【数学】湖南省长沙市2020届高三统一模拟考试理科数学试卷有答案
∵ AO ⊥ 平面 BB1C1C ， ∴ 直线 AB 与平面 BB1C1C 所成的角即为 ∠ABO ，
即 ∠ABO = 450 。
不妨设菱形 BB1C1C 的边长为2，则在等边三角形 BB1C 中 BO = 3,CO = B1O = 1 ，
在 RtΔABO 中， AO = BO = 3 ，
（7分）
以 O 为原点，分别以 OB,OB1,OA 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，
π 2
−1
，故选
C
6. A
解析： (3x +1)(1x −1)5 的展开式中的常数项为 C54 × 3× (−1)4 + (−1)5 = 14 ，故选 A.
7．B
( ) 解析：由 cosα 1+
3 tan10o = 1 可得 cosα
3 sin100 + cos100 = 1，即 cos100
cosα 2sin 400 = 1 ，所以 cosα = cos100 = sin 800 = 2sin 400 cos 400 = cos 400 ，
4
4
4
4
4
4
4
4
长沙市 2020 届高三年级统一模拟考试
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1．D
解析：∵ 2x−1 > 1,∴ x > 1，又 x2 − 2x ≤ 0 ，则 0 ≤ x ≤ 2 ，∴ A I B = (1, 2] ，故选 D.
当 a =1 时， b = 4 ，由余弦定理得 c2 = a2 + b2 − 2ab cos C = 13, c = 13 ，
（7 分）
所以周长为 5 + 13 .
（9 分）
当 a = 2 时，b = 2 ，由余弦定理得 c2=a2 +b2−2ab cos C=4, c=2 ，所以周长为 6 .（11 分）
12
π + ϕ = kπ + π ,ϕ = kπ + π (k ∈ Z ), 当ϕ 取最小值时ϕ = π ，
6
2
3
3
f
(
x)
=
2
sin
⎛ ⎜⎝
2
x
+
π 3
⎞ ⎟⎠
，
Q
x0
∈
⎛ ⎜⎝
0,
π 2
⎞ ⎟⎠
,∴
2
x0
+
π 3
∈
⎛ ⎜⎝
π 3
,
4π 3
⎞ ⎟⎠
，
( −
3
<
2 sin
⎛ ⎜⎝
2x
+
π 3
⎞ ⎟⎠
2x +1 − log2
2−x +1
=
log2
2x +1 2−x +1
=
x
，由
x
的任意性，可得 a
=
1 2
14.3
解析：由题意可知等比数列的公比 q ≠ 1，否则 S3 ， S9 ， S6 不成等差数列，
( ) ( ) ( ) 于是
2S9
=
S3
+
S6
⇒
2a1 1 − q9 1− q
=
a1
1− q3 1− q
≥
0
，即
ab
≥
1 2
，
故 ab 最小值为 1 ．故选 B 2
12．B
解析：直线
AB
的方程为
y
=
−
a b
(
x
−
c
)
.令
x
=
0
，得
C
⎛ ⎜⎝
0,
ac b
⎞ ⎟⎠
.由
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
y y
= =
−
b a
a b
x
(
x
−
c
)
解得
⎛ B⎜
⎝
a2 c
,
ab c
⎞ ⎟
，.由
⎧⎪ ⎨
y
⎠
⎪⎩ y
= =
−
a b
−
b a
( x − c)
（2 分）
则有
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ a
2
ac = 2
c=1 a2 = b2 +
c2
⇒
a
=
2,
（2 分）
即 sin 2C = 2sin C cosC = sin C .
（3 分）
因为 sin C ≠ 0 ，所以 cos C = 1 ， 2
因为 0 < C < π ，所以 C = π 3
（4 分） （5 分）
（Ⅱ）由
SΔABC
=
1 2
absin C
=
3 ，可得 ab = 4 .
（6 分）
因为 2a + b = 6 ，所以 2a + 4 = 6 ，解得 a =1 或 2 a
所以 SΔPBD
=
1 2
×
8
×
2
11 = 8
11 ，
因 A 为 DC 的中点，所以VP−ABC
=
1 2
VP−CBD
=
1 2
VC
−−
PBD
=
1 2
×
1 3
×
8
11 × 6 = 8
11 ，
所以VP−ABC = 8 11 .
三、解答题：本大题共 7 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
≤
2
，即
a
的取值范围是
−
3, 2⎤⎦ .
16． 8 11
解析：如图，延长 CA 至 D ，使得 AD = 6 ，连接 DB, PD ，
数学（理科）参考答案第 3 页 共 8 页
4
因为 AD = AB = 6 ，故 ΔADB 为等腰三角形，
又
∠DAB
=
180°
−
∠CAB
=
120°
，故
∠ADB
=
1 2
( ) ( ) 则 B1 (0,1, 0),C (0, −1, 0), A1 − 3,1, 3 ,C1 − 3, 0, 0 ，
而则则设uAu1u平平Bc⎧⎪⎨⎪⎩uro1nunuu面面r1sur=1⋅⋅u(AnuBuABur11u1u1B,BuBCu3nuu1r11urC1,r2C=01=1C,=−的−3的nnuu一xrr3311一−)⋅x个,nnuu−个uuuBrr22u法31yuC法z=u向r=1=向=01量05(量，−为=为可n3u5ur1得nu5, u−=r2，1nu=(,ur1x0(,=)0y,，(,01z,,)1−)，，3,1) ，
综上，△ABC 的周长为 6 或 5 + 13 .
