§4.2换元积分法(第二类换元法)
高等数学(大农类)4.2换元法
解:
∴ 原式 =
常用的几种配元形式:
万能凑幂法
例6. 求
解: 原式 =
例7. 求
解: 原式 =
例8. 求
解: 原式 =
例9. 求
解法1
解法2
两法结果一样
例10. 求
解法1
解法 2
同样可证
或
(P123 例2(5) )
例11. 求
解: 原式 =
例12 . 求
解:
令
解: 原式
(P130 公式 (17) )
例20. 求
例21. 求
解:
(P130 公式 (20) )
例22. 求
解: 原式 =
(P130 公式 (19) )
例23. 求
解: 原式
(P130 公式 (19) )
例24. 求
解: 令
得
原式
例25. 求
解: 原式
令
例16
例26.
求Байду номын сангаас定积分
2. 求
提示:
法1
法2
法3
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
难求
易求
若所求积分
易求,
则得第二类换元积分法 .
难求，
定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 ,
证:
令
则
则有换元公式
例16. 求
解: 令
则
∴ 原式
例17. 求
解: 令
则
∴ 原式
例18. 求
解:
令
则
∴ 原式
令
于是
说明:
解：
令
B1-4.2换元积分法(第2类换元法)
(
)
• 原变量回代 所谓原变量回代就是从代换函数 x =( t ),t It 解
出相应的反函数并代入求得的积分结果中。
对三角代换，可通过辅助三角形确定相应反函数。 本例，由代换 x = ( t )= asin t，可作出辅助三角形：
由此写出相应反函数及相关三角函数。 t = ( x ) = arcsin x , a a cos t = a 2 − x 2 .
由复合函数微分关系式逆转可得积分关系式
f ( x)d x
x = ( t )
f ( t ) ( t ) d t .
将此关系式看成是积分转换式，其意义可理解为： 若右端积分∫ f[( t )] ( t )d t 易于积出，则可由其求出左端的
积分 ∫ f( x )d x .
此时有
=a
x 2 − a 2 d x = tan t a sec t tan t d t = a tan 2 t d t sec t x
= a ( sec 2 t − 1 ) d t = a ( tan t − t ) + C 1
x 2 − a 2 - a arccos a + C 1 . x
例. 求
), , 解: 令 x = a tan t , t ( − 则 2 2
x 2 + a 2 = a 2 tan 2 t + a 2 = a sec t
dx = a sec t d t a sec 2 t d t = sec t d t ∴ 原式 = a sec t = ln sec t + tan t + C1
−1 (t = + (C t )] )d t( tx=) −1 ( x ) t= [ft[]
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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结束
例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
4.2 换元积分法
解：
(1)
a2
1
x2
dx
1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a
C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx
arcsin
x a
C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微 分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)
ln x x
dx
解：
(2)
4.2_换元积分法
x x
dx 3
t2
t
3
2tdt
2
t2 3 dt 2 t3 6t C 3
再将t x 3代回整理得
x dx 2 x3 3
3
x3 6 x3C
补充例：求
1 dx
ex 1
解: 令 ex 1 t 则x ln(1 t 2 )
dx
2t 1 t2
dt , 于 是
1 dx
ex 1
Fu C
Fx C
由此可得换元法定理P103定理4.3
P103定理4.3 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
2
2
xex2dx 1 ex2 x2 dx（直接凑微分） 2
1 ex2dx 2
2
1 2
eudu
堂上练习 P108-习题4.2----4、5、6、
4、
2x 1 x2 dx
1 1 x2
1 x2
dx
1
1 x2
d1
x
2
ln
1
x
2
C
5、 x x2 5dx 1 2
x2
1 t
2t 1 t2
dt
2
1 1 t 2 dt
2arctant C
2arctan ex 1 C
课堂练习： 求
x 1dx . x
解 : 令 x 1 t,则x 1 t 2 , dx 2tdt;于是有
x-1 dx. 2 x
t2 1 t 2 dt
换元积分法和分部积分法
对于含有根式的函数的 积分，原则上是设法去 掉根式。
有些含有根式的函数的 积分，直接令根式为新 变量 即可将问题转化为一般 的不含根式的函数的积 分。
补充例题11 计算
解:
1 6
dx . 3 x x
xx ,
1 2
3
xx ,
1 3
它们的指数部分的 分母的最小公倍数 为6 .
