《数学物理方程与特殊函数2版》第2章(1)
中的定解问题, 因为这些特殊域正好常 常在实际问题中出现, 这是分离变量法 有
本节先讨论齐次方程及齐次边界条 件的定解问题,
随后讨论对非齐次方程及非齐次边 界条件的处理.
§2.1.1 齐次方程及齐次边界条件的定解问题
首先通过实例说明用分离变量法解题的六个 基本步骤. 【例2.1.1】求两端固定的弦自由振动的规律. 定解问题为
46
谢谢!
26
4. 作特解的线性叠加
满足方程及边界条件的一系列特解为
将特解线性叠加为
这说明，经过相当长的时间，均匀杆 各点的温度均等于初始温度的平均值
27
5. 由初始条件确定系数 将式(2.1.33)代入初始条件
利用余弦函数的正交性，可得
将式(2.1.34)及式(2.1.35)代入式(2．1.33)即得 定解问题的解
X(0)＝0, X(l)＝0
7
2.求解本征值问题
式(2.1.5)及式(2.1.7)构成了常微分方程的边值 问题
这称为本征值问题。 可以证明, 只有当取某些特定值时才有非零 解, 求解本征值问题就是求解本征值与本征 函数X(x).
8
现将的取值分三种情况讨论： (1) 若 < 0, 这时方程X"(x)+X(x) ＝ 0的通解为
6
将式(2.1.4)代入边界条件(2.1.2),可得 u(0,t)＝X(0)T(t)＝0, u(l,t)＝X(l)T(t)＝0 若T(t)＝0, 代入式(2.1.4)得u(x,t)＝0, 是平庸解, 应略去。由此得边界条件 X(0)＝0, X(l)＝0 (2.1.7)
X"(x) + X(x) ＝ 0
33
【例3】求两端固定弦的强迫振动的规律
解 本征函数展开法的基本步骤为 (1) 确定相应齐次问题的本征函数系．本题相应 的齐次方程为 utt- a2uxx ＝ 0， 分离变量后得到常微分方程X"(x) + X(x) ＝ 0 分离变量后边界条件为X(0) ＝ 0，X(l) ＝ 0. 由表2-1可知本征函数为
43
【例11.1.4】求定解问题
解 (1) 设解 u(x,t) ＝ v(x,t) + w(x, t)，且 wtt- a2wxx ＝ a2/5；w(0,t)＝0，w(l,t)＝l/5 w(x, t)要满足上述三个方程，不妨设 w(x, t) ＝ f2x2 + f1x + f0 (含三个待定系数) 代入上式，求出 f2 , f1 , f0 ，可得
分离变量法的关键步骤是求解本征值问题,即求解含
有参量的齐次常微分方程的边值问题.其边界条件 分别为齐次边界条件、周期性边界条件和自然边界 条件(有界性边界条件)
2
分离变量法适用于波动问题、输运问题 和稳定场问题在特殊域
矩形、长方形 (直角坐标系)
圆、圆柱体 (柱坐标系)
圆球 (球坐标系)
第二章 分离变量法
1
分离变量法的基本思想, 特点与关 键步骤
分离变量法的基本思想是,先求出具有变量分离形式
且满足边界条件的特解, 然后根据叠加原理作出这 些解的线性叠加, 最后由其余的定解条件确定待定 系数, 得到定解问题的解.
分离变量法的特点是把偏微分方程化为常微分方程
来处理,使问题化难为简.
10
(3)若 >0,方程的通解为
由边界条件X(0) ＝ 0,得A ＝ 0.由X(l) ＝ 0， 得
非零解要求B≠0,故
本征值(加上脚标n)及相应的本征函数分别为
11
3. 求解T(t) 的常微分方程
将本征值
代入式(2.1.6), 得到
它的通解为
式中Cn和Dn为任意常数
12
4. 作特解的线性叠加
(2)若边界条件为同类齐次边界条件(均为第一 类或均为第二类)，则本征函数的宗量为 若边界条件属不同类齐次边界条件，则本征函 数的宗量为
31
§2.4 非齐次方程 的求解问题
对非齐次方程的定解问题；由于满足泛 定方程和边界条件的特解的线性组合，不可 能满足非齐次方程，因此分离变量法不能直 接应用。 这里用本征函数展开法求解．解题的方法 通过下述例题说明。
利用傅里叶正弦（奇函数）级数展开式的系 数有
16
6.解的物理意义
将Cn及Dn代入式(2.1.14)可得定解问题的解 先看级数(2.1.14) 的每一项(即每一个特解)的 物理意义
17
18
回顾求解过程，可将分离变量法的解题步骤总结如下
19
§2.2 有限长杆的热传导问题
【例2.1.2】 设长为l 的均匀杆，两端绝热, 杆 内初始温度分布为j(x), 求杆内温度随时间的 变化规律
由边界条件X(0) ＝ X(l) ＝ 0,可得
这是关于A,B的线性齐次方程组, 由于系数行 列式不为零,故A＝B＝0.
