【高考状元】数学错题本：第5章三角函数与解三角形易错题含解析

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高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》专项训练及解析答案

新数学《三角函数与解三角形》高考知识点一、选择题1．在ABC ∆中，060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点，2,CD CBD =∆的面积为1，则BD 的长为（）A ．32B ．4C ．2D ．1【答案】C 【解析】 1210sin 1sin 25BCD BCD ⨯⨯⨯∠=∴∠= 2222102210425BD BD ∴=+-⨯⨯⨯=∴=,选C2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积25cos S C =，且1,25a b ==，则c =（）A ．15B ．17C ．19D ．21【答案】B 【解析】由题意得，三角形的面积1sin 25cos 2S ab C C ==，所以tan 2C =，所以5cos C =，由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以17c =，故选B.3．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯;根据正切函数图象可知选D. 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.4．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D 【解析】【分析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项．【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β，则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ．【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．5．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（） A ．5B ．25C 25D 5 【答案】B 【解析】【分析】由辅助角公式可确定()max 5f x =，从而得到sin 2cos 5θθ-=；利用同角三角函数平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】()()sin 2cos 5sin f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=- ()max 5f x ∴=，即sin 2cos 5θθ-=又22sin cos 1θθ+= 25cos θ∴=- 【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.6．已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的图象（部分）如图所示，则ω，ϕ分别为（）A ．,3πωπϕ==B ．2,3πωπϕ==C ．,6πωπϕ==D ．2,6πωπϕ==【答案】C 【解析】【分析】由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23f =确定ϕ. 【详解】由图可得，2A =，5114632T =-=，所以22T πω==，ωπ=，又1()23f =，所以12sin()23πϕ⨯+=，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，故6π=ϕ. 故选：C 【点睛】本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.7．设函数())cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<，且其图像关于直线0x =对称，则（）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数【答案】C 【解析】试题分析：())cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6x πϕ=++，∵函数图像关于直线0x =对称，∴函数()f x 为偶函数，∴3πϕ=，∴()2cos 2f x x =，∴22T ππ==， ∵02x π<<，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,)2π上为减函数.考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.8．函数()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，则ϕ的取值范围是（）A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．25,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式详解：当[,]66x ππ∈-，2[,]33x ππϕϕϕ+∈-++，又∵(0,)ϕπ∈，则[,][0,]33ππϕϕπ-++⊆，即033πϕπϕπ⎧-≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，233ππϕ≤≤，由cos(2)0x ϕ+=得2,2x k k Z πϕπ+=+∈，242k x ππϕ=+-， ∴0642ππϕ-<-<，解得526ππϕ<<，综上223ππϕ<≤. 故选C.点睛：余弦函数的单调减区间：[2,2]k k ππ+π，增区间：[2,22]k k ππππ++，零点：2x k ππ=+，对称轴：x k π=，对称中心：,2)0(k ππ+，k Z ∈.9．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2CA B =，则ABC ∆是（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形【答案】B 【解析】试题分析：因为2sin sin cos2CA B =，所以，1cos sin sin 2C A B +=，即2sin sin 1cos[()],cos()1A B A B A B π=+-+-=,故A=B ，三角形为等腰三角形，选B 。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》专项训练及答案

数学《三角函数与解三角形》复习知识要点一、选择题1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（） ABCD【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <；当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.2．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A B C A B A B A B π++=--=-=-=---⋅，所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.3．能使sin(2))y x x θθ=+++为奇函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（） A ．5π3B ．43π C ．23π D ．3π【答案】C 【解析】【分析】首先利用辅助角公式化简函数，然后根据函数的奇偶性和单调性求得θ的值. 【详解】依题意π2sin 23y x θ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由于函数为奇函数，故πππ,π33k k θθ+==-，当1,2k =时，2π3θ=或5π3θ=，由此排除B,D 两个选项.当2π3θ=时，()2sin 2π2sin 2y x x =+=-在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数，符合题意.当5π3θ=时，()2sin 22π2sin 2y x x =+=，在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数，不符合题意.故选C. 【点睛】本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题.4．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π．其中所有正确结论的编号是（） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④【答案】B 【解析】【分析】根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证.【详解】 ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即-1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈，当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.5．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩的图像关于y 轴对称，则sin y x =的图像向左平移（）个单位，可以得到cos()y x a b =++的图像（）. A ．4π B ．3π C ．2π D ．π【答案】D 【解析】【分析】根据条件确定,a b 关系，再化简()cos y x a b =++，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】因为函数()()(),0,0sin x a x f x cos x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以sin cos 22a b ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()sin cos a b ππ-+=+，即sin cos sin cos b a a b ，==，因此π2π()2a b k k Z +=+∈，从而()()cos sin y x a b sinx x π=++=-=+,选D. 【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.6．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由函数2cos 2y x x =-的图象（） A ．向右平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 B ．向右平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 C ．向左平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 D ．向左平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到【解析】【分析】合并cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用平移、伸缩知识即可判断选项。

