高中数学 2.3双曲线及其标准方程课件 新人教B版选修2-1
x c 2 y 2
2 2 2 2 2 2 2 2 c a x a y a c a 两边再平方后整理得：
2 2 x y 2 2 2 两边同时除以 a c a 得： 2 2 2 1 a c a 2 2 2c 2a 即： c a c a 0 由双曲线定义知：
的两点P1、P2的坐标分别（ 2, 3）， （ 15 ），求双曲线的标准方程。 , 2 3
设法一：
x2 y 2 变式1：已知双曲线 1 的左支上一点P到左焦点的 16 9
设法二：
距离为10，则点P到右焦点的距离为________.
变式2 已知双曲线上的两点P1、P2的坐标分别为
（ 2 , 3），（ 标准方程。
(2,0).(2,0)
4a
3a
2, b 2, c 6
(0, 6 ).(0, 6 )
m, b n , c m n ( m n ,0).( m n ,0)
例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到焦 点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。
y2 ②焦点为(0,－6),(0,6)，经过点(2,－5) 20
2
y2 9
1
1
变式：讨论方程 Ax2 By2 CA, B, C都不为0 所表示的曲线
x2 16
例3已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地
晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
F2
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
O
x
F1
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦 点在y轴上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c). 其中c2=a2+b2.
三.双曲线两种标准方程的比较
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b y
问题4:
定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0（即 0<2a<2c）？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是 什么？
分3种情况来看：
①若2a=2c,则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
F1 F2
②若2a>2c,则轨迹是什么？ 此时轨迹不存在 ③若2a=0,则轨迹是什么？ 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
解：因为双曲线的焦点在 x轴上，所以设它的标准方程为 2 2 x y 2 1( a 0, b 0) 2 a b 根据已知条件，|F1F2|=10. ||PF1|-|PF2||=8，
所以2c=10，2a=8。即a=4，c=5 那么b2=c2-a2=25-16=9 x2 y2 1. 因此，双曲线的标准方程为
x2与y2的系数的大小 决定； 椭圆的焦点由_________________ x2与y2的系数的正负 决定； 双曲线的焦点由__________________ 2=a2+b2 c 在双曲线的标准方程中a,b,c的关系是_________； AB<0 。 方程Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是_______
2 2
a b c
问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差” 那么动点的轨迹会发生怎样的变化？
看图分析动点M满足的条件： ①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
问题1：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数（大于|F1F2| ） 的点的轨迹叫做椭圆。 问题2：椭圆的标准方程是怎样的?
x2 y2 y 2 x2 2 1(a b 0)或 2 2 1(a b 0) 2 a b a b
，c ， ab
2
关系如何？
设 c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦 点在x轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0). 其中c2=a2+b2.
类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴上的 y 双曲线的标准方程是什么？
四、双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭
定义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
方程
2 2 x2 y 2 x y 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b
F1
F2
练习巩固:
下列方程各表示什么曲线?
