第五章 空间力系

合集下载

空间力系介绍

空间力系介绍

y
x
3.空间力系的平衡
空间力系的简化:与平面任意力系的简化方法一样,空
间力系也可以简化为一个主矢和一个主矩。
FR ' ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
Mo [ M x (F)]2 [ M y (F)]2 [ M z (F)]2
• 空间力系的平衡方程 平衡的必要与充分条件:
M=o0, F=R0
平衡方程:
Fx 0
Fy 0
Fz Mx My
0 (F) (F)

00
M z(F) 0
3.空间力系平衡问题的平面解法
在工程中,常将空间力系投影到三个坐标平 面上,画出构件受力图的主视、俯视、侧视等三 视图,分别列出它们的平衡方程,同样可解出所 求的未知量。这种将空间问题转化为平面问题的 研究方法,称为空间问题的平面解法。
x
y Fx
Fxy
A Fy
2.力对轴之矩
合力矩定理 :如一空间力系由F1、F2、…、Fn组 成,其合力为FR,则合力FR对某轴之矩等于各分
力对同一轴之矩的代数和。
M z (FR ) M z (F)
例1:图示力F=1000N,求F对z轴的矩Mz。 FZ
z
Fx
Fy
Fxy
x
5
Fy
Fx
Fxy
10
则力在三个坐标轴上的投影 分别为 :
z
Fz
Fx Fy

F F
sin sin
cos sin

Fz F cos
若已知力在三个坐标轴上的投
F 影Fx、Fy、Fz,也可求出力的大小 x
和方向,即 :

第五章空间力系 第二节 力对轴的矩

第五章空间力系   第二节 力对轴的矩
第二节
力对轴的矩与力对点的矩的矢量定义
1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
MO F = r F
B F
三要素:
(1)大小:力 F 与力臂的乘积
MO F A x, y, z
O
r
h
(2)方向:右手螺旋法则决定 (3)作用点:O点.
其中: r = xi + yj + zk
MO F = r F = x
MO (F )z xFy yFx
x
=
M O (F ) y
=
MO (F )z
MO F
z
B F
k
O
j
h
r
A x, y, z
y
i
一、力对轴的矩的定义 力对轴的矩定义为力在垂直于 轴的平面上的投影对轴与平面 交点的矩,即
Fz
F
M z F M O Fxy Fxy d
M y (F ) zFx xFz 0 l F cos Fl cos M z F xFy yFx 0 l a F sin F l a sin
两种计算方法结果同
[例2] 如图,长方体边长分别为a、b、c,沿其对角线 AB 作用一力 F。试求力 F 对 x ,z 及 y1 三轴的矩。 解:将力 F 作三维正交分解,其中分力大小
说明:1)力对轴的矩为代数量,其正负 号按右手螺旋法则确定; 2)若力的作用线与某轴相交或平 行,则力对该轴的矩必为零。
Fxy
二、力对轴的矩的解析算式
M z F M O Fxy xFy yFx MO (F )z
同理可得力 F 对 x 、y 轴的矩的

第5章空间力系与重心讲解

第5章空间力系与重心讲解

第5章空间力系与重心教学提示:本章介绍空间力系和重心、包括空间力的投影与分解、力对轴之矩、空间力系的平衡、物体的重心.是静力学重要内容之一。

教学要求:本章是学生掌握以下内容,并学会实际应用。

(1) 空间汇交力系的概念(2) 力对轴之矩和力对点之矩概念和计算(3) 空间力偶系(4) 空间力系的简化(5) 空间力系的平衡条件和平衡方程(6) 物体的重心5.1力在直角坐标轴上的投影已知力F与x轴如图5.1(a)所示,过力F的两端点A、B分别作垂直于x轴的平面M及N ,与x轴交于a、b,则线段ab冠以正号或负号称为力F在x轴上的投影,即F x=±ab符号规定:若从a到b的方向与x轴的正向一致取正号,反之取负号。

已知力F与平面Q,如图5.1(b)所示。

过力的两端点A、B分别作平面Q的'称为力F在平面Q上的投影。

应注意的是力在垂直线AA′、BB′,则矢量BA'平面上的投影是矢量,而力在轴上的投影是代数量。

(a) (b)图5.1图5.2现在讨论力F 在空间直角坐标系Oxy 中的情况。

如图5.2(a)所示,过力F的端点A 、B 分别作x 、y 、z 三轴的垂直平面,则由力在轴上的投影的定义知,OA 、OB 、O C 就是力F 在x 、y 、z 轴上的投影。

