3第三讲导数与微分法研究
高等数学导数与微分
高等数学导数与微分高等数学是大学数学的一门重要课程，其中导数与微分是其核心内容之一。
导数与微分是数学中研究函数变化率的重要工具，它们在物理、经济学、工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将从导数与微分的定义、性质以及应用等方面进行探讨。
导数是描述函数变化率的概念。
具体而言，对于给定的函数，其导数表示函数在某一点上的变化速率。
导数的定义是函数在某一点上的极限，即函数在该点附近随着自变量的微小变化而相应变化的极限值。
导数的计算可以通过求出函数的导数公式，或者利用极限的性质进行计算。
导数具有一些重要的性质。
首先，导数可以用来判断函数在某一点上的增减性。
如果函数在某一点的导数大于0，则函数在该点上是增函数；如果函数在某一点的导数小于0，则函数在该点上是减函数。
其次，导数还可以用来求函数的极值。
函数在极值点处的导数为0，因此可以通过求导数为0的点来确定函数的极值点。
此外，导数还可以用来研究函数的凹凸性、拐点等性质。
微分是导数的一种应用形式。
微分可以看作是导数的微小增量，是函数值的变化量与自变量的变化量之间的关系。
微分可以用来求函数在某一点的近似值，也可以用来求函数的最值。
微分的计算可以通过求导数公式，或者利用微分的定义进行计算。
微分的应用在物理学中有着广泛的应用，比如在运动学中，通过求速度、加速度的微分可以得到物体的位移和速度等信息。
导数与微分在实际问题中有着广泛的应用。
在物理学中，导数与微分可以用来描述物体的运动状态，并求解运动的规律。
在经济学中，导数与微分可以用来分析市场需求曲线、供给曲线等经济现象。
在工程学中，导数与微分可以用来求解最优化问题，比如求解最小曲面积或最小路径等。
导数与微分还在计算机科学、生物学等领域中有着重要的应用。
高等数学中的导数与微分是数学的重要概念，具有广泛的应用价值。
通过对导数与微分的研究，我们可以更好地理解函数的变化规律，并将其应用于实际问题的求解中。
导数与微分的理论基础和实际应用相互支撑，共同构成了数学中重要的一部分。
课件：第三章 导数与微分 总结
5、
6、已知函数 f ( x)具有任意阶导数，且
f ( x) f ( x)2,则当n为大于 2 的正整数时，
f ( x)的 n 阶导数 f (n) ( x)是（ ）
（A）n![ f ( x)]n1；
（B） n[ f ( x)]n1；
点 x0 处可导, 且 A f ( x0 ).
7、微分的求法
dy f ( x)dx
求法 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
返回
基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d( x ) x1dx
d(tanx) sec2xdx d(cotx) csc2xdx
d(sinx) cos xdx d(secx) secxtanxdx
dx
d(ln x) 1 dx x
d(arccotx)
1
1 x2
dx
返回
8、 微分的基本法则
函数和、差、积、商的微分法则
(1) d(u v) du dv, (3) d(uv) vdu udv,
微分形式的不变性
(2) d(cu) cdu,
(4)
d( u) v
vdu udv v2
.
无论 x 是自变量还是中间变量, y f ( x)的 微分形式总是 dy f ( x)dx .
y(n), dn y dx n
或
dn f (x dx n
)
.
5、微分的定义
若函数 y f ( x) 的增量具有表达式 y Ax o(x) ,
则 y f ( x) 可微,相应的微分为 dy Adx.
微分 dy 叫做函数增量y 的线性主部.
