2019年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(有答案解析)
解析：解：几何体是四棱锥，挖去一个八分之一的球的几何体，球的半径为：2 ．四棱锥的底面边 长为 4，高为 4．
几何体的体积为：
=
．
故选：A． 判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．
11.答案：B
解析：【分析】 本题主要考查复合函数单调性的简单应用，以新定义为载体，属于中档试题．
5.答案：B
解析：解：由①周期 T=π 可知，ω=2，A，B，C，D 都符合； ②图象关于（ ，0）对称，结合正弦，余弦函数的对称性可排除 A，C；
③在[0， ]上是增函数，结合正弦函数的单调性可排除 D；
故选：B． 结合正弦，余弦函数的对称性及单调性对选项进行判断，即可求解． 本题主要考查了正弦，余弦函数的周期性，对称性及单调性等知识的简单应用，属于基础试题．
uivi
ui
vi
u
30.5
15
15
46.5
根据（1）的判断结果及表中数据，求 y 关于 x 的回归方程；
（3）已知企业年利润 z（单位：千万元）与 x，y 的关系为 z= -x（其中 e=2.71828…），根据
（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线 v=α+βu 的斜率和截距
A.
B.
C.
） D.
第 1 页，共 16 页
10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积 为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 函数 f（x）的定义域为 D，若 f（x）满足在 D 内是单调函数，且存在[m，n]⊆D 使 f（x）在[m，
n]上的值域为[ ， ]，那么就称 y=f（x）为“半保值函数”，若函数 f（x）=loga（ax+t）（a＞0
由题意可知 f（x）在 D 内是单调函数，才为“半保值函数”，从而可构造函数 f（x）= x，转化为 loga
（ax+t）= x 有两异正根，t 的范围可求．
4.答案：C
第 6 页，共 16 页
解析：解：∵双曲线
（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（2， ），
∴= ，
∴b2=2a2，可得 c2=3a2， 所以 e= ． 故选：C． 根据双曲线的一条渐近线经过点（2， ），可得 a，b 的关系，然后转化求解离心率即可． 本题考查双曲线的几何性质，渐近线与离心率的关系，考查学生的计算能力．
16. 已知函数
，若在区间（1，+∞）上函数 f（x）的图象恒在直线 y=2ax 的图
象的下方，则实数 a 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AC=4，cos∠CAB= ，点 D 在线段 BC 上，
∵a=f（-1）=f（1），b=
=f（2），c=f（20.3），而 1＜20.3＜2，
则 a＜c＜b， 故选：B．
第 7 页，共 16 页
由已知可得函数 f（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知，函数 f（x）在（0，+∞）上是增函数， 即可比大小． 本题主要考查了利用偶函数的对称性及单调比较大小，属于基础试题
2019 年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x∈N|-1＜x＜3}，集合 B={x|0＜x＜π}，则 A∩B=（ ）
A. {x|0＜x＜3} B. {0，1，2}
C. {1，2}
D. {x|0＜x＜π}
R2，
∴= = ，
即圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为 ． 故选：A． 根据题意画出图形，结合图形设出圆柱的底面圆半径和高，以及圆锥的底面半径和高，求出母线长， 再列方程求得圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比． 本题考查了圆锥的内接圆柱表面积计算问题，是基础题．
9.答案：D
解析：解：由 an+1-an=3，知{an}为公差为 3 的等差数列，则 an=1+（n-1）×3=3n-2； 由 =3，知{bn}为公比为 3 的等比数列，则 bn=3n-1；
（t 为参数），曲线 C1：
．以
坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=
．
第 4 页，共 16 页
（Ⅰ）若直线 l 与 x，y 轴的交点分别为 A，B，点 P 在 C1 上，求 • 的取值范围； （Ⅱ）若直线 l 与 C2 交于 M，N 两点，点 Q 的直角坐标为（-2，1），求||QM|-|QN||的值． 23. 已知函数 f（x）=|x+1|+a|x+2|． （Ⅰ）求 a=1 时，f（x）≤3 的解集； （Ⅱ）若 f（x）有最小值，求 a 的取值范围，并写出相应的最小值．
的最小二乘估计分别为 =
， =- ．
第 3 页，共 16 页
20. 已知抛物线 y2=-2px（p＞0）的焦点为 F，x 轴上方的点 M（-2，m）在抛物线上，且|MF|= ，直 线 l 与抛物线交于 A，B 两点（点 A，B 与 M 不重合），设直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）当 k1+k2=-2 时，求证：直线 l 恒过定点并求出该定点的坐标．
a=f（-1），b=f（log2 ），c=f（20.3），则 a，b，c 的大小关系为（）
A.
B.
C.
D.
8. 在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的
底面半径与圆柱的底面半径之比为（ ）
A.
B. 2
C. 2
D. 4
9. 已知数列{an}，{bn}满足 a1=b1=1，an+1-an= =3，n∈N*，则数列{ }的前 10 项的和为（ ）
第 5 页，共 16 页
1.答案：C
-------- 答案与解析 --------
解析：解：A={0，1，2}； ∴A∩B={1，2}． 故选：C． 可求出集合 A，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．
2.答案：D
解析：解：由 z（1-i）=2+i，得 z=
，
∴
，
则在复平面内 的对应的点的坐标为（ ，- ），在第四象限． 故选：D． 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得 的坐标得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
包含的基本事件个数 m=
=9，
∴所选 2 部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 p=
．
故选：D．
基本事件总数 n= =10，所选 2 部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著，包含的基本
事件个数 m=
=9，由此能求出所选 2 部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著
的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
B.
C.
D. 3
5. 同时具有性质“①最小正周期是 π；②图象关于（ ，0）对称；③在[0， ]上是增函数”的一个
函数可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 在△ABC 中，若点 D 满足 =2 ，点 M 为 AC 中点，则 =（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（-x）=f（x），且函数 f（x）在（-∞，0）上是减函数，若
2. 已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z（1-i）=2+i，则在复平面内 的对应的点在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙
子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这 5
∴ =33n-3=27n-1，
∴{ }为首项为 1，公比为 27 的等比数列，
则{ }的前 10 项的和为： =
，
故选：D．
易判断数列{an}，{bn}分别为等差数列、等比数列，求出 an，bn 后可得 ，而{ }为等比数列，从
而可求．
第 8 页，共 16 页
本题考查等差数列、等比数列的通项公式求和公式，考查学生的运算求解能力，属中档题．
A.
B. a2=12
C.
D. b2=1
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 若实数 x，y 满足条件
则 z=3x-2y 的最大值为______．
14. 在三棱锥 D-ABC 中，AB=AC=AD= ，BC=BD=CD=2，则三棱锥 D-ABC 外接球的表面积为______． 15. 在数列{an}中，满足 a1=1，a2=4.2nan=（n-1）an-1+（n+1）an+1（n≥2 且 n∈N*），则 a8=______．
8.答案：A
解析：解：如图所示，
∠AMB=90°，设圆柱的底面圆半径为 r，高为 h； 圆锥的底面半径为 R，则圆锥的高为 R，母线长为 R； 由题意知，2πr2+2πrh=πR• R， 即 2r2+2rh= R2；
由相似边成比例得 = ，
即 h=R-r； ∴2r2+2r（R-r）= 即 2r= R，
河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学(文)试卷 扫描版含答案
2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上．13．． 14．. 15.．16．．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得-------------①---------2分又在中，---------------4分在中，----------------------6分又即-----------------------②联立①②得，即---------------------------------------------------------------8分（Ⅱ）---------------------------------------------------------10分---------------------------------------------------------------------------12分18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴．∵平面，平面，∴．----------------------------------------------------------------2分又四边形为平行四边形，∴∥，∴，，------------------------------------------------------4分∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．----------------------------------------------------6分（Ⅱ）∵，四边形为菱形，∴为等边三角形，且，．∵，，，∴平面，∴四棱锥的体积为．-----------------------------------------8分∵平面，点在线段上，且，所以点到平面的距离．所以，解得------------------------------------------------------------12分19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分（Ⅱ）对两边取对数，得，即-------------------2分由表中数据得：，∴，-------------------------------4分∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，∴，--------------------------------------------------------8分令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减．----------------------------------10分所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以，抛物线的方程为-------------------------------------------------------4分（Ⅱ）由（1）可知，点的坐标为当直线斜率不存在时，此时重合，舍去.-------------------------------------------------------5分当直线斜率存在时，设直线的方程为设，，将直线与抛物线联立得：，——————————————————①-------------7分又，即将①带入得，即得或--------------------------------------------------------------------------------------10分当时，直线为，此时直线恒过当时，直线为，此时直线恒过（舍去）所以直线恒过定点---------------------------------------------------------------------------------12分21.解+析：解：（Ⅰ）由题意可知，-----4分（Ⅱ）当时，等价于设-------------------------------------------------6分令当时，恒成立在上单调递增，又，在上有唯一零点，且，---------------------------9分单减区间为，单增区间为在的最小值为----------------------------11分--------------------------------------------------------------------12分（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线的普通方程为，，的方程可化为，设点的坐标为，，--------------------------------5分（2）曲线的直角坐标方程为：直线的标准参数方程为，代入得：设，两点对应的参数分别为，，故，异号------------------------------------------------------------------10分23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）详细分析：（1）当时，当时解得当时恒成立当时解得综上可得解集………………5分（2）当，即时，无最小值；当，即时，有最小值；当且，即时，当且，即时，综上：当时，无最小值；当时，有最小值；当时，当时，……………… 10分11。
(完整版)2019届河南省高考模拟试题精编(三)文科数学(解析版)
4 3.