(1)
( x 3) y ( x 3) y 4
2 2 2 2
方程表示的曲线是双曲线
(2)
(3)
( x 3) y ( x 3) y 5
2 2 2 2
方程表示的曲线是双曲线的右支
( x 3) y ( x 3) y
16
2
9
变式训练
2
x y 1.( x 0) 求标准方程要做到 1.若|PF1|-|PF2|=8呢？ 16 9
题后反思：
2.若||PF1|-|PF2||=10呢？ 轨迹不存在 3.若||PF1|-|PF2||=12呢？ 两条射线
先定型，后定量。
例2 已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上
小结：
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 焦点在x轴上的双曲线的方程是_________ ； a b
（1）推导双曲线的标准方程； （2）利用待定系数法求双曲线的标准方程； （3）类比法。
2 2
y x 2 1 2 a b 焦点在y轴上的双曲线的方程是_________ ；
x2 y 2 2 1 2 2 x2 y 2 4 1(m 0, n 0) m n
题后反思： 先把非标准方程 化成标准方程， 再判断焦点所在 的坐标轴。
1a 2, b 2, c 6 ( 2a 2, b 2, c 2
6,0).( 6,0)
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上，并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y)， 则 PA PB 340 2 680 A o B x 即 2a=680，a=340 AB 800 2c 800, c 400, b2 c 2 a 2 44400 800 PA PB 680 0 , x 0 x 2 y2 1( x 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400
③ 列式
即
MF1 MF2 2a
( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
④化简
x c 2 y 2 x c 2 y 2
2a
2a
将上述方程化为：
x c 2 y 2 x c 2 y 2
2 cx a a 移项两边平方后整理得：
M F1 O F2
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b y
M
F2x F1Ox① 方程用“－”号连接。
② 分母是 a 2 , b 2 , a 0, b 0 但 a , b 大小不定。
③
c a b
2 2
2
2
。
④如果 x 的系数是正的，则焦点在 x轴上；如果 y 2 的系数是正 的，则焦点在 y 轴上。
15 3
, 2），求双曲线的
随堂练习
x 1.已知方程 2 m
2
y2 m 1
1
表示焦点在y轴的
m＜－2 双曲线，则实数m的取值范围是______________
变式: 上述方程表示双曲线，则m的取值范围是 m＜－2或m＞－1 __________________ 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程 x 16 ①a=4,b=3，焦点在x轴上；
2 2 2
2
6
方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点， 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。
二、双曲线标准方程的推导
① 建系
y 轴为 使 x 轴经过两焦点 F1 , F2 ， 线段 F1 , F2 的垂直平分线。
y
M
F1
O
② 设点
设 M ( x, y)是双曲线上任一点，
F2 x
1 (c,0), F 2 (c,0) 焦距为 2c(c 0) ，那么 焦点 F 又设|MF1|与|MF2| 的差的绝对值等于常数 2 a 。
焦点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关 系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 标。
a, b, c 及焦点坐
x2 y 2 1 1 4 2 x2 y 2 3 1 4 2 答案：
上面 两条曲线合起来叫做 双曲线,每一条叫做双曲线 的一支。
一、双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 （小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫 做双曲线的焦距。
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数学：2.3《双曲线及其标准方程》课件(新人教版B选修2-1)
方程
x y − 2 =1 2 a b
2
2
y x − a.b.c 的关系
F ( ±c,0)
c = a +b
2 2 2
F ( 0, ±c )
谁正谁对应 a
例１、求双曲线的标准方程 (1)已知双曲线的焦点为F 5,0)和 (1)已知双曲线的焦点为F1(-5,0)和F2(5,0), 已知双曲线的焦点为 双曲线上的点Ｐ 双曲线上的点Ｐ到F1与F2的距离之差的绝对值 6,求双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程。 变题） 为6,求双曲线的标准方程。(变题） (2)已知双曲线的焦点为F (0， 6)和 (2)已知双曲线的焦点为F1(0，-6)和 已知双曲线的焦点为 且经过点（ F2(0,6), 且经过点（2，-5）。
定义：平面内与两定点F 定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数2a 点的轨迹叫做双曲线。 等于常数2a (0 < 2a < F1F2 ) 点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点， 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫 做双曲线的焦距。 做双曲线的焦距。
M
F1
F2
0
F1
x P
| （x + c) + y − （x − c) + y |= 2a
2 2 2 2
对比两个方程可发现，仅互换了x, y y2 x2 ∴ 2 − 2 = 1 ( a > 0, b > 0) a b 表示焦点在y轴上的双曲线。
定义 图象
MF1 − MF2 = 2a， < 2a < F1F2 ) (0
在两组同心圆的交点中描出“ 在两组同心圆的交点中描出“与Ｆ２，F1两点的距离 的差等于8”的交点 的交点。 的差等于 的交点。
《双曲线及标准方程》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第2.3.1课时)
|MF1|-|MF2| =2a 即双曲线的右支
当|MF1|-|MF2|=2a时，M点轨迹是双曲线中靠近F2的一支； 当|MF2|-|MF1|=2a时，M点轨迹是双
曲线中靠近F1的一支.
| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）即表示整个双曲线
新知探究
如何求这优美的曲线的方程？
新知探究
判断： x2 y2 1 与 16 9
y2 x2
1 的焦点位置？
9 16
x , y 结论： 看 2
2 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上。
课堂练习
4.例题讲解 1.已知方程
m x2 y 2 表1示椭圆，则
m 1 2 m
的取值范围是____________.
