河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期中考试数学文试卷word版含答案
2018年春期高中二年级期中质量评估数学试题（文）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数131ii-++=（ ） A ．12i - B ．2i - C ．2i + D ．12i +2.年劳动生产率x （千元）和工人工资y （元）之间的回归方程为1070y x =+，这意味着年劳动生产率每年提高1千元时，工人工资平均（ ）A ．增加80元B ．减少80元C ．增加70元D ．减少70元 3.有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0'()0f x =，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为3()f x x =在0x =处的导数值'(0)0f =，所以0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确 4.如图是根据变量x ，y 的观测数据(,)i i x y （i =1,2,3…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x ，y 具有相关关系的图是（ ）① ② ③ ④ A ．①② B ．②③ C.①④ D ．③④ 5.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是（ ）A ．HB ．G C.F D ．E6.已知结论：“在三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则2AGGD=”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ∆的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．4 7.下列有关线性回归分析的四个命题（ ） ①线性回归直线必过样本数据的中心点(,)x y ；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线； ③当相关性系数0r >时，两个变量正相关；④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r 越接近于1. A ．1个 B ．2个 C.3个 D ．4个8.下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学著名《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a 、b 、i 的值分别为8、10、0，则输出a 和i 的值分别为（ ）A ．2,5B ．2,4 C.0,5 D ．0,49.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数.下列假设中正确的是（ ）A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数 10.已知具有线性相关关系的两个变量x ，y 之间的一组数据如下：且回归方程是0.95 2.6y x =+，则t =（ ） A ．2.5 B ．3.5 C.4.5 D ．5.511.在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n Z =+∈，k =0,1,2,3,4.给出如下四个结论： ①2018[3]∈；②2[2]-∈；③[0][1][2][3][4]Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[0]a b -∈.” 其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．412.将自然数按如下规律排数对：(0,1)，(1,0)，(0,2)，(1,1)，(2,0)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，…，则第60个数对是（ ）A ．(6,4)B ．(5,5) C.(4,6) D ．(3,7)第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.复数212ii+-的共轭复数是 ． 14.已知函数()1xf x x=+，则111(1)(2)(3)(2018)()()()232018f f f f f f f ++++++++= ． 15.执行如下图的程序框图，输出S 的值是 ．16.已知集合{,,}{0,1,2}a b c =，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠，有且只有一个正确，则10010a b c ++= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知复数11(59)224z i i =--+. （1）求复数z 的模；（2）若复数z 是方程220x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值. 18. 设a 、b 、c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b c b c a++≥. 19. 微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200 名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40 岁)和中年(年龄不小于40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23都是青年人. (1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成22⨯ 列联表：(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？ (3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求选出的2人均是青年人的概率. 附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++. 20. 已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的增函数，a b R ∈、. （1）若0a b +≥，求证：()()()()f a f b f a f b +≥-+-； （2）判断（1）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论.21. 关于某设备的使用年限x 和所支出从维修费用y （万元），有如下的统计资料：（1）由资料可知y 对x 呈线性相关关系.试求线性回归方程；（a y bx =-，1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑）（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？22. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含()f n 个小正方形. （1）求出(2)f ，(3)f ，(4)f ，(5)f 并猜测()f n 的表达式；（2）求证：11113(1)(2)1(3)1()12f f f f n ++++<---.（1） （2） （3） （4）试卷答案一、选择题1-5:DCADA 6-10:CBABC 11、12：CB 二、填空题13. i - 14. 2403515. 1216. 201 三、解答题 17. 解析：（1）()1159224z i i =--+i 21+-= ∴5=z ]（2）∵复数z 是方程220x mx n ++=的一个根 ∴ ()0826=-++--i m n m 由复数相等的定义，得：60280m n m --+=⎧⎨-=⎩解得：4,10m n == ∴实数m,n 的值分别是4,10.18. 解析：证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca. 由题设得(a ＋b ＋c)2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c)≥2(a ＋b ＋c)， 即a 2b ＋b 2c ＋c2a ≥a ＋b ＋c. 所以a 2b ＋b 2c ＋c2a≥1.19. 解析：(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有人，经常使用微信的有人，其中青年人有人，使用微信的人中青年人有人．所以列联表为：(2)将列联表中数据代入公式可得：，由于，所以有的把握认为“经常使用微信与年龄有关”．(3)从“经常使用微信”的人中抽取人，其中，青年人有人，中年人有人，记名青年人的编号分别为，，，，记名中年人的编号分别为，，则从这人中任选人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共个，其中选出的人均是青年人的基本事件有，，，，，，共个，故所求事件的概率为．20. 解析：证明：(1)∵a＋b≥0，∴a≥－b.∵f(x)在R上单调递增，∴f(a)≥f (－b)．同理，a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)．两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)逆命题：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)⇒a＋b≥0.下面用反证法证之．假设a＋b<0，那么：由a+b<0,得a<-b, ∴f(a)<f(-b)由a+b<0,得b<-a, ∴f(b)<f(-a)两式相加即得：f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知矛盾，故有a＋b≥0.逆命题得证．21. 解析：（1）55.75.65.58.32.2,4565432=++++==++++=y x∑∑====515123.112,90i i i i i y x x()23.145905453.112552251251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==∧xx yx yx b i i i ii 于是08.0423.15=⨯-=-=∧∧x b y a .所以线性回归方程为：.08.023.1+=+=∧x a bx y （2）当10=x 时，)(38.1208.01023.1万元=+⨯=∧y ， 即估计使用10年时维修费用是12.38万元.22. 解析：(1)∵ f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25， ∴ f(5)＝25＋4×4＝41. ∵ f(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n ＋1)－f(n)＝4n. ∴ f(n)－f(n －1)＝4(n －1)， f(n －1)－f(n －2)＝4·(n －2)， f(n －2)－f(n －3)＝4·(n －3)， … …f(2)－f(1)＝4×1，∴ f(n)－f(1)＝4×[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＝2(n －1)·n ， ∴ f(n)＝2n 2－2n ＋1(n ≥2)， 又n ＝1时，f(1)也适合f(n)． ∴ f(n)＝2n 2－2n ＋1 (2)当n ≥2时，()11f n -＝12n 2－2n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，∴()()()()1111121311f f f f n ++++---=1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n =1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n 32<∴)1(1f ＋1)2(1-f ＋1)3(1-f ＋…＋1)(1-n f 23<．。