（12 分）
18．（本小题满分 12 分）. 解析：（Ⅰ）证明： ∵ 四边形 BB1C1C 是菱形， ∴ B1C ⊥ BC1 ，
Q AB ⊥ B1C, AB I BC1 = B ， ∴ B1C ⊥ 平面ABC1 ， ∴ B1C ⊥ AO ，
数学（理科）参考答案第 4 页 共 8 页
2
得
a = ( 1 )k −2 2
,
b=log2
k
。
当Байду номын сангаас
k=4
时,
a
=
1 4
, b = 2,
ab=
1 2
。
( ) 考虑
ab−
1 2
=(
12)k−2×log2
k
−
1 2
=(
1 ) k −2 2
log2 k−2k−3
。
由图（2）可知，当 k ∈ (2, 4] 时，
log2
k
−
2k −3
≥
0
，所以
ab
−
1 2
所以 V三棱锥P −CBD
= V三棱锥C −PBD
=
1 3
×
CB
×
SΔPBD
，
因为 DA = AC = AP = 6 ，故 ΔPDC 为直角三角形，
所以 PD = CD2 − PC2 = 144 − 100 = 2 11 ，
又 DB = 3AD = 6 3 ，而 PB = 8 ，
故 DB2 = PD2 + PB2 ，即 ΔPBD 为直角三角形，
cos100
2sin 400 2sin 400
2sin 400
又α 为锐角，故α = 400 ，选 B
8．D
解析： ΔPEF2 的周长为 PE + PF2 + EF2 = PE + 2a − PF1 + EF2 = 2a + EF2 + PE − PF1
≥ 2a + EF2 − EF1 = 2a = 3b ,
6
| FC | 3
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．
1 2
解析：因 f ( x) 是偶函数，故 f (−x)= f (x) ，
( ) ( ) 即 −ax−log2 2−x +1 +cos(−x) = ax−log2 2x +1 +cos x ，
( ) ( ) ∴2ax = log2
（8分）
（9分） （10分） （11分）
∴二面角 A1− B1C1 − B 的余弦值的大小为 −
5. 5
（12分）
19.（本小题满分 12 分）
湖南省长沙市2020届高三12月联考数学(理)试题 Word版含答案
湖南省长沙市2017届高三12月联考数学（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题） 全卷满分150分，考试用时120分钟第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{|A x x =≥2}，1{|0}4x B x x -=>-，则A B =（ ） A ．∅ B ．[2,4)C ．[2,)+∞D ．(4,)+∞（2）已知复数z 满足11zi z-=+，则||z =（ ） A ．1BC ． 2D．（3）已知数列{}n a 的前n 项和nn S Aq B =+(0)q ≠，则“A B =-”是“数列{}n a 是等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分且不必要条件（4）在矩形ABCD 中，2AB AD =，在CD 上任取一点P ，ABP ∆的最大边是AB 的概率是（ ）AB ．C1 D1（5）如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）正视图侧视图俯视图A BCD PA ．272π B ． 27π C．D（6）若变量,x y 满足约束条件4400y x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值是__ __．A ．4B ．6C ．8D ．12（7）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，过点1F 且与x 垂直的直线与双曲线左支交于点,M N ，已知2MF N ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） AB ．2C．1D．2（8）ABC ∆是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则向量a ，b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．150 （9）执行如图所示程序框图，若输出的S 值为20-，则条件框内应填写（ ） A ．3?i > B ．4?i < C ．4?i > D ．5?i <（10）等差数列{}n a 的前n 和为n S ，且1a ＜0，若存在自然数m ≥3，使得m m a S =，则当n ＞m 时，n S 与n a 的大小关系是（ ）A ．n S ＜n aB ．n S ≤n aC ．n S ＞n aD ．大小不能确定（11）已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图，则20161()6n n f π==∑（ ） A ．1- B ．0 C ．12D ．1（12）已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A．⎛-∞ ⎝ B．(-∞C．⎛ ⎝ D．⎛ ⎝第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）已知直线:0l mx y ++=与圆22(1)2x y ++=相交，弦长为2，则m =________． （14）在5(21)(1)x x +-的展开式中含3x 项的系数是___________（用数字作答）． （15）有共同底边的等边三角形ABC 和BCD 所在平面互相垂直，则异面直线AB 和CD 所 成角的余弦值为___________．（16）有一支队伍长L 米，以一定的速度匀速前进．排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，6π 512π 1-1到达排头后立即返回，且往返速度不变．如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L 米，则传令兵所走的路程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，且cos sin 0a C C b c --= （I ）求A ；（II ）若AD 为BC 边上的中线，1cos 7B =，2AD =，求ABC ∆的面积．（18）（本小题满分12分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A 县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．（I ）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，求X 的数学期望；（II ）已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进ABD行收购．经测算以每千瓦装机容量年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==BC =2PA =．（I ）求证：AB PC ⊥；（II ）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．PBCDMA（20）（本小题满分12分）如图，设点,A B的坐标分别为(0)，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-． （I ）求点P 的轨迹方程；（II ）设点P 的轨迹为C ，点M 、N 是轨迹为C 上不同于,A B 的两点，且满足//AP OM ，//BP ON ，求证：MON ∆的面积为定值．（21）（本小题满分12分），函数31()||3f x x x a =+-（x R ∈，a R ∈）． （I ）若函数()f x 在R 上为增函数，求a 的取值范围； （II ）若函数()f x 在R 上不单调时：（i ）记()f x 在[1,1]-上的最大值、最小值分别为()M a 、()m a ，求()()M a m a -； （ii ）设b R ∈，若2|()|3f x b +≤对[1,1]x ∀∈-恒成立，求a b -的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分． （22）（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A 、B ．（I ）若3πα=，求线段AB 的中点的直角坐标；（II ）若直线l 的斜率为2，且过已知点(3,0)P ，求||||PA PB ⋅的值．（23）（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数()|||3|f x x a x =-+-（3a <）． （I ）若不等式()4f x ≥的解集为1{|2x x ≤或9}2x ≥，求a 的值． （II ）若对x R ∀∈，()|3|1f x x +-≥，求实数a 的取值范围．数学（理科）参考答案1．命题依据：以一元二次、一元一次不等式的解法切入，然后考查集合的交并运算． 答案：D ．2．命题依据：考查复数代数形式及其乘法、除法、模运算． 答案：A ．1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===-++-．，故选A ． 3．命题依据：具体情境中识别数列的性质，充分条件与必要条件．答案：B ．若0A B ==，则0n S =，故数列{}n a 不是等比数列；若数列{}n a 是等比数列，则1a A q B =+，22a Aq Aq =-，323a Aq Aq =-，由3221a a a a =，得A B =-．选B ．4．命题依据：几何概型．答案：D ．分别以A 、B 为圆心，AB 为半径作弧，交CD 于1P 、2P ，则当P 在线段12P P 间运动时，能使得ABP ∆的最大边是AB，易得121PP CD=，即ABP ∆的最大边是AB1．5．命题依据：由三视图认识空间几何体的结构特征，球的表面积计算．答案：B ．由三视图可知，该几何体是一个正方体切割成的一个四棱锥，则该几何体的外接球的半径为2，从而计算得表面积为24()272ππ=．故选B ． 6．命题依据：线性规划的应用．答案：B ．作出可行域为开放区域，2z x y =+在直线40x y +-=与直线0x y -=的交点(2,2)处取得最小值6．故选B ．7．命题依据：双曲线的标准方程及简单几何性质，离心率求解．答案：C ．由已知22b c a=，即2220c ac a --=，得2210e e --=，解得1e =故选C ．8．命题依据：平面向量基本定理，向量的数量积运算． 答案：C ．易得120． 9．命题依据：算法，程序框图． 答案：D ．ABD PCP 1 P 210．命题依据：等差数列的性质，等差数列的单调性答案：C ．若1a ＜0，存在自然数m ≥3，使得m m a S =，则0d >．因为若d ＜0，则数列是递减数列，则m m S a <，不会有m m a S =．由于1a ＜0，0d >，当m ≥3，有m m a S =，则0m a >，0m S >，而1n m m n S S a a +=+++，显然n n S a >．故选C ．11．命题依据：()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．答案：B ．易得2ω=，由五点法作图可知262ππϕ⨯+=，得6πϕ=．即()sin(2)6f x x π=+．