空间向量的基本定理习题
高中试卷-1.2 空间向量基本定理-提高练(含答案)
1.2 空间向量基本定理-提高练一、选择题1.给出下列命题：①已知a b ^r r ，则()()a b c c b a b c ×++×-=×r r r r r r r r ；②,,,A B M N 为空间四点，若,,BA BM BN 不构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面；③已知a b ^r r ，则,a b r r 与任何向量都不构成空间的一个基底；④若,a b r r 共线，则,a b r r 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】对于①，若a b ^r r ，则0a b ×=r r ，故()()a b c c b a a b a c c b c a×++×-=×+×+×-×r r r r r r r r r r r r r r 0c b b c =+×=×r r r r ，故①正确；对于②，若,,BA BM BN 不构成空间的一个基底，,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 这3个向量共线面，故,,,A B M N 共面，故②正确；对于③，当a b ^r r 时，若c r 与,a b r r 不共面，则{},,a b c r r r 可构成空间的一个基底，故③不正确；对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确.2.若{},,a b c r r r 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b +-r r r r r B ．{},,b a b a b +-r r r r r C ．{},,c a b a b +-r r r r r D ．{},,2a b a b a b +-+r r r r r r 【答案】C 【解析】A ：因为()()2a b a b a r r r r r ++-=，所以向量,,a a b a b r r r r r+-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B ：因为()(1)()2a b a b b r r r r r ++--=，所以向量,,b a b a b r r r r r +-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C ：因为{},,a b c r r r 为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若,,c a b a b r r r r r +-不构成一组基底，则有()()()()c x a b y a b c x y a x y b r r r r r r r r =++-Þ=++-，所以向量,,a b cr r r 是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此,,c a b a b r r r r r +-能构成一组基底，D ：因为312()()22a b a b a b r r r r r r +=+++，所以向量,,2a b a b a b r r r r r r +-+是共面向量，因此,,2a b a b a b r r r r r r +-+不能构成一组基底.故选：C3.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA uuu v ，OB uuu v ，OC uuu v 表示向量OG uuu v是（ ）A ．2233OG OA OB OC =++uuu v uuu v uuu v uuu v B ．122233OG OA OB OC uuu v uuu v uuu v uuu v =++C ．111633OG OA OB OC =++uuu v uuu v uuu v uuu v D ．112633OG OA OB OC =++uuu v uuu v uuu v uuu v 【答案】C 【解析】2OG OM MG OM MN 3=+=+uuu r uuuu r uu Q uu r uuuu r uuuu r ,()()2121111OM MO OC CN OM OC OB OC OA OB OC 3333633uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r =+++=++-=++111OG OA OB OC 633uuu r uuu r uuu r uuu r \=++ ,故选：C ．4.在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG =x OA +y OB +z OC ,则(x ,y ,z )为( )14341323【答案】A【解析】如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,AE =12(AB +AC )=12(OB -2OA +OC ),AG 1=23AE =13(OB -2OA +OC ).因为OG =3GG 1=3(OG 1―OG ),所以OG=34OG 1.则OG =34OG 1=34(OA +AG 1)+13OB ―23OA =14OA +14OB +14OC .5.下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）A.若向量a r ，b r 与空间任意向量都不能构成基底，则//a b r r；B.若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r ，b c ^r r ，则有//a c r r ；C.若OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则A ，B ，C ，D 四点共面；D.若向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r ，是空间一组基底，则a r ，b r ，c r 也是空间的一组基底.【答案】ACD【解析】对于A ：若向量a r ，b r 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即//a b r r，故A 正确；对于B ：若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r ，b c ^r r ，则a r 与c r 不一定共线，故B 错误；对于C ：若OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则()()1133OD OA OB OA OC OA -=-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即1133AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，可得到A ，B ，C ，D 四点共面，故C 正确；对于D ：若向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r ，是空间一组基底，则空间任意一个向量d u r ，存在唯一实数组(),,x y z ，使()()()()()()d x a b y b c z x z a x c y b y a z c +=++++=+++++u r r r r r r r r r r ，则a r ，b r ，c r 也是空间的一组基底，故D 正确.6．