高一数学教学与测试
石家庄市2023-2024学年高一年级第二学期期末教学质量检测数学试卷答案
石家庄市2023~2024学年度第二学期期末教学质量检测高一数学 参考答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．B 2．D 3．C 4．B 5. A 6．C 7．D 8．A二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9． BD 10．BCD 11．ABD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 10 13. 1514. 3π4 四、解答题（本大题共5道小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题意，设(),b a λλλ==， 因为22b =，所以2222λλ+=，所以2λ=±，……………………...……...………………………….3分 所以()2,2b =或()2,2b =−−．…………………………… …………………………...…………………………..6分 (Ⅱ)因为()()52a b a b −⊥+，所以()()520a b a b −⋅+=，所以225320a a b b +⋅−=，即103280a b +⋅−⨯=，所以2a b ⋅=，………………………………………...……………………………...…...…………………………..9分 设a 与b 的夹角为θ，则21cos 2222a b a bθ⋅===⨯，……………………………...………… …………..12分 又[]0,πθ∈，所以π3θ=， 所以a 与b 的夹角π3．……………………………………………………….. ….. ………...……………………..13分 16．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由(0.0050.010.0150.0150.025)101+++++⨯=a ，解得0.030a =，……………………………………………………….. ….. ………... …...…………………………..2分 因为0.011020020⨯⨯=（人），0.0151020030⨯⨯=（人）．所以不高于50分的抽20522030⨯=+（人）；………………………………………………...……………………..4分 （Ⅱ）平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………..6分 由图可知， 学生成绩在[40,70) 内的频率为 0.4， 在[70,80) 内的频率为 0.3，设学生成绩中位数为 t ，t ∈[70,80)， 则： (70)0.030.40.5t −+=， 解得2203t =， 所以中位数为2203；………………………………………………………………………...……………………..8分 （Ⅲ）法一：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A ， 则21132311()34343412=⨯+⨯+⨯=P A ． 答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为1112．……………………………………………………………..15分 法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A1111()1()13412=−=−⨯=P A P A 答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为1112．……………………………………………………………..15分 17．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）因为//BC AE 且BC AE =，所以四边形BCEA 为平行四边形，则//AB EC ，…………………………………………………………………………………………………………..2分 又AB ⊄平面PCE ，EC ⊂平面PCE ，所以//AB 平面PCE ；………………………………………………………………………………………………..4分 （Ⅱ）由PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得PA BD ⊥，…………………………………………………..5分 连接BE ，由//BC DE 且BC DE =，所以四边形BCDE 为平行四边形，又,2DE CD BC CD ⊥==，所以平行四边形BCDE 为正方形，所以BD EC ⊥，又//AB EC ，所以BD AB ⊥，……………………………………………………………………………………..7分 又,PA AB A PA AB =⊂、平面PAB ，所以BD ⊥平面PAB ，由BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD ；…………………………………………………………………………………………..9分 （Ⅲ）由PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又CD AD ⊥，,PA AD A PA AD =⊂、平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥，因为CD AD ⊥，故PDA ∠为二面角P CD A −−的平面角，即45PDA ︒∠=，…………………………………..11分 在Rt PAD △中，4PA AD ==，作AM PB ⊥，垂足为M ，由（Ⅱ）知，平面PAB ⊥平面PBD ，平面PAB 平面PBD PB =，AM ⊂平面PAB ， 所以AM ⊥平面PBD ，则PM 为直线AP 在平面PBD 上的投影，所以APM ∠为直线PA 与平面PBD 所成的角，……………………………………………………………………..13分在Rt PAB △中，22,4,26AB CE PA PB ====4224326PA AB AM PB ⋅⋅=， 在Rt AMP △中，4333sin 4AM APM AP ∠==， 即直线PA 与平面PBD 33.……………………………………………………………………..15分18．（本小题满分17分）解：（Ⅰ）因为()2cos cos a c B b C −=，所以由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C −=，………………………………………………………………..2分 所以()2sin cos sin sin A B B C A =+=，又0π,sin 0A A <<≠，所以1cos 2B =， 又0πB <<，所以π3B =.………………………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为2BD DC =，且1CD =，7AD 2BD =，3BC =，在ABD △中，由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD B =+−⋅⋅，即2742AB AB =+−，解得3AB =，或1AB =−（舍），………………………………………………………………8分 所以ABC △的面积11393sin 3322ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯⨯=△；………………………………………………10分 （Ⅲ）以A 为坐标原点，AP 所在直线为x 轴，垂直AP 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()3,0P ，(3B −，由712BC AP =得334C ⎛ ⎝， 因为BE BC λ=，CF CP λ=，01λ≤≤，所以设(3E m ，(),F n t ，由()71,0,04m λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得714m λ=−，由39,3,344n t λ⎛⎛−= ⎝⎝得93,3344n t λλ=+=，…………………………………………………………13分 所以)279363639133344416164AE AF λλλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=−⋅+=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 26318116264λ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，……………………………………………………………………………………………………15分 当12λ=时，26318116264AE AF λ⎛⎫⋅=−+ ⎪⎝⎭取得最小值，最小值为8164， 所以AE AF ⋅的最小值为8164.…………………………………………………………………………………………17分 19．（本小题满分17分） 解：（Ⅰ）由已知，得2cos sin cos tan a A B B c C=−， 由正弦定理，得sin sin sin cos 2sin cos C B C B A A =−， 即2sin cos sin cos cos sin A A B C B C =+，………………………………………………………………………………2分 即()2sin cos sin sin A A B C A =+=，由于0π,sin 0A A <<>，所以1cos 2A =，所以π3A =.………………………………………………………………4分 （Ⅱ）设,,PA x PB y PC z ===， 则1114222PA PB PB PC PA PC xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅=⋅−+⋅−+⋅−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 所以8xy yz xz ++=，…………………………………………………………………………………………………6分 由APB BPC APC ABC S S S S ++=得：1313131πsin 22222223xy yz xz bc ⋅+⋅+⋅=， 即8bc =，………………………………………………………………………………………………………………8分 由余弦定理得，2222cos a c b bc A =+−，即2222112282c b bc c b =+−⨯=+−，即2220c b +=， 又b c <，联立22208c b bc ⎧+=⎨=⎩解得4,2c b ==． 所以ABC △的周长为623a b c ++=+.……………………………………………………………………………10分（Ⅲ）设,,PA x PB y PC z ===，由（Ⅱ）在,,PAB PBC PAC △△△中，由余弦定理得22222216412x y xy x z xz y z yz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，由（Ⅱ）知8xy yz xz ++=，联立可得22212x y z ++=， 所以()()2222228x y z x y z xy yz xz ++=+++++=，所以27x y z ++=，即27PA PB PC ++=…………………………………………………………………13分 所以()424227x x x x f x m PA PB PC m =−⋅+++=−⋅+， 因为()42270x xf x m =−⋅+≥恒成立， 所以2722x x m +≤，………………………………………………………………………………………………15分 令[]2,1,2x t t =∈，由对勾函数性质知，27y t t=+在[]1,2t ∈上单调递减， 所以min 27272272m t t ⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭≤． 所以m 的取值范围为(,27⎤−∞+⎦．………………………………………………………………………………17分。
上学期高一数学教学质量检测试卷 试题
广西2021-2021学年度上学期高一数学教学质量检测试卷本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
测试时间是：2021年元月17日上午9:00～11:00 说明：本套试卷满分是150分。
考试时间是是120分钟。
第I 卷一．选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合要求的，请将答案写在答题表里〕 1．集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,3,4,5,6U A B ===，那么()U C AB ={}.3,4A {}.1,2,5,6B {}.1,2,3,4,5,6C .D Φ2．以下判断错误的选项是A .命题“5>5”是假命题，命题“5≤5”为真命题 B .“22am bm <〞是“a b <〞的必要而不充分条件，C .“矩形的两条对角线相等〞的逆否命题为真命题D .命题“{}{}1,241,2Φ⊆∉或〞为真命题。
3．函数1(5)5y x x =≠-+的反函数是 A .15(0)y x x=-≠ B .5()y x x R =+∈ C.15(0)y x x=+≠ D .5()y x x R =-∈4．等差数列{}n a 的公差为2，假设134,,a a a 成等比数列，那么2a = .4A - .6B - .8C - .10D - 5．在等比数列{}n a 中，5631323100,9,log log log n a a a a a a >⋅=++⋅⋅⋅+=且则.10A .12B .8C 3.2log 5D +6．假设函数()1(0xf x e b a =+->≠且a 1)的图象经过第二、三、四象限，那么一定有 .010A a b <<>且 .10B a b >>且 .010C a b <<<且 .10D a b ><且 7．当1a >时，函数log (1)a y x y a x ==-与的图象只能是n n n n n -2 1.2A 1.6B 1.12C 1.20D9．在等差数列{}n a 中，118190,0a a a >+=，那么{}n a 的前n 项和n S 中最大的是 8.A S 9.B S 17.C S 18.D S 10．函数()f x =A ，()g xB ，假设A B =Φ，那么实数a 的取值范围是.(1,3)A - .(2,4)B - .[1,3]C - .[2,4]D - 11．方程lg 3x x +=的解所在的区间为.(0,1)A .(1,2)B .(2,3)C12．每消费100克洗衣粉的原料和加工费为1.8元，某洗衣法中：①买小包装实惠；②卖小包装盈利多；③买大包装实惠；④卖1包大包装比卖3包小包装还要多盈利，正确的说法是A .①②B .③④C .①③D .③二.填空题(每一小题4分,一共16分,把答案填在答题卷中的横线上)233x ->的解集为 .2()4(1)3[2,)f x ax a x =++-+∞在上递减,那么a 的取值范围是.752log (42)⨯+的值是 .16.一水池有2个进水口(同时工作),1个出水口,每个进水口或者出水口的进出水速度如图甲、乙所示。
高中级高一数学期末教学质量检测试题(共8页)
高中(gāozhōng)2021级高一数学期末教学质量检测第I卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在所给的四个选项里面，只有一项是哪一项正确的。
1.假如S={1，2，3，4，5}，M={1，3，4}，N={2，4，5}，那么〔CS M〕∩〔CSN〕等于A.{4}B.{1，3}C.{2，5}D.φ2.设p、q是两个命题，那么“p且q〞为真命题是“p或者q〞为真命题的A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.与函数y=有一样图像的一个函数是A.－B. xC. －x x224.假如A={x | |x－1|≥a}，B={x | |x+1|<4}，且A∩B=φ，那么a的取值区间是A. B. C. (6，+∞) D.5.函数f (x) = x2 + bx + c，f (－1) = f (3)，那么A. f (1)>c> f (－1)B. f (1)<c< f (－1)C. c> f (－1) > f (1)D. c< f (－1) < f (1)6.某种细胞在培养过程中每20分钟分裂一次〔一个分裂成两个〕，经过3小时，1个细胞可分裂为个个个个7.假设0<a<1，那么关于x的方程a x = | logax |的解的个数为个个个个8.数列{an }为等比数列，前三项为a，和，那么Tn= a12+ a22+…+an2等于A. B. C. D.9.数列{an }的前n项和Sn= n－a2，那么当n∈N*且n≥2时一定有A. n an < n a1<SnB. Sn< n an< n a1C. n an< Sn< n a1D.n a1 <Sn< n an10.方程ax2 + 2x +1=0至少有一个负的实数根的充要条件是A.0<a≤1B. a<0C.a≤1D. 0<a≤1或者(huòzhě)a<011.设函数f(x)= 假设f(m) －1>0，那么m的取值区间是A.〔－1，1〕B.〔1，+∞〕C.〔－∞，－1〕∪〔0，+∞〕D. 〔－∞，－1〕∪〔1，+∞〕12.要得到函数y=log3(x+1)的图像，可以先将函数y=3 x的图像A.先向左平移1个单位B. 先向右平移1个单位C.先向上平移1个单位D. 先向下平移1个单位再作关于直线y=x对称的图像。