设力F 与x 、y 、z 所夹的角分别是α、β、γ,则力F 在空间直角坐标轴上的投影为:⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γβαc o s c o s c o s F F F F F F z y x (5-1)用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。

一般情况下,不易全部找到力与三个轴的夹角,设已知力F 与z 轴夹角为γ ,可先将力投影到坐标平面Oxy 上,然后再投影到坐标轴x 、y 上,如图5.2(b )所示。

设力F 在Oxy 平面上的投影为F xy 与x 轴间的夹角为θ,则⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γθγθγc o s s i n s i n c o s s i n F F F F F F z y x (5-2)用这种方法计算力在轴上的投影称为二次投影法。

工程力学第五章 空间力系(2)

工程力学第五章   空间力系(2)
l l l
14
下面用积分法求物体的重心实例: [例] 求半径为R,顶角为2 的均质圆弧的重心。
解:由于对称关系,该圆弧重心必在Ox轴,即yC=0。取微段
dL Rd
x Rcos
x dL L xC L
O

2 cos R d
2R
xC
Rsin
物体分割的越多,每一小部分体积越小,求得的重心
Pxi xC ,
位置就越准确。在极限情况下,(n),常用积分法求物
体的重心位置。
9
设i表示第i个小部分每单位体积的重量,⊿Vi第i个小 体积,则
Pi i Vi
代入上式并取极限,可得:
xdV ydV zdV V V V xC , yC , zC P P P
Pi zi PzC Pi zi , zC
P
综合上述得重心坐标公式为:
Pi xi Pi yi Pi zi xC , yC , zC P P P
12
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
m i x i mi yi mi zi xC , yC , zC M M M
空 间 汇 交 力 系
X 0 Y 0 Z 0
空 间 轴 力 系
X 0 m y 0 mz 0
∥x
19
X 0
面空 的间 力 系 ∥xoy
Y 0 m x 0 m y 0 mz 0
X 0 Y 0 m x 0 m y 0 mz 0 m x' 0
m y 0; Pz 50100Q x 0,Q 746( N )
3
m z A 0; 300Px 50Py 200X B 50Q cos200 0, X B 437( N ) X 0; X A X B Px Q cos200 0, X A 729( N ) m x A 0; 200Z B 300Pz 50Q sin200 0, Z B 2040( N ) Z 0; Z A Z B Pz Q sin200 0, Z A 385( N )

第五章空间力系

第五章空间力系

力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知:力 ,力 在三根轴上的分力 用点的坐标 x, y, z , , ,力 作
求:力
对 x, y, z轴的矩
=0
=
(5-7)
= =
+0
(5-8)
= =
+ 0 (5-9)
比较(5-5)、(5-7)、(5-8)、(5-9)式可得
即,力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影,等于 力对该轴的矩。
0 0 0
FOx Fx 0
FOy Fy 0
=
=
F1 F1 F2
F2 F3 F3
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量(搬来搬去,滑来滑去) 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效
(5)力偶没有合力,力偶平衡只能由力偶来平衡。
3.力偶系的合成与平衡条件
=
=
如同右图

为合力偶矩矢,等于各分 力偶矩矢的矢量和。
合力偶矩矢的大小和方向余弦
又: Fr 0.36 F , 结果:F 10.2kN, F 3.67kN,
FAx 15.64kN, FAz 31.87kN, FBx 1.19kN, FBy 6.8kN, FBz 11.2kN,
研究对象2:工件 受力图如图 列平衡方程
F F F
x y
力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素: (1)大小:力F与力臂的乘积 (2)方向:转动方向
(3)作用面:力矩作用面。
( 5 –3 ) 即:力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢 径与该力的矢量积。
空间力对点之矩特征
• (1)力对点之矩依赖于矩心的位置,是定位 矢量。矩心相同的各力矩矢量符合矢量合成 的平行四边形法则。 • (2)力矩的大小 MO ( F ) F h 2SOAB (3)力矩的方向 力矩矢量的方位沿力矩作用面的法线,指向 由右手螺旋法则确定,即以右手四指弯曲的 方向表示力矩的转向,大拇指的指向即表示 力矩矢量的指向。 或:从这个矢量的末端来看,物体有该力所 引起的转动是逆时针方向。 力对点之矩矢量以带圆弧箭头的有向线段表示。

