广东省揭阳市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
小学奥数 构造与论证 精选例题练习习题(含知识点拨)
构造与论证教学目标1.掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2.利用基本染色去解决相关图论问题．知识点拨知识点说明各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．知识点拨板块一、最佳安排和选择方案【例 1】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【考点】构造与论证【难度】2星【题型】解答【解析】因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第1卷和第2卷对调即可．所以，共需调换4+3+2+1=10次．【答案】10次【例 2】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．【答案】偶数【例 3】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．【考点】构造与论证【难度】3星【题型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例 4】在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为123200820091004++++=⨯是一个偶数，而每一次“操作”，将a、b两个数变成了()a b-，它们的和减少了2b，即减少了一个偶数．那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．【答案】偶数【例 5】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．【答案】1997次【例 6】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以(2)不能【例 7】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=1113，推知，必有人得分不超过11分.也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.【答案】胜3场【例 8】 n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n =4是否可能？（2）n =5是否可能？【考点】构造与论证 【难度】3星 【题型】解答【解析】 （1）我们知道4个队共进行了24C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为24C ×2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n =4不可能。
广东省河源市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
广东省河源市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）(2012·武汉模拟) 在一次师生同台的课本剧表演活动中，学生和老师共54人，已知学生人数比老师的两倍还多，女生比男生多，女老师比女生少5人，至少有3名男老师，那么这54人中，共有男生________人．2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。
已知最上层有4根，最下层有20根。
（1）这堆原木堆放了多少层?（2）一共有多少根原木?3. （5分）有A、B、C、D、E、F六人围着一张圆桌坐着(如下图)，已知E与C相隔一人并且在C的右手一侧，D坐在A的对面，B与F相隔一人并坐在F的左手一侧，F与A不相邻。
试确定它们的位置。
4. （5分）三张分别写有2，1，6的卡片，能否排成一个可以被43除尽的整数？5. （10分）东东、西西、北北三人进行乒乓球单循环赛，结果人获胜的场数各不相同．问第一名胜了几场？6. （5分）证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
7. （5分）四名棋手两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分．比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？8. （10分）有三个盒子，甲盒装了两个克的砝码，乙盒装了两个克的砝码，丙盒装了一个克、一个克的砝码．每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的．聪明的小明只从一个盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了．你知道这是为什么吗？9. （5分）甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。
赛前甲、乙、丙分别做了预测。
甲说：“丙第名，我第名。
”乙说：“我第名，丁第名。
”丙说：“丁第名，我第名。