（多选题）若{a ,b ,c }是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是( )A.{a ,2b ,3c }B.{a +b ,b +c ,c +a }C.{a +2b ,2b +3c ,3a -9c }D.{a +b +c ,b ,c }【答案】ABD【解析】由于a ,b ,c 不共面,易判断A,B,D 中三个向量也不共面,可以作为一组基向量.对于C,有3(2b +3c )+(3a -9c )=3(a +2b ),故这三个向量是共面的,不能构成基底.二、填空题7．（2020山东泰安实验中学高二月考）在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若记®®=AB a ，AD b ®®=，AC c ®®=，则AG ®=______.【答案】111244a b c ®®®++【解析】在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，则AG AB BG ®®®=+12AB BE ®®=+11()22AB BC BD ®®®=+´+1()4AB AC AB AD AB ®®®®®=+-+-111442AB AC AD AB ®®®®=++-111244AB AD AC ®®®=++.8.（2020上海复旦附中青浦分校高二月考）在斜三棱柱111A B C ABC -中，BC 的中点为M ，11A B a =uuuu r r ，11A C b =uuuu r r ，1A A c =uuu r r ，则1B M uuuur 可用a r 、b r 、c r 表示为______.【答案】1()2c b a +-r r r 【解析】在1B BM D 中，11B M B B BM =+uuuur uuur uuuu r ,又BC 的中点为M ,12BM BC =uuuu r uuu r 111A B C ABC -Q 是斜三棱柱，11B C BC =uuuu r uuu r ，11B B A A=uuur uuur 111112B M A A B C uuuur uuur uuuu r =+, 在111A B C D 中111111B C AC A B uuuu r uuuu r uuuu r =-11111111()()22B M A A AC A B c b a uuuur uuur uuuu r uuuu r r r r \=+-=+-9.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 .【解析】如图所示.设BA =a ,BC =b ,BB 1=c ,则<a ,b >=120°,c ⊥a ,c ⊥b ,因为AB 1=AB +BB 1=-a +c , BC 1=BC +CC 1=b +c ,cos <AB 1,BC 1>=11|AB 1|·|BC 1|=10. （2020山东省高二期末）如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1,AB AA AD ==1BAD DAA Ð=Ð60,°=1BAA Ð30°=，N 为11A D 上一点，且111A N A D l =.若BD AN ^，则l 的值为________；若M 为棱1DD 的中点，//BM 平面1AB N ，则l 的值为________.1,23 【解析】 (1)取空间中一组基底：1,,AB a AD b AA c ===uuu r r uuu r r uuur r ，因为BD AN ^，所以0BD AN ×=uuu r uuu r ，因为11,BD AD AB b a AN AA A N c b l =-=-=+=+uuu r uuu r uuu r r r uuu r uuur uuuu r r r ，所以()()0b a c b l -×+=r r r r ，所以1022l l +-=，所以1l =-；(2)在AD 上取一点1M 使得11A N AM =，连接111,,M N M M M B ，因为11//A N AM 且11A N AM =，所以1111//,NB M B NB M B =，又因为1M B Ì/平面1AB N ，1NB Ì平面1AB N ，所以1//M B 平面1AB N ，又因为//BM 平面1AB N ，且1BM M B B =I ，所以平面1//M MB 平面1AB N ，所以1//MM 平面1AB N ，又因为平面11AA D D Ç平面1AB N AN =，且1MM Ì平面11AA D D ，所以1//M M AN ，所以11AA N MDM V V ∽，所以()111111121A N AA A D DM MD A D l l ===-，所以23l =.三、解答题11.如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,MA =-13AC ,ND =13A 1D ,设AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,试用a ,b ,c 表示MN .【答案】见解析【解析】连接AN ,则MN =MA +AN .由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得AC =AB +AD =a +b ,MA =-13AC =-13(a +b ),又A 1D =AD ―AA 1=b -c ,故AN =AD +DN =AD ―ND =AD ―13A 1D =b -13(b -c ),所以MN =MA +AN =-13(a +b )+b -13(b -c )=13(-a +b +c ).12.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知E ,F ,G ,H 分别是CC 1,BC ,CD 和A 1C 1的中点.证明:(1)AB 1∥GE ,AB 1⊥EH ;(2)A 1G ⊥平面EFD.【答案】见解析【解析】 (1)设正方体棱长为1,AB =i ,AD =j ,AA 1=k ,则{i ,j ,k }构成空间的一个单位正交基底.AB 1=AB +BB 1=i +k ,GE =GC +CE =12i +12k =12AB 1,∴AB 1∥GE.EH =EC 1+C 1H =12k +-i +j )=-12i -12j +12k ,∵AB 1·EH =(i +k )·-12i -12j +12k =-12|i |2+12|k |2=0,∴AB 1⊥EH.(2)A 1G =A 1A +AD +DG =-k +j +12i ,DF =DC +CF =i -12j ,DE =DC +CE =i +12k .∴A 1G ·DF =-k +j +12i ·i -12j =-12|j |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DF.A 1G ·DE =-k +j +12i ·i +12k =-12|k |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DE.又DE ∩DF=O ,∴A 1G ⊥平面EFD.。
1.2 空间向量的基本定理(精讲)(解析版)
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底{a，b，c} 中基向量与基底{e，f ，g} 基向量对应相等
【答案】C
【解析】 A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以 A 错.
