第三章 空间力系
第三章 空间力系分解
F k i x
Fy Fxy
力对轴之矩计算公式
Fx
j y Fx
z x
M x ( F ) yFz zFy Fy y M y ( F ) zFx xFz
F F1 F2
F1
F2
r
M1 M2
F1'
F2'
F
'
F ' F1' F2'
M R {F , F ' }
M R r F ' r (F1 'F2 ' ) r F1 'r F2 ' M1 M2
rDC
C
F2
F1 '
M1 rBA F1
F2 '
M 2 rDC F2
rBA F1 M1 M 2 rDC F2
基本量的计算
二、力偶的性质
性质一 力偶不能与一个力等效 {F , F '} {FR } 性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平 面),而不改变对刚体的作用效应
Fxy
M z ( F ) xFy yFx
问题：力对轴之矩与力对点之矩有什么关系？
基本量的计算
力对轴之矩
MO
O
z F
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
力对点之矩在各坐标轴上的投影
x
y r
M Ox yFz zFy M Oy zFx xFz M Oz xFy yFx
力学第三章空间力系
第三章空间力系二、基本内容1. 基本概念1) 力在空间直角坐标轴的投影(a) 直接投影法：巳知力F 和直角坐标轴夹角a 、丫,则力F 在三个轴上的投 影分别为X = F cos aZ = Feos/(b) 间接投影法(即二次投影法)：巳知力F 和夹角八°,则力F 在三个轴上的 投影分别为X = F sin/cos^9Y = F sin/sin 。
Z = F cos/2) 力矩的计算(a) 力对点之矩—、目的和要求能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影。
熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。
对空间力偶的性质及其作用效应有清晰的理解。
了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。
能正确地画出各种常见空间的约束反力。
会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。
对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体 的重心。
1、2、3、4、5、6^ 7、在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为i j kM0(F) = rx F = x y z = (yZ - zY)i + (zX - xZ)j + (xY - yX)kX Y Zr = xi + yj + zk F = Xi+ Yj + Zk其中尸为力尸作用点的位置矢径(b)力对轴之矩在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即M Z(F) = ±F u,h = +2AOAB在直角坐标条下有Mx (乃=yZ-zY M y (F)=zX-xZ M z (F) =xY-yX(c)力矩关系定理力对己知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。
在直角坐标系下有Mo(F)^M x(F)i+My(F)j+M2(F)k(d)合力矩定理空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即Mo g)二 W, (F)空间力系的合力对任一轴(例如z轴)之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即M z(F R)=ZM z(F)=Z(xY-yX)3)空间力偶及其等效条件(a)力偶矩矢空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素(力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向)，它可用力偶矩矢肱表示。
空间力系
第三章 空间力系一、空间汇交力系（一）空间汇交力系的合成 1．空间力在坐标轴上的投影 （1）一次投影法如图3-1所示,若已知力F 与三个坐标轴x,y,z 间的夹角分别为θ、β和γ，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为⎪⎭⎪⎬⎫===γβθcos cos cos z y x F F F （3.1）图3-1相应的，若已知力F 的三个投影，可以求出力F 的大小和方向，即大小为 222z y x F F F F ++=（3.2）方向 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===F FF F F F z yx γβθcos cos cos（3.3）（2）二次投影法如图3-2所示,若已知力F 与坐标轴Oxy 的仰角γ以及力F 在Oxy 平面上的投影xy F 与x 轴间的夹角ϕ，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为γϕλϕγsin sin in cos in F F Fs F Fs F z y x ===，，图3-22．合力投影定理 合力在某轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。
