数理逻辑归结法原理
归结原则定义
归结原则定义归结原则是一种思考和推理的方法，用于将复杂问题或命题分解为更简单、更易于理解的部分。
它是一种逻辑推理的基本原则，通过将问题或命题归结为更小、更具体的部分，以便更好地理解和解决问题。
归结原则可以应用于各种学科和领域，包括数学、逻辑学、哲学、计算机科学等。
它在问题求解、论证和推理过程中起着重要作用。
归结原则的基本思想归结原则的基本思想是将一个复杂的问题或命题分解为更小、更具体的部分，以便更好地理解和解决。
通过将问题或命题分解为可处理的部分，我们可以更系统地进行思考和推理，并找到问题的根源。
归结原则强调了从整体到部分的思考方式。
通过将整个问题或命题细化为若干个子问题或子命题，我们可以逐步地进行思考和推理，并最终得出全面且准确的结论。
归结原则在数学中的应用在数学中，归结原则被广泛应用于证明定理和解决问题。
通过将一个复杂的证明或问题分解为更简单的部分，数学家可以更系统地进行思考和推理，并最终得出结论。
例如，在证明一个定理时，数学家通常会将整个证明分解为若干个步骤或子命题。
然后，他们可以逐步地证明每个子命题，并最终得出整个定理的证明。
归结原则也可以用于解决复杂的数学问题。
通过将一个复杂的问题分解为若干个子问题，我们可以逐步地解决每个子问题，并最终得出整个问题的解答。
归结原则在逻辑学中的应用在逻辑学中，归结原则被用于推理和论证。
通过将一个复杂的命题或论证分解为更简单、更具体的部分，我们可以更好地理解和评估其合理性。
归结原则在逻辑推理中起着重要作用。
通过将一个复杂的命题分解为若干个子命题，我们可以逐步地进行推理，并最终得出整个命题的真假。
例如，在判断一个复杂命题是否成立时，我们可以先将其分解为若干个子命题。
然后，我们可以逐一判断每个子命题是否成立，并根据这些判断来推断整个命题是否成立。
归结原则还可以用于逻辑论证。
通过将一个复杂的论证分解为若干个步骤或子论证，我们可以更系统地进行推理，并最终得出整个论证的合理性。
数理逻辑的基本原理与构建方法
数理逻辑的基本原理与构建方法数理逻辑是一门研究数学推理与逻辑推理的学科，它探究了思维活动和命题推理的本质。
在这篇文章中，我们将介绍数理逻辑的基本原理和构建方法，以帮助读者更好地理解和运用数理逻辑。
一、数理逻辑的基本原理1. 命题逻辑命题逻辑是数理逻辑中的基础，它研究命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，命题是指可以判断真假的陈述句。
它有以下几种基本运算：（1）合取：表示“且”的关系，记作∧；（2）析取：表示“或”的关系，记作∨；（3）非：表示“非”的关系，记作 ¬；（4）蕴含：表示“如果...那么...”的关系，记作→。
2. 谓词逻辑谓词逻辑是对命题逻辑的扩展和推广，它引入了谓词和量词的概念。
谓词是指含有变量的陈述句，而量词则用来表示命题的范围。
谓词逻辑有以下几种基本运算：（1）全称量词：表示“对于所有”的关系，记作∀；（2）存在量词：表示“存在某个”的关系，记作∃。
二、数理逻辑的构建方法1. 具体化问题在进行数理逻辑推理时，首先要将问题具体化，将含糊不清的概念和语句转化为明确的命题和符号。
通过具体化问题，我们可以清晰地定义问题，从而进行逻辑推理。
2. 构建命题和谓词在数理逻辑中，我们需要构建命题和谓词来对问题进行描述。
命题可以是真假判断的陈述句，而谓词则包含有变量的陈述句。
通过构建命题和谓词，我们可以形成具体的逻辑表达式。
3. 表示逻辑关系数理逻辑的关键在于表示逻辑关系，即通过逻辑运算符和量词来表达不同的逻辑关系。
我们可以利用逻辑符号来表示合取、析取、非、蕴含等关系，以及利用量词来表示全称量词和存在量词等关系。
4. 进行推理一旦我们构建了命题和谓词，并表示了逻辑关系，就可以进行逻辑推理了。
逻辑推理是基于已知条件和逻辑规则，通过演绎或归纳的方式得出结论。
通过合理运用数理逻辑的原理和方法，我们可以推理出符合逻辑规律的结论。
总结：数理逻辑是一门研究数学推理与逻辑推理的学科，通过命题逻辑和谓词逻辑的基本原理与构建方法，我们可以更好地理解和应用数理逻辑。
人工智能第6章 谓词逻辑与归结原理
• 当量词仅对谓词的个体（变量）起限定作用，即谓词名视
为常量时，称其为一阶谓词（First Order Predication
Logic ）.