(小学奥数)构造与论证
構造與論證教學目標1.掌握最佳安排和選擇方案的組合問題.2.利用基本染色去解決相關圖論問題．知識點撥知識點說明各種探討給定要求能否實現，在論證中，有時需進行分類討論，有時則要著眼於極端情形，或從整體把握．設計最佳安排和選擇方案的組合問題，這裏的最佳通常指某個量達到最大或最小．解題時，既要構造出取得最值的具體實例，又要對此方案的最優性進行論證．論證中的常用手段包括抽屜原則、整除性分析和不等式估計．組合證明題，在論證中，有時需進行分類討論，有時則需要著眼於極端情況，或從整體把握。
若干點及連接它們的一些線段組成圖，與此相關的題目稱為圖論問題。
若干點及連接它們的一些線段組成圖，與此相關的題目稱為圖論問題，這裏宜從特殊的點或線著手進行分析．各種以染色為內容，或通過染色求解的組合問題，基本的染色方式有相間染色與條形染色．知識點撥板塊一、最佳安排和選擇方案【例 1】5卷本百科全書按從第1卷到第5卷的遞增序號排列，今要將它們變為反序排列，即從第5卷到第1卷．如果每次只能調換相鄰的兩卷，那麼最少要調換多少次?【考點】構造與論證【難度】2星【題型】解答【解析】因為必須是調換相鄰的兩卷，將第5卷調至原來第1卷的位置最少需4次，得到的順序為51234；現在將第4卷調至此時第1卷的位置最少需3次，得到的順序為54123；現在將第3卷調至此時第1卷的位置最少需2次，得到的順序為54312；最後將第1卷和第2卷對調即可．所以，共需調換4+3+2+1=10次．【答案】10次【例 2】在2009張卡片上分別寫著數字1、2、3、4、……、2009，現在將卡片的順序打亂，讓空白面朝上，並在空白面上又分別寫上1、2、3、4、……、2009．然後將每一張卡片正反兩個面上的數字相加，再將這2009個和相乘，所得的積能否確定是奇數還是偶數？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】從整體進行考慮．所得的2009個和相加，便等於1～2009的所有數的總和的2倍，是個偶數．2009個數的和是偶數，說明這2009個數中必有偶數，那麼這2009個數的乘積是偶數．本題也可以考慮其中的奇數．由於1～2009中有1005個奇數，那麼正反兩面共有2010個奇數，而只有2009張卡片，根據抽屜原理，其中必有2個奇數在同一張卡片上，那麼這張卡片上的數字的和是偶數，從而所有2009個和的乘積也是偶數．【答案】偶數【例 3】一個盒子裏有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下麵我們對這些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果顏色相同，就補1枚黑色棋子回去；如果顏色不同，就補1枚白色的棋子回去．這樣的操作，實際上就是每次都少了1枚棋子，那麼，經過399次操作後，最後剩下的棋子是顏色(填“黑”或者“白”)．【考點】構造與論證【難度】3星【題型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的兩枚棋子同色，則補黑子1枚，所以拿出的白子可能為0枚或2枚；若拿出的兩枚棋子異色，則補白子1枚，“兩枚棋子異色”說明其中一黑一白，那麼此時拿出的白子數為0枚．可見每次操作中拿出的白子都是偶數枚，而由於起初白子有200枚，是偶數枚，所以每次操作後剩下的白子都是偶數枚，因此最後1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例 4】在黑板上寫上1、2、3、4、……、2008，按下列規定進行“操怍”：每次擦去其中的任意兩個數a和b，然後寫上它們的差(大數減小數)，直到黑板上剩下一個數為止．問黑板上剩下的數是奇數還是偶數？為什麼？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】根據等差數列求和公式，可知開始時黑板上所有數的和為++++=⨯是一個偶數，而每一次“操作”，將a、b兩個數123200820091004變成了()-，它們的和減少了2b，即減少了一個偶數．那麼從整體上看，a b總和減少了一個偶數，其奇偶性不變，還是一個偶數．所以每次操作後黑板上剩下的數的和都是偶數，那麼最後黑板上剩下一個數時，這個數是個偶數．【答案】偶數【例 5】在1997×1997的正方形棋盤上的每格都裝有一盞燈和一個按鈕．按鈕每按一次，與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態，即由亮變為不亮，或由不亮變為亮．如果原來每盞燈都是不亮的，請說明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部變亮?【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】最少要1997次，將第一列中的每一格都按一次，則除第一列外，每格的燈都只改變一次狀態，由不亮變成亮．而第一列每格的燈都改變1997次狀態，由不亮變亮．如果少於1997次，則至少有一列和至少有一行沒有被按過，位於這一列和這一行相交處的燈保持原狀，即不亮的狀態．【答案】1997次【例 6】有3堆小石子，每次允許進行如下操作：從每堆中取走同樣數目的小石子，或是將其中的某一石子數是偶數的堆中的一半石子移入另外的一堆．