天津市杨村第一中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试卷(pdf版含答案)
武清区杨村第一中学2020_2021学年高一数学上学期第一次月考试题含解析
【解析】
【详解】当 ， 时不等式即为 ，对一切 恒成立 ①
当 时，则须 ，∴ ②
由①②得实数 的取值范围是 ，
故答案为 。
14. 已知 ， ，则 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
把 表示 形式，然后由不等式的性质得结论．
【详解】因为 , ， ＝ ，
所以 ．
故答案为：
【点睛】本题考查由不等式的性质求范围，解题中注意把 分别作为一个整体，而不是由它们求出 的范围，如果先求得 的范围，再求 的范围一般会出错．
二､填空题
10。 含有3个实数的集合可表示为 ,又可表示为 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得到 = 求解.
【详解】由题意得： = ，
则 或 ，
解得 或 （舍去)
所以 -1
故答案为:—1
【点睛】本题主要考查集合相等的应用以及集合元素的互异性,还考查分析求解问题的能力,属于基础题.
19. 已知 。
（Ⅰ）若 时， 的解集为 ，解不等式 ；
(Ⅱ）若 ， ，解关于 的不等式
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ)答案见解析。
【解析】
【分析】
（Ⅰ）依题意 ， 为 的两个根，利用韦达定理求出 、 ,再解一元二次不等式即可；
（Ⅱ）原不等式化为 ,再对参数 分类讨论，分别计算可得;
【详解】解：（Ⅰ)∵ 的解集为 ，∴ ， 为 的两个根，
11。 已知全集 ，集合 ， ，则 ______。
【答案】
【解析】
【分析】
先利用一元二次不等式的解法化简集合B，再利用交集的运算求解。
【详解】因为集合 ， ,
所以 ,
2020-2021学年天津市某校高一(上)第一次月考数学试卷
2020-2021学年天津市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1. 集合{x∈N|x−3<2}，用列举法表示是()A.{0, 1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 3, 4}C.{0, 1, 2, 3, 4, 5}D.{1, 2, 3, 4, 5}【答案】A【考点】集合的含义与表示【解析】化简集合，将元素一一列举出来．【解答】解：集合{x∈N|x−3<2}={x∈N|x<5}={0, 1, 2, 3, 4}．故选A．2. 设全集U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{−3, 0, 2, 3}，则A∩(∁U B)＝（）A.{−3, 3}B.{0, 2}C.{−1, 1}D.{−3, −2, −1, 1, 3 }【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】进行补集、交集的运算即可．【解答】全集U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{−3, 0, 2, 3}，则∁U B＝{−2, −1, 1}，∴A∩(∁U B)＝{−1, 1}，3. 若2∈{1, a2+1, a+1}，则a＝（）A.2B.1或−1C.1D.−1【答案】D【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据若2∈{1, a2+1, a+1}，则a+1＝2或a2+1＝2，再根据元素的互异性进行检验即可．【解答】若2∈{1, a2+1, a+1}，则a+1＝2或a2+1＝2，所以a＝1或−1，当a＝1时，a2+1＝a+1，与元素互异性相矛盾，舍去；当a＝−1时，a+1＝0，a2+1＝2，合题意，故a＝−1．4. “x>2”是“x>1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由x>1，我们不一定能得出x>2；x>2时，必然有x>1，故可得结论【解答】解：由x>1，我们不一定能得出x>2，比如x=1.5，所以x>1不是x>2的充分条件；∵x>2>1，∴由x>2，能得出x>1，∴x>1是x>2的必要条件,∴x>2是x>1的充分不必要条件.故选A．5. 设命题p:∃n∈N，n2>2n，则￢p为()A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2=2n【答案】C【考点】命题的否定【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，故命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n.故选C.6. 下列不等式中成立的是（）A.若a>b，则ac2>bc2B.若a>b，则a2>b2C.若a<b<0，则a2<ab<b2D.若a>b，则a3>b3【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】对于选项ABC，直接利用不等式的基本性质的应用进行判断，对于选项D利用配方法判断结果．【解答】对于选项A：当c＝0时，由于a>b，所以c2(a−b)＝0，故选项A错误．对于选项B：由于a>b，当a与b互为相反数时，a2−b2＝(a+b)(a−b)＝0，故选项B错误．对于选项C:a<b<0，所以a2>ab>b2，故选项C错误．对于选项D：由于a>b，所以a3−b3＝(a−b)(a2+ab+b2)＝(a−b)[(a+b2)2+34b2]>0，故选项D正确．故选：D．7. 下列表示图中的阴影部分的是（）A.(A∪C)∩(B∪C)B.(A∪B)∩(A∪C)C.(A∪B)∩(B∪C)D.(A∪B)∩C【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．【解答】图中阴影部分表示元素满足：是C中的元素，或者是A与B的公共元素故可以表示为C∪(A∩B)也可以表示为：(A∪C)∩(B∪C)8. 下列不等式中，正确的是( )A.a+4a ≥4 B.a2+b2≥4ab C.√ab≥a+b2D.x2+3x2≥2√3【答案】D【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式成立的条件，判断选项的正误即可．【解答】解：当a<0时，则a+4a≥4不成立，故A错误；当a=1，b=1时，a2+b2<4ab，故B错误；当a=4，b=16时，则√ab<a+b2，故C错误；由均值不等式可知D项正确．故选D.9. 一元二次方程ax2+4x+3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A.a<0B.a>0C.a<−1D.a>1【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】先由已知条件得到{△=16−12a>03a<0，解得a<0，而a<−1能得到a<0，a<0得不到a<−1，所以a<−1是一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件．【解答】若一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根，则：{a≠016−12a>03 a <0，解得a<0；∴a<−1时，能得到a<0，而a<0，得不到a<−1；∴a<−1是a<0的充分不必要条件，即a<−1是一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件；10. 已知实数a>0，b>0，+＝1，则a+2b的最小值是（）A. B. C.3 D.2【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填在相应横线上）已知命题p:∃x∈R，x2−1>0，那么￢p是________．【答案】∀x∈R，x2−1≤0【考点】命题的否定【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】命题为特称命题，则命题的否定为：∀x∈R，x2−1≤0，已知a，b，c均为非零实数，集合A={x|x=|a|a +b|b|+ab|ab|}，则集合A的元素的个数有________个．【答案】2【考点】元素与集合关系的判断【解析】通过对a，b的正负的分类讨论，利用绝对值的定义去掉绝对值的符号然后进行运算，求出集合中的元素．【解答】当a>0，b>0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=1+1+1＝3，当a>0，b<0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=1−1−1＝−1，当a<0，b>0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=−1+1−1＝−1，当a<0，b<0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=−1−1+1＝−1，故x的所有值组成的集合为{−1, 3}设集合A＝{−1, 1, m}，B＝{m2, 1}，且B⫋A，则实数m＝________．【答案】【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由真子集的定义得m2＝m，再利用集合中元素的互异性能求出实数m．【解答】∵集合A＝{−1, 1, m}，B＝{m2, 1}，且B⫋A，∴m2＝m，解得m＝0或m＝1（舍），故实数m＝0．设集合A={x|0≤x≤3}，B={x|1≤x≤5, x∈Z}，则A∩B非空真子集个数为________．【答案】6【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算得出A∩B={1, 2, 3}，然后根据非空真子集个数的计算公式即可求出A∩B的非空真子集的个数．【解答】∵A={x|0≤x≤3}，B={1, 2, 3, 4, 5}，∴A∩B={1, 2, 3}，∴A∩B非空真子集个数为：23−2=6．给出下列条件p与q：①p:x＝1或x＝2；q:x2−3x+2＝0；②p:x2−1＝0，q:x−1＝0；③p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．其中p是q的必要不充分条件的序号为________．【答案】②【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】直接利用方程的解法和充分条件和必要条件的应用判断①、②、③的结论．【解答】①p:x＝1或x＝2；q:x2−3x+2＝0，解得x＝1或x＝2；，故p＝q，所以p为q的充要条件；②p:x2−1＝0，解得x＝±1，q:x−1＝0；解得x＝1，所以q是p的充分不必要条件，即p是q的必要不充分条件，③p：一个四边形是矩形；则对角线相等，q：四边形的对角线相等．但是该四边形不一定为矩形，故p是q的充分不必要条件．已知全集U＝{x|x≤8, x∈N∗}，若A∩(∁U B)＝{2, 8}，(∁U A)∩B＝{3, 7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5, 6}，则集合A＝________，B＝________．【答案】{2, 4, 8},{3, 4, 7}【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出A∩B＝{4}，由此能求出集合A，B．【解答】全集U＝{x|x≤8, x∈N∗}＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A∩(∁U B)＝{2, 8}，(∁U A)∩B＝{3, 7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5, 6}，∴A∩B＝{4}，集合A＝{2, 4, 8}，B＝{3, 4, 7}．已知集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a<x<2a}，若A∪B＝A，则实教a的取值范围是________．【答案】[1, 2]【考点】集合的包含关系判断及应用并集及其运算【解析】根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，再求出a的取值范围．【解答】因为A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a<x<2a}，若A∪B＝A，则B⊆A，则{a≥12a≤4，解得1≤a≤2，所以a的取值范围为[1, 2]．设n∈N∗，一元二次方程x2−4x+n＝0有整数根的充要条件是n＝________．【答案】3或4【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】一元二次方程x2−4x+n＝0有实数根的充要条件是△≥0，n∈N∗，解得n．经过验证即可得出．【解答】一元二次方程x2−4x+n＝0有实数根的充要条件是△＝16−4n≥0，n∈N∗，解得1≤n≤4．经过验证n＝3，4时满足条件．若x<53，y＝3x+13x−5，当x＝________43时，y的最大值为________．