第1章 流体力学基础

⎧x ⎪⎨y
= =
x(x0 y(x0
,y0 ,y0
, z0 ,t) , z0 ,t)
（1.5）
⎪⎩z = z(x0 , y0 , z0 ,t)
则其流速为：
V(x0 , y0 , z0 ,t) =
∂ ∂t
r(x
0
,
y
0
,
z0
,t)
（1.6）
拉氏变量（观点）：着眼于个别流点，跟踪考察确定的个别流点在不同时刻的速度和位置。即以某
在不同时刻的空间坐标，试将欧拉变量转换为拉氏变量。
解：
因为 u
=
dx dt
=
－ωy， v =
dy dt
=
ωx，
w
=
dz dt
=
0，
3
编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
解得（消元后解一元二阶常微方程）： x = A cos （ωt＋ε）， y = A sin （ωt＋ε），其中 A、ε为常
取一个以ω角速度旋转动圆盘，其速度分布为：u = - ωy，v = ωx（即为§2 的例 1）
7
编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
( ) 则： ∇ ×V = ∂v - ∂u = 2ω z ∂x ∂y JG JG 即涡度值恰好等于流动旋转角速度的两倍。在地球大气推广： ∇ ×V e = 2Ω
缺点：解决问题时，应用数学工具不方便。
欧拉观点的优点：把流体运动当作（流）场随时间的变化，便于应用矢量分析、场论和数理方程
等数学工具，应用更为广泛，如气象研究中涉及的绝大多数问题。
缺点：研究整个流场需要建立若干观测点。
两种变量仅是考察的角度不同，即着眼于流点还是空间（场）点，其描述同一流场的结论本质应
在 dt 时段内流点在迹线上的位移为：
d x = u dt, d y = v dt, dz = w dt
（1.19）
即：
u
[
x(t),
dx y(t),
z(t),t
]
=
v
[x(t),
dy y(t),
z(t),t
]
=
w
[x(t),
dz y(t),
z(t),t
]
=
dt
—迹线方程
（1.20）
（t 是单个、独立变量） 2. 流线：某时刻该曲线上的任一切线方向，正好和该时刻该处的流速方向相吻合。是流场的瞬间“快
z,t
]
来自百度文库
=
v
dy
[x, y,
z,t
]
=
w
dz
[x, y,
z,t
]
——流线方程（1.22）
3. 迹线和流线的区别： 流线：某瞬间反映整个流动状况的空间曲线。 迹线：某流点在不同时刻运行的路径（轨迹）。 一般情况下，两者不相重合；当流动定常时（流点在任一时刻的状态与当时的空间点一样），两者
重合。∵（1.20）、（1.22）两式都不显含 t ，各瞬间的流线均相同，∴流线与迹线重合。 注意：流场定常只是流线与迹线重合的充分条件，即对于非定常流场，流线与迹线也可能重合（例 如第一章作业的题 11）。
引言
流体：具有流动性，形状易变的物体（如水、空气），不同于固体（刚体），是液体和气体的统称。 流体力学：研究流体运动规律以及流体和固体间相互作用的科学（不同于研究刚体的“理论力学”）。 地球物理流体（动）力学：以与地球相联系的大气、海洋、河流等为主要研究对象的流体力学，简称 地球流体力学。 大气流体力学（Fluid Mechanics of the Atmosphere）：以大气为主要研究对象的流体力学。
（1.7）
⎧u = u(x, y, z,t) 或 ⎪⎨v = v(x, y, z,t)
⎪⎩w = w(x, y, z,t)
（1.8）
即以流体空间某一固定体积元（空间中的固定点）为对象，研究不同时刻流体通过该固定点时的
运动状态及物理量的变化规律。实例：气象站、水文站。 判断特征：流场一般用流速分量（函数）表示，变量为：x,y,z,t
( ) ( ) ∇×V
=
z
∇ ×V
⋅k
=
∂v ∂x
-
∂u ∂y
=
ς
> 逆时针（气旋式）涡度 ς = 0 无旋
< 顺时针（反气旋式）涡度
容易混淆的希腊字母的读音：ξ[ksai], η[´i:tэ], ζ[´zi:tэ], μ[mju:], ν[njiu:], φ[fai],ψ[psai],χ[kai],κ[´kæpэ] ,υ[ju: ],ε[ep’sailэn].
