数值分析习题
习题一
1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限
)1.0ln(,121,101
1,1014321==
=
=
x x x x
1.2 下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值, 指出它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位
数。
3
*
5*
4*
3*
2*
1100.5,5000,50.31,3015.0,0315.0?=====x x x x x
1.3 为了使
3
1的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字?
1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确?
(1) x x sin )sin(-+ε,其中ε充分小 (2) ?
++1
2
1N N
x dx
,其中N 是充分大的正数
(3)
x
x
sin cos 1-,其中x 充分小
(4) o 1cos 1- (5) 1001.0-e
(6) )11010ln(84--
1.5 求方程01562=+-x x 的两个根, 使至少具有四位有效数字。
习题二
2.1 证明方程043
=-+x x 在区间[1,2]内有且仅有一个根。如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对
分多少次？(不必求根)
2.2 用二分法求方程0134
=+-x x 在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求2
10
2
1-?=
ε。
2.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求2
10
-=ε。
(1) 02
=--x
x ；
(2) 06cos 2
=-++-x e x
x
；
(3) 01tan =--x x ； (4) 0sin 2=--x e
x
。
2.4 考虑方程032
=-x e x ，将其改写为3
x
e
x ±
=，取00=x ，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附
近的两个根(取精度要求3
10-=ε)。
2.5 为求方程0123=--x x 在5.1=x 附近的一个根，建立下列形式的迭代公式：
(1) 212
1111k
k x
x x
x +
=?
+
=+，；
(2) 3
2
12
311k k x x x x +=
?
+=+，；
(3) 1
11
112
-=
?
-=
+k k x x x x ，。
试分析每一种迭代公式的收敛性。 2.6 考虑用迭代法求解下列方程：
(1) )2(312
x e
x x
+-=
-；
(2) x x -=5； (3) 2
7475.1--+
=x x x 。
按所给的形式建立迭代公式，试确定区间[a, b ], 使迭代公式收敛, 并求出满足精度要求310-=ε的解。 2.7 用迭代法的思想，给出求
22222+++++ 的迭代公式，并证明：
222222lim
=+++++∞
→
n
n 。 2.8 能否用简单迭代法求解下列方程，如果不能，请给出收敛的迭代公式。
(1) )sin (cos 4
1x x x +=
；
(2) x
x 24-=。
2.9 已知)(x x ?=在区间[a,b ]内有一个根，且当a
代公式。
2.10 用Steffensen 加速迭代法求方程13
-=x x 在[1,1.5]内的根
2.11 试用Newton 法求方程032=-x e x 的根, 分别取初始点0.4,0.1,5.00-=x , 精度要求为3
10-=ε。
2.12 选择适当的初始点, 试用Newton 法求出满足精度要求为3
10
-=ε的解
(1) )2(3
12
x e
x x
+-=
-；
(2) 0cos 102
=+x x 。 2.13 导出计算
)0(1>a a
的Newton 迭代公式，使公式中即无开方又无除法运算。
2.14 设??
?-∞∈--∞∈=)0,(,),0[,
)(1x x x x x f ,????