即∑=+++=xixn x x Rx FF F F F 21 同理 ∑∑==ziRz yi RyF F F F ，3．空间共点力系的合成空间共点力系可以合成为一个合力，该合力的作用线通过力系的公共作用点，合力的大小和方向为()()()222∑∑∑++=zyxR F F F F （3.4）()()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑R z R R yRR xRF F F F F F k F j F i F ,cos ,cos ,cos（3.5）（二）空间汇交力系的平衡 1．空间汇交力系的平衡条件空间汇交力系平衡的充要条件是合力等于零，即()()()0222=++=∑∑∑zyxR F F F F2．空间汇交力系的平衡方程根据平衡条件，得到空间汇交力系的平衡方程为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===∑∑∑000y x zFFF（3.6）利用上述三个方程，可以求解3个未知量。
静力学第三章
静力学第三章空间力系空间力系是各力的作用线不在同一平面内的力系。
这是力系中最一般的情形。
许多工程结构和机械构件都受空间力系的作用，例如车床主轴、桅式起重机、闸门等。
对它们进行静力分析时都要应用空间力系的简化和平衡理论。
本章研究空间力系的简化和平衡问题，并介绍物体重心的概念和确定重心位置的方法。
与研究平面力系相似，空间力系的简化与平衡问题也采用力系向一点简化的方法进行研究。
第一节空间力的分解与投影一、空间力的分解如图3-1所示，设力F 沿直角坐标轴的分力分别为F x、F y、F z，则(3-1)图3-1力F的三个分力可以用它在三个相应轴上的投影来表示：(3-2)则(3-3)其中i、j、k分别是x、y、z轴的正向单位矢量。
二、空间力的投影1.直接投影法如图3-2所示，若已知力F与空间直角坐标轴x、y、z正向之间夹角分别为α、β、γ，以F x、F y、Fz表示力F在x、y、z三轴上的投影，则(3-4)力在坐标轴上的投影为代数量。
在式(3-4)中，当α、β、γ为锐角时，投影为正，反之为负。
图3-22.二次投影法若力F在空间的方位用图3-3所示的形式来表示，其中γ为力F与z轴的夹角，φ为力F所在铅垂平面与x轴的夹角，则可用二次投影法计算力F在三个坐标轴上的投影。
先将力F向z轴和xy平面投影，得注意：力在平面上的投影F xy为矢量。
再将F xy向x、y轴投影，得因此(3-5)图3-3反之，若已知力在直角坐标轴上的投影，则可以确定该力的大小和方向。
(3-6)其中α、β、γ为力F分别与x、y、z轴正向的夹角。
静力学第三章空间力系第二节力对点之矩与力对轴之矩一、力对点之矩在平面问题中，力F与矩心O 在同一平面内，用代数量M O(F)就足以概括力对O 点之矩的全部要素。
但在空间问题中，由于各力与矩心O所决定的平面可能不同，这就导致各力使刚体绕同一点转动的方位也可能不同。
为了反映转动效应的方位，力对点之矩必须用矢量表示。
第三章 第四节 空间力系的简化
' FR
'' ' FR d FR FR
O'
d FR
MO(FR) =MO=SMO(F ) Mx(FR)=SMx(F )
空间力系对点(轴)之矩的合力矩定理
4. 空间力系简化为力螺旋的情形 FR' ≠0 MO ≠ 0且FR' // MO 力螺旋 ' FR MO ' FR ' FR MO O O O 右螺旋 力系的中心轴：力螺旋中力的作用线 左螺旋
F1' M2 M1
F2'
O
FR' MO
Fn' ห้องสมุดไป่ตู้M F3' Mn 3 Mi=MO(Fi )
2. 主矢和主矩 主矢：空间力系中所有各力的矢量和 (与简化中心的位置无关)
FR'= SF
主矩：各力对于任选的简化中心 O之矩的矢量和 MO=SMO(F ) (一般与简化中心的位置有关)
三、空间力系的简化结果 合力矩定理 1. 空间力系平衡的情形 FR' =0 MO=0 2. 空间力系简化为一合力偶的情形 FR' =0 MO≠0 (主矩与简化中心的位置无关) 3. 空间力系简化为一合力的情形 合力矩定理 (1) FR' ≠0 MO=0 合力的作用线通过简化中心O，合力矢等于原力系的主矢。 (2) FR' ≠0 MO ≠ 0且FR' ⊥ MO 合力的作用线通过另一点O ' ，d=MO /FR MO
一、空间力的平移定理 空间力的平移定理：作用在刚体上的一个力，可平行移至刚体 中任意一指定点，但必须同时附加一力偶，其力偶矩矢等于原 力对于指定点的力矩矢。
第四节 空间力系的简化
第三章 空间力系
第三章 空间力系一、是非题判断题3.1.1 对一空间任意力系，若其力多边形自行封闭，则该力系的主矢为零。
（ ∨ ） 平面力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。
（ × ）3.1.2只要是空间力系就可以列出6 个独立的平衡方程。
（ × ） 3.1.3若由三个力偶组成的空间力偶系平衡，则三个力偶矩矢首尾相连必构成自行封闭的三角形。
（ ∨ ） 3.1.4 空间汇交力系平衡的充分和必要条件是力系的合力为零；空间力偶系平衡的充分和必要条件是力偶系的合力偶矩为零。
（ ∨ ）二、填空题3.2.1 若一空间力系中各力的作用线平行于某一固定平面，则此力系有 5 个独立的平衡方程。