2023-2024学年河北省石家庄市高一下学期期末教学质量检测数学试卷+答案解析
2023-2024学年河北省石家庄市高一下学期期末教学质量检测数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为()A. B.1 C. D.i2.若D为的边BC的中点，则()A. B. C. D.3.已知a，为两个不同平面，m，n为不同的直线，下列命题不正确．．．的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则4.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩，则下列说法不正确的是()A.甲成绩的极差小于乙成绩的极差B.甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数C.甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数D.甲成绩的方差小于乙成绩的方差5.正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图如图，则原图形的周长是()A.6cmB.8cmC.D.6.如图所示，为测量河对岸的塔高AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，，则塔高AB为()A. B. C. D.7.如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为A. B. C.3 D.8.如图，已知在中，，D是BC边上一点，且，将沿AD进行翻折，使得点B与点P重合，若点P在平面ADC上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点P的轨迹长度为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是()A.z的模等于13B.z在复平面内对应的点位于第四象限C.z的共轭复数为D.若是纯虚数，则10.中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是()A.B.若，则有两解C.若为锐角三角形，则b取值范围是D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为11.如图，棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形内一个动点包括边界，且平面，则下列说法正确的有()A.动点F轨迹的长度为B.三棱锥体积的最小值为C.与不可能垂直D.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
广东省高一上学期教学质量检测数学试题(解析版)
高一数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册．一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，（ ）{}2,1,0,1,2A =--3{|0}2B x x =-≤≤A B = A .B.C.D.{}1,0-{}1,2{}2,1,0--{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】根据交集的概念即可求解.【详解】因为集合，， {}2,1,0,1,2A =--3{|0}2B x x =-≤≤由交集的定义可得：， {1,0}A B ⋂=-故选:.A 2. （ ） cos 71cos 41sin 71sin 41︒︒+︒︒=A.B. C. D.1212-【答案】D 【解析】【分析】直接根据余弦两角差公式逆用计算即可得答案.【详解】. ()cos 71cos 41sin 71sin 41cos 7141cos30︒︒+︒︒=︒-︒=︒=故选：D.3. 命题“”的否定是（ ）x ∃∈Q Z ∈A. B. C.D.x ∃∈Q Z ∉Q x ∀∉Z ∈Q x ∀∉Z ∉Q x ∀∈Z ∉【答案】D 【解析】【分析】利用存在量词的否定求解.【详解】因为存在量词的否定是全称量词的命题，所以命题“”的否定是“”. x ∃∈Q Z ∈Q x ∀∈Z ∉故选：D4. 已知幂函数的图象过点，则（ ） ()f x (2,16)()f x =A. B.C.D.4x 3x 6x 5x 【答案】A 【解析】【分析】设，代入点，即可得，即可得答案. ()f x x α=(2,16)4α=【详解】解：设，则， ()f x x α=41(2)262f α===得， 4α=所以． 4()f x x =故选：A.5. 若，则“”是“”的（ ） R a ∈21a =1a =A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由，得，21a =1a =±所以“”是“”的必要不充分条件. 21a =1a =故选：B . 6. 函数 的图象大致为（ ）21x y x =-A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】本题首先根据判断函数的奇偶性排除,再根据,对应,排除,进而选出正确答案A,D 01x <<0y <C .B 【详解】由函数 ， 可得，21x y x =-1x ≠±故函数的定义域为， ()()()1111∞∞--⋃-⋃+，，，又 ， 所以是偶函数， ()()()2211xx f x f x x x --===---21x y x =- 其图象关于轴对称， 因此 错误； y A,D 当 0时，， 所以错误．1x <<221001x x y x -<=<-，C 故选:B 7. 某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（ ）（参考数据：） lg 20.3,lg 30.48≈≈A. 第5代种子 B. 第6代种子 C. 第7代种子 D. 第8代种子【答案】C 【解析】【分析】设第代种子的数量为，根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得到结果. x 115x -【详解】设第代种子的数量为，由题意得，得．因为x 115x -171510x -≥715log 101x ≥+，故种子数量首次超过1000万粒的是第7715lg1077log 101111 6.9lg15lg 3lg 5lg 31lg 2+=+=+=+≈++-7代种子． 故选：C.8. 已知奇函数的图像关于点对称，当时，，则当()y f x =(,0)2π[0,2x π∈()1cos f x x =-5(,3]2x ππ∈时，的解析式为 ()f x A. B.C.D.()1sin f x x =--()1sin f x x =-()1cos f x x =--()1cos f x x =-【答案】C 【解析】【分析】当时，,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭【详解】因为奇函数的图像关于点对称，所以， ()y f x =,02π⎛⎫⎪⎝⎭()()0f x f x π++-=且，所以，故是以为周期的函数.()()f x f x -=-()()f x f x π+=()f x π当时，，故 5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+因为是周期为的奇函数，所以 ()f x π()()()3f x f x f x π-=-=-故，即， ()1cos f x x -=+()1cos f x x =--5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： ()f x x1 2 34 5()f x 3115-7-2317-则一定包含的零点的区间是（ ） ()f x A.B.C.D.(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)【答案】ACD 【解析】【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项.【详解】因为的图象是一条连续不断的曲线，且，，， ()f x ()()120f f <()()340f f <()()450f f <根据零点存在性定理可知，函数的零点的区间是． ()()()1,2,3,4,4,5故选：ACD10. 在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）αPA. B. C. D. tan α=sin()α-=cos(π)α-=πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】AB 【解析】【分析】先利用三角函数定义求得，进而求得的值判断选项A ；求得sin αα==tan α的值判断选项B ；求得的值判断选项C ；求得的值判断选项D.sin()α-cos(π)α-2πcos α⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】角的终边与单位圆的交点为αP则，则选项A 判断正确； sin tan ααα===所以B 判断正确； ()sin sin αα-=-=，则选项C 判断错误； ()cos πcos αα-=-=D 判断错误. πcos sin 2αα⎛⎫-== ⎪⎝⎭故选：AB11. 为了得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） πsin 58y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭cos y x =-A. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 153π40B. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度153π8C. 向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的3π815D. 向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来3π4015【答案】AC 【解析】【分析】化为同名函数后，根据图象变换判断． 【详解】对于AB ：因为， πcos sin 2y x x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭所以将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， πsin 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭15得到， πsin 52y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭再将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，πsin 52y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3π40πsin 58y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故A 正确，B 错误； 对于CD ：将的图象向左平移个单位长度，得到，πsin 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭38ππsin 8y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭然后将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.πsin 8y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭15πsin 58y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故C 正确，D 错误； 故选：AC ．12. 下列函数既是奇函数，又在定义域上单调递减的是（ ）A.B.()13f x x-=())lnf x x =-C.D.()1221xx f x -=+()()22,00,0x ax x f x a x ax x ⎧+≤=≤⎨-+>⎩【答案】BCD 【解析】【分析】逐一判断函数的奇偶性与单调性即可求解【详解】对于A ：， ()13f x x-==()(),00,∞-+∞U且， ()()13f x xf x --====-故是奇函数，()13f x x-=由幂函数的性质可知在都是单调递减，但在不是单调递()13f x x -=()(),0,0,-∞+∞()(),00,∞-+∞U 减，故A 错误；对于B ：的定义域为，())ln f x x =-R且，()))()lnlnf x x x f x -=+==--=-所以为奇函数，())ln f x x =又，且在上单调递增，函数在())lnf x x ==ln y t =()0,∞+y x =+上单调递增，在上递减，()0,∞+t =()0,∞+所以上单调递减，())ln f x x =-=()0,∞+又为上的奇函数，())lnf x x =-R所以在定义域上单调递减，故B 正确；())lnf x x =R 对于C ：的定义域为，()1221xx f x -=+R 且，()()122112212121x x xx x x f x f x ------===-=-+++所以是奇函数，()1221xx f x -=+又，函数在上单调递增， ()12212121x x x f x -==-+++21x y =+R 所以在定义域上单调递减，故C 正确； ()12212121x x x f x -==-+++R对于D ：的定义域为，()()22,00,0x ax x f x a x ax x ⎧+≤=≤⎨-+>⎩R 当时，，0x ≤()()()()()222f x x a x x ax x ax f x -=--+-=--=-+=-当时，，0x >()()()()()222f x x a x x ax x ax f x -=-+-=-=--+=-所以是奇函数，()()22,00,0x ax x f x a x ax x ⎧+≤=≤⎨-+>⎩又当时，所对应的抛物线开口向上，对称轴， 0,0x a ≤≤()2f x x ax =+02ax =-≥此时函数在单调递减，(],0-∞又当时，所对应的抛物线开口朝下，对称轴， 0,0x a >≤()2f x x ax =-+02ax =≤此时函数在单调递减， ()0,∞+又，()00f =所以在定义域上是单调递减函数，故D 正确.()()22,00,0x ax x f x a x ax x ⎧+≤=≤⎨-+>⎩故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知，则_____________．tan 13α=πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】##76-116-【解析】【分析】直接根据两角和的正切公式计算即可.【详解】.πtan tanπ1474tan π41261tan tan 4ααα+⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-⋅故答案为：.76-14. 若函数且，则_____________．()4,22,2x x x f x x +<-⎧=⎨≥-⎩()2f a ==a 【答案】1【解析】【分析】根据分段函数的定义域求解. 【详解】解：因为函数且， ()4,22,2xx x f x x +<-⎧=⎨≥-⎩()2f a =当时，，解得（舍）； 2a <-()42f a a =+=2a =-当时，，解得，2a ≥-()22af a ==1a =综上： 1 =a 故答案为：115. 