故()16f π=，21()62f π=，31()62f π=-，4()16f π=-，51()62f π=-，61()62f π=，201611111()336(11)062222n n f π==⨯+---+=∑．故选B ． 12．命题依据：函数的零点、方程的根的关系．答案：B ．由题意得即方程()221ln 2x x e x x a -+-=++有正根，即()1ln 2x e x a --=+有正根， 作函数12x y e -=-与()ln y x a =+的图象，则可知0x =时，()1ln 2x a +<故a <B ．13．命题依据：直线方程，圆的方程，直线与圆的位置关系．答案：3m =．由已知可得圆心(1,0)-到直线的距离为d =，所以212+=，解得3m =． 14．命题依据：二项式定理的应用．答案：223355(1)2(1)10C C -+-=-．15．命题依据：线线角，面面垂直．答案：14． 16．命题依据：数学应用，数学建模．答案：(1L +．思路一：设传令兵的速度为v '，队伍行进速度为v ，则传令兵从队尾到排头的时间为L v v '-，从排头到队尾的时间为L v v '+，往返共用时间为L Lt v v v v=+''-+，则传令兵往返路程S v t '=．由于传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L 米，则L vt =．故22()2t v v v L ''-=，可得222()2t v v v tL ''-=．即22()2()0v t L v t L ''--=，解得(1v t L '=+，传令兵所走的路程为(1L ． 思路二：设传令兵的速度为v '，队伍行进速度为v ，则传令兵从队尾到排头的时间为L v v '-，从排头到队尾的时间为Lv v '+，则易得 L L Lv v v v v +=''-+，化简得222v v v v ''-=，得1v v'=，由于队伍与传令兵行进时间相等，故传令兵所走路程为(1L +．17．命题依据：三解形中的恒等变换，正、余弦定理．【分析】（I ）利用正弦定理将边的关系化为角的关系，利用三角恒等变换求出B 值． （II ）先根据两角和差的正弦公式求出sin C ，再根据正弦定理得到边长,,a b c 的比值关系，再在ABD ∆或ACD 利用余弦定理可求,b c 的值，再由三角形面积公式可求结果．【解答】（I ）因为cos sin 0a C C b c --= ，由正弦定理得：sin cos sin sin sin A C A C B C +=+，即sin cos sin sin()sin A C A C A C C +=++，……3分cos 1A A -=，所以1sin(30)2A ︒-=．……5分 在ABC ∆中，0180A ︒︒<<，所以3030A ︒︒-=，得60A ︒=．……6分（II ）在ABC ∆中，1cos 7B =，得sin B =．……7分则11sin sin()72C A B =+=+=8分 由正弦定理得sin 7sin 5a A c C ==．……9分 设7a x =，5c x =，在ABD ∆中，由余弦定理得： 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =， 即7,5a c ==，……11分故1sin 2ABC S ac B ∆==．……12分18．命题依据：统计与概率，离散型随机变量的期望，统计思想的应用．数学抽象与应用意识．解：（I ）记在该县山区居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A ．由抽样可知， 3()5P A =．……3分 由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X 服从二项分布，即3~(10,)5X B ，故3()1065E X =⨯=．……6分（II ）设该县山区居民户年均用电量为()E Y ，由抽样可得51510155()1003005007009005005050505050E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（度）……10分 则该自然村年均用电约150000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度，能为该村创造直接收益120000元．……12分19．命题依据：垂直的判定与证明，空间角的求解，空间向量的应用． 【分析】（I ）利用几何图形的特点，将空间问题平面化后，找出垂直关系，进行证明； （II ）假设存在点M ，利用二面角M AC D --的大小为45确定点M 的位置，再利用平面MAC 的法向量求线面角． 【解答】（I ）如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由已知AD CD ==BC =可得ABC ∆是等腰直角三角形，即AB AC ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥， 所以AB ⊥平面PAC ， 所以AB PC ⊥．……4分 （II ）存在．法一：（猜证法）观察图形特点，点M 可能是线段PD 的中点．下面证明当M 是线段PD 的中点时，二面角M AC D --的大小为45．……5分过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，则MN ⊥平面ABCD ． 过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则M G N ∠是二面角M AC D --的平面角．因为M 是线段PD 的中点，则1MN =，A DBCAN =在四边形ABCD 求得1NG =，则45MGN ∠=．……8分在三棱锥M ABC -中，可得13M ABC ABC V S MN -∆=⋅， 设点B 到平面MAC 的距离是h ，13B MAC MAC V S h -∆=⋅，则ABC MAC S MN S h ∆∆⋅=⋅，解得h =．……10分 在Rt BMN ∆中，可得BM =．设BM 与平面MAC 所成的角为θ，则sin h BM θ==．……12分 法二：（作图法）过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，则MN ⊥平面ABCD ．过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则MGN ∠是二面角M AC D --的平面角． 若45MGN ∠=，则NG MN =，又AN ==，易求得1MN =．即M 是线段PD 的中点．……8分 （以下同解法一） 法三：（向量计算法）建立如图所示空间直角坐标系．则(0,0,0)A，C，(0,D ，(0,0,2)P，B，(0,2)PD =-．设PM tPD =（01t ≤≤），则M的坐标为(0,,22)t -．……6分 设(,,)n x y z =是平面AMC 的一个法向量，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0(22)0t z ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，则可取(1,1,)1n t =--．……8分 又(0,0,1)m =是平面ACD 的一个法向量，所以|||||cos ,|cos 45||||m n m n mn ⋅<>===解得12t =．即点M 是线段PD 的中点．……10分 此时平面AMC 的一个法向量可取(1,n =-，(BM =-．BM 与平面MAC 所成的角为θ，则sin |cos ,|n BM θ=<>=．……12分20．命题依据：椭圆的方程、轨迹的求解，解析几何中的定值问题，运算能力。
2020届长沙市一中高三第2次月考试卷-理数答案
依据正弦定理+: /&(0"-/&)0% $0124-/&0"010212%"-01/2&0%%012"
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三解答题
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炎德英才大联考长沙市一中届高三月考试卷!二"
数学理科参考答案
选择题
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湖南四大名校内部资料2020届高三统考参考答案(理科数学)
数学(理科)参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
C
D
C
A
B
D
C
C
B
B
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.【解析】(Ⅰ)由正弦定理得
因为
所以
即
因为
所以
因为
所以
(Ⅱ)由 ，可得
因为
所以
解得 或当 时，源自由余弦定理得 ，所以周长为
当 时，
综上，实数 的取值范围为
(2)当 时
由(1)可知 的极大值点为 ，极小值点为
此时 ，
依题意得 对任意 恒成立
由于此时
所以
所以
即
设 ， ，则
令 (*)，判别式
①当 ，
所以 ， 在 单调递增
所以
即 ，符合题意
②当 时， ，设(*)的两根为 ， ，且
则 ， ，因此
则当 时， ， 在 单调递减
所以当 时，
即
所以抽取的 辆汽车中有 辆是蓝颜色汽车的概率
(Ⅱ) 的可能取值为：
， ， ，……， ，
所以 的分布列为：
0
1
2
……
……
的数学期望为：
(1)
(2)
(1)-(2)得：
所以
21.【解析】(1)由 得
即
由题意，若 存在极大值和极小值，则 必有两个不相等的实数根
由 得
所以 必有一个非零实数根
∴ ，
∴ 且
2024学年湖南省长沙市长郡湘府中学高三5月份综合模拟检测试题数学试题
2024学年湖南省长沙市长郡湘府中学高三5月份综合模拟检测试题数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2CD2．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．2D3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A ．48B ．36C ．42D ．314．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．45．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月6．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．7．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6iB ．6i -C ．6-D ．68．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人 9．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -11．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a bc-=（ ） A ．32B ．12C ．14D ．1812．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．72二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届湖南省长沙市明达中学高三(高复部)第二次模拟考试理科数学试题
（2）当 时，求 的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ值范围.
23．已知函数 ，记 的最小值为 .
（1）解不等式 ；
（2）是否存在正数 ,同时满足： ？并说明理由.