河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期末考试文数试题 Word版含解析
河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期末数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设i 是虚数单位，若12zi i=+-，则复数z =（） A ．2i +B ．1i +C ．3i +D ．3i -2.如图是“推理与证明”的知识结构图，如果要加入“归纳”，则应该放在（）A ． “合情推理”的下位B ． “演绎推理”的下位C ． “直接证明”的下位D ． “间接证明”的下位3.为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两同学各自独立地做100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为1t 和2t ，已知两个人在试验中发现对变量x 的观测值的平均值都是s ，对变量y 的观测值的平均值都是t ，那么下列说法正确的是（） A ．1t 和2t 有交点(),s t B ．1t 和2t 相交，但交点不是(),s t C ．1t 和2t 必定重合D ．1t 和2t 必定不重合4.观察下面关于循环小数化分数的等式：.......31182352159590.3,1.18,0.352,0.0005993991199910009999000======⨯=，据此推测循环小数，.0.23可化成分数（） A ．2390B ．9923C ．815D ．7305.设12,z z 是复数，则下列中的假是（） A ． 若120z z -=，则12z z = B ． 若12z z =，则12z z = C ． 若12z z =，则1122z z z z =D ． 若12z z =，则2212z z =6.四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且 2.347 6.423y x ∧=-； ②y 与x 负相关且 3.476 5.648y x ∧=-+； ③y 与x 正相关且 5.4378.493y x ∧=+； ④y 与x 正相关且 4.326 4.578y x ∧=--． 其中一定不正确的结论的序号是（） A ． ①② B ． ②③ C ． ③④ D ． ①④【答案】D 【解析】试题分析：①y 与x 负相关且 2.347 6.423y x ∧=-；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；②y 与x 负相关且 3.476 5.648y x ∧=-+；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征； ③y 与x 正相关且 5.4378.493y x ∧=+； 此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征； ④y 与x 正相关且 4.326 4.578y x ∧=--．此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征． 综上判断知，①④是一定不正确的 故选D考点：1.复数的模;2.复数及其共轭复数的关系.二、选修题，下列7、8、9三道题每题均含选修4-1和选修4-4各一个小题，请你在每道题的两个小题中任选一题作答。
河南省南阳市部分示范高中2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)答案
2017-2018学年南阳市秋期期中考试高二数学试题答案（文）一.选择题：DACCD BACAD CA二.填空题：13.81 14. 2- 15. 81 16. 43 三.解答题：17.解：（1）由题意得a n ＝3n-1 ………………………………2分 由数列{}n b 满足b 1＝s 1＝3 …………………………3分 当n ≥2时，b n ＝s n －s n －1＝2n ＋1∴b n ＝2n ＋1（n ∈N ＋） ……………………………………6分（2）由（1）得c n ＝（2n ＋1）·3n －1∴Tn ＝3＋5·3+7·32＋…＋（2n －1）·3n －2＋（2n ＋1）·3n －1 ① ∴3Tn ＝ 3·3＋5·32＋…＋ （2n －1）·3n －1＋（2n ＋1）·3n ② ①－② －2Tn ＝－2n ·3n∴Tn ＝n ·3n ………………………………………10分18.（1）由题意得a ＜0，且31，21是方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+ac a 21·3152131 解得⎩⎨⎧-=-=16c a ………………………………………4分 （2）由（1）知原不等式可化为－6x 2＋（6＋b ）x －b ≥0，即（6x －b ）（x －1）≤0 ………………………6分 ①当6b ＞1，即b ＞6时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤61 b x x ……………8分 ②当6b ＝1，即b ＝6时，原不等式的解集为{}1=x x ……………………………10分 ③当6b ＜1，即b ＜6时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤16x b x …………12分19. (本小题共12分)解：（1） 由B a b sin 23=2sin sin B A B =⇒sin A =,又A 是锐角， 所以60A =︒ ………………………………………………6分（2）由面积公式1sin 2S bc A ===40bc ⇒=，………8分又由余弦定理：2222cos 4913a b c bc A b c =+-=⇒+=…………………………12分 20.…………………………………12分21.（22）解：（I ）由 ,3,2,1 ,32231341=+⨯-=+n a S n n n ① 得 3243134111+⨯-==a S a 所以 a 1=2 ………………………………4分（Ⅱ）再由①有 ,3,2 ,322313411=+⨯-=--n a S n n n ② 将①和②相减得 ,3,2 ),22(31)(34111=-⨯--=-=+--n a a S S a n n n n n n n 整理得 ,3,2 ),2(4211=+=+--n a a n n n n ， 因而数列}2{n n a +是首项为a 1+2=4，公比为4的等比数列，……………………8分 即n n n n a 44421=⨯=+-，n=1，2，3，…， 因而 ,24n n n a -= n=1，2，3，…， ………………………………………12分。
河南省南阳市高二数学下学期期末考试试题 文(扫描版)
河南省南阳市2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题文（扫描版）2018年春期高中二年级期终质量评估数学试题（文）参考答案一、选择题1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D 7．B 8. C 9. D 10．C 11．A 12．C 二、填空题13．丙 14． 24 15． 2316．n （2n+1） 三、解答题17.解析：（1）由条件220x x +-=，解得12x x ==-或 …………………………3分 （2）由条件220x x +-≠，解得12x x ≠≠-且 …………………………………6分（3）由条件2232020x x x x ⎧++=⎨+-≠⎩，解得1x =- …………………………………10分18.解析：（1）22034x y -++=，1C ∴的普通方程为4320x y +-= ……………2分 22cos sin ρθρθ=，∴2C 的直角坐标方程为2x y =. ………………………4分（2） 点P 的极坐标为)4π-，∴点P 的直角坐标为(2,2)-，该点为直线所过定点 ……………………………6分将曲线1C 的参数方程325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入2x y =得2234916(2)26055255t t t t -=-+⇒-+= …………………………………8分 设该方程的两个实根分别为1t ，2t ，则1||||PA t =，2||||PB t =， ………………………………………………………10分121250||||||||=||3PA PB t t t t ∴⋅=⋅⋅=……………………………………………11分 ∴||||PA PB ⋅的值为503． ………………………………………………………12分19.解析：（1）6()()i i x x y y r ∑--=80.300.9882.13===≈ …………………………3分所以y 与x 之间具有很强的线性相关关系； ……………………………………4分 （2）175.403.9,29.236x y ==≈ ……………………………………………6分 ∑∑==---=61261)())((ˆi ii i ix xy y x xb80.305.6214.30=≈ ……………………………………8分 x b y aˆˆ-=29.23 5.62 3.97.31=-⨯=， ……………………………………9分 ∴y 与x 的线性回归方程为 5.627.31y x =+ ………………………………10分（3）当10x =时， 5.6210+7.31=63.51y =⨯，所以火灾损失大约为63.51千元．………………………………………………12分 20.解析：(1)…………………………………………………………3分（2）由题意得⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯22110(18431237) 1.65 1.32355553080K 所以有75%的把握认为“数学成绩与所在的班级有关系” …………………6分（3）因为甲、乙两个班数学成绩优秀的学生人数的比例为18：12=3：2，所以从甲班成绩优秀的学生中抽取3名，分别记为A 1，A 2，A 3，从乙班成绩优秀的学生中抽取2名，分别记为B 1，B 2，则从抽取的5名学生中随机抽取2名学生的所有基本事件有A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，B 1B 2，共10个 ……………………9分设“抽到的2名学生中至少有1名乙班学生”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，B 1B 2，共7个，…………………………10分所以7()10P A =， 即抽到的2名学生中至少有1名乙班学生的概率是710.………………………12分 21.解析：（1）对于曲线C ：19422=+y x ，可令x=2cos θ、y=3sin θ，故曲线C 的参数方程为，（θ为参数）……………………………3分对于直线l ：，由①得：t=x ﹣2，代入②并整理得：2x+y ﹣6=0；……………………………6分 （2）设曲线C 上任意一点P （2cos θ，3sin θ）．P 到直线l 的距离为．…………………………8分 则，其中α为锐角．…………9分当sin （θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin （θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为． ………………11分∴|PA|的最大值为5522，最小值为552．…………………………………12分 22.解析：（1）令a =b ,得：故…………………………………………………………3分（2）先证明∵a > 0，b > 0，要证上式，只要证 3a(2b + a) + 3b(2a + b) ≤ 2(2a + b)(2b + a)，即证a 2 + b 2≥ 2ab 即证(a − b)2 ≥ 0，这显然成立.∴ ……………………………………………………6分再证明ab bb a a 2232+++≤ ∵a > 0，b > 0，要证上式，只要证 3a(2a + b) + 3b(2b + a) ≥ 2(a + 2b)(b + 2a)，即证a 2 + b 2≥ 2ab 即证 (a − b)2 ≥ 0，这显然成立. ∴a b bb a a 2232+++≤ ……………………………………………………9分 ∴ab b b a a a b b b a a 223222+++≤≤+++ …………………………………10分（3）猜想结论：存在一个常数 M ，使得不等式ad dd c c c b b b a a M a d d d c c c b b b a a 44444444+++++++≤≤+++++++ 对任意正数 a ，b ，c ，d 恒成立. ……………………………………………12分3232≤≤M 32=M 3222≤+++a b b b a a 3222≤+++a b b b a a。
