2017年初三四科联赛数学试题

2017年初三四科联赛数学试题时量：120分钟满分：120分一、选择题（每小题4分）1、下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是( )A、 B、 C、 D、2、一家特色煎饼店提供厚度相同、直径不同的两种煎饼，甲种煎饼直径20厘米卖价10元，乙种煎饼直径30厘米卖价15元，请问：买哪种煎饼划算？（）A. 甲B. 乙C. 一样D. 无法确定3若不等式组122x ax x+≥⎧⎨--⎩无解，则实数a的取值范围是（）A. a≥-1B. a<-1C. a≤1D. a≤-14.在锐角三角形ACB中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M.下列结论：①BG＝CE；②BG丄CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM＝∠ABC.其中正确结论的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个5.如图，一个半径为的圆形纸片在边长为（）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）。

A: B: C: D:2 rπ6.某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A. 30B. 35C. 56D. 448二、填空题（每小题5分）7.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为，则直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比值为。

8.已知, ，,观察以上计算过程,寻找规律计算9.如图，在中，，为的角平分线，点在的延长线上，ADEF⊥于点，点在上，，连接交于点，若点是的中点，则的值为_____ 。

10.如图，在四边形中，，，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则的长为_____ 。

11.若实数a、b、c满足8cba222=++，代数222a-cc-bb-a）（）（）（++的最大值是。

12.如图，正△ABC的边长为，以边上的高为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为；再以正△AB1C1边上的高为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为；，以此类推，则_____ 。

（用含的式子表示）第9题图第10题图第7题图三、解答题13.（6分）三个互不相等的有理数,既可以表示为1,,a的形式,也可以表示为0,,b的形式,试求2017 2017ba+的值。

14.（10分）阅读下列材料：解答“已知x-y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：解：因为x-y=2，所以x=y+2.因为x＞1，所以y+2＞1.所以y＞-1.又因为y＜0，所以-1＜y＜0①.同理：1＜x＜2②由①+②，得-1+1＜y+x＜0+2.所以0＜x+y＜2.请按上述方法完成下列题目：（1）已知x-y=3，且x＞2，y＜1，求x+y的取值范围是. （2）已知y＞1，x＜-1，若x-y=a成立，求x+y的取值范围（结果用含a的式子表示）.化，要求栽植甲、乙两种不同的树苗共棵，且甲种树苗不得多于乙种树苗，某承包商以万元的报价中标承包了这项工程。

一棵树苗的平均费用为元，甲、乙两种树苗的购买价及成活率如表。

设购买甲种树苗棵，承包商获得的利润为元。

请根据以上信息解答下列问题。

）求与之间的函数关系式，并写出自变量取值范围。

）承包商要获得不低于中标价的利润，应如何选购树苗？栽植这批树苗的成活率必须不低于，若成活率达到以上（含）则政府另给予工程款总额的17、（12分）对，定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：。