参考答案
1．A
【分析】
计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
A． B．
C． D．
10．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，sinAsinC＝ ，则角C=（）
A．C＝15°或C＝45°B．C＝15°或C＝30°
C．C＝60°或C＝45°D．C＝30°或C＝60°
11．设点 、 均在双曲线 上运动， 、 是双曲线 的左、右焦点，则 的最小值为（）
（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？
A． B．4C． D．以上都不对
12．已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线 的焦点，点 在抛物线 上.在 中，若 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设函数 （ ），将 图像向左平移 单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，则 ．
14．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2021年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年
湖南省天壹名校联盟2020届高三12月大联考数学(理)试题答案
理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DADCBBABACBC1.D 解析：A ＝[－1，2]，B ＝[1，2]，A ∩B ＝[1，2]．2.A 解析：a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝1－2×12＝0，故选A ．3.D 解析：A 不单调，B 单调递减，C 是偶函数，D 满足条件．4.C 解析：z ＝1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）2＝－1＋2i ，故选C.5．B 解析：由题意可知m 天后剩下的线段的长度为(12)m ，则(12)m <1100，解得m ≥7，故选B.6．B 解析：由线面间的位置关系易知选B.7．A解析：由已知綈p ：∃x 0∈(－1，1)，f (x 0)＝0为真命题．∵f (x )为增函数，∴f (－1)f (1)＜0，1e－1＜a ＜1＋e ，a ＝0，1，2，3，故选A.8．B 解析：x ＝2020，x ＝2018，x ＝2016，…，x ＝0，x ＝－2，y ＝m 2＋m ＝12，m ＝3，故选B.9．A 解析：设一条渐近线方程为y ＝kx ，则|3k |k 2＋1＝2，解得k 2＝45，∴b 2a 2＝45，c 2a 2＝95，e ＝355.10.C解析：由已知得ω＝2，x ＝φ是f (x )的一条对称轴，且使f (x )取得最值，则3φ＝k π，φ＝π3，f (x )＝cos(2x ＋π3)＝cos[2(x ＋5π12)－π2]，g (x )＝sin2x ＝cos(2x －π2)，故选C ．11.B解析：由已知得直线l 的方程为：y －e x 1－a ＝e x 1－a (x －x 1)，y －x 2＝12x 2(x －x 2)，∴x 1－a ＝12x 2x 1－a （1－x 1）＝x 22，消去e x 1－a整理得x 1＋x 2＝1.12．C解析：如图，EC ＝PE ＝PC ＝332，∴PA ＝PB ＝3，设△PAB 与△ABC 的中心分别为G ，H ，过G ，H 分别作面PAB 与面ABC 的垂线交于点O ，则O 是外接球的球心，连接OE ，则∠OEH ＝30°.∵EH ＝32，∴OE ＝1，R ＝OB ＝OE 2＋BE 2＝132，S ＝4πR 2＝13π.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.314.415.－3016.713．3解析：作出可行域知z ＝2x －y 在点(3，3)处取得最大值3.14．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知可得a 1＝9d ，∴a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝（n +8）d .∵a k 是a 1与a 2k 的等比中项，∴a k 2＝a 1a 2k ，即（k +8）2d 2＝9d •（2k +8）d ，化简得k 2﹣2k ﹣8＝0，解得k ＝4（﹣2舍去）.15－30解析：(1＋2x －x )5表示5个因式(1＋2x－x )的乘积，有2个因式都选－x ，其余的3个因式都选1，相乘可得含x 2的项，或者有3个因式选－x ，有1个因式选1x，1个因式选1，相乘可得含x 2的项，故x 2项的系数为C 25＋(－C 35·C 12·2)＝－30.(或将括号里面2项组合起来展开考虑)16.7解析：注意到l 1的倾斜角为30°，如图，设A 在l 2上的射影为M ，A 在l 1上的射影为N .∵AM ＝AF ，∴当A ，F ，N 三点共线时，d 1＋d 2取得最小值，此时AN 与AM 夹角为60°，d 1＝2d 2，∴N 在l 2上，FA ：y ＝－3(x －1)，N (－1，23)，代入l 1解得b ＝7.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解析：(1)由余弦定理得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，∴sin A sin B ＝2ac cos B c 2＝2sin A cos B sin C ，∴sin2B ＝sin C ，2B ＝C 或2B ＝π－C ，由2B ＝π－C 得A ＝B ，不符合条件，∴C ＝2B .(5分)(2)由(1)及正弦定理得323＝sin B sin C ＝sin B 2sin B cos B ，∴cos B ＝33＝a 2＋12－92a ·23，解得a ＝1或3(舍)，∴S △ABC ＝12×1×23×63＝ 2.(12分)18．解析：(1)连接A 1C 交AC 1于点O ，连接OD ，则平面A 1BC ∩平面ADC 1＝OD ，∵A 1B ∥平面ADC 1，∴A 1B ∥OD ，∵O 为A 1C 的中点，∴D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∵B 1D ⊥平面ABC ，∴AD ⊥B 1D ，∵BC ∩B 1D ＝D ，∴AD ⊥平面BCC 1B 1，∵AD ⊂平面ADC 1，∴平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1.(6分)(2)建立如图所示空间直角坐标系D xyz ，设AB ＝2，则B (－1，0，0)，A (0，3，0)，B 1(0，0，3)，C 1(2，0，3)，∴BA →＝(1，3，0)，DA →＝(0，3，0)，DC 1→＝(2，0，3)，设平面ADC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )＝0＋3z ＝0，取x ＝－3得n ＝(－3，0，2)，∴|cos<BA →，n >|＝|－32×7|＝2114，即直线AB 与平面ADC 1所成角的正弦值为2114.(12分)19．解析：(1)由y －＝1661ii y=∑＝60得16×(70＋65＋62＋59＋56＋t )＝60，解得t ＝48，∴621ii x=∑＝32＋42＋52＋62＋72＋82＝199，n x －2＝6×5.52＝181.5，代入可得b ^＝1910－1980199－181.5＝－7017.5＝－4，a ^＝y －－b ^x －＝60－(－4)×5.5＝82，∴所求的线性回归方程为y ^＝－4x ＋82.(5分)(2)利用(1)中所求的线性回归方程y ^＝－4x ＋82可得，当x 1＝3时，y ^1＝70；当x 2＝4时，y ^2＝66；当x 3＝5时，y ^3＝62；当x 4＝6时，y ^4＝58；当x 5＝7时，y ^5＝54；当x 6＝8时，y ^6＝50；与销售数据对比可知满足|y ^i －y i |≤1的共有4个“好数据”：(3，70)、(4，65)、(5，62)、(6，59)，由题意知X 的可能取值为1，2，3，P (X ＝1)＝C 22·C 14C 36＝15，P (X ＝2)＝C 12·C 24C 36＝35，P (X ＝3)＝C 02·C 34C 36＝15.∴X 的分布列为X 123P153515数学期望EX ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.(12分)20．解析：(1)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由已知得c a ＝22，∴a 2＝2b 2，椭圆C ：x 2＋2y 2＝2b 2，代入直线l 方程整理得(m 2＋2)y 2＋2my ＋1－2b 2＝0，∴y 1＋y 2＝－2m m 2＋2＝－252，y 1y 2＝1－2b 2m 2＋2＝25(1－2b 2)，x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝25(2－b 2)，∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，解得b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(6分)(2)由(1)知Q (x 2，－y 2)，k PM ＝y 1x 1－2，k PQ ＝－y 2x 2－2，∴k PM －k PQ ＝y 1x 1－2－－y 2x 2－2＝y 1（x 2－2）＋y 2（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2），∵y 1(x 2－2)＋y 2(x 1－2)＝y 1(my 2－1)＋y 2(my 1－1)＝2my 1y 2－(y 1＋y 2)＝0，∴k PM ＝k PQ ，∴P 、M 、Q 三点共线．(12分)21．解析：(1)f ′(x )＝2ln x ＋2－a ，由f ′(x )＝0得x ＝e a －22，当x ＞ea －22时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜ea －22时，f ′(x )＜0，∴f (x )在x ＝e a －22处取得最小值f (ea －22)＝1－2e a －22＜0，解得a ＞2－2ln2.