(1)求椭圆的方程；
(2)若 A，B，C，D 是椭圆上不重合的四个点， AC 与 BD 相交于点 F 1，A→C·B→D
页
5第
＝0，求 |A→C|＋|B→D|的取值范围．
x 21．(本小题满分 12 分 )已知函数 f(x)＝ ln x－1＋2x.
(1)求证： f (x)在区间 (0，＋∞ )上单调递增；
π3，故选
D.
1 4．解析： 选 B.由题意知马每日所走的路程成等比数列 {an}，且公比 q＝2，
S7＝ 700，由等比数列的求和公式得
1
a1 1－27
44 800
1 ＝700，解得 a1＝ 127 ，故选 B.
1－ 2
5.解析： 选 C.作出约束条件
x＋ y－2≥0 x－ 2y＋ 4≥0 x－ 2≤0
页
11第
A→B
·A→C＝
9 2.因为
|A→B
|＝
|A→C|，所以△
ABC
为等腰三角形，所以∠
ABC＝∠ BCA，
所以 C→B·C→A＝(C→A＋A→B) ·C→A＝C→A2＋A→B·C→A＝C→A2－A→B·A→C＝ 9－92＝92，故选 C.
7．解析： 选 D.模拟执行程序框图，可得 x＝ 2， y＝0，满足条件 y＜2 019，
(2)若 f [x(3x－2)]＜－ 13，求实数 x 的取值范围．
(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，
则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分 10 分 )选修 4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，圆
O ： ρ＝ cos
θ＋ sin
θ和直线
河南省八市中评2019年高考数学三模试题 文(含解析)
2019年河南省八市中评高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=（）A．5 B．C．D．12．已知，则B中的元素的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．83．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．44．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．79．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．510．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，2）D．（2，e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ= ．14．一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= ．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A 为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=mx+2lnx+，m∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2019年河南省八市中评高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=（）A．5 B．C．D．1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由模的计算公式求解．【解答】解：∵ =，∴|z|=．故选：D．2．已知，则B中的元素的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】求出B={1，4}，由此能求出B中的元素的个数．【解答】解：∵，∴B={1，4}，∴B中的元素的个数为2．故选：B．3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】EF：程序框图．【分析】由模拟程序框图的运行过程，得出输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数，由数据得出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数；∴比较数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，得出S=4；故选：D．4．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得b∥α；在B中，面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，a∥α或a⊂α；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则由线面垂直的性质定理得b∥α，故A正确；在B中，若a∥α，a⊥β，则面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故C错误；在D中，若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：C．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围．【解答】解：令z=2x+y，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得x=3，y=4，可得A（3，4）时，z的最大值为：10．所以要使2x+y≤a恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于a 即可，所以a的取值范围为a≥10．故答案为：a≥10．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB ⊥BC，PC⊥平面ABCD．然后由棱锥体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．∴该几何体的体积V=．故选：B．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．利用等差数列的通项公式得出．【解答】解：数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．∴数列是等差数列，公差为=，首项为1．∴=1+=，解得a20=．故选：C．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．7【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设C（m，﹣m2﹣2），运用点到直线的距离公式，以及二次函数的最值的求法，再由三角形的面积公式，即可得到三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，设C（m，﹣m2﹣2），C到直线y=x的距离为d==≥，当m=﹣时，d的最小值为，可得△ABC的面积的最小值为S=×4×=．故选：A．9．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d=，从而弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），由此能求出直线AB的条数．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d==，∴弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），∴直线AB的条数是3条．故选：B．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数f（x）化简，根据三角函数的平移变换规律即可求解．【解答】解：函数=sin（x+），图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，可得sin（x﹣θ+），关于y轴对称，∴，k∈Z．即θ=﹣∵θ＞0，当k=﹣1时，可得θ的最小值为，故选：D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴S=4πR2=36π．故选：C12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，2）D．（2，e）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，由于函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点⇔g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．求出g（x）的导数，当a≤0时，直接验证；当a＞0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得，要使g（x）有两个不同解，只需要g（）=ln＞0，解得即可．【解答】解：f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x ）=﹣2a=，当a ≤0时，g′（x ）＞0，则函数g （x ）在区间（0，+∞）单调递增，因此g （x ）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a ＞0时，令g′（x ）=0，解得x=，令g′（x ）＞0，解得0＜x ＜，此时函数g （x ）单调递增；令g′（x ）＜0，解得x ＞，此时函数g （x ）单调递减．∴当x=时，函数g （x ）取得极大值．当x 趋近于0与x 趋近于+∞时，g （x ）→﹣∞， 要使g （x ）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g （）=ln＞0，解得0＜a ＜．∴实数a 的取值范围是（0，）． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ= ﹣1 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求得﹣λ的坐标，再由向量关系的坐标运算列式求解．【解答】解：∵ =（﹣2，2），=（1，0），∴﹣λ=（﹣2，2）﹣λ（1，0）=（﹣2﹣λ，2），由向量=（1，﹣2）与﹣λ共线，得1×2+2×（﹣2﹣λ）=0．解得：λ=﹣1． 故答案为：﹣1．14．一组数据1，10，5，2，x ，2，且2＜x ＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为 9 ．【考点】BB ：众数、中位数、平均数．【分析】根据题意求出该组数据的众数和中位数，得出x的值，再计算平均数和方差．【解答】解：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷=3，把这组数据从小到大排列为1，2，2，x，5，10，则=3，解得x=4，所以这组数据的平均数为=×（1+2+2+4+5+10）=4，方差为S2=×[（1﹣4）2+（2﹣4）2×2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（10﹣4）2]=9．故答案为：9．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= 0 ．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由已知可得b=tanb，a=tana，利用两角和与差的正弦函数公式化简所求可得2acosasinb﹣2bsinacosb，利用同角三角函数基本关系式化简即可得解．【解答】解：∵非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，∴可得：b=tanb，a=tana，∴原式=（a﹣b）（sinacosb+cosasinb）﹣（a+b）（sinacosb﹣cosasinb）=2acosasinb﹣2bsinacosb=2tanacosasinb﹣2tanbsinacosb=2sinasinb﹣2sinasinb=0．故答案为：0．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为内切．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，即可【解答】解：如图，设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，a﹣就是两圆的半径之差，故两圆内切．故答案为：内切．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A 为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据化简，即可求解A的大小；（2）a=5，b=8，利用余弦定理即可求解c的值．【解答】解：（1）由题意，，即tan2A=．∴2A=或者2A=，∵角A为锐角，∴A=．（2）由（1）可知A=，a=5，b=8；由余弦定理，2bccosA=c2+b2﹣a2，可得：，解得：c=或者．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A′B′的中点E，连接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，可得NF∥CM，NF=CM，从而得到CN∥FM，然后利用线面平行的判定可得CN∥平面AB'M；（2）由CM∥平面ABB′，可得M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，则V M﹣ANB′=V C，证得BC⊥平面ABB′A′，则三棱锥B'﹣AMN的体积可求．﹣ANB′【解答】（1）证明：如图，取A′B′的中点E，连接EC′，EN，∵ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，∴ABB′A′为矩形，则AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，则EN∥BB′∥CC′，且F为AB′的中点．又∵M为CC′的中点，∴NF∥CM，NF=CM，则CN∥FM，而MF⊂平面AB'M，CN⊄平面AB'M，∴CN∥平面AB'M；（2）解：∵CM∥平面ABB′，∴M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，∴V M﹣ANB′=V C﹣ANB′∵ABB′A′为矩形，N为AB中点，∴．∵ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面ABB′A′，且平面ABC∩平面ABB′A′=AB，在三角形ABC中，AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，即BC⊥平面ABB′A′，∴．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：【考点】BO：独立性检验的应用；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理以及列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．【解答】解：（1）根据题意，填写列联表如下：根据表中数据，计算K2==≈4.76＜5.024，所以没有97.5%的把握认为这种疫苗有效；（2）利用分层抽样法抽取的6只中有4只没服用疫苗，2只服用疫苗，记4只没服用疫苗的为1，2，3，4，2只服用疫苗的为A、B；从这6只中任取2只，基本事件是12、13、14、1A、1B、23、24、2A、2B、34、3A、3B、4A、4B、AB共15种，至少有1只服用疫苗的基本事件是1A、1B、2A、2B、3A、3B、4A、4B、AB共9种，故所求的概率是=．20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，由此能求出M的轨迹C的方程．