【答案】,3【考点】基本不等式及其应用【解析】y＝3x+13x−5=3x−5+13x−5+5＝−(5−3x+15−3x)+5，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由x<53得3x−5<0，y＝3x+13x−5=3x−5+13x−5+5＝−(5−3x+15−3x)+5≤−2√(5−3x)⋅15−3x+5＝3，当且仅当5−3x=15−3x ，即x=43时取等号，此时y＝3x+13x−5取得最大值3．已知正实数a，b满足a+b＝1，则1a (b+1b)的最小值是________．【答案】2+2√2【考点】基本不等式及其应用【解析】由1a (b+1b)=ba+1ab=ba+(a+b)2ab=2ba+ab+2，然后结合基本不等式即可求解．【解答】∵正实数a，b满足a+b＝1，∴1a (b+1b)=ba+1ab=ba+(a+b)2ab=2ba+ab+2≥2√2ba⋅ab+2=2+2√2，当且仅当2ba =ab且a+b＝1，即a＝2−2√2，b=√2−1时取等号，则1a (b+1b)的最小值2+2√2．三、解答题：（本大题共2个小题，共20分，请用黑色水笔将答案写在规定区域内，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）设集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．（1）若a＝1时，求P∪Q；P∩(∁R Q)；（2）若P∩Q＝⌀，求实数a的取值范围；（3）若P∩Q＝{x|0≤x<3}，求实数a的值．【答案】a＝1时，集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2≤x≤4}．∴P∪Q＝{x|−2<x≤4}，∁R Q＝{x|x<2或x>4}，P∩(∁R Q)＝{x|−2<x<2}．∵集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．P∩Q＝⌀，∴当Q＝⌀时，2a>a+3，解得a>3，当Q≠⌀时，{2a≤a+3a+3≤−2或{2a≤a+32a≥3，解得a≤−5或32≤a≤3，∴实数a的取值范围是(−∞, −5]∪[32, 3]．∵集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．P∩Q＝{x|0≤x<3}，∴ P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，解得实数a ＝0．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）a ＝1时，求出集合Q ．由此能求出P ∪Q ，求出∁R Q ，由此能求出P ∩(∁R Q)．（2）当Q ＝⌀时，2a >a +3，当Q ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3≤−2 或{2a ≤a +32a ≥3，由此能求出实数a 的取值范围．（3）推导出P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，由此能求出实数a ．【解答】a ＝1时，集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2≤x ≤4}．∴ P ∪Q ＝{x|−2<x ≤4}，∁R Q ＝{x|x <2或x >4}，P ∩(∁R Q)＝{x|−2<x <2}．∵ 集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2a ≤x ≤a +3}．P ∩Q ＝⌀， ∴ 当Q ＝⌀时，2a >a +3，解得a >3，当Q ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3≤−2 或{2a ≤a +32a ≥3， 解得a ≤−5或32≤a ≤3，∴ 实数a 的取值范围是(−∞, −5]∪[32, 3]．∵ 集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2a ≤x ≤a +3}．P ∩Q ＝{x|0≤x <3}，∴ P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，解得实数a ＝0．已知集合A ＝{x|2−a ≤x ≤2+a}，B ={x|x ≤1或x ≥4}．(1)当a =3时，求A ∩B ；(2)若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)当a =3时，集合A ={x|−1≤x ≤5}，B ={x|x ≤1或x ≥4}，∴ A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}.(2)∵ 若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件，∴ A 是∁R B 的真子集，且A ≠⌀，A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a >0)，∁RB ={x|1<x <4}，∴ {2−a >1，2+a <4，a >0，解得：0<a <1．∴ a 的取值范围是{a|0<a <1}．【考点】根据充分必要条件求参数取值问题补集及其运算交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）a ＝3时化简集合A ，根据交集的定义写出A ∩B ；（2）根据若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈∁R B ”的充分不必要条件，得出关于a 的不等式，求出a 的取值范围即可【解答】解：(1)当a =3时，集合A ={x|−1≤x ≤5}， B ={x|x ≤1或x ≥4}，∴ A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}.(2)∵ 若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件， ∴ A 是∁R B 的真子集，且A ≠⌀，A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a >0)，∁RB ={x|1<x <4}，∴ {2−a >1，2+a <4，a >0，解得：0<a <1．∴ a 的取值范围是{a|0<a <1}．。
天津市某校2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题
天津市某校2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1. 集合用列举法表示是A.{1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 3, 4, 5}C.{0, 1, 2, 3, 4, 5}D.{0, 1, 2, 3, 4}【答案】D【考点】指数式、对数式的综合比较二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】解出不等式得x<5，小于5的自然数有5个．详解：由题意x<5，又x∈N，…集合为{0,1,2,3,4}【解答】此题暂无解答2. 设全集，集合，则()A. B. C. D.【答案】C【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果【解答】由题意结合补集的定义可知：∁U B={−2,−1,1}，则A∩(∁U B)=(−1,1)故选：C．3. 若，则a=()A.2B.1或−1C.1D.−1【答案】D【考点】指数式、对数式的综合比较向量数乘的运算及其几何意义二次函数的应用【解析】分别令a2+1=2a+1=2，求出④值，代入检验．【解答】当a2+1=2时，a=±1，当a=1时，a+1=a2+1=2，不满足互异性，舍去，当a=−1时，集合为{1,2,0}，满足；当a+1=2时，a=1，不满足互异性，舍去．综上a=−1故选：D．4. 已知，，则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】将命题p:q转化为集合和，再根据集合A与B之间的包含关系以及充分必要条件的定义可得【解答】设命题p:x>2对应的集合为命题q:x>1对应的集合为因为AūB．所以命题P是命题4的充分不必要条件．故选A．5. 命题：“，则”的否定是()A.，B.，C.，D.，【答案】C【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义f】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．【解答】解：已知p:∵ 加，则n2>2′则命题P的否定是：加n∈N,n2≤2n故选：C．6. 下列不等式中成立的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【考点】基本不等式【解析】取特殊值判断ABC选项，根据不等式的性质判断D选项．【解答】解：A中，c2=0时，ac2=bc2，故A不一定成立；B中，0>a>b，可得a2<b2，故B不一定成立；C中，令a=−2,b=−1，则a2=4,ab=2.b2=1，显然a2>ab>b2，故C不一定成立；由不等式的性质知D正确．故选：D7. 下列表示图形中的阴影部分的是()A. B.C. D.【答案】A【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足”是▲的元素且是B的元素，或是C的元素”，由韦恩图与集合之间的关系易得答案【解答】解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足”是4的元素且是B的元素，或是C的元素”，故阴影部分所表示的集合是C∪(A∩B)=(A∪C)∪(B∪C)故选：A8. 下列不等式中，正确的是()A.a+≥4B.a2+b2≥4abC.≥D.x2+≥2【答案】D【考点】由基本不等式比较大小【解析】举例说明ABC错误，利用基本不等式证明D成立【解答】a=1,b=1,a2+b2≤42故A错；，故B错，a=4,b=16，贝√ab<a+b2，故C错；由基本不等式得x2+3x2≥2√x2⋅3x2=2√3可知D项正确．故选：D．9. 一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A. B. C. D.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】等价转化求得一元二次方程满足题意的条件，再根据充分不必要条件即可判断．【详加呈】由题意，记方程ax2+4x+3=0(a≠0)的两根分别为x1x2因为一元二次方程ax2+4x+3=0(a≠0)有一个正根和一个负根，所以{3a<0Δ=16−12a>0，解得a<0则充分不必要条件的范围应是集合{a|a<0}的真子集，故选：C．【解答】此题暂无解答10. 已知实数，，，则的最小值是()A. B. C.3 D.2【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据已知条件，将a+2b变换为[1+2+2(b+1)a+1+a+1b+1]−3，利用基本不等式，即可求得其最小值．【解答】∵ a>0,b>01a+1+1b+1=1小a+2b=(a+1)+2(b+1)−3=[(a+1)+2(b+1)]⋅(1a+1+1b+1)−3=[1+2+2(b+1)a+1+a+1b+1]−3≥3+2√2−3=2√2当且仅当2(b+1)a+1=a+1b+1，即a=√2b=√22时取等号．故选：B二、填空题若命题，使，则为________．【答案】加x∈Rx2−1≤0【考点】命题的真假判断与应用命题的否定不等式的基本性质【解析】特称命题p:∃x0∈Mp(x0)它的否定−p:∀x∈M,−p(x)【解答】此题暂无解答已知a，b，c均为非零实数，集合，则集合A的元素的个数有________个.【答案】2【考点】元素与集合关系的判断子集与真子集集合的含义与表示【解析】通过对α、b正负的讨论，利用绝对值的定义去掉绝对值，然后进行计算，即可求出集合A的元素，即可求得答案【解答】当a>0,b>0时，x=|d|a +|b|b|+ab|ab|=1+1+1=3当a>0b<0时，ab<0x=|a|a +|b|b|+|ab|ab|=1−1−1=−1当a<0b<0时，ab>0x=|d|a +|b|b|+|ab|ab|=−1−1+1=−1当a<0b>0时，ab<0x=|a|a +b|b|+ab|ab|=−1+1−1=−1故》的所有值构成的集合为{−1,3}，集合A的元素的个数有2个，故答案为：2设集合，，且BÜA，则实数m=________.【答案】【考点】集合的相等集合的确定性、互异性、无序性集合的包含关系判断及应用【解析】根据题意可知m2≠−1，则m2=m．解出m=0或m=1．根据集合中元素的互异性舍去m=1，即可得出结果【解答】解：因为，且BuA．且m2≠−1，则m2=m解得m=0或m=1（不满足互异性舍去）．故故答案为：0设集合，B={x|1≤x≤5, x∈Z}，则A∩B非空真子集个数为________.【答案】6【考点】交集及其运算子集与真子集元素与集合关系的判断【解析】先求出A∩B，根据非空真子集的个数为2n−2个可得结果【解答】由于所以A∩B={1,2,3}所以A∩B非空真子集个数为23−2=6个，故答案为：6.给出下列条件p与q：①：或；：②：，：③：一个四边形是矩形；：四边形的对角线相等其中是的必要不充分条件的序号为________.