∵e a2>ea －22，f (e a 2)＝1>0，∴f (x )在(e a －22，＋∞)上有1个零点；∵a >2－2ln2，∴14a <12<e a －22，f (14a )＝14a (2ln 14a －a )＋1，令14a ＝t ∈(0，12)，则f (t )＝t (2ln t －14t )＋1，f ′(t )＝2(ln t ＋1)，∴f (t )≥f (1e )＝34－2e>0，∴f (14a )>0，∴f (x )在(14a，e a －22)上有1个零点，综上，a 的取值范围是(2－2ln2，＋∞)．(6分)（分参数形结合可酌情给分）(2)由f (x )＝0得2ln x ＋1x ＝a ，令g (x )＝2ln x ＋1x，则x 1，x 2是y ＝g (x )与y ＝a 交点横坐标．g ′(x )＝2x －1x 2＝2x －1x 2，当0＜x ＜12时，g ′(x )＜0，g (x )在(0，12)上是减函数，在(12，＋∞)上是增函数，∴g (x )在x ＝12处取得最小值，∴0＜x 1＜12＜x 2，设h (x )＝g (x )－g (14x )(x ＞12)，∴h ′(x )＝－（2x －1）2x 2＜0，h (x )是减函数，∴h (x )＜h (12)＝0，∴g (x )＜g (14x )，∵x 2＞12，∴g (x 1)＝g (x 2)＜g (14x 2)，∵x 1、14x 2∈(0，12)，g (x )在(0，12)上递减，∴x 1＞14x 2，即4x 1x 2＞1.(12分)22．解析：(1)由ρ2＋42ρcos(θ－π4)－8＝0得ρ2＋4ρcos θ＋4ρsin θ－8＝0，∴x 2＋y 2＋4x ＋4y －8＝0，∴曲线C 的直角坐标方程为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16.(4分)(2)将直线l 的参数方程代入C 方程整理得t 2＋2t (sin α＋cos α)－14＝0，t 1＋t 2＝－2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－14＜0，∴||PA |－|PB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝22|sin(α＋π4)|，∵0≤α＜π，∴π4≤α＋π4<5π4，－22<sin(α＋π4)≤1，∴||PA |－|PB ||的取值范围是[0，22]．(10分)23．解析：(1)当x ＞4时，x ＋2＋x －4≤2x ，恒成立，此时x ＞4；当x ＜－2时，－x －2－x ＋4≤2x ，解得x ≥12，此时无解；当－2≤x ≤4时，x ＋2－x ＋4≤2x ，解得x ≥3，此时3≤x ≤4，综上，不等式的解集是[3，＋∞)．(5分)(2)由f (x )≥k |x －1|得|x ＋2|＋|x －4|≥k |x －1|，当x ＝1时，6≥0恒成立，此时k ∈R ，当x ≠1时，k ≤|x ＋2|＋|x －4||x －1|＝|x －1＋3|＋|x －1－3||x －1|＝|1＋3x －1|＋|1－3x －1|，又|1＋3x －1|＋|1－3x －1|≥2，∴k ≤2，综上，k 的取值范围是(－∞，2]．(10分)。
2020届湖南师大附中高三第二次调研考试数学(理)试题
2020届湖南师大附中高三第二次调研考试理科数学 ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}2230U x Z x x =∈--≤，{0,1,2}A =，则U C A =A ．{1,3}-B ．{1,0}-C ．{0,3}D ．{1,0,3}- 2．若复数3iz i-=，则z 的虚部为（ ） A ．3iB ．3-C ．3D ．3i -3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A ．8种B ．10种C ．9种D ．12种4、设实数,x y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．32-B ．2-C ．2D ．35．已知1sin(),63πα-=则cos(2)3πα-=（ ）A ．79-B ．429C ．79D ．429-6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．307．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ． 5B ．5C ．54D ．528．已知函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()3f x π的图象向左平移个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ=（ ）A ．6π B ．6π- C ．3π D ．3π- 9．已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()0f x a +=有两个不相等的实根，则a 的取值范围是( )A ．1a >-B ．11a -<<C ．01a <≤D ．1a < 10．已知直线1y kx =+与曲线ln y x =相切，则k =（ ）A ．2e B ．1e C ．e D ． 21e11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413 B ．21313 C ．926D ．3132612．如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，平面α垂直于对角线AC ，且平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形，记此截面六边形的面积为S ，周长为l ，则（ ）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S ，l 均不为定值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13．已知向量(1,2),(4,)a b k ==，若()()23a b a b +-‖，则k = _. 14．在381()2x x-的展开式中，4x 的系数为 _. 15．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,D E 两点，已知42,25AB DE ==，则C 的焦点到准线的距离为 _.16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为 ,,a b c .若cos cos 2cos b C c B b B += ,且3,2b c ==，则ABC ∆ 的面积是 _.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分) 已知数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，且121,6,a a +成等比数列，0().n a n N *>∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是,AD CD 的中点.(Ⅰ)证明：BD ⊥平面PEF(Ⅱ)若060BAD ∠=，求二面角B PD A --的余弦值19. （本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，,A B 为椭圆C 上位于x 轴同侧的两点，12AF F ∆的周长为6，12F AF ∠的最大值为3π. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若1221AF F BF F π∠+∠=，求四边形12AF F B 面积的取值范围.20. （本小题满分12分）2019年某饮料公司计划从,A B 两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对,A B 两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图.从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在[)060，的受访者中有20%会购买，评分在[)6080，的受访者中有60%会购买，评分在[]80100，的受访者中有90%会购买.(Ⅰ)在受访的100万人中，求对A 款饮料评分在60分以下的人数（单位：万人）； (Ⅱ)现从受访者中随机抽取1人进行调查，试估计该受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性的概率；(Ⅲ)如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你的理由.21. （本小题满分12分） 已知函数()1ln ()x f x ex mx m R -=+-∈的导函数为()f x '.(Ⅰ)当0m =时，求()f x '的最小值；(Ⅱ)若函数()f x 存在极值，试比较,mee m 的大小，并说明理由.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数).在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 极坐标方程为24sin 3ρρθ=-.(Ⅰ)写出曲线1C 和2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若P Q ，分别为曲线1C ，2C 上的动点，求PQ 的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数()21f x x a x =++-，其中a R ∈. (Ⅰ)当3a =时,求不等式()6f x <的解集； (Ⅱ)若()()5f x f x +-≥，求a 的取值范围.