高中数学 第一章 常用逻辑用语章末复习课 新人教A版选修1-1

【金版学案】2016-2017学年高中数学第一章常用逻辑用语章末复习课新人教A版选修1-1[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．命题及其关系的关注点(1)命题的四种形式的转换，方法是首先确定原命题的条件和结论，然后对条件与结论进行交换、否定，就可以得到各种形式的命题．(2)命题真假的判断，依据是命题所包含的知识点，判断的正确与否反映了对这一知识点的掌握情况，还可以根据互为逆否命题具有相同的真假性来判断．2．充分条件与必要条件的注意点(1)在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼．(2)证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混．3．简单的逻辑联结词的两个关注点(1)正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”．(2)有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分．4．否命题与命题的否定的注意点否命题与命题的否定的区别．对于命题“若p，则q”，其否命题形式为“若綈p，则綈q”，其否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论．有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式再判断．专题一 命题及其关系对于命题正误的判断是高考的热点之一，理应引起大家的关注，命题正误的判断可涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是学生的易失分点．命题正误的判断的原则是正确的命题要有依据或者给以论证；不一定正确的命题要举出反例，绝对不要主观推断，这也是最基本的数学逻辑思维方式．[例1] (1)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4(2)已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则对它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真解析：(1)设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，因为d ＞0，所以{a n }是递增数列，所以p 1为真命题；若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n ，此时{na n }不是递增数列，所以p 2为假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n ＝1＋1n ，此时⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递减数列，所以p 3为假命题；因为a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，所以{a n ＋3nd }是递增数列，所以p 4为真命题．(2)因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．答案：(1)D (2)D 归纳升华1．判断一个命题是真命题还是假命题，关键是看能否由命题的条件推出命题的结论，若能推出，则是真命题，否则为假命题．2．还可根据命题的四种形式之间的真假关系进行判断，即当一个命题的真假不易判断时，可以先把它转换成与它等价的命题(逆否命题)，再进行判断．[变式训练] 给出下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题；④若sin α＋cos α＞1，则α必定是锐角．其中是真命题的有________(请把所有真命题的序号都填上)．解析：②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等”的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．答案：①③专题二充分条件与必要条件的判定充分条件与必要条件的判定是高考考查的热点内容，在高考试题中主要以选择题的形式出现．解决此类问题的关键是充分利用充分条件、必要条件与充要条件的定义，同时，丰富的数学基础知识是做好此类题目的前提．[例2] (1)若向量a＝(x，3)(x∈R)，则“|a|＝5”是“x＝4”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x≠－1或y≠－1，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)|a|＝x2＋32＝5得x＝4或x＝－4.反之当x＝4时，|a|＝42＋32＝5，故“|a|＝5”是“x＝4”的必要不充分条件．(2)由逆否命题：若綈q，则綈p，则x＝－1＝y⇒x＋y＝－2正确，但x＋y＝－2 x ＝y＝－1，即綈q是綈p的充分不必要条件．答案：(1)B (2)A归纳升华判断充分条件和必要条件的方法1．定义法：根据充分条件和必要条件的定义直接判断．如本例中(1)．2．集合法：运用集合思想判断充分条件和必要条件也是一种很有效的方法，主要是通过集合范围的大小判断．3．等价命题法：利用原命题与它的逆否命题是等价命题的结论，有时可以很快地判断．如本例中(2)．[变式训练] 已知p ：x 2－8x －33＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0(a ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：解不等式x 2－8x －33＞0，得p ：A ＝{x |x ＞11或x ＜－3}；解不等式x 2－2x ＋1－a 2＞0，得q ：B ＝{x |x ＞1＋a 或x ＜1－a ，a ＞0}．依题意p ⇒q 但q p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤11，1－a ＞－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ＜11，1－a ≥－3，解得0＜a ≤4，所以正实数a 的取值范围是0＜a ≤4.专题三 含逻辑联结词的命题用逻辑联结词“且”“或”“非”正确地表述数学内容是学习数学的基本要求．本内容在高考试题中，既可以以选择题、填空题的形式单独出现，又可以渗透到解答题中．掌握本部分内容的关键是弄清含“且”“或”“非”命题的真假判断方法，即“p ∧q ”有假则假，“p ∨q ”有真则真．綈p 与p 真假相反．[例3] 已知命题p ：幂函数y ＝x 1－a 在(0，＋∞)上是减函数，命题q ：∀x ∈R ，ax 2－ax ＋1＞0恒成立．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．解：若命题p 真，1－a ＜0⇒a ＞1，若命题q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a 2－4a ＜0或a ＝0⇒0≤a ＜4. 因为p ∧q 假，p ∧q 真，所以 命题p 与q 一真一假．当命题p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＜0或a ≥4⇒a ≥4. 当命题p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，0≤a ＜4，⇒0≤a ≤1. 所以 所求a 的取值范围是[0，1]∪[4，＋∞)．归纳升华解答这类问题的一般步骤1．求出命题p ，q 为真时参数的条件；2．根据命题p ∧q ，p ∨q 的真假判定命题p ，q 的真假；3．根据p ，q 的真假建立不等式(组)，求出参数的取值范围．[变式训练] 已知命题p ：对任意x ∈R，总有|x |≥0.q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根，则下列命题为真命题为( )A ．p ∧(綈q )B ．(綈p )∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∧q解析：由题意，知命题p 是真命题，命题q 是假命题，故綈p 是假命题，綈q 是真命题．由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p ∧(綈q )是真命题．答案：A专题四 转化思想所谓转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化、归结为在已学知识范围内可以解决的问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．可以说数学解题就是转化问题，每一个数学问题都是在不断的转化中获得解决的．即使是数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想也都是转化思想的一种表现形式．[例4] 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解：因为綈p 是綈q 的必要而不充分条件，所以 p 是q 的充分而不必要条件，由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，所以 q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， 所以 p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为p 是q 的充分而不必要条件，所以 P Q ，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，即m ≥9或m ＞9.所以 实数m 的取值范围是m ≥9.归纳升华对于条件或结论是否定式的命题一般应用等价法．这里要注意“原命题⇔逆否命题”，对于本题綈p 是綈q 的必要不充分条件⇔p 是q 的充分不必要条件，进而转化为研究p ，q 对应的集合之间的关系，求出实数m 的取值范围．[变式训练] 若r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2＋mx ＋1＞0，如果对∀x ∈R ，r (x )为假命题且s (x )为真命题，求实数m 的取值范围．解：因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2， 2 ]， 所以 如果对∀x ∈R ，r (x )为假命题，即对∀x ∈R ，不等式sin x ＋cos x ＞m 不恒成立， 所以 m ≥－ 2.又对∀x ∈R ，s (x )为真命题，即对∀x ∈R ，不等式x 2＋mx ＋1＞0恒成立，所以 m 2－4＜0，即－2＜m ＜2.所以 如果对∀x ∈R ，r (x )为假命题且s (x )为真命题，应有－2≤m ＜2.。