開始時，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊石子．問能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因為操作就兩種，每堆取走同樣數目的小石子，將有偶數堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子總數要麼減少3的倍數，要麼不變．現在共有1989+989+89=3067，不是3的倍數，所以不能將3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以(2)不能【例 7】在某市舉行的一次乒乓球邀請賽上，有3名專業選手與3名業餘選手參加.比賽採用單迴圈方式進行，就是說每兩名選手都要比賽一場．為公平起見，用以下方法記分：開賽前每位選手各有10分作為底分，每賽一場，勝者加分，負者扣分，每勝專業選手一場加2分，每勝業餘選手一場加1分；專業選手每負一場扣2分，業餘選手每負一場扣1分．問：一位業餘選手最少要勝幾場，才能確保他的得分比某位專業選手高? 【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】當一位業餘選手勝2場時，如果只勝了另兩位業餘選手，那麼他得10+2-3=9(分)．此時，如果專業選手間的比賽均為一勝一負，而專業選手與業餘選手比賽全勝，那麼每位專業選手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位業餘選手勝2場，不能確保他的得分比某位專業選手高．當一位業餘選手勝3場時，得分最少時是勝兩位業餘選手，勝一位專業選手，得10+2+2-2=12(分)．此時，三位專業選手最多共得30+0+4=34(分)，其中專業選手之間的三場比賽共得0分，專業選手與業餘選手的比賽最多共得4分.由三個人得34分，34÷3=111，推知，3必有人得分不超過11分.也就是說，一位業餘選手勝3場，能確保他的得分比某位專業選高.【答案】勝3場【例 8】n支足球隊進行比賽，比賽採用單迴圈制，即每對均與其他各隊比賽一場.現規定勝一場得2分，平一場得1分，負一場得0分.如果每一隊至少勝一場，並且所有各隊的積分都不相同，問：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】（1）我們知道4個隊共進行了24C場比賽，而每場比賽有2分產生，所以4個隊的得分總和為2C×2=12.因為每一隊至少勝一場，所以得分最低的4隊至少得2分，又要求每個隊的得分都不相同，所以4個隊得分最少2+3+4+5=14＞12，不滿足.即n=4不可能。
湖南省常德市小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
湖南省常德市小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）已知甲、乙两数的和为8，乙、丙两数的和为6，甲、丙两数的和为4，甲、乙、丙三个数各是多少?甲数是________乙数是________ 丙数是________2. （5分）(2011·广州模拟) 下图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸（1）若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋．若有一点B，他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，那么B点在岸上还是水中？说明理由．3. （5分）根据条件判断旅游团去了、、、、中的哪几个地方？⑴如果去，就必须去；⑵ 、两地至少去一地；⑶ 、两地只能去一地；⑷ 、两地要去都去，要不去都不去；⑸若去，则、两地必须去.4. （5分）给三个非常聪明的人各戴了一顶帽子．并且告诉他们，他们的帽子的颜色可能是红色的，也可能是蓝色的，没有其他颜色．且三人中至少有一个人的帽子是红色的．三人互相看了看，没有人能很快地说出自己戴的是什么颜色的帽子．三人又冥思苦想了一阵，几乎同时都猜到了自己戴了什么颜色的帽子．你知道他们三人各戴了什么颜色的帽子吗？请说明理由．5. （10分）三位女孩、、进行百米赛跑，裁判、、在赛前猜测她们之间的名次。
说：“我猜是第一名。
” 说：“我猜不会是最后一名。
” 说：“我猜不会是第一名。
”成绩揭晓后已知恰只有一位裁判的猜测是正确的，请问哪位女孩得第一名？6. （5分）将全体自然数按照它们个位数字可分为10类：个位数字是1的为第1类，个位数字是2的为第2类，…，个位数字是9的为第9类，个位数字是0的为第10类．（1）任意取出6个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？（2）任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？如果一定，请简要说明理由；如果不一定，请举出一个反例．7. （5分）下面三位同学拍球，分别拍了28下、33下、25下，他们各拍了多少下？8. （10分）篮子里的7个莱果掉了4个在桌子上，还有一个不知掉到哪去了，飞飞把桌子上的莱果拾进篮子里，又吃了一个，请问篮子里还剩下几个苹果？9. （5分） (2018二下·云南月考) 小明、小刚、小丽每个人手中都拿了一张数字卡片，分别是4、9、2。