《工程力学》教学课件 第5章 空间力系

《工程力学》教学课件 第5章  空间力系
在平面力系中,力 F 与矩心 O 在同一个平面内,用代数量 MO (F ) 就足以概括力对点 O 之矩 的全部要素。但在空间力系中,由于各力与矩心 O 所决定的平面可能不同,导致各力使刚体绕同 一点转动的方位不同。当方位不同时,即使力矩的大小相同,作用效果也会完全不同。例如,作 用在飞机尾部垂直舵和水平舵上大小相同的力,对飞机产生的绕重心转动的效果却不同,前者使 飞机转弯,而后者则使飞机俯卧。
从实践中可知,如果推门时力的作用线与门的转轴平行或相交,无论力多大,门都不会发生 转动。如图 5-6(a)所示,当力 F 与门的转轴 z 共面时,力对轴不产生转动效应,即力对轴之矩 为零。
如图 5-6(b)所示,如果推门时力 F 在垂直于转轴 z 的平面内,此时就能把门推开。实践证 明,力 F 越大或其作用线与转轴间的垂直距离 d 越大,转动效果就越明显。因此,可以用力 F 的 大小与垂直距离 d 的乘积来度量力 F 对刚体绕定轴的转动效应,其转向可用正负号区分。若将力 F 对 z 轴之矩用 M z (F ) 表示,则
1.2 力在空间直角坐标轴上的投影
首先,将力 F 向 z 轴和 Oxy 平面上投影,得 Fz F cos γ Fxy F sin γ
然后再将 Fxy 向 x,y 轴上投影,得 即力 F 在 x,y,z 轴上的投影为
Fx Fxy cos φ F sin γ cos φ
Fy
Fxy
sin φ
F
MO (F ) Fd 2A△OAB
(5-9)
式中, A△OAB 表示三角形 OAB 的面积。 由以上定义可知,力矩矢 MO (F ) 的大小和方向
与矩心 O 的位置有关,即力矩矢 MO (F ) 是一个定位矢量。
图5-5
2.1 力对点之矩

第五章空间力系(6学时)

第五章空间力系(6学时)

第五章空间力系(6学时)
教学目标:
通过本章的学习,使学生了解各种力系的简化,掌握力在空间直角坐标系上的投影,重新再学习力对点之矩的概念(将平面力对点之矩视为特例),做到融会贯通。

了解力对点之矩和力对轴之矩的关系,掌握力对轴之矩的计算。

最终使学生熟练掌握空间任意力系及其特殊力系平衡问题的解法,熟练灵活地运用平衡方程的各种形式。

教学重点:
空间任意力系的受力分析,任意力系平衡问题的解法,平衡方程的各种形式及灵活运用。

教学难点:平衡方程的灵活运用。

学习内容1:(2学时)
1、力在直角坐标轴上的投影,空间汇交力系的合成与平衡(教材P76起)
例题:5-1
2、再继续学习“主矢与主矩.MP4”
注意:学习力对点之矩和力对轴之矩
例题:5-3
3、主矢量和主矩例题1-3.MP4(学习例题2、3,一定要掌握例题3的第二个方法)
思考题1:
1、再次理解主矢和合力的区别与联系
2、
学习内容2:(2学时)
1、空间力偶系.MP4
2、刚体系平衡-组合结构.MP4(通过实例讲空间力系的简化)
3、力系简化结果的分析.MP4
4、平衡方程.MP4
5、学习常见空间约束,教材P88表5-1
思考题:P96: 5-1、5-2、5-4
学习内容3:(2学时)
1、课件上5.5节两个附加例题
2、重心.MP4
例题5-4、5-5、5-7。

作业:5-9、5-10 、5-15。

第5章 空间任意力系

第5章 空间任意力系

例5-8 已知:Fx 4.25N,Fy 6.8N, Fz 17N, Fr 0.36 F , R 50mm , r 30mm 各尺寸如图
求: (1) Fr , F (2)A、B处约束力(3)O 处约束力
解:研究对象1:主轴及工件,受力图如图
F F F
x y
0 0 0
物体的重心(形心)与静矩 1. 计算重心坐标的公式 对y轴用合力矩定理
有 对x轴用合力矩定理

再对x轴用合力矩定理
则计算重心坐标的公式为 (4–14) 对均质物体,均质板状物体,有
称为重心或形心公式
2. 确定重心的悬挂法与称重法 (1) 悬挂法
图a中左右两部分的重量是否一定相等?
(2) 称重法
例5-2,有点问题? 已知: 物重P=10kN,CE=EB=DE; 30 求:杆受力及绳拉力
0

