数学：《定积分的简单应用--在物理中的应用》
定积分在物理学上的应用
详细描述
热量传递是热力学中的基本过程，包括热传 导、热对流和热辐射。在这些过程中，热量 传递的速率通常与温度梯度、物质属性以及 边界条件等因素有关。定积分可以用来求解 这些因素对热量传递速率的影响。
热力学第一定律的推导
总结词
定积分在推导热力学第一定律中具有重要应用，通过能量守恒原理和热力学基本方程， 可以建立热力学第一定律的数学表达式。
详细描述
在推导电磁感应定律的过程中，我们需要考虑磁场的变化对导体中电子运动的影响。通过定积分，我们可以计算 出导体中的电动势，从而理解电磁感应现象的本质。定积分的应用使得我们能够准确地描述和预测电磁感应现象 。
04
定积分在热学中的应用
温度分布的计算
总结词
定积分在计算温度分布问题中具有广泛应用，通过求解偏微分方程，可以得到物体内部和表面的温度 分布情况。
此外，定积分还在相对论中的质能关系推导、引力场中的时空几何结构分析等方面发挥着重要作用。
混沌理论中的分形结构描述
混沌理论是研究非线性系统中复杂行为和现象的学科，分形结构是混沌 理论中的重要概念。分形结构具有自相似性和无穷嵌套的特点，通常用 于描述复杂系统的结构和行为。
定积分在分形结构的描述中起到关键作用。通过定积分，可以计算分形 结构的维数和面积、体积等几何属性，从而更好地理解和描述混沌系统
VS
详细描述
磁场强度是由电流产生的，而电流分布又 是随空间变化的。通过使用定积分，我们 可以计算出任意形状导电物体在空间中任 意一点的磁场强度。这对于理解和预测磁 场的行为至关重要。
电磁感应定律的推导
总结词
电磁感应定律的推导过程中，定积分起到了核心作用，该定律描述了磁场变化时会在导体中产生电动势的现象。
数学：《定积分的简单应用--在物理中的应用》共32页文档
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！Leabharlann 数学：《定积分的简单应用--在物理 中的应用》
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
定积分在物理中的应用 课件
做一做 1. (2012·高考湖北卷)已知二次函数 y＝f(x)的图象如图所示，则 它与 x 轴所围图形的面积为( )
2π
4
A. 5
B.3
3
π
C.2
D.2
解析：选 B.由图象可知二次函数的表达式为 f(x)＝1－x2，∴S＝
-11
(1－ x2 )dx＝ (x－1x3 ) 3
＝(1－13)－(－1＋13)＝43.
【解】 在 AB 段运动时 F 在运动方向上的分力 F1＝Fcos 30°，在 BC 段运动时 F 在运动方向上的分力 F2＝Fcos 45°. 由变力做功公式得：
W＝∫50014x＋5cos 30°dx＋590014x＋5cos 45°dx＋ 600＝
3 8
12x2＋
20x
＋
2 8
12x2＋
20x
(2)当 t＝5 时，点 P 离开原点的位移 s2＝05(8t－2t2)dt＝(4t2
－23t3)|50＝530.
∴点
P
在
x
轴正方向上距离原点50处． 3
(3)从 t＝0 到 t＝5 时，点 P 经过的路程
s3＝04(8t－ 2t2)dt－45 (8t－ 2t2 )dt
＝ (4t2－23t3 )|40－(4t2－23t3 )|54＝ 26.