高考数学压轴专题新备战高考《三角函数与解三角形》易错题汇编及解析

数学《三角函数与解三角形》期末复习知识要点一、选择题1．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎝⎭⎭=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.2．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】在△ABC 中，11tan tan32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A BC A B A B A B π++=--=-=-=---⋅，所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.3．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C 【解析】【分析】设AE BF a ==，13B EBF EBF V S B B '-'=⨯⨯V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFa a V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立，即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=352AF =2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==，因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 93222222AF EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，()3,3,0AC =-u u u r ，所以9922cos ,9322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π．故选：C 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.4．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40︒的方向直线行驶，30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A 的南偏东70︒方向的C 处，且A 与C 的距离为153千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（）()7 2.6≈A ．10分钟B ．15分钟C ．20分钟D ．25分钟【答案】B 【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=︒，20AB =，AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得13BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】根据条件可得30BAC ∠=︒，20AB =，AC =，由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ︒=+-⋅⋅=，则13BC =≈（千米），由B 到达C 所需时间约为130.2552=（时）15=分钟．故选：B ．【点睛】该题是一道关于解三角形的实际应用题，解题的关键是掌握余弦定理的应用，属于简单题目.5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积S C =，且1,a b ==c =（）A BC D 【答案】B 【解析】由题意得，三角形的面积1sin 2S ab C C ==，所以tan 2C =，所以cos 5C =，由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c =，故选B.6．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（）A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论．【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤；又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，所以f （x ）在（0，23π）上存在零点，即223ππω＜，得到ω34＞．故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选D 【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．7．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()23f x =的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=（）A ．23B ．49C D 【答案】C 【解析】【分析】由已知可得2123x x π=-，结合x 1＜x 2求出x 1的范围，再由()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可．【详解】因为0＜x π＜，∴112666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，又因为方程()23f x =的解为x 1，x 2（0＜x 1＜x 2＜π）， ∴1223x x π+=，∴2123x x π=-， ∴()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为122123x x x x π=-＜，，∴0＜x 13π＜，∴12662x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，∴由()112263f x sin x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得1263cos x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()12sin x x -=，故()21sin x x -故选C ．【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．8．在△ABC 中，7b =，5c =，3B π∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值. 【详解】因为7,5,3b c B π==∠=，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即214925252a a =+-⨯⨯，整理得25240a a --=，解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.9．锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，若()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，b =c =，则角B =（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 【答案】B 【解析】【分析】先由()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭求出3A π=，然后用余弦定理算出a =再用余弦定理算出cos B 即可. 【详解】因为()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭所以11sin sin 022A A A A A +==所以tan A =0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=所以由余弦定理得：22222co 1232222s a b c bc A ⎛-=+-=+⨯= ⎝⎭所以a =所以222232cos22a c bBac+-+-===因为0,2Bπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4Bπ=故选：B【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，数据不特殊，计算能力是解题的关键.10．在ABC∆中，若2sin sin cos2CA B=，则ABC∆是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形【答案】B【解析】试题分析：因为2sin sin cos2CA B=，所以，1cossin sin2CA B+=，即2sin sin1cos[()],cos()1A B A B A Bπ=+-+-=,故A=B，三角形为等腰三角形，选B。

高考数学压轴专题专题备战高考《三角函数与解三角形》易错题汇编含答案解析

《三角函数与解三角形》考试知识点一、选择题1．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v（）A ．3155AB AC +u u uv u u u vB ．2155AB AC +u u uv u u u vC ．481515AB AC +u u uv u u u v D ．841515AB AC +u u uv u u u v 【答案】D 【解析】【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =u u u r u u u r，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r为基底来表示的形式.【详解】设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，22π2cos4AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10=，101044cos 2105DAE +-∠==⨯，所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u ur u u u r ，所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 故选：D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.2．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C【解析】【分析】设AE BF a ==，13B EBF EBF V S B B '-'=⨯⨯V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFa a V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立，即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，1322EF AC ==，因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 93222222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，()3,3,0AC =-u u u r ，所以992cos ,922A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π．故选：C 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，0AB BC ⋅>u ur u u r u u，2a =，则bc +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．32⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】利用余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，可得3A π=，由|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r，可得B为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解【详解】由余弦定理有：222cos 2b c a A bc+-=，又222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又A 为三角形的内角，故3A π=又2a=sin sin sin(120)ob c c B C B ==-又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r故cos 0B B <∴为钝角33sin sin(120)sin cos 3sin(30)22o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+(90,120)o o B ∈Q ，可得1330(120150)sin(30)(,)22o o o o B B +∈∴+∈，333sin(30)(,)2o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题4．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.5．已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的图象（部分）如图所示，则ω，ϕ分别为（）A ．,3πωπϕ==B ．2,3πωπϕ==C ．,6πωπϕ==D ．2,6πωπϕ==【答案】C 【解析】【分析】由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23f =确定ϕ. 【详解】由图可得，2A =，5114632T =-=，所以22T πω==，ωπ=，又1()23f =，所以12sin()23πϕ⨯+=，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，故6π=ϕ. 故选：C 【点睛】本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.6．