B 项，空间基底有无数个, 所以 B 错. D 项中因为基底不唯一，所以 D 错.故选 C .
c
22
D．
1
a
1
b
c
22
【解析】O 为 A1C1 的中点，
AO
AA1
A1O
AA1
1 2
A1C1
AA1
1 2
A1B1 A1D1
AA1
1 2
AB AD
c
1
ab
2
c
1
a
1
b
．
22
故选： B ．
【一隅三反】
1．（2019·甘肃靖远。高二期末（理））如图，在三棱锥 P ABC 中，点 D ，E ，F 分别是 AB ，PA ，CD
【答案】C
【解析】: AB，AC，AD 共面，排除 A AB，AA1，AB1 共面，排除 B AC1，A1C，CC1 共面，排除 D D1A1，D1C1，D1D
三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C
空间向量基底.不共面的三个向量构成空间向量的基底
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
2．（2018·全国高二课时练习）设向量 a, b, c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )
A．{a b,b a,a}
B．{a b,b a,b}
人教A版1.2空间向量的基本定理基础练习题
6．D
【分析】
由于 是空间的一个基底，则可得 ， ， 不共面，然后根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可
【详解】
因为 是空间的一个基底，所以 ， ， 不共面.
对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；
对于D： ， ， 满足 ，
所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底.
故选：D.
【点睛】
此题考查了空间向量共面的判断与应用，属于基础题.
7．C
【分析】
将 用 表示，对比系数即可.
【详解】
因为 ，所以 ，故 .
故选：C.
【点睛】
本题考查空间向量的线性运算，一定要结合图形，灵活运用三角形法则和平行四边形法则，本题是一道基础题.
人教A版1.2空间向量的基本定理基础练习题
一、单选题
1．空间四个点O，A，B，C， 为空间的一个基底，则下列说法正确的是（）
A．O，A，B，C四点不共线B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线D．O，A，B，C四点不共面
2．如图所示，在平行六面体 中，设 ， ， ， 是 的中点，试用 ， ， 表示 （ ）
12．已知 是空间的一个基底，若 ，则 ________.
13．在正三棱柱 中，M为 的重心，若 ，则 _________.
14．如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ， ， ，用 ， ， 表示 ，则 ________.
三、解答题
15．已知 平面 ，四边形 为正方形，G为 的重心， ，试用基底 表示 .
选修2-1空间向量的基本定理课时作业
课时作业17空间向量的基本定理时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列命题中正确的是()A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a、b、c共面即它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方向D．若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb\【答案】C【解析】由零向量定义知选C.2．a＝x b是向量a，b共线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A;【解析】由a＝x b可得a，b共线，而由a，b共线不能得出a ＝x b，如b＝0，a≠0.3．对于空间中任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是()A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．既不共线也不共面向量【答案】A【解析】2a－b由a与b线性表示出，所以三向量共面．4．若a ＝e 1＋e 2＋3e 3，b ＝e 1＋e 2－2e 3，c ＝e 1－3e 2＋2e 3，d ＝4e 1＋6e 2＋8e 3，d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ的值分别为( )，910，－12B ．－185，910，－12 。
，－910，－12 D ．－185，－910，12【答案】 A【解析】由题意，有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝4α＋β－3γ＝63α－2β＋2γ＝8解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝185β＝910γ＝－12.5．下列条件使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) ＝2OA→－OB →＋OC → ＋OA→＋OB →＋OC →＝0 ＝13OA →＋13OB →＋13OC → ＋MB→＋MC →＝0 ，【答案】 D【解析】 由MA→＋MB →＋MC →＝0得MA →＝－MB →－MC →， ∴MA→，MB →，MC →共面，∴M ，A ，B ，C 四点共面．故选D. 6．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若A D →＝2D B →，C D →＝13C A →＋λC B →，则λ＝( )C ．－13D ．－23【答案】 A 【解析】<如图所示，C D →＝C A →＋A D →＝C A →＋23A B → ＝C A →＋23(C B →－C A →) ＝13C A →＋23C B →，所以λ＝23.二、填空题(每小题10分，共30分) 7．给出下列几个命题：①a ＝“从上海往正北平移9 km”，b ＝“从北京往正北平移3 km”，那么a ＝3b ； !②(a ＋b )＋λc ＋λ(a ＋d )＝b ＋(1＋λ)a ＋λ(c ＋d )；③有直线l ，且l ∥a ，在l 上有点B ，若AB →＋CA →＝2a ，则C ∈l . 其中正确的命题是________． 【答案】 ①②③【解析】 ①正确．因为向量相等与始点无关；②正确，因为向量运算满足分配律和结合律；③正确，因为AB→＋CA →＝CA →＋AB →＝CB →＝2a ，所以CB→与l 平行，又B 在l 上，所以C ∈l . 8．已知空间四边形OABC ，如图所示，M 是AB 的中点，N 是CM 的中点，用基底{a ，b ，c }表示ON→，则ON →＝________.【答案】 14a ＋14b ＋12c@【解析】 ON →＝OM →＋MN →＝12(OA →＋OB →)＋12MC →＝12(a ＋b )＋12×12(AC →＋BC →) ＝12(a ＋b )＋14(c －a ＋c －b ) ＝14a ＋14b ＋12c .9．已知a ，b ，c 不共面，且m ＝3a ＋2b ＋c ，n ＝x (a －b )＋y (b －c )－2(c －a )，若m ∥n ，则x ＋y ＝________.【答案】 －4【解析】 ∵n ＝(x ＋2)a ＋(y －x )b －(y ＋2)c ，;∴x ＋23＝y －x2＝－(y ＋2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＋4＝0x －3y －4＝0， 解得x ＝－2，y ＝－2，∴x ＋y ＝－4.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．