（1）已知，。

①求，的值。

②若关于的不等式组(2,54)4T m m-≤⎧⎨⎩T(m,3-2m)p，恰好有个整数解，求实数的取值范围。

（2）若对任意实数，都成立（这里和均有意义），则，应满足怎样的关系式？18、（16分）如图，抛物线（）与轴交于，，与轴交于点。

（1）求抛物线的解析式。

（2）若点为该抛物线上的一个动点，且在直线上方，当以、、为顶点的三角形面积最大时，求点的坐标及此时三角形的面积。

（3）以为直径作圆M，直线经过点，并且与圆M相切，求该直线的解析式.附部分参考答案:4、解：在正方形ABDE和ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAE=∠BAG，∵在△ABG和△AEC中，AB=AE，∠CAE=∠BAG，AC=AG，∴△ABG≌△AEC(SAS)，∴BG=CE，故①正确；设BG、CE 相交于点N，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE=∠AGB，∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°，∴∠CNG=360°-(∠NCF+∠NGF+∠F)=360°-(180°+90°)=90°，∴BG⊥CE，故②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM 于Q，∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH=90°，∵∠BAE=90°，∴∠EAP+∠BAH=180°-90°=90°，∴∠ABH=∠EAP，∵在△ABH和△EAP中，∠ABH=∠EAP,∠AHB=∠P=90°，AB=AE，∴△ABH≌△EAP(AAS)，∴∠EAM=∠ABC，故④正确，EP=AH，同理可得GQ=AH，∴EP=GQ，∵在△EPM和△GQM中，∠F=∠MQG=90°，∠EMP=∠GMQ,EP=GQ，∴△EPM≌△GQM(AAS)，∴EM=GM，∴AM是△AEG的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故选A．8、解:,,,.故答案为:56.9解:已知AD为角平分线,则点D到AB、AC的距离相等,设为h.,.如右图,延长AC,在AC的延长线上截取,则有.连接DM.在与中,,.过点M作,交EG于点N,交DE于点K.,,,.,即为等腰三角形,.根据题意,易知为等腰三角形,且;,,又(对顶角),,四边形DMNG为平行四边形,.点H为AC中点,,.,,即,.因此，本题正确答案是:.10.解析:本题主要考查直角三角形和全等三角形的判定与性质。

如图所示，过点作，且，则。

因为，所以，。

因为，，所以，在和以，则，在中，由勾股定理可知，，在中，由勾股定理可知，，即。

12.解析:本题主要考查规律探索。

由题意可得：，，都是等边三角形的高。

根据等边三角形三线合一的性质可得：、都是等边三角形的角平分线，所以，且。

所以阴影部分三角形相似，且后一个三角形的边长是前一个三角形的高，所以相似比为，所以阴影部分的面积比为。

因为，，所以，所以，，所以第一个阴影部分的面积为，故第个的面积为。

故本题正确答案为。

14、（1）∵x-y=3，∴x=y+3.∵x＞2，∴y+3＞2，∴y＞-1.∵y＜1，∴-1＜y＜1.…①同理得：2＜x＜4.…②由①+②得-1+2＜y+x＜1+4，∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5.（2）∵x-y=a，∴x=y+a.∵x＜-1，∴y+a＜-1，∴y＜-a-1.∵y＞1，∴1＜y＜-a-1.…①同理得：a+1＜x＜-1.…②由①+②得1+a+1＜y+x＜-a-1+(-1)，∴x+y的取值范围是a+2＜x+y＜-a-2.16解：（1）根据题意列函数关系式，已知种植甲种树棵，乙种树()棵，所以有：，化简为：，因为，所以自变量的取值范围是：。

（2）因为，所以，所以棵；所以选购方案为：选种甲种树种数目的范围是：。

（3）①当成活率大于等于，小于时可列不等式组为：解不等式组得；因为在中，所以随的增大而增大；即当时，可获得最大利润为：。

②当成活率大于等于时，可列方程：，化简可得：，所以，此时最大利润为：；因为，所以随的增大而增大，所以当时，有最大利润为。

综上所述，因为，所以当选种甲种树种数目是时，有最大利润。

）①根据题中规定可得：，。

列二元一次方程组得，得，，将代入得。

②由①可得新运算，根据题中规定可得：，将移项，变换得，将移项，变换得。

不等式组的解为，因为不等式恰好有个整数解，即：，，，所以，解得。

由可得，移项后整理得。

若对任意实数，都成立，则，应满足即。

18.（1）因为抛物线与轴的两个交点为，，即可将抛物线设为交点式，又因为抛物线与轴交于点，代入可得，解得。

所以抛物线的解析式。

（2）如图所示，连接，过点作轴垂线，垂足为且与交于点，设点的坐标为，则。

设直线为，将，代入可得：，解得，，故直线为。

因为是直线上的点，且横坐标为，代入直线解析式得纵坐标为，则。

根据三角形面积公式有：，，所以，因为，所以抛物线开口向下，故当时，最大，最大值为；将代入抛物线有，则此时点的坐标为。

（3）如图所示，设过点的直线与相切于点，连接交轴于点，连接。

因为，，则圆心的坐标为，又因为点坐标为，则。

因为是的切线，则有，又，则的半径为，所以，利用勾股定理可得：。

因为，，所以，即有，代入各线段则有。

因为点的坐标为，所以点的坐标为或。

设直线为，①当为时，将点、坐标代入直线得：，解得，，则的解析式为。

②当为时，同理可解得直线的解析式为。

综上所述，直线的解析式为或。