微积分第三章导数与微分
y
y
y
0
x0
x
0
x0
x
0
x0
x
（1）曲线 f ( x) 在点
（2） 曲线 f ( x) 在点
（3）曲线 f ( x) 在点
x0
x0 处
x0 处有
处是尖点
间断
垂直切线
calculus
作业
先看书 再做练习
P89:T8； P106：T1(1)；T2；T5.
x 作业讲评 P88.5(2) y sin x
x
1 lim[(1 ) ] x x
x x x
1 x lim u ( x) lim (1 ) e 0 x x x
x 1 lim v( x) lim lim 0 x x x x x
原式 e 1
P89.6. (5).解法1： lim (1 1 ) x x
x
1 lim (1 ) x x
lim
1 1 2 x ( )
1 x2
lim e
x
x
1 x2
calculus
ln(1 1 ) x
e
x
lim
1 x2
ln(1
1 ) x
e x
即
f ( x) 在 x0 处可导,
y f ( x0 ) lim 存在 x 0 x lim y lim y x
x 0
x 0
y lim lim x 0 x 0 x x 0 所以,函数 y f ( x) 在 x0 处连续.
x
问题：连续是否一定可导？
二、导数的定义
calculus
定义1：设函数y f ( x)在点x0处的某邻域内有定义， 如果函数的改变量y f ( x0 x) f ( x0 )与自变量 的改变量x的比值当x 0的极限
导数与微分课件
导数的计算
导数的计算可以通过使用导 数的定义和基本的微积分规 则。
导数的应用
导数的应用包括函数的单调 性、极值点和图像与导数的 关系。
微分的定义
增量与微分
微分是通过增量的概念进行定 义的，它描述了函数在某一点 上的变化情况。
微分的几何意义
微分具有几何意义，可以用来 描述件
欢迎来到本次的导数与微分ppt课件！在本课件中，我们将介绍导数和微分的 概念，探讨它们的应用和真实世界中的案例，帮助您更好地理解这一重要的 数学概念。
什么是导数和微分
我们将开始本次课程的旅程，从导数与微分的概念入手。导数是函数在某一点上的变化率或斜率。微分是通过 导数对函数进行近似的方法。让我们深入了解这两个重要的数学概念。
导数和微分的关系
1 密切联系
导数和微分是密切相关的 概念，导数提供了微分的 基础。
2 应用广泛
3 互相补充
导数和微分在数学和实际 应用中都起着重要的作用， 例如函数的图像和曲线拟 合。
通过导数和微分，我们可 以更好地理解函数的性质 和变化规律。
导数的定义
极限的概念
导数的定义涉及到极限的概 念，即函数在某一点上的变 化率。
微分的计算
微分可以通过使用微分的定义 和数学推导方法进行计算。
微分的应用
1
极值问题
微分可以帮助解决极值问题，即找到函数的最大值和最小值。
2
最优化问题
微分还可以应用于最优化问题，例如在限制条件下求函数的最大或最小值。
3
凸函数与微分
微分可以用于研究凸函数，以及凸函数与微分之间的关系。
总结
通过本次课程，我们深入了解了导数与微分的关系，学会了计算导数和微分， 并了解了它们在实际问题中的应用。下一节课，我们将进一步学习函数的积 分。
导数与微分求解函数的导数及微分法则
导数与微分求解函数的导数及微分法则导数和微分是微积分学中的两个基本概念。
在求解函数的导数和微分法则时，导数和微分密切相关。
本文将分别探讨导数和微分的概念以及它们在函数的求导和微分法则中的应用。
一、导数的概念及求解方法导数是用来描述函数变化率的概念，表示函数在某一点处的瞬时变化速率。
对于给定函数f(x)，其在点x处的导数可以用极限的形式表示：$f'(x)={\frac{d}{dx}}f(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$其中$\Delta x$表示自变量x的变化量，在求导的过程中会趋近于0。
函数f(x)在点x处可导的条件是导数$f'(x)$存在。
对于常见的函数，求导有一些常用的求导公式，包括：（1）常数函数的导数为0：$(c)'=0$，其中c为常数。
（2）幂函数的导数：$(x^n)'=nx^{n-1}$，其中n为正整数。
（3）指数函数的导数：$(a^x)'=a^xlna$，其中a为大于0且不等于1的实数。
（4）对数函数的导数：$(log_ax)'={\frac{1}{xlna}}$，其中a为大于0且不等于1的实数。
（5）三角函数的导数：$(sinx)'=cosx$，$(cosx)'=-sinx$，$(tanx)'={\frac{1}{cos^2x}}$。
除了以上常用的公式，可以利用导数的基本运算法则，如加法、减法、乘法和除法法则求导，更多的函数导数求解方法可以在求导的过程中掌握。
二、微分的概念及微分法则微分是函数在一点处的局部线性近似，可以用一次微分式$f'(x)dx$来近似表示$f(x+dx)-f(x)$。
根据微分的定义，得到微分公式：$df=f'(x)dx$其中df即表示函数的微分，dx是自变量x的增量。
微分公式可以推广至多元函数，即对于多元函数有：$df=\sum_{i=1}^n{\frac{\partial f}{\partial x_i}}dx_i$微分法则是指一些常用函数的微分公式，这些公式可以方便地用于求解复合函数和其他函数的微分。
估值问题—导数与微分详解
x
2
并写出在该点处的切线方程和法线方程.
