习题八关系的闭包运算
关系的闭包
1 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0
2014-10-14
关系的闭包
28
例8(续4)
解(续4):
b a
c d
1 1 . 1 0
1 1 M (t ( R)) M ( R) M ( R 2 ) M ( R 3 ) 0 0
问题: (1) r( R ) = R ?
(2) s( R ) = R ?
(3) t( R ) = R ?
2014-10-14
关系的闭包
19
定理7.10
定理7.10 : 设 RAA 且 A, 则
r( R ) = RIA; s( R ) = RR-1; t( R ) = RR2R3….
a
2014-10-14
d
关系的闭包
0 1 0 0 1 0 1 0 . M ( s ( R )) 0 1 0 1 0 0 1 0
26
例8(续2)
解(续2):
b a
c dபைடு நூலகம்
1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
关系的闭包
0 1 M (R 2 ) 0 0 0 1 3 M (R ) 0 0
2014-10-14
1 0 0 0 0 1 0 0
0 1 M ( R) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
G( R ) G(s( R ))
关系的闭包 12
关系的闭包运算
关系的闭包运算
关系的闭包运算是关系上的一元运算，它把给出的关系R扩充成一新关系R’，使R’具有一定的性质，且所进行的扩充又是最“节约”的。
比如自反闭包，相当于把关系R对角线上的元素全改成1，其他元素不变，这样得到的R’是自反的，且是改动次数最少的，即是最“节约”的。
一个关系R的闭包，是指加上最小数目的有序偶而形成的具有自反性，对称性或传递性的新的有序偶集，此集就是关系R的闭包。
设R是集合A上的二元关系，R的自反（对称、传递）闭包是满足以下条件的关系R'：
（i）R'是自反的（对称的、传递的）；
（ii）R'⊇R；
（iii）对于A上的任何自反（对称、传递）关系R"，若R"⊇R，则有R"⊇R'。
R的自反、对称、传递闭包分别记为r(R）、s(R) 和t(R）。
性质1
集合A上的二元关系R的闭包运算可以复合，例如：
ts(R)=t(s(R))
表示R的对称闭包的传递闭包，通常简称为R的对称传递闭包。
而tsr(R)则表示R的自反对称传递闭包。
性质2
设R是集合A上的二元关系，则有
（a）如果R是自反的，那么s(R）和t(R）也是自反的；
（b）如果R是对称的，那么r(R）和t(R）也是对称的；
（c）如果R是传递的，那么r(R）也是传递的。
性质3
设R是集合A上的二元关系，则有
（a）rs(R)=sr(R）；
（b）rt(R)=tr(R）；（c）ts(R)⊇ st(R）。
离散数学33.关系的闭包
一、关系的闭包
关系的闭包有3种: 自反闭包, 对称闭包,传递闭包. 1、定义3-8.1 设R是集合X上的二元关系,如果有另一个关系 R满足: 1) R是自反的(对称的,可传递的); 2) RR; 3)对于任何自反的(对称的,可传递的)关系R ,如果R R, 就 有R R ,则称R是R的自反(对称,传递)闭包. 记为r(R),s(R),t(R).
• 所以R是对称的.
• ② R =R∪RcR.
• ③ 设R是对称的，且RR ，要证 R R.
• 任取<a,b>∈R∪Rc<a,b>∈R∨<a,b>∈Rc
• <a,b>∈ R∨<b,a>∈R
• <a,b>∈ R ∨<b,a>∈ R
• <a,b>∈ R ∨<a,b>∈ R <a,b>∈ R
下证 R∪R(2)∪… 是传递的. 事实上，对任意 <x, y>,<y, z>, (<x, y> R∪R (2)∪…)∧(<y, z> R∪R (2) ∪…)
(t) (<x, y>R (t)) ∧ (s)(<y, z>R (s)) (t) (s)(<x, z> R (t) R (s)) (t) (s)(<x, z> R (t+s)) <x, z> R∪R (2)∪… 从而 R∪R (2)∪… 是传递的. 因t(R)是传递闭包， 故t(R) R∪R2∪…. 由以上两方面知, t(R) ＝ R∪R2∪… .