（1.9）
因为
⎧dx
⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
ddyt ddzt dt
= = =
u v w
（1.10）
（1.10）代入(1.9)后对 t 积分后可求解得：
⎧⎪⎨xy
= =
x(c1,c2 ,c3 ,t) y(c1,c2 ,c3 ,t)
⎪⎩z = z(c1,c2 ,c3 ,t)
（1.11）
利用初始条件：t＝t0时（x，y，z）＝（x0，y0，z0），可求出（c1，c2，c3），即可用（x0，y0，z0） 表示这些积分常数。
数。
设t＝0，x＝x0，y＝y0为初始时该点的位置，
{则有
x0 = y0 =
A cosε A sin ε
，可得： A =
x
2 0
+
y
2 0
，ε= tg−1
y0 x0
。
则拉氏变量为： x =
x
2 0
+
y
2 0
cos
（ωt＋
tg −1
y0 x0
），
y=
x 02
+
y
2 0
sin
（ωt＋
tg −1
y0 x0
图 1.2 各种流场型式 6
编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
图 1.3 卡曼涡式流场
§4.涡度、散度和形变率
为了描述流点形状、大小和滚动等方面的变化，有必要再引入一些新的物理量(除速度、加速度外)。
1. 涡度
( ) 涡度矢= ∇ ×V = curl V = rot V
则最后可得：
⎧x ⎪⎨y
= =
x(x0 y(x 0
,y0 ,y0
, z0 ,t) , z0 ,t)
⎪⎩z = z(x0 , y0 , z0 ,t)
即转换成了拉氏变量。
（1.12）
思考：拉氏变量==>欧拉变量 ？
例 1：已知流场用欧拉变量表示为 u＝－ωy，v＝ωx，w＝0（ω为常数），此处 x，y，z 为同一流点
§1.流体的物理性质和宏观模型
质点力学中把实际物体抽象概括称为“质点”（有质量但无体积）。 流体力学也把实际流体抽象概括为“流点”或“连续介质”。 1. 连续介质假设：把离散分子构成的实际流体，看作是由无数流体质点没有空隙、连续分布而构成 的，称为“流点”。即：流体质点（气象上称空气微团或气块）=大量流体分子的集合。
该是一致的，则两者可以相互转换。
如欧拉变量==>拉氏变量的方法：（1）对 t 积分，（2）利用初始条件定出积分常数
⎧u = u(x,y,z,t) ⎧u = u[x(t),y(t),z(t),t] ⎪⎨v = v(x,y,z,t) → ⎪⎨v = v[x(t),y(t),z(t),t] （空间点 → 流点） ⎪⎩w = w(x,y,z,t) ⎪⎩w = w[x(t),y(t),z(t),t]
），
z = z0
7. 两种观点下的加速度表示
a=
∂V ∂t
(x0 ,y0 ,z0 ,t ) (=
dV dt
)
（拉氏观点） （1.13）
a = ∂ V (x, y, z,t ) （欧拉观点） （1.14）
∂t
两者应一致，只是表示方法不同。若取(1.14)式中（x，y，z）为 t 时刻流点到达该空间点的位置
间 t 无关，则称为定常流场。
作业 1：（必做）Cha.1－1，Cha.1－5
y
x02 + y02
O
x
图 1.1 迹线族与流线族（例 1）
§3.迹线和流线
为了更直观、形象地刻画流动，引入迹线和流线的概念。 1. 迹线：流点在各时刻所运行路径的轨迹，反映拉氏观点下流动的几何图象。例：染色剂、漂流瓶。 迹线演示链接
1. 矢径： r = x i + y j + z k
（1.1）
其中（x，y，z）为直角坐标系中的位置坐标。
2. 流速：V = ∂r ∂t
（1.2）
3. 加速度：a = ∂V ∂t
（1.3）
4. 拉格朗日（Lagrange）变量
t=t0时，位于(x,y,z)=(x0,y0,z0)的流点的位置：
r = r(x0 , y0 , z0 ,t) （1.4）
坐标，即把空间点的加速度变为该点随
t
变化的加速度时 ⎛⎜⎝
∂ ∂t
→
d dt
⎞⎟⎠ :
则 a = dV = ∂V + ∂V dx + ∂V d y + ∂V dz dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt
= ∂V +u ∂V +v ∂V +w ∂V ∂t ∂x ∂y ∂z