解： m 1 0
2 m 0 m 1 2
0<2a<2c
M F1 o F2
新知探究
试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？
（F1、F2是两定点, |MF1|－|MF2| =2a, |F1F2| =2c (0<a<c)
当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹 双曲线的右支 ；
当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹 双曲线的左支
a>b>0， c2=a2-b2 a最大
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一定大于b， c2=a2+b2 c最大
新知探究
思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点是在X轴上还是Y轴上？
高中数学新课标选修2课件2.3.1双曲线及其标准方程
2．3.1 双曲线及其标准方程
知识导图
学法指导
1.在学习双曲线时，要注意定义中“常数要大于 0 且小于|F1F2|” 这一限制条件的几何意义．
2．焦点 F1，F2 的位置是双曲线的定位条件，它决定着双曲线标 准方程的形式；参数 a，b 确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定 形条件．
3．学习双曲线时要注意与椭圆的定义及其标准方程进行对比，有 比较才能鉴别，也能更深刻地记忆．
知识点二 双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程
焦点 a，b，c 的关系
_ax_22_－__by_22_＝__1_(a_＞__0_，__b_＞__0_) __ay_22_－__bx_22＝__1_(_a_＞__0_，__b_＞__0)
(－__c_,_0_)，__(_c_,0_)__
∠F1PF2 ＝
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
方法归纳
求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一 ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式 S△PF1F2＝21×|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2 求得面积． (2)方法二：利用公式 S△PF1F2＝21×|F1F2|×|yP|(yP 为 P 点的纵坐标) 求得面积． 提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条 件||PF1|－|PF2||＝2a 的变形使用，二是特别注意|PF1|2＋|PF2|2 与|PF1|·|PF2| 的关系．
弦定理，得 sin A＝|B2RC|，sin B＝|A2RC|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半 径)．
知识导图
学法指导
1.在学习双曲线时，要注意定义中“常数要大于 0 且小于|F1F2|” 这一限制条件的几何意义．
2．焦点 F1，F2 的位置是双曲线的定位条件，它决定着双曲线标 准方程的形式；参数 a，b 确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定 形条件．
3．学习双曲线时要注意与椭圆的定义及其标准方程进行对比，有 比较才能鉴别，也能更深刻地记忆．
知识点二 双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程
焦点 a，b，c 的关系
_ax_22_－__by_22_＝__1_(a_＞__0_，__b_＞__0_) __ay_22_－__bx_22＝__1_(_a_＞__0_，__b_＞__0)
(－__c_,_0_)，__(_c_,0_)__
∠F1PF2 ＝
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
方法归纳
求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一 ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式 S△PF1F2＝21×|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2 求得面积． (2)方法二：利用公式 S△PF1F2＝21×|F1F2|×|yP|(yP 为 P 点的纵坐标) 求得面积． 提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条 件||PF1|－|PF2||＝2a 的变形使用，二是特别注意|PF1|2＋|PF2|2 与|PF1|·|PF2| 的关系．
弦定理，得 sin A＝|B2RC|，sin B＝|A2RC|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半 径)．
人教B版高中数学选修(1-1)-2.2《双曲线及其标准方程》教学课件1
