组合数学讲义 6章 波利亚定理
组合数学课件-第四章第三节波利亚(Polya)定理
波利亚定理的重要性
波利亚定理在几何学中有着广泛的应 用，它可以帮助我们解决一些与图形 和空间有关的问题。
例如，在几何图形中，我们可以通过 应用波利亚定理来判断一个点是否在 某个区域内，或者判断一个封闭曲线 是否与某个区域相交。
第二步
根据已知条件和数学原理，推导出与结论 相关的中间结论，这是证明的关键环节。
B
C
第三步
通过逻辑推理和数学推导，逐步推导出最终 结论，这一步需要严谨的逻辑推理和精确的 数学表达。
第四步
对推导出的结论进行验证，确保其正确性和 可靠性，这一步也是证明的重要环节。
D
定理证明的结论
波利亚定理的证明结论是：在一定条件下，一个数学问题可 以通过逐步转化和化简，最终转化为一个更简单或更易于解 决的问题，从而找到问题的解。
03
多变量版本的波利亚定理
该定理将单变量版本的波利亚定理扩展到多变量函数，提供了解决多变
量问题的新工具。
定理在其他数学领域的应用
在几何学中的应用
波利亚定理在几何学中有着广泛的应用，例如在计算几何形状的 面积和体积，解决几何问题等方面。
在组合数学中的应用
波利亚定理在组合数学中有着重要的应用，例如在解决组合问题、 计数问题、排列问题等方面。
B
C
波利亚定理的证明方法有多种，其中最常用 的是数学归纳法。
波利亚定理在数学教育中也具有重要意义， 它有助于培养学生的逻辑推理能力和数学思 维能力。
D
对波利亚定理的展望
随着数学的发展，波利亚定理的应用范围将不断扩大， 将有更多的数学问题可以通过波利亚定理得到解决。
波利亚定理证明
波利亚定理证明波利亚定理是数论中的重要定理，它对于解决数的分拆问题起着重要的作用。
以下将从引言、前提条件、证明、例子等几个方面来详细讨论波利亚定理。
引言波利亚定理是由意大利数学家波利亚（Giorgi Pólya）于1918年提出的，它是更普遍形式的斯特林公式，用于解决非负整数的分拆问题。
波利亚定理在组合数学、数论和多项式函数方面有着广泛的应用。
前提条件在正式证明波利亚定理之前，我们需要了解一些基本概念和前提条件。
首先，我们定义一个分拆为把一个正整数n表示为若干个正整数的和，这些正整数可以相同也可以不同。
例如，对于正整数4的分拆可以是4=1+1+1+1=1+1+2=2+2=1+3。
其次，我们定义一个分拆的个数为同一个正整数的所有分拆的个数。
例如，对于正整数4，它的分拆个数为4。
最后，波利亚定理的表述如下：对于任意正整数n，其分拆个数可以表示为多项式函数。
即存在多项式函数P(n)，使得n的分拆个数等于P(n)。
证明为了证明波利亚定理，我们需要借助生成函数的概念。
生成函数是一种将多项式序列和数学问题联系起来的数学工具，它在组合数学中广泛应用。
首先，我们定义一个生成函数F(x)，它表示一个正整数的分拆函数。
F(x) = (1 + x + x^2 + x^3 + ...) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + ...) * (1 + x^3 + x^6 + x^9 + ...) * ...其中，每个括号代表一个无穷级数，表示相应正整数的所有分拆个数。
我们可以观察到，F(x)的展开式中，x^n的系数恰好等于正整数n 的分拆个数。
接下来，我们将F(x)进行展开。
F(x) = (1 + x + x^2 + x^3 + ...) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + ...) * (1 + x^3 + x^6 + x^9 + ...) * ...= (1 + x + x^2 + x^3 + ...) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + ...) * (1 + x^3 + x^6 + x^9 + ...) * ...× (1 - x^1) * (1 - x^2) * (1 - x^3) * ...我们可以看到，展开后的表达式中，每一项的系数是用于表示分拆个数的多项式函数。
波利亚定理
马昱春
清华大学计算机系
1
教学评估
• 2014年12月15日9：00－12月26日21：00
2
学期计划
• Project II
– 12.24 – 选做 – 任选题目 – 论文，分组1-3人 – 心路历程
• 期末考试
– 17周周二(1月13日)晚或者周三(1月14日)晚
轴1
轴2
24