参考答案一、选择题 ABDD, CCAB, CDAB 二、填空题 8，74-，4，352三、解答题17、解：（1）由2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为 2 的等差数列，得1+1112(1),2(1)222n n n n n a a n a a n -=+-=+-……1分 所以213128,432,a a a a =+=+……………2分由121,6,a a +成等比数列，得11(1)(28)36a a ++=，……………3分 所以112,7.4a a ==-或分因为0n a > 所以11112.2(1)2(21)26n n nn a a a n n -+==+-=-分（2）23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯++- 23412123252(21)27n n S n +=⨯+⨯+⨯++-分两式相减，得23114(12)-12222222(21)22(21)21012n n n n n S n n ++-=⨯+⨯+⨯++⨯--=-+---分所以n 112+41-2)(21)26(23)212n n n S n n ++=+-=+-（分18、解：（1）连结AC.,PA PD =且E 是AD 的中点，.1PE AD ∴⊥分,PAD ABCD PAD ABCD AD ⊥=平面平面平面平面.2PE ABCD ∴⊥平面分..3BD ABCD BD PE ⊂∴⊥平面分又ABCD 为菱形,且E,F 为棱的中点,,EFAC BD AC ∴⊥4BD EF∴⊥分又,,,BD PE PEEF E PE EF ⊥=⊂平面PEF.BD ∴⊥平面.6PEF 分(2)四边形ABCD 为菱形，且60,BAD EB AD ∠=∴⊥,分别以EA,EB,EP 所在直线为x 轴,y 轴, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Exyz .……7分设AD=1,则1,0,0,0,,0,0,222D B P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 设平面PBD 的一个法向量为(,,)n x y z =由00n DB n DP ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩得0x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,令x =得(3,1,1).9n =--分.取平面APD 的一个法向量为(0,1,0).10m =分cos ,11m n ∴==分二面角B-PD-A 为锐二面角∴二面角B-PD-A 12分19. 解：()I 12AF F ∆的周长为6，226a c ∴+=，即3a c +=①1分当A 为椭圆C 的上下顶点时，12F AF ∠最大为3π，此时12AF F ∆为等边三角形，2a c =②3分由①②及222a bc =+,解得2,1a b c ===，∴椭圆C 的方程为22143x y +=……4分 ()122112II ,//AF F BF F AF BF π∠+∠=∴5分延长1AF 交椭圆C 于点A ',由()I 知()121,0,(1,0)F F -,设()1122,,(,)A x y A x y '， 直线AA '的方程为1x ty =-，联立方程221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 并整理得 ()2234690ty ty +--=6分12122269,3434t y y y y t t ∴+==-++7分设1AF 与2BF 的距离为d ,则四边形12AF F B 面积21211(||||)(||)22F AA S AF BF d AA d S '∆'=+==8分12121221||||||234S F F y y y y t ∴=-=-==+10分令m =1m ≥，21212=1313m S m m m∴=++ 函数()S m 在[1,)+∞上单调递减，(03]S ∴∈， 故四边形12AF F B 面积的取值范围是(03]，12分20解：()I 由对A 款饮料的评分饼状图，得对A 款饮料评分在60分以下的频率为0.05+0.15=0.22分∴对A 款饮料评分在60分以下的人数为1000.2=20⨯（万人）4分()II 设受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性为事件C 。
全国卷Ⅲ2020届高三高考压轴卷数学试题(理科)(含解析)
1.已知集合 A = {x (x +1)(x − 4) ≤ 0}， B = {x log2 x ≤ 2} ，则 A ∩ B = （ ）
A. [− 2 , 4 ]
B. [1,+∞)
C. (0,4]
D.[−2, +∞)
2.若复数 z 满足 z(1−i)2 = i （i 是虚数单位），则 z 为（ ）
b = 2×1 = 2
成 a < b 不 立
n =1+1= 2
a = 9 + 1 × 9 = 27 2 22 4
b = 2×2 = 4
成 a < b 不 立
n = 2+1= 3
a = 27 + 1 × 27 = 81 4 24 8
b = 2×4 =8
成 a < b 不 立
n = 3+1= 4
8 / 18
x≥ 0，
14．已知
，x y
满足Βιβλιοθήκη x+y
≥
4，若
x
+
2
y
的最小值为_________．
≤ x − 2 y 1.
．D [−1, 1] 3
15.已知 线 与 有 的 ， 是两 抛物
y2 = 2 px( p > 0)
椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
>
0)
相同 焦点 F
P
曲
线的公共点，若
PF
=
5
，则此 的 为 . p
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。
2020届高三高中毕业生五月质量检测数学(理科)试卷(含答案)
2020届高中毕业生五月质量检测理科数学 2020.5.25 本试卷共5页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足，i i i z +=++12，则复数z= A ．2+i B ．1 +2i C ．3 +i D ．3-2i2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=031x x x A ，{}2<=x x B ，则A∩B= A ．{}12<<-x x B ．{}23<<-x x C ．{}12≤<-x x D ．{}12≤≤-x x3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，02432=++a a a ，则5S =A ．2B ．0C ． -2D ． -44．若某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为A ．2B ．4C ．24D ．D ．34 5．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ，若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在),0(+∞内取值的概率为A ．0.9B ．0.1C ．0.5D ．0.46．已知函数)22)(3cos()(πϕπϕ<<-+=x x f 图象关于直线185π=x 对称，则函数f （x ）在区间[0，π]上零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量，是互相垂直的单位向量，向量满足1=⋅，1=⋅=A ．2B ．5C ．3D ．78．已知等差数列{}n a 满足：82521=+a a ，则21a a +的最大值为 A ．2 C ．4 B ．3 D ．59．已知直线21-=x y PQ ：与y 轴交于P 点，与曲线)0(:2≥=y x y C 交于M Q ，成为线段PQ 上一点，过M 作直线t x =交C 于点N ，则△MNP 面积取到最大值时，t 的值为A ．161B ．41C ．1D ．45 10．已知函数)(1)(1R a eax e x f x ∈--=-的图象与x 轴有唯一的公共点，则实数a 的取值范围为 A ．{}0≤a a B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤e a a a 10，或 C ．{}e a a a =≤，或0 D ．{}10=≤a a a ，或 11．已知A ，B 分别为双曲线1322=-Γy x ：实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ） ，则直线AP ，BQ 的斜率之比BQ AP k k :=A ．31-B ．3-C ．32-D ．23- 12．在四棱锥ABCD P -中，2=PA ，7===PD PC PB ，7==AD AB ，2==CD BC ，则四棱锥ABCD P -的体积为A ．32B ．3C ．5D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．函数ln 1x y x =+在点P （1，0）处的切线方程为 ． 14．一种药在病人血液中的量保持1500 mg 以上才有疗效；而低于500 mg 病人就有危险。
湖南省长沙市雅礼中学2020届高三月考(六)数学(理)试题及答案