已知，，且，则的最小值为______． 0a >0b >3ab a b =++a b +【答案】6 【解析】【分析】利用不等式，结合已知条件，即可求得的最小值. ()214ab a b ≤+a b +【详解】因为，()2134ab a b a b =++≤+故可得：， ()()24120a b a b +-+-≥即， ()()620a b a b +-++≥解得：或.6a b +≥2a b +≤-因为，故（当且仅当时取得最小值） 0,0a b >>6a b +≥3a b ==故答案为：.616. 设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个π()sin (0)4f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωωππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭最高点，则的取值范围是____________．ω【答案】516925,,3522⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【解析】【分析】结合三角函数的图象，可找到满足条件的所在的区间，解不等式组，可求得结果. π4x ω+【详解】, πππππππ(,0(,)6446444x x ωωωω∈>∴+∈++在上恰有两个零点，恰有两个最高点， ()f x ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭πππ2π2π642,Z 5πππ2π+2π3π244k k k k k ωω⎧≤+<+⎪⎪∴∈⎨⎪<+≤+⎪⎩即， 331212,Z 228+9811k k k k k ωω⎧-≤<+⎪∈⎨⎪<≤+⎩当时，不符合题意,0k <当时，不等式组为，不等式无解，0k =3322911ωω⎧-≤<⎪⎨⎪<≤⎩当时, 不等式组为，不等式无解，1k =2127221719ωω⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩当时，得，2k =4551,222527.ωω⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩51252ω<<当时，，得， 3k =6975223335ωω⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩69352ω≤≤当时,不等式无解.4k ≥ω∴∈516925,,3522⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故答案为： 516925,,3522⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. 求值：（1）；()1430513π38-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭（2）． ()2273log 8log 7log log 81+⨯【答案】（1）4（2）5【解析】【分析】（1）根据指数的运算性质计算即可；（2）根据对数的运算性质计算即可.【小问1详解】；()143015545143π32312381-+⎛⎫+-- =+=⎝+⎭-⎪-=【小问2详解】()2273274log 8log 7log log 813log 7log +⨯=+⨯.273log 72l 53og 22==++=⨯18. 已知函数 ()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）求的单调递减区间；()f x （2）求在上的值域. ()f x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】（1） π5ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（2） 【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可；（2）先求出的范围，再根据正弦函数的性质求解即可. π24x +【小问1详解】 由可得， ππ3π2π22π,242k x k k +≤+≤+∈Z π5π2π22π,44k x k k +≤≤+∈Z 所以， π5πππ,88k x k k +≤≤+∈Z 所以函数单调递减区间为：. ()f x π5ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【小问2详解】令，由可得， π24t x =+π04x ≤≤π3π44t ≤≤又因为函数在单调递增，在单调递减， sin y t =ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3π,24⎛⎤ ⎥⎝⎦所以在时有最大值1，又， sin y t =π2t =π3πsin sin 44==所以，所以函数在上的值域为. sin t ∈()f x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦19. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的油速（单位：m/s ）可以v 表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数. 31log 2100O v =O （1）若一条鲑鱼的游速为2m/s ，求该鱼的耗氧量的单位数；（2）假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m 处，12s 后甲正好追上乙，求甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值.【答案】（1）8100 （2）27【解析】 【分析】（1）将游速为2m/s 代入可解出鱼的耗氧量的单位数； 31log 2100O v =（2）先根据追及问题表示出甲乙的速度差，然后根据可求出各自的耗氧量的单位数的比值. 31log 2100O v =【小问1详解】由题意得，得. 31log 22100O v ==431008100O =⨯=故该鱼的耗氧量的单位数为8100.【小问2详解】设甲鲑鱼的游速为（单位：m/s ），耗氧量的单位数为，乙鲑鱼的游速为（单位：m/s ），耗氧量的单1v 1O 2v 位数为. 2O 由题意得，则， ()121218v v -=12123313log log 21001002O O v v ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭得，得. 132log 3O O =312327O O ==20. 已知，． 1sin cos 5ββ+=()0,πβ∈（1）求的值；tan β（2）求的值． πsin 24β⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】（1） 43-（2）【解析】【分析】（1）联立同角三角函数的平方式，根据角的取值范围，利用三角函数的商式关系，可得答案； （2）由（1）求得三角函数，利用正弦的差角公式以及二倍角公式，可得答案.【小问1详解】由，则，消去，可得，22sin cos 1ββ+=221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩cos β225sin 5sin 120ββ--=分解因式可得，解得或， ()()5sin 45sin 30ββ-+=3sin 5β=-45由，则，即，故. ()0,πβ∈4sin 5β=3cos 5β=-sin 4tan cos 3βββ==-【小问2详解】由（1）可知，， 4sin 5β=3cos 5β=-)22πππsin 2sin 2cos cos 2sin 2sin cos cos sin 444βββββββ⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭. 22433425555⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯---+=⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦21. 已知函数（）． ()()226f x x m x =-++R m ∈（1）解关于x 的不等式；()62f x m ≥-（2）若对任意的，恒成立，求实数m 的取值范围． []14x ∈，()10f x m ++≥【答案】（1）答案见解析（2）m ≤【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，再分类讨论求解不等式即可. ()2220x m x m -++≥（2）根据题意得到恒成立，再分类讨论利用基本不等式求解即可. ()2127m x x x -≤-+【小问1详解】即，()62f x m ≥-()2220x m x m -++≥所以．()()20x m x --≥当时，解得或，m>2x m ≥2x ≤当时，解得，2m =R x ∈当时，解得或．2m <x m ≤2x ≥综上可得，当时，不等式的解集为或m>2()62f x m ≥-{|2x x ≤}x m ≥当时，不等式的解集为；2m =()62f x m ≥-R 当时，不等式的解集为或．2m <()62f x m ≥-{|x x m ≤}2x ≥【小问2详解】即，()10f x m ++≥()2127m x x x -≤-+当时，对1x =07≤R m ∈当时，． (]1,4x ∈2276111x x m x x x -+≤=-+--因为，所以，所以， (]1,4x ∈10x ->611x x -+≥=-当且仅当，即时，有最小值． 611x x -=-1x =+611x x -+-所以m ≤22. 已知函数的部分图象如图所示，A ，B 分别为的()()πcos 0,0,2f x m x m ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭()f x图象与y 轴，x 轴的交点，C 为图象的最低点，且，． ()f x OA =4BC =2π3OBC ∠=（1）求的解析式；()f x（2）若函数（，且），讨论在上的零点个数．()()3log a g x x x =-0a >1a ≠()g x (]0,13【答案】（1） ππ()44f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）见解析【解析】【分析】（1）根据，可求得及周期，从而可得，代入可得，即4BC =2π3OBC ∠=m T ω(A ϕ可求解； （2）在上的零点个数即为函数与在的交点个数，作出()g x (]0,13ππ2cos 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭log a y x =(]0,13函数的图象，再结合图象分类讨论，从而可得出答案. ππ2cos 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小问1详解】由可得，，所以2π4,3BC OBC =∠=()sin πm BC OBC =⋅-∠=()1cos π24T BC OBC =-∠=，8T =由可得， 2πT ω=π4ω=由，OA =(A代入，即 π()4f x x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭ϕ=cos ϕ=因为，结合图象可得， π||2ϕ<π4ϕ=-所以； ππ()44f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小问2详解】由（1）可得， 3ππ()6cos log 44a g x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，即， ()0g x =ππ2cos log 44a x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故在上的零点个数可看作是函数与在的交点个数， ()g x (]0,13ππ2cos 44y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭log a y x =(]0,13作出的图象，如图 ππ2cos 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭①若时，由图可知，1a >当，即时，log 92a >13a <<函数与在有个交点， ππ2cos 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭log a y x =(]0,131即在上有个零点，()g x (]0,131当，即时，log 92a =3a =函数与在有个交点， ππ2cos 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭log a y x =(]0,132即在上有个零点，()g x (]0,132当，即时，log 92a <3a >函数与在有个交点， ππ2cos 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭log a y x =(]0,133即在上有个零点，()g x (]0,133②若时，由图可知，01a <<当时， log 52a <-1a <<函数与在有个交点， ππ2cos 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭log a y x =(]0,131即在上有个零点，()g x (]0,131当，即时， log 52a =-a =函数与在有个交点， ππ2cos 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭log a y x =(]0,132即在上有个零点，()g x (]0,132当 log 132log 5a a <-<a <<函数与在有个交点， ππ2cos 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭log a y x =(]0,133即在上有个零点， ()g x (]0,133当，即时， log 132a ≥-0a <≤函数与在有个交点， ππ2cos 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭log a y x =(]0,134即在上有个零点，()g x (]0,134或时，在上有个零点； 1a <<13a <<()g x (]0,131当或时，在上有个零点； a =3a =()g x (]0,132时，在上有个零点； a <<3a >()g x (]0,133当时，在上有个零点. 0a <≤()g x (]0,134【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于构造函数与，结合函数ππ2cos 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭log a y x =的图象找出临界点进行分类讨论.ππ2cos 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭。
高一数学下学期期末教学水平监测试题含解析 试题
B.10
C.10
D.10
【答案】B
【解析】分析：设塔高为 米，根据题意可知在 中， ， ， ，从而有 ，在 中， ， ， ， ，由正弦定理可求 ，从而可求得x的值即塔高.
详解：设塔高为 米，根据题意可知在 中， ， ， ，从而有 ，
在 中， ， ， ， ，
由正弦定理可得 ，
可以求得 ，
所以塔AB的高为 米，应选B.
考点：1．等差中项；2．等差数列的前 项的和．
11.如图，菱形 的边长为 为 中点，假设 为菱形内任意一点〔含边界〕，那么 的最大值为A. B. C. D.Fra bibliotek【答案】D
【解析】试题分析：由向量的几何意义可知 ，因为点 为菱形 内任意一点，所以可设 ，那么 ，又点 满足 ，所以由线性规划知识可知，当 时， 获得最大值 ，应选D．
那么 ，很明显
n⩾2时, ，
两式作差可得： ，
那么an=2(n+1),对a1也成立，故an=2(n+1)，
那么an−kn=(2−k)n+2，
那么数列{an−kn}为等差数列，
故Sn⩽S6对任意的 恒成立可化为：
a6−6k⩾0,a7−7k⩽0；
即 ，解得： .
实数 的取值范围为 .
此题选择B选项.