x + c2 + y2 = 4a2 4a x - c2 + y2 x - c2 + y2
设cxM(- ax2，=y)a是双x -曲c2线+ 上y2 任意一c2 点- a2 x2 - a2 y2 = a2 c2 - a2
设以设Fc︱21、- FaF12 F2=2所︱b2 在=b2直c>，0线则得为有xF1(轴-c，，线0)段、FF21(Fc2的，垂0)直平分
M
F1 o F2
三、概念形成
概念1.双曲线的定义及相关概念
说明 （1）2a<2c ； （2）2a >0 ；
思考：（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ （2）若2a>2c,则轨迹是什么？ （3）若2a=0,则轨迹是什么？
M
F1 o F2
(1)F1F2延长线和反向延长线(两条射线) (2)轨迹不存在 (3)线段F1F2的垂直平分线
y
M
F1 O F2
三、概念形成
概念1.双曲线的定义及相关概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小 于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线。
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点；
② |F1F2|=2c——焦距。
注意
若没有这个 条件，轨迹 为双曲线的 一支
||MF1|-|MF2||=2a
三、概念形成
概念2.双曲线的标准方程的推导
列化设 建式简点系
仿照椭圆的标准方程的推导 y
双曲线上的点满足||PF1|-M|PF2|| 为定值，设为2a，则2a＜2c
则： x + c2 + y2 x - c2 + y2 = 2a
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线的标准方程课件新人教B版选修2_1
x2 y2
a2 − b2 = 1,
y2 a2
−
x2 b2
=
1,
其中a>0,b>0
2.求双曲线方程的常用方法 剖析:(1)待定系数法.即先设出方程的标准形式,再确定方程中的 参数a,b的值,即“先定型,再定量”,若两种类型都有可能,则应进行分 类讨论. (2)定义法.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
y 轴上,不是以分母的大小确定的,而是依据二次项系数的符号确定
的.
正解:将双曲线方程化为标准方程
������2 4
−
������2 9
=
1,
可知焦点在y
轴
上,则 a=2,b=3,c2=a2+b2=13,
即 c= 13.
故双曲线的焦点坐标为 F1(0,− 13), ������2(0, 13).
题型一
c2=a2+b2
名师点拨1.由求双曲线的标准方程的过程可知:只有当双曲线的两 个焦点在坐标轴上,且关于原点对称时,才能得到双曲线的标准方 程.反之亦成立.
2.在双曲线的标准方程中,若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2 的系数为正,则焦点在y轴上.
知识梳理
【做一做 2-1】
双曲线
������2 10
=
1.
答案:���4���2
−
������2 3
=
1
重难聚焦
1.椭圆与双曲线的区别 剖析:
椭圆
双曲线
MF1 + MF2 = 2������
因为 a>c>0,所以令
a2-c2=b2(b>0)
x2 y2
a2 + b2 = 1,
高中数学人教B版选修2-1配套课件：2.3.1双曲线的标准方程
4 A1，
10 2 ，得 b ＝9 ， 3
y2 x 2 ∴双曲线的标准方程为16－ 9 ＝1.
x2 (2)法一 当双曲线的焦点在 x 轴上时， 设双曲线方程为a2－ y2 b2＝1(a＞0，b＞0)． ∵P1、P2 在双曲线上，
3 2 5 2 －2 －2 ＝1 a2 b2 ∴ 4 7 2 3 42 2 － 2＝1 a b
双曲线的标准方程
【问题导思】 类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说怎样选择坐标系， 建立双曲线的标准方程吗？
【提示】
以经过两焦点 F1、F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2
的垂直平分线为 y 轴建坐标系．
焦点在 x 轴上 标准
焦点在 y 轴上
y2 x 2 x2 y2 2－ 2＝1 2－ 2＝1 ( a ＞ 0 ， b ＞ 0) (a＞0，b＞0) a b 方程 a b
求双曲线的标准方程
求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a＝4，且经过点 (2)经过点
4 A1， 5 和
10 ； 3
4 P23 7，4两点．
3 P1－2，2
【思路探究】 出 a2、b2 的值？
(1)所求曲线的焦点位置确定吗？(2)如何求
【自主解答】
(1)设两焦点分别为 F1、F2，由定义：
||PF1|－|PF2||＝4， 又∵|PF2|＝8，∴|PF1|＝4 或|PF1|＝12. x2 y 2 (2)在 9 －16＝1 中，a＝3，b＝4，c2＝a2＋b2＝25，∴c＝5. ∴由条件知，|PF2|＝|F1F2|＝2c＝10. 又∵P 为双曲线 C 的右支上一点， ∴|PF1|－|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝16.