河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题(含精品解析)
2018年春期高中二年级期中质量评估数学试题（文）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用复数的除法公式进行求解.详解：.点睛：本题考查复数的发出法则等知识，意在考查学生的基本运算能力.2. 年劳动生产率（千元）和工人工资（元）之间的回归方程为，这意味着年劳动生产率每年提高1千元时，工人工资平均（）A. 增加80元B. 减少80元C. 增加70元D. 减少70元【答案】C【解析】分析：利用回归直线的系数的实际意义进行判定.详解：由回归方程，得：年劳动生产率每年提高1千元时，工人工资平均增加70元.点睛：本题考查变量的回归直线等知识，意在考查学生的数学应用能力.3. 有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为在处的导数值，所以是函数的极值点.以上推理中（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】试题分析：导数为0的点不一定是极值点，而极值点的导数一定为0．所以本题是大前提错误。
考点：1．演绎推理；2．利用导数求函数的极值。
4. 如图是根据变量，的观测数据（1,2,3…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量，具有相关关系的图是（）① ② ③ ④A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④【答案】D【解析】分析：由散点图的形状进行判定.详解：由散点图可以发现，图③中的变量负相关，图④的变量正相关.点睛：本题考查散点图、变量的相关性等知识，意在考查学生的识图、用图能力.5. 若为虚数单位，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先由复数的几何意义得到复数，再利用复数的除法法则化简，再利用复数的几何意义进行求解.详解：由复数的几何意义，得，则，则该复数对应的点为，即点.点睛：本题考查复数的几何意义、复数的除法法则等知识，意在考查学生的基本计算能力.6. 已知结论：“在三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：先利用类比推理得到结论，再利用几何体的体积公式进行证明.详解：在棱长都相等的四面体中，且的中心为，则面，;因为四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，所以点为内切球的球心，是内切球的半径，则,则，则.点睛：本题考查类比推理、几何体的体积公式等知识，意在考查学生的类比思想和空间想象能力.7. 下列有关线性回归分析的四个命题（）①线性回归直线必过样本数据的中心点；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③当相关性系数时，两个变量正相关；④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数越接近于1.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】分析：根据线性回归方程的几何特征及残差,相关指数的概论,逐一分析四个答案的正误,可得答案. 详解：①线性回归直线必过样本数据的中心点（）,故①正确;②回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点,故②错误;③当相关性系数时,则两个变量正相关,故③正确;④如果两个变量的相关性越强,则相关性系数r就越接近于1或-1,故④错误.故真命题的个数为2个,所以B选项是正确的点睛：本题以命题的真假判断为载体,考查了相关关系,回归分析,相关指数等知识点,难度不大,属于基础题.8. 下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学著名《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入、、的值分别为8、10、0，则输出和的值分别为（）A. 2,5B. 2,4C. 0,5D. 0,4【答案】A【解析】分析：利用程序框图，模拟运行循环结构进行求解.详解：由程序框图，得：；；，；，结束循环，即输出的值分别为2,5.点睛：本题考查程序框图中的循环结构等知识，意在考查学生的逻辑思维能力.9. 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程（）有有理根，那么，，中至少有一个是偶数.下列假设中正确的是（）A. 假设，，都是偶数B. 假设，，都不是偶数C. 假设，，至多有一个是偶数D. 假设，，至多有两个是偶数【答案】B【解析】用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的否定成立，“至少有一个”的否定为“都不是”，所以先假设，，都不是偶数．本题选择B选项.10. 已知具有线性相关关系的两个变量，之间的一组数据如下：且回归方程是，则（）A. 2.5B. 3.5C. 4.5D. 5.5【答案】C【解析】由题意得，根据表中的数据，可知，且，所以，解得，故选C.11. 在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“.”其中，正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：先理解“类”的含义，即“除以5的余数相等的数”，再逐一进行验证判定.详解：因为，所以，即①正确；因为，所以，即②错误；这些“类”把整数集分成5个子集，分别是除以5后的余数，只有0到4，即③正确；若整数属于同一类，设，，则，即④正确；综上所述，①③④正确.故选C.点睛：本题以新定义“类”为载体考查元素与集合的关系、集合的运算等知识，本题易错点是不能准确理解新定义“类”的含义，即整数被5除所得的余数相同的集合，尤其是对③的判定，学生对整数集的分类不清晰.12. 将自然数按如下规律排数对：，，，，，，，，，，，，，，…，则第60个数对是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先由所给数对总结规律，再确定第60个数对.详解：通过观察可以发现：两数和为1的数对有2个，两数和为2的数对有3个，两数和为3的数对有4个，，以此类推，两数和为的数对有个，因为，则第55个到65个数对的两数之和为10，第55个到60个数对依次为：，即第60个数对为.点睛：本题考查归纳推理、等差数列等知识，意在考查学生的数学归纳猜想能力和基本运算能力，归纳推理的一般步骤是：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 复数的共轭复数是__________．【答案】【解析】，故该复数的共轭复数为 .14. 已知函数，则__________．【答案】【解析】分析：先计算得到，再分组进行求和.详解：由，得，且，即，则.点睛：解决本题的关键是通过联想到，再由此想到先计算的值，再两两结合进行求解，也可以类似倒序相加法进行求解，即：设，，则.15. 执行如下图的程序框图，输出的值是__________．【答案】【解析】分析：先由程序框图得到前几个数，发现得到周期性，进而得到答案.详解：由程序框图，得；；；；；即的值具有周期性，周期为3，则当程序框图结束时的结果为，即输出的值为.点睛：本题考查程序框图的循环结构、周期性等知识，意在考查学生的逻辑推理能力.16. 已知集合，且下列三个关系：①；②；③，有且只有一个正确，则__________．【答案】201【解析】试题分析：由题：，且下列三个关系：•‚ƒ有且只有一个正确；可假设：•正确，则可推出矛盾，同理可得当ƒ正确时，成立即；考点：逻辑推理．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知复数.（1）求复数的模；（2）若复数是方程的一个根，求实数，的值.【答案】（1）；（2）4，10【解析】分析：（1）先利用复数的除法法则和减法法则化简，再利用模公式进行求解；（2）将代入方程，再利用复数相等进行求解.详解：（1），∴（2）∵复数是方程的一个根∴由复数相等的定义，得：解得：∴实数m,n的值分别是4,10.点睛：本题考查复数的四则运算、复数的模及复数相等的概念等知识，意在考查学生的基本运算能力. 18. 设、、均为正数，且，证明：（1）；（2）.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（Ⅰ）由，，得：，由题设得，即，所以，即.（Ⅱ）因为，，，所以，即，所以.本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.视频19. 微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200 名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40 岁)和中年(年龄不小于40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中都是青年人.(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成列联表：(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？(3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求选出的2人均是青年人的概率.附：.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）由已知可得，该公司员工中使用微信的有人，进而得到使用微信的人数和青年人的人数等，从而列出的列联表，；（2）根据列联表的数据，求解的值，得出结论；（3）从“经常使用微信”的人中抽取人，其中，青年人有人，中年人有，进而利用古典概率，即可求解概率。
