2018年高考数学二轮复习(江苏版) 第2部分 八大难点突破 难点5 复杂数列的通项公式与求和问题含答案

难点五 复杂数列的通项公式与求和问题

(对应学生用书第71页)

数列在高考中占重要地位，应当牢记等差、等比的通项公式，前n 项和公式，等差、等比数列的性质，以及常见求数列通项的方法，如累加、累乘、构造等差、等比数列法、取倒数等．数列求和问题中，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．数列的求和问题多从数列的通项入手，通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题． 一、数列的通项公式

数列的通项公式在数列中占有重要地位，是数列的基础之一，在高考中，等差数列和等比数列的通项公式，前n 项和公式以及它们的性质是必考内容，一般以填空题的形式出现，属于低中档题，若数列与函数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识点交融，难度就较大，也是近几年命题的热点． 1．由数列的递推关系求通项

由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法： (1)a n ＋1－a n ＝f (n )型，采用叠加法． (2)

a n ＋1

a n

＝f (n )型，采用叠乘法． (3)a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0，p ≠1)型，转化为等比数列解决． 2．由S n 与a n 的关系求通项a n

S n 与a n 的关系为：a n ＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

S n n ＝1 ，

S n －S n －1 n ≥2 .

【例1】 (2017·江苏省南京市迎一模模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *

)．

(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足不等式T n －2

2n －1

＞2 010的n

的最小值．

[解] (1)证明：当n ＝1时，2a 1＝a 1＋1，∴a 1＝1. ∵2a n ＝S n ＋n ，n ∈N *

，∴2a n －1＝S n －1＋n －1，n ≥2，

两式相减得a n ＝2a n －1＋1，n ≥2，即a n ＋1＝2(a n －1＋1)，n ≥2， ∴数列{a n ＋1}为以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2n

，∴a n ＝2n

－1，n ∈N *

；

(2)b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1＝(2n ＋1)·2n

， ∴T n ＝3·2＋5·22

＋…＋(2n ＋1)·2n

， ∴2T n ＝3·22

＋5·23＋…＋(2n ＋1)·2

n ＋1

，

两式相减可得－T n ＝3·2＋2·22

＋2·23

＋…＋2·2n

－(2n ＋1)·2n ＋1

，

∴T n ＝(2n －1)·2n ＋1

＋2，

∴

T n －22n －1

＞2 010可化为2n ＋1

＞2 010， ∵210

＝1 024,211

＝2 048

∴满足不等式T n －2

2n －1

＞2 010的n 的最小值为10.

[点评] 利用a n ＝S n －S n －1求通项时，注意n ≥2这一前提条件，易忽略验证n ＝1致误，当

n ＝1时，a 1若适合通项，则n ＝1的情况应并入n ≥2时的通项；否则a n 应利用分段函数的

形式表示． 二、数列的求和

常见类型及方法

(1)a n ＝kn ＋b ，利用等差数列前n 项和公式直接求解； (2)a n ＝a ·q

n －1

，利用等比数列前n 项和公式直接求解；

(3)a n ＝b n ±c n ，数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{a n }的前n 项和； (4)a n ＝b n ·c n ，数列{b n }，{c n }分别是等比数列和等差数列，采用错位相减法求和． 【例2】 (扬州市2017届高三上学期期末)已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *

，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立． (1)若A n ＝n 2

，b 1＝2，求B n ； (2)若对任意n ∈N *

，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＜1

3

成立，求正实数b 1的取值范围；

(3)若a 1＝2，b n ＝2n ，是否存在两个互不相等的整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A t

B t

成等差数列？若存在，求出s ，t 的值；若不存在，请说明理由.

【导学号：56394102】

[解] (1)因为A n ＝n 2

，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

1，n ＝1，n 2－ n －1 2

，n ≥2，

即a n ＝2n －1，

故b n ＋1－b n ＝1

2(a n ＋1－a n )＝1，所以数列{b n }是以2为首项，1为公差的等差数列，

所以B n ＝n ·2＋12·n ·(n －1)·1＝12n 2＋3

2

n .