点睛：“新定义〞主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法那么、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解才能有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考察的还是根底数学知识，所以说“新题〞不一定是“难题〞，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
16.函数 的定义域为 ,假设对于 、 、 分别为某个三角形的边长，那么称 为“三角形函数〞。给出以下四个函数：
《高中数学教学与测试》(总复习)学生用书-课后练习B册Ch1-3
櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐殾殾殾殾练习巩固思考运用拓展探究犅册班 级姓 名学 号２ 充要条件与量词 班级： 姓名： 学号：１．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）Ａ．任意一个有理数，它的平方是有理数Ｂ．任意一个无理数，它的平方不是有理数Ｃ．存在一个有理数，它的平方是有理数Ｄ．存在一个无理数，它的平方不是有理数２．下列命题是假命题的是（ ）Ａ． 狓∈犚，ｌｏｇ２狓＝０Ｂ． 狓∈犚，ｃｏｓ狓＝１Ｃ． 狓∈犚，狓２＞０Ｄ． 狓∈犚，２狓＞０３．（２０１８·上海卷）已知犪∈犚，则“犪＞１”是“１犪＜１”的（ ）Ａ．充分非必要条件Ｂ．必要非充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既非充分又非必要条件４．（２０１９·全国Ⅱ卷）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）Ａ．α内有无数条直线与β平行Ｂ．α内有两条相交直线与β平行 Ｃ．α，β平行于同一条直线Ｄ．α，β垂直于同一平面５．（多选）下列结论正确的有（ ）Ａ．若犪＞犫＞０，则犪犮２＞犫犮２Ｂ．命题“ 狓＞０，２狓≥狓２”的否定是“ 狓＞０，２狓＜狓２”Ｃ．“三个连续自然数的乘积是６的倍数”是存在性命题Ｄ．“狓＜１”是“狓－１２＜１２”的必要不充分条件６．（多选）使不等式１＋１狓＞０成立的一个充分不必要条件是（ ）Ａ．狓＞２Ｂ．狓≥０Ｃ．狓＜－１或狓＞１Ｄ．－１＜狓＜０［］，ｔａｎ狓≤犿”是真命题，则实数犿的最小值为．７．若“ 狓∈０，π４８．（２０１８·北京卷）能说明“若犳（狓）＞犳（０）对任意的狓∈（０，２］都成立，则犳（狓）在［０，４４７２］上是增函数”为假命题的一个函数是．９．已知集合犃＝｛狓１４＜２狓≤８｝，犅＝｛狓｜狓２－２犿狓＋犿２－１＜０｝，犆＝｛狓｜｜狓－犿｜＜２｝．（１）若犿＝２，求集合犃∩犅．（２）在犅，犆两个集合中任选一个，补充在下面的问题中，并解答：条件狆：狓∈犃，条件狇：狓∈，求使狆是狇的必要非充分条件的犿的取值范围．１０．设命题狆：实数狓满足狓２－４犪狓＋３犪２＜０，命题狇：实数狓满足｜狓－３｜＜１．（１）若犪＝１，且狆，狇同为真命题，求实数狓的取值范围；（２）若犪＞０且狇是狆的充分不必要条件，求实数犪的取值范围．４４８１１．下列命题是真命题的是（ ）Ａ． 狓０∈犚，ｅ狓０≤０Ｂ． 狓∈犚，２狓＞狓２Ｃ．犪＋犫＝０的充要条件是犪犫＝－１Ｄ．犪＞１，犫＞１是犪犫＞１的充分条件１２．（多选）下列命题正确的是（ ）Ａ． 狓＞０，ｌｎ狓＋１ｌｎ狓≤２Ｂ．命题“ 狓∈（０，＋∞），ｌｎ狓＝狓－１”的否定是“ 狓∈（０，＋∞），ｌｎ狓≠狓－１”Ｃ．设狓，狔∈犚，则“狓≥２且狔≥２”是“狓２＋狔２≥４”的必要不充分条件Ｄ．设犪，犫∈犚，则“犪≠０”是“犪犫≠０”的必要不充分条件１３．已知狆：｜狓｜≤犿（犿＞０），狇：－１≤狓≤４，若狆是狇的充分条件，则犿的最大值为；若狆是狇的必要条件，则犿的最小值为．１４．命题狆：实数犿满足不等式犿２－３犪犿＋２犪２＜０（犪＞０）；命题狇：实数犿满足方程狓２犿－１＋狔２犿－５＝１表示双曲线．（１）若命题狇为真命题，求实数犿的取值范围；（２）若狆是狇的充分不必要条件，求实数犪的取值范围．４４９ １５．已知函数犳（狓）＝３狓２＋２狓－犪２－２犪，犵（狓）＝１９６狓－１３，若对任意狓１∈［－１，１］，总存在狓２∈［０，２］，使得犳（狓１）＝犵（狓２）成立，求实数犪的取值范围．（１）已知实数集犃＝｛狓｜犪１狓＝犫１，犪１犫１≠０｝，犅＝｛狓｜犪２狓＝犫２，犪２犫２≠０｝，证明：犃＝犅的充要条件是犪１犪２＝犫１犫２；（２）已知实数集犃＝｛狓｜犪１狓２＋犫１狓＋犮１＝０，犪１犫１犮１≠０｝，犅＝｛狓｜犪２狓２＋犫２狓＋犮２＝０，犪２犫２犮２≠０｝，问犪１犪２＝犫１犫２＝犮１犮２是犃＝犅的什么条件？请给出说明过程．４５０ ４ 基本不等式 班级： 姓名： 学号：１．函数犳（狓）＝狓２＋４｜狓｜的最小值为（ ）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．６Ｄ．８２．若狓＞０，狔＞０，则狓＋２狔＝２２狓槡狔的一个充分不必要条件是（ ）Ａ．狓＝狔Ｂ．狓＝２狔Ｃ．狓＝２且狔＝１Ｄ．狓＝狔或狔＝１３．若正数犿，狀满足２犿＋狀＝１，则１犿＋１狀的最小值为（ ）Ａ．３＋２槡２Ｂ．３＋槡２Ｃ．２＋２槡２Ｄ．３４．已知正数狓，狔满足３狓狔＋狔２－４＝０，则３狓＋５狔的最小值为（ ）Ａ．１Ｂ．４Ｃ．８Ｄ．１６５．（多选）下列函数的最大值是１２的是（ ）Ａ．狔＝狓２＋１１６狓２Ｂ．狔＝狓１－狓槡２，狓∈［０，１］Ｃ．狔＝狓２狓４＋１Ｄ．狔＝狓＋４狓＋２，狓＞－２６．（多选）设正实数狓，狔满足狓＋２狔＝３，则下列说法正确的是（ ）Ａ．狔狓＋３狔的最小值为４Ｂ．狓狔的最大值为９８Ｃ．槡狓＋２槡狔的最小值为槡６Ｄ．狓２＋４狔２的最小值为９２７．已知正实数狓，狔满足狓＋狔＝１，则狔狓＋２狓狔的最小值为．８．（２０１９·天津卷）设狓＞０，狔＞０，狓＋２狔＝５，则（狓＋１）（２狔＋１）狓槡狔的最小值为．４５１ ９．已知狓＞３，求狔＝狓＋４狓－３的最小值，并说明狓为何值时狔取得最小值．下面是某位同学的解答过程：解：因为狓＞３，所以４狓－３＞０，根据均值不等式有狔＝狓＋４狓－３≥２狓·４狓－３槡，其中等号成立当且仅当狓＝４狓－３，即狓（狓－３）＝４，解得狓＝４或狓＝－１（舍），所以狔＝狓＋４狓－３的最小值为２４×４４－３槡＝８．因此，当狓＝４时，狔＝狓＋４狓－３取得最小值８． 该同学的解答过程是否有错误？如果有，请指出错误的原因，并给出正确的解答过程．１０．若犪＞０，犫＞０，且１犪＋１犫＝槡犪犫．（１）求犪３＋犫３的最小值；（２）是否存在犪，犫，使得２犪＋３犫＝６？请说明理由．１１．在△犃犅犆中，犃＝π６，△犃犅犆的面积为２，则２ｓｉｎ犆ｓｉｎ犆＋２ｓｉｎ犅＋ｓｉｎ犅ｓｉｎ犆的最小值为（ ）Ａ．槡３２Ｂ．槡３３４Ｃ．３２Ｄ．５３４５２１２．（多选）设狓，狔∈（０，＋∞），犛＝狓＋狔，犘＝狓狔，以下四个命题正确的是（ ）Ａ．若犘＝１，则犛有最小值２Ｂ．若犛＝２犘，则犛有最小值４Ｃ．若犛２＝犘＋１犘，则犛２有最小值２Ｄ．若犛＋犘＝３，则犘有最大值１１３．若实数狓，狔满足狓＞狔＞０，且ｌｏｇ２狓＋ｌｏｇ２狔＝１，则２狓＋１狔的最小值是，狓－狔狓２＋狔２的最大值为．１４．已知实数狓＞０，狔＞０，且２狓狔＝狓＋狔＋犪（狓２＋狔２）（犪∈犚）．（１）当犪＝０时，求狓＋４狔的最小值，并指出取最小值时狓，狔的值；（２）当犪＝１２时，求狓＋狔的最小值，并指出取最小值时狓，狔的值．第１５题图１５．某校学生处为了更好地开展高一社团活动，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报．该海报含有大小相等的三个矩形栏目，这三栏的面积之和为６００００ｃｍ２，四周空白的宽度为１０ｃｍ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为５ｃｍ．（１）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；（２）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的２倍，那么怎样确定海报矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小？并求最小值．４５３在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即犱＝犿犽，其中犱是弹簧拉伸的距离（单位：ｃｍ），犿是物体的质量（单位：ｇ），犽是弹簧弹性系数（单位：ｇ／ｃｍ）．弹簧弹性系数分别为犽１，犽２的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数犽满足１犽＝１犽１＋１犽２，并联时得到的弹簧系数犽满足犽＝犽１＋犽２．已知物体质量为２０ｇ，当两个弹簧串联时拉伸距离为１ｃｍ，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（ ）Ａ．１４ｃｍ Ｂ．１２ｃｍＣ．１ｃｍＤ．２ｃｍ４５４ ６ 函数的概念及表示 班级： 姓名： 学号：１．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为狔＝２狓２＋１、值域为｛５，１９｝的“孪生函数”共有（ ）Ａ．１个Ｂ．５个Ｃ．９个Ｄ．１２个２．（２０１８·全国Ⅰ卷）设函数犳（狓）＝２－狓，狓≤０，１，狓＞０，烅烄烆则满足犳（狓＋１）＜犳（２狓）的狓的取值范围是（ ）Ａ．（－∞，－１］Ｂ．（０，＋∞）Ｃ．（－１，０）Ｄ．（－∞，０）３．若函数狔＝犳（狓）的定义域是（０，１），则狔＝犳（狓２）的定义域是（ ）Ａ．（－１，０）Ｂ．（－１，０）∪（０，１）Ｃ．（０，１）Ｄ．［０，１］４．设犳（狓）＝槡狓，０＜狓＜１，２（狓－１），狓≥１，烅烄烆若犳（犪）＝犳（犪＋１），则犳（１犪）＝（ ）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．６Ｄ．８５．（多选）下面各组函数是同一函数的是（ ）Ａ．狔＝－２狓槡３与狔＝－２槡狓Ｂ．狔＝狓槡２与狔＝｜狓｜Ｃ．狔＝狓槡＋１·狓槡－１与狔＝（狓＋１）（狓－１槡）Ｄ．犳（狓）＝狓２－２狓－１与犵（狋）＝狋２－２狋－１６．（多选）若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“孪生函数”．例如，函数狔＝狓２，狓∈［１，２］与函数狔＝狓２，狓∈［－２，－１］即为“孪生函数”．给出下面四个函数，其中能够被用来构造“孪生函数”的是（ ）Ａ．狔＝［狓］（［狓］表示不超过狓的最大整数，如［０．１］＝０）Ｂ．狔＝狓＋狓槡＋１Ｃ．狔＝１狓－ｌｏｇ３狓Ｄ．狔＝狓＋１狓＋１４５５７．（２０１８·江苏卷）函数犳（狓）＝ｌｏｇ２狓槡－１的定义域为．８．已知函数犳（狓）＝２－狓，狓≤－１，狓＋１，狓＞－１，烅烄烆则犳［犳（－２）］＝，不等式犳（狓）≥２的解集为．９．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ０．５（狓２－２犪狓＋３）的定义域为（－∞，１）∪（３，＋∞）．（１）求实数犪的值；（２）求函数犳（狓）在［５，＋∞）上的值域．１０．已知函数犳（狓）＝狆狓２＋１狓的图象经过点（２，５２）．（１）求函数犳（狓）的解析式；（２）写出函数犳（狓）的定义域；（３）当狋＞１２时，试直接写出函数犳（狓）在区间１２，狋［］上的最小值犵（狋）．１１．已知函数犳（狓）＝１＋狓１－狓的定义域为犃，函数狔＝犳［犳（狓）］的定义域为犅，则（ ）Ａ．犃∪犅＝犅Ｂ．犃 犅Ｃ．犃＝犅Ｄ．犃∩犅＝犅１２．（多选）已知犳（狓）是一次函数，若犳［犳（狓）］＝６狓＋３＋犳（狓），则犳（狓）的解析式可以是（ ）Ａ．犳（狓）＝－３狓＋１Ｂ．犳（狓）＝３狓＋１Ｃ．犳（狓）＝２狓－３２Ｄ．犳（狓）＝－２狓－３２４５６ １３．已知函数犳（狓）＝４｜狓｜＋２－１的定义域是［犪，犫］（犪，犫为整数），值域是［０，１］，则满足条件的一个整数对（犪，犫）为，这样的整数对一共有个．１４．已知命题狆：函数狔＝ｌｇ（犪狓２＋２狓＋犪）的定义域为犚，命题狇：函数犳（狓）＝２狓２－犪狓在（－∞，１）上单调递减．（１）若“狆∧（瓙狇）”为真命题，求实数犪的取值范围；（２）设关于狓的不等式（狓－犿）（狓－犿＋２）＜０的解集为犃，当命题狆为真命题时，犪的取值集合为犅，若犃∩犅＝犃，求实数犿的取值范围．１５．