湖南省长沙市雅礼中学2020届高三月考（六）数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤3}，B ＝{x |﹣1≤x ≤5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{0，1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}2．若复数z 满足|z +1|+|z ﹣1|＝4，则|z|的最小值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．23．已知a →=(−2，−1)，b →=(λ，1)，则λ＞−12是“a →与b →的夹角为钝角”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．函数y ＝xlnx 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在等差数列{a n }中，其公差d ≠0，若S 7＝S 12，现有以下四个命题：①S 19＝0；②S 10＝S 9；③若d ＞0，则S n 有最大值；④若d ＞0，则S n 有最小值． 则关于这四个命题，正确的是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①④D ．②③．6．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲．乙两人中至少有一人站在两端的概率为（ ） A ．56B ．12C ．13D ．237．在空间中，a 、b 、c 是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b B ．若a ⊂α，b ⊂β，则a ⊥bC ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β8．已知变量x ，y 之间的线性回归方程为y =−0.7x +10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） x 6 8 10 12 y6m32A ．变量x ，y 之间呈现负相关关系B ．可以预测，当x ＝20时，y ＝﹣3.7C ．m ＝4D ．该回归直线必过点（9，4） 9．cos10°sin10°−4cos10°＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．210．设a =log 23，b =log 45，c =212，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞＞a11．在数列{a n }中，a 1＝a ，a n +1＝2a n ﹣1，若a n 为递增数列，则a 的取值范围为（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．a ＞2D ．a ＞312．双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P ，使sin∠PF 2F1sin∠PF 1F 2=ca ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ．(1，1+√2)B ．（1，2]C ．(1+√2，+∞)D ．[2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≥0x −3≤0，则z ＝x ﹣2y 的最小值为 ．14．点P 为椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1（a ＞1）上的任意﹣一点，AB 为圆M ：（x ﹣1）2+y 2＝1的任意一条直径，若PA →⋅PB →的最大值为15，则a ＝ ．15．在（x +y +z ）6的展开式中，所有形如x 3y a z b （a ∈N ，B ∈N ）的项的系数之和为 ． 16．函数f （x ）=1sinx+8cosx(0＜x ＜π2)的最小值为 ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ． （1）求角A 的大小； （2）求b+c a的取值范围．18．（12分）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为2，∠AA 1D 1＝∠AA 1B 1＝60°，∠D 1A 1B 1＝90°． （1）求证：A 1C ⊥B 1D 1； （2）求对角线AC 1的长；（3）求二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角的余弦值的大小．19．（12分）已知中心在原点的双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且该双曲线过点（2，2）． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）点A 为双曲线C 上任一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，过其中的一个焦点作∠F 1AF 2的角平分线的垂线，垂足为点P ，求点P 的轨迹方程． 20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax +a ，a ∈R ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ≥1时，恒有g （x ）＝（x +1）f （x ）﹣lnx ≤0恒成立，求a 的取值范围..21．（12分）现有甲、乙、丙、丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，依此类推．（1）通过三次传球后，球经过乙的次数为ξ，求ξ的分布列和期望； （2）设经过n 次传球后，球落在甲手上的概率为a n ， （i ）求a 1，a 2，a n ；（ii ）探究：随着传球的次数足够多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率是否相等，并简单说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为{x =1+t y =3+2t （t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ2=91+8sin 2θ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，P （1，3），求1|PA|+1|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x ﹣6|（x ∈R ），记f （x ）的最小值为c ． （1）求c 的值；（2）若实数a 、b 满足a ＞0，b ＞0，a +b ＝c ，求a 2a+1+b 2b+1的最小值．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．【详解详析】∵集合A ＝{x ∈N |x ≤3}＝{0，1，2，3}， B ＝{x |﹣1≤x ≤5}， ∴A ∩B ＝{0，1，2，3}． 故选：C ．2．【详解详析】设z 对应的点为（x ，y ），则x 24+y 23=1，所以 |z|最小值=√3． 故选：C ．3．【详解详析】∵a →=(−2，−1)，b →=(λ，1)， ∴a →与b →的夹角为钝角⇔﹣2λ﹣1＜0且﹣2+λ≠0， 即λ＞−12且λ≠2．∴λ＞−12是“a →与b →的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选：B ．4．【详解详析】当x →0+时，lnx →﹣∞，∴xlnx ＜0，排除A 、B 选项， 当x →+∞时，xlnx →+∞，排除C 选项， 故选：D ．5．【详解详析】在等差数列{a n }中，其公差d ≠0，若S 7＝S 12， 则：a 8+a 9+a 10+a 11+a 12＝0，整理得5a 10＝0， 所以a 10＝0， 所以A ：S 19=19(a 1+a 19)2=19a 10＝0．B ：由S 10＝S 9；整理得a 10＝0，C ：若d ＞0，则S n 有=na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n ，所以S n 有最小值． 故；①②④正确． 故选：B ．6．【详解详析】∵甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，基本事件总数n=A44=24，甲、乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数m=A44−A22A22=20，∴甲．乙两人中至少有一人站在两端的概率为：P=mn =2024=56．故选：A．7．【详解详析】对于选项A：若a⊥c，b⊥c，则a和b可能是异面直线，故错误．对于选项B：若a⊂α，b⊂β，则a和b不能判定有垂直和平行的关系，故错误．对于选项C：若a∥α，b∥β，α∥β，则a和b可能异面，故错误．对于选项D：若α∥β，a⊂α，则a∥β，正确．故选：D．8．【详解详析】对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为y=−0.7x+10.3，b＝﹣0.7＜0，负相关．对于B，当x＝20时，代入可得y＝﹣3.7．对于C：根据表中数据：x=14(6+8+10+12)=9．可得y=−0.7×9+10.3=4．即14(6+m+3+2)=4，解得：m＝5．对于D：由线性回归方程一定过（x，y），即（9，4）．故选：C．9．【详解详析】原式=cos10°−2sin20°sin10°=cos10°−2sin(30°−10°)sin10°=√3sin10°sin10°=√3．故选：C．10．【详解详析】log23＞log2232＞log2√5=log45，∴a＞32＞b，又log45＜log4443=43＜212＜32，∴a＞c＞b．故选：A．11．【详解详析】∴a n+1＝2a n﹣1，∴a n+1﹣1＝2（a n﹣1），∴a n+1−1a n−1=2，又∵a1﹣1＝a﹣1，∴数列{a n﹣1}是首项为a﹣1，公比为2的等比数列，∴a n−1=(a−1)2n−1，∴a n =(a −1)2n−1+1， 又∵{a n }为递增数列，∴a n+1−a n =(a −1)2n −(a −1)2n−1=12(a −1)2n ＞0， ∴a ﹣1＞0，∴a ＞1， 故选：B ．12．【详解详析】设P 在右支上，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ﹣n ＝2a ， 又因为sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2=c a =m n ，可得c−a a=m−n n，所以2a n =c−a a，所以n =2a 2c−a ＞c ﹣a ，即c 2﹣2ac ﹣a 2＜0，即e 2﹣2e ﹣1＜0，解得1−√2＜e ＜1+√2， 由于e ＞1，所以可得1＜e ＜1+√2， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．【详解详析】由约束条件{x −y +1≥0x +y −3≥0x −3≤0作出可行域如图，联立{x =3x −y +1=0，解得B （3，4）．