3.2.2 板ABCD 由六根杆支承如图所示，受任意已知力系而处于平衡，为保证所列的每个方程中只包含一个未知力，则所取力矩平衡方程和投影平衡方程分别为 ：三、计算题3.3.1在图示力系中，F 1=100N ，F 2=300N ，F 3=200N ，各力作用线位置如图所示，求力系向点O 简化的结果。
∑=0CD M 6F ⇒∑=0CG M 5F ⇒∑=0AC M 4F ⇒∑=0DHM 1F ⇒∑=0CDF 3F ⇒∑=0BDM2F ⇒Rx F ' 解： 510013100N 3345.-=51002002001310020030032⨯⨯=--==∑--cos sin βαF F X Ry F 'N F Y 6249131003003002.cos =⨯===∑αRz F 'NF F Z 5610510010020010031.cos =⨯-=-==∑β)(...'N k j i k Z j Y i X F R 561062493345∑∑∑++-=⋅+⋅+⋅=∴x M 0 Nm 7951.-=510010020013100300300301032⨯⨯⨯⨯=--==∑0.3--0.1sin .cos .βαF F M x y M 0Nm F F M y 64361310020030010020102021.0.1-.sin ..-=⨯⨯⨯-=-==∑αZ M 0Nm59103.=200200200300303032⨯⨯+⨯⨯=+==∑0.30.3cos .sin .βαF F M Z3.3.2 如图所示的空间构架由三根杆件组成，在D 端用球铰链连接，A 、B 和C 端也用球铰链固定在水平地板上。
理论力学---第三章 空间力系
B
P
Fz 0 : F cos P 0
E
C
D FD
F
C
z
A y
F
x
P
12
B
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
3.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢 空间力对点的矩的作用效果取决于： MO(F)
z B F
(1)力矩的大小 (2)转向 (3)力矩作用面方位。
h 这三个因素可用一个矢量 M O (F ) 表示。 x 矢量的方位：与作用平面法线 大小： M O (F ) Fh
例1 重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承，如图。
＝ 45° 已知:P＝1000N，CD＝AC＝AD，E为CD中点，
不计杆重；求绳索的拉力和杆所受的力。 解：以铰A为研究对象，受力如图。
E
C
D
A
Fx 0 : FC sin FD sin 0
Fy 0: FC cos FD cos F sin 0
齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角 ，试求力 Fn 沿 x，y 和 z 轴的分力。
6
解： 将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
Fz Fn sin ,
将力Fxy向x，y 轴投影
Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
z Fz F B Fy
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O ( Fy )
xFy yFx
理论力学第三章
例题
空间力系
例 题 3-3
解：1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。
z E D
F2
B
z E
C
F
30o
F
30o
F1
B
F1
α
其侧视图为
A
x
FA
G
y
α
A
FA G
y
13
例题
空间力系
2.列平衡方程。
例 题 3-3
z E C F
30o
D
F2
B
z E F
30o
F
F1
B
x
0, 0,
力对点 O 的矩在三个坐标轴上的投影为
M O ( F ) yFz zFy x
M O ( F ) zFx xFz y
M O ( F ) xFy yFx z
17
2.力对轴的矩
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
z 轴的分力。
5
例题
空间力系
例 题 3-1
运
动
演
示
6
例题
空间力系
例 题 3-1
解： 将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
Fz Fn sin
Fxy Fn cos
7
例题
空间力系
例 题 3-1
Fz Fn sin Fxy Fn cos
将力Fxy向x，y 轴投影
5 31 30 cosFR , j 31 6 cosFR , k 31 cosFR , i
解： 由上表得
Fx 1 kN 2 kN 0 kN 2 kN 5 kN, Fy 10 kN 15 kN 5 kN 10 kN 30 kN, Fz 3 kN 4 kN 1 kN 2 kN 6 kN
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d MO FR
MO
O
FR'
（a)Biblioteka OFR d FR O' FR
(b)
O d
O' FR
(c)
13
(b) FR // MO
空间力系 第四章
原力系简化成力螺旋，即力与力偶作用面垂直。例如
力螺旋不能进一步的合成为一个力或力偶。
14
空间力系 第四章
(c) FRMO
这是最一般的情况，可进一步简化成力螺旋。因此，在一般的情 况下空间任意力系可合成为力螺旋。
1
§3-3 空间力偶