因此 < 0时, X(x)无非零解.
9
(2) 若 ＝0, 这时方程成为X" (x) ＝ 0, 它的通解 为 X(x) ＝Ax+B 由边界条件X(0) ＝ X(l) ＝ 0,得A＝B＝0, X(x) 也无非零解.
41
(2)求解v(x,t)的定解问题 将 u＝ v+w 代入式(11.1.48)、式(11.1.49)、 式(11.1.50)可得
利用本征函数展开法可求得v(x,t)，再由 式(11.1. 53)即可求出u(x,t).
42
对于非齐次项比较简单的题目，还可以 让w(x,t)同时满足u(x,t)的方程和边界条 件，这样v(x,t)的定解问题就可简化为齐 次方程及齐次边界条件的问题了.
解
1.分离变量 令 u(x,t)＝X(x)T(t)
(2.1.4)
5
将式 u(x,t)＝X(x)T(t) 代入泛定方程(2.1.1), 得
= -λ
由于上式右端与x无关, 左端与t无关, 而x与t又 是互相独立的变量, 因此上式只有等于常数才 能成立。 令常数为- , 便得到两个常微分方程 X"(x) + X(x) ＝ 0 (2.1.5) T"(t) + a2T(t) ＝ 0 (2.1.6)
22
同样，将的取值分三种情况讨论 (1) 若 < 0, 这时方程X"(x)+X(x) ＝ 0的通解为
由边界条件X’’(0) ＝ X'(l) ＝ 0,可得
这是关于A,B的线性齐次方程组, 由于系数行 列式不为零,故A＝B＝0.
因此 < 0时, X(x)无非零解.
23
(2) 若 ＝ 0, 这时方程成为X" (x) ＝ 0, 它的通解为 X(x) ＝ Ax+B 由边界条件X' (0) ＝ 0, 得A＝ 0, 故 X(x) ＝ B， ⇒ X'(l) ＝ 0 因而对B没有任何限制． 为方便起见，取B ＝ 1，并记作 X0(x) ＝1 (2.1.28) B若取零，则得平庸解，不予考虑
29
表11-1在本征函数展开法中有重要的作用 X"(x) + X(x) ＝ 0
30
这两个例题可得出 X"(x) + X(x) ＝ 0 在不同 的齐次边界条件下的本征函数系(表2-1). 容易 发现如下的规律: (1)若齐次边界条件含X(0)＝0，则本征函数为 正弦函数；若齐次边界条件含X‘ (0) ＝ 0，则 本征函数为余弦函数
(11.1.47) 将式(11.1.47)代入式(11.1.39)即为所求． 本征函数展开法是为求解非齐次方程的定解 问题提出来的．当然也可用来求解齐次方 程的定解问题，读者可用本征函数展开法 重解例11. 1. 1及例11. 1.2.
38
§2.5
具有非齐次边界条件的 问题
设定解问题为
现在，采用“边界条件齐次化”的方法求解， 即把非齐次边界条件的定解问题转化为齐次 边界条件的定解问题，再用本征函数展开法 来求解，它的基本步骤为：
34
(2) 将u(x,t)及方程的非齐次项f(x,t)按本征函 数系 展开
显然， u(x,t)自动满足边界条件(2.1.37)。
由
的正交性可得
35
将式(11.1.39)代入式(11.1.38)得
36
(3)将两级数代入泛定方程 求展开系数Tn(t)
{
就构成了常微分方程的初值问题．
37
由常数变易法可求得
44
(2) v(x,t)的定解问题为
这是齐次方程、齐次边界条件的定解问题， 可解出v(x,t)---留作练习 加上w(x,t)后，即得u(x,t).
