答】解：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，∴y＝×（﹣2）2＝1，A点的坐标为（﹣2，1），设直线的函数关系式为y＝kx+b，将（0，4），（﹣2，1）代入得，解得，∴直线y＝x+4，∵直线与抛物线相交，∴x+4＝x2，解得：x＝﹣2或x＝8，当x＝8时，y＝16，∴点B的坐标为（8，16）；（2）如图1，连接AC，BC，∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB2＝325．设点C（m，0），同理可得AC2＝（m+2）2+12＝m2+4m+5，BC2＝（m﹣8）2+162＝m2﹣16m+320，①若∠BAC＝90°，则AB2+AC2＝BC2，即325+m2+4m+5＝m2﹣16m+320，解得：m＝﹣；②若∠ACB＝90°，则AB2＝AC2+BC2，即325＝m2+4m+5+m2﹣16m+320，解得：m＝0或m＝6；③若∠ABC＝90°，则AB2+BC2＝AC2，即m2+4m+5＝m2﹣16m+320+325，解得：m＝32；∴点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）（3）设M（a，a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，在Rt△MQN中，由勾股定理得MN＝＝a2+1，又∵点P与点M纵坐标相同，∴+4＝a2，∴x＝，∴点P的横坐标为，∴MP＝a﹣，∴MN+3PM＝+1+3（a﹣）＝﹣a2+3a+9，∴当a＝﹣＝6，又∵﹣2≤6≤8，∴取到最大值18，∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18．10．【解答】解：（1）∵令x＝0得；y＝2，∴C（0，2）．∵令y＝0得：﹣＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．（2）∵点C与点D关于x轴对称，∴D（0，﹣2）．设直线BD的解析式为y＝kx﹣2．∵将（4，0）代入得：4k﹣2＝0，∴k＝．∴直线BD的解析式为y＝x﹣2．（3）如图1所示：∵QM∥DC，∴当QM＝CD时，四边形CQMD是平行四边形．设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），则M（m，m﹣2），∴﹣m2+m+2﹣（m﹣2）＝4，解得：m＝2，m＝0（不合题意，舍去），∴当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形；（4）存在，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形，∴①当∠QBD＝90°时，由勾股定理得：BQ2+BD2＝DQ2，即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2+20＝m2+（﹣m2+m+2+2）2，解得：m＝3，m＝4（不合题意，舍去），∴Q（3，2）；②当∠QDB＝90°时，由勾股定理得：BQ2＝BD2+DQ2，即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2＝20+m2+（﹣m2+m+2+2）2，解得：m＝8，m＝﹣1，∴Q（8，﹣18），（﹣1，0），综上所述：点Q的坐标为（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．11．【解答】解：如图1，∵⼀次函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，∴A（0，1），B（﹣2，0），当直线y＝x+1绕点A顺时针旋转45°后的图象为直线l，过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，过B作BE⊥FD延长线于E，则△ABD为等腰直角三角形，易得△ADF≌△DBE（AAS），设AF＝a，则DE＝a，∵点A（0，1），点B（﹣2，0），∴DF＝BE＝OF＝1+a，EF＝ED+DF＝a+1+a＝OB＝2，∴a＝，∴DF＝OF＝1+a＝，∴D（﹣，），设直线l的解析式为y＝kx+1，则＝﹣k+1，解得k＝﹣，∴y＝﹣x+1；如图2，直线y＝x+1绕点A逆时针旋转45°后的图象为直线l，过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，作DE⊥x轴于E，则△ABD为等腰直角三角形，易得△ADF≌△BDE（AAS），设DF＝b，则DE＝b，∵点A（0，1），点B（﹣2，0），∴AF＝BE＝1+b，BO＝BE+OE＝b+1+b＝OB＝2，∴b＝，∴D（﹣，﹣），设直线l的解析式为y＝kx+1，则﹣＝﹣k+1，解得k＝3，∴y＝3x+1；综上，旋转后的图象对应的函数关系式是y＝﹣x+1或y＝3x+1．故答案为y＝﹣x+1或y＝3x+1．12．【解答】解：由已知，得C点的坐标为：（0，c），，，．过D作DE⊥AB于点E，则2DE＝AB，即，得：，所以或．又b2﹣4c＞0，所以．又OC＝OB，即：，得：．故答案为：2．13．【解答】解：∵直线x＝k分别与直线y＝x、抛物线y＝2x2﹣8x+8交于点A、B两点，∴A（k，k），B（k，2k2﹣8k+8），AB＝|k﹣（2k2﹣8k+8）|＝|2k2﹣9k+8|，①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠P AB＝90°，此时P A＝AB＝|k﹣2|，即|2k2﹣9k+8|＝|k﹣2|，解得k＝或1或3；②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA＝90°，此时PB＝AB＝|k﹣2|，结果同上．故答案为：或1或3．14．【解答】解：（1）直线y＝x+1与抛物线交于A点，则点A（﹣1，0）、点E（0，1）．∵OB＝OC，C（0，3），∴点B的坐标为（3，0），故抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），将点C的坐标代入，得﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，∴函数的对称轴为x＝1，故点Q的坐标为（1，4）．（2）CQ＝AE，且CQ∥AE，理由：∵Q（1，4），C（0，3），∴CQ＝＝，CQ的解析式为y＝x+3，又∵AE＝＝，直线AE的解析式为y＝x+1，∴CQ＝AE，CQ∥AE，（3）∵，∴，，∴点D的坐标为（2，3）．如图1，过点P作y轴的平行线，交AD于点K，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点K（m，m+1）∴S△P AD＝＝＝＝×4×3．解得m＝0或1．（4）存在，点P的坐标为（0，3）或．设点H（t，t+1），点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而点Q（1，4），①当∠QPH＝90°时，如图2，过点P作y轴的平行线，过点H、点Q作x轴的平行线，交过点P且平行于y轴的直线于点M、G，∵∠GQP+∠QPG＝90°，∠QPG+∠HPM＝90°，∴∠HPM＝∠GQP，∠PGQ＝∠HMP＝90°，PH＝PQ，∴△PGQ≌△HMP（AAS），∴PG＝MH，GQ＝PM，即4﹣n|＝|t﹣m|，|1﹣m|＝|n﹣（t+1）|，解得m＝2或n＝3．当n＝3时，3＝﹣m2+2m+3，解得m1＝0，m2＝2（舍去），∴点P（0，3）．②当∠PQH＝90°时，如图3所示，同理可得m1＝0，m2＝3（舍去），故点P为（0，3）．③当∠PHQ＝90°时，如图4，同理可得n＝2，解得m1＝1+（舍去），m2＝1﹣．故点P（1﹣，2）．综上可得，点P的坐标为（0，3）或（1﹣，2）．。

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