【答案】②【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断演绎推理的基本方法平面的基本性质及推论【解析】利用必要不充分条件的定义对①②③逐一判断即可得正确答案【解答】对于①：由x2−3x+2=0得(x−1)(x−2)=0，解得x=1或x=2p;x=1或x=2；所以P是4的充分必要条件，故⑩不正确，对于②：由x2−1=0解得：x=±1，所以p:x=1q:x=1由必要不充分条件的定义可知？是19的必要不充分条件，故②正确，对于③：一个四边形是矩形则它的对角线相等，p⇒q一个四边形的对角线相等，但它不一定是矩形，q=p所以P是4的充分不必要条件，故③不正确，故答案为：②已知全集，若，，，则集合A=________【答案】{2.8.4}【考点】补集及其运算集合的含义与表示集合的相等【解析】先求全集，再根据题意画韦恩图，结合韦恩图得结果【解答】因为A∩(∁U B)={2,8}(∁U A)∩B={3,7}(∁U,A)∩(∁U B)={1,5,6}所以A={2,8,4}故答案为：{2,8,4}已知集合，，若A∪B=A，则实教a的取值范围是________.【答案】α≤0或1≤a≤2【考点】并集及其运算集合的包含关系判断及应用集合关系中的参数取值问题【解析】由|A∪B=A，得到BiA，然后再分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论求解．【解答】已知集合因为A∪B=A所以BIA则当a≤0时，B=⌀，成立；当a >0时，B ≠⌀，则{a ≥12a ≥4,解得1≤a ≤2综上：实教a 的取值范围是a ≤0或1≤a ≤2 故答案为：a ≤0或1≤a ≤2 ．设，一元二次方程有整数根的充要条件是【答案】 3或4 【考点】函数零点的判定定理必要条件、充分条件与充要条件的判断 集合的含义与表示【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．，因为X 是整数，即2±√4−n 为整数，所以√4−n 为整数，且n ≤4，又因为n ∈N 1，取符合题意；反之n =3,4时，可推出一元二次方程x 2−4x +n =0有整数根． 【解答】 此题暂无解答已知正实数a ，b 满足，则的最小值是________.【答案】 2+2、2 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【61)将1a (b +1b )展开，利用a +b 代换1，再利用基本不等式即可求最小值．【解答】1a (b +1b )=b a +1ab =b a +(a +b )2ab =b a +a 2+b 2+2ab ab =2b a +a b +2 ≥2√2b a ×ab +2=2+2√2故答案为：2+2√2 三、双空题若，，当________时，的最大值为________.【答案】3,3【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】将函数解析式变形为y=5−(5−3x)−15−3x，利用基本不等式可求得y的最大值，利用等号成立可求得∼的值．【解答】当x<53时，5−3x>0,y=3x+13x−5=5−[5−3x)+15−3x]≤5−2√(5−3x)⋅15−3x=3当且仅当5−3x=15−3x (x<53)时，即当x=43时，等号成立，因此，Ⅴ的最大值为3．故答案为:43；3．四、解答题设集合，（1）若a=1时，求P∪Q；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若P∩Q={x|0≤x<3}，求实数a的值.【答案】（1）{x|−2<x≤4}{x|−2≤x<2}；（2）a≤−5或a≥32；（3）0.【考点】绝对值不等式的解法与证明集合的包含关系判断及应用集合关系中的参数取值问题【解析】（1）由a=，得到，再利用交集运算求解．（2）根据P∩Q=⌀，分Q=⌀和Q≠⌀两种情况讨论求解．（3）根据PQQ={x|0≤x<3}，令2a=0求解．【解答】（1）若a=1时，又集合所以又或x>4}所以P∩(∁R)==x|−22x<2}（2）因为P∩Q=⌀当a>3时，Q=⌀成立；当a≤3时，Q≠⌀所以a+3≤−2或2a≥3解得a≤−5或a≥32≤a≤3即a≤−5或32综上：a≤−5或a≥32所以实数a的取值范围a≤−5或a≥32（3）因为PQQ={Q={x|3}所以2a=0解得a=0所以实数a的值0.已知集合，或．（1）当时，求；（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）A∩B={x|−1≤x≤1或4≤x≤5}；（2）0<a<1【考点】交集及其运算集合的包含关系判断及应用必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】（1）求出集合，即可得解；（2）根据题意A是∁R B的真子集，且A≠Z，根据集合的关系求解参数的取值范围．【解答】（1）当a=3时，或x≥4}A∩B={x|−1≤x≤1或4≤x≤5}（2）或x≥4}，由”（加A是|x∈∁R B”的充分不必要条件，得A是∁R B的真子集，且A≥⌀又，∴ {2−a >12+a <4,0<a <1。
天津市杨村第一中学2021届高三数学上学期第一次月考试题
天津市杨村第一中学2021届高三数学上学期第一次月考试题一、选择题（本题共8题，每小题5分，共40分）1. 已知集合{}{}12,1≥=<=x x N x x M ，则=⋂N M （ ）A ．()1,0B ．[)1,0C ．[]1,0D ．(]1,0 2．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1234563,6a a a a a a ++=++=，则12S =（ ）A ．15B ．30C ．45D ．60 3. 设函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,6x a π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ） A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ C ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ D ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ 4．函数()ln 11x f x x -=-的图象大致为 ( ) A B C ．D ．5. 已知 10274sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα , 2572cos =α, 则=αsin （ ） A ．53 B ． 53- C ． 54 D ． 54- 6．已知函数()f x 在区间[)0+∞，上是增函数，且()()g x f x =-.若()()lg 1g x g >，则x 的取值范围是（ ） A ．[)110， B. 110⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．11010⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．()111010⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦，， 7．将函数2sin sin 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数 恰为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）A ．6πB ． 12πC ． 4πD ．3π 8. 设ABC ∆是边长为1的等边三角形，M 为ABC ∆所在平面内一点，且CA MC MB MA =++λ2,则当•取最小值时，λ的值为（ ）A ．31 B. 21 C.2 D.3 二、填空题（本题共6题，每小题5分，共30分） 9．61⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含2x 项的系数是________. 10.ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若ABC ∆的面积为4222c b a -+，则=C ________. 11. 某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有________种.12．如图，在等边三角形ABC 中，2=AB ，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动点，则•的最小值是________.13.若函数()x x x x f ωωπω2cos 24sin sin 42+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅= ()0>ω在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，则ω的取值范围是________.14.已知R a ∈,函数()⎩⎨⎧>-+-≤-++=0,220,2222x a x x x a x x x f ，若对任意[)+∞-∈,3x ，()x x f ≤恒成立，则a 的取值范围________.三、解答题（本题共6题，共80分）15．（13分）已知函数()()22sin cos 2sin f x x x x =+-.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 的单调增区间；(3)若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 求函数的值域.16．（13分）随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.天津某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为11,42；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过三小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()E ξ．17．（13分）已知函数()1x f x e x =--.（1）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）若存在041,ln3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，满足10x a e x -++<成立，求a 的取值范围．18．（13分）在锐角ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足()()()C b c B A b a sin sin sin -=+-,3=a .（1）求角A 的值；（2）求ABC △周长的取值范围.19．（14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n N +=-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ;（3）记32(1)(0)n n n n c a λλ=-⋅-≠.是否存在实数λ，使得对任意的*n N ∈，恒有1n n c c +>？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由.20．（14分）已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-.（1）判断曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与曲线()y g x =的公共点个数；（2）若函数()()y f x g x =-有且仅有一个零点，求a 的值；（3）若函数()()yf xg x 有两个极值点12,x x ，且21ln 2x x ->，求a 的取值范围.2021届高三年级第一学期第一次月考数学答案1-8 BCBD ACBA9. 15 10. 4π11. 12012. -3 13. ⎥⎦⎤⎝⎛43,0π 14. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,8115（1）由题得1cos2()1sin 22sin 2cos2)24xf x x x x x π-=+-⋅=+=+，---2 所以函数的最小正周期为2=2ππ.-----------------------------------------------------------------------3（2）令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈, 所以3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 所以函数的单调增区间为3[],88k k k Z ππππ-+∈，.==========================8（3）50,02,2,2444x x x πππππ≤≤∴≤≤∴≤+≤sin(2)1,1)244x x ππ≤+≤∴-≤+≤所以函数的值域为[-.