12 点 A 的坐标以及在切点 A 的切线方程．
【解】 如图，设切点 A(x0，y0)，由 y′＝2x，过点 A 的切
线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)，即 y＝2x0x－x20， 2 分
令 y＝0，得 x＝x0，即 C(x0，0)，
2
2
设由曲线和过点 A 的切线与 x 轴围成图形的面积为 S， 则 S＝S 曲边△AOB－S△ABC，5 分
高中数学第一章导数及其应用1定积分的简单应用定积分在物理中的应用素材
定积分在物理中的应用摘要：伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分.微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科.内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分最重要的思想就是用"微元"与”无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想,‘无限细分'就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一.在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用.定义：设函数f(x)在［a,b]上有界，在[a,b ］中任意插入若干个分点 a=X0〈X1〈...〈Xn —1<Xn=b 把区间[a ，b ］分成n 个小区间 [X0，X1]，..。
[Xn —1，Xn]。
在每个小区间[Xi —1，Xi ］上任取一点ξi(Xi -1≤ξi≤Xi ），作函数值f(ξi ）与小区间长度的乘积f(ξi ）△Xi ，并作出和()in i ix s ∆=∑=1ξ如果不论对［a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi 怎样取法,只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f （x)在区间[a ，b]上的定积分， 记作: ()dx x f a b⎰即： ()()ini ia bx f I dx x f ∆==∑⎰==11lim ξλ变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x ）作用下沿x 轴从x=a 移动到x=b ，力的方向与运动方向平行，求变力所作的功.在[a ，b]上任取子区间[x ，x+dx ］，在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变力F （x ）在区间［a,b ］上所作的功为()dx x F W b a⎰=例1．在一个带+q 电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处（a 〈b ），求电场力所做的功。
1.7定积分在物理中的简单应用
b xБайду номын сангаас
六．精彩一练 练习：如果1N能拉长弹簧1cm 为了将弹簧拉长6cm 需做功（ 1N能拉长弹簧1cm， 6cm， 1、练习：如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J
x A
O
）
BC
x
五．归纳总结
、
总结： 总结：1、定积分的几何意义是： 定积分的几何意义是：
在区间[a , b]上的曲线 y = f ( x )与直线 x = a
x = b以及x 轴所围成的图形的面积的 代数和， 代数和，即
∫
b
a
f ( x )dx = S x轴上方－S x轴下方
因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分 的几何意义以及微积分基本定理， 的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注 意图形面积与定积分不一定相等，如函数 意图形面积与定积分不一定相等， 的图像与 x 轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0. 轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0. 4,而其定积分为 2、求曲边梯形面积的方法与步骤： 求曲边梯形面积的方法与步骤： (1)画图 并将图形分割为若干个曲边梯形； 画图， (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形； (2)对每个曲边梯形确定其存在的范围 对每个曲边梯形确定其存在的范围， (2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确 定积分的上、下限； 定积分的上、下限； (3)确定被积函数 确定被积函数； (3)确定被积函数； (4)求出各曲边梯形的面积和 求出各曲边梯形的面积和， (4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对 值的和。 值的和。
几种常见的曲边梯形面积的计算方法： 3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法： 型区域： x型区域：
试论定积分在物理及其他领域的应用
试论定积分在物理及其他领域的应用定积分是微积分中的一种重要概念，其主要作用是计算曲线下面积以及质量、质心、重心、能量、功率、概率等物理量。
定积分在物理及其他领域中应用广泛，下面将简单介绍其应用。
1. 物理中的应用定积分在物理学中的应用不仅仅局限于计算曲线下面积，还常用于计算各种物理量。
以下是定积分在物理学中的应用：1.1 曲线下面积在物理学中，经常需要计算各种曲线下的面积，比如需要计算一个运动物体在一段时间内的位移与时间曲线之间的面积。
利用定积分就可以计算这种情况下的面积。
1.2 质量定积分可以用来计算物体的质量。
例如，如果我们需要计算一个物体不同位置处的密度分布，我们可以使用定积分将这个物体的密度分布转化为质量分布。
然后，我们可以通过对质量分布进行积分来计算物体的总质量。
1.4 动能动能可以通过对速度的平方进行积分来计算。
使用定积分可以计算物体在不同速度下的动能。