（１）已知犳（狓＋１狓）＝狓２＋１狓２，求犳（狓）的解析式；（２）已知犳（狓）是二次函数，且犳（０）＝０，犳（狓＋１）＝犳（狓）＋狓＋１，求犳（狓）的解析式；（３）已知函数犳（狓）满足犳（－狓）＋２犳（狓）＝２狓，求犳（狓）的解析式．４５７对定义域分别是犇犳，犇犵的函数狔＝犳（狓），狔＝犵（狓）．规定：函数犺（狓）＝犳（狓）犵（狓），狓∈犇犳，狓∈犇犵，犳（狓），狓∈犇犳，狓 犇犵，犵（狓），狓 犇犳，狓∈犇犵．烅烄烆（１）若函数犳（狓）＝１狓－１，犵（狓）＝狓２，写出函数犺（狓）的解析式；（２）求问题（１）中的函数犺（狓）的值域；（３）若犵（狓）＝犳（狓＋α），其中α是常数，且α∈［０，π］，请设计一个定义域为犚的函数狔＝犳（狓）及一个α的值，使得犺（狓）＝ｃｏｓ４狓，并予以证明．４５８８ 函数的奇偶性、对称性与周期性 班级： 姓名： 学号：１．已知函数犳（狓）＝狓２－犪狓，狓≤０，犪狓２＋狓，狓＞０烅烄烆为奇函数，则犪＝（ ）Ａ．－１Ｂ．１Ｃ．０Ｄ．±１２．设函数犳（狓）＝１ｅ狓－１＋犪，若犳（狓）为奇函数，则不等式犳（狓）＞１的解集为（ ）Ａ．（０，１）Ｂ．（－∞，ｌｎ３）Ｃ．（０，ｌｎ３）Ｄ．（０，２）３．已知犳（狓）为定义在犚上的奇函数，且满足犳（狓＋４）＝犳（狓），当狓∈（０，２）时，犳（狓）＝２狓２，则犳（３）＝（ ）Ａ．－１８Ｂ．１８Ｃ．－２Ｄ．９４．函数犳（狓）满足３犳（狓）犳（狔）＝犳（狓＋狔）＋犳（狓－狔）（狓，狔∈犚），且犳（１）＝１３，则犳（２０２０）＝（ ）Ａ．２３Ｂ．－２３Ｃ．－１３Ｄ．１３５．（多选）若定义在犚上的增函数狔＝犳（狓－１）的图象关于点（１，０）对称，且犳（２）＝２，令犵（狓）＝犳（狓）－１，则下列结论一定成立的是（ ）Ａ．犵（１）＝０Ｂ．犵（０）＝－１Ｃ．犵（－１）＋犵（１）＜０Ｄ．犵（－１）＋犵（２）＞－２６．（多选）已知犳（狓）是定义在犚上的奇函数，犳（狓＋１）是偶函数，且当狓∈（０，１］时，犳（狓）＝－狓（狓－２），则（ ）Ａ．犳（狓）是周期为２的函数Ｂ．犳（２０１９）＋犳（２０２０）＝－１Ｃ．犳（狓）的值域为［－１，１］Ｄ．犳（狓）的图象与曲线狔＝ｃｏｓ狓在（０，２π）上有４个交点７．（２０１９·全国Ⅱ卷）已知犳（狓）是奇函数，且当狓＜０时，犳（狓）＝－ｅ犪狓．若犳（ｌｎ２）＝８，则犪＝．８．已知犳（狓）是犚上最小正周期为２的周期函数，且当０≤狓＜２时，犳（狓）＝狓３－狓，则４５９函数狔＝犳（狓）的图象在区间［０，４］上与狓轴的交点的个数为．９．设犳（狓）是定义域为犚的周期函数，最小正周期为２，且犳（１＋狓）＝犳（１－狓），当－１≤狓≤０时，犳（狓）＝－狓．（１）判断犳（狓）的奇偶性；（２）试求出函数犳（狓）在区间［－１，２］上的表达式．１０．函数犳（狓）的定义域为犇＝｛狓｜狓≠０｝，且满足对于任意狓１，狓２∈犇，有犳（狓１狓２）＝犳（狓１）＋犳（狓２）． （１）求犳（１）的值；（２）判断犳（狓）的奇偶性并证明你的结论；（３）如果犳（４）＝１，犳（狓－１）＜２，且犳（狓）在（０，＋∞）上是增函数，求狓的取值范围．４６０１１．已知犳（狓）是定义在犚上的函数，且满足犳（狓＋２）犳（狓）＝－１，当２≤狓≤３时，犳（狓）＝狓，则犳（－１１２）＝（ ）Ａ．５２Ｂ．－５２Ｃ．３２Ｄ．－３２１２．（多选）已知偶函数犳（狓）满足犳（狓）＋犳（２－狓）＝０，下列说法正确的是（ ）Ａ．函数犳（狓）是以２为周期的周期函数Ｂ．函数犳（狓）是以４为周期的周期函数Ｃ．函数犳（狓＋２）为偶函数Ｄ．函数犳（狓－３）为偶函数１３．（２０１９·北京卷）设函数犳（狓）＝ｅ狓＋犪ｅ－狓（犪为常数），若犳（狓）为奇函数，则犪＝；若犳（狓）是犚上的增函数，则犪的取值范围是．１４．设函数犳（狓）是定义在犚上的奇函数，对任意实数狓，有犳（３２＋狓）＝－犳（３２－狓）成立． （１）求证：狔＝犳（狓）是周期函数，并指出其周期；（２）若犳（１）＝２，求犳（２）＋犳（３）的值；（３）若犵（狓）＝狓２＋犪狓＋３，且狔＝｜犳（狓）｜犵（狓）是偶函数，求实数犪的值．４６１ １５．已知函数犳（狓）在犚上满足犳（４－狓）＝犳（狓），犳（１４－狓）＝犳（狓），且在闭区间［０，７］上，只有犳（１）＝犳（３）＝０．（１）求证：犳（狓）既不是奇函数，也不是偶函数；（２）试求函数犳（狓）在区间［－１００，１００］上的零点个数．设犳（狓）是定义在犚上的周期为３的函数，当狓∈［－２，１）时，犳（狓）＝｜犿狓＋１｜，－２≤狓＜０，ｌｎ（狓＋狀），０≤狓＜１，烅烄烆其中犿，狀∈犚．若犳（－６）＝０，且函数犳（狓）的值域为［０，２］，求犿与狀的值．４６２１０ 指数与对数 班级： 姓名： 学号：１．已知犿１０＝２，则犿＝（ ）Ａ．１０槡２Ｂ．－１０槡２Ｃ．２槡１０Ｄ．±１０槡２２．已知犪犿＝４，犪狀＝３，则犪犿－２槡狀的值为（ ）Ａ．２３Ｂ．６Ｃ．３２Ｄ．２３．若ｌｏｇ犪３＝犿，ｌｏｇ犪５＝狀，则犪２犿＋狀的值是（ ）Ａ．１５Ｂ．７５Ｃ．４５Ｄ．２２５４．下列等式正确的是（ ）Ａ．ｌｏｇ犪（狓·狔）＝ｌｏｇ犪狓·ｌｏｇ犪狔Ｂ．ｌｏｇ犪（狓＋狔）＝ｌｏｇ犪狓＋ｌｏｇ犪狔Ｃ．ｌｏｇ犪（狓÷狔）＝ｌｏｇ犪狓÷ｌｏｇ犪狔Ｄ．ｌｏｇ犪狓－ｌｏｇ犪狔＝ｌｏｇ犪（狓狔－１）５．（多选）在下列各式中，一定成立的有（ ）Ａ．（狀犿）７＝狀７犿１７Ｂ．１２（－３）槡４＝３槡３Ｃ．４狓３＋狔槡４＝（狓＋狔）３４Ｄ．３槡槡９＝３槡３６．（多选）在下列命题中，真命题是（ ）Ａ．若ｌｏｇ１８９＝犪，ｌｏｇ１８５４＝犫，则１８２犪－犫＝３２Ｂ．若ｌｏｇ狓２７＝３（ｌｏｇ３１８－ｌｏｇ３２），则狓＝±槡３Ｃ．若ｌｏｇ６［ｌｏｇ３（ｌｏｇ２狓）］＝０，则狓－１２＝槡２４Ｄ．若狓２＋狔２－４狓－２狔＋５＝０，则ｌｏｇ狓（狔狓）＝０７．２７２３＋１６－１２－（１２）－２－（８２７）－２３＝．８．如果狓，狔∈犚，且２狓＝１８狔＝６狓狔，那么狓＋狔的值为．４６３ ９．已知犪１２＋犪－１２＝４，求下列各式的值：（１）犪＋犪－１；（２）犪２＋犪－２．１０．（１）已知ｌｏｇ狓８＝６，求狓的值；（２）已知ｌｏｇ３（狓２－１０）＝１＋ｌｏｇ３狓，求狓的值．１１．历史上，许多伟大的数学家都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位．正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“２狆－１（狆是质数）”的质数称为梅森数．迄今为止共发现了５１个梅森数，前４个梅森数分别是２２－１＝３，２３－１＝７，２５－１＝３１，２７－１＝１２７，３，７是１位数，３１是２位数，１２７是３位数．已知第１０个梅森数为２８９－１，则第１０个梅森数的位数为（参考数据：ｌｇ２≈０．３０１）（ ）Ａ．２５Ｂ．２９Ｃ．２７ Ｄ．２８１２．（多选）已知正数狓，狔，狕满足３狓＝２狔＝１２狕，下列结论正确的有（ ）Ａ．６狕＞２狔＞３狓Ｂ．１狓＋２狔＝１狕Ｃ．狓＋狔＞（槡３＋２２）狕 Ｄ．狓狔＞８狕２４６４ １３．已知犿＝（１２）２３狀＝４狓，则ｌｏｇ４犿＝；满足ｌｏｇ狀犿＞１的实数狓的取值范围是．１４．某药厂生产一种口服液，按药品标准要求，其杂质含量不能超过０．０１％．若初始时该药品含杂质０．２％，每次过滤可使杂质含量减少１３，问至少应过滤几次才能使得这种液体达到要求？（已知ｌｇ２≈０．３０１０，ｌｇ３≈０．４７７１）１５．尽管目前人类无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量犈（单位：焦耳）与地震里氏震级犕之间的关系为ｌｇ犈＝４．８＋１．５犕．２０１１年３月１１日，日本东北部海域发生里氏９．０级地震，它所释放出来的能量是２００８年５月１２日我国汶川发生的里氏８．０级地震的多少倍？（精确到１，参考数据：槡１０≈３．１６）４６５（多选）拉普拉斯称赞对数是一项使天文学家寿命倍增的发明，对数可以将大数之间的乘、除运算简化为加、减运算．２０１７年５月２３日至２７日，围棋世界冠军柯洁与ＤｅｅｐＭｉｎｄ公司开发的程序“ＡｌｐｈａＧｏ”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能围棋复杂度的上限约为犕＝３３６１．而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为犖＝１０８０．若两数常用对数之差的绝对值不超过１，则称两数“可相互替代”．下列数值与犕犖的值“可相互替代”的有（参考数据：ｌｇ２≈０．３０１，ｌｇ３≈０．４７７）（ ）Ａ．１０９１ Ｂ．１０９２Ｃ．１０９３Ｄ．１０９４４６６ １２ 对数函数 班级： 姓名： 学号：１．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ犪（狓＋２），若图象过点（６，３），则犳（２）的值为（ ）Ａ．－２Ｂ．２Ｃ．１２Ｄ．－１２２．已知函数犳（狓）＝２ｌｏｇ１２狓的值域为［－１，１］，则函数犳（狓）的定义域是（ ）Ａ．槡２２，槡２熿燀燄燅Ｂ．［－１，１］Ｃ．１２，２［］Ｄ．（－∞，槡２２燄燅∪［槡２，＋∞）３．已知犪，犫＞０，且犪≠１，犫≠１．若ｌｏｇ犪犫＞１，则（ ）Ａ．（犪－１）（犫－１）＜０Ｂ．（犪－１）（犪－犫）＞０Ｃ．（犫－１）（犫－犪）＜０Ｄ．（犫－１）（犫－犪）＞０４．已知函数狔＝ｌｏｇ２（狓２－２犽狓＋犽）的值域为犚，则犽的取值范围是（ ）Ａ．（０，１）Ｂ．［０，１）Ｃ．（－∞，０］∪［１，＋∞）Ｄ．｛０｝∪［１，＋∞）５．（多选）已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ５（狓２－２狓－３），则下列结论正确的是（ ）Ａ．函数犳（狓）的单调递增区间是［１，＋∞）Ｂ．函数犳（狓）的值域是犚Ｃ．函数犳（狓）的图象关于狓＝１对称Ｄ．不等式犳（狓）＜１的解集是（－２，－１）∪（３，４）６．（多选）设函数犳（狓）＝ｌｏｇ１２狓，下列四个命题正确的是（ ）Ａ．函数犳（｜狓｜）为偶函数Ｂ．若犳（犪）＝｜犳（犫）｜，其中犪＞０，犫＞０，犪≠犫，则犪犫＝１Ｃ．函数犳（－狓２＋２狓）在（１，２）上为单调递增函数Ｄ．若０＜犪＜１，则｜犳（１＋犪）｜＞｜犳（１－犪）｜７．１６世纪末至１７世纪初，在自然科学（特别是天文学）领域经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数．由课本知识可知，对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０且犪≠１）与指数函数狔＝犪狓（犪＞０且犪≠１）互为反函数．若函数狔＝４６７犳（狓）是函数狔＝犪狓（犪＞０且犪≠１）的反函数，且函数狔＝犳（狓）的图象经过点（犪，２犪），则犪＝． 第８题图８．如图，已知犃，犅是函数犳（狓）＝ｌｏｇ２（１６狓）图象上的两点，犆是函数犵（狓）＝ｌｏｇ２狓图象上的一点，且直线犅犆垂直于狓轴．若△犃犅犆是等腰直角三角形（其中犃为直角顶点），则点犃的横坐标为．９．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ１２（狓＋２）－ｌｏｇ１２（２－狓）．（１）判断犳（狓）的奇偶性；（２）解关于狓的不等式犳（狓）≥ｌｏｇ１２（３狓）．１０．设犇是函数狔＝犳（狓）定义域内的一个子集，若存在狓０∈犇，使得犳（狓０）＝－狓０成立，则称狓０是犳（狓）的一个“准不动点”，也称犳（狓）在区间犇上存在准不动点．已知犳（狓）＝ｌｏｇ１２（４狓＋犪·２狓－１），狓∈［０，１］．（１）若犪＝１，求函数犳（狓）的准不动点；（２）若函数犳（狓）在区间［０，１］上不存在准不动点，求实数犪的取值范围．４６８１１．已知函数犳（狓）＝ｌｎ１＋狓１－狓＋狓＋１，且犳（犪）＋犳（犪＋１）＞２，则犪的取值范围是（ ）Ａ．（－１２，＋∞）Ｂ．（－１，－１２）Ｃ．（－１２，０）Ｄ．（－１２，１）１２．（多选）关于函数犳（狓）＝｜ｌｎ｜２－狓｜｜，下列描述正确的有（ ）Ａ．函数犳（狓）在区间（１，２）上单调递增Ｂ．函数狔＝犳（狓）的图象关于直线狓＝２对称Ｃ．若狓１≠狓２，但犳（狓１）＝犳（狓２），则狓１＋狓２＝４Ｄ．方程犳（狓）＝０有且仅有两个解１３．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ２（狓２＋槡犪－狓）是犚上的奇函数，则实数犪的值为；已知函数犵（狓）＝犿－｜２狓－犪｜，若犳（狓）≤犵（狓）对狓∈－３４，２［］恒成立，则犿的取值范围为．１４．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ４（４狓＋１）＋犽狓（犽∈犚）为偶函数．（１）求犽的值；（２）若方程犳（狓）＝ｌｏｇ４（犿２狓－１）有解，求实数犿的取值范围．４６９ １５．