------------------------------------------------------------------------------------------------------1316(Ⅰ)甲、乙两人所付费用相同，即为2，4，6元，都付2元的概率为1111 428p=⨯=，-------------------------------------------------------------------1都付4元的概率为2111 248p=⨯=，-------------------------------------------------------------------2都付6元的概率为3111 4416p=⨯=，------------------------------------------------------------------3 ∴甲、乙两人所付租车费用相同的概率：1231115 881616p p p p=++=++=．-----------------------------------------------------------------4(Ⅱ)依题意，ξ的可能取值为4，6，8，10，12，----------------------------------------------------5 ()148Pξ==，()111156442216Pξ==⨯+⨯=()1111115844242416Pξ==⨯+⨯+⨯=，，-()1111310442416Pξ==⨯+⨯=，()111124416Pξ==⨯=，-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------11ξ∴的分布列为：-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1317.（1）()1x f x e '=-，()12f e =------------------------------------------------------------------2()f x ∴在()()1,1f 处的切线方程为：()()211y e e x -+=--，即()11y e x =--；------5（2）1x a e x <--，即()a f x <，令()10x f x e '=-=，得0x =.0x 时， ()0f x '>，0x <时，()0f x '<.()f x ∴在(),0-∞上减，在()0,∞+上增，------------------------------------=-----------9 又041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x ∴的最大值在区间端点处取到.()11111f e e --=-+= 444ln 1ln 333f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()41441141ln 1ln ln 033333f f e e ⎛⎫--=-++=-+> ⎪⎝⎭，-------------------------------12()41ln 3f f ⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭，()f x ∴在41,ln 3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最大值为1e ，故a 的取值范围是：1a e<.-------------------------------------------------13 18(1) ()c b c b a ⋅-=-22bc c b a -=-222bc c b a -+=22221cos =∴A 3π=∴A ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5 (2) (](]33,3332,31,216sin 26232020)6sin(32sin 2)3sin(2sin 2sin 22sin 2+∈∴∈+∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴<<∴⎪⎩⎪⎨⎧<-<<<+=++=+=+==l c b C C C C C C C CB c b Aa R ππππππππ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------1319（Ⅰ）当1n =时，1121a a =-，即11a =---------------------------------------1当2n 时，1121n n S a --=------------------------------------------------------------2 1122n n n n n a S S a a ，即12nn a a -=∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列-故12n n a ------------------------------------------------------------------------------3 （Ⅱ）由（Ⅰ）12-⋅==n n n n na b 可得12102......232221-⋅++⋅+⋅+⋅=n n n Tn n n T 2......2322212321⋅++⋅+⋅+⋅=两式相减得n n n n T 22 (222121)0⋅-++++=--=()121+⋅-=n n n T -------------------------------------------------------------------8 （Ⅲ）32(1)3(1=)2n n nn nn n c a λλ=-⋅---⋅01>-+n n c c即()()0232311>-+---++λλn n n n()()()022232>-+-⋅--⋅λλn n n即()2321⋅->--n n λ----------------------------------------------------10当n 为偶数时，2321⋅->-n n λ， 则*-∈∀⎪⎭⎫ ⎝⎛->N n n ,231λ32λ∴>--------------------------------------------------------------------------12 当n 为奇数时，2321⋅->--n n λ*-∈∀⎪⎭⎫⎝⎛<N n n ,231λ1<∴λ- 综上：312λ-<<--------------------------------------------------------------------------1420（I ）由()=ln f x x x ，得()1f x lnx '=+，f ∴'（1）1=，又f （1）0=，∴曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为1y x =-，代入22y x ax =-+-，得2(1)10x a x +-+=，∴当1a <-或3a >时，△2(1)40a =-->，有两个公共点；当1a =-或3a =时，△2(1)40a =--=，有一个公共点；当13a 时，△2(1)40a =--<，没有公共点．-----------------------------------4 （II ）2()()2y f x g x x ax xlnx =-=-++，由0y =，得2a x lnx x =++， 令2()h x x lnx x =++，⇒2(1)(2)()x x h x x -+'=，11 ()h x ∴在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，因此，()min h x h =（1）33a =⇒=．---------------------------------------------------------5 （III ）2()()2y f x g x x ax xlnx =+=-+-+， 令2()2t x x ax xlnx =-+-+， ()21t x x a lnx ∴'=-+++，即21a x lnx =--有两个不同的根1x ，2x ， 令21()21()x x x lnx x xλλ-=--⇒='⇒1()()22min x ln λλ==， 且当2a ln >时，21()x x -随a 的增大而增大；当212x x ln -=时，11212221421a x lnx x x a x lnx =--⎧⇒=⎨=--⎩， ∴12242,33ln ln x x ==， 此时2221()33ln ln a ln =--． 即212x x ln ->时，2221()33ln ln a ln >--．---------------------------------------------------------------------------------14。
天津市杨村第一中学2023届高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析
， ，
，
，
函数的表达式为 ；
（2）由题意，水深 ，
即 ，
，
， ， ，1，
， 或 ， ；
所以，该船在 至 或 至 能安全进港
【小问1详解】
解：因为函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ，
所以当 时，函数 取得最小值 ，
当 时，函数 取得最大值 ，
所以 ；
【小问2详解】
解：函数 的图象向左平移 个单位后，
得到函数 ，
因为 为偶函数，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 .
18、（1）奇函数（2）单调增函数，证明见解析
由复合函数的单调性规律可得 在 上是单减单减函数.
（ii）由 ，
所以 的解为
从而不等式 的解为
，即
即 ，整理可得
即 ，解得 或 ，所以 或
所以原不等式的解集为
20、（1） ；
（2）① ；② .
【解析】（1）由图象得A、B、 ，再代入点 ，求解可得函数的解析式；
（2）①由已知得 ，由 求得 ，继而求得函数 的值域；
所以f(x)的一个表达式可以是 （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意可得 ，从而可求得 ，再根据正弦函数的性质结合整体思想即可得出答案；
（2）求出平移后的函数 的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性即可得出答案.
17．已知函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 .
2021学年天津某校高一(上)第一次月考数学试卷(有答案)
2021学年天津某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题4分，共32分）1. 已知全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2}，B={2, 3}，则(∁U A)∪B=()A.{3}B.{4, 5}C.{1, 2, 3}D.{2, 3, 4, 5}2. 已知集合A={x|x>1}，B={x|x2−2x<0}，则A∪B=()A.{x|x>0}B.{x|x>1}C.{x|1<x<2}D.{x|0<x<2}3. 已知集合A={x|0<x<1}，B={x|0<x<c}，若A∪B=B，则实数c的取值范围是()A.[1, +∞)B.(0, 1]C.(0，1D.(1, +∞)4. 设集合A={x|x>a}，集合B={x|x2−2x−15<0}，若B∩(∁R A)≠⌀，则实数a 的取值范围是（）A.a≤−3B.a>−3C.−3<a<5D.a≥55. 集合A={x|y=√2−x, x∈R}，B={y|y=x2+1, x∈R}，则A∩B=()A.⌀B.{x|1≤x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|x≥2}6. 函数y=√2−x+√x的定义域为()A.{x|x≤2}B.{x|x≥0}C.{x|x≤0或x≥2}D.{x|0≤x≤2}7. 函数y=−x2+2在[−1, 3]上的最大值和最小值分别是()A.2，1B.2，−7C.2，−1D.−1，−78. 已知偶函数f(x)满足f(−1)=0，且在区间[0, +∞)上单调递增．不等式f(2x−1)< 0的解集为()A.[12, 1) B.(0, 1) C.(−∞, 1) D.(0, 12)二、填空题（每小题4分，共32分）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x>0}，则A∩B=________．函数f(x)=√3−x2x−1的定义域是________．集合A={x2, x−1, −2}，B={x−2, 2x−1, x2+1}，若A∩B={−2}，则实数x=________．已知f(x)={x+5(x>1)，2x2+1(x≤1)则f[f(1)]=________．已知A={x|x<−1或x>5}，B={x|a≤x<a+4}，若A⊋B，则实数a的取值范围是________．若函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在(−∞, 4)上是减函数，则实数a的取值范围是________．已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1，若g(x)=f(x)+2，则g(−1)=________．若f(x)是奇函数，且在区间(−∞, 0)上是单调增函数，又f(2)=0，则xf(x)<0的解集为________．三、解答题（每小题14分，共56分）集合A={x|ax−1=0}，B={1, 2}，且A∪B=B，求实数a的值．