在△ABC 中，7b =，5c =，3B π∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D 【解析】【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值. 【详解】因为7,5,3b c B π==∠=，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即214925252a a =+-⨯⨯，整理得25240a a --=，解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.7．已知1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（）A ．12B ．C ．24D ．【答案】C 【解析】【分析】设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积. 【详解】解：设1MF m =，2MF n =，∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，∴24m n a -==，122F F c ==∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v，∴12MF MF ⊥，∴222440m n c +==，∴()2222m n m n mn -=+-，即2401624mn =-=， ∴12mn =，解得6m =，2n =，设2NF t =，则124NF a t t =+=+，在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，解得6t =， ∴628MN =+=， ∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．8．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A BC A B A B A B π++=--=-=-=---⋅，所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.9．已知πππsin()cos()0,322ααα++-=-<<则2πcos()3α+等于（）A B ．35-C ．45D ．35【答案】C 【解析】【分析】首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析：∵ππsin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13sin sin sin 22ααααα+==65πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.10．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1b =，c =，且2sin()cos 12cos sin B C C A C +=-，则ABC V 的面积是（）A B ．12C D ．14或12【答案】C 【解析】【分析】根据已知关系求出1sin 2B =，根据余弦定理求出边a ，根据面积公式即可得解. 【详解】因为2sin()cos 12cos sin B C C A C +=-，所以2sin cos 12cos sin A C A C =-，所以2sin cos 2cos sin 1A C A C +=，所以2sin()1A C +=，所以2sin 1B =，即1sin 2B =，因为b c <，所以B C <，所以角B为锐角，所以cos 2B ==，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得21322a a =+-⨯，整理可得2320a a -+=，解得1a =或2a =. 当1a =时，ABC V的面积是111sin 12224S ac B ==⨯=；当2a =时，ABC V的面积是111sin 22222S ac B ==⨯=. 故选：C. 【点睛】此题考查根据余弦定理解三角形，关键在于熟练掌握定理公式，结合边角关系解方程，根据面积公式求解.11．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（） A ．12B ．14C．4D．2【答案】A 【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．将函数cos y x =的图象先左移4π，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，所得图象的解析式为（） A ．sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．13sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．1sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的平移伸缩变换法则得到答案. 【详解】cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭向左平移4π个单位，故变为3sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，变为3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D . 【点睛】本题考查了三角函数的平移伸缩变换，意在考查学生对于平移伸缩变换的理解和掌握.13．若函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（）A ．)+∞ B ．)+∞C ．()+∞D ．()【答案】A 【解析】【分析】计算tan 203x π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案. 【详解】 ∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴tan 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，∵tan 23x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭k -≤，k ≥ 故选：A .【点睛】本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.14．函数()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，则ϕ的取值范围是（）A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．25,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式详解：当[,]66x ππ∈-，2[,]33x ππϕϕϕ+∈-++，又∵(0,)ϕπ∈，则[,][0,]33ππϕϕπ-++⊆，即033πϕπϕπ⎧-≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，233ππϕ≤≤，由cos(2)0x ϕ+=得2,2x k k Z πϕπ+=+∈，242k x ππϕ=+-， ∴0642ππϕ-<-<，解得526ππϕ<<，综上223ππϕ<≤. 故选C.点睛：余弦函数的单调减区间：[2,2]k k ππ+π，增区间：[2,22]k k ππππ++，零点：2x k ππ=+，对称轴：x k π=，对称中心：,2)0(k ππ+，k Z ∈. 15．ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且tanC 3cos 3cos c a B b A =+，若27c =，4a =，则b 的值为（）A ．6B ．2C ．5D ．2 【答案】A【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得sin tan 3sin C C C =，结合sin 0C ≠，可求得tan 3C =，结合范围()0,C π∈，可求C ，从而根据余弦定理24120b b --=，解方程可求b 的值．【详解】解：∵tan 3cos 3cos c C a B b A =+，∴由正弦定理可得：()()sin tan 3sin cos sin cos 3sin 3sin C C A B B A A B C =+=+=，∵sin 0C ≠，∴可得tan 3C =，∵()0,C π∈，∴3C π=，∵27c =，4a =，∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得212816242b b =+-⨯⨯⨯，可得24120b b --=，∴解得6b =，（负值舍去）．故选：A ．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，其中着重考查了正弦定理的边角互化、余弦定理的解三角形，难度一般.利用边角互化求解角度值时，注意三角形内角对应的角度范围.16．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( )A ．sinB ．cosC ．tanD ．cos2θ【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可．【详解】由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan ＞0.故选C【点睛】本题考查三角函数值的符号的判断，是基础题．17．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（）A ．152kmB ．30kmC ．15kmD ．153km 【答案】D【解析】【分析】如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离．【详解】设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：sin sin AC BC ABC BAC=∠∠，可得sin 1153sin 23BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D【点睛】本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．18．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（）A 15B ．315C ．1D ．3【答案】A【解析】【分析】先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论．【详解】如图：()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，同理可得sin sin CD AC CAD ADC=∠∠，因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD AB CD AC =， 4AB =Q ，8AC =，2BD =，8244AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=. 2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，2115sin 144B ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 1sin 152ABD S AB BD B ∴=⋅⋅=V 故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题.19．将函数sin(2)4y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得图象对应的函数在区间(,)m m -上无极值点，则m 的最大值为（） A ．8π B ．4π C ．38π D ．2π 【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象变换，求得函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求得增区间3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，进而根据函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(),m m -上无极值点，即可求解. 【详解】由题意，将函数sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，可得函数sin 2sin 2444y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 即函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，又由函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间(),m m -上无极值点，则m 的最大值为8π，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的性质，求得其单调递增区间是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.20．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（） A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③【答案】A【解析】逐一考查所给的函数： cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22T ππ== ；将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122ππ⨯= ；函数cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ；函数tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ；综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③.本题选择A 选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》易错题汇编含答案