• 若量词对个体和谓词都有限定作用时，称其为高阶谓词。 – 例如： Qy Q(y) 是二阶谓词； xyP( x, y) 是一阶谓词。 • 通常我们约定连接词和量词的优先级为：~, , 最高； 次
–连接 词： –量词：
全称量词
~ 否定（非）； 合取（与）； 析取（或）； 蕴涵（IF......TH EN）； 等价（双条件）
表示所有的，例如，对于所有个体x， 谓词F（x）均成立时，可表示为 x F ( x ) 表示存在某一些，例如，若存在某些个体x， 使谓词F（x）成立时，可表示为 x F ( x )
由于事先不知道哪两个子句可以进行归结更不知道通过对哪些子句对的归结可以尽快地得到空子句因而必须对子句集中的所有子句逐对地进行比较对任何一对可归结的子句对都进行归结这样的效率是很低的
第六章 谓词逻辑与归结原理
• 6.1 一阶谓词逻辑基础 • 6.2 归结法（消解Resolution） • 6.3 归结反演系统
4. 若A是合式公式，x是个体变量，则x（A）、
x（A）是合式公式。
•
所有合式公式都是有限次应用规则1~4得到的。
（1）谓词公式的解释
• 在应用谓词逻辑解决问题时，必须对谓词公式进行解释，即 人为地给谓词公式指派语义。
• 一阶谓词公式P的解释可有多种，其中一些解释可使P为真，
而另一些解释则可使P为假。
• 推理过程：反复使用谓词演算的基本等价式及推理规则， 对已知谓词公式进行变换，得到所需逻辑结论的过程。
6.1.6 谓词公式的规范化
为了方便使用WFF进行定理证明和逻辑推理，需要把 WFF变换为便于使用的规范形式，称为WFF范式。典型的 范式包括：前束范式，SKOLEM范式。
2基本的推理方法(归结反演系统)
将下列谓词演算公式转化为子句集。
(x){ P（x） {（ y）[ P（y） P(f(x,y))] [Q(x,g(x)) P(g(x))]}} x y { P（x） { [ P（y） P(f(x,y))] [Q(x,g(x)) P(g(x))]}} x y {[ P（x） [ P（y） P(f(x,y))]] [ P（x） [Q(x,g(x)) P(g(x))]} [ P（x） P（y） P(f(x,y))] [ P（x） Q(x,g(x)) ] [ P（x） P(g(x))] P（x） P（y） P(f(x,y)), P（w） Q(w,g(w)) , P（z） P(g(z))
3、基本的推理方法
经典推理－－－归结反演
如果存在量词不在任何一个全称量词辖域中，则该存在量词就不依赖于任何其他的变 量，因此可用一个常量代替，该常量应是原合式公式中没有的符号，因此有 （x）P(x) P(A) 根据以上所述，上例Skolem化的结果为 （x）{[P(x) Q(x)] [S(x,f(x))Q(x)]} （w）[P(w) B(w)] 5)将公式化为前束形。所谓前束形，就是把所有的全称量词都移到公式的前部，由于 公式中已无存在量词，且所有的全称量词的约束变量完全不同，因此可以把所有的全 称量词放在公式前面，使每个量词的辖域都包括公式后面的整个部分。前束形的公式 就由全称量词串组成的前缀和称为母式的无量词公式组成。上例的前束形为 （x）（w）{{[P(x) Q(x) ] [S(x,f(x)) Q(x)]} [P(w) B(w)]}
3、基本的推理方法
经典推就是子句的合取式，可以反复应用合式公式的分配 律实现从任一母式向合取范式的转换： X1（X2X3）（X1 X2）（ X1 X3）、X1（X2 X3）（X1 X2） （X1X3） 上例可转化为：（x）（w）{[P(x) S(x,f(x))]Q(x) [P(w) B(w)]} 7)略去全称量词。由于公式中所有的变量都是全称量词量化的变量，因此可以把全称 量词省去，母式中的变量仍然认为是全称量词量化的变量。 8)把母式用子句集表示，即把子句的合取表示为子句的集合，意义不变。上例的子句 形式可以表示为 p(x) S(x,f(x)) Q(x) P(w) B(w)
命题逻辑归结法
命题逻辑归结法是一种用于判断命题之间是否逻辑等价的推理方法。
具体来说，它是通过将两个命题的否定命题应用于彼此的逻辑项，来判断它们是否可以转化为同一命题。
其基本步骤如下：
