吉林省农安县新农乡中学2017届九年级数学中考总复习：弧、弦、圆心角、圆周角 —巩固练习(提高)
中考数学总复习专题训练(附详细解析)：圆心角、弧、弦的关系.doc
中考数学专题训练（附详细解析）圆心角、弧、弦的关系1、（德阳市 专题）如图.圆0的直径CD 过弦EF 的中点G, ZDCF=20° ,则ZEOD 等 于A.10° B.20° C. 40° D.80°答案：C解析：因为直径过弦EF 的中点G,所以，CD 丄EF,且平分弧EF,因此，弧ED 与弧BD 的度数都为40° ,所以，ZE0D = 40° ,选C 。
2、（专题•内江）如图，半圆O 的直径AB=10cm,弦AC=6cm, AD 平分ZBAC,则AD 的 长为（ ）考点：圆心角、弧、眩的关系；全等三角形的判定与性质；勾股定理.分析：连接OD, OC,作DE 丄AB 于E, OF 丄AC 于F,运用圆周角定理，可证得ZDOB=ZOAC,即证△ AOF^AOED,所以 OE=AF=3cm,根据勾股定理，得 DE=4cm, 在直角三角形ADE 中，根据勾股定理，可求AD 的长.解答：解：连接OD, OC,作DE 丄AB 于E, OF 丄AC 于F,V ZCAD=ZBAD （角平分线的性质），/.CD=BD,・・.ZDOB=ZOAC=2ZBAD,.•.△AOF 竺△OED,OE=AF=AC=3cm,在 RtADOE 中，DE=^J Q D 2 _Qg2Mcm,在 Rt/SADE 屮，AD 二 J DE $ +AE 故选A.点评：本题考查了翻折变换及圆的有关计算，涉及圆的题冃作弦的弦心距是常见的辅助线之 一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理.D. 4cmB.3、（专题泰安）如图，己知AB是OO的直径，AD切于点A,点C是缸的中点，贝U下列结论不成立的是（）A.OC/7AEB. EC=BCC. ZDAE=ZABED. AC±OE考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.专题：计算题.分析：由C为弧EB的屮点，利用垂径定理的逆定理得出0C垂直于BE,由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AE垂直于BE,即可确泄出0C与AE平行，选项A 正确；rflC为弧BE中点，即弧BC二弧CE,利用等弧对等弦，得到BC=EC,选项B正确；rtl AD为圆的切线，得到AD垂直于OA,进而确定出一对角互余，再rfl直角三角形ABE中两锐角互余，利用同角的余角相等得到ZDAE二ZABE,选项C正确；AC不一定垂直于0E,选项D错误.解答：解：A.・・・点C是五的中点，AOC 丄BE,TAB为圆0的直径，AAE1BE,・・・OC〃AE,本选项正确；B.V BC=CE,・・・BC二CE,本选项正确；C.VAD为圆O的切线，・・・AD丄OA,・•・ ZDAE+ZEAB=90°,・.・ ZEBA+ZEAB=90°,/. ZDAE=ZEBA,本选项正确；D.AC不一定垂直于OE,本选项错误，故选D点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及圆心角，弧及弦之间的关系，熟练掌握切线的性质是解本题的关键.4、（专题•苏州）如图，AB 是半圆的直径，点D 是AC 的屮点，ZABO50。
九年级圆心角、圆周角讲义
圆心角、圆周角知识要点1.圆心角：顶点在圆心的角弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
弧、弦、圆心角关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们其余各组量也相等。
2.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
3.圆内接四边形的性质圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补。
（外角等于它的内对角） 4.四点公圆的证明一个四边形若有一组对角是直角，则这个四边形的四个顶点一定在同一个圆上，即这个四边形一定有一个外接圆。
基础知识测试： （一）圆心角1.下列命题正确的是（ C ）A 相等圆心角所对的弧相等B 等弧对等弦C 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等D 相等的圆心角所对的弦相等2.已知弧AB 、弧CD 是同一圆中的两段劣弧，且弧AB ＝2弧CD ，则弦AB 与CD 的关系是（ B ） A AB ＝2CD B AB ＜2CD C AB ＞2CD D 无法判断3.在⊙O 中，P 为直径AB 上一动点，C 、D 为两半圆上的两动点，CD 交AB 于H ，则以下说法：（1）若弧AC ＝弧AD ，则∠APC ＝∠APD ；（2）若PC ＝PD ，则∠APC ＝∠APD ；（3）若∠APC ＝∠APD ，则CH ＝HD 。
其中正确的个数是（ D ）A 0个B 1个C 2个D 3个4.如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，D 、E 分别为)AB 、)AC 的中点，连接DE 分别交AB 、AC 于F 、G ，求证:AF ＝AG .证明：连结OD 、OE ，∵D ，E 分别是)AB 、)AC 的中点，∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴∠D ＋∠DFB ＝90°，∠E ＋∠EGC ＝90°， ∵OD ＝OE ，∴∠D ＝∠E ，41.如图，若AB ＝B C .则图中与∠ADB 相等的圆周角的个数为 3 .2.如图，直线AB 交圆于点A ，B ，点M 在圆上，点P 在圆外，且点M 、P 在AB 的同则，∠AMB ＝50°，设∠APB ＝x °.当点P 移动时，3.(1)如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D ，E 是⊙O 上的三点，则∠1＋∠2的度数＝ 90° .