设函数犳（狓）的定义域为犇，若存在狓０∈犇，使得犳（狓０＋１）＝犳（狓０）＋犳（１），则称狓０为函数犳（狓）的“旺点”．（１）求函数犳（狓）＝２狓＋３狓在犚上的“旺点”；（２）若函数犵（狓）＝ｌｏｇ２犪１＋狓２在（０，＋∞）上存在“旺点”，求正实数犪的取值范围．对于函数犳１（狓），犳２（狓），犺（狓），如果存在实数犪，犫使得犺（狓）＝犪犳１（狓）＋犫犳２（狓），那么称犺（狓）为犳１（狓），犳２（狓）的生成函数．（１）设犳１（狓）＝ｌｏｇ４狓，犳２（狓）＝ｌｏｇ１４狓，犪＝２，犫＝１，生成函数犺（狓）．若不等式２犺２（狓）＋３犺（狓）＋狋＜０在狓∈［４，１６］上有解，求实数狋的取值范围．（２）函数犵１（狓）＝ｌｏｇ３（９狓－１＋１），犵２（狓）＝狓－１是否能生成一个函数犺（狓），同时满足：①犺（狓＋１）是偶函数；②犺（狓）在区间［２，＋∞）上的最小值为２ｌｏｇ３１０－２？若能，求函数犺（狓）的解析式；若不能，请说明理由．４７０ １４ 函数与方程 班级： 姓名： 学号：１．函数犳（狓）＝｜狓－２｜－ｌｎ狓在定义域内的零点的个数为（ ）Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３２．已知函数犳（狓）＝２狓，狓≥２，（狓－１）３，狓＜２，烅烄烆若关于狓的方程犳（狓）＋犽＝０有两个不同的实根，则实数犽的取值范围是（ ）Ａ．（０，１）Ｂ．［０，１］Ｃ．（－１，０）Ｄ．［－１，０］３．偶函数犳（狓）满足犳（狓－１）＝犳（狓＋１），且在狓∈［０，１］时，犳（狓）＝２狓，则关于狓的方程犳（狓）＝（１２）狓在狓∈［０，４］上解的个数是（ ）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５４．已知函数犳（狓）＝３｜狓－１｜，狓＞０，－狓２－２狓＋１，狓≤０，烅烄烆若关于狓的方程［犳（狓）］２＋（犪－１）犳（狓）－犪＝０有７个不等的实根，则实数犪的取值范围是（ ）Ａ．（－２，１）Ｂ．［２，４］Ｃ．（－２，－１）Ｄ．（－∞，４］５．（多选）已知函数犳（狓）＝－狓２－３狓，狓＜０，犳（狓－３），狓≥０，烅烄烆以下结论正确的是（ ）Ａ．犳（狓）在区间［４，６］上是增函数Ｂ．犳（－２）＋犳（２０２０）＝４Ｃ．若函数狔＝犳（狓）－犫在（－∞，６）上有６个零点狓犻（犻＝１，２，３，４，５，６），则∑６犻＝１狓犻＝９Ｄ．若方程犳（狓）＝犽恰有１个实根，则犽＜０第６题图６．（多选）定义域和值域均为［－犪，犪］（常数犪＞０）的函数狔＝犳（狓）和狔＝犵（狓）的图象如图所示，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）Ａ．方程犳［犵（狓）］＝０有且仅有三个解Ｂ．方程犵［犳（狓）］＝０有且仅有三个解４７１Ｃ．方程犳［犳（狓）］＝０有且仅有九个解Ｄ．方程犵［犵（狓）］＝０有且仅有一个解７．设函数狔＝狓３与狔＝（１２）狓－２的图象的交点为（狓０，狔０），若狓０∈（狀，狀＋１），狀∈犖，则狀＝．８．已知函数犳（狓）＝２狓，狓≤０，｜ｌｏｇ２狓｜，狓＞０，烅烄烆则方程犳［犳（狓）］＝２的根的个数是．９．已知函数犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠０），满足犳（０）＝２，犳（狓＋１）－犳（狓）＝２狓－１．（１）求函数犳（狓）的解析式；（２）若函数犵（狓）＝犳（狓）－犿狓的两个零点分别在区间（－１，２）和（２，４）内，求犿的取值范围．１０．已知函数犳（狓）＝１狓＋１－３，狓∈（－１，０］，狓，狓∈（０，１］，烅烄烆且犵（狓）＝犳（狓）－犿狓－犿在（－１，１］内有且仅有两个不同的零点，求实数犿的取值范围．４７２１１．定义在犚上的函数犳（狓）＝ｌｇ｜狓－２｜，狓≠２，１，狓＝２，烅烄烆若关于狓的方程犳２（狓）＋犫犳（狓）＋犮＝０恰好有５个不同的实数解狓１，狓２，狓３，狓４，狓５，则犳（狓１＋狓２＋狓３＋狓４＋狓５）等于（ ）Ａ．ｌｇ２Ｂ．ｌｇ４Ｃ．ｌｇ８Ｄ．１１２．（多选）设函数犳（狓）＝｜狓｜狓＋犫狓＋犮，则下列结论正确的是（ ）Ａ．当犫＞０时，函数犳（狓）在犚上有最小值Ｂ．当犫＜０时，函数犳（狓）在犚上有最小值Ｃ．对任意的实数犫，函数犳（狓）的图象关于点（０，犮）对称Ｄ．方程犳（狓）＝０可能有三个实数根１３．设函数犳（狓）＝２狓－犪，狓＜１，４（狓－犪）（狓－２犪），狓≥１．烅烄烆若犪＝１，则犳（狓）的最小值为；若犳（狓）恰有２个零点，则实数犪的取值范围是．１４．已知函数犳（狓）＝｜ｌｏｇ２狓｜，狓＞０，狓２＋２狓＋２，狓≤０，烅烄烆方程犳（狓）－犪＝０有四个不同的实根并分别记为狓１＜狓２＜狓３＜狓４．（１）若将狓４的所有取值记为集合犇，求犇；（２）设犵（狓）＝犳（狓）－犽狓（狓∈犇）有两个零点，求实数犽的取值范围．４７３ １５．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ２（２狓＋１）＋犪狓，狓∈犚．（１）若犳（狓）是偶函数，求实数犪的值；（２）当犪＞０时，关于狓的方程犳［犳（狓）－犪（１＋狓）－ｌｏｇ４（２狓－１）］＝１在区间［１，２］上恰有两个不同的实数解，求实数犪的取值范围．已知狓∈犚，符号［狓］表示不超过狓的最大整数，若函数犳（狓）＝［狓］狓－犪（狓≠０）有且仅有３个零点，则实数犪的取值范围是．４７４。
2023-2024学年云南省昆明市高一上册期末教学测评数学试题(含解析)
2023-2024学年云南省昆明市高一上册期末教学测评数学试题一、单选题1．设集合{}24xM x =≤，{}2430N x Z x x =∈-+≤，则M N ⋂=（）A ．[]1,2B ．()1,3-C ．{}1D ．{}1,2【正确答案】D【分析】解集合M 和集合N 中的不等式，求两集合的交集.【详解】{}2M x x =≤，{}{}Z 131,2,3N x x =∈≤≤=，所以{}1,2M N = .故选：D ．2．cos 12π=（）A ．4B ．4C ．4D ．4-【正确答案】A 【分析】由1234πππ=-及余弦差公式求值.【详解】1cos cos 1234222πππ⎛⎫=-=⨯+= ⎪⎝⎭故选：A ．3．如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长）的中位数散点图，下列可近似刻画身高y 随年龄x 变化规律的函数模型是（）A ．()0y mx n m =+>B ．()0y n m =+>C ．()0,1xy ma n m a =+>>D ．4log 0,1y m x nm a =+>>【正确答案】B【分析】根据图象是否是线性增长，指数函数的图象与性质，对数函数的性质判断ACD ，再由选项B 中函数的性质判断后可得．【详解】A 选项，由散点图知身高y 随时间x 变化不是线性增长，故A 错误；C 选项，指数函数模型中y 随x 增长越来越快，与图象不符合；D 选项，对数函数模型在0x =时没有意义；B 选项符合散点图中y 随x 增长越来越慢，且在0x =时有意义，故选：B ．4．在正三角形△ABC 中，2AB =，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，则AM BN ⋅=（）A ．32-B ．CD ．32【正确答案】A【分析】由题可知，向量AM ，BN的夹角为150°，再由平面向量数量积的定义即可得出答案.【详解】由题知，1AM = ，BN =uuu r AM ，BN的夹角为150°，所以cos150AM BN AM BN ⋅=︒= 312⎛=- ⎝⎭.故选：A ．5．某扇形的圆心角为2，弧长为4，则该扇形的面积为（）A ．1B ．2C ．4D ．8【正确答案】C【分析】根据扇形的面积公式即可求解.【详解】由弧度制定义，该扇形的半径为422r ==，所以该扇形的面积为14242⨯⨯=，故选：C ．6．设向量()1,cos a θ= ，()sin 2cos ,b θθ=- ，则“a b ⊥ ”是“1tan 2θ=”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【正确答案】B【分析】由向量垂直的坐标表示结合充分必要条件的定义判断.【详解】22sin 2cos 02sin cos cos 02sin cos a b θθθθθθθ⊥⇔-=⇔-=⇔=或1cos 0tan 2θθ=⇔=或cos 0θ=，故选：B ．7．已知点π,012A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π,24B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3π,8C m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数()()sin f x x ωϕ=+的一个周期的图像上，其三个点的位置如图所示，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．π7π2π,2π2424k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZB ．ππ2π,2π124k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZC ．ππ7ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z D ．ππππ,12242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【正确答案】C【分析】点B ，点C 关于点D 中心对称，求出点D 坐标，AD 为函数的半个周期，求出ω，由点π,012A ⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数图像上得到函数解析式，利用整体代入法求单调递减区间.【详解】由图，点B ，点C 关于点D 中心对称，π3ππ24826-+=，故点π,06D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AD 为函数的半个周期，所以2T πππ6124⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，π2T =，故4ω=，点π,012A ⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数图像上，依题意有函数sin 4y x =的图像向左平移π12个单位得到()f x 的图像，故()ππsin 4sin 4123f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()ππ3π2π42π232k k x k +≤+≤+∈Z ，解得()ππ7ππ242242k k x k +≤≤+∈Z ，所以()f x 单调递减区间为7,242242k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故选：C ．8．已知()f x 是R 上的偶函数，且()()20f x f x ++=，当01x ≤≤时，()21f x x =-，则()2023.5f =（）A ．－0.75B ．－0.25C ．0.25D ．0.75【正确答案】D【分析】由条件可得()f x 是周期为4的函数，又()f x 是偶函数，所以()()()2023.50.50.5f f f =-=，代入已知解析式即可求解.【详解】由()()20f x f x ++=得()()2f x f x +=-，()()42f x f x +=-+，故()()4f x f x +=，所以4是()f x 的一个周期，故()()()()22023.5 3.50.50.510.50.75f f f f ==-==-=，故选：D ．二、多选题9．关于函数()tan f x x =，下列选项正确的是（）A ．()f x 的定义域为ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．()f x 是奇函数C ．()f x 的最小正周期是πD ．3π6π55f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】AC【分析】根据正切函数的性质判断A ，画出函数图象，结合图象判断B 、C ，根据奇偶性与单调性判断D.