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，从而m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为2，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2＞|EP|，∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b2=a2﹣c2=1，∴M的轨迹C的方程为=1．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到l即直线AB的距离：=1，即m2=k2+1，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又=x1x2+y1y2=，∴，∴，==，设μ=k4+k2，则，∴=，，∵S△AOB关于μ在[，2]单调递增，∴，∴△AOB的面积的取值范围是[，]．21．已知函数f （x ）=mx+2lnx+，m ∈R ．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）设函数g （x ）=，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求实数m 的取值范围．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6B ：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为至少存在一个x 0∈[1，e]，使得m ＞﹣成立，设H （x ）=﹣，根据函数的单调性求出m 的范围即可． 【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x ）=m++=，m=0时，f′（x ）=，f （x ）在（0，+∞）递增，m ＞0时，f′（x ）=，令f′（x ）=0，解得：x=1﹣或x=﹣1，若1﹣＞0，即m ＞2时，x ∈（0，1﹣）时，f′（x ）＜0，x ∈（1﹣，+∞）时，f′（x ）＞0，故f （x ）在（1﹣，+∞）递增，在（0，1﹣）递减，若1﹣≤0，即m ≤2时，x ∈（0，+∞）时，f′（x ）＞0， f （x ）在（0，+∞）递增，m ＜0时，x ∈（0，1﹣）时，f′（x ）＞0，x ∈（1﹣，+∞）时，f′（x ）＜0，故f （x ）在（0，1﹣）递增，在（1﹣，+∞）递减；（2）令h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=mx+2lnx ﹣，∵至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，∴至少存在一个x0∈[1，e]，使得m＞﹣成立，设H（x）=﹣，则H′（x）=﹣2（+），∵x∈[1，e]，1﹣lnx＞0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在[1，e]递减，H（x）≥H（e）=∴m＞．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C在极坐标系中过点（2，π），得到曲线C的极坐标方程为4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，求出AB的中点为M（﹣1，），从而直线l的斜率为，由此求出直线m的斜率为．从而求出直线m的直角坐标方程，进而求出m的极坐标方程．【解答】解：（1）∵曲线C在极坐标系中过点（2，π），∴把（2，π）代入曲线C的极坐标方程，得：4=，解得a=4，∴曲线C的极坐标方程为，即4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，∴曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即=1．（2）∵直线（t为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，解得x=﹣2或x=0，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB的中点为M（﹣1，），∵直线l的斜率为，即tanα=，∴tan2α==．∴直线m的方程为y﹣=（x+1），即8x﹣6y+11=0，∴m的极坐标方程为8ρcosθ﹣6ρsinθ+11=0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）根据不等式的性质，问题转化为m2﹣2m＜3，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，故|a﹣1|=3，解得：a=﹣2或4，由a＞0，得a=4；（2）由（1）得f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，x≥4时，f（x）=x﹣1+x﹣4=2x﹣5≥3，1＜x＜4时，f（x）=x﹣1﹣x+4=3，x≤1时，f（x）=1﹣x﹣x+4=﹣2x+5≥3，∴f（x）+|x|≥3，当x=0时”=“成立，故m2﹣2m＜3即（m+1）（m﹣3）＜0，解得：﹣1＜m＜3，故m的范围是（﹣1，3）．。
2019年郑州市高中毕业年级第三次质量预测文科数学答案【含详细解析】
2019年郑州市高中毕业年级第三次质量预测文科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上．13． ． 14．. 15.． 16．． 5π6425⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得-------------①---------2分 ABC ∆3184222⋅-+=c c a 又在中，---------------4分ACD ∆933216943642cos 2222aa CD AC AC CD AD ADC -+=⋅-+=∠在中，----------------------6分ABD ∆931693642cos 22222ac a AB AD AB BD AD ADB -+=⨯-+=∠又π=∠+∠ADC ADB 即-----------------------② 0cos cos =∠+∠∴ADC ADB 06423222=+-c a 联立①②得， 即---------------------------------------------------------------8分 6=c 6=AB （Ⅱ） 31cos =∠CAB 322cos =∠∴CAB ---------------------------------------------------------10分28sin 21=∠⨯⨯⨯=∆CAB c b S ABC ---------------------------------------------------------------------------12分32831==∆∆ABC ABD S S18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴．ABCD AO ⊥BD ∵平面，平面，FO ⊥ABCD AO ⊂ABCD∴．----------------------------------------------------------------2分 AO ⊥FO 又四边形为平行四边形，OAEF ∴∥，EF AO ∴，，------------------------------------------------------4分 EF ⊥BD EF ⊥FO ∵，∴平面．BD ∩FO =O EF ⊥BDF ∵平面，EF ⊂DEF ∴平面平面．----------------------------------------------------6分 DEF ⊥BDF （Ⅱ）∵，四边形为菱形，AB =FO =BD =2ABCD ∴为等边三角形，且，．ΔABD AO =3DO =BO =1∵，，，BD ⊥AC BD ⊥FO AC ∩FO =O ∴平面，BD ⊥OAEF ∴四棱锥的体积为．AOFE D -V D ―AOFE =13⋅S AOFE ⋅DO =13×(3×2)×1=233-----------------------------------------8分 3321===∴---AOFE D OEF D DEF O V V V ∵平面，点在线段上，且，FO ⊥ABCD H BF FH =λFB 所以点到平面的距离．H ABCD ℎ=λ|FO |=2λ所以， V B ―AHC =V H ―ABC =13⋅S ABC ⋅ℎ=13×(12×2×2×sin120°)×2λ=23λ3=33解得------------------------------------------------------------12分 21=λ19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分 y =c ·x d （Ⅱ）对两边取对数，得，即-------------------2分 y =c ·x d ln y =ln c +d ln x v =ln c +du 由表中数据得：，u =v =1.5∴，-------------------------------4分 ()()()31ˆ2121121=--=---=∑∑∑∑====u n u v u n v u u u v v u u d n i i i n i i n i i i n i i ∴，∴，ln c =v ―^du =1.5―13×1.5=1c =e ∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分 x y y =e ·x 13(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，z (x )=27x 13―x ∴，--------------------------------------------------------8分z '(x )=9x―23―1令，得， z '(x )=9x ―23―1=0x =27且当时，单调递增；x ∈(0,27)z '(x )>0,z (x )当时，单调递减．----------------------------------10分 x ∈(27,+∞)z '(x )<0,z (x )所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.x =27z ()5427=z 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分 20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以， ()2522=--=P MF 抛物线的方程为-------------------------------------------------------4分 1=∴p x y 22-=（Ⅱ）由（1）可知，点的坐标为M ()2,2-当直线斜率不存在时，此时重合，舍去.-------------------------------------------------------5分 l B A ,当直线斜率存在时，设直线的方程为l l b kx y +=设，，将直线与抛物线联立得：A ()11,y xB ()22,y x l⎩⎨⎧-=+=x y b kx y 22()022222=+++b x kb x k ，——————————————————①-------------7分 22122k kb x x --=+2221k b x x =又， 22222221121-=+-++-=+x y x y k k 即()()()()()()2222222211221++-=+-+++-+x x x b kx x b kx()()()()84284222212121212121-+--=-++-++++x x x x b x x x x b x x k x kx 将①带入得， ()01222=+---b k b b 即()()0221=--+k b b 得或--------------------------------------------------------------------------------------10分 1-=b k b 22+=当时，直线为，此时直线恒过1-=b l 1-=kx y ()1,0-当时，直线为，此时直线恒过（舍去） k b 22--=l ()2222++=++=x k k kx y ()2,2-所以直线恒过定点---------------------------------------------------------------------------------12分l ()1,0-21.解析 ：解：（Ⅰ）()()()x x b ae x g x f x h x -+=+=ln 由题意可知 ，-----4分 ()1-+='x b ae x h x ()()⎩⎨⎧=-+='=-=211111b ae h ae h ea 2=∴1=b （Ⅱ）当时，等价于 0>x ()()01>++'-x x f k x x e x k x +-+<11设 -------------------------------------------------6分 ()x e x x F x +-+=11()()()212---='x x x e x e e x F 令 当时，恒成立()2--=x e x R x ()1-='x e x R 0>x ()0>'x R 在上单调递增 ， 又，()x R ()+∞,0()01<R ()02>R 在上有唯一零点，且，---------------------------9分 ()x R ∴()+∞,00x ()2,10∈x 0200=--x e x 单减区间为，单增区间为()x F ∴()0,0x ()+∞,0x 在的最小值为----------------------------11分()x F ∴()+∞,0()()3,211100000∈+=+-+=x x e x x F x --------------------------------------------------------------------12分()0x F k <∴2max =∴k （二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线的普通方程为，，l 01=++y x ()0,1-∴A ()1,0-B 的方程可化为，设点的坐标为，，1C ()0122≥=+y y x P ()θθsin ,cos πθ≤≤0--------------------------------5分 []12,014sin 21sin cos +∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=⋅∴πθθθ（2）曲线的直角坐标方程为： 2C ()()82222=-++y x 直线的标准参数方程为，代入得： l ()为参数m m y m x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=2212222C 0722=--m m 设，两点对应的参数分别为， M N 1m 2m ， 故，异号 221=+m m 0721<-=m m 1m 2m ------------------------------------------------------------------10分221=+=-∴m m QN QM 23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解析：（1）当时，1a =232()|1||2|121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩()3f x ≤ 当时解得 2x ≤-()233f x x =--≤32x -≤≤-当时恒成立21x -<<-()13f x =≤当时解得 1x ≥-()233f x x =+≤10x -≤≤综上可得解集………………5分[3,0]-（2）(1)212()|1||2|(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当，即时，无最小值； (1)0a -+>1a <-()f x 当，即时，有最小值； (1)0a -+=1a =-()f x 1-当且，即时， (1)0a -+<(1)0a -≤11a -<≤min ()(1)f x f a =-=当且，即时， (1)0a -+<(1)0a ->1a >min ()(2)1f x f =-=综上：当时，无最小值；1a <-()f x 当时，有最小值；1a =-()f x 1-当时， 11a -<≤min ()(1)f x f a =-=当时， ……………… 10分 1a >min ()(2)1f x f =-=。