令 t x , t 0,
则 x t , d x 6 t d t, 故
6 5
t 3 1 1 dx 6 t3 dt d t 6 3 t 1 x x t 1
1 6 ( t t 1 )dt t 1
2
2 t 3 3 t 2 6 t 6 ln | t 1 | C 2 x 33 x 66 x 6 ln( 6 x 1) C .
第二类换元法常见类型:
(1)
(2)
f ( x , n ax b ) dx , 令
a x b n ( x , c x d ) dx ,
f
令 或
第 三 节 讲
(3) (4) (5)
f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , x 2 a 2 ) dx , 令
求
f (tan x)sec 2 xdx
补充例题4
1 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
自主学习课本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.8
例4.2.9 求
tan xdx 和 cot xdx
．
解: cot xdx cos x dx 1 d sin x = ln sinx + C sin x sin x
第二类换元法
令u =
ex
−1,
则
d
x
=
1
2u + u2
d
u
∫ = 2x ex −1− 4
u22+u12 − 1+ u2
1
d
u
− 4(u − arctan u) + C
= 2x ex −1 − 4 ex −1 + 4arctan ex −1 + C
方法2 (先换元,再分部)
令 u=
ex
−1,
则
x
=
ln(1 +
u2),
积分得: uv = ∫ u′vdx + ∫ uv′dx ∫ uv′dx = uv − ∫ u′v dx 分部积分公式
或 ∫uv′dx =∫udv = uv − ∫ vdu
选取 u 及 v′(或dv) 的原则: 1) v’ 容易积，u求导简单 ;
2) ∫ u′v dx 比 ∫ u v′ dx 容易计算 .
2
2
∫ 2. 求 I =
dx . 4x2 + 9
解:
I
=
1 2
∫
d (2x) = 1 ln 2x + (2x)2 + 32 2
4x2 + 9 + C
∫ 3. ∫ x2
1 dx x3 +1
=1 3
1 d (x3 +1) x3 +1
= 2 x3 +1+ C 3
∫ 4.
∫
2x + 3 dx 1+ 2x+ a2 = a2 tan2 t + a2 = a sect
dx = a sec2 t d t
高数4.2
2
其中C 1=C−ln a ．
例 23 求 ∫ 例21
dx x −a
2 2
x (a>0)．
解 当 x>a 时，设 x=a sec t (0<t< 那么
π
2
t
)，
a
x 2 − a 2 = a 2 sec 2 t − a 2 = a sec 2 t − 1 =a tan t ， 于是
∫
a sec t tan t =∫ dt = ∫ sec tdt = ln |sec t + tan t |+C ． 2 2 a tan t x −a
§4．2 换元积分法 ．
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、积分公式小结
一、第一类换元法
定理1 设f(u)具有原函数，u=ϕ(x)可导，则有换元公式
∫
f[ϕ(x)]ϕ′(x)dx = dx
∫
f[ϕ(x)]dϕ(x)= [ )
∫
f(u)d u]u = ϕ(x) ．
根据得
∫
cot x dx=ln|sin x|+C ．
熟练之后，不必再写出变量代换．
例6 例6
∫
1 a2 + x2
dx =
1 a2
∫
1 x = arctan +C ． a a x x x x ch dx =a ch d = a sh +C ． 例7 例7 a a a a 1 例8 dx (a>0)． 例8 求 a2 − x2 1 1 1 1 x dx = 解 dx = d 2 2 a a a2 − x2 x x 1− 1− a a x = arc sin +C ． a
补充公式：
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§ 4.2 换元积分法(第二类)I 授课题目(章节)：§ 4.2 换元积分法(第二类换元积分法)n 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法川教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换IV 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时.如果函数g(x)可以化为f[：:(x)]：「(x)的形式.那么g(x)dx = f[ (x)] (x)dx 二f[ (x)]d ;:(x)^(x\ f (u)du= F(u) C =F[ (x)] C所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出形如 f [- (x)F (x)函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如..a^x2dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x二(t)将无理函数f (x)的积分.f (x)dx化为有理式(t)卜(t)的积分.(t)F (t)dt。