【详解】解：函数()f x 的定义域与tan y x =的定义域相同，即为ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A正确；由()()tan f x x f x -==及()f x 的定义域知()f x 是偶函数，故B 错误；作出的图象如图所示，由图可知函数的最小正周期为π，故C 正确；由于3π2π55f f ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6ππ55f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且根据图象知()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以2ππ55f f⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3π6π55f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.故选：AC ．10．已知正实数x ，y 满足4x y +=，则下列选项正确的是（）A ．e e +x y 的最小值为22eB ．lg lg x y +的最大值为lg 4C ．22xy +的最小值为8D ．()4x y +的最大值为16【正确答案】ABC【分析】对A 、B 、C ：结合基本不等式分析判断；对D ：由()4,0,4y x x =-∈代换，结合二次函数分析判断.【详解】对A ：由于2e e 2e x y +≥==，当且仅当e e x y =，即2x y ==时取等号，故A 正确；对B ：由基本不等式得242x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，故()lg lg lg lg 4x y xy +=≤，当且仅当2x y ==时取等号，故B 正确；对C ：22x y +=()221628x y xy xy +-=-≥，当且仅当2x y ==时取等号，故C 正确；对D ：由正实数x ，y 满足4x y +=，得()4,0,4y x x =-∈，故()()()()2484160,16x y x x x +=-=--+∈，故D 错误.故选：ABC ．11．设a ，b是互相垂直的单位向量，2AB a b λ=+ ，()1AC a b λ=+- ，下列选项正确的是（）A ．若点C 在线段AB 上，则2λ=B ．若AB AC ⊥，则23λ=C ．当1λ=时，与AB+ D ．当1λ=-时，a 在AC 上的投影向量为1255a b-【正确答案】ABD【分析】对A ：根据向量共线分析运算；对B ：根据向量垂直运算求解；对C ：根据单位向量分析运算；对D ：根据投影向量分析运算.【详解】由题意可得：221,0a b a b ==⋅=r r r r，对A ：若点C 在线段AB 上，则[),1,AB k AC k =∈+∞uu u r uuu r，则()()211a b k a b ka k b λλλ⎡⎤+=+-=+-⎣⎦r r r r r r ，可得()12k k λλ=⎧⎨-=⎩，解得2k λ==或1k λ==-（舍去），故A 正确；对B ：由AB AC ⊥，可得()()()()22221221320AB AC a b a b a a b b λλλλλλλ⎡⎤⋅=+⋅+-=+-+⋅+-=-=⎣⎦uu u r uuu r r r r r r r r r ，解得23λ=，故B 正确；对C ：当1λ=时，则2AB a b =+===uu u r r r与AB共线的单位向量是⎫=±⎪⎪⎝⎭，故C 错误；对D ：当1λ=-时，可得()22221,a AC a a b a a b AC ⋅=⋅-=-⋅====r uuu r r r r r r r uuu r 则a 在AC上的投影向量为()2112cos ,555AC a AC AC a AC a a AC a AC AC a bAC a ACAC AC⋅⋅<>====-uuu r r uuu ruuu r r uuu rr r uuu r r uuur uuu r r ruuu r r uuu ruuu r uuu r ，故D 正确.故选：ABD ．12．已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π2π,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上只存在两个实数12,x x 满足()()121f x f x =-，则下列结论正确的是（）A ．12min8π15x x -=B ．12max2π3x x -=C ．()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在π2π,23⎡⎤-⎢⎣⎦上有且仅有两个零点【正确答案】BD【分析】由题意得1x x =，2x x =是函数()f x 图象的相邻两条对称轴，结合正弦函数的对称性确定函数的周期的范围从而判断AB ，由正弦函数的单调性判断C ，由正弦函数的性质判断D ．【详解】由题意，1x x =，2x x =是函数()f x 相邻的两条对称轴，当π3π42x ω+=-，解得7π4x ω=-，当ππ42x ω+=-，解得34πx ω=-，由题意7ππ3π424ωω-<--≤，解得3722ω<≤，当42ππx ω+≤，解得π4x ω=，当342ππx ω+=，解得5π4x ω=，由题意25434πππωω<≤，解得31588ω<≤，故31528ω<≤，故164153T ππ<≤，所以821523T ππ<≤，故A 错误，B 正确；当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，315,28ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故9,4416x πππω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，9,,41622ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Ø，故C 错误；当0x >时，20,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，315,28ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故3,442x πππω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin 0π=，故()f x 在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，当0x <时，,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，315,28ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故11,4164x πππω⎛⎫+∈-⎪⎝⎭，sin 00=，故()f x 在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上有且仅有一个零点，所以()f x 在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，故D 正确，故选：BD ．三、填空题13．已知函数()321f x x x =--在区间()1,2内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值，其参考数据（函数值均保留四位小数）如下：()1.50.6250f =-()1.750.8594f =()1.6250.0410f =()1.56250.3103f =-()1.593750.1393f =-()1.6093750.0503f =-()1.61718750.0050f =-()1.621093750.0180f =则这个零点的近似值为________．（保留两位小数）【正确答案】1.62【分析】根据题意，由二分法分析可得函数()321f x x x =--在()1.6171875,1.62109375内存在零点，从而可得答案.【详解】由表可知，()1.61718750.00500f =-<，()1.621093750.01800f =>所以函数()321f x x x =--在区间()1.6171875,1.62109375内存在零点，这个零点保留两位小数后的近似值为1.62．故1.6214．在△ABC 中，点D 满足3BD DC =，若AC xAB y AD =+ ，则xy =________．【正确答案】49-【分析】由平面向量基本定理结合3BD DC = 可得1433AC AB AD =-+，即可求出,x y 的值，即可求出答案.【详解】由3BD DC = ，得4BC CD =-，所以()4AC AB AD AC -=-- ，即414AB AD AC -=- ，所以1433AC AB AD =-+ ，所以13x =-，43y =，故49xy =-．故答案为.49-15．函数()()()cos 20πf x x ϕϕ=+<<的图象向左平移π6个单位后与函数cos 2x y =-的图象重合，则ϕ=_________．【正确答案】2π3##2π3【分析】由三角函数图象的平移变换求出π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由平移后图象重合，可得ππ2π,Z 3k k ϕ+=+∈，再结合0πϕ<<即可得出答案.【详解】()cos 2cos 2πx x -=+，πππcos 2cos 2663f x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为平移后图象重合，故ππ2π,Z 3k k ϕ+=+∈，因为0πϕ<<，故23ϕπ=．故答案为.2π316．若函数()()()2πln sin cos 2f x x x a x x a ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭R 有唯一零点，则=a _____．【正确答案】π4【分析】令()2πln 2g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()sin cos h x a x x =-+，()f x 有唯一零点等价于()g x ，()h x 图象有唯一交点，分别求出()g x 和()h x 单调性和对称性，结合图象求解即可.【详解】()2πln 2g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()sin cos h x a x x =-+，则()f x 有唯一零点等价于()g x ，()h x 图象有唯一交点,因为()f x 的定义域为π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()g x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，其最大值为2πππln2ln 4164g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．由于22ππln 416g x x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，ππ44g x g x ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故()g x 的图象关于π4x =对称．而()()πsin cos sin 4h x a x x x ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，()h x 的图象也关于π4x =对称，结合如图所示的()g x ，()h x 图象可知，仅当π2ln 4=，即π4a =时，()g x ，()h x 图象有唯一交点，故π4a =．故答案为.π4四、解答题17．已知4tan 3θ=-．(1)若角θ的终边过点()6,P y -，求()sin sin 2πθπθ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭的值；(2)若将角θ的终边顺时针旋转4π得到角ϕ的终边，求sin cos sin cos ϕϕϕϕ+-的值．