磁场中的高斯定理.
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磁场高斯定理
磁场的高斯定理是磁场理论中的一个重要定律，它表述为：磁场中通过任一封闭曲面的磁通量一定为零。
这里，磁通量表示的是通过某个曲面的磁感线的数量，磁感线是用来表示磁场分布的线。
高斯定理告诉我们，不论磁场如何分布，无论曲面如何取向，只要它是封闭的，通过这个曲面的磁通量总是为零。
这个定理反映了磁场的无源性质。
在磁场中，没有类似于电荷这样的源，磁场线是闭合的，从一处出发的磁场线会形成闭合回路，不会像电场线那样从一个正电荷出发终止于一个负电荷。
因此，磁场线不会从一个地方出发而终止于另一处，这就意味着磁场线不会穿越一个封闭的曲面，导致磁通量恒为零。
与静电场的高斯定理相比，磁场的高斯定理体现了磁场的本质差异。
在静电场中，由于电荷的存在，电场线会从正电荷出发终止于负电荷，因此，通过一个封闭曲面的电通量可以不为零。
而磁场的高斯定理表明磁场是无源的，不存在孤立的磁荷，磁场线总是闭合的。
这个定理在磁场的实际应用中具有重要意义，例如在电磁感应、磁场的能量传递等方面都是基于磁场的高斯定理的原理。
通过理解和应用磁场的高斯定理，我们可以更好地理解和预测磁场的行为和作用。
1。
磁场-4 磁场中的高斯定理
恒定磁场
第4讲 磁场中的高斯定理
一、磁感应线
磁场中的高斯定理
磁感应线（B线）：为形象描绘磁场的空间分布而人为 绘制出的一系列曲线
1.磁感应线上任一点的切线方向都与该点的磁感应强
度的方向一致。
v
2.垂直通过单位面积的磁
B
感应线条数等于该处磁感
应强度的大小。
条形磁铁周围的磁感应线
直线电流的磁感应线
解: 建立如图所示的坐标系
x处磁场: B = μ0I
2πx
rr
元通量: dΦm = B ⋅ dS = Bldx
= μ0I ldx
O x +dx
x
2πx
∫ ∫ Φm =
SdΦm
=
μ0 Il
2π
a+b 1 dx = μ0 Il ln a + b
ax
2π b
三、磁场中的高斯定理
磁场中的高斯定理
对封闭曲面，规定外法向为正
进入封闭曲面的磁通量 Φ < 0 m
穿出封闭曲面的磁通量 Φ > 0 m
磁场中高斯定理：
磁场中通过任意闭合曲面的磁感应强度通量等于
∫ ∫ 零。
v B
⋅
v dS
=
B cosθ dS = 0
S
S
磁场是“无源场”
磁场中的高斯定理
例题1. 如图所示，在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一 半径为R的半球面S，S的边线所在平面法线方向n与B的 夹角为α ，求通过半球面S 的磁通量。
磁场中的高斯定理
磁感应线为一组环绕电流的闭合曲线。
圆电流的磁感应线
磁场中的高斯定理
I
磁感应线为一组环绕电流Leabharlann 闭合曲线。磁场中的高斯定理
12磁场的高斯定理和安培环路定理解读
穿过一面元的磁通量：
d m BdS BdS cos B dS 式中：dS dSn ˆ 称为面元矢量。 ˆ 为法线方向单位矢量。 n
4
2.穿过某一曲面的磁通量
m d m B dS
d m
B
BdS cos
dS
ˆ n
S
3.穿过闭合曲面的磁通量
m d m B dS
规定：取闭合面外法线方向为正向。 磁力线穿出闭合面为正通量， 磁力线穿入闭合面为负通量。
2
B
磁通量单位：韦伯，Wb
2
ˆ n
Байду номын сангаас
B
5
3.磁场中的高斯定理 定理表述：穿过任意闭合面的磁通量等于 0。
dB
dB ' dB' '
dl '
p
d
dl ' '
l
c
B
结果
o j
2
o
方向如图所示。
a
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为 均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
15
例5 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示， 其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求： （1）环内距轴线为r 远处的磁感应强度；（2）通过 螺线管截面的磁通量。 I
解：在管内作环路半径为 r的圆环 ，
环路内电流代数和为： I NI
rR
o R1
2
当 r >> ( R2 – R1) 时N n 为沿轴向线圈密度；
0 NI B 2r 0 NI B 2r
磁场中的高斯定理和安培环路定理
规定：
与L 绕向成右旋关系 与L 绕向成左旋关系
Ii 0 Ii 0
例如：