1.5 惯性物体的惯性可以通过计算物体的质心来计算。
物体的惯性越大，就越难改变其运动状态。
1.6 功率功率可以通过计算力和速度的乘积来计算。
利用定积分可以通过计算力和速度的函数来计算功率。
2. 其他领域的应用除了物理学之外，定积分还在其他领域中应用广泛。
以下是几个例子：经济学中的消费曲线、供给曲线以及需求曲线都可以通过定积分计算出来。
经济学家们还可以使用定积分计算出生产率以及经济增长率。
2.2 计算机科学计算机科学中的数据结构和算法也可以使用定积分计算。
例如，通过选取数据集上的一些点并计算该点所对应的函数值，我们可以使用定积分计算出数据集上的积分。
2.3 生物学生物学家们经常需要计算一些生物变量，例如血液中某种蛋白质的含量、细胞数量等等。
这些变量可以通过定积分计算。
总之，定积分在物理及其他领域中应用广泛，既可以用于计算物理量，也可以用于计算其他领域中的变量。
6定积分在物理学中的应用
例2 发射火箭需要计算克服地球引力所 作的功，设火箭的质量为 m ，问将火箭 垂直地向上发射到离地面高H 时，需作 多少功。并由此计算初速度至少为多少 时，方可使火箭脱离地球的引力范围
解 取 ox 轴竖直向上
地球半径设为R 质量为M，由万有引力定律，
火箭所受地球的引力
f
k
mM x2
x R+H
随火箭发射的高度 x 而变化
R 奇函数 R R
4 R2 t 2dt R3
偶函数
0
四分之一圆面积
x 2R
y
x y y+dy
例5 边长为 a , b 的矩形薄板，与液面成 角
斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深 h 处 ，设 a > b 液体的比重为 ，求板的一侧
所受的压力。
解 如图建立坐标系
能直接利用上述公式计算。
例6 设有一长为 l 质量为 M 的均匀细杆，另 有一质量为 m 的质点和杆在一条直线上，它到 杆的近端距离为 a ，求细杆对质点的引力。
取 x 为积分变量
[x, x dx] [0,l]
该小段细杆的质量为
M dx l
mM
dF
k
(x
l a)2
dx
F
k mM l
当火箭在地面上 即 x =R 时
火箭所受的引力就是火箭的重力mg
mM k R2
代入上式
mg, kM gR2
f
mgR 2
1 x2
R o
为了发射火箭，必须克服地球引力，
克服地球引力的外力F与 f 大小相等
F
(
x)
例谈定积分在物理学中的简单应用
例谈定积分在物理学中的简单应用
定积分是物理学中重要的数学概念，它在物理学中有着广泛的应用。
首先，定积分可以用来求解复杂的物理问题。
例如，许多物理问题可以通过定积分的方法解决，如求曲线上的积分，计算面积，等等。
这些物理问题的解决方法是用定积分的原理推导出的，从而使用定积分可以解决这些复杂的物理问题。
其次，定积分可以用来研究弹力学。
弹力学是一门物理学的分支学科，它研究的是弹性物体的力学行为。
在弹力学中，我们需要计算物体的位移，速度和加速度，这些变量都可以通过定积分获得。
例如，我们可以用定积分来计算物体在某一时刻的位移，并用它来研究物体加速度的变化过程。
最后，定积分可以用来研究热物理学中的问题。
热物理学是一门研究物体的温度变化过程的学科，它涉及物体的热力学性质。
在热物理学中，我们可以使用定积分来研究物体温度变化的过程，例如，我们可以用定积分来计算物体在不同温度下的能量变化，从而研究物体在不同温度情况下的物理性质。
总之，定积分在物理学中有着广泛的应用。
它可以用来求解复杂的物理问题，研究弹力学，以及研究热物理学中的问题。
定积分的应用可以帮助我们更好地理解物理现象的本质，从而更好地应用物理学知识。
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指导 等于取固定值I 的恒定电流在R 上消耗的功
率时，称这个值I 为i(t) 的有效值.
主 页 后退 目录 退 出
定积分在物理中的应用
有效值计算公式的推导
本节
知识 引入
固定值为I 的恒定电流在R 上消耗的功率为I 2 R ,
本节
目的 与要
电流i(t)在R上消耗的功率为i 2 (t)R ,
求
本节
本节
知识 引入
a x0 x1 x2 xn1 xn b,
本节 目的 与要
每个小区间的长度 x b a ;
求
n
本节 重点
（2）求和：设各分点处的函数值为 y0 , y1, y2 , , yn
与难
点
函数 f ( x)在区间[a,b]上的平均值近似为
本节
复习
指导
0
3
定积分在物理中的应用
习题
本节
1.弹簧原长0.30厘米，每压缩0.01m需力2N，
知识
引入
本节 求把弹簧从0.25m压缩到0.20m所作的功。
目的
与要 求
2.一个质点按规律x=t3作直线运动，介质的
本节 重点
阻力与速度成正比，求质点从x=0移到x=1时克服
与难
点
本节 介质阻力所作的功。
复习
指导
3.有一圆柱形贮水桶，高2m，底圆半径0.8m
n
n
y lim n
y0
y1 y2 ba
yn1 b a n
x
1
n
lim
b a x0 i1
yi1x
1
n
lim
b a x0 i1
f ( xi1 )x,
1 b
y
f ( x)dx
ba a
几何平均值公式
区间长度
(b a) y (b a) f ( )
知识
引入 上所受的压力．
本节
目的 与要
解 在端面建立坐标系如图
求
本节 重点
取x为积分变量，x [0, R]
与难
点
取任一小区间[ x, x dx]
本节
复习
指导
小矩形片上各处的压强近
似相等p gx,
o
x
x dx
主 页
小矩形片的面积为 2 R2 x2dx.
后退 目录 退
x
出
定积分在物理中的应用
定积分在物理中的应用
例 4 计算纯电阻电路中正弦交流电i Im sint 在
本节 知识
一个周期上的功率的平均值（简称平均功率）.
引入
本节 目的
解
设电阻为 R ， 则电路中的电压为
与要
求 本节
u iR Im Rsint,
重点
与难 点
功率 p ui Im2Rsin2 t,
本节
1. 由物理学知道，如果物体在作直线运动的
本节 目的
过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且
与要 求
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，物
本节 重点
体位移为s 时，力F 对物体所作的功为F F ( x)
与难 点
W F s.