2019 年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)
2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、抛择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝R，集合A＝（x|﹣3＜x＜1），B＝{x|x+1≥0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{x|x≤﹣3或x≥1}B．{x|x＜﹣1或x≥3}C．{x|x≤3}D．{x|x≤﹣3}2．（5分）若复数z满足（3+4i）z＝25i，其中i为虚数单位，则的虚部是（）A．3i B．﹣3i C．3D．﹣33．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（）A．x1，x2，…x n的平均数B．x1，x2，…x n的标准差C．x1，x2，…x n的最大值D．x1，x2，…x n的中位数4．（5分）已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12，则a4＝（）A．4B．32C．108D．2565．（5分）椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是（）A．B．C．16D．326．（5分）已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x﹣），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的是倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C27．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．（4+4）π+4B．（4+4）π+4+4C．12π+12D．12π+4+48．（5分）设函数f（x）＝2ln（x+）+3x3（﹣2＜x＜2），则使得f（2x）+f（4x﹣3）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（）C．（）D．（）9．（5分）已知变量x，y满足，则k＝的取值范围是（）A．k＞或k≤﹣5B．﹣5≤k＜C．﹣5≤k≤D．k≥或k≤﹣5 10．（5分）魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1（x）＝2x，f2（x）＝2x，f3（x）＝x2，f4（x）＝sin x，f5（x）＝cos x，f6（x）＝，现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）已知数列{a n}满足2a n+1+a n＝3（n≥1，n∈N+），且a3＝，其前n项之和为S n，则满足不等式|S n﹣n﹣6|＜的最小整数n是（）A．8B．9C．10D．1112．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，PC是球O的直径．若平面PCA⊥平面PCB，P A＝AC，PB＝BC，三棱锥P﹣ABC的体积为a，则球O的体积为（）A．2πa B．4πa C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．（5分）已知，为单位向量且夹角为，设＝3+2，＝3，则在方向上的投影为．14．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）的图象与直线x﹣y+1＝0相切，则实数a的值为．15．（5分）已知双曲线E：＝1（a＞0，0＞0）的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为P，交另一条渐近线于Q，若5＝3，则该双曲线E的离心率为．16．（5分）不等式x（sinθ﹣cos2θ+1）≥﹣3对任意θ∈R恒成立，则实数x的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S，且满足sin B＝．（Ⅰ）求sin A sin C；（Ⅱ）若4cos A cos C＝1，b＝，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△P AD是等腰直角三角形，且∠APD＝90°，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝2CD＝2BC＝8，平面P AD⊥平面ABCD，M是PC的三等分点（靠近C点处）．（Ⅰ）求证：平面MBD⊥平面P AD；（Ⅱ）求三棱锥D﹣MAB的体积．19．（12分）2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全，因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵．国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗40p x注射疫苗60q y 总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．（Ⅰ）求2×2列联表中的数据p，q，x，y的值；（Ⅱ）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗有效？（Ⅲ）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥K0）0.050.010.0050.001 K0 3.841 6.6357.87910.828 20．（12分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为M，N，R为准线上一点．（Ⅰ）若AR∥FN，求的值；（Ⅱ）若点R为线段MN的中点，设以线段AB为直径的圆为圆E，判断点R与圆E的位置关系．21．（12分）已知函数f（x）＝（e x﹣2a）e x，g（x）＝4a2x．（Ⅰ）设h（x）＝f（x）﹣g（x），试讨论h（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝g（x）图象的上方，求a的取值范围．选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答如果多选，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M（﹣4，0），求△MPQ的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）＞6；（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，求a的取值范围．2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、抛择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝R，集合A＝（x|﹣3＜x＜1），B＝{x|x+1≥0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{x|x≤﹣3或x≥1}B．{x|x＜﹣1或x≥3}C．{x|x≤3}D．{x|x≤﹣3}【分析】全集U＝R，集合A＝（x|﹣3＜x＜1），B＝{x|x+1≥0}，则∁U（A∪B）【解答】解：全集U＝R，集合A＝（x|﹣3＜x＜1），B＝{x|x+1≥0}＝{x|x≥﹣1}，∴A∪B＝{x|x＞﹣3}，∴∁U（A∪B）＝{x|x≤﹣3}．故选：D．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．（5分）若复数z满足（3+4i）z＝25i，其中i为虚数单位，则的虚部是（）A．3i B．﹣3i C．3D．﹣3【分析】求出z，求出，从而求出其虚部即可．【解答】解：z＝＝＝4+3i，故＝4﹣3i，其虚部是﹣3，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算，考查共轭复数，是一道基础题．3．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（）A．x1，x2，…x n的平均数B．x1，x2，…x n的标准差C．x1，x2，…x n的最大值D．x1，x2，…x n的中位数【分析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度．【解答】解：表示一组数据x1，x2，…x n的稳定程度是方差或标准差．故选：B．【点评】本题考查了利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度，是基础题．4．（5分）已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12，则a4＝（）A．4B．32C．108D．256【分析】设等比数列的公比为q，运用对数的运算性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到公比，则答案可求．【解答】解：数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，公比设为q，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12，即有log2a1+log2a2+log2a3＝12，log2（a1a2a3）＝12，即a23＝212，即有a2＝16，q＝4，则a4＝44＝256．故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式和对数的运算性质，考查计算能力，属于中档题．5．（5分）椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是（）A．B．C．16D．32【分析】由椭圆方程求得a，b，c的值，然后利用椭圆定义及余弦定理求得|PF1||PF2|，代入三角形面积公式求解．【解答】解：由椭圆，得a＝5，b＝4，c＝3，在△F1PF2中，∵∠F1PF2＝60°，∴由余弦定理可得：，则4c2＝（2a）2﹣3|PF1||PF2|，即36＝100﹣3|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝．∴△F1PF2的面积是S＝．方法二、由椭圆的焦点三角形的面积公式S＝b2tan＝16•＝．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及焦点三角形问题，往往是考查椭圆定义与余弦定理的应用，是简单题．6．（5分）已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x﹣），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的是倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：∵y＝sin（2x﹣）＝cos[﹣（2x﹣）]＝cos（2x﹣）＝cos2（x﹣），∴把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（2x﹣）＝cos2（x﹣）的图象，即曲线C2，故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．（4+4）π+4B．（4+4）π+4+4C．12π+12D．12π+4+4【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】解：由题意可知，几何体下部是圆锥，上部是四棱柱，可得：几何体的表面积为：4π++1×4＝（4+4）π+4．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．8．（5分）设函数f（x）＝2ln（x+）+3x3（﹣2＜x＜2），则使得f（2x）+f（4x﹣3）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（）C．（）D．（）【分析】求出函数的大小和奇偶性，结合函数的性质去掉对应法则得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：∵f（x）＝2ln（x+）+3x3（﹣2＜x＜2），∴f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣2，2）递增，故由f（2x）+f（4x﹣3）＞0，得：f（2x）＞f（3﹣4x），则，解得：＜x＜1，故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，是一道常规题．9．（5分）已知变量x，y满足，则k＝的取值范围是（）A．k＞或k≤﹣5B．﹣5≤k＜C．﹣5≤k≤D．k≥或k≤﹣5【分析】由约束条件作出可行域，再由k＝的几何意义求解得答案．【解答】解：由变量x，y满足作出可行域如图：解得A（2，4），k＝的几何意义为可行域内动点与定点D（3，﹣1）连线的斜率．∵k DA＝＝﹣5，．x﹣2y+4＝0的斜率为：，∴k＝的取值范围是k＞或k≤﹣5．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．（5分）魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1（x）＝2x，f2（x）＝2x，f3（x）＝x2，f4（x）＝sin x，f5（x）＝cos x，f6（x）＝，现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，依次分析6个函数的奇偶性，由组合数公式计算在6个函数中任选2个的选法数目，又由“若两个函数的乘积为奇函数，必须其中一个为奇函数，一个为偶函数”，计算可得乘积为奇函数的情况数目，由古典概型的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于6个函数，f1（x）＝2x，为正比例函数，为奇函数；f2（x）＝2x，为指数函数，为非奇非偶函数函数；f3（x）＝x2，为二次函数，为偶函数；f4（x）＝sin x，为正弦函数，是奇函数；f5（x）＝cos x，为余弦函数，是偶函数；f6（x）＝，有f6（﹣x）＝＝＝﹣（）＝﹣f（x），为奇函数；在6个函数中任选2个，有C62＝15种选法，若两个函数的乘积为奇函数，必须其中一个为奇函数，一个为偶函数，有3×2＝6种选法；则所得新函数为奇函数的概率P＝＝；故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，涉及古典概型的计算，注意分析函数的奇偶性，属于基础题．11．（5分）已知数列{a n}满足2a n+1+a n＝3（n≥1，n∈N+），且a3＝，其前n项之和为S n，则满足不等式|S n﹣n﹣6|＜的最小整数n是（）A．8B．9C．10D．11【分析】由2a n+1+a n＝3，得，再由a3＝，可得{a n﹣1}为首项是9，公比为﹣的等比数列，求出通项，得到S n，代入不等式|S n﹣n﹣6|＜求解．【解答】解：由2a n+1+a n＝3，得，又a3＝，∴，a1﹣1＝﹣2（a2﹣1）＝9．