10 2 ，得 b ＝9 ， 3
y2 x 2 ∴双曲线的标准方程为16－ 9 ＝1.
x2 (2)法一 当双曲线的焦点在 x 轴上时， 设双曲线方程为a2－ y2 b2＝1(a＞0，b＞0)． ∵P1、P2 在双曲线上，
3 2 5 2 －2 －2 ＝1 a2 b2 ∴ 4 7 2 3 42 2 － 2＝1 a b
双曲线的标准方程
【问题导思】 类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说怎样选择坐标系， 建立双曲线的标准方程吗？
【提示】
以经过两焦点 F1、F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2
的垂直平分线为 y 轴建坐标系．
焦点在 x 轴上 标准
焦点在 y 轴上
y2 x 2 x2 y2 2－ 2＝1 2－ 2＝1 ( a ＞ 0 ， b ＞ 0) (a＞0，b＞0) a b 方程 a b
求双曲线的标准方程
求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a＝4，且经过点 (2)经过点
4 A1， 5 和
10 ； 3
4 P23 7，4两点．
3 P1－2，2
【思路探究】 出 a2、b2 的值？
(1)所求曲线的焦点位置确定吗？(2)如何求
【自主解答】
(1)设两焦点分别为 F1、F2，由定义：
||PF1|－|PF2||＝4， 又∵|PF2|＝8，∴|PF1|＝4 或|PF1|＝12. x2 y 2 (2)在 9 －16＝1 中，a＝3，b＝4，c2＝a2＋b2＝25，∴c＝5. ∴由条件知，|PF2|＝|F1F2|＝2c＝10. 又∵P 为双曲线 C 的右支上一点， ∴|PF1|－|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝16.
2.3.1双曲线的标准方程课件人教新课标B版
34 n
n 16
n 3
则实数 n的值是__________
拓展
2
2
x
y
已知 F1，F2 是双曲线 1 的两个焦点，PQ 是过点
16 9
F1 的弦，且 PQ 的倾斜角 ，那么| PF2 | | QF2 | | PQ | 的值
P
y
是( C )
A. 8
B. 12
C. 16
D. 随 角的大小而变化
MF1 MF2 2a
x c y2
2
x c y 2 2a
2
5
x c
2
y
2
x c
2
y 2 2a
x2
y2
2
1
2
2
a
c a
c a b
2
2
2
b 0
焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程.
2
2
x
y
2 1 ( a 0, b 0)
平面内,到两定点 F1 ,F2 的距离的差的绝对值等于
非零常数（常数 | F1F2 |）的点的轨迹叫做双曲线，其
中 F1 ，F2 叫做双曲线的焦点，| F1F2 | 叫做焦距，记为 2c.
M
F1
2c
F2
| MF1 | | MF2 | 2a
(0 2a 2c)
练习1
已知两定点 F1，F2 之间的距离为 10 ，且动点 P 满足
| PF1 | | PF2 | 8 ，请判断 P 的轨迹.
变式1
| PF1 | | PF2 | 8
双曲线
双曲线的一支
变式2
n 16
n 3
则实数 n的值是__________
拓展
2
2
x
y
已知 F1，F2 是双曲线 1 的两个焦点，PQ 是过点
16 9
F1 的弦，且 PQ 的倾斜角 ，那么| PF2 | | QF2 | | PQ | 的值
P
y
是( C )
A. 8
B. 12
C. 16
D. 随 角的大小而变化
MF1 MF2 2a
x c y2
2
x c y 2 2a
2
5
x c
2
y
2
x c
2
y 2 2a
x2
y2
2
1
2
2
a
c a
c a b
2
2
2
b 0
焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程.