已知y=f(x)在定义域(−1, 1)上是减函数，且f(1−a)<f(3a−1)，求实数a的取值范围．证明：函数f(x)=2x+92x 在(0,32)上是单调减函数．已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1, 1)上的奇函数，且f(12)=25．(1)求函数f(x)的解析式；(2)用单调性的定义证明f(x)在(−1, 1)上是增函数；(3)解不等式f(t2−1)+f(t)<0．参考答案与试题解析2021学年天津某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题4分，共32分）1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2}，∴∁U A={3, 4, 5}，∵B={2, 3}，则(∁U A)∪B={2, 3, 4, 5}．故选D.2.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】根据不等式的解法，B={x|0<x<2}，然后根据并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可．【解答】解：根据不等式的解法，易得B={x|0<x<2}，又有A={x|x>1}，则A∪B={x|x>0}．故选A.3.【答案】A【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】将条件A∪B=B，转化为A⊆B，然后利用集合关系求实数c的取值范围即可．【解答】解：若A∪B=B，则A⊆B，∵A={x|0<x<1}，B={x|0<x<c}，∴c≥1．故选A．4.B【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】先化简集合B ，然后利用B ∩(∁R A)≠⌀，求实数a 的取值范围．【解答】解：集合B ={x|x 2−2x −15<0}={x|−3<x <5}，∴ ∁U A ={x|x ≤a}，要使B ∩(∁R A)≠⌀，则a >−3．故选B ．5.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求出集合A 中函数的定义域确定出集合A ，求出集合B 中函数的值域确定出集合B ，求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合A 中的函数y =√2−x ，得到x ≤2，所以集合A ={x|x ≤2}；由集合B 中的函数y =x 2+1≥1，得到集合B =[1, +∞)，则A ∩B ={x|1≤x ≤2}．故选B ．6.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】由两个给是内部的代数式大于等于0联立不等式组求解x 的取值范围即可得到答案．【解答】解：由{2−x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤2， ∴ 函数y =√2−x +√x 的定义域为{x|0≤x ≤2}．故选D ．7.【答案】B【考点】二次函数在闭区间上的最值【解析】由题意可得函数在[−1, 0]上单调递增，在[0, 3]上单调递减，由对称性可得答案．解：由题意可得函数y=−x2+2的图象为开口向下的抛物线，且对称轴为直线x=0，故函数在[−1, 0]上单调递增，在[0, 3]上单调递减，由对称性可知当x=0时，函数取最大值2，当x=3时，函数取最小值−32+2=−7，故函数的最大值和最小值分别是2，−7.故选B.8.【答案】B【考点】其他不等式的解法函数单调性的性质【解析】由偶函数的性质可得f(|2x−1|)<f(1)，根据单调性可去掉符号“f”，转化为具体不等式．【解答】解：因为偶函数f(x)在区间[0, +∞)上是增函数，且f(−1)=0，所以f(2x−1)<0可化为f(|2x−1|)<f(1)，则有|2x−1|<1，解得x的取值范围是(0, 1).故选B．二、填空题（每小题4分，共32分）【答案】{x|0<x≤1}【考点】交集及其运算【解析】由A与B求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x>0}，∴A∩B={x|0<x≤1}．故答案为：{x|0<x≤1}【答案】[−√3, 1)∪(1, √3]【考点】函数的定义域及其求法【解析】要使函数有意义只需3−x2≥0且x−1≠0，解之即可得．【解答】解：要使函数有意义只需3−x2≥0且x−1≠0，解得−√3≤x≤√3且x≠1，故函数的定义域为[−√3，1)∪(1,√3].故答案为：[−√3，1)∪(1,√3]．【答案】1−子集与交集、并集运算的转换【解析】根据集合交集的定义与集合中元素的互异性，判定x满足的条件，求出即可．【解答】解：∵A∩B={−2}，A={x2, x−1, −2}，B={x−2, 2x−1, x2+1}，∴x−2=−2或2x−1=−2解得x=0或x=−12当x=0时，集合A={0, −1, −2}B={−2, −1, 1} A∩B={−1, −2}，不符合题意故答案为：−12【答案】8【考点】函数的求值【解析】先求f(1)的值，判断出将1代入解析式2x2+1；再求f(3)，判断出将3代入解析式x+5即可．【解答】解：∵f(1)=2+1=3,∴f[f(1)]=f(3)=3+5=8.故答案为：8.【答案】a≤−5或a>5【考点】子集与真子集【解析】集合A是两部分组成，集合B是集合A的真子集分两种情况，一种在左边则有a+4≤−1；一种在右边则有a>5．【解答】解：∵A={x|x<−1或x>5}，B={x|a≤x<a+4}，若A⊋B∴a+4≤−1或a>5解得a≤−5或a>5故答案为：a≤−5或a>5【答案】a≤−3【考点】二次函数的性质【解析】利用二次函数的对称轴公式求出二次函数的对称轴，据对称轴与单调区间的关系，令1−a≥4求出a的范围．【解答】解：二次函数的对称轴为：x=1−a∵函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在(−∞, 4)上是减函数∴1−a≥4故答案为：a≤−3．【答案】−1【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】由题意，可先由函数是奇函数求出f(−1)=−3，再将其代入g(−1)求值即可得到答案【解答】解：由题意，y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1，所以f(1)+1+f(−1)+(−1)2=0，解得f(−1)=−3.所以g(−1)=f(−1)+2=−3+2=−1.故答案为：−1．【答案】(−2, 0)∪(0, 2)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】本题解不等式需要根据题设所给的函数的性质及图象特征确定出函数的图象，然后根据函数的图象性质求解不等式，由于本题是一个奇函数且在区间(−∞, 0)上是单调增函数，又f(2)=0，可以得出函数的图象特征．由图象特征求解本题中的不等式的解集即可．【解答】解：∵f(x)是奇函数，且在区间(−∞, 0)上是单调增函数，又f(2)=0，∴f(−2)=0，且当x<−2与0<x<2时，函数图象在x轴下方，当x>2与−2<x<0时函数图象在x轴上方∴xf(x)<0的解集为(−2, 0)∪(0, 2)故答案为：(−2, 0)∪(0, 2)三、解答题（每小题14分，共56分）【答案】解：∵A∪B=B，∴A⊆B.由A={x|ax−1=0}，B={1, 2}，分两种情况考虑：若A≠⌀，可得1∈A或2∈A，将x=1代入ax−1=0，得：a=1，将x=2代入ax−1=0，得：a=1；2若A=⌀，a=0，．则实数a的值为0或1或12【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】由A与B的并集为B，得到A为B的子集，根据A与B分两种情况考虑：当A不为空集时，得到元素1属于A或2属于A，代入A中方程即可求出a的值；当A为空集时求出a=0，综上，得到所有满足题意a 的值．【解答】解：∵ A ∪B =B ，∴ A ⊆B .由A ={x|ax −1=0}，B ={1, 2}，分两种情况考虑：若A ≠⌀，可得1∈A 或2∈A ，将x =1代入ax −1=0，得：a =1，将x =2代入ax −1=0，得：a =12；若A =⌀，a =0，则实数a 的值为0或1或12．【答案】解：∵ y =f(x)在定义域(−1, 1)上是减函数，且f(1−a)<f(3a −1)，∴ −1<3a −1<1−a <1.解得0<a <12. 故满足条件的实数a 的取值范围为(0, 12).【考点】函数单调性的性质【解析】根据已知中y =f(x)在定义域(−1, 1)上是减函数，且f(1−a)<f(3a −1)，可构造关于a 的不等式组−1<3a −1<1−a <1，解不等式组，可得答案．【解答】解：∵ y =f(x)在定义域(−1, 1)上是减函数，且f(1−a)<f(3a −1)，∴ −1<3a −1<1−a <1.解得0<a <12.故满足条件的实数a 的取值范围为(0, 12). 【答案】解：求导数可得f′(x)=2−92x 2， 当x ∈(0,32)时，2x 2∈(0, 92)， 故92x 2∈(2, +∞)，可得−92x 2∈(−∞, −2)， 故f′(x)=2−92x 2∈(−∞, 0)，故可得函数f(x)=2x +92x 在(0,32)上是单调减函数【考点】利用导数研究函数的单调性函数单调性的判断与证明求导数可得f′(x)=2−92x 2，由已知x 的范围可得f′(x)=2−92x 2<0，可判单调性． 【解答】解：求导数可得f′(x)=2−92x 2， 当x ∈(0,32)时，2x 2∈(0, 92)，故92x 2∈(2, +∞)，可得−92x 2∈(−∞, −2)，故f′(x)=2−92x 2∈(−∞, 0)，故可得函数f(x)=2x +92x 在(0,32)上是单调减函数【答案】解：(1)∵ 函数f(x)=ax+b1+x 2是定义在(−1, 1)上的奇函数，∴ 由f(0)=0，得b =0．又∵ f(12)=25，∴ 12a 1+14=25， 解得，a =1；因此函数f(x)的解析式为：f(x)=x 1+x 2；(2)设−1<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22),∵ −1<x 1<x 2<1，∴ x 1−x 2<0，1−x 1x 2>0，1+x 12>0，1+x 22>0，从而f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2).所以f(x)在(−1, 1)上是增函数;(3)∵ f(x)是奇函数，∴ f(t 2−1)+f(t)<0即为f(t 2−1)<−f(t)=f(−t)，又∵ f(x)在(−1, 1)上是增函数，∴ f(t 2−1)<f(−t)即为t 2−1<−t ，解得：−1−√52<t <−1+√52，①又∵ {−1<t 2−1<1，−1<t <1，解得，−1<t <1且t ≠0，②对照①②，可得t 的范围是：(−1,0)∪(0,−1+√52)． 所以，原不等式的解集为(−1,0)∪(0,−1+√52)．一元二次不等式的解法奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】（1）函数是定义在(−1, 1)上的奇函数，可得f(0)=0，再结合f(12)=25联解，可得a 、b 的值，从而得到函数f(x)的解析式．（2）设−1<x 1<x 2<1，将f(x 1)与f(x 2)作差、因式分解，经过讨论可得f(x 1)<f(x 2)，由定义知f(x)是(−1, 1)上的增函数．（3）根据f(x)是奇函数且在(−1, 1)上是增函数，得原不等式可化为t 2−1<−t …①，再根据函数的定义域得−1<t 2−1<1且−1<t <1…②，联解①②可得原不等式的解集．【解答】解：(1)∵ 函数f(x)=ax+b1+x 2是定义在(−1, 1)上的奇函数，∴ 由f(0)=0，得b =0．又∵ f(12)=25，∴ 12a 1+14=25， 解得，a =1；因此函数f(x)的解析式为：f(x)=x 1+x 2； (2)设−1<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22),∵ −1<x 1<x 2<1，∴ x 1−x 2<0，1−x 1x 2>0，1+x 12>0，1+x 22>0，从而f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2).所以f(x)在(−1, 1)上是增函数;(3)∵ f(x)是奇函数，∴ f(t 2−1)+f(t)<0即为f(t 2−1)<−f(t)=f(−t)，又∵ f(x)在(−1, 1)上是增函数，∴ f(t 2−1)<f(−t)即为t 2−1<−t ，解得：−1−√52<t <−1+√52，①又∵ {−1<t 2−1<1，−1<t <1，解得，−1<t <1且t ≠0，②对照①②，可得t 的范围是：(−1,0)∪(0,−1+√52)．)．所以，原不等式的解集为(−1,0)∪(0,−1+√52试卷第11页，总11页。
天津市杨村第一中学等2020-2021学年高一上学期七校联考期中考试化学试题
