2.2.2 椭圆的简单几何性质 2

2 a 20 e b
2
20 ，离心率是
3 5
，
a 10 3 5 c
2
c a

2
c 6 10
2
a
6
2
8
2
2 2
b 8
当焦点在 x 轴时，椭圆的标准方程是
x

y
1
当焦点在 y 轴时，椭圆的标准方程是
100 2 y

64 2 x
1
100
64
焦点坐标
半轴长 离心率
a, b, c 的关系
( c , 0 )、( c , 0 )
长半轴长为 短半轴长为
e c a
( 0 , c )、( 0 , c )
同左 同左 同左
a, b, (a b 0)
( 0 e 1)
a2=b2+c2
练习6.已知椭圆方程为 6 x y 6 则

y b
2 2
1( a b 0 )
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 如何从方程来分析这些对称性呢？ （1）把y换成-y方程不变，椭圆关于x轴对称； （2）把x换成-x方程不变，椭圆关于y轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 椭圆 关于原点成中心对称。
P 2 ( x, y)
*顶点：椭圆与它的对称轴的 四个交点，叫做椭圆的顶点。 这四个顶点的坐标是什么？
A1 ( a , 0 )、A B 1 ( 0 , b )、B
2 2
y
B2
A1
b
a
A2
( a ,0 ) (0, b )
o
B1
c
x
*长轴、短轴：线段A1A2、
B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
*a , b分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。
B2
椭圆落在直线
b
a
A2
a
A1
b
F1
o
B1
c
F2 a
x
b
练习 1 . 口答下列椭圆的范围。 x
2

y
2
1
25
16
5 ≤ x ≤ 5, 4 ≤ y ≤ 4
2.对称性
x a
2 2

y b
2 2
1( a b 0 )
根据椭圆的图形，观察它有何对称性？
y
o
x
2.对称性：
x a
2 2
第二章 圆锥曲线与方程
2.2.2 椭圆的简单几何性质
一、复习回顾：
1.椭圆:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |） 的动点的轨迹叫做椭圆。
| P F1 | | P F2 | 2 a (2 a | F1 F2 |)
2.椭圆的标准方程：
x
2
当焦点在x轴上时 当焦点在y轴上时
它的长轴长是：
短轴长是：
2 6
2
2
;
;
2
2 5
30 6
(0,－ 5 )
焦距是：
离心率等于： 焦点坐标是：
;
;
＿＿＿;
(0, 5)
1, 顶点坐标是：(0, 6) (0,－ 6) (1, 0)(－ 0) ; ＿＿＿＿＿＿＿
外切矩形的面积等于：
4 6
。
例 . 已知椭圆的长轴长是 求该椭圆的标准方程。
解：由题意得:
A2
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1
B1
4.椭圆的离心率
x a
2 2

y b
2 2
1( a b 0 )
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 e 叫做椭圆的离心率。
（1）离心率的取值范围： 0<e<1 （2）离心率对椭圆形状的影响： 1）离心率e 越大，椭圆就越扁（瘦）； 2）离心率e 越小，椭圆就越圆（胖）；
c a
练习5
Hale Waihona Puke 下面两个椭圆中，哪个2
更接近于圆？
2
x 3y 9 与
2
2
x

y
1
16
12
标准方程
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标
x
x a
2 2

y b
2 2
y
1( a b 0 )
o
x
a ≤ x≤ a , b≤ y ≤ b 关于x轴、y轴成轴对称；---对称轴 关于原点成中心对称-----对称中心 ( a , 0 )、( a , 0 )、( 0 , b )、( 0 , b )
a b 2 2 y x 2 1(a b 0) 2 a b
2

y
2 2
1(a b 0)
3.椭圆中a,b,c的关系:
2=b2+c2 a
。
二、椭圆
1.范围：
x a
≤
2 2
简单的几何性质
≤1,
y b
2 2
≤1得：
a
x ≤ a , b≤ y ≤ b
x a , y b 组成的矩形中。 y
( c , 0 )、( c , 0 )
长半轴长为
e c a
半轴长 离心率
a, b, c 的关系
a , 短半轴长为
( 0 e 1)
b, (a b 0)
a2=b2+c2
标准方程 图形 范围 对称性 顶点坐标
x a
2 2

y b
2 2
1( a b 0 )
y
x b
2 2

y a
o
2 2
1( a b 0 )
y
x
o
x
a ≤ x ≤ a , b ≤ y ≤ b a ≤ y≤ a , b≤ x ≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；
同左
关于原点成中心对称
( a , 0 )、( a , 0 )、( 0 , b )、( 0 , b ) ( 0 , a )、( 0 , a )、( b , 0 )、( b , 0 )
y
P (x, y)
o
P 3 ( x, y)
x
P 1 (x, y)
练习2.
下列方程所表示的曲线 中，关于原点对称的是 （ D）
A. x
2
2y
B. y
2
4x 0
C. x
2
4y
2
5x
D. 9 x
2
y
2
4
3.椭圆的顶点
x a
2 2

y b
2 2
1( a b 0 )
练习3
口答下列椭圆的顶点坐 x
2
标及长轴和短轴长。

y
2
1
9
4
顶点是： 3,0)、 3,0)、 0,2)、 0,2) ( ( ( ( 长轴长是6，短轴长是4.
练习4. 画出下列椭圆的草图
（1）
x
2

y
2
1
（2）
x
2

y
2
1
25
16
25
4
y B 2 A1
4 3 2 1
y
4 3 B 2 2 1 -2 -3 B1 -4