y 1 x
y 1 x
例6 求曲线y 1 在点( 1 , 2)处的切线的斜率，
x
2
并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k 的yy曲xf线12(xC()在 在 1x )Mxx0处 012点的 切导线x1数 2的x是斜12 f率(x4).
定义 设函数y f ( x)存在n 1阶导数，并且
n 1阶导数可导，那么y(n-1) f (n1) ( x)的导数
叫做函数y f ( x)的n 阶导数，
记作y(n)
f
(n) ( x)
dn y dxn
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
当x 0时，y x
f ( x0 ).
y
y = f (x)
f ( x0 )
斜率是 y x
M0
x
M
y
斜率是 f (x0)
o
x0
x0 x
x
注意：（1）y 是平均变化率 x
f
(
x0
)
lim
x 0
y x
是瞬时变化率
导数是平均变 化率的极限
（2） dy 是表示导数的一个整体符号. dx
（3）点导数是因变量在这点的变化率，它反 映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度.
y x (为任一实数).
( x ) x 1 .
1/2
例如,
(
x )
1
1 1
x2
1 .
2
2x
3 ( x3 ) 3 x2 .
sin
sin
2 sin
cos
高等数学中的导数与微分方程研究
高等数学中的导数与微分方程研究导数和微分方程是高等数学中的重要概念和研究对象。
导数是描述函数变化率的工具，而微分方程则是用来描述自然与社会现象中的关系或规律的数学模型。
导数是函数在某一点处的变化率，是函数的一种基本性质。
具体而言，如果函数在某一点处的斜率存在，那么该点就具有导数。
导数的概念也可由斜线率引申而来，用于描述函数图像在某一点处的切线斜率。
导数可以用符号“f'(x)”表示，其中f表示函数，x表示自变量。
导数的研究在高等数学中有着重要的地位。
基于导数的性质，可以进行函数的极值、最优化、曲率、速度等各种问题的研究。
导数的使用广泛应用于物理学、经济学及工程学等领域，用于描述各种变化的速率和趋势。
微分方程是通过使用导数来描述函数与其导数的关系的方程。
具体而言，微分方程描述了一个函数和它的一些导数之间的关系。
通过微分方程，我们可以建立物理、生物、经济以及其他领域中的模型和描述。
微分方程的研究主要涉及到解微分方程和应用微分方程两个方面。
解微分方程是指找到使得微分方程成立的函数的过程。
微分方程的解有时可以用“f(x)”表示，其中f是函数，x是自变量。
解微分方程需要使用不同的技巧和方法，例如分离变量、线性微分方程、常数变易法、变系数法等。
通过解微分方程，我们可以获得微分方程所描述问题的解析解，进而深入理解问题的性质和特点。
应用微分方程涉及到将微分方程应用于实际问题中。
在科学、工程和经济学中，有许多自然和社会现象可以用微分方程来描述。
例如，牛顿的第二定律可以用微分方程描述物体的运动；生物学中的人口模型、化学反应动力学和电路理论中的振荡等也可以通过微分方程来描述。
应用微分方程需要将实际问题建模为数学形式，然后解出微分方程得到问题的解析解或近似解，最后进行结果的分析和解释。
高等数学中的导数和微分方程的研究是为了深入理解和应用数学在自然科学和社会科学中的重要性。
导数和微分方程的研究使我们能够更好地理解和描述各种变化与运动的规律，并且为科学实践和工程应用提供了强有力的数学工具。
函数的导数与微分
函数的导数与微分函数的导数与微分是微积分中非常重要的概念。
它们给出了函数曲线上各点的斜率以及函数的极小值和极大值所在的位置。
本文将介绍导数和微分的定义、计算方法和应用。
一、导数的定义与计算方法在微积分中，函数f(x)在某一点x处的导数，用f'(x)表示，定义为函数曲线在该点处的切线的斜率。
导数可以告诉我们函数在某一点上的变化率或增长率。