1.确定待判断的两个命题P和Q。
2.将命题P和Q转化为合取范式或析取范式。
3.对P和Q的合取范式或析取范式中的逻辑项进行编号，以区分
不同的逻辑项。
4.构造一个包含P和Q的集合S，并将S的否定命题取出，形成
一个新的集合S'。
5.遍历S和S'中的所有逻辑项，如果存在两个逻辑项分别出现在
S和S'中，且它们的逻辑关系相反，则将这两个逻辑项从S和
S'中删除，并加入一个新的逻辑项，该逻辑项是这两个逻辑项
的剩余部分。
6.重复步骤5，直到S和S'中不存在相同的逻辑项或者无法再进
行归结。
7.若最终S和S'中均不包含任何逻辑项，则P和Q是逻辑等价
的；否则，它们不是逻辑等价的。
命题逻辑归结法是一种常用的推理方法，它可以应用于计算机科学、人工智能、自然语言处理等领域。
数理逻辑的基本原理与推理方法
数理逻辑的基本原理与推理方法数理逻辑是一门研究命题、谓词、推理和证明的学科。
它利用符号和数学方法来描述、分析和判断一系列命题之间的关系。
在数理逻辑中，有一些基本的原理和推理方法，可以帮助我们理解和解决问题。
本文将探讨数理逻辑的基本原理和推理方法，以便读者能够更好地理解和运用数理逻辑。
数理逻辑的基本原理包括命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑是最基本的逻辑系统，研究命题之间的逻辑关系。
一个命题是能够判断真假的陈述句。
在命题逻辑中，我们用符号来表示命题，如P、Q和R。
符号“∧”表示命题的合取（与）、符号“∨”表示命题的析取（或）、符号“→”表示条件（蕴含）以及符号“¬”表示否定。
这些符号可以帮助我们构建命题之间的复合命题，并进行逻辑推理。
在命题逻辑中，有一些基本的推理方法可以帮助我们根据已知命题推导出新的命题。
其中包括析取三段论、假言三段论、摩尔根定律等。
析取三段论是指如果一个命题是两个已知命题的析取，那么这个命题也成立。
例如，如果P成立，Q成立，那么(P∨Q)也成立。
假言三段论是指如果一个命题是一个已知命题的条件，另一个命题是条件成立时所得出的结论，那么这个结论也成立。
例如，如果P成立会导致Q成立，而P成立，那么Q也成立。
摩尔根定律是指命题的否定可以通过互换逻辑运算符，并对子命题进行否定得到。
例如，¬(P∧Q)等价于¬P∨¬Q。
谓词逻辑是一种更为复杂的逻辑系统，用于描述命题中涉及对象的属性和关系。
在谓词逻辑中，我们引入了量词∀和∃，分别表示“对于所有”和“存在”的含义。
谓词逻辑允许我们对命题中的对象进行全称量化和存在量化，并进行逻辑推理。
谓词逻辑的基本原理和推理方法类似于命题逻辑，但涉及到更多的概念和符号。
推理是数理逻辑的核心，它旨在根据已知命题推导出新的命题。
推理方法有很多种，例如直接证明、间接证明和归谬法。
直接证明是一种常见的推理方法，它通过列举命题的前提和规则，逐步推导出结论。
推导数学归纳法的基本原理与应用
推导数学归纳法的基本原理与应用数学归纳法是一种重要的证明方法，在数学领域中得到广泛的应用。
它的基本原理是通过证明一个命题在第一步成立，然后假设该命题在第n步成立，再通过推导得出该命题在第n+1步也成立。
在本文中，我们将探讨数学归纳法的基本原理以及其应用。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以归纳为以下几个步骤：步骤1：证明基础情况。
首先需要证明命题在第一个步骤时成立，这通常被称为基础情况。
这是数学归纳法的起点。
步骤2：假设命题在第n步成立。
接下来，我们假设命题在第n步成立，即条件为P(n)。
步骤3：推导命题在第n+1步成立。
根据步骤2的假设，我们可以通过推导得出命题在第n+1步也成立，即条件为P(n+1)。
通过以上步骤，我们可以得出结论：若基础情况成立并且P(n)成立能推导出P(n+1)成立，则命题P对于所有的正整数都成立。
二、数学归纳法的应用数学归纳法广泛应用于各个数学领域中，下面将介绍它在几个方面的具体应用。
1. 数列的性质证明数学归纳法通常用于证明数列的一些性质。
例如，我们可以通过归纳法证明斐波那契数列中的每个数都是一个正整数。