解:画受力图如图, 列平衡方程
F F F
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
y
0 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0 F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0 结果: F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
求:力
对 x, y, z轴的矩
=0
=
= =
+0
-
= =

+ 0
即,力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影,等于 力对该轴的矩。
§5–2 空间任意力系的平衡条件
空间任意力系平衡的充分必要条件:该力系的主矢、 主矩分别为零。 1.空间任意力系的平衡方程
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第五章 空间力系
一、内容提要
本章研究了空间力系的平衡问题和物体重心的计算方法。

1、空间力系的平衡问题
(1)力在空间坐标轴上的投影,可采用下列两种方法:
一次投影法
αcos X F F = βc o s Y F F = γc o s Z F F =
二次投影法
ϕγcos sin X F F = ϕγs i n s i n Y F F = γcos F F Z =
(2)力对轴的矩
力对轴的矩,是力使物体绕某固定轴的转动效应的度量,是一个代数量,它的大小可按下列两种方法求解。

将力投影到垂直于轴的平面上,按平面上力对点的矩计算
()d F F M xy z ±=
将力沿x 、y 、z 轴分解,根据合力矩定理计算。

力与该轴平行或相交时,力对轴的矩为零。

(3)空间力系的平衡方程
空间汇交力系的平衡方程
0X =∑F 0Y =∑F 0Z =∑F
空间平行力系的平衡方程
0Z =∑F ()0=∑F M y ()0=∑F M x
空间一般力系的平衡方程
0X =∑F 0Y =∑F 0Z =∑F
()0=∑F M z ()0=∑F M y ()0=∑F M x
2、重 心
(1)重心与形心的概念
物体的重心是物体各微小部分的重力所组成的空间平行力系的合力的作用点。

形心是物体几何形状的中心。

匀质物体的重心与形心重合。

(2)重心和形心坐标公式
一般物体重心的坐标公式
W W F x F x c ∑∆= W W F y F y c ∑∆= W
W F z F z c ∑∆= 匀质物体重心的坐标公式
V Vx x c ∑∆= V Vy y c ∑∆= V
Vz z c ∑∆= 匀质薄板重心的坐标公式
A Ax x c ∑∆= A
Ay y c ∑∆= (3)组合法求匀质物体的重心(形心)
分割法
负面积法(负体积法)
二、典型例题解析
工程中许多空间受力问题都可以转化成平面问题。

因此,空间力系并非本章的重点内容。

本章的重点在于计算物体的重心或平面图形的形心。

下面这个类型的例题在教材中没有出现,但在工程实际中常会遇到。

知识点:计算物体的重心或平面图形的形心
例 平面桁架由七根等截面的匀质杆构成,尺寸如图所示。

求桁架的重心位置。

解 由于这七根杆都是等截面的匀质杆。

因此其重量与杆长成正比,并且每根杆的重心都在其中点。

设每米长杆重为1,则根据式(5-10)即可计算出x C 、y C 之值。

根据几何关系 l 1 =3m , l 2 = l 3 = l 6 =2.5m , l 4 = l 7 =2m , l 5 =1.5m 。

l lx W Wx x c ∑∑=∑∆=
= m m 16
5.235.12235.23325.225.1125.25.2(=+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯++)() = 1.469 m l ly W Wy y c ∑∑=∑∆=
= m m 16
155.12235.2375.05.15.25.225.25.25.13=+⨯+⨯+⨯+++⨯+⨯)( = 0.938m
三、思考题提示或解答
5-1 力在空间直角坐标轴上的投影和此力沿该坐标轴的分力,它们之间有什么联系与区别?
答:力在空间直角坐标轴上的投影只有大小和正负,它是标量;而力沿坐标轴的分力是矢量,有大小,有方向,其作用效果与作用点或作用线有关。

在坐标轴确定的前提下,二者的大小相等。

5-2 已知下列几种情况,试说明力F 的作用线与x 轴的关系:
(1)ΣF X =0 M z (F )=0;
(2)ΣF X =0 M z (F )≠0;
(3)ΣF X ≠0 M z (F )=0。

答:(1)ΣF X =0 M z (F )=0:该力与z 轴平行或位于Oyz 平面内;
(2)ΣF X =0 M z (F )≠0:该力与x 轴垂直且不与z 轴相交或平行;
(3)ΣF X ≠0 M z (F )=0:该力与z 轴相交且不与x 轴垂直。