(2)如图，A ，B ，C ，D ，E 是同一圆上顺次的五点，∠CAD ＝80°，则∠ABC ＋∠AED 等于 260° .4. 如图，⊙O 中，若∠AOB ＝100°，则∠C ＝ 50° ，∠D ＝ 130° .5. (1)圆的弦长恰好等于该圆的半径，则这条弦所对的圆周角是 60或120 度. (2)△ABC 内接于⊙O ，∠AOB ＝100°， 则∠ACB ＝ 50或130 度.6.如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 经过圆心O ，若弧AC ＝弧CD ，∠P ＝30°，则∠BDC 的度数是 110°.7.如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上四点，AB、DC 交于点AD 、BC 交于E 点，若∠E ＝40°，∠F ＝30°， 则∠A 的度数为 55°.B1.如图，在四边形OABC 中，OA ＝OB ＝OC ，若∠ACB ＝35°，则∠AOB 的度数是 70° .2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是A 8边的中点，是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ’F ，连接B 'D ，则B 'D3.如图，△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M .当△EFG 绕点D 旋转时，求线段BM 长的最小值.解：连结AD 、DG ，根据旋转角相等，旋转前后的对应线段相等，容易发现∠ADG ＝∠FDC ，DA ＝DG ，DF ＝DC ，故∠DFC ＝∠DCF ＝∠DAG ＝∠DG A . 又根据等腰三角形的“三线合一”可知∠FDG ＝90°，所以∠DFG ＋∠DGF ＝90°，即∠DFC ＋∠CFG ＋∠DGF ＝90°.所以∠AMC ＝∠MGF ＋∠CFG ＝∠AGD ＋∠DGF ＋∠CFG ＝∠DFC ＋∠DGF ＋∠CFG ＝90°. 故点M 始终在以AC 为直径的圆上，作出该圆，设圆心为O ，连结BO 与⊙O 相交于点P ，线段BP 的长即为线段BM 长的最小值.BP ＝AO －OP 1.4.如图，△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝45°，以为半径，过B ，C 两点作⊙O ，连OA ，则线段OA 的最大值综合、提高、创新:【例1】1.如图，BC是⊙O的直径，»AB＝»AF，AD⊥BC于D，BF与AD交于E点(1)求证: AE＝BE:(2)求证BF＝2AD(3)若点A、F把半圆三等分，BC＝12，求AE的长度，解：（1）连AC，如图，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，又∵AD⊥BC，∴∠BAD＝∠ACB，又∵»AB＝»AF，∴∠ACB＝∠ABF，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE；（2）∵A，F把半圆三等分，∴∠ACB＝∠CBF＝∠ABF＝30°，∴∠BAD＝30°，在Rt△ABC中，BC＝12，所以AB＝12BC＝6，在Rt△ABD中，AB＝6，所以BD＝12AB＝3，Rt△BDE中，∠CBF＝30°，BD＝3，∴DE＝BE＝AE＝2.如图，△ABC内接于⊙O、AD⊥BC，D为垂足，E是»BC中点，求证：∠EAO＝∠EA D.证明：（1）连接OB，则∠AOB＝2∠ACB，∠OAB＝∠OBA，∵AD⊥BC，∴∠OAB＝12（180°－∠AOB）＝90°－12∠AOB＝90°－∠ACB＝∠DAC，∵E是弧BC的中点，∴∠EAB＝∠EAC，∴∠EAO＝∠EAB－∠OAB＝∠EAC－∠DAC＝∠EA D．（2）连接OE，∵E是»BC的中点，∴弧BE＝弧EC，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA＝∠EAD，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠OAE＝∠EA D．1、如图，AB为直径，CD是弦，AB⊥C D.(1) P是弧CAD上一点(不与C、D重合)，求证：∠CPD＝∠COB .(2)点P’在劣弧CD上(不与C、D重合)时，∠CP’D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.(1)证明：连接OD，∵AB是直径，AB⊥CD，∴»BC＝»BD∴∠COB＝∠DOB＝12∠CO D．又∵∠CPD＝12∠COD，∴∠CPD＝∠CO B．(2)解：∠CP′D＋∠COB＝180°．理由如下：连接OD，∵∠CPD＋∠CP′D＝180°，∠COB＝∠DOB＝12∠COD，又∵∠CPD＝12∠COD，∴∠COB＝∠CPD，∴∠CP′D＋∠COB＝180°．2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，P是AB延长线上一动点，CP交⊙O于Q，DQ交AB于E.试问:当P点在AB延长线上运动时，∠OPC与∠ODQ是否保持某种特定的关系?证明你的结论.∠OPC＝∠ODQ，理由简要如下：延长DO交圆O于F，①圆外角∠P＝1/2(弧AC－弧BD)②OC＝OD，OB⊥CD，∴∠COB＝∠DOB＝∠AOF，∴弧AF＝弧BC，∴弧AC＝弧BF，∴弧AC－弧BD＝弧BF－弧BD＝弧FQ＝1/2∠QDF，∴∠OPC＝∠ODQ1、如图1，锐角△ABC的三个顶点都在⊙O上，高AD、BE所在直线交⊙O于H，AD所在直线交⊙O于G. （1）求证:DH＝DG；（2）将“锐角△ABC”改为“钝角△ABC，∠BAC为钝角”其他条件不变，完成图2，试问（1）中的结论是否仍成立?证明你的结论.