导数的计算方法有以下几种：1. 使用导数的基本公式：根据不同的函数类型，可以利用基本导数公式推导出具体函数的导数。
例如，对于常数函数f(x) = c，c为常数，其导数为0；对于幂函数f(x) = x^n，其中n为整数，其导数为f'(x) =nx^(n-1)；对于指数函数f(x) = a^x，其中a为常数，其导数为f'(x) =a^x * ln(a)，等等。
2. 使用导数的定义式：导数的定义式是通过极限的方法来计算的。
即f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h为一个趋近于0的实数。
这种方法通常适用于无法直接应用基本导数公式的函数。
3. 使用导数的性质和运算法则：导数具有许多重要的性质和运算法则，如导数的和、差、乘积和商的法则，链式法则等。
对于复杂的函数，可以利用这些性质和法则简化计算过程。
二、微分的定义与计算方法微分是导数的一个应用，它可以用来近似计算函数在某一点附近的变化情况。
函数f(x)在点x处的微分，用df表示，定义为函数f(x)在该点处的导数f'(x)与自变量的增量dx的乘积，即df = f'(x)dx。
微分可以用来估计函数值的变化量，并且在数值计算和优化问题中有广泛的应用。
计算微分的方法与计算导数的方法类似，可以利用定义式、基本微分公式和微分的运算法则进行计算。
三、导数与函数的性质和应用导数具有许多重要的性质和应用，以下是其中的一些：1. 导数与函数的图像：函数的导数可以帮助我们了解函数曲线的形状和特征。
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泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室通过教学使学生掌握导数的定义，导数的几何意义及微分的概念，熟练掌 握导数的各种求导方法。
第三讲导数与微分法研究、基本概念1•导数及其变形2•分段函数的导数通过左右导数来求 3. 导数的几何意义 4. 微分的定义二、求导方法1 .求导公式及其应用2. 复合函数求导法 3 •隐函数的导数求法 4.参数方程确定的函数的导数求法 5•极坐标方程表示的的函数的导数求法 6 .形如y = f(x)g(X)的函数的导数求法一一取对数求导法 7•分段函数的导数8•变动上线的积分表示的函数的导数课程名称 高等数学研究 授课对象授课题目第三讲导数与微分法研究课时数教学目的 重 点 难 占 八\、1. 2. 3. 隐函数的导数求法参数方程确定的函数的导数求法 形如y = f (X)g(X)的函数的导数求法一一取对数求导法变动上线的积分表示的函数的导数教学过程与内容教学后记第三讲导数与微分法研究 元函数的导数与微分是微积分的基础，经常出选择题与填空题，可作为求极限、求驻点、求拐点、求多元函数的偏导数与全微分等问题的基础。
重点掌握分段函数的导 数、隐函数的导数、参数(极坐标)方程确定的函数的导数。
变动上限的积分表示的函 数的导数每年都考。
一、基本概念1 .导数及其变形 ,f(X)-f(X 0), lim = lim f X - x 0 4° 例1：设f (X)在x 0可导，求 f(X 0 —3h)-f(X 0) (1) lim hT f(X o 中心 X)— f(X o ) _ limf (X o +h)- f(X o ) -h m oh 1 ⑶ lim n[ f(X 0 +-) - f (X o-T nf(X0+2h)-f(X0-2h) ⑵h m o 丄)]2n 2 .分段函数的导数通过左右导数来求 例2：设f(X)斗X - a I ®(x),护(X)在X = a 连续，文在什么条件下 f (x)在x = a 可导? 【解】lim f(X ^f(a ^lim -®(x) = -®(a) X —a lim fg-f(a)= lim 畀(X)=护(a) T X — a X T 〒当—q)(a)=W (a)，即 W (a) =0时，f (x)在 x = a 可导。
2 【讨论】f(x)=|x|, f(x)=x|x|, f(x) =x(x +1)(X -1) I X -1 I 分别有几个不可导 点。