【解析】∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点，…∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，EH→＝AH →－AE → ＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →＝12(CD →－CB →) ＝12(32CG →－32CF →)＝34(CG →－CF →) ＝34FG →，∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG→|. —又F 不在EH→上，∴四边形EFGH 是梯形．11．(13分)已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，当O P →＝2O A →－O B →－O C →时，点P 是否与A ，B ，C 共面【解析】 若P 与A ，B ，C 共面，则存在唯一的实数对(x ，y )使A P →＝xA B →＋yA C →，于是对平面ABC 外一点O ，有O P →－O A →＝x (O B →－O A →)＋y (O C →－O A →)，所以O P →＝(1－x －y )O A →＋xO B →＋yO C →，比较原式得⎩⎪⎨⎪⎧1－x －y ＝2，x ＝－1，y ＝－1，此方程组无解，这样的x ，y 不存在， 所以A ，B ，C ，P 四点不共面．12．(14分)已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD→＝3e 1－3e 2，求证：A 、B 、C 、D 四点共面． 【解析】 方法一：令λ(e 1＋e 2)＋μAC →＋υ (3e 1－3e 2)＝0， 则(λ＋2μ＋3υ) e 1＋(λ＋8μ－3υ)e 2＝0.∵e 1、e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＋3υ＝0，λ＋8μ－3υ＝0.易知⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－5，μ＝1，υ＝1.是其中一组解，则－5AB→＋AC →＋AD →＝0. ∴A 、B 、C 、D 共面．方法二：观察易得AC →＋AD →＝(2e 1＋8e 2)＋(3e 1－3e 2)＝5e 1＋5e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB→. ∴AB →＝15AC →＋15AD →.由共面向量知，AB→，AC →，AD →共面． 又它们有公共点A ，∴A 、B 、C 、D 四点共面．。
空间向量基本定理(经典练习及答案详解)
1.2 空间向量基本定理课后篇巩固提升1.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( ) A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.-12a -12b -cD.-12a -12b +cC 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a -12b -c .2.(2020广东汕头金山中学高二上期中)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,点E 为上底面A 1C 1的中心,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x ,y 的值分别为( ) A.1,1B.1,12C.12,12D.12,1AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=12.故选C .3.在空间四边形OABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,N 是OB 的中点,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.23a +12b -23cB.23a -12b +23cC.-13a +12b -23cD.13a +12b -13cMA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(a -c )-a +12b =-13a +12b -23c .4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE⃗⃗⃗⃗⃗ = .,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a +12b +c .-12a +12b +c5.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°.求证:AB ⊥AC 1.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b +c .所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·(b +c )=a ·b +a ·c , 因为AA 1⊥平面ABC ,∠BAC=90°, 所以a ·b =0,a ·c =0, 得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AB ⊥AC 1. 6.如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD=4,CD=3,∠ADC=60°,PA ⊥平面ABCD ,PA=6,求线段PC 的长.ABCD 中,∠ADC=60°,所以∠BAD=120°.又PA ⊥平面ABCD , 所以PA ⊥AB ,PA ⊥AD.因为PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AP⃗⃗⃗⃗⃗ )2= √|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗=√9+16+36+2×3×4×(-12)-0-0=7,即线段PC 的长为7.关键能力提升练7.(2020安徽淮北一中高二上期中)已知M ,N 分别是四面体OABC 的棱OA ,BC 的中点,点P 在线段MN 上,且MP=2PN ,设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.16a+16b+16cB.13a+13b+13cC.16a+13b+13c D.13a+16b+16cOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+13×12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b +13c +16a ,故选C .8.在四面体O -ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x ,y ,z )为( ) A.(14,14,14) B.(34,34,34) C.(13,13,13) D.(23,23,23)如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 的中点,AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ ), AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 因为OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3GG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗)=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC⃗⃗⃗⃗⃗ .9.(多选题)在三棱锥P-ABC 中,三条侧棱PA ,PB ,PC 两两垂直,且PA=PB=PC=3,G 是△PAB 的重心,E ,F 分别为棱BC ,PB 上的点,且BE ∶EC=PF ∶FB=1∶2,则下列说法正确的是( ) A.EG ⊥PG B.EG ⊥BC C.FG ∥BC D.FG ⊥EF,设PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则{a ,b ,c }是空间的一个正交基底,则a ·b=a ·c=b ·c=0.