R的自反闭包r(R)-----Reflexive Closure 对称闭包s(R)-----Symmetric Closure 传递闭包t(R)-----Transitive Closure
第3章-8关系的闭包
3.8.1 关系的闭包的概念
关系的闭包运算是关系上的一元运算，是包含
该关系且具有某种性质的最小关系。
定义3.8.1：设
传递 对称
传递 对称
传递 对称
自反闭包是包含R的最小自反关系。
s t
定理3.8.1：设是上的二元关系，那么
（1） R是自反的，当且仅当
（2） R是对称的，当且仅当
(
D. 可传递的
B )
（2) 设ρ 是整数集I上的关系，定义为当且仅当 时， ，则ρ 是 A. 自反的 B. 对称的 C. 反对称的 ( D. 可传递的 A、B )
2. 下图给出了{1,2,3}上三个关系的关系图，试对每一 个图所表示的关系的性质作出判别，并将选中的性质的 代号填入相应的括号内。
若 A. 自反的 B. 对称的 C. 反对称的 D. 可传递 E. 反自反
R
（3） R是传递的，当且仅当
r R R
3.8.2 闭包运算 1. 自反闭包 2. 对称闭包 3. 传递闭包 一定存在着
使得
练习
1. 从下列各题给出的备选答案中选出正确的答案，并将其 代号填入题后面的括号内。
(1)设A={0,1,2,3}，A上的关系
,则ρ是
A. 自反的
B. 对称的
C. 反对称的
则 是（
则 是（ 则 是（
3
2
1
A﹑B A E
）
） ）
3. 设
，A上的关系
对下列求出的闭包判断正确与否，分别将“Y”或“N”
填入后面的括号。
（ （ （
N
）
Y ） N
）
小结: 本节介绍了关系的闭包的概念及其求 法。重点掌握关系的传递闭包的求法。
关系的闭包等价关系
[对称性] 假设( x1,x2)S ( y1,y2), 由S的定义以及R1,R2满足对称性可
知： ( y1,y2)S (x1,x2); S对称。 [传递性] 假设(x1,x2)S ( y1,y2), 且( y1,y2)S ( z1,z2), 则x1R1y1, y1R1z1,
自反闭包的计算公式
r(R) = RIA, IA是集合A上的恒等关系
(证明所给表达式满足自反闭包定义中的三条性质)
1. 对任意 xA, (x,x)IA, 因此, (x,x)RIA 2. RRIA 3. 设 R’ 集合A 上的自反关系，且RR’, 则对 任意 (x,y)RIA, 有(x,y)R, 或者 (x,y)IA。 对两种情况，均有 (x,y)R’, 因此, RIAR’
证明这是等价关系，并给出其商集．
等价关系的一个例子
R1,R2分别是集合X1,X2上的等价关系。定义X1X2上的关系S： (x1,x2)S (y1,y2) 当且仅当 x1R1y1 且 x2R2y2
证明：S是X1X2上的等价关系
[自反性] 对任意(x,y)X1X2, 由R1,R2满足自反性可知， (x,x)R1,
[1]={…, -5, -2, 1, 4, 7, …};
[2]={…, -4, -1, 2, 5, 8, 11, …}
等价类的代表元素
对于等价类[x]R={ y | yA xRy }，x称为这个等价 类的代表元素． 其实，该等价类的每个元素都可以做代表元素： 若xRy，则[x]=[y]
用定义证明有关闭包的性质
证明：st ( R) ts( R)
关系的闭包运算 离散数学
(1)传递闭包的性质
R是传递的，当且仅当 t(R) =R
(2) 构造传递闭包的方法
设R是集合X上的二元关系,则t(R)=
证R∪明R：2∪(1R)3∪∪i∞=1…Ri t(R) 用数学归纳法 1) i=1时，根据传递闭包的定义R t(R)
=
∞
∪
Ri
i=1
2)假设i≥1时，Ri t(R),从而对i+1时， 设<x,y>∈Ri+1 ,∵Ri+1=Ri 。R，则存在某个元 素c，使得<x,c>∈Ri，<c,y>∈R，由归纳假设 有<x,c>∈t(R),<c,y>∈t(R),
S2={<a,c>,<b,d>} S3={<a,d>} S4=, ∴ t(S)=S ∪ S2 ∪ S3
={<a,b>, <a,c>，<a,d>，<b,c>,<b,d>,<c,d>}
闭包的性质
设R1和R2是集合A上的关系且R1 ⊇ R2，则 a）r(R1) ⊇ r(R2) b）s(R1) ⊇ s(R2) b）t(R1) ⊇ t(R2) 定理* 设R是集合X上的二元关系,则
t(R）= R∪R2∪R3∪…∪Rk
分析：只要能够证明出t(R) R∪R2∪R3∪…∪Rk
证明：对x,y∈X，设<x,y>∈t(R)，则必存在最小正整 数k，使得<x,y>∈Rk，现证明k≤n。
若k＞n，则存在结点序列x＝a0,a1,a2 ,… ,ak－1,ak＝y， 使得xRa1 , a1Ra2 ,… ,ak－1Ry。 因为k＞n，则a0,a1,… ,ak中必有相同者， 不妨设ai ＝ aj ,0 ≤i＜j≤k， 于是xRa1 , a1Ra2 ,… ,ai－1Rai ,ajRaj＋1 ,… ,ak－1Ry成立。 即<x,y>∈Rs ,这里s＝k－(j－i)＜k,这与k是最小的假设 相矛盾，于是k≤n，又<x,y>是任意的，故定理成立。
3-8 关系的闭包
6、Warshall算法 设R是ｎ个元素集合A上的二元关系， (1)A是R的相关矩阵； (2)置i=1；
(3)对所有ｊ，如果aji=1，则对k=1，2，…，n
ajk=ajk+aik（第i行与第j行逻辑相加，记于第j行） (4)i=i+1； (5)如果i≤n，则转到步骤(3)，否则停止。
把包含R并且满足性质P的最小关系称为R对于P的
闭包, 记为P(R). (1)若P是自反的, 则称R是自反闭包, 记为r(r); (2)若P是对称的，则称R是对称闭包, 记为s(R); (3) 若P是传递的, 则称R是传递闭包,记为t(R).