45
总之
对齐次方程及齐次边界条件的定解问题，可 直接用分离变量法或用本征函数展开法；
对于非齐次方程及齐次边界条件的定解问题， 可用本征函数展开法； 对于非齐次边界条件的定解问题，在非齐次 边界条件齐次化后用本征函数展开法。
解 定解问题为
21
1. 分离变量 令 u(x,t)＝X(x)T(t) (2.1.24) 将式(2.1.24)代入泛定方程， X"(x) + X(x) ＝ 0 (11.1.25) T'(t) + a2T(t) ＝ 0 (11.1.26)
将式(2.1.24)代入边界条件式(2.1.22)，可得 X'(0)＝0，X'(l)＝0 (2.1.27) 2. 求解本征值问题 (2.1. 25)与(2.1.27)构成常微分方程的边值问题 X"(x) + X(x) ＝ 0 X' (0)＝0, X' (l)＝0
数学物理方程第二版答案
的通解可以写成
u
F x at Gx at hx
其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
t 0 : u x ,
解：令 h x u v 则
u x . t
v h x u u v , h x 2 u h x u x x x x
( ESu x ) x
利用微分中值定理，消去 x ，再令 x 0 得
若 s( x) 常量，则得
( x)
即得所证。
2u u = ( E ( x) ) 2 x x t
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由， (3)端点固定在弹性支承上，试 分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
2u u g [(l x) ] 。 2 x x t
5. 验证
u ( x, y , t )
1 t x y
2 2 2
在锥 t x y >0 中都满足波动方程
2 2 2
2u 2u 2u 1 2 2 2 在锥 t x y >0 内对变量 2 2 证：函数 u ( x, y, t ) 2 2 2 2 t x y t x y
t有
G(x+at) 常数.
即对任何 x, G(x) C 0 又 G（x）=
1 1 x C ( x) ( )d 2 2a x0 2a
所以 ( x), ( x) 应满足
( x)
或
1 x ( )d C1 （常数） a x0 1 ' (x)+ ( x) =0 a
( x) (1 ) 2
若 E ( x) E 为常量，则得
数学物理方程和特殊函数
i
y C 1e r x C 2 e r x y ( C 1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
1 2 2
二阶常系数非齐次线性方程
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
例 求解下列定解问题 ( x at ) 1 x at ( x at ) U ( x, t ) xat ( )d 2 2a u u t sin x ( x , t 0) tt 1 xxx t u t 02 0 t sin x d x x 0 cos( ut t 1 sinxx ) 1 cos( x t) t 2 2 u( x , t ) U ( x , t ) V ( x , t ) 利用叠加原理
由D’Alembert公式有:
1 x at ' 1 x a ( t ) v ( x , t ; ) x at ' f ( , ) d x a ( t ) f ( , ) d 2a 2a
对一般非齐次一维波动方程Cauchy问题
utt a 2 u xx f ( x , t ) ( x , t 0) u t 0 ( x ) u t t 0 ( x )
u( x , t ) U ( x , t ) V ( x , t )
1 1 cos( x t ) cos( x t ) 2 2 1 1 t sin x cos( x t ) cos( x t ) 2 2
t sin x
对于有界弦非齐次方程混合问题
(I)
数学物理方程与特殊函数课件ppt07[42页]
![数学物理方程与特殊函数课件ppt07[42页]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/5becbadf844769eae109ed16.webp)
解：1、分离变量：
u(, ) R()( )
(5)
(5)代入(1)得：
R
1
R
1
2
R
0
整理后可令比值为λ：
2R R
R
16
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
得两个常微分方程如下：
0 (6) 2R R R 0 (7)
u(, )
a0 2
n an
n1
cos n
bn sin n
由边界条件(2)得：
f
( )
a0 2
n 1
0n
an
cos n
bn
sin n
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由傅立叶级数展开公式有：
a0
1
.2
f ( )d
.0
an
, (0
, 0
2
)
方程与边界条件变换为：
1
( u ) 1 2
2u
2
0
(1)
u 0 f ( ) (2)
4
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2) 圆盘中心温度有限，于是有：
u(0, ) (3)
(3) (ρ,θ)与(ρ,θ+2π)是圆盘上同一点，于是有：
R0 ( ) C D ln
由(8)得：D=0,于是有：
1-2_初始条件与边界条件chen
练习题： 考虑长为 l 的均匀杆的导热问题． 若 １．杆的两端温度保持零度；
２．杆的一端为恒温零度，另一端绝热． 写出杆在上面两种情况下的边界条件． 答案： u
= 0, u = 0;
u = 0, u x = 0;
x=0
x=l
x=0
x=l
数学物理方程与特殊函数 主页 上一页 下一页
退出
退出
偏微分方程要给出 n 个初始条件才能确定一个特 解．
初始条件的个数的确定：关于时间 t 的 n 阶
边界条件的个数的确定：关于空间变量 x 的 n 阶 偏微分方程不一定要给出 n 个边界条件．
数学物理方程与特殊函数 主页 上一页 下一页
退出
练习题： 若 考虑长为 l 的均匀杆的导热问题． １．杆的两端温度保持零度； ２．杆的一端为恒温零度，另一端绝热． 写出杆在上面两种情况下的边界条件． 答案：
∂u = f . 外法线方向的方向导数,即 ∂n s 2
第二类边界条件.