取AB 的中点H , 则BC⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b , PG⃗⃗⃗⃗⃗ =23PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(a+b )=13a+13b , PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23b+13c ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =PG ⃗⃗⃗⃗⃗ −PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-23b-13c=13a-13b-13c ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b , FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =PG ⃗⃗⃗⃗⃗ −PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-13b=13a ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF⃗⃗⃗⃗⃗ −PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b-13c+23b =-13c-13b. EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故A 正确;EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故B 正确;FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),故C 不正确;FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故D 正确.故选ABD .10.若a=e 1+e 2,b=e 2+e 3,c=e 1+e 3,d=e 1+2e 2+3e 3,若e 1,e 2,e 3不共面,当d =α a +β b +γ c 时,α+β+γ=.d =(α+γ)e 1+(α+β)e 2+(γ+β)e 3,所以{α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.11.(2020浙江杭州学军中学高二上期中)在棱长为a 的正四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AD ,BC 的中点,则异面直线EF 与AB 所成角的大小是 ,线段EF 的长度为 .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则{a ,b ,c }是空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=a ,a ·b=a ·c=b ·c =12a 2.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b )-12c ,∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a 2+12a ·b-12a ·c =12a 2,|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(12a +12b -12c) 2=√22a. ∴cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗|=12a 2√22a×a =√22, ∴异面直线EF 与AB 所成的角为π4.√22a 12.如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,试用a ,b ,c 表示MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AN ,则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a +b ),又A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -c ,故AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -13(b -c ),所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a +b )+b -13(b -c )=13(-a +b +c ). 13.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知E ,F ,G ,H 分别是CC 1,BC ,CD 和A 1C 1的中点.证明: (1)AB 1∥GE ,AB 1⊥EH ; (2)A 1G ⊥平面EFD.设正方体棱长为1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =i ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =j ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k ,则{i ,j ,k }构成空间的一个单位正交基底. AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =i +k ,GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12i +12k =12AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB 1∥GE.EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12k +(-12)(i +j )=-12i -12j +12k , ∵AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(i +k )·(-12i -12j +12k)=-12|i |2+12|k |2=0,∴AB 1⊥EH.(2)A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-k +j +12i ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =i -12j ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =i +12k .∴A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k +j +12i)·(i -12j)=-12|j |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DF.A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k +j +12i)·(i +12k)=-12|k |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DE.又DE ∩DF=O ,∴A 1G ⊥平面EFD.学科素养创新练14.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥平面B 1AC.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,有a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0,则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-a +b +c ),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b .∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a +b +c )·(a +b )=12(|b |2-|a |2)=0.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C. ∵AB 1∩B 1C=B 1,∴EF ⊥平面B 1AC.。