?-∞∈-∞∈=)
0,(,
),0[,
)(3
2322x x x x x f ，函数)(1x f 和)(2x f 均有零点x =0，分别讨论
用Newton 法解0)(1=x f 和0)(2=x f 是否收敛？收敛的阶是多少？
2.15 用Newton 法设计一种不用除法的迭代公式，求正数c 的倒数，并证明：当初值0x 满足c
x 200<
<时，该迭代
法收敛。
2.16 试用Newton 法解方程03=-a x , 导出求立方根3a 的迭代公式，讨论取什么初值可使迭代收敛。 2.17 为了简化，在Newton 迭代公式中用)(0x f '代替)(k x f '，试问这种迭代是几阶的？ 2.18 设23)()(a x x f -=, 写出解0)(=x f 的Newton 迭代公式, 并证明迭代公式是线性收敛的。
2.19 设非线性方程0)3)(133()(23=+-+-=x x x x x f , 其根1,3*2*1=-=x x . 写出求*
1x 的近似值时，二阶局部
收敛的Newton 迭代公式和求*
2x 的近似值时，二阶局部收敛的Newton 迭代公式。
2.20 设0)(=x f 有根，且)()(0∞<<-∞≤'≤ 的0x 和M 20< <λ均收敛于根。 2.21 为用迭代法求方程0)(=x f 的根α，若将方程改写成)()(x g x Cf x x =+=, 其中C 为待定常数。设)(x f '连 续且0)(≠'αf , 试确定C , 使序列)(1k k x g x =+收敛于α,且尽可能收敛得快。 习题三 3.1 考虑线性方程组 6 545953 2 321 21-= + - =-+-=-x x x x x x x (1) 用顺序Gauss 消去法求解该方程组； (2) 用LU 分解算法求解该方程组。 3.2 考虑线性方程组 11 42311243423 2 1 321321= + - =-+=--x x x x x x x x x (1) 用顺序Gauss 消去法求解该方程组； (2) 用列主元Gauss 消去法求解该方程组。 3.3 考虑线性方程组 53 .048.104.368.203.130.1874.048.105.053.448.151.23 2 1 321321-= - + =-+=++x x x x x x x x x (1) 用顺序Gauss 消去法求解该方程组； (2) 用列主元Gauss 消去法求解该方程组； (3) 试检验⑴和⑵所得的两个解中, 哪个更接近准确解？ (计算过程保留三位有效数字. 方程的准确解为： (1.35533, -1.29208, -0.252451)。 3.4 试用列主元Gauss-Jordan 消去法求下列矩阵的逆矩阵(用分数运算) ???? ? ?????--???? ? ?????--12 1 011322 ) 2(,01 1 012111)1( 3.5 对下列矩阵作LU 分解 ???? ? ?????--30 1 021112 3.6 设n n ij a A ?=)(, 试导出A=LU 分解(Crout 分解)的计算公式. 其中L 为下三角矩阵, U 为单位上三角矩阵, 即 ????? ? ??? ?? ?=????? ???? ???=11 1,21122 1 2221 11 n n nn n n u u u U l l l l l l L 并用此公式得到求解线性方程组Ax=b 的计算公式。 3.7 用追赶法解方程组 4 53423124 3 432 321 21=+ + =+++ =++=+x x x x x x x x x x 3.8 导出Crout 的形式 ??????? ? ??????? ??????????? ???? ? ?=??????????????? ?----11 1 1 111221112211n n n n n n n n u u l a l l a l b a c b b a c b 追赶法的计算公式。 3.9 设0),(11≠=a a A ij , 经过一步Gauss 消去法得到 ???? ? ?????=?? ? ? ??=)2()2(2 )2(2)2(222211 ,0 nn n n T a a a a A A a A 其中 α 试证明： (1) 若A 对称，则2A 对称； (2) 若A 对称正定，则2A 对称正定； 3.10 设A 对称正定，[]ij a A =, 经1步Gauss 消去后约化为[ ]) 2() 2(ij a A =，试证： (1) n i a ii ,,2,1,0 =>, 且A 绝对值最大的元素在对角线上； (2) n i a a ii ii ,,2,1,) 2( =≤； (3) ij n j i ij n j i a a max max ,1) 2(,1≤≤≤≤≤。 3.11 试证明：单位下三角阵的逆、积还是单位下三角阵。 3.12 试证明：如果A 是对称正定阵，则1-A 也是对称正定矩阵且A 可唯一地写成形式L L A T =，其中L 是具有对 角元的下三角阵。 3.13 设?? ?? ??-=21 1a A , 试分析当a 为何值时可作L L T 分解, 其中L 是对角线元素为正的下三角阵，并求矩阵L 。 3.14 设??? ? ? ??? ? ?=221 12a a A , 为使A 可分解为L L A T =, 其中L 为对角线元素为正的下三角阵， a 的取值范围是多少？若取a =1, 求矩阵L 。 3.15 已知Ax=f , 其中 ???? ? ?????=???? ? ?????---=010,21 21 12 f b a b A (1) 试问参数a 和b 满足什么条件时，可选用平方根法求解该方程组？ (2) 取b=0, a = -1, 试用追赶法求解该方程组。 