首先，证明第一个数1是一个正整数，然后假设第n个数是一个正整数，再通过递推关系得出第n+1个数也是一个正整数。
2. 数学等式的证明数学归纳法还可以用于证明一些数学等式。
例如，我们可以通过归纳法证明1 + 2 + 3 + ... + n = (n × (n + 1)) / 2。
首先，证明当n=1时等式成立，然后假设当n=k时等式成立，再通过归纳推导得出当n=k+1时等式也成立。
3. 不等式的证明除了数学等式，数学归纳法也可以用于证明一些数学不等式。
例如，我们可以通过归纳法证明2的n次方大于n，对于所有的正整数n。
首先，证明当n=1时不等式成立，然后假设当n=k时不等式成立，再通过归纳推导得出当n=k+1时不等式也成立。
三、数学归纳法的局限性尽管数学归纳法在许多数学领域中非常有用，但它也有一些局限性。
数理逻辑归结法原理
▪ 例如，Q1是子句q，Q2是子句q，q和q是相反文字， 子句□是Q1和Q2的归结子句。
▪ 例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pws，在子句Q1 和Q2中没有相反文字出现，子句Q1Q2，即 pqrws不是Q1和Q2的归结子句。
▪ 有σ(q1…qn r1…rm)=1，即σ(Q)=1。 ▪ 证毕
反驳
▪ 定义：设Ω是子句集合，如果子句序列 Q1,…,Qn满足如下条件，则称子句序列 Q1,…,Qn为子句集合Ω的一个反驳。
▪ (1).对于每个1≤k<n，QkΩ
• Qk是Qi和Qj的归结子句，i<k，j<k。
▪ (2). Qn是□。
▪ Q1=q
Q1Ω
▪ Q2=q
Q2Ω
▪ Q3=□
▪ 因此，Q1, Q2,Q3是反驳.
▪ (3).根据命题逻辑紧致性定理，若子句集合Ω 不可满足，则有有穷子句集合Ω0，Ω0Ω，使 得Ω0是不可满足的。
▪ 若有穷子句集合Ω0是不可满足的，则Ω0中的子句必 出现相反文字。
▪ 假设有穷子句集合Ω0是不可满足的，且Ω0中的子句 不出现相反文字，那么，对于Ω0中子句的每个文字 qk，有赋值函数σ使得σ(qk)=1，因此，σ(Ω0)=1，Ω0是 可满足的，这样与Ω0是不可满足的相矛盾。
机械式方法
▪ 若证明Q1,…,Qn|=R，只要证明Q1…QnR 不可满足。
▪ 机械式证明：
• 公式Q1…QnR的合取范式； • 合取范式的所有简单析取范式，即Ω； • 证明Ω不可满足
▪ 则有Q1,…,Qn|=R。 ▪ 机械式地证明Ω不可满足是关键问题
子句与空子句
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机械式方法
▪ 若证明Q1,…,Qn|=R，只要证明Q1…QnR 不可满足。
▪ 机械式证明：
公式Q1…QnR的合取范式； 合取范式的所有简单析取范式，即Ω；
证明Ω不可满足
▪ 则有Q1,…,Qn|=R。
▪ 开创性的工作是赫伯特·西蒙（H. A. Simon）和艾伦· 纽威尔（A. Newel）的 Logic Theorist。
▪ 机械定理证明的主要突破是1965年由鲁宾逊（ J.A.Robinson）做出的，他建立了所谓归结原理，使机械 定理证明达到了应用阶段。
▪ 归结法推理规则简单, 而且在逻辑上是完备的, 因而成为 逻辑式程序设计语言Prolog的计算计模算型机。学院
▪ 因为(PQR)((PR)(QR)计)的算合机取学范院式 (PQR) PQR
▪ 所以子句集合 Ω={P,Q, R ,PQR }
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▪ Q1=PQR Q1Ω
▪ Q2=P
Q2Ω
▪ Q3=QR
Q3= (Q1-P) (Q2-P)
可满足，进而有Ω0可满足。 ▪ 证毕
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▪ 例题：P(QR)├ (PQ) (PR) 分配律 ▪ (P(QR)) ((PQ) (PR)) ▪ (P(QR)) ((PQ) (PR)) ▪ (PQ) (PR))( P (PR)) (Q (PR)) ▪ (PQ) (PR)P ( P R) (Q P)( QR)