例3:已知函数f(x) =«” 2x l ax + b X A 1 X ^1处处可导，试确定 a 、b 的值。
【解】(1)欲使f (x)在X =1处可导，必先在X = 1处连续, 故有 lim f(X)= limf (x) = f(1)，即a+ ^1 x —!—H 十(2)又f (x)在X=1处的左、右导数分别为25=十斗ad + 也 x)+b —1 「5、 .. a(1+也 x)+b —1 r a 也X f Q=J x s + 纵 二四盂=a故a = 2，从而b = -1，所以，当a = 2 , b = —1时f (x)处处可导。
3.导数的几何意义设函数y = f(x)在点X o 的导数存在，为f'(X o )，则导数值为函数 y = f(X)上一点 (x 0, f (x 0))处的切线的斜率。
此时，切线方程为：y - y 0= f'(x 0)(x -x 0)；法线1方程为： y _y 0= ------------- f'(X o )例4：求y =x 2的切线方程，使此切线与直线 y =X +1的斜率相同。
2【解】设切点为(X o ，y o )，则有：y 0= X o,由已知，切线斜率与 y=x+1相同，贝y y'l x 0=1,1 1可解得：X 0 =丄，二y 。
=丄2 41 1切线方程为： y --- = X — 即y4 2例5：函数y = f (X)由方程xy + 21n x【解】略 4. 微分的定义设函数y = f (x )在某区间内有定义， 也y = f (x 0+比X )- f (x 0)可表示为 U= A 总X + 0(i x )，其中A 是不依赖于 也X 的常数, 而0(& )是i x T 0时比 &高阶的无穷小，那么称函数 y =A A x 叫做函数y = f (X 在点X o 相应于自变量增量 A x 的微分，二、求导方法1 .求导公式及其应用(略)2 .复合函数求导法(略)3 .隐函数的导数求法1例6：求由方程x -y +—Siny=0所确定的隐函数 y = f (x )的二阶导数 2 【解】两边对x求导得：1 一 y ‘ +工cos y = 02L -2sin y -y' dx ( 2 -cosy 」 方法二：对(*)式再两端求导得：(X —X o )。
1 =X —。
4 y 4y= f(x)(1,1)f (x )在点X o 是可微的。
而记作 dy 。
即 dy = A i x 。
d 2y dx 2(*)- 2 -y = -- ------ 2 -cosy 由此得哄=d rdx 2(2-cosy f (2-cosy ；32i sin y (2-cosy 丿_ -4s iny 2-cosy (2-cosy ；3x 0及x 0+i x 在这区间内，如果因变量的增量 -4sin y- y" + ~(y "cosy - y sin y、y 021 2 . 一一y Sin y 吃..______________ -y siny…y — d — c —.1 2-cosy1 - -cosy y4 .参数方程确定的函数的导数求法 (1)若参数方程 卩=珂)确定 [y =屮(t ) x 与y 之间函数关系，则称此函数为由参数方程所 确定的函数。
(2)计算导数的方法 dy _屮’(t dt _屮'(t ) d X ~ 护(t dt— A(t )， d 2y _d2 dx^ "i x 例7:函数y = f(X)由参数方程 !x = [ sinudu ｛打 [y =s int 确定，求■dydxdx = sin tdt【解】[dy = costdt—tt dxd® …sc 2tdtd 2y _ 1 dx 2 sin 't 例8:函数y = f(x)由方程(2 X =t 2+2t -y + sin y =1确定，求d 2y dx^【解】略 5 .极坐标方程表示的的函数的导数求法 设极坐标方程为 P = P (日),化为直角坐标[x = P (8) COS日[y = P (日)sin 9求解。