3.16 设n R x ∈，试证明： ∞ ∞ ≤≤x n x x 1 ∞ ∞ ≤≤x n x x 2 12 1 1x x x n ≤≤ 3.17 设n n R A ?∈，试证明： ∑ =≤≤=n i ij n j a A 1 11 max 3.18 设n n R A ?∈，试证明： F F A A A n ≤≤21 3.19 设矩阵A 非奇异，求证 A A 11 ≥ - 3.20 设矩阵A 非奇异，求证 n A λλ1)(Cond ≥ 其中n λλ,1分别是矩阵A 的最大最小特征值，且当A 为对称矩阵时，上式等号成立。 3.21 设矩阵A 非奇异，试证明：若11<-A A δ, 则)(A A δ+非奇异，且满足 A A A A δδ-≤ +-1)(1 3.22 方程组Ax=b , 设A 非奇异阵，b 有扰动b δ, 从而引起方程组解x 有扰动x δ, 试证明： b b A x x δδ) (Cond ≤ 3.23 求下面两个方程的解，并利用矩阵的条件数对解进行分析。 ?? ? ???=???? ??++???? ??--??? ???=?????????? ??--43240179319240432405 .1795.319240221121x x x x x x δδ， 3.24 已知?? ? ? ??=9899 99100 A , 求p A 和∞=,2,1,)(Cond p A p 。 3.25 求矩阵?? ? ? ??-=1301A 的谱半径。 3.26 已知矩阵A 与矩阵B 是对称的，求证：)()()(B A B A ρρρ+≤+。 3.27 设有方程组Ax=b ，其中 ????? ?? ? ???? ????-=???? ? ?????-=323121,22 122 101b A 已知它有解T x ?? ? ??- =0, 3 1, 2 1 , 如果右端有小扰动6 10 21-∞ ?=b δ, 试估计由此引起的解的相对误差。 习题四 4.1 证明用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解下列方程组必收敛，并求解，要求4 ) 1() (10-∞ -≤-k k x x 。 ?? ? ??=+--=-+-=--7 52610242210321321321x x x x x x x x x 4.2 下面两个方程组Ax=b ，若分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解，是否收敛？ ???? ? ?????---???? ? ?????-21 1 222112 ) 2(,12 2 111221 )1( 4.3 把线性方程组 1 221212134234 332x x x x x x x x -=-==+=+改写成 然后用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求, 取初始点 (1.01, 1.01), 观察迭代点列是否收敛(已知方程的解为(1, 1))。 4.4 设22)(?=ij a A 是二阶矩阵，且02211≠a a , 试证求解方程组Ax=b 的Jacobi 方法与Gauss-Seidel 方法有相同的敛散性。 4.5 设线性方程组Ax=b 的系数矩阵为 ???? ? ?????-=a a a A 2 3 21 31 试求使Jacobi 方法收敛的a 的取值范围。 4.6 试证明：若矩阵A 是严格对角占优的，则Jacobi 迭代法是收敛的。若矩阵A 是严格按列对角占优的, 即 n j a a n ij jj i j i ,,2,1,1 => ∑ =≠ 则Jacobi 迭代法是收敛的。 4.7 系数矩阵为对称正定的二阶线性方程组, Jacobi 方法和Gauss-Seidel 方法是否一定收敛？试证明你的结论。 4.8 方程组Ax=b , 其中????? ??? ??-----=15 .05.025 .05.01a a A (1) 利用迭代收敛的充要条件求出使Jacobi 迭代法收敛的a 的取值范围，a 取何值时Jacobi 迭代收敛最快； (2) 选择一种便于计算的迭代收敛的充分条件，求出使Gauss-Seidel 迭代法收敛的a 的取值范围。 4.9 设A 是正定对称阵，其最大特征值为1λ，试证当α满足1 2 0λα< <时，迭代公式) ()()()1(k k k Ax b x x -+=+α收敛。 4.10 用SOR 方法解线性方程组(取9.0=ω) 3 103220241225321321321=+-=++--=++x x x x x x x x x 4.11 已知方程组Ax=b ，其中?? ? ???=???? ??=21,21 12 b A ，有迭代公式 ,2,1,0),() () () 1(=-+=+k b Ax x x k k k ω 试问：(1) 取什么范围的ω值能使迭代收敛？(2) ω取什么值使迭代收敛最快？ 4.12 设求解线性方程组Ax=b 的迭代法 ,2,1,0,) () 1(=+=+k f Bx x k k 收敛，求证：对10<<ω 迭代法 ,2,1,0,))1(() () 1(=++-=+k f x B I x k k ωω 收敛。 4.13 设A 为严格对角占优矩阵，且10≤<ω，试证明：解Ax=b 的SOR 方法收敛。 习题五 5.1 已知12144,11121,10100===, 分别用线性插值与二次插值求115的近似值。 5.2 以4,1=x 为插值节点, 作x y 1= 的线性插值函数, 并求3,2=x 处函数)(x f 的近似值。 5.3 (1) 以1,010==x x 为插值节点, 做x e y -=的线性插值； (2) 以2,1,0210===x x x 为插值节点, 做x e y -=的二次插值； (3) 估计上面两个结果的误差。 