▪ 对一阶逻辑公式，其解释的个数通常是任意多个，丘奇 （A.Church）和图灵（A.M.Turing）在1936年证明了不存 在判定公式是否有效的通用程序。计算机学院
如果一阶逻辑公式是有效的，则存在通用程序可以验证它 是有效的
对于无效的公式这种通用程序一般不能终止。
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▪ 1930年希尔伯特（Herbrand）为定理证明建立了一种重 要方法，他的方法奠定了机械定理证明的基础。
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反驳
▪ 定义：设Ω是子句集合，如果子句序列 Q1,…,Qn满足如下条件，则称子句序列 Q1,…,Qn为子句集合Ω的一个反驳。
▪ (1).对于每个1≤k<n，QkΩ
Qk是Qi和Qj的归结子句，i<k，j<k。
▪ (2). Qn是□。
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▪ 例题：(QR)Q├Q
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▪ 又证：设子句集合Ω是不可满足的。
▪ (1).不妨设子句集合Ω不含永真式。因为从Ω中去掉永真 式不改变Ω的不可满足性。
▪ (2).若Ω含有相反文字，不妨设是q，则
▪ Q1=q
Q1Ω
▪ Q2=q
Q2Ω
▪ Q3=□
▪ 因此，Q1, Q2,Q3是反驳.
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▪ (3).根据命题逻辑紧致性定理，若子句集合Ω 不可满足，则有有穷子句集合Ω0，Ω0Ω，使 得Ω0是不可满足的。
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▪ 若有穷子句集合Ω0是不可满足的，则Ω0中的子句必 出现相反文字。
▪ 假设有穷子句集合Ω0是不可满足的，且Ω0中的子句 不出现相反文字，那么，对于Ω0中子句的每个文字 qk，有赋值函数σ使得σ(qk)=1，因此，σ(Ω0)=1，Ω0是 可满足的，这样与Ω0是不可满足的相矛盾。
▪ 例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pqws，q和q 是相反文字，子句prws是Q1和Q2的归结子句。
▪ 例如，Q1是子句q，Q2是子句q，q和q是相反文字， 子句□是Q1和Q2的归结子句。 计算机学院
▪ 例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pws，在子句Q1 和Q2中没有相反文字出现，子句Q1Q2，即 pqrws不是Q1和Q2的归结子句。
产生了矛盾，所以，Ω1是不可满足的。
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▪ 如果σ(Pi)=0，i≤m1，则有Pi QjΩ1，j=1,…,m2。 ▪ 因为σ(Ω1)=1，所以有σ(Pi Qj)=1，即σ(Qj)=1，j=1,…,m2
。
▪ 设σ'(q)=1，而其他命题变元r有σ'(r)=σ(r)。
▪ σ'(qPi)=1，其中，qPiΩq
主要内容
▪ 机械证明简介 ▪ 命题逻辑归结法 ▪ 谓词逻辑归结法
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▪ 自动推理早期的工作主要集中在机器定理证明。
▪ 机械定理证明的中心问题是寻找判定公式是否是有效的 通用程序。
▪ 对命题逻辑公式，由于解释的个数是有限的，总可以建 立一个通用判定程序，使得在有限时间内判定出一个公 式是有效的或是无效的。
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▪ 定理：如果子句Q是Q1, Q2的归结子句，则Q1, Q2|=Q ▪ 证明： ▪ 设Q1=pq1…qn，Q2=pr1…rm。 ▪
▪ 赋值函数σ(Q1)=1，即σ(pq1…qn)=1， σ(p) σ(q1…qn)=1.