第一类边界条件. 三是在边界 S 上给出了未知函数 u 及其沿 S
的外法线方向的方向导数某种线性组合的
⎛ ∂u ⎞ + σ u ⎟ = f3 . 值,即 ⎜ ∂n 第三类边界条件. ⎝ ⎠s
数学物理方程与特殊函数 主页 上一页 下一页
M
初始条件:
u(M ,t)
t=0
= ϕ (M )
退出
数学物理方程与特殊函数 主页 上一页 下一页
泊松方程与拉 普拉斯方程
泊松方程与拉 普拉斯方程都是描 述稳恒状态的,与初 始状态无关,不提初 始条件.
数学物理方程与特殊函数 主页 上一页 下一页
退出
《数学物理方程讲义》课程教学大纲
《数学物理方程讲义》课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程的作用与任务本课程教材采用的是由高等教育出版社出版第二版的《数学物理方程讲义》由姜礼尚、陈亚浙、刘西垣、易法槐编写《数学物理方程讲义》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课。
数学物理方程是工科类及应用理科类有关专业的一门基础课。
通过本课程的学习，要求学生了解一些典型方程描述的物理现象，使学生掌握三类典型方程定解问题的解法，重点介绍一些典型的求解方法，如分离变量法、积分变换法、格林函数法等。
本课程涉及的内容在流体力学、热力学、电磁学、声学等许多学科中有着广泛的应用。
为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。
它将直接影响到学生对后续课的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。
数学物理方程又是一门公认的难度大的理论课程。
二、课程的目的与教学要求1 了解下列基本概念:1) 三类典型方程的建立及其定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法，定解条件的物理意义。
2) 偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念，线性问题的叠加原理。
3) 调和函数的概念及其基本性质(极值原理、边界性质、平均值定理)。
2 掌握下列基本解法1) 会用分离变量法解有界弦自由振动问题、有限长杆上热传导问题以及矩形域、圆形域内拉普拉斯方程狄利克雷问题;会用固有函数法解非齐次方程的定值问题，会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题;2) 会用行波法(达郎贝尔法)解无界弦自由振动问题，了解达郎贝尔解的物理意义;了解齐次化原理及其在解无界弦强迫振动问题中的应用;3) 会用傅立叶变换法及拉普拉斯变换法解无界域上的热传导问题及弦振动问题;4) 了解格林函数的概念及其在求解半空间域和球性域上位势方程狄利克雷问题中的应用;5)掌握二阶线性偏微分方程的分类二、课程的教学要求层次教学要求层次:有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求;有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。
数学物理方程与特殊函数PPT课件
——电场的三维波动方程
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
例3、静电场
确定所要研究的物理量： 电势u 根据物理规律建立微分方程：
u E
E /
对方程进行化简：
2 E (u) u u /
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和 非线性微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶
和高阶微分方程。
3、线性偏微分方程的分类
按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系 数和变系数微分方程
按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
•基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后 由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件 确定叠加系数。
•特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
•适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等
B、热传导方程的初始条件
初始时刻的温度分布： u(M , t ) |t 0 (M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与初始状态无关，不含初始条件
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
2 1
t2
t1
2 k udV dt V
数学物理方程与特殊函数
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
工程数学-数学物理方程与特殊函数电子教案-王元明-2-4
ab 1 u 1 2 u 2 12 cos 2 2 2 0 2π u | u | 0 0 2π b a
数学物理方程与特殊函数 主页 上一页 下一页 退出
因子的常微分方程的初值问题(或另一单元函数的常微 分方程的边值问题),用参数变易法或拉氏变换法可求得
其解.