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》试卷含答案一、选择题1．已知π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=( )A ．725B ．725-C ．2325D ．2325-【答案】C 【解析】【分析】由已知根据三角函数的诱导公式，求得sin α，再由余弦二倍角，即可求解．【详解】由π1cos α25⎛⎫-=⎪⎝⎭，得1sin α5=，又由2123cos2α12sin α122525=-=-⨯=．故选C ．【点睛】本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．2．能使sin(2))y x x θθ=+++为奇函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（） A ．5π3B ．43π C ．23π D ．3π【答案】C 【解析】【分析】首先利用辅助角公式化简函数，然后根据函数的奇偶性和单调性求得θ的值. 【详解】依题意π2sin 23y x θ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由于函数为奇函数，故πππ,π33k k θθ+==-，当1,2k =时，2π3θ=或5π3θ=，由此排除B,D 两个选项.当2π3θ=时，()2sin 2π2sin 2y x x =+=-在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数，符合题意.当5π3θ=时，()2sin 22π2sin 2y x x =+=，在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数，不符合题意.故选C. 【点睛】本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】【分析】由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解．【详解】∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，所以cosC=2222a b c ab+-=2224916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角．故选B ．【点睛】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．4．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 【答案】C 【解析】【分析】对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a , 所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0.当a ＞0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2],当a ≥23时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩. 当0＜a ＜23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜12. 综合得a 的范围为a ＜12或1≤a ≤2，故选C . 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A ．12-B ．2C ．D ．12【答案】B 【解析】分析：要求53f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，再应用其解析式求解详解：()f x Q 的最小正周期是π552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x Q 是偶函数33f f ππ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，533f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin f x x =，则5 sin 3332f f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．6．已知1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（）A ．12B ．C ．24D ．【答案】C 【解析】【分析】设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积. 【详解】解：设1MF m =，2MF n =，∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，∴24m n a -==，122F F c ==∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v， ∴12MF MF ⊥，∴222440m n c +==， ∴()2222m n m n mn -=+-，即2401624mn =-=， ∴12mn =，解得6m =，2n =，设2NF t =，则124NF a t t =+=+，在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，解得6t =， ∴628MN =+=， ∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．7．要得到函数y ＝sin （2x +9π）的图象，只需将函数y ＝cos （2x ﹣9π）的图象上所有点（） A ．向左平移518π个单位长度 B ．向右平移518π个单位长度 C ．向左平移536π个单位长度 D ．向右平移536π个单位长度【答案】D 【解析】【分析】先将函数cos 29y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭转化为7sin 218y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再结合两函数解析式进行对比，得出结论．【详解】函数75cos 2sin 2sin 2sin 299218369y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴要得到函数sin 29y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos 29y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移536π个单位长度，故选D ．【点睛】本题考查函数()sin y A x b ωϕ=++的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论．8．若函数()y f x =同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()y f x =的解析式可以是（） A ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用性质①可排除B ,利用性质②可排除C ,利用性质③可排除D ,通过验证选项A 同时满足三个性质. 【详解】逐一验证，由函数()f x 的最小正周期为π，而B 中函数最小正周期为2412ππ=,故排除B ；又cos 2cos 0362πππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，所以cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不关于直线3x π=对称，故排除C ；若63x ππ-≤≤，则023x ππ≤+≤，故函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故排除D ；令2262x πππ-≤-≤，得63x ππ-≤≤，所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．由周期公式可得22T ππ==,当3x π=时,sin(2)sin 1362πππ⨯-==, 所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭同时满足三个性质.故选A ．【点睛】本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.9．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B 【解析】【分析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC ≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1，∵π2＜A ＜π， ∴A= 3π4，由正弦定理可得c sin sin aC A=， ∵a=2，，∴sinC=sin c A a=12=22， ∵a ＞c ， ∴C=π6，故选B ．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.10．若函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（） A．)+∞ B．)+∞C．()+∞D．()【答案】A 【解析】【分析】计算tan 203x π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案.【详解】∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴tan 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，∵tan 23x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.11．ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且tanC cos cos c B A =，若c =4a =，则b 的值为（）A ．6B ．2C ．5D【答案】A 【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得sin tan C C C =，结合sin 0C ≠，可求得tan C =()0,C π∈，可求C ，从而根据余弦定理24120b b --=，解方程可求b 的值．【详解】解：∵tan cos cos c C B A =， ∴由正弦定理可得：)()sin tan sin cos sin cos C C A B B A A B C =+=+=，∵sin 0C ≠，∴可得tan C = ∵()0,C π∈， ∴3C π=，∵c =4a =，∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得212816242b b =+-⨯⨯⨯，可得24120b b --=，∴解得6b =，（负值舍去）．故选：A ．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，其中着重考查了正弦定理的边角互化、余弦定理的解三角形，难度一般.