5-3 试从空间一般力系的平衡方程,推导出空间汇交力系、空间平行力系、平面一般
力系的平衡方程。

答:某物体受空间汇交力系作用,取各力的作用线的交点为空间坐标原点,不论力系是否平衡,总有()0≡∑F M x ,()0≡∑F M y ,()0≡∑F M z 。

所以,空间汇交力系的平衡方程是: 0X =∑F 0Y =∑F 0Z =∑F
某物体受空间平行力系作用,取z 轴与各力的作用线平行,不论力系是否平衡,总有0X ≡∑F ,0Y ≡∑F ,()0≡∑F M z ,所以。

空间平行力系的平衡方程是:
0Z =∑F ()0=∑F M y ()0=∑F M x
某物体受平面汇交力系作用,取各力的作用线都位于Oxy ,不论力系是否平衡,总有0Z ≡∑F ,()0≡∑F M x ,0≡∑y M ,所以。

平面汇交力系的平衡方程是:
0X =∑F 0Y =∑F ()0=∑F M z
5-4 为什么当匀质物体有对称面、对称轴、对称点时,重心必定在其对称面、对称轴、对称点上?
答:当匀质物体被对称面、对称轴、对称点分割成两部分后,这两部分的重量、体积或面积必然相等,而形心的坐标必定互为相反数,这样乘积后再代数和就必等于零,重心也就必定落在其对称面、对称轴、对称点上了。

5-5 选取不同的坐标轴计算物体的重心时,所得的重心坐标是否相同?重心在物体内的位置是否改变?
答:所得的重心坐标数值不同,但在物体内的位置不会改变。

5-6 利用负面积法(负体积法)求组合形体的重心时,面积(体积)及其相应的形心坐标的正负号如何确定?
答:面积(体积)由于多计算,应减去该部分,故而应为负;相应的形心坐标的正负,则根据负面积(体积)所在坐标系的位置而定。

四、习题解答
5-1试分别求出图示各力在三个坐标轴上的投影,已知:
(1)图a 中F 1=30N ,F 2=20N ,F 3=10N
(2)图b 中F 1=20N ,F 2=15N ,F 3=25N
(空10行)
题5-1图
解 根据六面体的尺寸,直接将边长与对角线的比值代入投影的计算
a ) F 1X =0
F 1Y =0
F 1Z =30 N
F 2X =N N 29.105
33
2022-=+⨯- F 2Y = N N 15.17535
2022=+⨯
F 2Z =0
F 3X = N N 24.45
433
10222=++⨯ F 3Y = N N 07.75
435
10222=++⨯ F 3Z = N N 66.55434
10222=++⨯
b ) F 1X =0
F 1Y = N N 14.142
220=⨯ F 1Z = N N 14.142
220=⨯ F 2X =N N 5.72115=⨯
F 2Y = N N 0.132315=⨯
F 2Z =0
F 3X = N N 5.122125=⨯
F 3Y = 0
F 3Z = N N 65.212
325=⨯ 5-2 已知在图示截面上A 点作用铅垂力F =200kN ,求该力对三个坐标轴的矩。

(空12行)
题5-2图
解 根据力对轴之矩的定义及正负号规定
()=F M x (-200×0.2)m kN ⋅= -40m kN ⋅
()=F M y (-200×0.3)m kN ⋅= -60m kN ⋅
()0=F M z
5-3试求下列各平面图形的形心。

(单位:mm )
(空18行)
题5-3图

a) x C = 0 (利用对称性)
y C = 20
)200160150(10202001002016019020150⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ mm = 91.2 mm b) x C =
20
)100120(50201001020110⨯+⨯⨯+⨯⨯ mm = **27.7 mm y C = 20
)100120(10201007520110⨯+⨯⨯+⨯⨯ mm =**42.0 mm c)
x C =
10)30240(510302201040⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ mm = 15.9 mm
y C = 25 mm (利用对称性)
5-4试求图示阴影面积的形心位置。

(空12行)
题5-4图

a) x C =π
πππ4000010000600100075040000250100005006001000--⨯⨯-⨯-⨯⨯ mm =πππ5.06300253000--- mm =43
.41979 mm = 446.8 mm y C = 300mm (利用对称性)
b)
x C = 0 (利用对称性)
y C =1874
324524365412222a a a a a a a a =-=⨯⨯⨯-⨯。

相关文档
最新文档