空间力系 第四章
1. 概念 力偶是力系的基本元素。由一对等值、反向不共线的力组成。
两力线距离d力偶臂。其作用面称旋转平面。 力偶对空间任意点的合力矩为M=Fd，称力偶矩。 力偶矩有两个要素：大小M=Fd ；方向（右手螺旋法则）。
M F'
d
F
2
2. 空间力偶的矢量表达式
6
例题
空间力系 第四章
工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力
偶矩均为80 N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx， My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。
7
解：
空间力系 第四章
将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。可得
M x M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1 N m M y M 2 80 N m M z M1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1 N m
若空间任意力系可以合成为一个合力时,则其合力对于任 一点或轴之矩等于力系中各力对于同一点或轴之矩的矢量
和或代数和,即空间力系合力矩定理
12
3 主矢F’R ≠ 0，主矩MO≠0
空间力系 第四章
此时分三种情况讨论。
(a) FR MO
可进一步简化成一合力
合力的大小和方向与主矢相等，
FR FR
10
空间力系 第四章
Fn
An
F2
F1 m2
m1
mn F2
M 0
F0
Fn
A1 F1 A2
FR0 F' F F'R
与平面力系一样,空间力系的主 矢与简化中心的位置无关,而主
Mo M M0(F) M0
矩一般将随着简化中心的位置 不同而改变。
空间任意力系向任一点简化的结果,可得到一力和一力偶, 该力作用于简化中心； 其力矢等于力系的主矢； 该力偶的力偶矩矢等于力系对于简化中心的主矩。
（1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。 （3）只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行
的任一平面，对刚体的作用效果不变。 （4）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时
改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。
所以合力偶矩矢的大小
M
M
2 x
M
2 y
M
2 z
284.6
N
m
合力偶矩矢的方向余弦
cosM , i 0.6786 cosM , j 0.2811 cosM,k 0.6786
A
8
§3-4 空间任意力系向一点的简化
1. 简化
F'R Fi
简化中心； 主矢：矢量和、主矢的分量；
FRx Fx
FRy
Fy
主矩：各力对简化中心点之矩的矢量和； FRz
Fz
主矩的分量。
主矢与简化中心的位置无关。力系的主 MO
Mi
矢如果非零，则主矩值与简化中心的位置 有关。
M Ox (y iFzi ziFyi ) M Oy (ziFxi xiFzi )
11
2．空间任意力系的简化结果分析（四种情空间形力系）第四章
1 简化结果为一力偶
主矢F’R=0，主矩MO≠0。此力系简化结果与简化中心位置无关。
2 简化结果为一合力
主矢F’R ≠ 0，主矩MO=0，主矢是合力 FR，作用线过简化中心；
此力系若向其它点简化，简化结果不同。即主矩不再为零。简化 结果与简化中心位置有关。
=
=
5
4. 空间力偶系的合成与平衡
合成 空间力偶系统的合力偶，为各力偶的矢量和。
M Mi M xi , M yi , M zi
平衡 对于空间力偶系统平衡的充要条件：合力偶矩等于零，即各力
偶矩的三个分量代数和为零。
M 0
M M
x y
0 0
M z 0
(4) FR 0, MO 0
MO(F)=r×F
M MO (F) MO (F') rA F rB F '
rA rB F
rF rBA F '
M与O点位置无关。
空间力偶是自由矢量
rA rB r r rA rB rB rA rBA rBA rB rA
z
B
M
F'
rBA
d
rB r A
F
O
rA
y
x
3
3. 空间力偶等效定理
作用在同一刚体两个力偶，若它们的力偶矩矢相等， 则两个力偶等效。
M1 M2
M M
1x 1y
M 2x M2y
M1z M 2z
F '2 d2
z
F '1
M2
r1
r2
O
F2 x
M1
d1
F1
y
4
推论：力偶的性质
作用等效定理：空间在力同系 一第刚四章体两个力偶，若它 们的力偶矩矢相等，则两个力偶等效。
知识回顾
空间汇交力系合力的计算 空间汇交力系平衡的充要条件 力对点的矩——力矩矢 力对轴的矩 力对点的矩和力对轴的矩之间的关系
MO(F) x yFz zFy MO(F) x M x(F) MO(F) y zFx xFz MO(F) y M y(F) MO(F) z xFy yFx MO(F) z M z(F)
M Oz
(xiFyi y iFxi )
9
空间力系 第四章
简化理论依据：力线平移定理
M M (F)
0
F F
o d
o
A
力线平移定理：作用于刚体上的任一力,可平移至刚体的任意一点,
欲不改变该力对于刚体的作用,则必须在该力与指定点所决定的平面内 加一力偶,其力偶矩矢等于力对于指定点之矩矢.