利用边角互化求解角度值时，注意三角形内角对应的角度范围.12．已知1tan 4,tan θθ+=则2sin ()4πθ+=（）A ．15 B ．14C ．12D ．34【答案】D 【解析】【分析】根据同角三角函数的关系化简1tan 4tan θθ+=成关于正余弦的关系式,再利用降幂公式与诱导公式化简2sin ()4πθ+求解即可.【详解】由题, 1tan 4,tan θθ+=则22sin cos sin cos 444sin cos 1cos sin sin cos θθθθθθθθθθ++=⇒=⇒=, 故1sin 22θ=.所以2sin ()4πθ+=1cos 222πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1sin 2324θ+==. 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的公式运用,在有正切函数时可考虑转化为正余弦的关系进行化简,属于基础题.13．在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于D，BD =，1cos 4BAC ∠=，则AD =（） A ．2 BCD【答案】A 【解析】【分析】先求出6sin4BAD∠=，再利用正弦定理求AD.【详解】∵21cos12sin4BAC BAD∠=-∠=，∴6sin BAD∠=.在ABD∆中，sin sinAD BDB BAD=∠，∴3sin222sin6BAD BDBAD=⋅=⋅=∠.【点睛】本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．已知函数()sin()f x xπϕ=+某个周期的图象如图所示，A，B分别是()f x图象的最高点与最低点，C是()f x图象与x轴的交点，则tan∠BAC＝（）A．12B．47C255D76565【答案】B【解析】【分析】过A作AD垂直于x轴于点D，AB与x轴交于E，设C（a，0），可得32CD=，11,2AD DE==，3tan2CDCADAD∠==，1tan2EDEADAD∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD∠=∠-∠计算即可.【详解】过A作AD垂直于x轴于点D，AB与x轴交于E，由题可得周期为2，设(,0)C a，则1(,1)2B a+-，3(,1)2A a+，所以32CD=，11,2AD DE==，3tan2CDCADAD∠==，1tan2EDEADAD∠==所以tan tantan tan()1tan tanCAD EADBAC CAD EADCAD EAD∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠31422317122-==+⨯.故选：B【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.15．已知ππ43πsin()cos()0,322ααα++-=-<<则2πcos()3α+等于（）A5B．35-C．45D．35【答案】C【解析】【分析】首先根据等式化简，得到4sin65πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos3πα⎛⎫+⎪⎝⎭求值.【详解】解析：∵ππ43sin cos32αα⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭133343sin sin sin22ααααα+==433sin6πα⎛⎫=+=⎪⎝⎭∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.16．函数()sin())f x x x ωϕωϕ=+++（ω＞0）的图像过点（1，2），若f （x ）相邻的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝6，则f （x ）的单调增区间为（） A ．[－2＋12k ，4＋12k]（k ∈Z ） B ．[－5＋12k ，1＋12k]（k ∈Z ） C ．[1＋12k ，7＋12k]（k ∈Z ） D ．[－2＋6k ，1＋6k]（k ∈Z ）【答案】B 【解析】【分析】由题意得()23f x sin x πωϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，根据相邻两个零点满足126x x -=得到周期为12T =，于是可得6π=ω．再根据函数图象过点()1,2求出2()k k Z ϕπ=∈，于是可得函数的解析式，然后可求出单调增区间．【详解】由题意得()()()23f x sin x x sin x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∵()f x 相邻的两个零点1x ，2x 满足126x x -=， ∴函数()f x 的周期为12T =， ∴6π=ω， ∴()263f x sin x ππϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭．又函数图象过点()1,2， ∴2222632sin sin cos πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫++=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴cos 1ϕ=， ∴2()k k Z ϕπ=∈，∴()263f x sin x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由22,2632k x k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，得512112,k x k k Z -+≤≤+∈，∴()f x 的单调增区间为[]()512,112k k k Z -++∈．故选B ．【点睛】解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，属于基础题．17．已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是()A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】【分析】由三角函数图像的性质可求得：2πω=，6πϕ=-，即()sin()26f x x ππ=-，再令222262k x k ππππππ--+剟，求出函数的单调增区间即可.【详解】解：函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，因为1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，又4BC =，∴222()42T +=，即221216πω+=，求得2πω=．再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6πϕ=-，()3sin()26f x x ππ∴=-，令222262k x k ππππππ--+剟，求得244433k x k -+剟，故()f x 的单调递增区间为2(43k -，44)3k +，k Z ∈，故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.18．将函数sin(2)4y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得图象对应的函数在区间(,)m m -上无极值点，则m 的最大值为（）A ．8π B ．4π C ．38π D ．2π 【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的图象变换，求得函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求得增区间3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，进而根据函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(),m m -上无极值点，即可求解. 【详解】由题意，将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，可得函数sin 2sin 2444y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 即函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，又由函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(),m m -上无极值点，则m 的最大值为8π，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的性质，求得其单调递增区间是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43BAC AP ∠==，23AB AC ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．32πB ．48πC ．64πD ．72π【答案】C 【解析】【分析】先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可. 【详解】在ABC V 中，23AB AC ==，23BAC π∠=，可得6ACB π∠=，则ABC V 的外接圆的半径2323π2sin 2sin 6AB r ACB ===，取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==，因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，则222OA OG AG =+，即外接球半径()222234R =+=，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=. 故选C.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.20．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于（） A ．直线3πθ=对称B ．直线6πθ=对称C ．点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．极点对称【答案】A【解析】【分析】由4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得直角坐标方程：2220x x y -+-= ，圆心为( ，又因为直线3πθ=即：y = 过点(，由此便可得出答案.【详解】由曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即：24sin 6πρρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，化简得曲线的直角坐标方程：2220x x y -+-= ，故圆心为( .又因为直线3πθ=,直角坐标方程为：y = ，直线y =过点(，故曲线关于直线3πθ=对称故选：A. 【点睛】本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.。