2
2
x
y
2 1 ( a 0, b 0)
平面内,到两定点 F1 ,F2 的距离的差的绝对值等于
非零常数（常数 | F1F2 |）的点的轨迹叫做双曲线，其
中 F1 ，F2 叫做双曲线的焦点，| F1F2 | 叫做焦距，记为 2c.
M
F1
2c
F2
| MF1 | | MF2 | 2a
(0 2a 2c)
练习1
已知两定点 F1，F2 之间的距离为 10 ，且动点 P 满足
| PF1 | | PF2 | 8 ，请判断 P 的轨迹.
变式1
| PF1 | | PF2 | 8
双曲线
双曲线的一支
变式2
高中数学人教B版选修2-1课件：2.3.1 双曲线的标准方程
焦点
a,b,c的 关系
F(±c，0) F(0，±c)
a>b>0，a2=b2+c2
F(±c，0) F(0，±c)
a>0，b>0，a与b没有 大小关系，c2=a2+b2
典例分析
解：
1.确定双曲线类型 2.待定系数法求系数
a2=-16，
∴
解得：
(舍去)
b2=-9.
典例分析
将P、Q两点坐标代入可得 a2=9，
典例分析
解：
化为边
y
O
x
典例分析
跟踪训练
3.已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，
动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：圆F1：圆心F1(－5，0)，半径r1＝1；
寻找M满足的 几何条件
圆F2：圆心F2(5，0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R， 消去R
归纳小结
当堂训练
D
当堂训练
2.双曲线的焦点为(-2,0)和(2,0), 且b=1,则双曲线
的标准方程是
.
解得： b2=16，
典例分析
另解： (1)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵P、Q两点在双曲线上，
∴
典例分析
依题设有 解得a2=5，b2=1，
典例分析
另解：
跟踪训练
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上； (2)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)．
典例分析
焦点三角形 ||PF1|-|PF2||=2a |F1F2|=2c
y
O
人教版选修2-1【数学】1双曲线定义与标准方程 (共33张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过高Biblioteka 的奢望，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
■
电
(x c)2y2(x c)2y2 2 a
2
2
(x c )2 y 2 2 a (x c )2 y 2
人教版高中数学B版选修2-1第二章2.3.1双曲线的标准方程公开课教学课件共20张PPT
线段F1F2的垂直平分线。
根据以上分析，试给双曲线下一个
F1
F2
完整的定义？
M
实验探究 生成定义 群策群力 深化概念 理解概念 探求方程 知识迁移 深化认知
定义 方程 应实实用验验探探小究究结生生成成练定定习义义
双曲线的几何定义：平面内与两个定点F1，F2的距
离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹
定义 方程 应实用验探小究结生成练定习义
练习：已知A (0,-5),B(0,5), PA PB 2a, 当a=3或a=5 时，P点的轨迹为 （ D ）
A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D. 双曲线一支或一条射线
定义 方程 应实用验探小究结生成练定习义
1.建系设点: 如图建立直角坐标系，
x2
y2
3、如果方程
1表示焦点在x轴上的双曲线，则m
2 m m1
的取值范围是 __m__|_m_>_－__1_
x2
a2
-
y2 b2
=1
(a>0,b>0)
M
叫做双曲线的标准方程 它表示的双曲线焦点在x轴上， 焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2
F1 o F2 x
思考
当双曲线的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢？
y F2
o
y2 x2
a2 － b2 =1
x
F1（0, -c）、F2（ 0, c ）
实验探究 生成定义 群策群力 深化概念 理解概念 探求方程 知识迁移 深化认知
定义 方程 应实用验探练究习生成小定结义
跟踪训练：
方程 x 2 y2 1 表示焦点在y轴双曲线时， 2m m1