• 例 3个输入端一个输出端的布尔电路有多少种实质上不同的 结构？ • 解 3个变量的布尔函数形式上有28=256个,但有的只是输入端 的顺序不同. • 输入端的变换群是S3。 • 输入端的电平取值共有000~111计8种,定义在输入端的置换 集合设为H. (i) (i) (i) a 3 • S3与H之间存在一一对应,S3≌H f: S3→H a1 a2 (i) (i) (i) Pj→hj a1 pj a2pj a3pj S3 : (1)(2)(3) H:
设G={a1,a2,…ag}是目标集[1,n]上的置换群。 每个置换都写成不相交循环的乘积。c1(ak) 是在置换ak的作用下不动点的个数，也就 是长度为1的循环的个数。 G将[1,n] 划分成 1 g l个等价类。等价类个数为： l c1 (a j )
|G|
j 1
6
4.4 Burnside引理
8 10)(11)(12)(13 15)(14 16)
19
4.6 举例
• 例1 等边三角形的3个顶点用红，兰，绿 3着色，有多少种方案？ • 解 在3维空间考虑，3顶点的置换群S3. (3)1 : 2个； 1 (1)1 (2)1 : 3个； (1)3 : 1个； 2 3 • l = (2· 31 +3· 32 +33 )/6=10
组合数学 波利亚定理
第六章 P ól y a (波利亚)定理6.1 群论基础普通代数主要涉及的计算对象为数，运算方式多为加、减、乘、除。
本节将把运算对象扩展到一般的集合元素，运算方式也可以是多种多样，例如矩阵运算、集合的并、交、差运算等。
换言之，我们要将研究对象及其运算和所要讨论的性质延伸到抽象代数的范畴。
§6.1.1 群的概念定义6.1.1 给定非空集合G 及定义在G 上的二元运算“·”，若满足以下四个条件，则称集合G 在运算“·”下构成一个群，简称G 为一个群。
：（1）封闭性：a ，b ∈G ，则a ·b ∈G ；（2）结合律：（a ·b ）·c ＝a ·(b ·c)；（3）单位元：存在e ∈G ，对任意a ∈G ，有a ·e ＝e ·a ＝a ；（4）逆元素：对任意a ∈G ，存在b ∈G ，使得a ·b ＝b ·a ＝e ，称b 为a 的逆元素，记为a －1 。
群的运算符“·”可略去，即 a ·b ＝ab .群的运算并不要求满足交换律。
如果某个群G 中的代数运算满足交换律，则称G 为交换群或Abel 群。
群的元素可以是有限个，叫作有限群 ；也可以是无限个，叫无限群。
以|G|表示有限群中元素的个数，称为群的阶，那么当G 为无限群时，可以认为|G|＝∞。
例6.1.1 偶数集，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ，复数集C 关于数的加法构成群，称为加法群。
因为数的运算对加法满足要求（1）和（2）。
其中的单位元为0，每个数a 关于加法的逆元为：a －1＝－ a 。
但是，关于数的乘法，这些集都不构成群。
因为在偶数集中关于普通乘法不存在单位元。
而在Z 、Q 、R 、C 中，虽然关于普通乘法有单位元1，但数0没有逆元。
例6.1.2 不含零的有理数集Q1，实数集R1和复数集C1关于数的乘法构成群其中单位元为e ＝1，数a 的逆元为aa 11=-。
burnside定理和polya计数
burnside定理和polya计数Burnside定理和Polya计数引言：组合数学是一门研究对象的排列和组合规律的学科。
在组合数学中，有两个重要的定理：Burnside定理和Polya计数。
这两个定理在对称性的研究中起着重要的作用。
本文将介绍Burnside定理和Polya 计数的概念、原理和应用，并对它们的关系进行探讨。
一、Burnside定理1. 概念：Burnside定理，也称作轮换定理，是由英国数学家威廉·伯恩赛德于1897年提出的。
它是一种用于计算置换群的不动点数量的方法，特别适用于计算对称性问题。
2. 原理：Burnside定理的核心思想是通过对置换群的每个元素进行分类，来计算不动点的总数。
具体来说，对于一个给定的置换群G和一个对象X，如果对象X在置换g下保持不变，则称X是置换g的不动点。
Burnside定理给出了计算所有不动点数量的方法。
3. 应用：Burnside定理在组合计数中有广泛的应用，特别是在计算染色问题和多边形的对称性问题上。
例如，当我们考虑将n个相同的珠子穿在一个项链上，Burnside定理可以帮助我们计算出不同的项链数量。
二、Polya计数1. 概念：Polya计数是由匈牙利数学家乔治·波利亚于1937年提出的。