∴{a n﹣1}为首项是9，公比为﹣的等比数列，则a n﹣1＝9•，a n＝1+9•，S n＝n+9•＝n+6﹣6•，则|S n﹣n﹣6|＝3，|S n﹣n﹣6|＜，即＜，解得n＞9，∴满足不等式|S n﹣n﹣6|＜的最小整数n是10．故选：C．【点评】本题考查由递推式求数列通项、数列求和及不等式等有关知识，解决本题的关键是通过构造数列求得a n，是中档题．12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，PC是球O的直径．若平面PCA⊥平面PCB，P A＝AC，PB＝BC，三棱锥P﹣ABC的体积为a，则球O的体积为（）A．2πa B．4πa C．D．【分析】设球O的半径为R，由已知条件得出△P AC和△PBC是两个公共斜边PC的等腰直角三角形，以及证明OA⊥平面PBC，进而用R表示三棱锥P﹣ABC的体积，得出a 与R的关系，即可得出球O的体积．【解答】解：如下图所示，设球O的半径为R，由于PC是球O的直径，则∠P AC和∠PBC都是直角，由于P A＝AC，PB＝BC，所以，△P AC和△PBC是两个公共斜边PC的等腰直角三角形，且△PBC的面积为，∵P A＝AC，O为PC的中点，则OA⊥PC，∵平面P AC⊥平面PBC，平面P AC∩平面PBC＝PC，OA⊂平面P AC，所以，OA⊥平面PBC，所以，三棱锥P﹣ABC的体积为，因此，球O的体积为，故选：B．【点评】本题考查球的体积的计算，解决本题的关键主要找出球的直径，考查计算能力与推理能力，属于中等题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．（5分）已知，为单位向量且夹角为，设＝3+2，＝3，则在方向上的投影为．【分析】运用向量的夹角公式和投影的概念可解决此问题．【解答】解：根据题意得，•＝9•+62＝9×+6×1×1＝﹣+6＝；又∵|b|＝3，∴在方向上的投影为＝＝；故答案为．【点评】本题考查向量的夹角，投影的概念．14．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）的图象与直线x﹣y+1＝0相切，则实数a的值为．【分析】求出函数的导数，根据切线的斜率求出a的值即可．【解答】解：由f（x）＝lnx﹣ax，（a∈R）得f′（x）＝﹣a，设切点横坐标为x0，依题意得，并且lnx0﹣ax0＝x0+1，解得a＝；则实数a的值为；故答案为：．【点评】本题考查了切线斜率问题，考查函数的切线方程的求法，是基本知识的考查．15．（5分）已知双曲线E：＝1（a＞0，0＞0）的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为P，交另一条渐近线于Q，若5＝3，则该双曲线E的离心率为．【分析】由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OP的方程为y＝x，则另一渐近线OQ 的方程为y＝﹣x，由垂直的条件可得FP的方程，代入渐近线方程，可得P，Q的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得离心率．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OP的方程为y＝x，则另一渐近线ON的方程为y＝﹣x，由FP的方程为y＝﹣（x﹣c），联立方程y＝x，可得P横坐标为，由FP的方程为y＝﹣（x﹣c），联立方程y＝﹣x，可得Q的横坐标为．由5＝3，可得5（c﹣）＝3（﹣c），即为8c﹣5•＝3•，由e＝，可得8﹣＝，即有4e4﹣9e2+5＝0，解得e2＝或1（舍去），即有e＝，故答案为：．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用：求渐近线方程，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点M、N的横坐标是解题的关键．16．（5分）不等式x（sinθ﹣cos2θ+1）≥﹣3对任意θ∈R恒成立，则实数x的取值范围是[﹣，12]．【分析】讨论x＝0，x＞0，x＜0，由参数分离和正弦函数的值域、二次函数的最值求法，即可得到所求范围．【解答】解：当x＝0时，x（sinθ﹣cos2θ+1）≥﹣3恒成立；当x＞0时，sinθ+sin2θ≥﹣，由sinθ+sin2θ＝（sinθ+）2﹣，可得sinθ＝﹣时，取得最小值﹣，sinθ＝1时，取得最大值2，即有﹣≥﹣，解得0＜x≤12；当x＜0时，可得sinθ+sin2θ≤﹣，即有2≤﹣，解得﹣≤x＜0，综上可得x的范围是[﹣，12]．故答案为：[﹣，12]．【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和参数分离，考查正弦函数的值域和不等式的解法，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S，且满足sin B＝．（Ⅰ）求sin A sin C；（Ⅱ）若4cos A cos C＝1，b＝，求△ABC的周长．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可得ac＝，由正弦定理即可计算得解．（Ⅱ）利用两角和的余弦函数公式根据已知可求cos B的值，由（Ⅰ）可得ac的值，由余弦定理可得a+c，即可计算得解△ABC的周长的值．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC的面积为S＝ac sin B，sin B＝．∴4×（ac sin B）×sin B＝b2，∴ac＝，∴由正弦定理可得：sin A sin C＝＝；（Ⅱ）∵4cos A cos C＝1，sin A sin C＝，∴cos B＝﹣cos（A+C）＝sin A sin C﹣cos A cos C＝＝，∵b＝，可得：ac＝＝＝＝8，∴由余弦定理可得：15＝a2+c2﹣4＝（a+c）2﹣2ac﹣4＝（a+c）2﹣20，解得：a+c＝，∴△ABC的周长a+b+c＝+．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，两角和的余弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△P AD是等腰直角三角形，且∠APD＝90°，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝2CD＝2BC＝8，平面P AD⊥平面ABCD，M是PC的三等分点（靠近C点处）．（Ⅰ）求证：平面MBD⊥平面P AD；（Ⅱ）求三棱锥D﹣MAB的体积．【分析】法一：（1）推导出BD⊥AD，BD⊥AD，从而BD⊥面P AD，由此能证明平面MBD⊥平面P AD．（2）过P作PO⊥AD于O，则PO⊥平面BAD，三棱锥D﹣MAB的体积：V D﹣MAB＝V M．﹣DAB法二（Ⅰ）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面MBD⊥平面P AD．（Ⅱ）推导出＝16，M到平面ABD的距离d＝，三棱锥D﹣MAB的体积V D﹣MAB＝V M﹣ABD，由此能求出结果．【解答】解法一：证明：（1）由题知BD＝AD＝4，AB＝8，AB2＝AD2+BD2，∴BD⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，交线是AD，BD⊂平面ABCD，BD⊥AD，∴BD⊥面P AD，又BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面P AD．解：（2）过P作PO⊥AD于O，∴PO⊥平面BAD，∴，∴三棱锥D﹣MAB的体积：V D﹣MAB＝V M﹣DAB＝＝＝．解法二：证明：（Ⅰ）在四棱锥P﹣ABCD中，△P AD是等腰直角三角形，且∠APD＝90°，∠ABC ＝90°，AB∥CD，AB＝2CD＝2BC＝8，平面P AD⊥平面ABCD，M是PC的三等分点（靠近C点处）．∴以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则P（6，2，2），C（0，0，0），M（2，，），B（0，4，0），D（4，0，0），A（8，4，0），＝（2，2，2），＝（4，4，0），＝（﹣2，，），＝（﹣4，4，0），设平面P AD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，0），设平面BDM的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，），∴＝0，∴平面MBD⊥平面P AD．解：（Ⅱ）∵＝＝16，M到平面ABD的距离d＝，∴三棱锥D﹣MAB的体积：V D﹣MAB＝V M﹣ABD＝＝＝．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全，因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵．国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗40p x注射疫苗60q y 总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．（Ⅰ）求2×2列联表中的数据p，q，x，y的值；（Ⅱ）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗有效？（Ⅲ）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥K0）0.050.010.0050.001 K0 3.841 6.6357.87910.828【分析】（Ⅰ）根据题意列方程求出x的值，再计算p、q和y的值；（Ⅱ）由列联表中的数据计算K2，对照临界值得出结论；（Ⅲ）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：（Ⅰ）从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为，则未感染的为，即x＝40，解得x＝100，∴p＝100﹣40＝60；q＝100﹣60＝40，y＝100；（Ⅱ）由列联表中数据，计算K2＝＝8＜10.828，∴没有99.9%把握认为注射此种疫苗有效；（Ⅲ）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只，未注射疫苗的有3只，记为a、b、c，注射疫苗的有2只，记为D、E，从这5只小白鼠中随机抽取3只，基本事件为：abc、abD、abE、acD、acE、aDE、bcD、bcE、bDE、cDE共10种不同的取法，则至少抽到2只为未注射疫苗的基本事件是abc、abD、abE、acD、acE、bcD、bcE共7种，故所求的概率为P＝．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20．（12分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为M，N，R为准线上一点．（Ⅰ）若AR∥FN，求的值；（Ⅱ）若点R为线段MN的中点，设以线段AB为直径的圆为圆E，判断点R与圆E的位置关系．【分析】（Ⅰ）设l的方程为x＝my+1．A（x1，y1），B（x2，y2），可得，直线AR的方程为，可得y R＝++y1＝++y1＝，求得点R是MN的中点即可．（Ⅱ）由抛物线定义可得ER＝＝＝＝r．即点R在圆E上．【解答】解（Ⅰ）设l的方程为x＝my+1．A（x1，y1），B（x2，y2），可得y由得y2﹣4my﹣4＝0，可知y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4．可知F（，0），N（﹣，y2）∴∵AR∥FN，∴直线AR的方程为，令x＝﹣可得y R＝++y1＝++y1＝，∴点R是MN的中点，∴＝；（Ⅱ）∵点R为线段MN的中点，以线段AB为直径的圆为圆E，∴ER⊥MN．由抛物线定义可得ER＝＝＝＝r．∴点R在圆E上．【点评】本题主要考查抛物线的定义和性质，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝（e x﹣2a）e x，g（x）＝4a2x．（Ⅰ）设h（x）＝f（x）﹣g（x），试讨论h（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝g（x）图象的上方，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（e x﹣2a）e x﹣4a2x＝e2x﹣2ae x﹣4a2x，求其导函数，然后分a＝0，a＞0，a＜0三类研究函数的单调性；（Ⅱ）函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝g（x）图象的上方，即h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（e x﹣2a）e x﹣4a2x＝e2x﹣2ae x﹣4a2x＞0．当a＝0时，h（x）＞0在（﹣∞，+∞）上恒成立，符合题意；再分别求出a＞0时与a＜0时函数h（x）在（﹣∞，+∞）上的最小值，由最小值大于0求解a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（e x﹣2a）e x﹣4a2x＝e2x﹣2ae x﹣4a2x，h′（x）＝2e2x﹣2ae x﹣4a2＝2（e x+a）（e x﹣2a）．当a＝0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；当a＞0时，由h′（x）＝0，得x＝ln2a，则当x∈（﹣∞，ln2a）时，h′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增；当a＜0时，由h′（x）＝0，得x＝ln（﹣a），则当x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，h′（x）＜0，当x∈（ln（﹣a），+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增．（Ⅱ）函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝g（x）图象的上方，即h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（e x﹣2a）e x﹣4a2x＝e2x﹣2ae x﹣4a2x＞0．当a＝0时，h（x）＝e2x＞0在（﹣∞，+∞）上恒成立，符合题意；当a＞0时，h（x）在（﹣∞，+∞）上的最小值为h（ln2a）＝e2ln2a﹣2ae ln2a﹣4a2ln2a＝﹣4a2ln2a．由﹣4a2ln2a＞0，得ln2a＜0，即0；当a＜0时，h（x）在（﹣∞，+∞）上的最小值为h（ln（﹣a））＝e2ln（﹣a）﹣2ae ln（﹣a）﹣4a2ln（﹣a）＝3a2﹣4a2ln（﹣a）．由3a2﹣4a2ln（﹣a）＞0，得＜a＜0．∴若函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝g（x）图象的上方，则a的取值范围为（，）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，属难题．选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答如果多选，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M（﹣4，0），求△MPQ的面积．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换和图象的旋转问题求出结果．（Ⅱ）利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】1解：（Ⅰ）知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，整理得：x2+y2﹣6y+9＝9，转换为极坐标方程为：ρ＝6sinθ，A是曲线C1上的动点，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．所以得到的直角坐标方程为：（x+3）2+y2＝9，转换为极坐标方程为：ρ＝﹣6cosθ．（Ⅱ）由于射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，则：|OQ|＝，|OP|＝，所以：，，所以：S△MPQ＝S△MOQ﹣S△MOP＝3．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）＞6；（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）代入a的值，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）问题转化为|3x0﹣2a|+3x0＞4恒成立，故x0≥a时，6x0＞2a+4恒成立，x0＜a 时，2a＞4，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）a＝时，|3x﹣1|+|2x﹣2|＞6，故或或，解得：x＞或x＜﹣，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，则|3x0﹣2a|+3x0＞4恒成立，故x0≥a时，6x0＞2a+4恒成立，故6×a＞2a+4，解得：a＞2，x0＜a时，2a＞4，解得：a＞2，综上，a∈（2，+∞）．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