高考数学压轴专题专题备战高考《三角函数与解三角形》易错题汇编及答案

高中数学《三角函数与解三角形》复习知识点一、选择题1．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（） A ．13B ．23C ．43D ．83【答案】C 【解析】【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭Q ，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>Q ，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.2．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】【分析】由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解．【详解】∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，所以cosC=2222a b c ab+-=2224916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角．故选B ．【点睛】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．3．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 【答案】C 【解析】【分析】对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a , 所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0. 当a ＞0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2],当a ≥23时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩. 当0＜a ＜23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜12. 综合得a 的范围为a ＜12或1≤a ≤2，故选C . 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则()f x 的最大值为（）A ．2 BC ．D 或【答案】D 【解析】【分析】根据函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则有()(0)2f f π-=，解得a ，得到函数再求最值. 【详解】因为函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，所以()(0)2f f π-=，即220a a +-=，解得2a =-或1a =，当2a =-时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫=--=-⎪⎝⎭，此时()f x 的最大值为；当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，此时()f x ；综上()f x 或. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.5．已知2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．53-B ．35-C ．35D ．53【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式计算得到35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan tan 1472πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得答案.由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得333sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，313tan tan 314725tan 7πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.6．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（） A ．(0,]4πB ．(0,]2πC ．3(0,]4π D ．3(0,]2π 【答案】B 【解析】【分析】根据直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到12ω=，则()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后求得其单调增区间，再根据()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，由(,)m m -是增区间的子集求解. 【详解】因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，所以12ω=，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22k x k k ππππ-<<+∈Z ，所以()f x 在3,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数，由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭，解得02m π<≤.【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题7．若函数()y f x =同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()y f x =的解析式可以是（） A ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用性质①可排除B ,利用性质②可排除C ,利用性质③可排除D ,通过验证选项A 同时满足三个性质. 【详解】逐一验证，由函数()f x 的最小正周期为π，而B 中函数最小正周期为2412ππ=,故排除B ；又cos 2cos 0362πππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，所以cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不关于直线3x π=对称，故排除C ；若63x ππ-≤≤，则023x ππ≤+≤，故函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故排除D ；令2262x πππ-≤-≤，得63x ππ-≤≤，所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．由周期公式可得22T ππ==,当3x π=时,sin(2)sin 1362πππ⨯-==, 所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭同时满足三个性质.故选A ．【点睛】本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.8．函数()2sin sin cos y x x x =+的最大值为（）A．1B1 CD ．2【答案】A 【解析】由题意，得()22sin sin cos 2sin 2sin cos sin2cos21y x x x x x x x x =+=+=-+π2114x ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭；故选A.9．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（） A ．12B ．14CD【答案】A 【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B 【解析】【分析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC ≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1，∵π2＜A ＜π， ∴A= 3π4，由正弦定理可得c sin sin aC A=， ∵a=2，，∴sinC=sin c A a=12=22， ∵a ＞c ， ∴C=π6，故选B ．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.11．已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的图象（部分）如图所示，则ω，ϕ分别为（）A ．,3πωπϕ==B ．2,3πωπϕ==C ．,6πωπϕ==D ．2,6πωπϕ==【答案】C 【解析】【分析】由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23f =确定ϕ. 【详解】由图可得，2A =，5114632T =-=，所以22T πω==，ωπ=，又1()23f =，所以12sin()23πϕ⨯+=，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，故6π=ϕ. 故选：C 【点睛】本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.12．能使sin(2)3)y x x θθ=+++为奇函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（） A ．5π3B ．43π C ．23π D ．3π【答案】C 【解析】【分析】首先利用辅助角公式化简函数，然后根据函数的奇偶性和单调性求得θ的值. 【详解】依题意π2sin 23y x θ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由于函数为奇函数，故πππ,π33k k θθ+==-，当1,2k =时，2π3θ=或5π3θ=，由此排除B,D 两个选项.当2π3θ=时，()2sin 2π2sin 2y x x =+=-在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数，符合题意.当5π3θ=时，()2sin 22π2sin 2y x x =+=，在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数，不符合题意.故选C. 【点睛】本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题.13．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos a B b A C+=，1a =，b =c =（）A B ．1CD 【答案】B 【解析】【分析】先由正弦定理将cos cos 2cos a B b A C+=中的边转化为角，可得sin()A B +=可求出角6C π=，再利用余弦定理可求得结果.【详解】解：因为cos cos 2cos a B b A C+=，所以正弦定理得，sin cos sin cos A B B A +=所以sin()A B +=sin 2cos C C C=，因为sin 0C ≠，所以cos 2C =，又因为(0,)C π∈，所以6C π=，因为1a =，b =所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=，所以1c = 故选：B【点睛】此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.14．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A ．12-B ．2C ．D ．12【答案】B 【解析】分析：要求53f π⎛⎫⎪⎝⎭，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，再应用其解析式求解详解：()f x Q 的最小正周期是π552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x Q 是偶函数33f f ππ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，533f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin f x x =，则5 sin 333f f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．15．已知函数()()sin x f x x R ωφ+=∈，，其中0ωπφπ>-<，≤.若函数()f x 的最小正周期为4π，且当23x π=时，()f x 取最大值，是（） A ．()f x 在区间[]2ππ--，上是减函数 B ．()f x 在区间[]0π-，上是增函数 C ．()f x 在区间[]0π，上是减函数 D ．()f x 在区间[]02π，上是增函数【答案】B 【解析】【分析】先根据题目所给已知条件求得()f x 的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项. 【详解】由于函数()f x 的最小正周期为4π，故2π14π2ω==，即()1sin 2f x x φ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2ππsin 1,33π6f φφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝.所以()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π2262k x k -≤+≤+，解得4π2π4π4π33k x k -≤≤+，故函数的递增区间是4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，令0k =，则递增区间为4π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故B 选项正确.所以本小题选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.16．函数()sin())f x x x ωϕωϕ=+++（ω＞0）的图像过点（1，2），若f （x ）相邻的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝6，则f （x ）的单调增区间为（） A ．[－2＋12k ，4＋12k]（k ∈Z ） B ．[－5＋12k ，1＋12k]（k ∈Z ） C ．[1＋12k ，7＋12k]（k ∈Z ） D ．[－2＋6k ，1＋6k]（k ∈Z ）【答案】B 【解析】【分析】由题意得()23f x sin x πωϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，根据相邻两个零点满足126x x -=得到周期为12T =，于是可得6π=ω．再根据函数图象过点()1,2求出2()k k Z ϕπ=∈，于是可得函数的解析式，然后可求出单调增区间．【详解】由题意得()()()23f x sin x x sin x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∵()f x 相邻的两个零点1x ，2x 满足126x x -=， ∴函数()f x 的周期为12T =， ∴6π=ω， ∴()263f x sin x ππϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭．又函数图象过点()1,2，∴2222632sin sin cos πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫++=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴cos 1ϕ=， ∴2()k k Z ϕπ=∈， ∴()263f x sin x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由22,2632k x k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，得512112,k x k k Z -+≤≤+∈，∴()f x 的单调增区间为[]()512,112k k k Z -++∈．故选B ．【点睛】解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，属于基础题．17．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，2πω<）的最小正周期为π，且其图象向左平移3π个单位后，得到函数()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（） A ．关于直线12x π=对称B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点(,0)12π对称D ．关于点5(,0)12π对称【答案】C 【解析】试题分析：依题意()()2,sin 2f x x ωϕ==+，平移后为2sin 2cos 2,36x x ππϕϕ⎛⎫++==- ⎪⎝⎭，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称.考点：三角函数图象与性质.18．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（）A B ．C ．1D ．3【答案】A 【解析】【分析】先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论．【详解】如图：()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，同理可得sin sin CD ACCAD ADC=∠∠，因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD ABCD AC=， 4AB =Q ，8AC =，2BD =，8244AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=. 2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，2115sin 14B ⎛⎫=--=⎪⎝⎭ 1sin 152ABD S AB BD B ∴=⋅⋅=V 故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题.19．在ABC △中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则边长b 为 A ．5 B ．8 C ．5或－8 D ．－5或8【答案】B 【解析】由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得24993b b =+-，即()()850b b -+=，因为b ＞0，所以b ＝8.故选B ．20．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭关于（）A ．直线3πθ=对称B ．直线6πθ=对称C ．点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．极点对称【答案】A 【解析】【分析】由4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得直角坐标方程：2220x x y -+-= ，圆心为( ，又因为直线3πθ=即：y = 过点(，由此便可得出答案.【详解】由曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即：24sin 6πρρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，化简得曲线的直角坐标方程：2220x x y -+-= ，故圆心为( .又因为直线3πθ=,直角坐标方程为：y = ，直线y =过点(，故曲线关于直线3πθ=对称故选：A. 【点睛】本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.。