引入 Nabla（Hamilton）算子：
欧拉观点的本质：流体运动归结为物理量场的特征及变化，通过物理定律，转换为一组偏微分方
程来描述。
2
编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
6. 描述流体运动的两种方法（观点）的关系（区别及联系）
拉氏观点的优点：描述流体运动直观、明了（跟踪流点），如研究高层大气中的物质输送问题。
流体质点是连续分布的，其上的物理量（如：温度、密度、速度等也是连续分布的，从而构成各 种可用连续函数表示的物理量场，可利用高等数学中矢量分析与场论的知识来研究。 2. 对流点的尺度要求：既要充分小（以使它在流动中可当作“点”），又要足够大（能保持大量分子， 具有确定的统计平均效应）。其密度表示为：
ρ = lim δ m =ρ(x,y,z,t )
δ τ δτ→ δτ0 3. 连续介质假设对大多数流体适用，但对个别情况不适用，如高层（z>50km，即平流层中层以上） 稀薄大气（此时，流点必须取得很大，则失去点的意义）。
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编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
§2. 流体速度与加速度，Lagrange 法和 Euler 法
编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
第一章 流体力学基础
§1.流体的物理性质和宏观模型 §2.流体速度与加速度，Lagrange 法和 Euler 法 §3.迹线和流线 §4.涡度、散度、环流和形变率 §5.速度势函数和流函数 本章重点：描述流体运动的基本方法及物理量。
一流点为对象，研究其空间位置及物理量随时间变化的规律，进而推广到整个流体中的所有流点。实
例：漂流瓶、示踪剂。
判断特征：流场一般用位置坐标（函数）表示，变量为：x0,y0,z0,t
5. 欧拉（Euler）变量
固定在某一空间点（x，y，z）上考察其各个时刻的流速，表示为：
V = V(x, y, z,t)
（1.23）
表示流点旋转的大小和方向（度量流点旋转的物理量）。
i jk
∇×V
=
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= (∂w − ∂v)i + (∂u ∂y ∂z ∂z
− ∂w) j + (∂v − ∂u)k ∂x ∂x ∂y
= ξi +η
j +ς k
(1.24)
uvw
1.1 涡度与角速度的关系：涡度矢的垂直分量（表示水平面上该点的旋转程度）
∇= i ∂ + j ∂ +k ∂ ∂x ∂y ∂z
（1.15）式可改写为：
( ) dV
dt
=
∂V ∂t
+V
⋅∇
V
=
⎛ ⎜⎝
∂ ∂t
+V
⋅
∇
⎞ ⎟⎠
V
此为应用 Euler 变量求流场加速度的计算式。 推广，更一般的物理量（无论矢量、标量）有：
d( )=
dt
∂(
∂t
)
+
(V
⋅∇)(
)
（1.15） （1.16） （1.17） （1.18）
i jk
∵V × ds = u v w = (v dz - w dy ) i + (w dx - udz ) j + (udy - v dx ) k = 0
dx dy dz
⎧v d z - w d y = 0 ∴ ⎨⎪w d x - u d z = 0
⎪⎩u d y - v d x = 0
即：
u
[
dx x, y,
照”。例：卫星云图，天气图。
设 ds 为流线上任一线元矢，则有： V ∕∕ ds ，即：
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V × ds = 0
（1.21）
（ ds = d x i + d y j + dz k ；V = u i + v j + w k ）
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物理意义：个别变化＝局地变化＋迁移变化（而 迁移变化＝平流变化＋对流变化）。
8. 定常流场（稳定流场）：对于 Euler 变量表示的流场，若 ∂V = 0 →V = V （x，y，z），即流动与时 ∂t
（ω：整体旋转的度量，适用于刚体，ζ：流体中任一点旋转程度的度量）