5.4 已知函数表: 17903 .015932 .013954 .011910 .0) (1972.11735.11503.11275.1x f x 应用Lagrange 插值公式计算f (1.1300)的近似值。 5.5 设)(x f 在[a,b ]内有连续的二阶导数, 且0)()(==b f a f , 求证: )(max )(8 1)(max 2 x f a b x f b x a b x a ''-≤ ≤≤≤≤ 5.6 设),,2,1,0(n k x k =为互异的插值节点，求证： (1) ),,2,1,0(,)(0n i x x l x i n k k i k =≡∑=； (2) ),,2,1(,0)()(0 n i x l x x n k k i k =≡-∑=。 5.7 设)(x P 是任意一个首次项系数为1的n +1阶多项式，),,2,1,0(n k x k =为n +1个互异的插值节点， )())(()(101n n x x x x x x x w ---=+ , 证明： (1) )()()()(10 x w x l x P x P n n k k k +==- ∑; (2) ∑=++'-+ =n k k n k k n x w x x x P x w x P 0 11)()()(1) ()(。 5.8 证明n 阶差商具有下列性质: (1) 若)()(x cf x F =, 则],,,[],,,[1010n n x x x cf x x x F =, 其中c 为任意常数； (2) 若)()()(x g x f x F +=, 则],,,[],,,[],,,[101010n n n x x x g x x x f x x x F +=。 5.9 设13)(47+++=x x x x f ，求]2,,2,2[],2,,2,2[8 10710 f f 。 5.10 设1110)(++++++=n n n n a x a x a x a x f 有n +1个不同的实根n x x x ,,,10 , 证明： ???=-≤≤='-=∑ n m a n m x f x n k k m k 1 00 100 )( 5.11 求经过)4,2(),1,1(),1,0(C B A -三点的插值多项式。 5.12 给出函数表 88 46 16 54210y x 求各阶差商, 并写出Newton 基本插值公式。 5.13 已知函数)(x f 的数据如下表： 27 9 3 1 ) (3210x f x 试做一个三次多项式)(3x P , 利用)(3x P 计算3。 5.14 已知函数表: 34066 .303035 .365271 .246459 .241450 .2) (921.1828.1702.1634.1615.1x f x 选取适当的节点, 分别用二次Newton 基本插值公式计算)(x f 在x =1.628, 1.813处的近似值。 5.15 设n n y 2=, 求n y 4?。 5.16 利用差分的性质证明： )12)(1(6 1212 2 2 ++= +++n n n n 5.17 利用差分的性质求)2(24231+?++?+?n 的和函数。 5.18 已知函数表: 0228 .605632 .600413 .704371 .707334 .709618 .70) (50.7025.6000.5075.3050.2025.10x f x 分别用Newton 向前插值公式和Newton 向后插值公式计算f (0.158)及f (0.636)的近似值。 5.19 试证明两点二次插值多项式是存在且唯一的。 5.20 试证明两点三次插值多项式是存在且唯一的。 5.21 已知函数表: 1 2 ) (12)(10-'x f x f x 分别构造二点二次Hermite 插值公式和二点三次Hermite 插值公式。 5.22 求次数不高于4次的多项式p (x), 使它满足 (1) 1)3(,0)2()2(,0)1()1(=='=='=p p p p p ； (2) 1)2(,1)1()1(,0)0()0(=='=='=p p p p p 。 5.23 已知函数)(x f y =的数据如下表： 1 01 101210k k k y y x k '-- 求次数不超过3的Hermite 插值多项式)(3x H , 使1133)(),2,1,0()(y x H k y x H k k '='==。 5.24 设??? ??≤<+-+-+-≤≤=31,1)1()1()1(2 11 0,)(2 33x x b x a x x x x S 是[0,3]上以0,1,3为节点的三次样条函数，求系数a 与b 。 5.25 已知数据表 4 6 4 1 4321y x 分别用k M 参数方法和k m 参数方法求出1)4(,0)1(='='S S 的三次样条函数. 并分别求出)5.3(),5.1(S S 的值。 习题六 6.1 求区间[0,1]上以1)(=x ρ为权的最高项系数为1的正交多项式)(0x φ, )(1x φ和)(2x φ。 6.2 设{}∞ =0)(k k x φ是区间[0,1]上权函数为2)(x x =ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x φ, 求)(1x φ, 并计算积分?1 32 )(dx x x φ。 6.3 求下列函数在指定区间上的一次最佳平方逼近多项式 (1) ]1,0[,)(∈=x x x f ； (2) ]1,1[,)(-∈=-x e x f x ； (3) ]1,0[),sin()(∈=x x x f π。 6.4 求]1,1[,)(-∈=x x x f 在{}4 2,,1x x =Φ上的最佳平方逼近多项式。 6.5 求a,b ，使得?-+2 2 )sin π dx x b ax （ 最小。 6.6 利用Legendre 多项式，求2 sin )(x x f π=在[-1,1]上的三次最佳平方逼近多项式，并计算均方误差。 