西藏阿里地区小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
西藏阿里地区小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）已知甲、乙两数的和为8，乙、丙两数的和为6，甲、丙两数的和为4，甲、乙、丙三个数各是多少?甲数是________乙数是________ 丙数是________2. （5分）三个连续偶数的和是54，这三个偶数分别是多少？3. （5分）由，，三个班中各出3名学生比赛长跑．规定第一名得9分，第二名得8分，第三名得7分，……，第八名得2分，第九名得1分．比赛结果是三个班总分相等，而且九名学生没有名次并列的，也没有同一个班的学生获得相连名次的．如果第一名是班的，第二名是班的．那么最后一名是哪个班的？4. （5分）有A、B、C三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：A有一场踢平，共进球2个，失球8个；B两战两胜，共失球2个；C共进球4个，失球5个，请你写出每队比赛的比分。
5. （10分）一个篮子里装着五个苹果，要分给五个人，要求每人分的一样多，最后篮子里还要剩下一个苹果，如何分（不能切开苹果）6. （5分）证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
7. （5分）三个孩子吃三个饼要用3分钟，九十个孩子九十个饼要用多少时间?8. （10分）振华小学组织了一次投篮比赛，规定投进一球得分，投不进倒扣分．小亮投了个球，投进了个．那么，他应该得多少分？9. （5分）先填一填，再说说我的新发现．观察表，我发现了：________10. （2分）年级一班学雷锋小组有人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有个人在同一月过生日．”你知道张老师为什么这样说吗？11. （5分）一个苹果减去一个苹果，猜一个字。
12. （5分）有一个年轻人，他要过一条河去办事；但是，这条河没有船也没有桥。
小学数学奥数测试题构造与论证_人教版
2019年小学奥数组合问题专题——构造与论证1．一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是黑色还是白色？2．5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?3．有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走? 4．在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?5．n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.第1页/共26页如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？6．如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.7．如图，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立．8．2019名运动员的号码依次为1至2019的自然数．现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积．那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人?9．一组互不相同的自然数，其中最小的数是l，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和.问：这组数之和的最小值是多少?当取到最小值时，这组数是怎样构成的?10．2019枚棋子，每次可以取1、3、4、7枚，最后取的获胜。
小学奥数六年级上第24讲《构造论证》教学课件
答案：
巩固提升
mathematics
作业3：《三国英雄传》共有10篇故事，这些故事占的篇幅从2页到11页各不相同，如果从 书的第1页开始印第一个故事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头 的最多有多少篇，最少有多少篇? 答案：
巩固提升
mathematics
作业1：桌上放有5枚硬币，正面朝上，第一次翻动1枚，第二次翻动2枚，第三次翻动3枚， 第四次翻动4枚，第五次翻动5枚，能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后桌上所有的 硬币都正面朝下? 答案：
巩固提升
mathematics
作业2：把1、2、3、…、13按合适的顺序填在图中第二行的空格中、使得每列两个数字之 和都是平方数.
例题讲解
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练习4：黑板上写着3个数9、18、27，老师请一些同学上黑板对这3个数进行操作，进行一 次操作是指：把3个数进行如下变化，一些数减1、其他数加2；或者都减1；或者都加2；请 问： (1)能否经过若干次操作后得到11、12、13? (2)能否经过若干次操作后得到8、8、8？ 答案：
是奇数，那我们是不是能从奇偶性的分析入手呢?