2020～2021学年度第一学期期中七校联考高一化学相对原子质量：H:1 C:12 N:14 O:16 Na:23一、选择题（本题共20小题，每题3分，共60分）1．分类是学习化学的重要方法，下列归纳正确的是A．纯碱、CO2、BaSO4分别属于碱、酸性氧化物、盐B．在水溶液中电离出H+的物质一定是酸C．CaO、K2O、Na2O2都是碱性氧化物D．碱性氧化物都是金属氧化物2．下列说法正确的是A．Al2O3固体不导电且难溶于水,它在水溶液中不导电,所以Al2O3不是电解质B．Na2SO4溶液导电,所以Na2SO4溶液是电解质C．CaO的水溶液可以导电,所以CaO是电解质D．CH3COOH的水溶液能导电，所以冰醋酸是电解质。
3．KOH是我国古代纺织业常用作漂洗的洗涤剂。
古代制取KOH的流程如下：上述流程中没有涉及的化学反应类型是A．化合反应B．分解反应C．氧化还原反应D．离子反应4．下列溶液中Cl－的物质的量浓度最大的是A．300 mL 3.5 mol/L KCl溶液B．1000 mL 2.5 mol/L NaCl溶液C．200 mL 2 mol/L MgCl2溶液D．300 mL6 mol/L KClO3溶液5．下列叙述中正确的是A．含最高价元素的化合物，一定具有强氧化性B．氧化剂在同一反应中既可以是反应物，也可以是生成物C．失电子多的还原剂，还原性就强D．金属元素从化合态变为游离态，该元素一定被还原6．下列反应中Cl2既表现氧化性又表现还原性的是A．Cl2 + 2NaOH = NaCl +NaClO +H2OB．H2 +Cl22HClC．Cu +Cl2CuCl2D．2KMnO4 + 16HCl(浓) = 2KCl+2 MnCl2 +5 Cl2↑+ 8H2O7．侯德榜是我国杰出的化学家，发明的联合制碱法的一步重要反应NaCl+H2O+NH3+CO2 ==NaHCO3↓+NH4Cl，下列说法不正确的是A．该条件下NaHCO3溶解度较小B．向饱和食盐水中先通入NH3再通入CO2C．该方法最终制得的是纯碱D．析出NaHCO3后的母液中只含NH4Cl8．在密闭容器中，加热等物质的量的NaHCO3和Na2O2的固体混合物，充分反应后，容器中固体剩余物是A ．Na 2CO 3B ．Na 2CO 3和NaOHC ．NaOH 和Na 2O 2D ．NaOH 、Na 2O 2和Na 2CO 39．0.1mol/L 的Na 2SO 3溶液30mL ，被2×10— 3mol 的XO 4－离子氧化为SO 42-后,元素X 在还原产物中的化合价是 A ．+1B ．+2C ．+3D ．+410．25℃时，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A ．pH 1=的溶液中：Na +、K +、4MnO -、2-3COB ．0.11mol L -⋅43NH HCO 溶液中：K +、Na +、3NO -、Cl -C ．使酚酞变红的溶液中：2Mg +、2Cu +、24SO -、3NO -D ．使紫色石蕊变蓝的溶液中：2Fe +、4NH +、Cl -、24SO -11．已知反应：℃Cl 2+2KBr=2KCl+Br 2，℃KClO 3+6HCl=3Cl 2+KCl+3H 2O ，℃2KBrO 3+Cl 2=Br 2+2KClO 3，下列说法正确的是 A ．上述三个反应都有单质生成，所以都是置换反应 B ．氧化性由强到弱顺序为 KBrO 3>KClO 3>Cl 2>Br 2 C ．反应℃中氧化剂与还原剂的物质的量之比为1:6D ．℃中 lmol 还原剂反应则氧化剂得到电子的物质的量为 2mol 12．下列实验操作可以达到目的的是A．A B．B C．C D．D13．下列各组的两种物质在溶液中的反应，可用同一离子方程式表示的是A．氢氧化钠溶液与盐酸；氢氧化钾溶液与碳酸B．BaCl2溶液与Na2SO4溶液；Ba(OH)2溶液与H2SO4溶液C．NaHCO3溶液与KHSO4溶液；Ca(HCO3)2溶液与过量HCl 溶液D．氧化钠与稀盐酸混合；氧化铜与稀盐酸14．下列说法正确的有（1）物质的量就是1mol物质的质量（2）1molH2O中含有2mol氢和1mol氧（3）标准状况下，22.4L O2、N2和CO的混合气体中含有2N A个原子（4）7.8g Na2O2中含有的阴离子数为0.1N A（5）过氧化氢分解制得标准状况下1.12L O2，转移电子数为0.2 N A（6）31g Na2O 溶于水，配成1L溶液，c(Na2O)=0.5mol/L（7）1L 0.1mol/L NH4NO3溶液中含氧原子数目为0.3 N A（8）常温常压下，8g O2含有4 N A 个电子A．6个B．5个C．4个D．3个15．下列叙述正确的是℃Cl－和Cl2的性质相同℃ClO－具有氧化性℃Cl－比Cl多一个电子℃盐酸兼有酸性、氧化性、还原性℃Cl－具有酸性℃Cl2的氧化性比MnO2强℃Cl2只有氧化性而没有还原性A．℃℃℃℃B．℃℃℃℃C．℃℃℃D．℃℃℃℃16．水热法制备纳米颗粒Y(化合物)的反应为3Fe2+ + 2S2O32-+ O2 + a OH－== Y+S4O62-+2H2O。
2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题 (I)
2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题 (I)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}1,2,3,4,0,1,2,3,M N ==则（ ）.A M N ⊆ .B N M ⊆ {}.1,2,3C MN = {}.1,2,3D M N =2.函数的定义域是 （ ）A.B.C.D.3．下列函数中，在R 上单调递增的是（ ）.3x A y = 13.log B y x = 1.C y x =- 2.(1)D y x =+4．函数的零点所在的区间是 （ ）A.B.C.D.5．在同一直角坐标系中，当1a >时，函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭和log a y x =的大致图像（ ）y xyxyxyxDCBA1O1O1O1O11116．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 ( )A.圆柱B. 圆台C.圆锥D. 棱台俯视图侧视图正视图7. 直线320x y -+=的倾斜角的大小为 （ ）A.B.C.D.8. 已知球的直径是4cm ，则它的表面积是（ ）（单位：2cm ）16.3A π 32.3B π.8C π .16D π9.圆心在轴上，并且过点和的圆的方程为 ( )A. B. C.D.10．已知直线b a ,与平面γβα,,，下列条件中能推出βα//的是（ ） A ．ββαα//,//,,b a b a ⊂⊂ B ．γβγα⊥⊥且C ．b a b a //,,βα⊂⊂D ．βα⊥⊥a a 且11. 若直线x+2y+1=0与直线ax+y ﹣2=0互相垂直，那么a 的值等于（ ） A ．﹣2 B ．﹣． C.﹣D ．112．圆221:4C x y +=和222:(3)(4)49C x y -++=的位置关系是（ ）.A 相交 .B 相离 .C 内切 .D 外切二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知幂函数αx y =的图象过点)2,2(，这个函数的表达式为______.14. 已知函数，则（ ）15．直线:0l x y k ++=与圆：2)1()2(22=++-y x 相切，则k 的值为_____________. 16. 直线02=--y mx 与直线012=-+y x 平行，则m 的值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知全集U=R ，集合A={x | x+1≥1且x ﹣3≤0}，B={x| a≤ x ≤ a+2，a ∈R}． （1）当a = 1时，求A∩B；（2）当集合A ，B 满足A B ⊆时，求实数a 取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数)1(log )1(log )(x x x f a a --+=其中(01)a a >≠且． （1）求函数)(x f 的定义域； （2）判断)(x f 的奇偶性，并说明理由；19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （5，﹣1）， B （7，3），C （2，8）． （1）求直线AB 的方程；（2）求AB 边上高所在的直线l 的方程；20. （本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，,AB AD =点P 为的1DD 中点. (1) 若12,6,AB DD ==求三棱锥的体P ACD V -; (2) 求证：1//BD PAC 直线面; (3) 求证：1PAC BDD ⊥平面平面.P DAA 1BCC 1D 1B 121. （本小题满分12分）有一个几何体的三视图如下图所示，主视图（正视图）和左视图（侧视图）均为边长为3的等边三角形，俯视图是边长为3的正方形，求这个几何体的表面积和体积.22．（本小题满分12分）已知圆C经过点A（2，﹣1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x上．（1）求圆C的方程；（2）已知斜率为k的直线m过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线m的方程．高一年级数学试题答案1-12:CDACDB BDADAC13:x y = 14:8 15:-3或1 16：-2三、解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知全集U=R ，集合A={x | x+1≥1且x ﹣3≤0}，B={x| a≤ x ≤ a+2，a ∈R}． （1）当a = 1时，求A∩B；（2）当集合A ，B 满足A B ⊆时，求实数a 取值范围． 解：（1）当a=1时，由题可解得A=[0，3]，B=[1，3]，… A∩B=[1，3]…（2）当集合A ，B 满足A B ⊆时，由得实数a 的取值范围是[0，1] 18．（本小题满分12分）已知函数)1(log )1(log )(x x x f a a --+=其中(01)a a >≠且． （1）求函数)(x f 的定义域； （2）判断)(x f 的奇偶性，并说明理由； 解（1）所以所求定义域为{}11x x -<<. （2）是奇函数.19. （本小题满分12分） 【解答】解：（1）∵K AB ==2，∴直线AB 的方程是：y+1=2（x ﹣5），即2x ﹣y ﹣11=0； （2）∵AB⊥l，∴K AB •K l =﹣1，解得：K l =﹣，∴过C （2，8），斜率是﹣的直线方程是：y ﹣8=﹣（x ﹣2）， 即x+2y ﹣18=0；20. （本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，,AB AD =点P 为的1DD 中点. (1) 若12,6,AB DD ==求三棱锥的体积P ACD V -; (2) 求证：1//BD PAC 直线面; (3) 求证：1PAC BDD ⊥平面平面.P DAA 1C 1D 1B 1证明：（1）若12,6,AB DD ==则3,PD PD ACD =⊥平面，∴11232P ACD V PD AD DC -=⨯⨯⨯⨯=，……3分 （2）设AC 和BD 交于点O ，连接PO ，……4分 ∵,P O 分别是1,DD BD 的中点，∴1//PO BD ，……………………6分又PO AC ⊂平面P ，1BD AC ⊄平面P ，……7分 ∴1//BD PAC 直线面；……………8分（3）在长方体1111ABCD A B C D -中，AB AD =， ∴底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，…………………………………9分 又1DD ABCD AC ABCD ⊥⊂面，面， ∴1DD AC ⊥，又1DD BD D =，…………………………………11分∴1AC BDD ⊥面，又AC AC ⊂面P ，…………………………………13分 ∴1PAC BDD ⊥平面平面.…………………………………14分21.解：该几何体为底边为3、侧面斜高为3的正四棱锥. 故这个几何体的表面积4S S S =+表侧三角形底143333272=⨯⨯⨯+⨯=正四棱锥高为22333322h =-=四棱锥（）故这个几何体的体积为1393333322V =⨯⨯⨯=四棱锥22．已知圆C 经过点A （2，﹣1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x 上． （1）求圆C 的方程；（2）已知斜率为k 的直线m 过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线m 的方程． 解：（1）由题意设圆心的坐标为C （a ，﹣2a ），…（1分） ∵圆C 经过点A （2，﹣1），直线x+y=1相切， ∴=，…（3分）化简得a 2﹣2a+1=0，解得a=1，…（4分） ∴圆心C （1，﹣2），半径r=|AC|==∴圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y+2）2=2 （2）设直线m 的方程为y=kx ，俯视图左视图主视图OPDAA 1BCC 1D 1B 1由题意得解得k=，…（11分）∴直线m的方程为．【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。
天津市武清区杨村第一中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题
①当 时，
②当 时， 的最小值是5
③当 时， 的最小值是2
④设 ， ，且 ，则 的最小值是
13．若不等式 对一切 成立，则 的取值范围是_ _.