高三数学易错三角函数与解三角形多选题易错题难题测试题

高三数学易错三角函数与解三角形多选题易错题难题测试题一、三角函数与解三角形多选题1．设函数()2sin 1xf x x x π=-+，则（）A ．()43f x ≤B ．()5f x x ≤C ．曲线()y f x =存在对称轴D ．曲线()y f x =存在对称中心【答案】ABC 【分析】通过()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭可发现函数()y f x =具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析()y f x =是否具有对称中心，再将()5f x x ≤化为32sin 555x x x x π≤-+，通过数形结合判断是否成立.【详解】函数解析式可化为：()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，因为函数sin y x =π的图象关于直线12x =对称，且函数21324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象也关于直线12x =对称，故曲线()y f x =也关于直线12x =对称，选项C 正确；当12x =时，函数sin y x =π取得最大值1，此时21324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最小值34，故()14334f x ≤=，选项A 正确；若()5f x x ≤，则32sin 555x x x x π≤-+，令()32555g x x x x =-+，则()()221510553210g x x x x x '=-+=-+>恒成立，则()g x 在R 上递增，又()00g =，所以当0x <时，()00g <；当0x >时，()0g x >；作出sin x π和32555x x x -+的图象如图所示：由图象可知32sin 555x x x x π≤-+成立，即()5f x x ≤，选项B 正确；对于D 选项，若存在一点(),a b 使得()f x 关于点(),a b 对称，则()()2f a x f a x b -++=，通过分析发现()()f a x f a x -++不可能为常数，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查函数的综合应用，涉及函数的单调性与最值、对称轴于对称中心、函数与不等式等知识点，难度较大. 对于复杂函数问题一定要化繁为简，利用熟悉的函数模型去分析，再综合考虑，注意数形结合、合理变形转化.2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC 87【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >，根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==，由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin 7cR C===，ABC外接圆半径为7，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.3．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，下列叙述正确的是（） A ．若sin sin a bB A=，则ABC 为等腰三角形 B ．若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形 C ．若tan A tan tan 0B C ++<，则ABC 为钝角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则4C π∠=【答案】ACD 【分析】多项选择题，一个一个选项验证：对于A ：利用正弦定理判断sin sin A B =，在三角形中只能A=B ,即可判断；对于B ：∵由正弦定理得 sin 2sin 2A B =，可以判断∴ABC 为等腰三角形或直角三角形；对于C ：利用三角函数化简得tan A tan tan B C ++sin sin sin =cos cos cos A B CA B C，利用sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>>判断cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，即可判断；对于D ：利用正弦定理判断得cos sin C C =求出角C . 【详解】对于A ：∵由正弦定理得：sin sin a bA B=，而sin sin a b B A =，∴sin sin A B =， ∵A+B+C=π，∴只能A=B ,即ABC 为等腰三角形，故A 正确；对于B ：∵由正弦定理得：sin sin a bA B=， ∴若cos cos a bB A=可化为sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =， ∴22A B =或22A B π+= ∴ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对于C ：∵A+B+C=π，∴()()()()sin sin sin cos cos cos A B C C A B C C ππ+=-=+=-=，， ∴tan A tan tan B C ++sin sin sin =cos cos cos A B CA B C++ sin cos sin cos sin =cos cos cos A B B A CA B C ++sin sin =cos cos cos C CA B C+11=sin cos cos cos C A B C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos cos cos =sin cos cos cos C A B C A B C +⎛⎫ ⎪⎝⎭ sin sin sin =cos cos cos A B CA B C.∵tan A tan tan 0B C ++<而sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>> ∴cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，∴ABC 为钝角三角形. 故C 正确；对于D ：∵sin cos a b C c B =+，∴由正弦定理得：sin sin sin sin cos A B A C B =+, 即sin cos sin cos sin sin sin cos B C C B B C C B +=+ ∴cos sin C C = ∵()0,C π∈∴4C π.故D 正确. 故选：ACD 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．4．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣⎦【答案】BC 【分析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=1,2⎡-⎢⎣⎦.故选：BC 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.5．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期 B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x <C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC 【分析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值；【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-，对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减，所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故B 错误；对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x1，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；6．已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()10αβ+=-，则（）A ．cos α=B ．sin cos αα-=C ．34πβα-= D ．cos cos 5αβ=-【答案】BC 【分析】先根据4sin 25α=，判断角α的范围，再根据cos2α求cos α；根据平方关系，判断sin cos αα-的值；利用公式cos()cos[()2]βααβα-=+-求值，并根据角的范围判断角βα-的值；利用公式()cos βα+和()cos βα-，联合求cos cos αβ.【详解】 ①因为4παπ≤≤，所以222παπ≤≤，又4sin 205α=>，故有22παπ≤≤，42ππα≤≤，解出2231cos 22cos 1cos cos 55αααα=-=-⇒=⇒=，故A 错误； ②()21sin cos 1sin 25ααα-=-=，由①知：42ππα≤≤，所以sin cos αα>，所以sin cos 5αα-=，故B 正确； ③由①知：42ππα≤≤，而32ππβ≤≤，所以524παβπ≤+≤，又cos()010αβ+=-<，所以5342ππαβ≤+≤，解得sin()αβ+=所以34cos()cos[()2]1051052βααβα⎛⎫⎛⎫-=+-=--+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为5342ππαβ≤+≤，22ππα-≤-≤-，所以4πβαπ≤-≤，有34πβα-=，故C 正确；④由cos()cos cos sin sin 1010αβαβαβ+=-⇒-=-，由③知，cos()cos cos sin sin 2βααβαβ-=+=-，两式联立得：cos cos 10αβ=-，故D 错误．故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值4sin 25α=，确定22παπ≤≤，且cos()010αβ+=-<，进一步确定5342ππαβ≤+≤，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.7．在ABC 中，下列说法正确的是（） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ 【答案】ABC 【分析】根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD. 【详解】 A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a bA B=，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒+<，即2C π>，则ABC 为钝角三角形，若2A π>，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，()cos cos cos A B B π∴>-=-，即cos cos 0A B +>，故D 不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.8．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确；对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.二、数列多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()1*11,221,21n n n a n k a k N a n k --+=⎧=∈⎨+=+⎩.则下列选项正确的为（）A ．614a =B ．数列{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列C ．对于任意的*k N ∈，1223k k a +=-D ．1000n S >的最小正整数n 的值为15【答案】ABD【分析】根据题设的递推关系可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，从而可得22222k k a a +-=，由此可得{}2k a 的通项和{}21k a -的通项，从而可逐项判断正误.【详解】由题设可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，因为11a =，211a a -=，故2112a a =+=，所以22212121,12k k k k a a a a +++--==，所以22222k k a a +-=，所以()222222k k a a ++=+，因为2240a +=≠，故220k a +≠，所以222222k k a a ++=+，所以{}22k a +为等比数列，所以12242k k a -+=⨯即1222k k a +=-，故416214a =-=，故A 对，C 错.又112122123k k k a ++-=--=-，故12132k k a +-+=，所以2121323k k a a +-+=+，即{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列，故B 正确. ()()141214117711S a a a a a a a =+++=++++++()()2381357911132722323237981a a a a a a a =+++++++=⨯-+-++-+=，15141598150914901000S S a =+=+=>，故1000n S >的最小正整数n 的值为15，故D 正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D 是否成立时注意先考虑14S 的值.10．设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，1121,n n n S S S n++==，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（） A ．20202020a =B ．()12n n n S +=C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-< 【答案】ABD【分析】可由累乘法求得n S 的通项公式，再由()12n n n S +=得出n a n =，代入212n n n n a b a a ++=中可得()112n b n n =++.由裂项相消法求出n T ，利用数列的单调性证明1334n T n ≤-<. 【详解】由题意得，12n n S n S n ++=， ∴当2n ≥时，121121112n n n n n S S S n n S S S S S n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--()13112n n +⋅=，且当1n =时也成立， ∴ ()12n n n S +=，易得n a n =，∴ 20202020a =，故,A B 正确； ∴ ()()()211111112222n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭， ∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭，又n T n -随着n 的增加而增加，∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，C 错误，D 正确，故选：ABD.【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编及答案

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编及答案【详解】设小赵从A出发后到达B的时间为t小时，则有：AB=40×t（千米）又因为小赵以南偏东40度的方向直线行驶，可以将其分解为南偏东方向和正东方向的速度分量，设南偏东方向的速度为v1，正东方向的速度为v2，则有：v1=40×sin40°≈25.76（千米/小时）v2=40×cos40°≈30.58（千米/小时）根据题意，小赵行驶30分钟即0.5小时后到达B处，因此有：AB=25.76×0.5+v2×0.5=28.17（千米）又因为AC与AB的夹角为70°，AC与AB的长度比为sin70°:sin40°，即：AC/AB=sin70°/sin40°≈1.67所以AC≈1.67×AB≈47.06（千米）最后，小赵以52千米/小时的速度行驶，所需时间为：t′=AC/52≈0.905（小时）【点睛】本题考查解三角形的应用，需要灵活运用三角函数以及解析几何的知识，同时需要注意单位的转换。