即卩f (x)dx= . f「(t)「(t)dt若上面的等式右端的被积函数f「(t)「(t)有原函数G(t)，则.(t)]：(t)dt = G (t) • C,然后再把「(t)中的t还原成4(x)，所以需要一开始的变量代换x = ' (t)有反函数。
定理2设x =?(t)是单调、可导的函数，且；(t) = 0，又设f「：(t)]；(t)有原函数叮」(t)，则.f (x)dx「(t)]，(t)dt =「(t) C_1(x)] C 分析要证明.f(x)dx =叫'4(x)] C ,只要证明叮4(x)]的导数为f (x),dt dx=(2 - 2cos2 t)dt = 2t - sin 2t C dt 1证明；x=t(t)单调、可导，. x= (t) 存在反函数t =屮J (x)，且——=—dx dx dt'■ (t)>•：「」(x)] =dx 二f (x)- A(x)]是f (x)是一个原函数 f (x)dx —'(x)] C .第二换元法，常用于如下基本类型类型1 ：被积函数中含有；a2- x2( a 0),可令x=asint (并约定t冷)则=a2-x2= a cost，dx = acostdx，可将原积分化作三角有理函数的积分例 1 求\/：;a2- x2dx (a 0)解令x = asint ■■ 2 2，t ( ,)，贝U . a -x -acost dx^acostdt2 2.i _a2「x2dx 二a costa costdt i i 2 2a2(11cos2t)d^l t 7sin2t C2 2 2 ____________________________________________________________ =——sin tcost +C = ^arcsin △J a2 _x2 +C .2 2 2 a 2借助下面的辅助三角形把sin t , cost用x表示.x2例2求-4_x2dx解令x = 2sint ,」」；2t ( ,)，则、4 - x 二2cost , dx 二2costdt2 24sin 2t2cost2costdt =1- cos2t2dtX x ----------- 2=2t - 2sin t cost C = 2arcsin4 - x C2 2■ -------- 冗 冗类型2 :被积函数中含有 ■. a 2 x 2 （a 0）可令 x = ata nt 并约定t （-…「），则2 2a 2 x 2二asect ； dx 二asec 2tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分解令 x“tant , t (石，2)，则、口 med ,d -asec 2tdt解令 x = 3tant ，贝V x 2 9 二 9sec 21， dx = 3sec 2 tdt 3sec 2t dt 二丄 cos 2 tdt 27 Ldx例3求——J x 2 +a 2(a 0)dx =「sectdt =ln sect +tant +C\ 4 x 2 = 2sect , dx = 2 sec 2tdt dx 2sec t x 2.4 x 224tan t 2sectdt1叭t 』44 tan 21^dsi nt 」—sin t4 si ntcostsin2t dtcos 2t14 x 2dx例 5求(x 2.9)2（分母是二次质因式的平方 ）dx (x 2 9)281sec 41x 2a 2C = In解令 x =2tant ，t则x 21 422)x 十 J x 2 +a 2+C 1. 例4求dx类型3 被积分函数中含有x2-a2（a 0），当x —a时，可令x = asect，并约定2 2t （0, 2），则x -a ata nt , dx 二asect ta ntdt，当 x 一—a 时，可令u = —x，贝y u 一a，可dx2 2 .x -a(a 0)解被积函数的定义域为（―〜_a）（a, ■：：），n当x (a,：：)时，令x = asect，t (0, —)，2贝V x2- a2= ata nt，dx=asectta ntdt 有丄迪1醴二sectdt..x2-a2ata nt/ 2 2 p _____________________________________二ln(sec t tan t) C = In(兰———) C = ln(x 、x2- a2) G . a a1(1 cos2t)dt -1cos2tdt -54 54 54 54练习：1 一求 2 2dx （第一换兀积分法分）解(x2 -2x 5)2=[22 - (x -1)2]2，令x -1 =2tant(cos2td2t2 5454 2 54sin 2t541sin t cost C543xP Ct dx(x-2x 5)22sec212wl dt=—(1 cos2t)dt -16 161 sin t cost C161 x -1arcta n —16 21 x -1-- ! -------------------------28 x -2x 51 x 1=—arcta n ———例6求当x 三（-：：,-a ）时，令x - -u ，则u 三（a, —）有22 = -1 n(u +p u ? — a 2) +G = 一1 n( —x + J x 2 _a 2) + C 1 、.u 2 - a 2二上2 CT —a 2)「a 2) C i~~2 2x - . x - a2 2 2—In2■' C i — ln( _x _ x ■ ■ a ) (C i _ In a )a二 ln( _x _ 一 x 2 -a 2) C 2二 x E (-叫-a) U (a,+呵 时，f , 2x = | nx+lx 2-a 2 +C、Jx 2 - a 2注意：（1）以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分 （2）在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原为x 的函数时，常常用到同角三角函数的关系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”（3）在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁•解 x (1,：：)时，令 x = sect , t = (0, —)则-x 22-1 - tant , dx = sect tantdt ，有u (1,::)有dx x 厂x 2：1du u 厂u 2=例7求x ( Y ；1)时，令 u - -X , dt = costdt = sin t C =-无论x T 或x 1均有-1dx f~22x i x - a解法一(用第一换元法)V 归纳总结1、第二类换元积分法的思想若.f (x)dx 中的被积函数 f(x)为无理函数，可以选择适当的变量代换f (x)的积分.f (x)dx 化为有理式的积分 f[ (t)「(t)dt ..f (x)dx x =(t)f 「(t)F (t)dt 二(t) C 二 ，(x)] C2、第二类换元积分法适用的被积函数类型(a .0)f -ffJ2 2 -2 c !d(-)x 1-(旦)2 x二-arccos a C , axx ” -a 时，令u --x 则dx -du (-u). u 2-a 2二-arccos a C = — arcco au adx两式合并——dxf ' 22x.x 「a1 arccos a解法二(第二换元法)(1 )当 x a 时,x = asect , t (0,—)则x 2 - a 22ata nt , dx = a sect tan tdt dxx ； x 2 - a 2a sect ta nt 一 dta secta tant =丄1dt 丄Ca a1 arccos- aaC . x(2)当 x ：：： -a 时，令 u = -x dx r~2 2xi x - a-du r~2 2 —u i u -au \ u 2du2-a1 a arccos- a u1 a C arccos — a -x 由(1)(2)两种情况可得f 2 xV x dx-2-a1 arccos ax 二■ (t)，将无理函数-ax 、x x a 时a 2xx 21类型1 ：被积函数中含有a2 - X ( a 0),可令x = asint (并约定t (「))则2 22 2.a -x = a cost ；dx = acostdx可将原积分化作三角有理函数的积分类型2:被积函数中含有a2x2(a 0)可令x = ata nt并约定t (-/ )，则2 2a2x2二asect ；dx =asec2tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分类型3 被积分函数中含有x2- a2 (a 0)，当x _ a时，可令x = asect，并约定t (0, 2)，则x2—a2=atant，dx =asecttantdt,当x _ —a 时，可令u = —x，则u _ a，可将原积分化为三角有理函数的积分。
W 课堂练习：P208习题4-2 2 ( 37)W 课外作业：P208 习题4-2 2 ( 36) ( 37) ( 38) (40) (42)。