图1 图2证明：连接BG∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠BEC＝90，∠ADC＝90∵∠ACB＋∠DHE＋∠BEC＋∠ADC＝360∴∠ACB＋∠DHE＝180∵∠DHE＋∠BHG＝180∴∠ACB＝∠BHG∵∠ACB、∠AGB所对应圆弧都为劣弧AB∴∠ACB＝∠AGB∴∠AGB＝∠BHG∵AD⊥BC∴DG＝DH（等腰三角形中垂线）证明：连接BG∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠BEA＝90，∠ADB＝90∵∠EBD＋∠EAD＋∠BEA＋∠ADB＝360∴∠EBD＋∠EAD＝180∵∠EAD＋∠GAC＝180∴∠EBD＝∠GAC∵∠GAC、∠GBC所对应圆弧都为劣弧GC∴∠GAC＝∠GBC∴∠GBC＝∠EBD∵AD⊥BC，BD＝BD，∴△BDG全等于△BDH，∴DG＝DH2如图，已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，过圈心O作BC的垂线交⊙O于P、Q，交BC于D，QP、CA的延长线交于点E，求证:∠BAO＝∠E.证明：作直径AM，连接BM，∵∠C和∠M都对弧AB，∴∠C＝∠M，∵OQ⊥BC，∴∠EQC＝90°，∴∠C＋∠E＝90°，【例4】如图，在直角坐标系中，M为x轴上一点，⊙M交x轴于A、B，交y轴于C、D，P为»BC上的一个动点，CQ平分∠PCD，交AP于点Q，A（－1，0），M（1，0）.（1）求C点的坐标；（2）当P点运动时，线段AO的长度是否会改变？若不变，请证明并求其值：若改变，请说明理由解：(1)由勾股定理易得C(0;(2)当P点运动时，线段AO的长度不会改变，由垂径定理知，»»,AC AD=∴∠P＝∠ACD，∵CQ平分∠PCD，∴∠P＋∠PCQ＝∠ACD＋∠DCQ，即∠ACQ＝∠AQC，∴AQ＝A C.在Rt△OCA中，OC OA＝1，∴AC＝2∴线段AO的长度不会改变，为2.【例5】在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧»AC沿弦AC翻折AB点于点D，连接C D. （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r;（2）如图2，若点D与圆心O重合，∠BAC＝25°，请直接写出∠DCA的度数.解答：(1)如图：过O作OE⊥AC于E，则AE＝11,2AC=∴OE＝1,2r在Rt△AOE中，OE＝1,2r，AE＝1，得r（2）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠B＝65°，根据翻折性质，»AC所对的圆周角为∠B，¼ABC所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠DCA＝∠CDB－∠A＝40°【例6】在⊙O 中，AB 为直径，弦CD ⊥AB 于E ，E 是AO 的中点， P 是»BC上的动点，求PC PD PA+ 的值。
弧、弦、圆心角 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
探究二：圆心角、弧、弦之间的关系重点、难点知
动活11.按大 知下胆识面操的作步探骤究做新一做：
识 ★▲
（′，沿圆周分别将两圆剪下；
（2）在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角
∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心
注意：固定。
在画∠AOB与∠A′O′B′时，要
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定 理动活的3 应大 弧用胆度探 相索等，。证明线段相等与
例3.如图，AB，CD是⊙O的弦，M、N 分别为AB、CD的中点且∠AMN=∠CNM， 求证：AB=CD。
【思路点拨】 由中点想到垂径定理，
由等角对等边定理可以得 到线段与角度的相等关系， 可以为证明全等三角形创 造条件。
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦也相等。
探究二：圆心角、弧、弦之间的关系重点、难点知
活 动2
集思广益 证明新 知
识 ★▲
根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是
正确的吗？
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那
么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那
动以前是一个样的。这个现象跟圆的哪个性
质有关？ 说明钟钮左右两端转动180°后完全重合，
两端均在以轴心为圆心的圆上运动，说明圆
是中心对称图形，对称中心是圆心。
探究一：圆的中心对称性
活 动1
归纳概括
想一想：由以上现象，概括圆的
对称性。
结论： 1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 过圆心的直线。 2.圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
练习：如图，AB是⊙O的直径 ， P、Q是AB
上两点， 且AP=BQ ， C、ACD=是BD⊙O上两点，
中考数学考点知识与题型专题讲解28---与圆有关的角
如答图，连接 DO， ∵DO=CO，∴∠1=∠2 . ∵DM=CM，∴∠4=∠3. ∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°. ∴直线 DM 与⊙O 相切．
【答案】（1）证明见解析；（2）当 MC=MD（或点 M 是 BC 的中点）时，直线 DM 与⊙O 相切，理由见解析. 【解析】
∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°. ∴∠DCB=∠A. （2）当 MC=MD（或点 M 是 BC 的中点）时，直线 DM 与⊙O 相切，理由如下：
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中考数学考点知识与题型专题讲解 专题 28 与圆有关的角