河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）在复平面内，复数+（1+i）2的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度3．（5分）用数学归纳法证明（a≠1，n∈N*），在验证当n=1时，等式左边应为（）A．1B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a34．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）+lnx，则f′（e）=（）A．1B．﹣1 C．﹣e﹣1D．﹣e5．（5分）设圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的高为（）A．B．C．D．3π6．（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．（5分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+a（a为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则a的值为（）A．1B．﹣C．﹣1 D．28．（5分）将正奇数按照如卞规律排列，则2015所在的列数为（）A ． 15B ． 16C ． 17D ．189．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知函数f （x ）=x （x ﹣m ）3在x=2处取得极小值，则常数m 的值为（） A ． 2 B ． 8 C ． 2或8 D ． 以上答案都不对 11．（5分）已知函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣1）=2，对任意x ∈R ，f ′（x ）＞2，则f （x ）＞2x+4的解集为（） A ． （﹣1，1） B ． （﹣1，+∞） C ． （﹣∞，﹣1） D ．（﹣∞，+∞） 12．（5分）定义在R 上的可导函数f （x ），且f （x ）图象连续不断，f ′（x ）是f （x ）的导数，当x ≠0时，f ′（x ）+＞0，则哈数g （x ）=f （x ）+的零点的个数（）A ． 0B ． 1C ． 2D ．0或2二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列为等差数列，公差为．类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列为等比数列，公比为．14．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣4以及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为．15．（5分）若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是．16．（5分）已知g（x）=mx+2，f（x）=x2﹣，若对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）＞f（x2），则实数m的取值范围是．三、解答题17．（10分）已知复数z=（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是：①实数；②纯虚数；（Ⅱ）当m=0时，化简．18．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2x+2（x∈R）．（1）求f（x）的最小值；（2）求证：x＞0时，e x＞x2﹣2x+1．19．（12分）已知点P在曲线y=x2﹣1上，它的横坐标为a（a＞0），过点P作曲线y=x2的切线．（1）求切线的方程；（2）求证：由上述切线与y=x2所围成图形的面积S与a无关．20．（12分）设a n=1+++…+（n∈N*），是否存在一次函数g（x），使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n﹣1）对n≥2的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论．21．（12分）设函数，g（x）=2x2+4x+c．（1）试问函数f（x）能否在x=﹣1时取得极值？说明理由；（2）若a=﹣1，当x∈时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞e2恒成立，求k的最大值．河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）在复平面内，复数+（1+i）2的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，然后判断即可．解答：解：复数+（1+i）2=+1﹣3+2=﹣2+2=﹣+i．复数对应点为：（﹣，）在第二象限．故选：B．点评：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，考查计算能力．2．（5分）用反证法证明：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度考点：反证法与放缩法．专题：常规题型．分析：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B点评：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否与的否定的概念，逻辑词语的否定．3．（5分）用数学归纳法证明（a≠1，n∈N*），在验证当n=1时，等式左边应为（）A．1B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a3考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据等式的特点，即可得到结论．解答：证明：∵（a≠1，n∈N*），∴当n=1时，等式左边应为1+a+a2+a3，故答案为：1+a+a2+a3．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．4．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）+lnx，则f′（e）=（）A．1B．﹣1 C．﹣e﹣1D．﹣e考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：首先对等式两边求导得到关于f'（e）的等式解之．解答：解：由关系式f（x）=2xf′（e）+lnx，两边求导得f'（x）=2f'（x）+，令x=e得f'（e）=2f'（e）+e﹣1，所以f'（e）=﹣e﹣1；故选：C．点评：本题考查了求导公式的运用；关键是对已知等式两边求导，得到关于f'（x）的等式，对x取e求值．5．（5分）设圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的高为（）A．B．C．D．3π考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：设圆柱底面半径为R，高为H，则S=2πRH+2πR2，求出H，可得V，利用导数求最值，即可得出结论．解答：解：设圆柱底面半径为R，高为H，则S=2πRH+2πR2，∴H=﹣R（0＜R≤），∴V=πR2H=﹣πR3，∴V'（R）=当V'（R）=0时，有R=，在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，∴R=时，体积最大，因此H=，故选：C．点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生的计算能力，比较基础．6．（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b考点：定积分．专题：计算题．分析：根据x2的原函数为x3，x3的原函数为x4，sinx的原函数为﹣cosx，分别在0到2上求出定积分的值，根据定积分的值即可得到a，b和c的大小关系．解答：解：a=∫02x2dx=|02=，b=∫02x3dx==4，c=∫02sinxdx=﹣cosx|02=1﹣cos2，因为1＜1﹣cos2＜2，所以c＜a＜b．故选D．点评：此题考查学生掌握积分与微分的关系，会进行定积分的运算，是一道基础题．7．（5分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+a（a为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则a的值为（）A．1B．﹣C．﹣1 D．2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出两个函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论．解答：解：∵f（x）=lnx，g（x）=x2+a，∴f′（x）=，g′（x）=x，∵l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，∴k=f′（1）=1，又f（1）=0，则切线l的方程为y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1，当x=1时，y=1﹣1=0，即切点坐标为（1，0），∵切点（1，0）也在函数g（x）上，即g（1）=+a=0，解得a=﹣，故选：B点评：本题主要考查导数的几何意义，根据条件求出对应的切线斜率和切点坐标是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）将正奇数按照如卞规律排列，则2015所在的列数为（）A．15 B．16 C．17 D．18考点：归纳推理．专题：规律型．分析：第一行有1个奇数，第二行有2个奇数，…第n行有n个奇数，每行的最后的奇数是第1+2+3+…+n=（1+n）×n÷2个奇数，这个奇数是2×（1+n）×n÷2﹣1=（1+n）×n﹣1，这就是行数n和这行的最后一个奇数的关系，依照这个关系，采用试商法，看2015所在行的最后一个奇数是多少，上一行的最后一个奇数是多少，推算出它所在的行和是第几个数，即可得解．解答：解：依据规律，第n排最后一个数为n×（n+1）﹣1，经试商，44×45=1980，45×46=2070，则知道，第44行末数字为1979；第45行最后数字是2069；÷2=18，故2015所在的列数为18，故选：D点评：本题考查的知识点是归纳推理，先找到规律，再根据规律求解．9．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：压轴题；数形结合．分析：由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论．解答：解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有A答案满足要求，故选A点评：从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．10．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣m）3在x=2处取得极小值，则常数m的值为（）A．2B．8C．2或8 D．以上答案都不对考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：通过对函数f（x）求导，根据函数在x=2处有极值，可知f'（2）=0，解得m的值，再验证可得结论．解答：解：求导函数，可得f′（x）=（4x﹣m）（x﹣m）2，∵在x=2处取得的极小值，∴f′（2）=（8﹣m）（2﹣m）2=0，∴m=2或8，m=2时，f′（x）≥0，在x=2处不取极值，舍去，m=8时，函数f（x）=x（x﹣m）3在x=2处取得极小值．故选：B．点评：本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键．11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．解答：解：设g（x）=f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）=f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）=2，∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，则∵函数g（x）单调递增，∴由g（x）＞g（﹣1）=0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B点评：本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．12．（5分）定义在R上的可导函数f（x），且f（x）图象连续不断，f′（x）是f（x）的导数，当x≠0时，f′（x）+＞0，则哈数g（x）=f（x）+的零点的个数（）A．