化目标函数z ＝x ﹣2y 为y =12x −12z ，由图可知，当直线y =12x −12z 过B （3，4）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为：3﹣2×4＝﹣5．故答案为：﹣5．14．【详解详析】圆M ：（x ﹣1）2+y 2＝1的圆心M （1，0），半径为1， AB 为圆M 的直径，可得MB →=−MA →， 椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1（a ＞1）的焦点为（﹣1，0），（1，0），则PA →⋅PB →=（PM →+MA →）•（PM →+MB →）＝（PM →+MA →）•（PM →−MA →）＝|PM →|2﹣|MA →|2＝|PM →|2﹣1，又P 为椭圆上一点，M为椭圆的右焦点，可得|PM →|2﹣|MA →|2≤（a +c ）2﹣1＝15，当P 为椭圆的左顶点（﹣a ，0），上式取得等号， 则a +c ＝4，又c ＝1，可得a ＝3． 故答案为：3．15．【详解详析】（x +y +z ）6表示6个因式（x +y +z ）的乘积，其中有3个因式都取x ，得C 63⋅x 3，另外的三个因式取y 或z ，即可得到形如x 3y a z b （a ∈N ，B ∈N ）的项． 而（y +z ）3的各项系数和为23，故所有形如x 3y a z b （a ∈N ，B ∈N ）的项的系数之和为C 63•23＝160，故答案为：160． 16．【详解详析】f′(x)=−cosx sin 2x+8sinx cos 2x=8sin 3x−cos 3x (sinxcosx)2=(2sinx−cosx)(4sin 2x+2sinxcosx+cos 2x)(sinxcosx)2，由f ′（x ）＝0可得cos x ＝2sin x 即tan x =12， 又因为0＜x ＜12π，根据导数与单调性的关系可知，当tan x =12时，函数取得最小值，此时sin x =5cos x =5，故f （x ）min ＝5√5．故答案为：5√5．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【详解详析】（1）∵（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ． 由正弦定理可得：（a +b ）（a ﹣b ）＝（c ﹣b ）c ． 化为b 2+c 2﹣a 2＝bc ， 由余弦定理可得：cos A =b 2+c 2−a 22bc=12，∵A ∈（0，π）， ∴A =π3． （2）∵A =π3， ∴a 2＝b 2+c 2﹣bc ≥(b+c)22−（b+c 2）2=(b+c)24，∴（b+c a）2≤4，∴b+c a≤2，可得b+c a的最大值为2，又b +c ＞a ， ∴b+c a的取值范围为（1，2]．18．【详解详析】（1）证明：（1）∵在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为2， ∴AD 1＝AB 1＝2，连结A 1C 1，B 1D 1，交于点O ，连结AO ， ∵∠AA 1D 1＝∠AA 1B 1＝60°，∠D 1A 1B 1＝90°．∴AO ⊥B 1D 1， ∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴B 1D 1⊥A 1C 1， ∴B 1D 1⊥平面A 1ACC 1，∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴B 1D 1⊥A 1C ．（2）解：在△AB 1D 1中，AO =√2，A 1O =√2，AA 1＝2， ∴AO 2+A 1O 2=A 1A 2，∴AO ⊥A 1O ， ∵AO ⊥B 1D 1，∴AO ⊥平面A 1B 1C 1D 1， ∴AO ⊥OC 1，∴AC 1=√AO 2+OC 12=2． （3）解：由（2）知AO ⊥平面A 1B 1C 1D 1，以点O 为原点，OA 1为x 轴，OB 1为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，0，√2），B 1（0，√2，0），C 1（−√2，0，0）， AB 1→=（0，√2，−√2），AC 1→=（−√2，0，−√2），设平面AB 1C 1的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AB 1→=√2y −√2z =0m →⋅AC 1→=−√2x −√2z =0，取x ＝1，得m →=（1，﹣1，﹣1）， 平面AB 1D 1的法向量n →=（1，0，0）， 设二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角为θ， 则cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3=√33， ∴二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角的余弦值为√33．19．【详解详析】（1）根据题意，双曲线的渐近线方程是y ＝±2x ，则设双曲线方程为：4x 2﹣y 2＝λ，（λ≠0）， 点（2，2）代入得：λ＝12， 则双曲线方程为：4x 2﹣y 2＝12， 即x 23−y 212=1，（2）∵F 1，F 2是双曲线x 23−y 212=1的左右焦点，过F 2作角的平分线AB 的垂线，垂足为P ，并且交AF 1于Q ，连接OP ，则OP =∥12F 1Q ，由角的平分线定理可得：|AQ |＝|AF 2|，∴|F 1Q |＝|AF 1|﹣|AQ |＝|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ，∴|OP |＝a =√3，由圆的定义可知，点P 的轨迹是以点O 为圆心，√3为半径的圆，所以P 的轨迹方程为：x 2+y 2＝3．20．【详解详析】（1）函数的定义域（0，+∞），f′(x)=1x −a =1−ax x，（i ）当a ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，（ii ）当a ＞0时，由f ′（x ）＞0可得，0＜x ＜1a ，此时函数单调递增，由f ′（x ）＜0可得，x ＞1a ，此时函数单调递减，（2）当x ≥1时，g （x ）＝（x +1）（lnx ﹣ax +a ）﹣lnx ＝xlnx ﹣ax 2+a ，g ′（x ）＝lnx +1﹣2ax ， 令h （x ）＝lnx +1﹣2ax ，则h ′（x ）=1x −2a ，（i ）当a ≤0时，h ′（x ）＞0恒成立，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，h （x ）≥h （1）＝1﹣2a ＞0， 即g ′（x ）》0，故g （x ）在[1，+∞）上单调递增，g （x ）≥g （1）＝0，不合题意；（ii ）当0＜a ＜12时，h （x ）在[1，12a ]上单调递增，h （x ）≥h （1）＝1﹣2a ＞0，此时g （x ）在[1，12a ]上单调递增，所以g （12a ）＞g （1）＝0，不合题意；（iii ）当a ≥12时，h ′（x ）≤0，h （x ）在[1，+∞）上单调递减，所以h （x ）≤h （1）＝1﹣2a ＜0，故g ′（x ）≤0， 所以g （x ）在[1，+∞）上单调递减，所以g （x ）≤g （1）＝0，所以g （x ）≤0恒成立． 21．【详解详析】（1）由题意得ξ的取值为0，1，2， P （ξ＝0）=23×23×23=827，P （ξ＝1）=13×1×23+23×13×1+23×23×13=1627，P （ξ＝2）=13×1×13=19， ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P827162719∴E （ξ）=0×827+1×1627+2×19=2227． （2）（i ）由题意可知，a 1=0，a 2=13，a n =13(1−a n−1)，n ≥2，∴a n −14=−13（a n−1−14），（n ≥2）， ∴a n −14=（a 1−14）×（−13）n ﹣1， ∴a n =14−14×(−13)n−1．11 （ii ）由（i ）可知，当n →+∞时，a n →14， ∴当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数14，又第一次从甲开始传球，而且每一次都是等可能地把球传给任何一个人，∴球落在每个人手上的概率都相等，∴球落在乙、丙、丁手上的概率为（1−14）÷3=14，∴随着传球的次数足够多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等，都是14． 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【详解详析】（1）直线l 的参数方程为 {x =1+t y =3+2t（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程y ＝2x +1，曲线C 的极坐标方程为ρ2=91+8sin 2θ，即8ρ2sin 2θ+ρ2＝9，∴x 2+y 2+8y 2＝9，∴曲线C 的直角坐标方程为x 29+y 2＝1；（2）直线的参数方程改写为 {x =1+√55t y =3+2√55t（t 为参数）， 代入x 29+y 2＝1，375t 2√5t +73＝0，t 1+t 2=−√5375，t 1t 2=73375， 1|PA|+1|PB|=|t 1−t 2t 1t 2|=√5×73=22√573． ∴当直线l 与曲线C 相交时，1|PA|+1|PB|=22√573． [选修4-5：不等式选讲]23．【详解详析】（1）f （x ）＝|x ﹣1|+|2x ﹣6＝|x ﹣1|+|x ﹣3|+|x ﹣3|，f （x ）表示数轴上的点到数轴上1，3，3对应点的距离之和．∴f （x ）min ＝f （3）＝2，∴c ＝2．（2）∵a +b ＝2，∴a 2a+1+b 2b+1=14[（a +1）+（b +1）]（a 2a+1+b 2b+1）； =14[a 2+b 2+(b+1)a 2a+1+(a+1)b 2b+1]≥14（a 2+b 2+2ab ）=14（a +b ）2＝1；当且仅当{a +b =2(b+1)a 2a+1=(a+1)b 2b+1，即{a =1b =1时，有最小值1．。