6.7 试用最小二乘法求一次和二次多项式, 拟合下列数据： 836 .24061 .73334 .13645 .52003 .02392 .41826 .80295 .30209 .200.015.700.505.2005.200.505.700.01-----y x 6.8 已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线： 1 1 3 1 2 5.8865.4454321i i i y x ρ 6.9 求形如bx ae y = (a,b 为常数且a >0)的经验公式，使它能拟合下列数据： 6 .485 .473 .569 .750 .15 2.005.710.515.210.01i i y x 6.10 试用最小二乘法求形如2bx a y +=的多项式, 拟合下列数据: 8 .973 .731 .493 .320 .194438312519y x 6.11 已知一组数据如下： 6 .1178 .876 .651 .496 .364 .275 .202 .1587654321i i y x 用最小二乘法求拟合这些数据形如：bx ae y =(a,b 为常数)的经验公式。 6.12 利用正交函数族做下列函数的二次拟合多项式: (1) 1)(),5,,1,0(2.0,cos )(====x k k x x x f k ρ ； (2) 1)(),5,,1,0(2.0,ln )(====x k k x x x f k ρ 。 习题七 7.1 确定下列求积公式中的待定参数, 使其代数精确度尽量高, 并指明所构造出的求积公式所具有的代数精确度: (1) ? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f )()0()()(101； (2) ? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 22101)()0()()(； (3) []? -++-≈ 1 1 31)(3)(2)1(3 1)(x f x f f dx x f ； (4) ? ++≈h h f A h f A f A dx x f 30 210)2()()0()(。 7.2 如果0)(>''x f , 证明梯形公式计算积分?b a dx x f )(所得结果比准确值大, 并说明其几何意义。 7.3 已知数据表 107 .3828 .2577 .2352 .2151 .2971 .1811 .1668 .1543 .1) (8.17.16.15.14.13.12.11.10.1x f x 试用复化梯形公式计算? 8 .10 .1)(dx x f , 分别取步长为h =0.1, 0.2, 0.4。 7.4 如果用复化梯形公式计算积分?4 .38.1dx e x , 为使精度要求达到3 10 2 1-?, 应取多大的步长? 7.5 试用复化Simpson 公式计算?-1 02 dx e x (取9个节点)。 7.6 如果用复化Simpson 公式计算积分?1 dx e x , 为使精度要求达到 4 10 2 1-?, 应取多少个节点? 7.7 试用变步长梯形公式计算?8 2 x dx , 精度要求2 10 -=ε。 7.8 试用Romberg 求积法算? 82 x dx , 精度要求2 10 -=ε。 7.9 试建立下述形式的求积公式，并确定它的代数精确度（使其代数精确度尽可能高） []? '+'++≈h h f hb f hb h f a f a h dx x f 0 1010)()0()()0()( 7.10 求Gauss 型求积公式? +≈10 1100)()(x f A x f A dx x 的系数10,A A 及节点10,x x 。 7.11 用待定系数法确定在三点Gauss-Legendre 公式 ? -++- ≈1 1 210)5 3( )0()5 3()(f A f A f A dx x f 7.12 用待定系数法确定Gauss 型求积公式 ? -+≈+1 1 11002 )()()1)((x f A x f A dx x x f 中的10,A A 及节点10,x x 。 7.13 对于Gauss 求积公式?∑=≈ b a n k k k x f A dx x f x 0 )()()(ρ 试证明: 求积系数n k A k ,,1,0,0 =>且? ∑= =b a n k k dx x A )(0 ρ 7.14 已知恒等式 -+ - =4 52 3!5!3sin n n n n π π ππ试依据)12,6,3(sin =n n n π 的值，用外推法求π的近似值。 习题八 8.1 运用Euler 方法和改进Euler 方法求下列初值问题在给定区间上的数值解, 计算结果保留四位小数。 (1) ?????=≤≤=-=2.0,40,1)0(22h x y y x dx dy ； (2) ?????=≤≤=-=2.0,10,1 )0(h x y y dx dy 。 8.2 用Euler 方法和改进Euler 方法求初值问题?????=+=0 )0(y b ax dx dy 的解在),2,1(, ==n hn x n 处的近似值。 8.3 运用标准四阶Runge--Kutta 法求初值问题?????=+=1 )1(32y y x x dx dy 的解在x =1.1,1.2,1.3处的近似值, 计算结果保留三位 小数。 8.4 运用标准四阶Runge--Kutta 法求初值问题?????=--=1 )0(2 y xy y dx dy 在区间[0,1]上的数值解, 取步长h =0.2, 将计算结果 与准确值1 )12()(---=x e x y x 进行比较。 8.5 常微分方程初值问题?