河南省郑州市2019届高三第三次质量预测数学(文)试卷(有答案)
郑州市2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合A ＝{x ∈N ｜－1＜x ＜3}，集合B ＝{x ｜0＜x ＜π}，则A ∩B ＝ A ．{x ｜0＜x ＜3} B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{x ｜0＜x ＜π}2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z （1－i ）＝2＋i ，则在复平面内z 的对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作 为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北 朝时期专著的概率为 A ．35 B ．710 C ．45 D ．9104．已知双曲线22221y x a b－＝（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点（2），则该双曲线的离心率为A ．2B C D ．3 5．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于（6π，0）对称；③在[0，4π]上是增函 数”的一个函数可以是A ．3sin 24y x π＝（－） B ．sin 23y x π＝（－） C ．2cos 23y x π＝（＋） D ．sin 26y x π＝（＋）6．在△ABC 中，若点D 满足CD uuu r ＝2DB uuu r ，点M 为AC 中点，则MD uuu r ＝A ．2136AB AC － B ．1136AB AC － C ．2133AB AC － D ．2136AB AC ＋7．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （－x ）＝f （x ），且函数f （x ）在（－∞，0）上是减函数，若a ＝f （－1），b ＝142log f （），c ＝f （20．3），则a ，b ，c 的大小关系为A ．c ＜b ＜aB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c8．在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为AB ．2 C． D ．4 9．已知数列{n a }，{n b }满足1a ＝1b ＝1，1n a ＋－n a ＝1n nb b ＋＝3，n ∈N *．则数列{n a b }的前10项和为A ．101312（－） B ．10118（9－） C ．91126（27－） D ．101126（27－） 10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为ABC ．6483π－ D ．643π－411．函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）满足在D 内是单调函数且存在[m ，n]⊆D 使f （x ）在[m ，n]上的值域为[2m ，2n]，那么就称y ＝f （x ）为“半保值函数”，若函数f （x ）＝log a （a x ＋t ）（a ＞0且a ≠1）是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是 A ．（0，14] B ．（0，14） C ．（0，＋∞） D ．（14，＋∞） 12．已知椭圆C 1：22221x y a b ＋＝（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：2219y x －＝有公共焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则 A ．2878a ＝ B ．212a ＝C ．298b ＝ D ．21b ＝第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22－23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．）13．若实数x ，y 满足条件01033x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－1≥，－－≤，－＋≥0，则z ＝3x －2y 的最大值为__________．14．在三棱锥D －ABC 中，AB ＝AC ＝AD，BC ＝BD ＝CD ＝2，则三棱锥D －ABC外接球的表面积为__________．15．在数列{n a }中，满足1a ＝1，2a ＝4．2n na ＝（n －1）1n a －＋（n ＋1）1n a ＋（n ≥2且n ∈N *），则8a ＝__________．16．已知函数21ln 2f x a x x （）＝（－）＋，若在区间（1，＋∞）上函数f （x ）的图象恒在直线y ＝2ax 的图象的下方，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AC ＝4，cos ∠CAB ＝13．点D 在线段BC 上，且BD ＝12CD ，AD＝3．（Ⅰ）求AB 的长；（Ⅱ）求△ABD 的面积．18．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ； （Ⅱ）若AB ＝FO ＝BD ＝2，点H 在线段BF 上，且FH ＝λFB ，三棱锥B －AHC 的体积等于三棱锥O －DEF 的体积，求λ的值．19．（本小题满分12分）某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x i与年销售量y i（i＝1，2，…，10）的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，y＝a＋bx和y＝c·x d（其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）．（Ⅱ）对数据作出如下处理：令u i＝lnx i，v i＝lny i，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为27z y xe＝－（其中e＝2．71828…），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用?附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α＋βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为20．（本小题满分12分）已知抛物线y2＝－2px（p＞0）的焦点为F，x轴上方的点M（－2，m）在抛物线上，且｜MF｜＝52，直线l与抛物线交于A，B两点（点A，B与M不重合），设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当k 1＋k 2＝－2时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 21．（本小题满分12分）设函数f （x ）＝ae x －x ，g （x ）＝blnx ． （Ⅰ）设h （x ）＝f （x ）＋g （x ），函数h （x ）在（1，h （1））处切线方程为y ＝2x －1，求a ，b 的值； （Ⅱ）若a ＝1，k 为整数，当x ＞0时，x k f x x '（－）（）＋＋1＞0成立，求k 的最大值．（二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x t y t ⎧⎨⎩＝－－，＝＋（t 为参数），曲线C 1：y x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4π⎛⎫⎪⎝⎭α－． （Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在C 1上，求BA ·BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与C 2交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为（－2，1），求｜｜QM ｜－ ｜QN ｜｜的值．23．（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝｜x ＋1｜＋a ｜x ＋2｜． （Ⅰ）求a ＝1时，f （x ）≤3的解集；（Ⅱ）若f （x ）有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值．2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上． 13． 5． 14．π6. 15.425． 16．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得3184222⋅-+=c c a -------------①---------2分 又在ACD ∆中，933216943642cos 2222aa CD AC AC CD AD ADC -+=⋅-+=∠---------------4分 在ABD ∆中，931693642cos 22222ac a AB AD AB BD AD ADB -+=⨯-+=∠----------------------6分又π=∠+∠ADC ADB0cos cos =∠+∠∴ADC ADB 即06423222=+-c a -----------------------② 联立①②得，6=c 即6=AB ---------------------------------------------------------------8分 （Ⅱ）31cos =∠CAB 322cos =∠∴CAB28sin 21=∠⨯⨯⨯=∆CAB c b S ABC ---------------------------------------------------------10分32831==∆∆ABC ABD S S ---------------------------------------------------------------------------12分18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴．∵平面，平面，∴．----------------------------------------------------------------2分又四边形为平行四边形， ∴∥， ∴，，------------------------------------------------------4分∵，∴平面．∵平面， ∴平面平面．----------------------------------------------------6分（Ⅱ）∵，四边形为菱形，∴为等边三角形，且，．∵，，，∴平面，∴四棱锥AOFE D -的体积为．3321===∴---AOFE D OEF D DEF O V V V -----------------------------------------8分∵平面，点在线段上，且，所以点到平面的距离．所以，解得21=λ------------------------------------------------------------12分19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分 （Ⅱ）对两边取对数，得，即-------------------2分由表中数据得：，∴()()()31ˆ2121121=--=---=∑∑∑∑====un u vu n v u u u vv u udni i i ni i ni ii ni i，-------------------------------4分 ∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，∴，--------------------------------------------------------8分令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减．----------------------------------10分所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为()5427=z 千万元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以()2522=--=P MF ， 1=∴p 抛物线的方程为x y 22-=-------------------------------------------------------4分（Ⅱ）由（1）可知，点M 的坐标为()2,2-当直线l 斜率不存在时，此时B A ,重合，舍去.-------------------------------------------------------5分当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为b kx y += 设A ()11,y x ，B ()22,y x ，将直线l 与抛物线联立得：⎩⎨⎧-=+=xy b kx y 22()022222=+++b x kb x k 22122kkb x x --=+，2221k b x x =——————————————————①-------------7分 又22222221121-=+-++-=+x y x y k k ， 即()()()()()()2222222211221++-=+-+++-+x x x b kx x b kx()()()()84284222212121212121-+--=-++-++++x x x x b x x x x b x x k x kx将①带入得，()01222=+---b k b b即()()0221=--+k b b得1-=b 或kb 22+=--------------------------------------------------------------------------------------10分 当1-=b 时，直线l 为1-=kx y ，此时直线恒过()1,0-当k b 22--=时，直线l 为()2222++=++=x k k kx y ，此时直线恒过()2,2-（舍去） 所以直线l 恒过定点()1,0----------------------------------------------------------------------------------12分21.