答案：
例题讲解
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练习2：能否将1至41排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数? 答案：
例题讲解
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例题3：有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子(每次这个数目可以改变)， 也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中，请问： (1)如果开始时，3堆石子的数目分别是34、55、82，按上述操作，能否把3堆石子都拿光? (2)如果开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光? 如果可以，请设计一种取石子的方案；如果不可以，请说明理由. 分析：每次从这三堆中同时拿走相同数目的石子意味着每次拿走的石子数是3的倍数，所
小学奥数 构造与论证 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2. 利用基本染色去解决相关图论问题．知识点说明 各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．板块一、最佳安排和选择方案 【例 1】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【考点】构造与论证 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第1卷和第2卷对调即可．知识点拨知识点拨教学目标构造与论证所以，共需调换4+3+2+1=10次．【答案】10次【例2】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．【答案】偶数【例3】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．【考点】构造与论证【难度】3星【题型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例4】在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为123200820091004++++=⨯是一个偶数，而每一次“操作”，将a、b两个数变成了()a b-，它们的和减少了2b，即减少了一个偶数．那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．【答案】偶数【例5】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．【答案】1997次【例6】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考点】构造与论证 【难度】4星 【题型】解答【解析】 (1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以 (2)不能【例 7】 在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?【考点】构造与论证 【难度】4星 【题型】解答【解析】 当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=1113，推知，必有人得分不超过11分.也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.【答案】胜3场【例 8】 n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n =4是否可能？（2）n =5是否可能？【考点】构造与论证 【难度】3星 【题型】解答【解析】 （1）我们知道4个队共进行了24C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为24C ×2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n =4不可能。
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广东省揭阳市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！
一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)
1. （1分）先找规律,填好幻方,使下面幻方中竖的、横的、斜的3个数的和都是18．然后按从上到下，从左到右的顺序,填写结果.
________
2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。
已知最上层有4根，最下层有20根。
（1）这堆原木堆放了多少层?
（2）一共有多少根原木?
3. （5分）由，，三个班中各出3名学生比赛长跑．规定第一名得9分，第二名得8分，第三名得7分，……，第八名得2分，第九名得1分．比赛结果是三个班总分相等，而且九名学生没有名次并列的，也没有同一个班的学生获得相连名次的．如果第一名是班的，第二名是班的．那么最后一名是哪个班的？
4. （5分）四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得分，平一场得分，负一场得分，有一个队没输过，但却排名倒数第一，你觉得有可能吗？如果可能，请举出这种情况何时出现，如果不可能，请你说明理由．
5. （10分）篮子里的7个莱果掉了4个在桌子上，还有一个不知掉到哪去了，飞飞把桌子上的莱果拾进篮子里，又吃了一个，请问篮子里还剩下几个苹果？
6. （5分）把4支铅笔放进3个文具盒里，不管怎么放总有一个文具盒里至少放进2支铅笔，为什么？
7. （5分）五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的岁，最小的岁，最大的女孩比最小的男孩大岁，最大的男孩比最小的女孩也大岁，求最大的男孩的岁数．
8. （10分）一个篮子里装着五个苹果，要分给五个人，要求每人分的一样多，最后篮子里还要剩下一个苹果，如何分（不能切开苹果）
9. （5分）架子上摆着大、中、小三种皮球，只知道小皮球每只20元，每层皮球的价钱同样多，每只中皮球和大皮球各需要多少元？
10. （2分）任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独一个数也当做和）．
11. （5分）重阳节，25位老人来品茶，25位老人的年龄是连续数，也是自然数，两年后25位老人年龄和是2000，问25位老人最大的一位是多大？
12. （5分）宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外：⑴数学博士夸跳高冠军跳的高⑵跳高冠军和大作家常与宝宝一起看电影⑶短跑健将请小画家画贺年卡⑷数学博士和小画家关系很好⑸贝贝向大作家借过书⑹聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问：宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗？
13. （5分）有三个盒子，甲盒装了两个克的砝码，乙盒装了两个克的砝码，丙盒装了一个克、一个克的砝码．每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的．聪明的小明只从一个盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了．你知道这是为什么吗？
14. （5分） 5只鸡，5天生了5个蛋。
100天内要100个蛋，需要多少只鸡？
15. （5分） (2019三上·余杭期末) 班级图书角有许多课外书，同学们经常来借书，只知道：第一组借走了一半多一本；剩下的书，第二组借走了其中的一半多两本；再剩下的书，第三组借走了其中的一半多三本；最后，图书角还剩下6本书。
你知道图书角原有多少本课外书吗？
16. （5分）根据条件判断旅游团去了、、、、中的哪几个地方？
⑴如果去，就必须去；
⑵ 、两地至少去一地；
⑶ 、两地只能去一地；
⑷ 、两地要去都去，要不去都不去；
⑸若去，则、两地必须去.