▪ 赋 σ值(p)函 数σ(rσ1(Q…2)=r1m，)=即1.σ(pr1…计r算m)机=1学，院 ▪ 有σ(q1…qn r1…rm)=1，即σ(Q)=1。 ▪ 证毕
▪ |Ωq |=m1，|Ωq |=m2，|ΩC|=m3。 ▪ ΩR={ Pi Qj| qPiΩq, qQjΩq} ▪ Ω1 =ΩCΩR ▪ Ω1有n-1个命题变元。 ▪ 若有rΩ1并且rΩ1，则存在反驳计。算机学院
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▪ 若Ωq Ωq ΩC 不可满足，则Ω1 =ΩCΩR不可满足。
▪ σ'(qQj)=1，其中，qQiΩq
▪ σ'(Rk)=1，其中，RkΩC
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▪ 若Ω1是可满足的，则有σ'，使得σ'(Ω0)=1，这样就产生了
矛盾，所以，Ω1是不可满足的。
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▪ 因此，Ω1有n-1个命题变元并且Ω1是不可满足的。 ▪ 对于所有的n进行处理获得Ωn，必有反驳，否则必有Ωn
▪ 因为(P(QR)) ((PQ) (P计R算))的机合学取院范式 (PQ) (PR)P ( P R) (Q P)( QR)
▪ 所以子句集合 Ω={ P,PQ, PQ, PR ,PR , QR}。
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▪ Q1= PQ
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▪ 设Ω0有n种相反文字，有相反文字q和q ，Ω0中的子句分为三类， 一类是有文字q的子句， 另一类是有文字q的子句， 再一类是没有文字q和q的子句
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▪ Ωq ={ qPk| qPkΩ}，Ωq ={qQk| qQkΩ}， ΩC=Ω-Ωq-Ωq
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主要内容
▪ 机械证明简介 ▪ 命题逻辑归结法 ▪ 谓词逻辑归结法
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基本原理
▪ Q1,…,Qn|=R，当且仅当Q1…QnR不可满足 ▪ 证明Q1,…,Qn|=R
(1). Q1…QnR化为合取范式； (2). 构建Ω子句集合，Ω为Q1…QnR合取范式
▪ 若Ω1是可满足的，则有赋值函数σ，使得σ(Ω1)=1。 ▪ 如果σ(Pi)=1，i=1,...,m1，那么有σ'(q)=0，而其他命题变元
r有σ'(r)=σ(r)。
▪ σ'(qPi)=1，其中，qPiΩq ▪ σ'(qQj)=1，其中，qQjΩq计算机学院 ▪ σ'(Rk)=1，其中，RkΩC ▪ 因此，若Ω1是可满足的，则有σ'，使得σ'(Ω0)=1，这样就
因为pqrs不是简单析取范式，所以 pqrs不是子句。
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▪ 定义：设Q是简单析取范式，q是Q的文字，在Q中 去掉文字q，记为Q-q。
▪ 例如，Q是子句pqrs，Q - q是简单析取范式 p rs。
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归结子句
▪ 定义：设Q1,Q2是子句，q1和q2是相反文字，并且在子句 Q1和Q2中出现，称子句(Q1-q1)(Q2-q2)为Q1和Q2的归结 子句。
Q1Ω
▪ Q2=PQ
Q2Ω
▪ Q3=□
Q3= (Q1-P-Q) (Q2-P-Q)
▪ P(QR)├ (PQ) (PR) 分配律
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▪ 例题：PQR├(PR) (QR) ▪ 证明： ▪ (PQR) ((PR) (QR)) ▪ (( PQ) R) (PRQR) ▪ (PQR) PQR
▪ 证明：设为Q1,…,Qn是反驳。
▪ (1).若QkΩ，Ω|=Qk.
▪ (2).若Ω|=Qi，Ω|=Qj并且Qk是Qi, Qj的归结子句，则 Qi, Qj|=Qk。因此，Ω|=Qk。
▪ (3).因为Qn=□，所以有Qn-1和Qk是相反文字，不妨设
是q和q。
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▪ 因此，Ω|=q，Ω|=q。Ω|=qq，Ω不可满足。
▪ Q4=Q
Q4Ω
▪ Q5=R
Q5= (Q3-Q) (Q4-Q)
▪ Q6=R
Q6Ω
▪ Q7=□
Q7= (Q5-R) (Q6-计R算)机学院
▪ 因此PQR├(PR) (QR)
▪ 证毕
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▪ 机械式地证明Ω不可满足是关键问题
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