14．已知 ， ，则 的取值范围是_________．
15．若关于x的不等式ax＞b的解集为 ，则关于x的不等式ax2＋bx－ a＞0的解集为____.
【点睛】
本题考查了均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，重点考查了运算能力，属中档题.
13．
【详解】
当 ， 时不等式即为 ，对一切 恒成立①
当 时，则须 ，∴ ②
由①②得实数 的取值范围是 ，
故答案为 .
14．
【分析】
把 表示 形式，然后由不等式的性质得结论．
【详解】
因为 ， ， ＝ ，
3．对于实数 ，“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．下列各式中，正确的个数是（）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .
A．1B．2C．3D．4
5．集合 ，集合 之间的关系是（）
A． B． C． D．
6．设集合 ， ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
⑥ ，故⑥错误.
故选：B
【点睛】
本题主要考查元素与集合，集合与集合间的基本关系，属于基础题.
5．D
【分析】
根据集合中的元素即可判断集合之间的关系.
【详解】
集合 ，集合中的元素为直线 上的点，
集合 ，
所以 .
故选：D
【点睛】
本题考查了集合之间的关系，需理解集合中的元素关系，属于基础题.
2020届天津一中高三上学期第一次月考数学试题 PDF版
天津一中2019-2020高三年级一月考数学试卷（理）本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!一、选择题：1．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |12log x ≥﹣1}，则A ∪B ＝（）A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．（0，1）D ．（0，2）2．对一切θ∈R ，3m 2﹣12m ＞sinθcosθ恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．（﹣13，12）B ．（﹣∞，﹣13）∪（12，+∞）C ．（﹣12，13）D ．（﹣∞，﹣12）∪（13，+∞）3．把函数f （x ）＝sin x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6π个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=D ．712x π=4．已知a ＝30.1，b ＝log 32，c ＝cos4，则（）A ．c ＜a ＜bB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a5．若sin （α﹣4π）＝12，则cos （2π+2α）＝（）A ．34-B ．23-C ．﹣12D ．13-天津一中2019-2020高三年级一月考数学试卷6．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若f （2+x ）＝f （﹣x ），f （1）＝3，则f （2018）+f （2019）的值为（）A ．﹣3B ．0C ．3D ．67．用边长为18cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm8．设函数f （x ）＝2(),024,0x xx e e x x x x -⎧-≥⎪⎨---<⎪⎩，若函数g （x ）＝f （x ）﹣ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．（0，2）B ．（0，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）9．已知函数f （x ）＝sin （ωx +θ），其中ω＞0，θ∈（0，2π），其图象关于直线x ＝6π对称，对满足|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2的x 1，x 2，有|x 1﹣x 2|min ＝2π，将函数f （x ）的图象向左平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）的单调递减区间是（）A ．[,62k k ππππ-+]（k ∈Z ）B ．[,2k k πππ+]（k ∈Z ）C ．[5,36k k ππππ++]（k ∈Z ）D ．[7,1212k k ππππ++]（k ∈Z ）二、填空题：10．已知复数z ＝2aii-（a ∈R ）的实部为﹣1，则|z |＝11．已知1sin cos 3αα-=(0)απ<<，则44cos sin αα+的值是．12．已知函数()(1)(,)x f x bx e a a b R =-+∈．若曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为y x =，则a ，b 的值分别为a =，b =．13．已知函数f （x ）＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f （m ）＝f （n ），若f （x ）在[m 2，n ]的最大值为2，则n m＝．14．已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i （i ＝1，2）个球放在甲盒中，放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数ξi （i ＝1，2），则E （ξ1）+E （ξ2）的值为15．已知函数f （x ）＝sin2x ﹣2cos 2x +1，有以下结论：①若f （x 1）＝f （x 2），则x 1﹣x 2＝k π（k ∈Z ）：②f （x ）在区间[﹣78π，﹣34π]上是增函数：③f （x ）的图象与g （x ）＝﹣2cos （2x ﹣23π）图象关于x 轴对称：④设函数h （x ）＝f （x ）﹣2x ，当θ＝12π时，h （θ﹣2）+h （θ）+h （θ+2）＝﹣2π．其中正确的结论为．三、解答题：16．已知02πα<<，5cos()45πα+=．（1）求tan()4πα+的值；（2）求sin(23πα+的值．17．已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0A ，(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：()f x '在区间(0,)π上存在唯一零点；（Ⅲ）设2()2()g x x x a a R =-+∈，若对任意1[0x ∈，]π，均存在2[1x ∈，2]，使得12()()f x g x >，求实数a 的取值范围．18．已知函数2()sin(2sin(22cos 33f x x x x ππωωω=++-+，其中0ω>，且函数()f x 的最小正周期为π（1）求ω的值；（2）求()f x 的单调增区间（3）若函数()()g x f x a =-在区间[4π-，]4π上有两个零点，求实数a 的取值范围．19．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为3，||AB =（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值.20．已知函数()f x lnx =，2()1ag x bx x =+-，(,)a b R ∈（Ⅰ）当1a =-，0b =时，求曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程；（Ⅱ）当0b =时，若对任意的[1x ∈，2]，()()0f x g x + 恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当0a =，0b >时，若方程()()f x g x =有两个不同的实数解1x ，212()x x x <，求证：122x x +>．一．选择题（共9小题）1．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|log x≥﹣1}＝{x|0＜x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．故选：B．2．【解答】解：对一切θ∈R，3m2﹣m＞sinθcosθ恒成立，转化为：3m2﹣m＞sinθcosθ的最大值，又θ∈R知sinθcosθ∈[﹣，]，sinθcosθ的最大值为；所以3m2﹣m＞；可得m＜﹣或m＞．故选：B．3．【解答】解：函数f（x）＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y＝sin2x，再把所得曲线向右平移个单位长度，可得y＝sin2（x）＝sin（2x﹣）由对称轴方程2x﹣＝，k∈Z当k＝﹣1时，可得一条对称轴x＝4．【解答】解：∵30.1＞30＝1，0＝log31＜log32＜log33＝1，，cos4＜0；∴c＜b＜a．故选：C．5．【解答】解：∵sin（α﹣）＝，则cos（+2α）＝﹣cos[π﹣（+2α）]＝﹣cos（﹣2α）＝﹣cos（2α﹣）＝﹣1+2＝﹣1+2×＝﹣，故选：C．6．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），又f（2+x）＝f（﹣x），∴f（2+x）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，∴f（2018）+f（2019）＝f（4×504+2）+f（4×504+3）＝f（2）+f（3），又f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3，∴f（2018）+f（2019）＝﹣3．故选：A．7．【解答】解：设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3，由题意得，V＝x（18﹣2x）2（0＜x＜9），V′＝12（3﹣x）（9﹣x），令V′＝0，则在（0，9）内有x＝3．故当x＝3时，V有最大值；故选：C．8．【解答】解：由y＝f（x）﹣ax恰有两个零点，而当x＝0时，y＝f（0）﹣0＝0，即x＝0是函数的一个零点，故当x≠0时，必有一个零点，即函数与函数y＝a必有一个交点，作出函数h（x）图象如下所示，由图可知，要使函数h（x）与函数y＝a有一个交点，只需0＜a＜2即可．故实数a的取值范围是（0，2）．故选：A．9．【解答】解：已知函数f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，0∈（0，），其图象关于直线x＝对称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝＝•，∴ω＝2．再根据其图象关于直线x＝对称，可得2×+φ＝kπ+，k∈Z．∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（2x++）＝cos2x的图象．