它是一种计算置换群下不同染色方案数量的方法，通过考虑置换群的不变子群来计算。
2. 原理：Polya计数的核心思想是通过考虑置换群的不变子群来计算不同染色方案的数量。
具体来说，对于一个给定的置换群G和一组颜色C，Polya计数可以帮助我们计算出在置换群作用下，具有不同颜色方案数量。
3. 应用：Polya计数在组合计数中有广泛的应用，特别是在计算多边形染色、手链染色和立方体染色等问题上。
例如，当我们考虑将一个正方形的四个顶点染色，Polya计数可以帮助我们计算出不同的染色方案数量。
三、Burnside定理与Polya计数的关系1. 关系：Burnside定理和Polya计数都是研究置换群的方法，都可以用于计算对称性问题和染色问题。
(完整版)波利亚的解题理论
波利亚的解题理论（讲稿）同学们好!今天我们大家一起来学习波利亚的解题理论。
首先，让我们了解一下波利亚的生平.乔治·波利亚（George Polya,1887-1985）美籍匈牙利数学家，生于匈牙利,青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、数学、物理和哲学,1912年获数学博士学位。
他是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，是20世纪举世公认的数学家和数学教育家,也是享有国际盛誉的数学方法论大师,为数学方法论的现代研究,特别是为数学解题教学研究奠定了必要的理论基础。
他的成就主要包括解题理论、数学教学理论和教师教育理论,发表200多篇论文和许多专著，主要著作包括:《怎样解题》（1944)、《数学的发现》（1954）、《数学与猜想》（1961)等。
其中《怎样解题》与《数学的发现》集中论述了怎样解题的问题,而《数学与猜想》则对合情推理进行了生动地、富有创造性地论述。
在数学方面,对实变函数、复变函数和概率论等若干分支领域作出了开创性的贡献,留下了以他的名字命名的术语和定理。
在数学解题研究领域,波利亚是一面旗帜，也是一代宗师。
这里主要介绍他的解题理论。
学习波利亚的解题理论，首先需要了解对“解题”过程的界定。
波利亚认为，解题是智力的特殊成就，题目是数学的心脏，数学教学的本质在于教会学生解题，解题思想“应当诞生在学生心里，教师仅仅像助产士那样行事"（苏格拉底语),由此,数学教师的首要任务是发展学生解决问题的能力.为了帮助学生，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究可解题的思维过程，用朴素而现代化的形式来阐明探索法（既有助于发现的探索方法），并集几十年教学与科研之大成写成《怎样解题》一书,与1948年出版，风靡世界.其中“怎样解题"表仔细分析了求解各种数学问题时的思维过程，成为经典之作。
概括的说来，“怎样解题”表是波利亚的解题理论的核心内容。
波利亚计数定理解读
波利亚计数定理解读波利亚计数定理是组合数学中的一个重要定理，由法国数学家乔治·波利亚于1889年提出。
该定理是一种计算排列和组合的方法，可以帮助我们快速求解一些复杂的排列组合问题。
在实际问题中，波利亚计数定理有着广泛的应用，特别是在计算不同元素的排列组合情况时，可以大大简化计算过程。
本文将对波利亚计数定理进行解读，介绍其基本概念和应用方法。
### 波利亚计数定理的基本概念波利亚计数定理是一种用于计算排列组合的定理，其核心思想是将一个集合划分为若干个不相交的循环类，然后根据每个循环类的元素个数来计算排列组合的情况。
具体来说，波利亚计数定理可以描述如下：设集合A有n个元素，其中元素a1有n1个，元素a2有n2个，……，元素ak有nk个，且满足n1 + n2 + … + nk = n。
若对于任意的置换σ，有置换σ中的元素ai的循环类有ci个，则集合A的置换数为：N = (n!)/(n1! * n2! * … * nk!) * (c1^n1 * c2^n2 * … *ck^nk)其中，n!表示n的阶乘，n1!、n2!、…、nk!分别表示n1、n2、…、nk的阶乘，c1、c2、…、ck分别表示元素a1、a2、…、ak的循环类个数。
### 波利亚计数定理的应用方法波利亚计数定理的应用方法主要包括以下几个步骤：1. 确定集合元素和循环类：首先需要确定待计算的集合A中的元素个数和每个元素的个数，然后根据题目要求确定每个元素的循环类个数。
2. 计算置换数：根据波利亚计数定理的公式，计算集合A的置换数。
将集合A的元素个数和循环类个数代入公式中，按照公式逐步计算得到最终的置换数。