高中试卷-1.2 空间向量基本定理-基础练(含答案)
1.2 空间向量基本定理-基础练一、选择题1.有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是A.B. C. D. 【答案】C【解析】如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线，不正确．反例：如果中有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．，A ，B ，C 为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；这是正确的．已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C ．2.设向量a ,b ,c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A.{a+b ,b-a ,a }B.{a+b ,b-a ,b }C.{a+b ,b-a ,c }D.{a+b+c ,a+b ,c }【答案】C【解析】由已知及向量共面定理,易得a+b ,b-a ,c 不共面,故可作为空间的一个基底.3.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为点M ,AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,则下列向量中与C 1M 相等的向量是( )A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.-12a -12b -cD.-12a -12b +c 【答案】C 【解析】C 1M =AM ―AC 1=12(AB +AD )-(AB +BC +CC 1)=-12a -12b -c .4.已知O ,A ,B ,C 为空间不共面的四点,且向量a =OA +OB +OC ,向量b =OA +OB ―OC ,则不能与a ,b 构成空间的一个基底的是( )A.OAB.OBC.OCD.OA 或OB【答案】C 【解析】∵a =OA +OB +OC ,b =OA +OB ―OC ,∴OC =12(a -b ),∴OC 与向量a ,b 共面,∴OC ,a ,b 不能构成空间的一个基底.5．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（ ）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b v v ，则,a b v v 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN uuu v uuuu v uuu v不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c v v v 组是空间的一个基底，若m a c =+v v v ，则{},,a b m v v v 也是空间的一个基底【答案】ABCD【解析】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 共面，又由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c r r r 是空间的一个基底，则基向量,a b r r 与向量m a c =+u r r r 一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确．故选：ABCD.6．（多选题）设a r ，b r ，c r 是空间一个基底( )A ．若a b ^r r ，b c ^r r ，则a c^r r B ．则a r ，b r ，c r 两两共面，但a r ，b r ，c r 不可能共面C ．对空间任一向量p r ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc=++r r r r D ．则a b +r r ，b c +r r ，c a +r r 一定能构成空间的一个基底【分析】利用a r ，b r ，c r 是空间一个基底的性质直接求解．【解答】解：由a r ，b r ，c r 是空间一个基底，知：在A 中，若a b ^r r ，b c ^r r ，则a r 与c r 相交或平行，故A 错误；在B 中，a r ，b r ，c r 两两共面，但a r ，b r ，c r 不可能共面，故B 正确；在C 中，对空间任一向量p r ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++r r r r ，故C 正确；在D 中，a b +r r ，b c +r r ，c a +r r 一定能构成空间的一个基底，故D 正确．故选：BCD ．二、填空题7.在空间四边形OABC 中,OA =a ,OB =b ,OC =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,点N 是OB 的中点,则MN =______.【答案】 -13a +12b -23c 【解析】MA =23CA =23(OA ―OC ),ON =12OB , MN =MO +ON =MA +AO +ON =23(a -c )-a +12b =-13a +12b -23c .8．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,设AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE = .【答案】 -12a +12b +c 【解析】如图,BE =BB 1+B 1E =AA 1+12(B 1C 1+B 1A 1)=AA 1+12(AD ―AB )=-12a +12b +c .9.若a=e 1+e 2,b=e 2+e 3,c=e 1+e 3,d=e 1+2e 2+3e 3,若e 1,e 2,e 3不共面,当d =αa +βb +γc 时,α+β+γ= .【答案】3【解析】由已知d =(α+γ)e 1+(α+β)e 2+(γ+β)e 3,所以α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.10．（2020山东菏泽四中高二期末）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =uuu r r ，AC b =uuu r r ，AD c =u u u r r ，用a r ，b r ，c r 表示向量DM =uuuu r ______，异面直线D M 与CN 所成角的余弦值为______.【答案】()122a b c +-r r r . 16. 【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则(1) ()()11222DM DA AM c a b a b c =+=-++=+-uuuu r uuu r uuuu r r r r r r r .(2)由(1) ()122DM a b c =+-uuuu r r r r ,又()11222CN AN AC a b a b =-=-=-uuu r uuu r uuu r r r r r .又12a b a c b c ×=×=×=r r r r r r .设异面直线D M 与CN 所成角为q 则cos q 22111212222412=336a ab a b b ac b c-+--+-×+×--×+×==r r r r r r r r r r .三、解答题11.