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的单步法??? ??++++=+++22111n n n n n n y y x x hf y y 试证明该方法是无条件 稳定的。 8.6 常微分方程初值问题?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的线性多步公式),(41131---++=n n n n y x hf y y 试求该多步公式的局部截断 误差主项并回答它是几阶精度的？ 8.7 试证明1113 2)4(2 1+-+'+ -= n n n n y h y y y 是二阶公式。 8.8 构造具有如下形式 )()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα 的线性多步法，使其达到二阶精度，并求其局部截断误差的主项。 8.9 运用Adams 外推公式和预报---校正公式求初值问题?????=--=0)1(2 2y y x dx dy 在区间[-1,0]上的数值解, 取步长h =0.1。 8.10 对于常微分方程初值问题?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy , 利用在区间[]11,+-n n x x 上的Simpson 求积公式，建立具有如下形式 )(1101111-+--++++=n n n n n f f f h y y βββ 的线性多步法，试确定出相应的求积系数101,,βββ-。 答案： 3.2 1). (3,1,1) 2). (3,1,1) 3.4 1). 保留3位有效数字, 循序Gauss 消去法 2.51000e+000 1.48000e+000 4.53000e+000 5.00000e-002 0.00000e+000 1.00000e-003 -3.97000e+000 1.00000e+000 0.00000e+000 0.00000e+000 5.79000e+003 -1.46000e+003 X= 4.74000e-001 0.00000e+000 -2.52000e-001 2). 保留3位有效数字, 列主元Gauss 消去法 2.68000e+000 3.04000e+000 -1.48000e+000 -5.30000e-001 0.00000e+000 -1.37000e+000 5.92000e+000 5.47000e-001 0.00000e+000 0.00000e-001 -3.96000e+000 9.98000e-001 X= 1.35000e+000 -1.49000e+000 -2.52000e-001 3.5 1.000 0.000 0.000 2.000 -1.000 -1.000 L= 0.500 1.000 0.000 U= 0.000 2.500 0.500 0.500 0.200 1.000 0.000 0.000 3.400 3.7 2.941176470588235e-001 4.117647058823530e-001 4.705882352941176e-001 7.058823529411765e-001 4.1 9.999704409600e-001 9.999916206943e-001 Jacobi 迭代: 9.999765450240e-001 Gauss-Seidel 迭代法: 9.999963829681e-001 1.999962760704e+000 1.999996877326e+000 4.10 -4.000000035373e+000, 3.000000013065e+000, 2.000000010964e+000 5.1 线性插值：10.71429, 二次插值：10.72276 5.2 f(2)=0.83333, f(3)=0.66667 5.4 f(1.13)=0.12141 5.13 f(0.5)=2 6.7 2 0313.02517.20001.2,25165.20131.2x x y x y ++=+= 6.9 x e y 5057.00729.3= 6.10 2 0500.09995.0x y += 6.11 x e y 29176.0996.311= 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x ) 第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325* 102 1 1021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值* π具有4位有效数字，必需 41*1021 -?≤-ππ，3*3102 11021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：3* 1021-?≤ -a a ，2*102 1 -?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2 123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知 δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 解： * 2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 π ππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v 1、 0.1％,要取几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 2、若* 12.30x =是经过四舍五入得到的近似数，则它有几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 3、已知n ＋1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,…,n )，且ω(x )=(x －x 0) (x －x 1)… (x －x n )．