0B．1C．2D．0或2考点：函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：由题意可得得＞0，进而可得函数xf（x）单调性，而函数g（x）=f（x）+=，的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数，可得y=xf（x）+1＞1，无零点解答：解：由f'（x）+x﹣1f（x）＞0，得＞0，当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞0，即'＞0，函数xf（x）单调递增；当x＜0时，xf'（x）+f（x）＜0，即'＜0，函数xf（x）单调递减．又g（x）=f（x）+=，函数g（x）=的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数．当x＞0时，y=xf（x）+1＞1，当x＜0时，y=xf（x）+1＞1，所以函数y=xf（x）+1无零点，所以函数g（x）=f（x）+x﹣1的零点个数为0个，故选：A．点评：本题考查根的存在性及根的个数的判断，涉及函数的单调性，属中档题，关键是构造函数g（x）=xf（x）+1二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，则数列为等差数列，公差为．类似地，若各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q，前n项的积为T n，则数列为等比数列，公比为．考点：类比推理．专题：计算题．分析：仔细分析数列为等差数列，且通项为的特点，类比可写出对应数列为等比数列的公比．解答：解：因为在等差数列{a n}中前n项的和为S n的通项，且写成了．所以在等比数列{b n}中应研究前n项的积为T n的开n方的形式．类比可得．其公比为故答案为．点评：本小题主要考查等差数列、等比数列以及类比推理的思想等基础知识．在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．14．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣4以及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，这旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求．此几何体的体积可以看作是π﹣，求出定积分的值，即求得题中的体积．解答：解：由曲线y=，直线y=x﹣4可得交点坐标为（8，4），直线y=x﹣4与x轴的交点坐标为（4，0），则旋转体的体积为π﹣=π•x2﹣=．故答案为：．点评：本题考查用定积分求简单几何体的体积，属于基础题．利用定积分求旋转体的体积，求解的关键是找出被积函数和相应的积分区间，准确利用公式进行计算．15．（5分）若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是b≤﹣1．考点：函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：根据函数在（﹣1，+∞）上是减函数，对函数f（x）进行求导，判断出f′（x）＜0进而根据导函数的解析式求得b的范围．解答：解：由题意可知f′（x）=﹣x+＜0，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，∵f（x）=x（x+2）=x2+2x且x∈（﹣1，+∞）∴f（x）＞﹣1∴要使b＜x（x+2），需b≤﹣1故答案为b≤﹣1点评：本题主要考查了函数单调性的应用．利用导函数来判断函数的单调性，是常用的方法．16．（5分）已知g（x）=mx+2，f（x）=x2﹣，若对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）＞f（x2），则实数m的取值范围是（﹣，1）．考点：函数恒成立问题．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：“对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）＞f（x2）”⇔g（x）最小值＞f（x）最小值，只要g（x）最小值＞1即可．解答：解：∵x∈，∴x2∈，∴f（x）=x2﹣=x2+﹣3≥2﹣3=1，当且仅当x2=，即x2=2时取等号．∴f（x）最小值=1，“对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）＞f（x2）”⇔g（x）最小值＞f（x）最小值只要g（x）最小值＞1即可．当m＞0时，g（x）=mx+2是增函数，对任意的x1∈，g（x）min=g（﹣1）=2﹣m．由题设知2﹣m＞1，解得m＜1，∴0＜m＜1．当m＜0时，g（x）=mx+2是减函数，对任意的x1∈，g（x）min=g（2）=2m+2．由题设知2m+2＞1，解得m＞﹣，∴﹣＜m＜0．当m=0时，g（x）=2＞1，成立．综上所述，m∈（﹣，1）．故答案为：（﹣，1）．点评：本题考查函数恒成立问题的应用，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．三、解答题17．（10分）已知复数z=（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是：①实数；②纯虚数；（Ⅱ）当m=0时，化简．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：（I）利用复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出．（II）当m=0时，z=﹣2+2i，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：（Ⅰ）①当m2﹣3m+2=0时，即m=1或m=2时，复数z为实数．②当时，解得，即m=﹣时，复数z为纯虚数．（Ⅱ）当m=0时，z=﹣2+2i，∴．点评：本题考查了复数为实数、纯虚数的充要条件、复数的运算法则，属于基础题．18．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2x+2（x∈R）．（1）求f（x）的最小值；（2）求证：x＞0时，e x＞x2﹣2x+1．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出函数的导数，求得单调区间，即可得到极小值，也为最小值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2+2x﹣1，通过导数求出g（x）的单调性，即可得到证明．解答：解：（1）由f（x）=e x﹣2x+2（x∈R）．得f′（x）=e x﹣2，令f′（x）=e x﹣2=0得，x=ln2，当x＞ln2时，f′（x）＞0；当x＜ln2时，f′（x）＜0，故当x=ln2时，f（x）有极小值也是最小值为f（ln2）=2（2﹣ln2）；（2）证明：设．（x＞0），则g′（x）=e x﹣2x+2，由（1）知g′（x）=e x﹣2x+2有最小值g′（ln2）=2（2﹣ln2），于是对于x＞0，都有g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上递增，而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0，即x＞0时，e x＞x2﹣2x+1．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式的证明，注意构造函数，运用单调性证明，属于中档题．19．（12分）已知点P在曲线y=x2﹣1上，它的横坐标为a（a＞0），过点P作曲线y=x2的切线．（1）求切线的方程；（2）求证：由上述切线与y=x2所围成图形的面积S与a无关．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；定积分在求面积中的应用．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（1）确定P的坐标，设切点Q的坐标，利用导数的几何意义，可得切线的方程；（2）利用定积分表示面积，即可得出结论．解答：（1）解：点P的坐标为（a，a2﹣1），设切点Q的坐标为（x，x2），由k PQ=及y′=2x知=2x，解得x=a+1或x=a﹣1．所以所求的切线方程为2（a+1）x﹣y﹣（a+1）2=0或2（a﹣1）x﹣y﹣（a﹣1）2=0…（6分）（2）证明：S=dx+dx=．故所围成的图形面积S=，此为与a无关的一个常数…（12分）点评：本题考查定积分在求面积中的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12分）设a n=1+++…+（n∈N*），是否存在一次函数g（x），使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n﹣1）对n≥2的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：假设存在一次函数g（x）=kx+b（k≠0），依题意可求得k=1，b=0，故猜想：g（x）=x；然后用数学归纳法加以证明即可．解答：解：假设存在一次函数g（x）=kx+b（k≠0），使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n﹣1）对n≥2的一切自然数都成立，则当n=2时有，a1=g（2）（a2﹣1），又∵，∴g（2）=2即2k+b=2…①．当n=3时有，a1+a2=g（3）（a3﹣1），又∵，∴g（3）=3，即3k+b=3…②，由①②可得k=1，b=0，所以猜想：g（x）=x，…（5分）下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明；…（6分）（2）假设当n=k（k≥2，k∈N）时，结论成立，即存在g（k）=k，使得a1+a2+a3+…+a k﹣1=g （k）（a k﹣1）对k≥2的一切自然数都成立，则当n=k+1时，a1+a2+a3+…+a k=（a1+a2+a3+…+a k﹣1）+a k=k（a k﹣1）+a k=（k+1）a k﹣k，…（8分）又∵，∴a k=a k+1﹣，∴，∴当n=k+1时，成立．…（11分）由（1）（2）知，对一切n，（n≥2，n∈N*）有g（n）=n，使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n ﹣1）都成立．…（12分）点评：本题考查数列递推关系式及数学归纳法，着重考查推理与论证能力，属于中档题．21．（12分）设函数，g（x）=2x2+4x+c．（1）试问函数f（x）能否在x=﹣1时取得极值？说明理由；（2）若a=﹣1，当x∈时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；压轴题．分析：（1）利用反证法：根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，假设x=﹣1时f（x）取得极值，则把x=﹣1代入导函数，导函数值为0得到a的值，把a的值代入导函数中得到导函数在R上为增函数，没有极值与在x=﹣1时f（x）取得极值矛盾，所以得到f（x）在x=﹣1时无极值；（2）把a=﹣1代入f（x）确定出f（x），然后令f（x）与g（x）相等，移项并合并得到c 等于一个函数，设F（x）等于这个函数，G（x）等于c，求出F（x）的导函数，令导函数等于0求出x的值，利用x的值讨论导函数的正负得到F（x）的单调区间，进而得到F（x）的极大值和极小值，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，根据F（x）的极大值和极小值写出c的取值范围即可．解答：解：（1）由题意f′（x）=x2﹣2a x﹣a，假设在x=﹣1时f（x）取得极值，则有f′（﹣1）=1+2a﹣a=0，∴a=﹣1，而此时，f′（x）=x2+2x+1=（x+1）2≥0，函数f（x）在R上为增函数，无极值．