已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA uuu r =e 1+2e 2-e 3,OB uuu r =-3e 1+e 2+2e 3,OC uuu r =e 1+e 2-e 3,试判断{,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r }能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OD uuu r =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.【答案】能，OD uuu r =17OA uuu r -5OB uuu r -30OC uuu r ．【解析】能作为空间的一组基底．假设,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 共面,由向量共面的充要条件知存在实数x ,y 使OA uuu r =x OB uuu r +y OC uuu r 成立123123123123+2(3+2)(+3)(3)()(2)e e e x e e e y e e e x y e x y e x y e -=-++-=-++++-u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv 又因为{}123,,e e e u v u u v uv 是空间的一个基底,所以123,,e e e u r u u r ur 不共面.因此-31,2,2--1,x y x y x y +=ìï+=íï=î此方程组无解,即不存在实数x ,y 使OA uuu r =x OB uuu r +y OC uuu r ,所以,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 不共面.故{,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r}能作为空间的一个基底.设OD uuu r =p OA uuu r +q OB uuu r +z OC uuu r ,则有12312312312323(+2)(3+2)(+)e e e p e e e q e e e z e e e -+=-+-++-u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv 123(3)(2)(2)p q z e p q z e p q z e =-+++++-+-u v u u v uv 因为{}123,,e e e u v u u v uv 为空间的一个基底,所以-32,2-1,-2-3,p q z p q z p q z +=ìï++=íï+=î解得17,-5,-30.p q z =ìï=íï=î故OD uuu r =17OA uuu r -5OB uuu r -30OC uuu r.12.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,取向量AB ,AD ,AA '为基底的基向量,在下列条件下,分别求x ,y ,z 的值.(1)BD '=x AD +y AB +z AA ';(2)AE =x AD +y AB +z AA '.【答案】见解析【解析】 (1)因为BD '=BD +DD '=BA +AD +DD '=-AB +AD +AA ',又BD '=x AD +y AB +z AA ',所以x=1,y=-1,z=1.(2)因为AE =AA '+A 'E =AA '+12A 'C '=AA '+12(A 'B '+A 'D ')=12AD +12AB +AA ',又AE =x AD +y AB +z AA ',所以x=12,y=12,z=1.。
空间向量的基本定理(含答案)
空间向量的基本定理一、基础过关1．“a ＝x b ”是“向量a 、b 共线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC →B.AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →| 3．已知{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c4．设M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则AM →等于( ) A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 35．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________.6．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．二、能力提升7．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D8．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝25OA →－15OB →－15OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝09．在以下3个命题中，真命题的个数是________．①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面．②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线． ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．10．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，试求实数k 的值．11.如图所示，四边形ABCD 和四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．12.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量．三、探究与拓展13.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1. (1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .答案1．A 2．C 3．D 4．D 5.2156.12a ＋14b ＋14c7．A 8．C9．210．解 因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.11．解 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点， 而四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →.∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)． ∴CE →＝2MN →.∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．12．证明如图．EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →.由向量共面的充要条件知，A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量．13．(1)证明 因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AA 1→＋(AD →＋23AA 1→) ＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，所以A 、E 、C 1、F 四点共面．(2)解 因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→ ＝－AB →＋AD →＋13AA 1→. 所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13. 所以x ＋y ＋z ＝13.。
高中数学-空间向量的基本定理练习题