例9: 函数y = f(X)的极坐标方程为 P = e 2日 求鱼 dx 【解】i x = e 2日cos 日 J dx = e 2日(2cos 日-sin &)d 日.y =e 2 日 si n 0 i dy = e 2 日(2si n S +cos &)d日dy 2cos9 -sin Qdx 2 si n ^+cos 日6 .形如y = f (x)g(x)的函数的导数求法一一取对数求导法 例 10： y =(sin X +1)cos x ，求业 dx 【解】In y = cosx ln(sinx +1) 方程两边关于x 求导 . 2 1 ， ■• + + cos x—y = - sin X ln(sin x 中1)中 - y si nx +1,进一步转化为直角坐标2COS X y 』(sin X + 1)COSX〔一 sin x In (sin x +1) +[_ sinx+1分段函数的导数 分段函数的导数在分段点通过左右倒数来讨论。
ig(x)-r X 11：设 f (x)：= < 〔0 XH O , g(x)有二解连续的导数，g(0)=1, g'(0) = —1, X = 0 f (x) 【解】当XH O 时, f (X) [gg+eJx-gW+r 当 x,时 2 X g(x)—e 」 g'(x)+e 」 g"(x)—e 」 g"(0)-1 f (X) = lim ——=lim ------------- - lim --------- = ' 丿X T X 2 T 2x T 28.变动上线的积分表示的函数的导数 X f (X)连续，若 F(x)=『f (t)dt ，则 F '(X)= f (X) "■ a2X 例12: 求导数 (1) (4) (5) d / t X—— cos(2t)e dt =cos(2x)e dx 'a H 3—f cos(2t)e t d^-2cos(4x)e 2xdx '2x d X 2t 2 X 2 2x— f cos(2t)e dt = 2xcos(x )e -2cos(2x)e dx '2xd X t d X t d Xt一 a X cos(2t)e dt =—[x f x cos(2t)e dt] =— f cos(2t)e d^xcos(2x)eXdx a dx ‘a dx ‘a d 1f (x)是连续函数，求 一f f (tx)dt dx '0 1 1令y =tx,则.0 f (tx)dt = —.0 f (y)dy X d 1 1 X 1 所以，——f f (tx)dt =-一7 f f (y)dy +— f(x) dx 0 X 0 X 例13:设f(X)可导, f '(X)+xf (x -1) =4，并且 1 X J 0f(Xt)dt + J 0f(t —1)dt =x 3+x 2 +2x 求 f(x) 【解】令y =tx,则 1 1 X■0 f (tx)dt =- .0 f(y)dy X 1 代入 J 0f(xt)dtr 0f(t —1)dt=x 3 +x 2 +2xX X得 M (t)dt +x Jo f (t -1)dt =x4+x 3+2x 2两边两次求导f(X -1) =6x 2+3xf(X)=6x 2 +15x +9x 0(X —t)f(t)dt 例14：设函数f(x)连续，且f(0)工0，求极限lim -------------- T X[ f(x-t)dt x X _L T 0 x【解】 由于 T f(x-t)dt = 1 f (u)(du) = Jo f (u)du ,于是 x XX0(x-t)f(t)dt x f f(t)dt - J 0tf(t)dt lim——x ----------------------- = lim Tx 0f(x-t)dt T xX.0 f(u)du x { f(t)d tx f f(t)dt+xf(x)-xf(x) = lim -一x ---------------- =lim — T — —7 0 f(u)du+xf(x)x.0 f(u)du+xf(x)= lin xf( G = f ⑼ JT xf(J ) +xf(0) f(0) + f(0) 2。