这与f（x）在x=﹣1有极值矛盾，所以f（x）在x=﹣1处无极值；（2）令f（x）=g（x），则有x3﹣x2﹣3x﹣c=0，∴c=x3﹣x2﹣3x，设F（x）=x3﹣x2﹣3x，G（x）=c，令F′（x）=x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1或x=3．列表如下：由此可知：F（x）在（﹣3，﹣1）、（3，4）上是增函数，在（﹣1，3）上是减函数．当x=﹣1时，F（x）取得极大值；当x=3时，F（x）取得极小值F（﹣3）=F（3）=﹣9，而．如果函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，所以或c=﹣9．点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握函数的零点与方程根的关系，是一道中档题．22．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞e2恒成立，求k的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出f'（x）=a+lnx+1，a+lne+1=3，由此能求出a=1．（Ⅱ）由f（x）=x+xlnx，得对对任意x＞e2恒成立，由此利用构造法结合导数性质能求出整数k的最大值．解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1…（2分）因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，所以，f'（e）=3，即a+lne+1=3，所以，a=1．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x+xlnx，所以，对任意x＞e2恒成立，即对任意x＞e2恒成立．…（5分）令，则…（6分）令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞e2），则，所以函数h（x）在（e2，+∞）上单调递增…（8分）所以h（x）＞h（e2）=e2﹣4＞0，可得g'（x）＞0故函数在（e2，+∞）上单调递增．所以…（11分）∴k≤g（e2）．故整数k的最大值是3．…（12分）点评：本题考查实数值的求法，考查整数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．。
河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．如果p（n）对n=k成立（n∈N*），则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（）A．p（n）对一切正整数n都成立B．p（n）对任何正偶数n都成立C．p（n）对任何正奇数n都成立D．p（n）对所有大于1的正整数n都成立3．已知函数f（x）=+1，则的值为（）A．﹣B．C．D．04．直线与曲线相切，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．15．已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A．1 B．2 C．D．36．曲线y=e x在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．1 C．2 D．37．用反证法证明某时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个奇数”正确的反设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个奇数D．a、b、c中至少有两个奇数或都是偶数8．已知函数f（x）=x3﹣3x+c有两个不同零点，且有一个零点恰为f（x）的极大值点，则c 的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或29．已知b＞a，下列值：∫ f（x）dx，∫ |f（x）|dx，|∫|的大小关系为（）A．|∫|≥∫|f（x）|dx≥∫f（x）dxB．∫ |f（x）|dx≥|∫f（x）dx|≥∫f（x）dxC．∫ |f（x）|dx=|∫f（x）dx|=∫f（x）dxD．∫ |f（x）|dx=|∫f（x）dx|≥∫f（x）dx10．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C． D．11．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0） C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）12．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围为（）A． B． C．（1，+∞）D．二.填空题，本大题共4小题每小题5分，共20分.13．∫（x+x2+sinx）dx= ．14．若f（n）=12+22+32+…+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是．15．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是．16．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：令=x，则有=x，从而解得x=（负值已舍去）”；运用类比的方法，计算： = ．三.解答题，本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知复数，若|z|2+az+b=1﹣i．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求实数a，b的值．18．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求m的取值范围．19．设x＞0，y＞0，z＞0，（Ⅰ）比较与的大小；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．20．是否存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？21．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（I）如果存在x1、x2∈，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（II）如果对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围..22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈上的图象在x轴上方，定积分就是求函数f（x）在区间中图线下包围的面积，即由 y=0，x=a，x=b，y=f（x）所围成图形的面积，此时∫f（x）dx=∫|f（x）|dx=|∫|；当函数y=f（x）在上的图象在x轴下方，定积分就是求函数f（x）在区间中图线上方包围的面积的负值，即由 y=0，x=a，x=b，y=f（x）所围成图形的面积的负值，此时函数y=|f（x）|的图象在x轴上方，所以=＞0，＜0；当函数y=f（x）的图象在上x轴的上下方都有，不防设在上在x轴下方，则为上方的面积减去下方的面积，为上方的面积减去下方面积的绝对值，为上方的面积加上下方的面积；若函数y=f（x）的原函数为常数函数y=0，则∫f（x）dx=∫|f（x）|dx=|∫|；综上，三者的关系是．故选B．10．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．11．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0） C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】导数的运算．【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即′＜x3＜0，令F（x）=x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，即x＜﹣2016，故选：C．12．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围为（）A． B． C．（1，+∞）D．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】由题意画出图象，利用导数对x分x=0、x＜0、x＞0三种情况各有一个零点时的k的取值范围求出来，再求交集即可．【解答】解：由题意画出图象：（1）当x=0时，f（0）=ln1=0，k×0=0，0是函数f（x）﹣kx的一个零点；（2）由函数的图象和单调性可以看出，当x＞0和x＜0时，分别有一个零点．①．当x＜0时，由﹣x2+x=kx，化为x=﹣k＜0，解得k＞；②当x＞0时，只考虑k＞即可，令g（x）=ln（x+1）﹣kx，则g′（x）=﹣k，A．当k≥1时，则g′（x）＜0，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，g（x）无零点，应舍去；B．当＜k＜1时，0＜＜1，g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=﹣1，列表如下：由表格可知：当x=时，g（x）取得极大值，也是最大值，当且仅当g（）≥0时，g（x）才有零点，g（）=ln﹣（1﹣k）=k﹣lnk﹣1．下面证明h（k）=k﹣lnk﹣1＞0，k∈（，1）．∵h′（k）=1﹣=＜0，∴h（k）在（，1）上单调递减，∴g（）=h（k）＞h（1）=1﹣ln1﹣1=0，因此g（）＞0在k∈（，1）时成立．综上可知：当且仅当＜k＜1时，函数f（x）﹣kx有三个零点．故选：B．二.填空题，本大题共4小题每小题5分，共20分.13．∫（x+x2+sinx）dx= ．【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算法法则计算即可．【解答】解：∫（x+x2+sinx）dx=（﹣cosx）|=（+﹣cos1）﹣（﹣﹣cos1）=，故答案为：．14．若f（n）=12+22+32+…+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2．【考点】数列递推式．【分析】分别求得f（k）和f（k+1）两式相减即可求得f（k+1）与f（k）的递推关系式．【解答】解：∵f（k）=12+22++（2k）2，∴f（k+1）=12+22++（2k）2+（2k+1）2+（2k+2）2，两式相减得f（k+1）﹣f（k）=（2k+1）2+（2k+2）2．∴f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2．15．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是a＜﹣1或a＞0 ．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】根据函数导数的定义和性质即可得到结论．【解答】解：由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）=0，解得a=0或x=﹣1或x=a，若a=0，则f′（x）=0，此时函数f（x）为常数，没有极值，故a≠0．若a=﹣1，则f′（x）=﹣（x+1）2≤0，此时函数f（x）单调递减，没有极值，故a≠﹣1．若a＜﹣1，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得a＜x＜﹣1此时函数单调递增，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得x＜a或x＞﹣1此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．