高中数学-空间向量的基本定理练习题课后训练1．AM 是△ABC 中BC 边上的中线，设AB ＝e 1，AC ＝e 2，则AM 为( )A ．e 1＋e 2B ．121122-e e C ．e 1－e 2 D ．121122+e e 2．设O ，A ，B ，C 为空间四边形的四个顶点，点M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，且OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN 为( )A ．1()2+-c b a B ．1()2+-a b c C ．1()2+-a c b D ．1()2++a b c 3．对于空间一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有6OP ＝OA ＋2OB ＋3OC ，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点共面B ．P ，A ，B ，C 四点共面C ．O ，P ，B ，C 共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面4．如果a ，b ，c 共面，b ，c ，d 也共面，则下列说法正确的是( )A ．若b 与c 不共线，则a ，b ，c ，d 共面B ．若b 与c 共线，则a ，b ，c ，d 共面C ．当且仅当c ＝0时，a ，b ，c ，d 共面D ．若b 与c 不共线，则a ，b ，c ，d 不共面5．三射线AB ，BC ，BB 1不共面，若四边形BB 1A 1A 和四边形BB 1C 1C 的对角线均互相平分，且1AC ＝x AB ＋2y BC ＋3z 1CC ，那么x ＋y ＋z 的值为( )A ．1B ．56C ．23D ．116 6．非零向量e 1，e 2不共线，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k ＝__________.7．已知D ，E ，F 分别是△ABC 中BC ，CA ，AB 上的点，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AF ＝13AB ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则DE ＝__________. 8．已知G 是△ABC 的重心，点O 是空间任意一点，若OA ＋OB ＋OC ＝λOG ，则λ＝__________.9．已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE ＝k OA ，OF ＝k OB ，OG＝k OC，OH＝k OD，求证：(1)点E，F，G，H共面；(2)AB∥平面EG.10．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且M分PC成定比2，N分PD成定比1，求满足MN＝x AB＋y AD＋z AP的实数x，y，z的值．参考答案1. 答案：D2. 答案：A3. 答案：B 6OP ＝OA ＋2OB ＋3OC ，得OP －OA ＝2(OB －OP )＋3(OC －OP )， AP ＝2PB ＋3PC ，∴AP ，PB ，PC 共面．又它们有同一公共点P ，∴P ，A ，B ，C 四点共面．4. 答案：A5. 答案：D 由题意知AB ，BC ，BB 1不共面，四边形BB 1C 1C 为平行四边形，1CC ＝1BB ， ∴{AB ，BC ，1CC }为一个基底．又由向量加法1AC ＝AB ＋BC ＋1CC ，∴x ＝2y ＝3z ＝1.∴x ＝1，12y =，13z =，∴x ＋y ＋z ＝116. 6. 答案：±1 k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则存在唯一的实数x ，使k e 1＋e 2＝x (e 1＋k e 2)，,11k x k kx=⎧⇒±⎨=⎩. 7. 答案：1233-b a 8. 答案：39. 答案：分析：(1)要证E ，F ，G ，H 四点共面，可先证向量EG ，EF ，EH 共面，即只需证EG 可以用EF ，EH 线性表示；(2)可证明AB 与平面EG 中的向量EF 或EG ，EH 之一共线．证明：(1)∵OA ＋AB ＝OB ，∴k OA ＋k AB ＝k OB .而OE ＝k OA ，OF ＝k OB ，∴OE ＋k AB ＝OF .又OE ＋EF ＝OF →，∴EF ＝k AB .同理：EH ＝k AD ，EG ＝k AC .∵ABCD 是平行四边形，∴AC ＝AB ＋AD ， ∴EG EF EH k k k=+， 即EG ＝EF ＋EH .又它们有同一公共点E ，∴点E ，F ，G ，H 共面．(2)由(1)知EF ＝k AB ，∴AB ∥EF .又AB 平面EG ，∴AB 与平面EG 平行，即AB ∥平面EG .10. 答案：分析：结合图形，从向量MN 出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用AB ，AD ，AP 表示出来，即可求出x ，y ，z 的值． 解：解法一：如图所示，取PC 的中点E ，连NE ，则MN ＝EN －EM .∵EN ＝12CD ＝12BA ＝－12AB ， EM ＝PM －PE ＝23PC －12PC ＝16PC ， ∴MN ＝－12AB －16PC . 连AC ，则 PC ＝AC －AP ＝AB ＋AD －AP ，∴MN ＝－12AB －16(AB ＋AD －AP ) ＝－23AB －16AD ＋16AP ， ∴23x =-，16y =-，16z =.解法二：如图所示，在PD 上取一点F ，使F 分PD 所成比为2，连MF ，则MN ＝MF ＋FN ，而MF ＝23CD ＝－23AB ， FN ＝DN －DF ＝12DP －13DP ＝16DP ＝16(AP －AD )，∴MN ＝－23AB －16AD ＋16AP ， ∴23x =-，16y =-，16z =.解法三：∵MN ＝PN －PM ＝12PD －23PC ＝12(PA ＋AD )－23(PA ＋AC ) ＝－12AP ＋12AD －23(－AP ＋AB ＋AD ) ＝－23AB －16AD ＋16AP ， ∴2=3x －，1=6y -，1=6z .。
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习题课
主要内容:
1,共线向量定理. ,共线向量定理.
对空间任意两个向量a, b ≠ 0),// b的 ( b a 充要条件是存在实数λ,使a=λ b.
2,共面向量定理. ,共面向量定理.
如果两个向量a, b不共线,则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x,y,使 p=x a+y b.
C
A
D
的底面ABCD ABCD是 2,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是 已知平行六面体ABCDABCD 菱形, 菱形,且∠C1CB = ∠C1CD = ∠BCD, 求证: 求证: CC1⊥BD
C1 B1 A1
D1
小结: 垂直, 小结:证明空间两向量 a ,b 垂直,可先选定 一组不共面的向量为基底,去表示这两个向量, 一组不共面的向量为基底,去表示这两个向量, 再证明
3,向量的数量积
a b = a b cos < a, b >
4,数量积的性质
(1) a (2)
⊥ b a b = 0
2
a
= a a
例题: 例题:
已知空间四边形ABCD中, 中 1,已知空间四边形 AB⊥CD, AC⊥BD, ⊥CD, ⊥CD ⊥BD, 用向量方法证明:AD⊥BC.B 用向量方法证明: ⊥BC.
D1 C1
B1 A1
M D C
N A B
D1 A1 O B1
C1
D A B
C
�
Bபைடு நூலகம்A
a b = 0
C
D
2,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,同 已知平行六面体ABCDABCD 一顶点为端点的三条棱长都等于1 一顶点为端点的三条棱长都等于1,且彼 此的夹角都是60° 求对角线AC 此的夹角都是60°,求对角线AC1的长 60
B1 A1
C1
D1
B
A
C
D
4,正方体ABCD-A1B1C1D1中,的棱长等于 正方体ABCD ABCD1,且M∈A1D, N∈AC ,求MN的长. MN的长. 的长