Ii I1 2I2
(穿 过L )
注意：
L
B dl
0 Ii
(穿 过L)
B:
与空间所有电流有关
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关
穿过 L的电流：对 B 和 B dl 均有贡献 L
2
r1
2
d r1 r2
2.26 106 wb
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1.导出： 可由毕 — 沙定律出发严格推证
采用： 以无限长直电流的磁场为例验证
推广到任意稳恒电流磁场（从特殊到一般）
1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与 平面交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向 与电流成右旋关系。
B 0I 2r
练习：同 求轴B的的两分筒布状。导线通有等值反向的电流I,
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1
r
R2 ,
B
0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
2.长直载流螺线管的磁场分布
已知：I、n(单位长度导线匝数) 分析对称性 管内磁力线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零
dl
0I
2π
2π
0
d
0I
对任意形状的回路
B dl
0I
rd
0I
d
2π r
2π
磁场的高斯定理表达式及其物理意义
磁场的高斯定理表达式及其物理意义
高斯定理是物理学中最重要的定理之一，它是了解和研究磁场的重要基础。
高斯定理表达式被记作Phi(φ=)div B，其中φ是称为磁智的标量场函数，B代表磁场矢量。
简而言之，高斯定理可以说是一条用标量变量来描述磁场矢量大小和方向的定理。
高斯定理的物理意义在于表明，任何一个磁场矢量的总收入（即磁智的总和）等于该磁场矢量离开所在区域的总产出（即磁智的总和）。
这是在集中于磁力线构造中得出的，其中磁力线是由围绕磁场产生和维护的磁场中出现的“线”现象。
既然这个定理反映了磁力线的物理性质，那么我们也可以得出这样的结论：一个区域内的磁场矢量不能有总的流动，因为它的总收入和总产出必须相等。
因此，高斯定理的结果揭示了磁力线的构造，以及磁场的分布特性，是磁场研究的重要理论依据。
高斯定理对于了解磁场扩散、收集和聚集的基本规律有着重要的价值，从而有助于我们正确控制和保护磁场。
因此，高斯定理为高等学校中物理学习提供了一个基本的理论基础，是可解释和预测磁场分布和行为的重要方法。
恒定磁场高斯定理公式
恒定磁场高斯定理公式
恒定磁场高斯定理：
1. 定义：恒定磁场高斯定理是物理学中一种物理学定理，其主要涉及
到磁场如何影响物体，及磁场是如何分布的。
2. 原理：恒定磁场高斯定理称为「磁产生定律」，这个定律表明：磁
场的强度、施加力的大小和物体的深度之间的关系是简单的高斯模型，即在空间上，磁场的强度衰减率满足高斯型模型，而不是简单的正弦
型模型。
3. 应用：恒定磁场高斯定理常用来描述磁场的强度分布，如果一个磁
场内没有任何外部质量或电流的影响，那么磁场的强度衰减率将满足
高斯型模型。
这一定律经常用于测量磁场的强度，以了解地磁场的强
度分布和磁场方位，以及估计电磁散射层的厚度。
4. 公式：恒定磁场高斯定理的数学公式表述为，若将物体的中心视为
原点，则磁场的强度B随着距离r的变化满足：
$$B(r)=\frac{B_0}{1+\left(\frac{2c}{r}\right)^2}$$
其中，B_0为物体中间磁力线的平均强度，而c是磁场到物体中心的距离。
5. 参考：E.W Jorry曾表明恒定磁场高斯定理，这个定律经常被用于研究地磁场和大气层。
6. 总结：测量磁场强度及分布与恒定磁场高斯定理有关，它给出了磁场强度衰减率满足高斯型模型的物理定律，广泛的应用于地磁方位、磁场强度分布和电磁散射层厚度估计等等方面。
07磁场的高斯定理和安培环路定理
I
r L
B
7
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 高度的对称性 。 利用安培环路定理求磁感应强度的关健： 利用安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁 场分布的对称性，选取合适的闭合环路。 场分布的对称性，选取合适的闭合环路。 3、选取环路原则 (1)环路要经过所研究的场点。 环路要经过所研究的场点。 环路要经过所研究的场点 (2)环路的长度便于计算； 环路的长度便于计算； 环路的长度便于计算 r r (3)要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向与环路 大小相等， 要求环路上各点 方向一致， 方向一致， r r µ0 ∑ I I 写成 B = 目的是将: B ⋅ dl = µ0 目的是将