【正确答案】(1)15(2)43【分析】（1）由任意角的三角函数的定义求出8y =，再结合诱导公式化简()sin sin 2πθπθ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，代入即可得得出答案.（2）由题意求出tan 7ϕ=，然后sin cos sin cos ϕϕϕϕ+-的分子分母同除cos ϕ，化简代入即可得出答案.【详解】（1）由三角函数的定义得4tan 63y θ==--，解得8y =，所以()2263cos 10568θ==-=--+，()2284sin 10568θ===-+，故()341sin sin cos sin 2555πθπθθθ⎛⎫+-+=+=-+= ⎪⎝⎭．（2）由题得4πϕθ=-，故tan 1tan tan 741tan πθϕθθ-⎛⎫=-== ⎪+⎝⎭，所以sin cos tan 1714sin cos tan 1713ϕϕϕϕϕϕ+++===---．18．已知向量()2,a t t = ，()3,2b =- ，()3,1c =- ．(1)求a b + 的最小值及相应t 的值；(2)若b a - 与c 共线，求a 与c 的夹角．【正确答案】(1)45t =(2)4π【分析】（1）求出向量a b + 的坐标，再由向量的模长公式求出a b + ，根据二次函数求最值，即可得出答案.（2）由b a - 与c 共线可求出t ，再由向量的夹角公式即可得出答案.【详解】（1）因为()2,a t t = ，()3,2b =- ，所以()23,2a b t t +=-+ ，所以a b +===≥= 当且仅当45t =取“＝”，即a b +，此时45t =．（2）因为()32,2b a t t -=--- ，()3,1c =- ，所以由b a - 与c 共线得()()()033212t t ⨯---⨯-=-，解得35t =，此时63,55a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，设a ，c 的夹角为θ，则()633155cos 2a c a c θ⨯+⨯-⋅== ，又[]0,πθ∈,故a 与c 的夹角为4π．19．设函数()()222sin cos sin f x x x x =--．(1)求()f x 的最小正周期及对称轴方程；(2)若()f x 在[],a a -上单调递增，求a 的最大值．【正确答案】(1)最小正周期T π=，对称轴方程为382k x ππ=+，k ∈Z (2)8π【分析】（1）由三角恒等变换化简解析式，由整体法求对称轴方程，由公式求得周期；（2）判断0a >，由整体法，结合函数单调区间建立不等式组求解即可.【详解】（1）()()221cos 22sin cos sin 21sin 2sin 2cos 2224x f x x x x x x x x π-⎛⎫=--=⋅-+=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==，由242x k πππ-=+，k ∈Z 得382k x ππ=+，k ∈Z ．所以()f x 的对称轴方程为382k x ππ=+，k ∈Z ；（2）由题意0a >，因为[],x a a ∈-，故22,2444x a a πππ⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦，则有22422242a k a k ππππππ⎧--≥-+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，k ∈Z ，解得838a k a k ππππ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，因为0a >，故0k =，所以08a π<≤.故a 的最大值为8π．20．已知函数()31log 1f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的定义域D ，并证明：x D ∀∈，都有1x D -∈，且()()1f x f x +-为定值；(2)若不等式()0f x m -≥在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析(2)(],1-∞【分析】（1）根据对数函数的性质，建立不等式，求得定义域；根据对数运算，可得答案；（2）根据复合函数的单调性，结合反比例函数以及对数函数的单调性，可得函数()f x 的单调性，从而求得最值，由题意，建立不等式，可得答案.【详解】（1）由110x->，解得01x <<，故()f x 的定义域D 为()0,1．当()0,1x ∈时，()1,0x -∈-，故()10,1x -∈，且()()333331111log 1log 1log log log 1011x x f x f x x x x x -⎛⎫⎛⎫+-=-+-=+== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．（2）令11u x =-，则()f x 可以看做函数11u x=-与3log y u =复合而成．因为11u x =-在11,42⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，3log y u =在()0,∞+上单调递增，所以()f x 在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．故()3max 1log 314f f x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．而不等式()0f x m -≥在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解等价于()max 1m f x =≤，所以实数m 的取值范围为(],1-∞．21．数学与音乐之间有着密切联系，如在一首乐曲中常常会有一段音符反复出现，这就是它的主旋律，从数学上看，乐曲的主旋律就是通过周期性表达的，可以用三角函数来表示．某乐曲的一个音量y （单位：分贝）关于时间x （单位：秒）的函数模型为1240sin 40sin y x x ωω=+，它可以看做是由纯音140sin y x ω=与240sin y x ω=合成的．(1)已知在一个周期内，正的最强音出现一次．若1πω=，22πω=，则在三分钟内出现了几次正的最强音？(2)当弹奏两个频率很接近的纯音时，合成出来的音听上去时有时无，好像某人在以一个固定的频率调大和调小音量，这种现象叫做差拍，我们可以利用三角函数中的和差化积公式解释它，1240sin 40sin x x ωω+=121280sin cos 22x x ωωωω+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此我们可以认为是对声音1240sin 2y x ωω+⎛⎫= ⎪⎝⎭的周期性放缩，故缩倍数为()122cos 2g x x ωω-⎛⎫= ⎪⎝⎭．若1x =秒时放缩倍数与2x =秒时放缩倍数相同（假设放缩倍数为正数），1π3ω=，2π02ω<<，则2x =秒时音量为多少分贝？【正确答案】(1)90次(2)【分析】（1）根据2为函数40sin πy x =的一个周期，1为函数40sin 2πy x =的一个周期，可得2为函数40sin π40sin 2πy x x =+的一个周期，再设T 是函数的一个周期，02T <<，从而可求得T ，进而可得出答案；（2）由题意，()()12g g =，设12cos 2t ωω-⎛⎫= ⎪⎝⎭，求出t ，从而可求得2ω，从而可得出答案.【详解】（1）因为2为函数40sin πy x =的一个周期，1为函数40sin 2πy x =的一个周期，所以2为函数40sin π40sin 2πy x x =+的一个周期，令()40sin π40sin 2πf x x x =+，设T 是()f x 的一个周期，02T <<，则由()()()()011f T f f T f ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得40sin π40sin 2π040sin π40sin 2π0T T T T +=⎧⎨-+=⎩，故sin π0T =，解得1T =，但()()140sin π40sin 2πf x x x f x +=-+≠，故1T =不是()f x 的周期，所以2是()f x 的最小正周期，由于在一个周期内，正的最强音出现一次，360902⨯=，所以在三分钟内出现了90次正的最强音；（2）由题意，()()12g g =，故()12122cos 2cos 2ωωωω-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以21212cos 2cos 122ωωωω--⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设12cos 2t ωω-⎛⎫= ⎪⎝⎭，12t <≤，故2210t t --=，解得1t =，12t =-（舍），所以12cos 12ωω-⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为1π3ω=，2π02ω<<，故1202ωω-=，所以2π3ω=，2π2π40sin sin33⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2x =秒时音量为22．设函数()1421x x f x a +=-⋅+，a ∈R ．(1)当0a =时，证明：方程()12log f x x =在()0,1上有唯一实根；(2)是否存在实数a ，满足：对于任意[]12,1,2x x ∈，都有()()121f x f x -≤？若存在，求出所有满足条件的a ；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)证明见解析(2)存在，3a =【分析】（1）问题转化，构造函数24log 1x y x =++，由函数单调性结合零点存在定理证明；（2）分类讨论求得()f x 在[1,2]是最大值和最小值，由最大值与最小值的差不大于1可得．【详解】（1）当0a =时，()41x f x =+，方程()12log f x x =在()0,1上有唯一实根等价于函数24log 1x y x =++在()0,1上有唯一零点．令()24log 1x g x x =++，()0,1x ∈，因为11842114log 122088g ⎛⎫=++=-< ⎪⎝⎭，()150g =>，所以()g x 在1,18⎛⎫ ⎪⎝⎭存在零点．又()24log 1x g x x =++在()0,1上单调递增，所以()g x 在()0,1上有唯一零点，故方程()12log f x x =在()0,1上有唯一实根．（2）对于任意，[]12,1,2x x ∈，都有()()121f x f x -≤的充要条件是()()max min 1f x f x -≤，令2x t =，则原函数可化为221y t at =-+，[]2,4t ∈，记()221h t t at =-+，[]2,4t ∈，则()h t 开口向上，对称轴为x a =，①当2a ≤时，2()21h t t at =-+在[]2,4t ∈上是增函数，所以()()max 4178f x h a ==-，()()min 254f x h a ==-，故()()178541a a ---≤，解得114a ≥，这种情况无解；②当4a ≥时，2()21h t t at =-+在[]2,4t ∈上是减函数，所以()()max 254f x h a ==-，()()min 4178f x h a ==-，故()()541781a a ---≤，解得134a ≤，这种情况也无解；③当24a <<时，2()21h t t at =-+在[2,]a 上单调递减，在[,4]a 上单调递增，所以()()(){}{}max max 2,4max 54,178f x h h a a ==--，()()2min 1f x h a a ==-，故()()25411a a ---≤且()()217811a a ---≤，解得13a ≤≤且35a ≤≤，故3a =；综上，存在实数3a =，满足：对于任意[]12,1,2x x ∈，都有()()121f x f x -≤．。