3.将所求得的解代入未知函数的展开式中,即得原定
解问题的解.这种分离变量的方法按其特点又叫特征函
数(或固有函数)法.
数学物理方程与特殊函数 主页 上一页 下一页 退出
数学物理方程与特殊函数 主页 上一页 下一页 退出
弦的振动是由两部分干扰引起的,一是强迫力,一
是初始状态,所以此时振动可以看作为仅由强迫力引起
的振动和仅由初始状态引起的振动的合成.
可设解为:
U ( x, t ) V ( x, t ) W ( x, t )
其中V ( x , t ) 表示仅由强迫力引起弦振动的位移,它满足:
A0 ( ) c0 d0 ln d0 ln B0 ( ) c0
An ( ) cn n dn n , n 2 n dn n , n 1, 2, 3,… Bn ( ) cn
由条件
(b) 0 An (a) An
可令上式的解为:
u( , ) [ An ( )cos n Bn ( )sin n ]
n 0
代入方程并整理,得到:
数学物理方程与特殊函数 主页 上一页 下一页 退出
2 1 n ( ) An ( ) 2 A （ An n ) cos n n 0 1 n2 2 B ( ) B ( ) B （ ) sin n 12 cos 2 n n n 2
高中数学 第二章 函数 2.2 函数的简单性质素材 苏教版必修2(2021年最新整理)
高中数学第二章函数2.2 函数的简单性质素材苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章函数2.2 函数的简单性质素材苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章函数2.2 函数的简单性质素材苏教版必修2的全部内容。
函数的简单性质若函数f （z)在点0z 的ε邻域内点点可导，则称在点0z 解析；若函数在区域D 内点点可导，则称f （z ）在区域D 内解析；若f(z ）在包含 D 的某个开区域解析，则称在闭区域 D 中解析。
函数f （z ）在区域D(或点z ）解析的充要条件:在区域D(或点z 的ε邻域）内各点u （x ，y)和v （x ，y)可微并满足C －R 条件。
解析函数作为复变函数的主要研究对象,它具有多种性质，像其共轭性、调和性、保角性等微分性质及积分性质等.1. 微分性质:x y y x v u v u -==,。
具体表现为共轭性、调和性、保角性1.1共轭性解析函数的实部和虚部通过柯西—黎曼条件互相联系，并不独立。
若给定解析函数w=f(z ）在某点 000iY X Z +=的值f （0z )=i v u 00+,则可由v （x,y ）求u(x,y ）或由u （x ，y)求v(x ，y)，进而求出w=f(z ）。
1。
2调和性二维拉普拉斯方程02=∇，在区域D 内f （z ）=u(x,y)+iv(x ，y ）的实部和虚部都是调和函数。
1。
3保角性映射前后两切线的夹角是相等的。
2. 积分性质：主要包括柯西定理、柯西公式、高阶导数公式和最大模定理等2.1柯西定理单通区域的柯西定理：若f （z ）在单通区域D 内解析，则f （z ）在D 内的积分与路径无关；复通区域的柯西定理：若f(z ）在闭复通区域D 中解析，则f （z)沿所有边界线正方向积分之和为零。
北师大版高中数学必修2第2章1.从位移、速度、力到向量课件PPT
和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．
情境引入
新知探究
1．概念
2．两个特殊向量
3．向量的基本关系
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
1．概念
➢ 向量是既有大小又有方向的量；
➢ 向量的模是指表示向量的有向线段的长度，常用| |或|a|表示;
长度相等，方向相同的向量.
则它们表示的向量相等，即
= .
相等向量是指它们的长度相等且方向
相同，向量a与b相等，
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
请在方格图中，画出, , , , , . 并找出与
长度相等，方向相同的向量.
方格图中， 与
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
1Hale Waihona Puke 概念➢ 向量是既有大小又有方向的量；
➢ 向量的模是指表示向量的有向线段的长度，常用| |或|a|表示;
2．两个特殊向量
➢ 零向量的模是0，方向是任意的；
➢ 单位向量的模都相等．
3．向量的基本关系
➢ 相等向量，共线向量，相反向量．
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
数中符号相反且绝对值相等的两个数叫作相反
数”，我们把这两个向量叫作相反向量．
作为向量集合中的特殊向量零向量，它与其他向量共线吗?它有相反向量吗?
由零向量的定义可知，它的长度为零，任何一个方向都可以作为它的方向，所以零向
量与任一向量a共线，即 0 // a．零向量的相反向量仍是零向量．