则n 阶差商f (x 0,x 1,…, x n )= ( ) (a) ∑=n k k k y x l 0 )( (b) ∑='n k k k k x l y 0)( (c) ∑=n k k k x y 0)(ω (d) ∑='n k k k x y 0)(ω 4、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3），（2，2）构造出的三次插值多项式 33()6 P x x y 的 的系数是，则 等于 （ ） (a) -1.5 (b) 1 (c) 5.5 (d) 4.25 5、设(0,1,2,3,4)i x i =为互异结点，()i l x 为拉格朗日插值基函数,则 4 2 () ()i i i x x l x =-∑等于 （ a ） (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 4()[,],()()(),()(),( )(), ' () ' (),22 ()()_________________________f x C a b H x a b a b H a f a H b f b H f H a f a f x H x ∈++====-=设是满足下列插值条件的三次多项式：则插值余项 1、 是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=-2,c=3 2、 已知(1)0,(1)3,(2)4,f f f =-=-=写出()f x 的牛顿插值多项式 2()P x =___2537 623x x +-__,其余项表达式 R(x)=__() (1)(1)(4) [1,4]6 f x x x ξξ'''-+-∈-_______________________ 3、 确定求积公式1 0121 ()(1)(0)'(1)f x dx A f A f A f -≈-++? 中的待定参数，使其代数精度 尽量高,则A 0=_ 29__________, A 1=__169________, A 2=_29 _______,代数精度=__2_________。 第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 数值分析典型习题 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 第一章绪论 习题一?1．设x＞0，x＊的相对误差为δ,求f(ｘ)=ln x的误差限。 解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(１.2.４）有 已知x*的相对误差满足，而 ,故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式（１.2.２)(1.２.3）则得?有５位有效数字，其误差限,相对误差限 有２位有效数字， 有5位有效数字， 3．下列公式如何才比较准确？ (１)?(2） 解:要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1)?(2） 4.近似数x*=０.０３１0,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用 :式计算误差最小。 四个选项: 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln０．5４的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n＝1及n＝２的Laｇrange插值或Neｗｔo ｎ插值，并应用误差估计（5.8)。线性插值时,用0．５及0．6两点，用Newton插值??误差限 ，因, 故? 二次插值时，用0.5，0．6,０.7三点,作二次Ｎewton插值 ?误差限，故? 2. 在－4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过,函数表的步长ｈ应取多少? 解：用误差估计式（５．8), ?令 因?得 3. 若,求和. 解：由均差与导数关系 ?于是 4. 若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有?而当P＝n ＋1时 ?于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 ? 6. 已知的函数表 第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。 数值分析复习题 一、选择题 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式()()2 11211()(2)636f x dx f Af f ≈++?，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．() 00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=??++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=- 二、填空 1. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= . 2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --= ==---， ()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商 ()123,,______f x x x = 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。 4．求方程 2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么 1______x =。 5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =??=?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 6、 1151A ??= ?-??，则A 的谱半径 ＝ 。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+== ，则[]12,,n n n f x x x ++= 和[]123,,,n n n n f x x x x +++= 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为 。 10、为了使计算 23123101(1)(1)y x x x =+ +----的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写 成 。 11. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 12. 一阶均差()01,f x x = 13. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么 ()33C = 14. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。 15. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y y x y ?'=+???=?的计算公式 . 16.设 * 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*x 有 位有效数字。 第一章 1、ln2＝0.69314718…，精确到 10－3 的近似值是多少？ 解 精确到 10－3＝0.001，即绝对误差限是 e ＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2≈0.693。 2、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x ， 21x x +的绝对误差限 解：记126.1025, 80.115x x == 则有11232411 10, | 102|||2 x x x x --≤?-≤?- 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤-- 3411 80.11610 6.10102522 0.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11 |10100.0005522 |x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+- 3、一个园柱体的工件,直径d 为10.250.25mm,高h 为40.00 1.00mm,则它的体 积V 的近似值、误差和相对误差为多少。 解： ()() 22222222 4 314210254000000330064 221025400002510251002436444 3300624362436 0073873833006 , .....; ()()()......, ..().()..% .r d h V d h V mm d h V dh d d h V mm V V V πππππεεεεε= ≈=??===+=???+?==±====第二章： 1、分别利用下面四个点的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式N 3(x )， 计算L 3(0.5)及N 3(-0.5) x －2 －1 0 1 f (x ) －1 1 2 数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0( 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 数值分析整理版试题及答案 例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为 []()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 数值分析教案 土建学院 工程力学系 2014年2月 一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时32 4、学分：2 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业：工程力学 二、课程的目的与任务： 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。数值分析典型习题
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