若﹣1＜a＜0，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得﹣1＜x＜a此时函数单调递增，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得x＜﹣1或x＞a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极大值，不满足条件．若a＞0，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得x＜﹣1或x＞a此时函数单调递增，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得﹣1＜x＜a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．综上：a＜﹣1或a＞0，故答案为：a＜﹣1或a＞016．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：令=x，则有=x，从而解得x=（负值已舍去）”；运用类比的方法，计算： = ．【考点】类比推理．【分析】利用类比的方法，设=x，则1+=x，解方程可得结论．【解答】解：设=x，则1+=x，∴2x2﹣2x﹣1=0∴x=，∵x＞0，∴x=，故答案为：三.解答题，本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知复数，若|z|2+az+b=1﹣i．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求实数a，b的值．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】（I）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．（II）利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：（ I）．∴=﹣1﹣i．（ II）把z=﹣1+i代入|z|2+az+b=1﹣i，即|﹣1+i|2+a（﹣1+i）+b=1﹣i，得（﹣a+b+2）+ai=1﹣i．∴，解得．∴实数a，b的值分别为﹣1，﹣2．18．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求m的取值范围．【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义．【分析】（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知⊆（﹣∝，﹣2]∪上单调递增∴⊆（﹣∝，﹣2]∪，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（II）如果对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围.. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）存在x1、x2∈，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于g（x）max﹣g（x）min≥M；（II）对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）max，进一步利用分离参数法，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（I）存在x1、x2∈，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于g（x）max﹣g（x）min≥M∵g（x）=x3﹣x2﹣3，∴∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增∴g（x）min=g（）=﹣，g（x）max=g（2）=1∴g（x）max﹣g（x）min=∴满足的最大整数M为4；（II）对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）max．由（I）知，在[，2]上，g（x）max=g（2）=1∴在[，2]上，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立记h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x且h′（1）=0∴当时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0∴函数h（x）在（，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1∴a≥122．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．【考点】数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，⇒，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设当n=k时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．【解答】解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．①当a=0时，明显成立．②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时成立．设当n=k时，成立，即．∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．2016年6月14日。
2017秋河南省南阳市期终高二文科数答案
2017年秋期高中二年级期终质量评估数学试题（文）参考答案一、选择题1．D 2．A 3．C 4．D 5．C 6．B 7．A 8. D 9. C 10．A 11．B 12．B 解析：1．∵(x －2)(x －3)＞0，∴x ＞3或x ＜2. 故选D ．4．抛物线y=x 2，即抛物线x 2=4y 的焦点在y 轴上，开口向上，且2p=4，∴ =1 ∴抛物线y=x 2的焦点坐标为（0，1）故选D ． 5．由A ，B ，C 成等差数列，有2B=A+C ，（1） ∵A ，B ，C 为△ABC 的内角，∴A+B+C=π，（2）． 由（1）（2）得B=．由2a ，2b ，2c 成等比数列，得b 2=ac ，由余弦定理得，b 2=a 2+c 2﹣2accosB ， 把B=、b 2=ac 代入得，a 2+c 2﹣ac=ac ，即（a ﹣c ）2=0，则a=c ，从而A=C=B=，∴sinAcosBsinC==．故选C ．7．当x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)递减，当x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)递增，即当x ＝1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1)， 所以f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，则f(0)＋f(2)>2f(1)，故选A. 10．∵椭圆的中心为原点，离心率e=2， 且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，∴椭圆的焦点坐标F （0，±），∴设椭圆方程为，且，解得a=2，，∴b=1，∴椭圆方程为．故选A ．11．由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c ，椭圆的长轴长双曲线的实轴长为，不妨令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF 1|﹣|PF 2|=由椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|=①2+②2得|PF 1|2+|PF 2|2=2（m+n ）， 又∵椭圆+y 2=1（m ＞1）和双曲线﹣y 2=1（n ＞0）有相同的焦点F 1，F 2，∴m ﹣1=n+1，∴m ﹣n=2，∴|PF 1|2+|PF 2|2=2（m+n ）=4m ﹣4， |F 1F 2|2=(2=4m ﹣4，∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|，则△F 1PF 2的形状是直角三角形, 故选B ．二、填空题13．1 14．315．28y x =- 16. 21 解析：13．∵f′(x)＝x 2＋3f′(0)，∴f′(0)＝0＋3f′(0)，即f′(0)＝0，∴f′(x)＝x 2，则有f′(1)＝1.14．由题设知，解得a=3，b=2，c ∴=3c e a ∴==． 15．由抛物线的对称性知，A B x ⊥轴，且AB 是焦点弦，故2A B p =，所以K A B S =△12422p p ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭24=，解得12p =-（舍去）或4，所以焦点坐标为()2,0，直线AB 的方程为2x =，所以直线AB 为准线的抛物线标准方程是28y x =-． 16. 函数y ＝x 2(x >0)在点(a 1，a 21)处(a 1＝16)即点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0，得a 2＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(a 2，a 22)处(a 2＝8)即点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)．令y ＝0，得a 3＝4，依次同理求得a 4＝2，a 5＝1. 所以a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题17.解析：(1)因为 f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1, 故 f ′(x )＝a x －12x 2＋32 .……………………2分由于曲线 y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即 f ′(1)＝0，从而 a －12＋32＝0，解得 a ＝－1. ………………………………………………4分 (2)由(1)知 f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝()2(31)12x x x+- ……………………………………………………6分令 f ′(x )＝0，解得 x 1＝1，x 2＝－13⎝⎛⎭⎫因为 x 2＝－13不在定义域内，舍去.当 x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故 f (x )在 (0,1) 上为减函数；当 x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故 f (x ) 在 (1，＋∞) 上为增函数．…………………9分 故 f (x ) 在x ＝1处取得极小值 f (1)＝3. 无极大值 ……………………………………10分18.解析：（1）∵cos2A+cos2B+2sinAsinB=2cos 2C ， ∴1﹣2sin 2A+1﹣2sin 2B+2sinAsinB=2（1﹣sin 2C ），即sin 2C=sin 2A+sin 2B ﹣sinAsinB ，………………………………………………………2分 由正弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣ab ，∴，且角C 为三角形的内角，即． …………………6分（2）由（1）知 ……………………………………………7分由得：a=2sinA ，b=2sinB ，，……………………………………………………………10分∵△ABC 为锐角三角形，，又∵，∴A ∈（，），∴A ﹣∈（﹣，），∴，即a ﹣b 的取值范围为（﹣1，1）．