本节 复习
2. 微元法
指导 二、变力沿直线所作的功
如果物体在运动的过程中所受的力F F( x)
目的 与要
求 的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位
本节
重点 与难
正电荷放在这个电场中距离原点为 r 的地方，
点
本节 复习 指导
那么电场对它的作用力的大小为
F
k
q r2
（k
是常数），当这个单位正电荷在电场中从 r a
主 页 后退 目录
处沿 r 轴移动到 r b 处时，计算电场力 F
退
出 对它所作的功．
本节 的水的压力。
复习
2m
指导
6.一个横放着的半径为R的圆形由桶，桶内盛有
半桶油，设油的密度为ρ，计算桶的一个端面上所
主 页
受的压力。
后退 目录
退
出
定积分在物理中的应用
7.一块高为a，底为b的等腰三角形薄板，垂
定积分在物理中的应用
II. 液体的静压力
本节 一、预备知识
知识
引入
由物理学知道，距液体表面深度为h 处的
本节 目的
液体压强为 p gh，这里 是液体密度，g 是
与要 求
重力加速度。如果有一面积为A 的平板水平地
本节 重点
放置在液体深为h 处，那么，平板一侧所受的
与难 点
液体压力为P p A．
定积分在物理中的应用
二、平均值和均方差
本节
知识
引入
1.平均值
本节
目的
与要
求
本节 问题：求气温在一昼夜间的平均温度.
重点
与难
点 入手点：连续函数 f ( x) 在区间[a,b]上的平均值.
本节
复习
指导 讨论思想：分割、求和、取极限.
主 页 后退 目录 退 出
定积分在物理中的应用
（1）分割：把区间[a,b]分成n 等分
与要
求
即
本节
F kx
重点 与难
已知 F 1N , x 0.01
点
本节 复习
代入上式得 k 100
o
指导
从而变力为 F 100x 比例系数
所求的功
x
主 页 后退 目录 退 出
W
0.1
100 xdx
0.5J
0
F kx
x
定积分在物理中的应用
例 2 一圆柱形蓄水池
本节 知识
Im2R
2
2
sin2td (t )
0
Im2R
4
2
0
(1
cos 2t)d(t)
Im2R
4
t
sin 2
2
t
2
0
Im2R 2 4
Im2R 2
ImUm . 2
(Um Im R)
结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率
等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一．
定积分在物理中的应用
二、均方根
本节
知识 引入
通常交流电器上标明的功率就是平均
本节 功率．交流电器上标明的电流值都是一种
目的
与要 求
特定的平均值，习惯上称为有效值．
本节
周期性非恒定电流i （如正弦交流电）
重点
与难 点
的有效值规定如下：当i(t) 在它的一个周
本节 复习
期T 内在负载电阻R 上消耗的平均功率，
复习 指导
一个周期区间 [0, 2 ],
主 页 后退 目录 退 出
平均功率
p 1 2
2
2
0
Im
R sin2 tdt
定积分在物理中的应用
本节 知识 引入
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
主 页 后退 目录 退 出
p 1 2
2
0
2
Im Rsin2 tdt
本节 复习 指导
主 页 后退 目录 退 出
地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面 平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边 长，求薄板所受的侧压力．
解 建立坐标系如图 面积微元 2(a x)dx,
2a
o 2a
a
dP ( x 2a) 2(a x) 1 gdx
x
P a 2( x 2a)(a x)gdx 7 g a3.
主 页 后退 目录
是变化的，就不能直接使用此公式，而采用
退
出 “微元法”思想.
定积分在物理中的应用
如图：以 x 为积分变量，积分区间为[a,b].
本节 知识
在区间 [a,b] 内任取一小区间[x, x dx],
引入
本节 功的微元数
目的
与要
求
dW F( x)dx
本节
重点
与难 点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以
x x dx
kq
1 a
1 b
.
本节 复习
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
指导
主 页 后退 目录 退 出
w
a
krq2 dr
kq
1 r a
kq a
.
定积分在物理中的应用
2. 将直角边各为a 及2a 的直角三角形薄板垂直
本节 知识 引入
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
桶内装1m深的水，问要将桶内水全部吸出要作多
主
页
后退 目录
退 出
少功？
定积分在物理中的应用
4.有一上口直径20m，深为15m的圆锥形水池，
本节 其中盛满了水，若将水全部抽尽，需作多少功？
知识
引入
本节
5.有一闸门，它的形状
1m
目的
与要 求
和尺寸如图所示。水面
本节
3m
重点 与难
门顶1m，求闸门上所受
点
本节 知识 引入
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
主 页 后退 目录 退 出
这一薄层水的重力为 9.8 32 dx
功元素为 dw 88.2 x dx,