聚焦考点☆温习理解 一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相 等。 推论：在同圆 或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中 有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 4、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论 3：如果 三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
OD
∴ r − 2 = 1 ，解得 r =4， r2
∴OE=4-2=2， ∴ DE = OD2 − OE2 = 42 − 22 = 2 3 . ∴CD=2DE= 4 3 ．
考点典例三 圆周角与切线之间的关系 【例 3】（2016 海南省第 12 题）如图，AB 是⊙O 的直径，直线 PA 与⊙O 相切于点 A， PO 交⊙O 于点 C，连接 BC．若∠P=40°，则∠ABC 的度数为（ ） A．20° B．25° C．40° D．50°
九年级弧、弦、圆心角、圆周角及点、直线、圆与圆的位置关系
弧、弦、圆心角、圆周角点、直线、圆与圆的位置关系1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48° D．38°2.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）．A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠13.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．1、这是一个射门游戏，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关。
2、我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么经过一个点能作几个圆？经过两点、三点……呢？结论：知识点一（弧、弦、圆心角、圆周角）【知识梳理】知识点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．知识点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，它们中间只要有一组量相等，（例如圆心角相等），那么其它各组量也分别相等（即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等）. *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【例题精讲】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用例1.已知：如图所示，⊙O 中弦AB ＝CD ．求证：AD ＝BC ．【变式】如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ．求证：．类型二、圆周角定理及应用AC BD例2.如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊙OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．求证：⊙ABC=2⊙CBO．【变式】如图，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是 .例3.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=___________.【变式】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知⊙CAB=36°，⊙ABO=30°，则⊙D=．例4.已知，如图，⊙O上三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径长.【变式】如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（）．A． B．4 C． D．52223【课堂练习】1.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若⊙CBD=39°，求⊙BAD的度数；（2）求证：⊙1=⊙2．3.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，⊙A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8知识点二（点、直线、圆与圆的位置关系）【知识梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，公共点叫切点．（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点（圆心）的位置关系．下面图（1）中直线与圆心的距离小于半径；图（2）中直线与圆心的距离等于半径；图（3）中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点三、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2（r1≥r2）两圆内切d=r1-r2（r1＞r2）两圆内含d＜r1-r2（r1＞r2）【例题精讲】类型一、点与圆的位置关系例1.已知⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线的距离d＝OD＝3cm，在直线上有P、Q、R三点，且有l lPD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点与⊙O位置关系各是怎样的?