令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，则函数g（x）的单调递减区间是[kπ，kπ+]，k∈Z，故选：B．二．填空题（共6小题）10．【解答】解：∵z＝＝，∴，即a＝5．∴z＝﹣1+2i，则|z|＝．故答案为：．11．【解答】解：把sinα+cosα＝，两边平方得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝﹣，则sinαcosα＝﹣，则cos 4α+sin 4α＝（sin 2α+cos 2α）2﹣2sin 2αcos 2α＝1﹣2（）2＝．故答案为：．12．【解答】解：()(1)x f x bx e a =-+得()(1)x f x e bx b '=+-，曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为y x =．(0)1f '=，(0)0f =，即11b -=，10a -+=，解得1a =，2b =，故答案为：1，2．13．【解答】解：∵f （x ）＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f （m ）＝f （n ），∴﹣log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1．∵f （x ）在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f （x ）在[m 2，1）上是减函数，在（1，n ]上是增函数，∴﹣log 3m 2＝2，或log 3n ＝2．若﹣log 3m 2＝2是最大值，得m ＝，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意条件．那么：同理：若log 3n ＝2是最大值，得n ＝9，则m ＝，此时﹣log 3m 2＝4，不满足题意条件．综合可得m＝，n＝3，故，故答案为9．14．【解答】解：甲盒中含有红球的个数ξ1的取值为1，2，则P（ξ1＝1）＝，P（ξ1＝2）＝．则E（ξ1）＝；甲盒中含有红球的个数ξ2的取值为1，2，3，则P（ξ2＝1）＝＝，P（ξ2＝2）＝＝，P（ξ2＝3）＝＝．则E（ξ2）＝．∴E（ξ1）+E（ξ2）＝．故答案为：．15．【解答】解：函数化简可得f（x）＝sin2x﹣2cos2x+1＝2sin（2x﹣），对于①：若f（x1）＝f（x2），可知x1，x2关于对称轴是对称的，即x1+x2＝，∴①不对；对于②：令2x﹣，可得；∴f（x）在区间[﹣，﹣]上是增函数：②正确；对于③：f （x ）的图象关于x 轴对称，可得y ＝﹣2sin （2x ﹣）＝﹣2cos （2x﹣）；∴③对；对于④：设函数h （x ）＝f （x ）﹣2x ＝2sin （2x ﹣）﹣2x当θ＝时，h （θ﹣2）＝2sin （2（θ﹣2）﹣）﹣2（θ﹣2）＝2sin （2θ﹣4﹣）﹣（2θ﹣4）h （θ）＝2sin （2θ﹣）﹣2θh （θ+2）＝2sin （2θ+4﹣）﹣（2θ+4）∴h （θ﹣2）+h （θ）+h （θ+2）＝﹣．故答案为：②③④三．解答题（共5小题）16．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得，sin()4πα+的值，可得tan()4πα+的值．（2）先求得tan α的值，再利用二倍角公式求得sin 2α、cos 2α的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(23πα+的值．【解答】解：（1）已知02πα<<，cos()45πα+=，25sin()45πα∴+==，sin(4tan(24cos()4παπαπα+∴+==+．（2）tan 1tan()241tan πααα++==- ，1tan 3α∴=，2222sin cos 2tan 3sin 2sin cos tan 15ααααααα∴===++，222222cos sin 1tan 4cos2sin cos tan 15ααααααα--===++，343sin(2)310πα++=．17．【分析】（Ⅰ）求出()f x '，推出(0)0f '=，(0)0f =，然后求解曲线()y f x =在点(0A ，(0))f 处的切线方程．（Ⅱ）设()()g x f x '=，则()cos sin 1g x x x x =+-，()cos g x x x '=．求出函数的导数，得到函数的单调区间，然后转化求解函数的零点．（Ⅲ）由已知，转化为()()min min f x g x >，求出()min g x g =（1）1a =-．设为0x ，且当0(0,)x x ∈时，()0f x '>；当0(x x ∈，)π时，()0f x '<，求出函数的最小值，然后求解a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）()cos sin 1f x x x x '=+-，所以(0)0f '=，(0)0f =，从而曲线()y f x =在点(0A ，(0))f 处的切线方程为0y =．（Ⅱ）设()()g x f x '=，则()cos sin 1g x x x x =+-，()cos g x x x '=．当(0,)2x π∈时，()0g x '>；当(,)2x ππ∈时，()0g x '<，所以()g x 在(0,2π单调递增，在(,)2ππ单调递减．又(0)0,()0,()22g g g ππ=>=-，故()g x 在(0,)π存在唯一零点．所以()f x '在(0,)π存在唯一零点．（Ⅲ）由已知，转化为()()min min f x g x >，且()min g x g =（1）1a =-．由（Ⅱ）知，()f x '在(0,)π只有一个零点，设为0x ，且当0(0,)x x ∈时，()0f x '>；当0(x x ∈，)π时，()0f x '<，所以()f x 在0(0,)x 单调递增，在0(x ，)π单调递减．又(0)0f =，()0f π=，所以当[0x ∈，]π时，()0min f x =．所以01a >-，即1a <，因此，a 的取值范围是(,1)-∞．18．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得())14f x x πω=++，利用三角函数周期公式可求ω的值．（2）由正弦函数的单调性可求()f x 的单调增区间．（3）作出函数()y f x =在[4π-，4π上的图象，从图象可看出(0)()24f f π==，()18f π=+，可求当曲线()y f x =与y a =在[4x π∈-，]4π上有两个交点时，21a < ，即可得解实数a 的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）2()sin(2)sin(22cos 33f x x x x ππωωω=++-+ 11sin 22221cos 222x x x x x ωωωωω=++-++sin 2cos 21x x ωω=++)14x πω=++，3⋯分22T ππω== ，14ω∴=⋯分（2）由222242k x k πππππ-++ ，k Z ∈，6⋯分解得：388k x k ππππ-++ ，k Z ∈，7⋯分可得()f x 的单调增区间为：3[8k ππ-+，]8k ππ+，k Z ∈，8⋯分（3）作出函数()y f x =在[4π-，4π上的图象如右：函数()g x 有两个零点，即方程()0f x a -=有两解，亦即曲线()y f x =与y a =在[4x π∈-，]4π上有两个交点，从图象可看出(0)(24f f π==，()18f π=，所以当曲线()y f x =与y a =在[4x π∈-，]4π上有两个交点时，则21a < ，即实数a 的取值范围是[21)．12⋯分19．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，由已知得∴，，所以，椭圆的方程为．（II ）设点，，由题意，且由的面积是面积的3倍，可得，所以，从而，所以，即．易知直线的方程为，由消去，可得由方程组消去，可得．由，可得，整理得，解得，或．当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．所以，的值为．20．【分析】（Ⅰ）求出()()y f x g x =-的导函数，求出函数在1x =时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；（Ⅱ）对[1x ∀∈，2]，()()0f x g x + 都成立，则对[1x ∀∈，2]，22a x lnx x -+ ，恒成立，构造函数22()(12)h x x lnx x x =-+ ，求出()h x 的最大值可得a 的范围；（Ⅲ）由()()f x g x =，得10lnx bx -+=，构造函数()1(0)F x lnx bx x =-+>，将问题转化为证明112()0()F x F x b ->=，然后构造函数证明1122()()0()F x F x F x b->==即可．【解答】解：（Ⅰ）当1a =-时，0b =时，211y lnx x=++，∴当1x =时，2y =，312y x x '∴=-，∴当1x =时，1y '=-，∴曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程为30x y +-=；（Ⅱ）当0b =时，对[1x ∀∈，2]，()()0f x g x + 都成立，则对[1x ∀∈，2]，22a x lnx x -+ 恒成立，令22()(12)h x x lnx x x =-+ ，则()2h x xlnx x '=-+．令()0h x '=，则x =∴当1x <<，()0h x '>，此时()h x 2x <<时，()0h x '<，此时()h x 单调递减，∴()2max e h x h ==，2e a ∴ ，a ∴的取值范围为[,)2e+∞；（Ⅲ）当0a =，0b >时，由()()f x g x =，得10lnx bx -+=，方程()()f x g x =有两个不同的实数解1x ，212()x x x <，令()1(0)F x lnx bx x =-+>，则12()()0F x F x ==，1()F x b x '=-，令()0F x '=，则1x b=，∴当10x b <<时，()0F x '>，此时()F x 单调递增；当1x b>时，()0F x '<，此时()F x 单调递减，∴1()()0max F x F b =>，01b ∴<<，又1(0bF e e =-<，F （1）10b =->，∴1111x e b <<<，∴121x b b->，∴只要证明212x x b >-，就能得到1222x x b +>>，即只要证明112()0()F x F x b->=，令221()()()()22(0)G x F x F x ln x lnx bx x b b b =--=--+-< ，则212()()02()b x b G x x x b -'=<-，()G x ∴在1(0,b 上单调递减，则1211()((()0G x G F F b b b b >=--=，∴1112()()()0G x F x F x b =-->，∴1122()()0()F x F x F x b ->==，∴212x x b >-，∴1222x x b+>>，即122x x +>，证毕．。