17. （5分）(2011·广州模拟) 某路公共汽车，包括起点和终点共有15个车站，有一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下车，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个座位？
18. （5分）有一个骗子和一个老实人，骗子永远讲假话，老实人永远讲真话，你能提出一个尽量简单的问题，使两个人的回答相同吗？
这个问题可以是
19. （5分）排队游戏。
小冰、小亮、小强、小风四人一起排队上车。
小风在小冰和小亮的中间，小强在最后，小冰不是第一个。
请把他们的名字从前往后写下来。
20. （5分）一个苹果减去一个苹果，猜一个字。
二、染色与赋值问题 (共11题；共60分)
21. （5分）三张分别写有2，1，6的卡片，能否排成一个可以被43除尽的整数？
22. （5分）四张卡片上分别写着奥、林、匹、克四个字（一张上写一个字），取出三张字朝下放在桌上，、
、三人分别猜每张卡片上是什么字，猜的情况见下表：
结果，有一人一张也没猜中，一人猜中两张，另一人猜中三张.问：这三张卡片上各写着什么字．
23. （5分）有六个大小相同的彩球，三个红，三个白，分别放入三个罐子里，一个罐里放两红球，一个罐里放两白球，另一罐放一红一白．然后将写有“两红”、“两白”、“红白”的三个标签贴在三个罐子上，由于粗心，三个标签全贴错了．试问此时最少要从罐子中取出几个球，才能确定三个罐分别装的是什么彩球？
24. （5分）四名同学参加区里围棋比赛，每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分．如果每个人最后得的总分都不相同，且第一名不是全胜，那么最多有几局平局？
25. （5分）李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门课的教学，每人教两门．现知道：
⑴顾锋最年轻；
⑵李波喜欢与体育老师、数学老师交谈；
⑶体育老师和图画老师都比政治老师年龄大；
⑷顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳；
⑸刘英与语文老师是邻居．
问：各人分别教哪两门课程？
26. （5分）王平、宋丹、韩涛三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长．一次数学测验，这三个人的成绩是：⑴韩涛比大队长的成绩好．⑵王平和中队长的成绩不相同．⑶中队长比宋丹的成绩差．请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？
27. （5分）红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有、、
、、五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包．
猜：第二包是紫的，第三包是黄的；猜：第二包是蓝的，第四包是红的；
猜：第一包是红的，第五包是白的；猜：第三包是蓝的，第四包是白的；
猜：第二包是黄的，第五包是紫的．
猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对．请你判断他们各猜对了其中的哪一包？
28. （10分）某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成，且四个数码之和是，那么确保打开保险柜至少要试几次？
29. （5分）甲，乙，丙，丁四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下．甲：“丙、丁两人中有人做了好事．”
乙：“丙做了好事，我没做．”
丙：“甲、丁中只有一人做了好事．”
丁：“乙说的是事实．”最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事
实有出入．到底是谁做了好事？
30. （5分）浪费掉人的一生的三分之一时间的会是什么东西？
31. （5分）一次数学考试，共六道判断题．考生认为正确的就画“√”，认为错误的就画“ ”．记分的方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分．已知、、、、、、七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出的得分．并简单说明你的思路．
参考答案
一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)
1-1、
2-1、
2-2、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
二、染色与赋值问题 (共11题；共60分)
21-1、
22-1、
23、答案：略
24-1、
25-1、
26-1、
27-1、
28-1、
29-1、
30-1、
31-1、
第11 页共11 页。