类型二、直线与圆的位置关系例2.如图，以O为原点建立平面直角坐标系，每一小格为一个单位，圆心为A（3，0）的⊙A被y轴截得的弦长BC=8，如图，解答下列问题：（1）⊙A的直径为；（2）请在图中将⊙A先向上平移6个单位，再向左平移花8个单位得到⊙D，观察你所画的图形，则⊙D的圆心D的坐标为；⊙D与x轴的位置关系是，⊙D与y轴的位置关系是，⊙D与⊙A的位置关系是；【变式】如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB 的取值范围是多少？例3.如图所示，已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=12cm,以r为半径作⊙P．（1）当r=7cm时，试判断⊙P与OB位置关系；（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件.类型三、三角形的外接圆例4.如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E，F分别是边AC和BC上的中点，试判断四边形CEDF的形状，并加以证明.【变式】如图，已知，在△ABC中，AB=10，∠A=70°，∠B=50°，求△ABC外接圆⊙O的半径.类型四、圆与圆的位置关系例5.如图所示，⊙O的半径为5，点P为⊙O外一点，OP＝8．求：（1）以P为圆心作⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径为多少?（2）当⊙P与⊙O相交时，⊙P的半径的取值范围为多少?【变式】已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是（）A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cmOBAC【课堂练习】1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米3.如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：直线AC与⊙D相切．4.如图，已知△ABC，请作出该三角形的外接圆⊙O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不要写作图过程）.5.(1)已知两圆的半径分别为3cm，5cm，且其圆心距为7cm，则这两圆的位置关系是( )A．外切 B．内切 C．相交 D．相离(2)已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是( )A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm1.如图，在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．130°D．140°2.如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3.A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作( )．A．5个圆B．8个圆C．10个圆D．12个圆4.已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d=0有实根，则点P( )．A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部C．在⊙O上D．在⊙O上或⊙O的内部5.已知线段QP，AP=AQ，以QP为直径作圆，点A与此圆的位置关系是_____．6.如图，圆内接四边形ABCD两组对边延长线分别相交于点E，F，且⊙A=55°，⊙E=30°，则⊙F=．7.如图，在Rt⊙ABC中，⊙ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，求AP的最小值．8.如图，等腰⊙ABC中，AC=BC，⊙O为⊙ABC的外接圆，D为上一点，CE⊙AD于E，求证：AE=BD+DE．9.已知圆O的直径AB=4，半径OC⊙AB，在射线OB上有一点D，且点D与圆O上各点所连接线段最短为1，则CD的长为多少？10.如图，OA=OB，点A的坐标是(-2,0),OB与x轴正方向夹角为60°，则过A，O, B三点的圆的圆心坐标是____________.圆心角：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.（2）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.圆周角：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.三角形的外接圆：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.圆和圆的位置关系：（1）圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离（含外离、内含）、相切（含内切、外切）、相交；（2）内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；（3）具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.1.已知，如图, AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°。
2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期24.1.3、弧、弦、圆心角课件13
∴ ������������ = ������������ .∴ AC=BD. ∵ ∠1=∠2,∴ ∠1+∠BOC=∠2+∠BOC. ∴ ∠BOD=∠AOC. ∴ 题干中四个结论均正确.故选 D.