也可形式地给出下面的定义和定理.
一、关系的闭包定义
定义3-8.1：设R是X上的二元关系，如果另外有一
则自反闭包 r(R)={<x，x>，<x，y>，<y，z>，<y，y>，<z，z>} 对称闭包 s(R)={<x，x>，<x，y>，<y，z>，<y，x>，<z，y>}
传递闭包
t(R)={<x，x>，<x，y>，<y，z>，<x，z>}
由闭包的定义可以知道，构造关系R的闭包方法 就是向R中加入必要的有序对，使其具有所希望的 性质。下面定理体现了这一点。
3、定理3-8.3：设R是集合X上的二元关系，则 s(R)=RRc。 证明：RRRc满足定义第一条。 <x，y>RRc<x，y>R<x，y>Rc<y， x>Rc<y，x>R<y，x>RRc，所以RRc是对 称的，满足定义的第二条。 如果RR”，且R”是对称的，<x，y>RRc，则<x， y>R或<x，y>Rc，如<x，y>R，由RR”，则<x， y>R”，如<x，y>Rc则<y，x>R则<y，x>R”， 又因R”对称，所以<x，y>R”，所以RRcR”，满足 定义第三条。得s(R)=RRc。
习题八关系的闭包运算
习题八:关系的闭包运算1．根据图3-8.1中的有向图，写出邻接矩阵和关系R ，并求出R 的自反闭包和对称闭包。
2．设集合A =｛ d c b a ,,,｝,A 上的关系R =｛〉〈〉〈〉〈〉〈d c c b a b b a ,,,,，，，｝a ）用矩阵运算和作图方法求出R 的自反闭包，对称闭包和传递闭包；b ）用Warshall 算法求出R 的传递闭包。
3．归纳出用矩阵和作图方法求出自反（对称，传递）闭包的一般方法。
4．设R 是有限集X 上的一个二元关系，证明：a ）对于任意在X 上的二元关系R ，有+R 是可传递的；b ）若有X 上任何其他传递关系P ，使得P ⊇R ，则必有P R ⊆+；c ）+R 就是定义3-8.1中所说的传递闭包。
图3-8.15．设21R R 和是集合A 上的关系且21R R ⊇，求证a))()(21R r R r ⊇b) )()(21R s R s ⊇c) )()(21R t R t ⊇6．证明定理3-9.6的c ）7．设21R R 和是集合A 上的关系，证明a) )()()(2121R r R r R R r =b) )()()(2121R s R s R R s =c) )()()(2121R t R t R R t =8．设R 是集合A 上的一个任意关系，)(*R tr R =，证明下列各式：a)+++=R R )(b)R R R R R ⋅==⋅+**c)***)(R R =9．如图2-2所示，给出了集合{}6,5,4,3,2,1上关系R 的关系图，试求R 的传递闭包。
10．设A 是任意集合，R 是A 上任意二元关系，试证：（1）()()R t R R ==+++ （2）R R R R R *+*== （3）()()R tr R R ==***11． 设R 为A 上的二元关系，()R r ，()R s ，()R t 分别表示R 的自反、对称、传递闭包。
试确定()R rst ，()R rts ，()R srt ，()R str ，()R trs ，()R tsr 之间的相互关系（等于或包含关系），并说明理由。