3. 应用于具体问题：将计算得到的置换数应用于具体的问题中，根据题目要求进行进一步的计算和分析，得出最终的结果。
### 波利亚计数定理的例题解析下面通过一个具体的例题来解析波利亚计数定理的应用：例题：有5个红球和3个蓝球，将这些球排成一排，使得相邻的两个球颜色不同。
组合数学中的Polya计数原理应用方向
组合数学中的Polya计数原理应用方向组合数学是数学中的一个重要分支领域，研究的是集合、排列、组合等离散结构的性质和规律。
其中，Polya计数原理是组合数学中的一项重要工具，被广泛用于解决各种计数问题。
本文将介绍Polya计数原理的基本概念及其在组合数学中的应用方向。
一、Polya计数原理的基本概念Polya计数原理，又称群论计数定理，是由匈牙利数学家乔治·波利亚于20世纪初提出的。
它基于群论的概念，用于解决组合计数问题。
Polya计数原理的核心思想是将问题的计数转化为对一定置换群下的不动点的计数。
所谓“置换群”，指的是一个具有结合律、可逆性和封闭性的集合，集合中的元素是对原始对象进行排列的一种操作。
例如，对于一个正方形的顶点，我们可以通过旋转和翻转操作来改变其位置。
在这个例子中，我们可以构建一个有8个元素的置换群，用来描述这些操作。
根据Polya计数原理，对于一个置换群G和一个有n个元素的结构，若置换群G的作用下，有m个置换不变的结构（即旋转、翻转等操作不改变结构本身），那么这个结构的计数就等于集合的元素数量除以G中不动点的数量，即N = (n!/|G|) * m。
二、Polya计数原理的应用方向1. 组合图形计数Polya计数原理在组合图形计数中有广泛的应用。
以方格填色问题为例，若要对一个n x m的方格网进行填色，要求相邻方格的颜色不相同。
使用Polya计数原理可以将该问题转化为计算某个置换群的不动点数量问题，从而得到方格填色的计数结果。
2. 筚路蓝缕问题筚路蓝缕问题是指从原点出发，只允许向上和向右移动，到达目标点的路径计数问题。
这类问题常用的解决方法是使用组合数学中的Catalan数，而Polya计数原理可以用于对Catalan数结果的计数验证，从而增加了对路径计数问题的理解。
3. 化学同分异构体计数在化学领域中，同分异构体计数是一个具有实际应用的问题。
同分异构体是指化学物质中具有相同分子式但结构不同的分子。
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《组合数学》
第六章 波利亚定理
【例6.1.7】 二维欧几里德空间的刚性旋转变换集合 T＝{T } 构成阿贝尔群。其中T 、T 的二元运算T T 定义为：先做T ，
再对其结果做T 。
验证
T ：
x1 y1
c o s s i n
s c
i n o s
x y
（1）封闭性：T T ＝T T （2）结合律：显然，
（3）单位元：
T0对应矩阵为Fra bibliotekE＝1 0
0 1
（4）逆元素： T 1 T
【例6.1.8】
设 G＝{
f1 ＝x， f2＝1－x，f3
1， x
f4 1
1， x
f5
1
1
x
，
f6
1
1
1
x
}，定义
G
上的二元运算，fi*
fj＝
fi( fj
（x）)，则 G 构成群。
（证）首先 G，其次：
（1） 可以逐一验证 fi* fj＝ fi( fj（x）) G ； （2） 同样可以逐一验证：fi* ( fj* fk)＝ ( fi* fj) *fk； （3） 单位元为 f1＝x； （4） f4 ，f5 互为逆元，其他 fi 的逆元是自身。
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第六章 波利亚定理
但是，关于数的乘法，这些集都不构成群。因为在偶数集中 关于普通乘法不存在单位元。而在 Z、Q、R、C 中，虽然关于普 通乘法有单位元 1，但数 0 没有逆元。
【例6.1.2】 不含零的有理数集 Q1，实数集 R1 和复数集 C1
关于数的乘法构成群其中单位元为 e＝1，数 a 的逆元为 a 1 1 。 a
乘法构成群。
单位元：e＝1
设q
n
1
e2 i
2 ＝ cos
2 n
i sin
2 n
，则元素 ak
qk
的逆
元为 ak1 qk qnk 。
【例6.1.5】 G ＝{0，1，…，n－1}在模 n（即 mod n）的情 况下关于加法运算构成群，当 n 为素数时，G1 ＝G－{0}＝{1, 2, …， n－1}关于乘法运算也构成群。
aaa a i ＝ai G，i＝1，2，…，n＋1