………………………………………………………12分 19．解析：（1）由题知，18,6,2321===a a a ……………………………… 3分13,23n n q a -∴==⋅ ………………………………………………………………6分（2）323nn n b na n ==⋅ ………………………………………………………7分123n n S b b b b ∴=++++即 123=21322323323n n S n ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅3n S = 132323)1(2322312+⋅+⋅-++⋅⋅+⋅⋅n n n n 123122(3333)23n n n S n +∴-=++++-⋅113)12(33231)31(6++⋅---=⋅---=n n n n n 13(21)3S 2n n n ++-⋅∴= …………………………………………………… 12分20．解析：（1）由方程y 2=﹣x ，y=k （x+1） 消去x 后，整理得ky 2+y ﹣k=0．…………………………………………………………………………… 2分 设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由韦达定理y 1•y 2=﹣1． ∵A 、B 在抛物线y 2=﹣x 上，∴y 12=﹣x 1，y 22=﹣x 2，y 12•y 22=x 1x 2． ………………………………………………… 4分121212121211OA OBy y y y K K x x x x y y ⋅=⋅===-∴OA ⊥OB ． ……………………………………………………………………………… 6分 （2）设直线与x 轴交于N ，又显然k ≠0，∴令y=0，则x=﹣1，即N （﹣1，0）． ………………………………………………7分 ∵S △OAB =S △OAN +S △OBN =|ON||y 1|+|ON||y 2| =|ON|•|y 1﹣y 2|，112OABS ∆∴=⋅=……………………………………9分∵S △OAB =，=16K =±． ………………………………………………11分 16K ∴±的值为 . ………………………………………………………………………12分21．解析：（1）x x x f 23)(2-=' .......................................................................1分由0)(>'x f 得0<x 或32>x ，由0)(<'x f 得320<<x ， ..........................3分 所以函数的单调递增区间为)0,(-∞和),32(+∞，单调递减区间为)32,0(..............5分（2）5)(<x f 即22344x x x x a +=+>，设]2,1[,4)(2∈+=x x x x g...............8分0881)(333≤-=-='x x x x g 对]2,1[∈x 恒成立 ....................................................10分)(x g y =∴在]2,1[上单调递减，[]3)2()(min ==∴g x g ，3>∴a .................11分∴实数a 的取值范围是),3(+∞ .................................................................................12分 22．解析：（1）由题：12c e a == ① 左焦点 (－c ,0) 到点 P (2,1) 的距离为：d = (2 + c ) 2 + 1 2 =10 ②由①②可解得c = 1， a = 2 ， b 2= a 2－c 2= 3．∴所求椭圆C 的方程为22143x y +=．.........................................................................4分 （2）设 A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，将 y = kx + m 代入椭圆方程得 (4k 2+ 3) x 2+ 8kmx + 4m 2－12 = 0．∴x 1 + x 2 = －8km 4k 2 + 3 ，x 1x 2 = 4m 2－124k 2 + 3 ，且y 1 = kx 1 + m ，y 2 = kx 2 + m ．...................6分∵以AB 为直径的圆过椭圆右顶点 A 2(2,0) ，所以 A 2A → •A 2B →= 0． ∴ (x 1－2,y 1)·(x 2－2,y 2) = (x 1－2) (x 2－2) + y 1y 2 = (x 1－2) (x 2－2) + (kx 1 + m) (kx 2 + m) = (k 2+ 1) x 1x 2 + (km －2) (x 1 + x 2) + m 2+ 4= (k 2+ 1)·4m 2－124k 2 + 3 －(km －2)·8km 4k 2 + 3+ m 2+ 4 = 0 ．.....................................8分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2= 0．∴m = －27 k 或 m = －2k 都满足 △ > 0．．..................................................................9分若 m = －2k 时，直线l 为 y = kx －2k = k (x －2) ，恒过定点 A 2(2,0)，不合题意舍去； 若 m = －27 k 时，直线l 为 y = kx －27 k = k (x －27 )， 恒过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，．..........11分 ∴直线l 过定点，该定点的坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ...................................................................12分x。
2017-2018学年河南省南阳市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位学生的话有且只有两个人的话是对的，则
获奖的学生是
．
14．（5 分）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，
多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周
率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆
），求|PA|•|PB|的值．
19．（12 分）保险公司统计的资料表明：居民住宅距最近消防站的距离 x（单位：千米）和
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火灾所造成的损失数额 y（单位：千元）有如下的统计资料：
距消防站的 1.8
2.6
3.1
4.3
5.5
6.1
距离 x
（千米）
火灾损失数 17.8
19.6
27.5
D．ρ＝4sin（θ﹣ ）
8．（5 分）在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中，根据计算结果，认为这两件事情无 关的可能性不足 1%，那么 K2 的一个可能取值为（ ）
P（k2＞ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k）
K 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
B．4
C．﹣6
D．6
6．（5 分）观察下列各式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，…，则 32018 的末位数字为（ ）
A．1
B．3
C．7
D．9
7．（5 分）在极坐标系中，与圆 ρ＝4sinθ 相切的一条直线的方程为（ ）
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A．ρcosθ＝
B．ρcosθ＝2
2017-2018学年河南省南阳市高二下学期期中考试数学(文)试题扫描版含答案
所以
．
19．解析：(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有 人，
经常使用微信的有 人，其中青年人有 人，
使用微信的人中青年人有 人．
所以 列联表为：
青年人
中年人
合计
经常使用微信
不经常使用微信
合计
……………………………………………………………………………………
(2)将列联表中数据代入公式可得： ，
这与已知矛盾，故有a＋b≥0.逆命题得证．……………………………………12分
21．解析：（1）
………………………………6分
于是 .
所以线性回归方程为： ……………………………8分
（2）当 时， ，
即估计使用10年时维修费用是12.38万元.……………………………………12分
22．解析：(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，
2018年春期高中二年级期中质量评估
数学试题（文）参考答案
一、选择题
1．D 2．C3．A4．D5．A6．C7．B8. A9.B10．C11．C12．B
二、填空题
13． 14． 15． 16．201
三、解答题
17．解析：（1） ………………………………3分
（
∴
由复数相等的定义，得：
解得： ……………………………………………………………9分
∴实数m,n的值分别是4,10.……………………………………………………10分
18.解析：证明(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得
a
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含精品解析)
的推理与论证能力.
15. 假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为 ，且各引擎是否有故障是独立的，已知 4
8. 设
，随机变量 的分布列是则当 在 内增大时（ ）
A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 【答案】D 【解析】分析：求出随机变量 ξ 的分布列与方差，再讨论 D（ξ）的单调情况． 详解：设 0＜p＜1，随机变量 ξ 的分布列是
E（ξ）=0× +1× +2× =p+ ；
方差是 D（ξ）=
”成立，故选 D.
点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列之间的类比推理，其中类比推理的一般步骤：①找出等差数列
与等比数列之间的相似性或一致性；②用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得到一个明确的结论
（或猜想）.
4. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球.从袋中任取 3 个球，所取的 3
顺序出场，那么共有
__________种不同的插入方法（用数字作答）．
【答案】165
【解析】分析：根据题意，先由分步计数原理计算 ABC 三个节目插到 8 个节目之间的排法，又由倍分法
分析可得答案．
详解：根据题意，原来有 8 个节目，有 9 个空位，
在 9 个空位中任选 1 个，安排 A 节目，有 9 种情况，排好后有 10 个空位，
7. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，各 局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析：这是一个条件概率，所以先计算 P(A)和 P(AB),再代入条件概率的公式即得解.