属于中等难度的题目。

已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，双曲线的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足∠AFB=120度，且BF=3AF，则双曲线C的离心率是( )。

根据题意画图可得，∠OAF=60度，∠OBF=120度，由于BF=3AF，所以OF=2AF，又因为F为双曲线的右焦点，所以OF=sqrt(a^2+b^2)，从而得到a^2+3b^2=4a^2，即b^2=3/4a^2，又因为离心率e=sqrt(a^2+b^2)/a，所以e=sqrt(1+3/4)=sqrt(7)/2，故选B。

【解析】由题意可得：$$f(x)=f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$即：$$\sin\omega x+3\cos\omegax=\sin\omega\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+3\cos\omega\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$化简得：$$\tan\omega x=3-\cot\omega x$$移项得：___再变形得：$$\frac{\sin\omega x}{\cos\omega x}+\frac{\cos\omegax}{\sin\omega x}=3$$通分化简得：$$\frac{\sin^2\omega x+\cos^2\omega x}{\sin\omegax\cos\omega x}=3$$即：$$\frac{1}{\sin\omega x\cos\omega x}=3$$化简得：$$\frac{2}{\sin 2\omega x}=3$$即：$$\sin 2\omega x=\frac{2}{3}$$又因为$\omega>0$，所以$2\omegax\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，所以：$$2\omega x=\arcsin\frac{2}{3}$$解得：$$\omega=\frac{\arcsin\frac{2}{3}}{2x}$$【点睛】本题考查了函数对称性的性质以及三角函数的基本性质，是中高档题。

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我的高考数学错题本
第 5 章三角函数与解三角形易错题
易错点 1 角的概念不清例 1 若、为第三象限角，且
，则（
）
A． cos cos
B． cos cos
C． cos cos
D．以上都不对
【错解】 A
【错因】角的概念不清，误将象限角看成类似
( , 3 ) 区间角． 2
【正解】如取
7
2
,
6
4
，可知 A 不对．用排除法，可知应选 D．
例2 若
的终边所在直线经过点
3 P(cos
3 ,sin
) ，则 sin
4
4
【错解】∵
3 P(பைடு நூலகம்os
3 ,sin )
(
22 , ) ，所以 sin
4
4
22
(
．
2
2
2)2 ( 2 )2
2
2
【错因】忽略了对角终边的位置进行讨论
2． 2
【正解】∵直线经过二、四象限，又点 P 在单位圆上，若的终边在第二象限，则 sin
sin 2 sin cos cos2
2
2
sin cos
tan 2 tan
2
1 tan
1 3． 5
易错点 4 忽视函数的定义域对角范围的制约致错
例4
求函数 y
2 tan x 1 tan 2 x 的最小正周期．
【错解】
y
2 tan x 1 tan 2 x
tan 2x ，
T
，即函数的最小正周期为
2
【错因】忽视其定义域导致错误，
不是 y 2
2 tan x 1 tan2 x 的周期，因为当
．
2 x 0 时， y
2 tan x 1 tan2 x 有意义，所以
由周期函数定义知应有 f (0 ) f (0) 成立，然而 f (0 ) 根本无意义，故不是其周期．
2
2
2
2 tan x 【正解】由于函数 y 1 tan2 x 的定义域为 x k
上述函数的值域为 {－1， 3}．故选 D.
易错点 3 遗忘同角三角关系的齐次转化
例 3 已知 tan
2 ，求（ 1） cos cos
sin ；（ 2） sin 2 sin
sin . cos
2 cos2
【错解】没有思路，不知道怎么做．
【错因】不知道同角三角关系的齐次转化．
cos sin
【正解】（ 1）
3
【纠错训练】已知
为第三象限角，则
是第
2
象限角， 2 是第
【解析】
是第三象限角，即 2k
3
k
k
,k Z ， 4k
22
4
2k 22
3 ,k Z 2 4k 3 , k Z
当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，
为第四象限角；
2
2
而 2 的终边落在第一、二象限或 y 轴的非负半轴上 .
象限角．
易错点 2 忽视对角终边位置的讨论致误
,x k 2
(k Z ) ，故作出函数 y 4
可以看出，所求函数周期应为
．
【纠错训练】函数 f ( x)
sin x cosx
的递增区间．
1 sin x cosx
tan 2 x 的图象，
【解析】因为 1 sin x cos x 0 2 sin x
1 x 2k
且x 2k
，
4
2
所以函数 f ( x) 递增区间为 2k
3 sin
4
2
，若
2
的终边在第四象限，∴ sin
2 ，综上可知 sin
2
2
．
2
sinx |cosx| tanx 【纠错训练】函数 y＝|sinx|＋ cosx ＋|tanx|的值域是 ( )
A ． { －1，1}
B． {1 ，3}
C．{1 ，－ 3}
D．{ －1，3}
【解析】由条件知终边不能落在坐标轴上，故要分四种情况讨论：当的终边分别落在第一、二、三、四象限时，
2 cos 5 cos
5 ，那么 tan 的值为（）
A．－ 2 B ． 2 C ．－ 23 D ． 23
16
16
【解析】上下同时除以 cos ，得到： tan
2
5，解得 tan
3 tan 5
【纠错训练 2】已知 tan 2，则 sin 2 sin cos cos 2
23
．
16
．
【解析】 sin 2 sin cos cos2
3 ，2k 4
、 2k 2
，2 k 2
易错点 5 对“诱导公式中的奇变偶不变，符号看象限理解不对”致误
(k Z) ． 4
cos sin
sin 1
cos 1 sin
cos
1 tan 1 tan
12 12
3 2 2；
(2) sin2 sin cos 2 cos2
sin2 sin cos 2 cos2 sin 2 cos2
sin 2 sin
cos2 cos sin 2
2 2 22 4 2
.
21
3
cos2 1
的值 .
【纠错训练 1】如果 sin 3sin