i个
由抽屉原理知，必存在整数 m，k，满足 1≤m<k≤n＋1，使得 am ak ，即 ak m e，令 r＝k－m，则 ar ＝e，即 a ar1 ＝e，所以 a 1 a r1
（证）（1）a*b＝a＋b－2G；
（2）(a*b) *c＝(a*b)＋c－2＝(a＋b－2)＋c－2
＝a＋(b＋c－2)－2＝a＋(b*c)－2＝a*(b*c)
（3）单位元为 2：a*2＝a＋2－2＝a＝2＋a－2＝2*a
（4）a 的逆元为－a＋4＝4－a：a*(4－a)＝a＋(4－a)－2
＝(4－a)＋a－2 ＝(4－a)*a
群的运算符“·”可略去，即 a·b＝ab . 群的运算并不要求满足交换律。如果某个群 G 中的代数运算 满足交换律，则称 G 为交换群或 Abel 群。 群的元素可以是有限个，叫作有限群 ；也可以是无限个， 叫无限群。 以|G|表示有限群中元素的个数，称为群的阶，那么 当 G 为无限群时，可以认为|G|＝∞。 【例6.1.1】 偶数集，整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R，复 数集 C 关于数的加法构成群，称为加法群。 因为数的运算对加法满足要求（1）和（2）。其中的单位元为 0，每个数 a 关于加法的逆元为： a 1 ＝－a。
在群 G 中，单位元为 0，元素 a G 的逆元为－a 或 n－a。
而在G1 中，单位元则为 1，a 的逆元为 a1 a a1（mod n）。
但对于某些特殊元素，其逆是显然的，如11 1 ，n 1 1 1或
n－1。
【例6.1.6】 所有 m*n 矩阵关于矩阵加法，所有非奇异（即 可逆）n 阶矩阵关于矩阵乘法都构成群。前者是可交换的，后者 是不可交换群。
§6.1.1 群 的 概 念
【定义6.1.1】 给定非空集合 G 及定义在 G 上的二元运算 “·”，若满足以下四个条件，则称集合 G 在运算“·”下构成一 个群，简称 G 为一个群。：
（1）封闭性：a，bG，则 a·bG； （2）结合律：（a·b）·c＝a·(b·c)； （3）单位元：存在 eG，对任意 aG，有 a·e＝e·a＝a； （4）逆元素：对任意 aG，存在 bG，使得 a·b＝b·a＝e， 称 b 为 a 的逆元素，记为 a－ 。
验证： f1 * fi f1 fi x fi x fi * f1 fi f1x fi x
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第六章 波利亚定理
f2 *
f3
f2 f3x
f2
1 x
1
1 x
f4x
f4 *
f5
f4 f5x 1
1 f5
1
1 1
x f1x
1 x
【例6.1.9】 设 G＝{全部整数}，a, bG，定义 a*b＝a＋b－ 2，则 G 关于运算*构成一个群。
（5）满足交换律：a*b＝a＋b－2＝b＋a－2＝b*a
§6.1.2 群 的 性 质
定理6.1.1 群具有以下性质 （1）单位元 e 唯一； （2）逆元唯一； （3）满足消去律：即对 a，b，c G，若 ab＝ac，则 b＝c； 若 ba＝ca，则仍有 b＝c；
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第六章 波利亚定理
《组合数学》
第六章 波利亚定理
第 六 章 P ól y a ( 波 利 亚 ) 定 理
6.1 群 论 基 础
普通代数：计算对象为数，运算方式多为加、减、乘、除。
扩展：计算对象为一般的集合元素，运算方式也可以是多种 多样。例如矩阵运算、集合的并、交、差运算等。
抽象代数：应用：代数、计数、通信编码、信息与网络安全 等。
【例6.1.3】 G＝{1，－1}关于乘法构成群
单位元为 e＝1
由于 1 1 ＝－1，所以数 a＝－1 的逆元为它自身。
【例6.1.4】 更一般情形，集合 G1＝{e＝1}，G2＝{1，－1}，
G3＝{1，
1
i 2
3 ，1i 2
3
)}
(1
的
3
次
根)，…，G
n＝{ak
＝e i k2 /n| k＝0，1，…，n－1，i＝ 1 }（n＝1，2，…）均关于
（ 4 ） a ， b G ， 则 ab 1 b1a1 ， 更 一 般 有 abc 1 c1 b1a1 ；
（5）若 G 是有限群，则对任意 aG，必存在一个最小常数 r， 使 ar＝e，从而 a1 ar1 。r 称为元素 a 的阶。
（证）性质（1）～（4）显然。只证明性质（5）。
设|G|＝n，由 G 的定义知.