解析 ：解：（Ⅰ）()()()x x b ae x g x f x h x-+=+=ln()1-+='x b ae x h x由题意可知()()⎩⎨⎧=-+='=-=211111b ae h ae h e a 2=∴，1=b -----4分 （Ⅱ）当0>x 时，()()01>++'-x x f k x 等价于x e x k x+-+<11设()x e x x F x +-+=11()()()212---='x x x e x e e x F -------------------------------------------------6分令()2--=x e x R x()1-='xe x R 当0>x 时，()0>'x R 恒成立()x R 在()+∞,0上单调递增 ， 又()01<R ，()02>R ()x R ∴在()+∞,0上有唯一零点0x ，且()2,10∈x ，0200=--x e x ---------------------------9分()x F ∴单减区间为()0,0x ，单增区间为()+∞,0x ()x F ∴在()+∞,0的最小值为()()3,211100000∈+=+-+=x x e x x F x ----------------------------11分()0x F k <∴ 2max =∴k --------------------------------------------------------------------12分（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线l 的普通方程为01=++y x ，()0,1-∴A ，()1,0-B1C 的方程可化为()0122≥=+y y x ，设点P 的坐标为()θθsin ,cos ，πθ≤≤0，[]12,014sin 21sin cos +∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=⋅∴πθθθBP BA --------------------------------5分（2）曲线2C 的直角坐标方程为：()()82222=-++y x直线l 的标准参数方程为()为参数m m y m x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=221222，代入2C 得：0722=--m m 设M ，N 两点对应的参数分别为1m ，2m221=+m m ，0721<-=m m 故1m ，2m 异号221=+=-∴m m QN QM ------------------------------------------------------------------10分23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解析：（1）当1a =时，232()|1||2|121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩()3f x ≤当2x ≤-时()233f x x =--≤解得32x -≤≤- 当21x -<<-时()13f x =≤恒成立当1x ≥-时()233f x x =+≤解得10x -≤≤ 综上可得解集[3,0]-………………5分（2）(1)212()|1||2|(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-； 当(1)0a -+<且(1)0a -≤，即11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= 当(1)0a -+<且(1)0a ->，即1a >时， min ()(2)1f x f =-= 综上：当1a <-时，()f x 无最小值；当1a =-时，()f x 有最小值1-；当11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= 当1a >时， min ()(2)1f x f =-=……………… 10分。
2019届河南省郑州市高三第三次质量预测数学(文)试卷Word版含答案
郑州市2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A ＝{x ∈N ｜－1＜x ＜3}，集合B ＝{x ｜0＜x ＜π}，则A ∩B ＝A ．{x ｜0＜x ＜3}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{x ｜0＜x ＜π}2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z （1－i ）＝2＋i ，则在复平面内z 的对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5 部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作 为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北 朝时期专著的概率为 A ．35 B ．710 C ．45 D ．9104．已知双曲线22221y x a b－＝（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点（2），则该双曲线的离心率为A C D ．3 5．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于（6π，0）对称；③在[0，4π]上是增函 数”的一个函数可以是A ．3sin24y x π＝（－） B ．sin 23y x π＝（－） C ．2cos 23y x π＝（＋） D ．sin 26y x π＝（＋）6．在△ABC 中，若点D 满足CD ＝2DB ，点M 为AC 中点，则MD ＝A ．2136AB AC － B ．1136AB AC － C ．2133AB AC － D ．2136AB AC ＋7．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （－x ）＝f （x ），且函数f （x ）在（－∞，0）上是减函数，若a＝f （－1），b ＝142log f （），c ＝f （20．3），则a ，b ，c 的大小关系为A ．c ＜b ＜aB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c8．在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为A ．2B ．2C ．22D ．4 9．已知数列{n a }，{n b }满足1a ＝1b ＝1，1n a ＋－n a ＝1n nb b ＋＝3，n ∈N *．则数列{n a b }的前10项和为 A ．101312（－） B ．10118（9－） C ．91126（27－） D ．101126（27－）10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．64823π－ B ．6423π－4C ．6483π－ D ．643π－411．函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）满足在D 内是单调函数且存在[m ，n]⊆D 使f （x ）在[m ，n]上的值域为[2m ，2n ]，那么就称y ＝f （x ）为“半保值函数”，若函数f （x ）＝log a （a x＋t ）（a ＞0且a ≠1）是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是 A ．（0，14] B ．（0，14） C ．（0，＋∞） D ．（14，＋∞） 12．已知椭圆C 1：22221x y a b ＋＝（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：2219y x －＝有公共焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则 A ．2878a ＝B ．212a ＝C ．298b ＝ D ．21b ＝第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22－23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．）13．若实数x ，y 满足条件01033x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－1≥，－－≤，－＋≥0，则z ＝3x －2y 的最大值为__________．14．在三棱锥D －ABC 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，BC ＝BD ＝CD ＝2，则三棱锥D －ABC 外接球的表面积为__________．15．在数列{n a }中，满足1a ＝1，2a ＝4．2n na ＝（n －1）1n a －＋（n ＋1）1n a ＋（n ≥2且n ∈N *），则8a ＝__________．16．已知函数21ln 2f x a x x （）＝（－）＋，若在区间（1，＋∞）上函数f （x ）的图象恒在直线y ＝2ax 的图象的下方，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AC ＝4，cos ∠CAB ＝13．点D 在线段BC 上，且BD ＝12CD ，AD ＝833．（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求△ABD 的面积．18．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形． （Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若AB ＝FO ＝BD ＝2，点H 在线段BF 上，且FH ＝λFB ，三棱锥B －AHC 的体积等于三棱锥O －DEF 的体积，求λ的值．19．（本小题满分12分）某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x i与年销售量y i（i＝1，2，…，10）的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，y＝a＋bx和y＝c·x d（其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）．（Ⅱ）对数据作出如下处理：令u i＝lnx i，v i＝lny i，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为27z y xe＝－（其中e＝2．71828…），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用?附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α＋βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为20．（本小题满分12分）已知抛物线y2＝－2px（p＞0）的焦点为F，x轴上方的点M（－2，m）在抛物线上，且｜MF｜＝52，直线l与抛物线交于A，B两点（点A，B与M不重合），设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当k1＋k2＝－2时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标．21．（本小题满分12分）设函数f（x）＝ae x－x，g（x）＝blnx．（Ⅰ）设h （x ）＝f （x ）＋g （x ），函数h （x ）在（1，h （1））处切线方程为y ＝2x －1，求a ，b 的值； （Ⅱ）若a ＝1，k 为整数，当x ＞0时，x k f x x '（－）（）＋＋1＞0成立，求k 的最大值．（二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x t y t ⎧⎨⎩＝－－，＝＋（t 为参数），曲线C 1：y 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4π⎛⎫⎪⎝⎭α－．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在C 1上，求BA ·BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与C 2交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为（－2，1），求｜｜QM ｜－ ｜QN ｜｜的值．23．（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝｜x ＋1｜＋a ｜x ＋2｜． （Ⅰ）求a ＝1时，f （x ）≤3的解集；（Ⅱ）若f （x ）有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值．2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上． 13． 5． 14．π6. 15.425． 16．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得3184222⋅-+=c c a -------------①---------2分 又在ACD ∆中，933216943642cos 2222aa CD AC AC CD AD ADC -+=⋅-+=∠---------------4分 在ABD ∆中，931693642cos 22222ac a AB AD AB BD AD ADB -+=⨯-+=∠----------------------6分又π=∠+∠ADC ADB0cos cos =∠+∠∴ADC ADB 即06423222=+-c a -----------------------② 联立①②得，6=c 即6=AB ---------------------------------------------------------------8分（Ⅱ）31cos =∠CAB 322cos =∠∴CAB28sin 21=∠⨯⨯⨯=∆CAB c b S ABC ---------------------------------------------------------10分32831==∆∆ABC ABD S S ---------------------------------------------------------------------------12分18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴．∵平面，平面，∴．----------------------------------------------------------------2分又四边形为平行四边形， ∴∥， ∴，，------------------------------------------------------4分 ∵，∴平面．∵平面， ∴平面平面．----------------------------------------------------6分（Ⅱ）∵，四边形为菱形，∴为等边三角形，且，．∵，，，∴平面，∴四棱锥AOFE D -的体积为．3321===∴---AOFE D OEF D DEF O V V V -----------------------------------------8分∵平面，点在线段上，且，所以点到平面的距离．