3
2、磁通量
dΦm
r B
磁通量: 通过任一曲面的磁力线的条数。 磁通量 通过任一曲面的磁力线的条数。 1）穿过一面元的磁通量dΦ m ）
r r d Φ m = B ⋅ dS 单位：韦伯，Wb 单位：韦伯，
2）穿过某一曲面的磁通量 ）
dS
S
Φm = ∫
S
r r d Φ m = ∫ B ⋅ dS = ∫ BdScosθ
a
b
r B
d
c
r B外 = 0
r cr r d r r ar r r r b r B ⋅ dl = ∫a B ⋅ dl + ∫b B ⋅ dl + ∫c B ⋅ dl + ∫d B ⋅ dl ∫ r r r c r a r r Q B ⊥ d l , cosθ = 0 ∫b B ⋅ dl = ∫d B ⋅ dl = 0, r d r r B = µ0nI B 螺线管外： 螺线管外： 外 = 0, ∫ B ⋅ dl = 0
磁场中的高斯定理
高斯定理表明，在通电导线周 围的磁场中，穿过任意一个闭 合曲面的磁通量等于电流的代 数和。
通过高斯定理，可以计算出通 电导线周围的磁场分布和特点， 例如磁场的方向和强度。
磁通量的计算实例
磁通量是指穿过某个面的磁场的强弱和方向的量。通过计算磁通量，可 以了解磁场的分布和特点。
计算磁通量需要使用高斯定理，通过积分来计算穿过某个面的磁通量。
磁场矢量场
高斯定理的应用使得我们可以方便地处理磁场矢量场问题。通过计算矢量场的散度，我们可以得到特定区域内磁 场的变化情况，从而更好地理解磁场的行为和性质。
磁场中的高斯定理的推导
高斯定理推导
高斯定理在磁场中的推导基于磁场的高斯定理和安培环路定律。通过引入磁通量密度和磁通量等概念 ，我们可以利用微积分的方法推导出高斯定理在磁场中的形式。
磁场与电场的关系
磁场和电场是相互联系的，变化的电 场会产生磁场，变化的磁场也会产生 电场。因此，磁场和电场可以相互转 化，形成电磁波。
磁场的方向
磁场的方向
在磁场中任意一点，磁场都有一个特定的方向，称为该点的磁场方向。磁场方 向可以通过放入该点的磁针的指向来确定，磁针的北极指向磁场方向。
磁场方向的确定
高斯定理表明，在磁场中，穿过任意一个闭合曲面的磁通量等于零，即磁场是无源 场。
在地球磁场中，由于地球内部的物理过程，产生了磁场分布。高斯定理可以用来分 析地球磁场的分布和特点，例如地磁场的极性和强度分布。
通电导线周围的磁场高斯定理分析
当导线中电流发生变化时，会 在导线周围产生磁场。高斯定 理可以用来分析这个磁场的分 布和特点。
磁场大小的测量
测量磁场大小的方法有多种，如高斯计、特斯拉计等。这些 仪器通过测量磁感应线的密度或磁通量来计算磁场的大小。 在地球表面，地磁场的大小约为0.5-0.6特斯拉。
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v B
线为闭合线，进入
曲面的磁力线数目等于
穿出曲面的磁力线数
S
目，即通过任意闭曲面 的磁通量恒等于零。
∫∫
Bv
⋅
v dS
=
0
S
上式称为磁场中的高斯定律。它反映了自然界中没有 单一磁极存在。磁场是无源场（涡旋场）。
例：如图，无限长导体通有电流 I，
dr
求通过矩形线圈的磁通量。
I
解：dΦ = BdS = µ0I l dr
v B
的量值：
B = ∆N ∆S⊥
∆N = B∆S⊥ = Φm (单位：T ⋅ m2－－Wb韦伯）
3、磁通量
通过一给定曲面的磁力线数称为通过该曲面的磁
通量。
dsv
v B
dΦ
=
BdS
cosθ
=
v B
⋅
v dS
Φ
=
∫
dΦ
=
∫∫
Bv
⋅
v dS
S
nv
三、磁场中的n高v 斯定律 规定曲面外法线方向为正。
v B
l
2πr
a
b
r
∫ ∫ Φ = dΦ = a+b µ0I l dr
a 2πr
= µ0I l ln a + b 2πr a
第二节 磁通量 磁场中的高斯定理
一、磁力线 磁通量
1、磁力线
曲线上各点切线方向为该点来自r B的方向，用磁力
线的疏密来表示磁场的强弱。
性质：(I) 磁力线不会相交。 (II) 磁力线为闭合线。
电力线和磁力线的不同反映了电场和磁场基本性质的 不同。 电场－－有源场
磁场－－涡旋场
2、磁在力与线B密v 垂度直的平面上取单位面积的磁力线数等于该点