所以，解得21=λ------------------------------------------------------------12分19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分 （Ⅱ）对两边取对数，得，即-------------------2分由表中数据得：，∴()()()31ˆ2121121=--=---=∑∑∑∑====un u vu n v u u u vv u udni i i ni i ni ii ni i，-------------------------------4分 ∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，∴，--------------------------------------------------------8分令，得， 且当时，单调递增；当时，单调递减．----------------------------------10分所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为()5427=z 千万元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分 20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以()2522=--=P MF ， 1=∴p 抛物线的方程为x y 22-=-----------------------------------4分 （Ⅱ）由（1）可知，点M 的坐标为()2,2-当直线l 斜率不存在时，此时B A ,重合，舍去.---------------- --------5分 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为b kx y += 设A ()11,y x ，B ()22,y x ，将直线l 与抛物线联立得：⎩⎨⎧-=+=xy b kx y 22()022222=+++b x kb x k 22122kkb x x --=+，2221k b x x =————————————①-------------7分又22222221121-=+-++-=+x y x y k k ， 即()()()()()()2222222211221++-=+-+++-+x x x b kx x b kx()()()()84284222212121212121-+--=-++-++++x x x x b x x x x b x x k x kx将①带入得，()01222=+---b k b b即()()0221=--+k b b得1-=b 或k b 22+=----------------------------------------------10分 当1-=b 时，直线l 为1-=kx y ，此时直线恒过()1,0-当k b 22--=时，直线l 为()2222++=++=x k k kx y ，此时直线恒过()2,2-（舍去） 所以直线l 恒过定点()1,0--------------------------------------------12分 21.解析 ：解：（Ⅰ）()()()x x b ae x g x f x h x-+=+=ln()1-+='x b ae x h x 由题意可知()()⎩⎨⎧=-+='=-=211111b ae h ae h e a 2=∴，1=b -----4分 （Ⅱ）当0>x 时，()()01>++'-x x f k x 等价于x e x k x+-+<11设()x e x x F x +-+=11()()()212---='x x x e x e e x F ------------------------6分令()2--=x e x R x()1-='xe x R 当0>x 时，()0>'x R 恒成立()x R 在()+∞,0上单调递增 ， 又()01<R ，()02>R ()x R ∴在()+∞,0上有唯一零点0x ，且()2,10∈x ，0200=--x e x ---------------------------9分()x F ∴单减区间为()0,0x ，单增区间为()+∞,0x ()x F ∴在()+∞,0的最小值为()()3,211100000∈+=+-+=x x e x x F x ----------------------------11分()0x F k <∴ 2max =∴k ---------------------------------------12分（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线l 的普通方程为01=++y x ，()0,1-∴A ，()1,0-B1C 的方程可化为()0122≥=+y y x ，设点P 的坐标为()θθsin ,cos ，πθ≤≤0，[]12,014sin 21sin cos +∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=⋅∴πθθθBP BA --------------------------------5分（2）曲线2C 的直角坐标方程为：()()82222=-++y x直线l 的标准参数方程为()为参数m m y m x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=221222，代入2C 得：0722=--m m 设M ，N 两点对应的参数分别为1m ，2m221=+m m ，0721<-=m m 故1m ，2m 异号221=+=-∴m m QN QM------------------------------------------------------------------10分 23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解析：（1）当1a =时，232()|1||2|121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩ ()3f x ≤当2x ≤-时()233f x x =--≤解得32x -≤≤- 当21x -<<-时()13f x =≤恒成立当1x ≥-时()233f x x =+≤解得10x -≤≤ 综上可得解集[3,0]-………………5分（2）(1)212()|1||2|(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且(1)0a -≤，即11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= 当(1)0a -+<且(1)0a ->，即1a >时， min ()(2)1f x f =-= 综上：当1a <-时，()f x 无最小值； 当1a =-时，()f x 有最小值1-； 当11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-=当1a >时， min ()(2)1f x f =-=……………… 10分。
河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学(文)试题(图片版)
2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上．13．．14．. 15.．16．．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得-------------①---------2分又在中，---------------4分在中，----------------------6分又即-----------------------②联立①②得，即---------------------------------------------------------------8分（Ⅱ）---------------------------------------------------------10分---------------------------------------------------------------------------12分18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴．∵平面，平面，∴．----------------------------------------------------------------2分又四边形为平行四边形，∴∥，∴，，------------------------------------------------------4分∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．----------------------------------------------------6分（Ⅱ）∵，四边形为菱形，∴为等边三角形，且，．∵，，，∴平面，∴四棱锥的体积为．-----------------------------------------8分∵平面，点在线段上，且，所以点到平面的距离．所以，解得------------------------------------------------------------12分19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分（Ⅱ）对两边取对数，得，即-------------------2分由表中数据得：，∴，-------------------------------4分∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，∴，--------------------------------------------------------8分令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减．----------------------------------10分所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以，抛物线的方程为-------------------------------------------------------4分（Ⅱ）由（1）可知，点的坐标为当直线斜率不存在时，此时重合，舍去.-------------------------------------------------------5分当直线斜率存在时，设直线的方程为设，，将直线与抛物线联立得：，——————————————————①-------------7分又，即将①带入得，即得或--------------------------------------------------------------------------------------10分当时，直线为，此时直线恒过当时，直线为，此时直线恒过（舍去）所以直线恒过定点---------------------------------------------------------------------------------12分21.解析：解：（Ⅰ）由题意可知，-----4分（Ⅱ）当时，等价于设-------------------------------------------------6分令当时，恒成立在上单调递增，又，在上有唯一零点，且，---------------------------9分单减区间为，单增区间为在的最小值为----------------------------11分--------------------------------------------------------------------12分（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线的普通方程为，，的方程可化为，设点的坐标为，，--------------------------------5分（2）曲线的直角坐标方程为：直线的标准参数方程为，代入得：设，两点对应的参数分别为，，故，异号------------------------------------------------------------------10分23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解析：（1）当时，当时解得当时恒成立当时解得综上可得解集………………5分（2）当，即时，无最小值；当，即时，有最小值；当且，即时，当且，即时，综上：当时，无最小值；当时，有最小值；当时，当时，……………… 10分。
2019年郑州市高中毕业年级第三次质量预测文科数学答案
文科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分．） 1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A
9.D 10.A 11.B 12.C 二、填空题：
本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在答题卡上．
所以������������
‒
������������������
=
������������
‒
������������������
=
1 3
⋅
������������������������
⋅
ℎ
=
1 3
×
(1
2
×
2
×
2
×
������������������120°)
×
2������
=
2
3������ 3
∵������������ ⊥ ������������，������������ ⊥ ������������，������������ ∩ ������������ = ������，
∴������������ ⊥ 平面������������������������，
∴四棱锥
D
AOFE
的体积为������������
13． 5 ．
14． 6 .
25
15. ．
4
16．
1 2
,
1 2
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.解：（Ⅰ）在 ABC 中，由余弦定理得 a2 c2 42 8c 1 -------------①---------2 分 3
2019届河南省郑州市高三第三次质量检测数学(文)试题(解析版)
本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式及等比数列求和，侧重考查数学运算的核心素养.
10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，结合几何体的体积公式，求解几何体的体积即可.
（Ⅱ）对 两边取对数，得 ，即
由表中数据得： ，
∴ ，
∴ ，
∴年研发费用 与年销售量 的回归方程为 .
(Ⅲ)由（Ⅱ）知， ，
∴ ，
令 ，得 ，
且当 时， , 单调递增；
当 时， , 单调递减．
所以当 千万元时，年利润 取得最大值，且最大值为 千万元.
答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.
【详解】
因为函数 满足 ，且函数 在 上是减函数，所以可知距离y轴近的点，对应的函数值较小； ， 且 ，所以 ，故选B.
【点睛】
本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.
8．在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为（）
（Ⅱ）当 时，求证：直线 恒过定点并求出该定点的坐标.
【答案】（Ⅰ） ；
（Ⅱ）见解析.
【解析】（Ⅰ）根据 及抛物线定义可求p，从而得到方程；
【答案】（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型 更适合；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ）要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.
【解析】（Ⅰ）根据散点图的特点可知，相关关系更接近于幂函数类型；
（Ⅱ）根据所给数据，代入公式求得回归直线的方程；
（Ⅲ）先求出年利润的表达式，结合不等式特点利用导数可得最值.