关闭
D
解析 解析 解析
答案 答案
C
解析 解析
关闭
答案
3.如图,已知 A,B,C,D 是☉O 上的点,∠1=∠2,则下列结论中正确的有( ①������������ = ������������ ;②������������ = ������������ ;③AC=BD;④∠BOD= ∠2 AOC. 1 3
)
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A.1 个1=∠2 可得������������ B.2 D.4. 个 ∵ 由∠ =个 ������������ ,∴ ������������ +C.3 ������������ 个 = ������������ + ������������
圆心 的角叫做圆心角. 3.弧、弦、圆心角关系定理及推论 (1)弧、弦、圆心角关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 相等,所对的 弦 也相等. (2)弧、弦、圆心角关系定理的推论:①在同圆或等圆中,如果两条弧相 等,那么它们所对的 圆心角 相等,所对的弦相等.②在同圆或等圆中,如果 两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的 弧 相等.
)
关闭
A
答案
2.如图,已知 AB 是☉O 的直径,C,D 是������������ 上的三等分点,∠AOE=60° ,则 ∠COE 的度数是( )
1 2 3
A.40°
B.60°
C.80°
D.120°
关闭
∵ C,D 是������������ 上的三等分点,∴ ������������ = ������������ = ������������ . ∴ ∠BOC=∠COD=∠DOE. 又∵ ∠AOE=60° ,∴ ∠BOE=120° . ∴ ∠BOC=∠COD=∠DOE=40° . ∴ ∠COE=80° .故选 C.
人教版九年级数学上册《 圆心角、弦、弧、弦心距、圆周角》课件
O·
A C
B D
3. ⊙O1与⊙O2为等圆，M是O1O2 的中点，过M作一直线交⊙O1于A、 B ，交⊙O2于C、D 。
求证：A⌒B=C⌒D
B
·O1
E
C AM
D F
·O2
4. 如图，∠BAC=50°，则
∠D+∠E=____2_3__0_°__
5.在Rt△ ABC中，AB=6， BC=8，则这个三角形的外
D
所对的弧也相等
E
如 如图 果，弧⊙ABO等＝1和圆弧⊙C也DO成，2是立那等么圆，
O1
A O2
F
∠E和∠F是什么关系？反过
D
来呢？
C
B
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。
B
C
E
A
O
D
O
A
B
F
C
D
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
E • 什么时候圆周角是直角？
D
反过来呢？
O
• 直角三角形斜边中线有什
A
B 么性质？反过来呢？
已知：点O是ΔABC的外心， ∠BOC＝130°，求∠A的度数。
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数学九年级下册考点强化专训圆周角与圆心角、弧的关系
C．圆心角是圆周角的2倍
D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
4．下列说法错误的是（
）
A．等弧所对圆周角相等
B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相 等
5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则
∠AOD=
练习：判 断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．
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【2】理解圆周角定理的证明 一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。
已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，
求证：∠BAC= 1/2∠BOC.
分析：通过图形的演示指导学生进一步去寻找圆心O与∠BAC的关系
解题思路： 1．已知圆周角，可以利用圆周角求出圆心角 2．已知圆心角，可以利用圆心角求出圆周角 3．已知直径和弧度，可以求出圆周角与圆心角 1. 圆周角与圆心角的定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 注意圆周角定义的两个基本特征： (1)顶点在圆上； (2)两边都和圆相交。 二、教学内容 【1】圆心角：顶点在圆心的角。 利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征：
9.如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半 ⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．
（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？请说 明理由．
（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2= ．参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．
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数学九年级下册解码专训 圆周角与圆心角、弧的关系
弧、弦、圆心角 圆周角-九年级数学上册精讲与精练高分突破(人教版)
24.3-24.4 弧、弦、圆心角 圆周角考点一：弧、弦、圆心角（1）顶点在圆心的角叫做__圆心角_.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等_，所对的弦也_相等_.（3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.考点四：圆周角（1）圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.（2）同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的___一半____.（3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的__一半___.（4）半圆(或直径)所对的圆周角是_____直角________，90°的圆周角所对的弦是____直径___________.（5）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做_____圆内接多边形 ________，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的____对角互补__________.题型一：弧、弦、圆心角关系求解1．（2022·全国·九年级）如图，BD 是O 的直径，弦AC 交BD 于点G ．连接OC ，若126COD ∠=︒，AB AD =，则AGB ∠的度数为（ ）A ．98°B ．103°C ．108°D ．113°2．（2022·安徽·合肥市第四十二中学三模）如图，AB 为⊙O 直径，点C ，D 在⊙O 上且AC BC =．AD 与CO 交于点E ，∠DAB ＝30°，若3AO =CE 的长为（ ）A．1 B．32C．31-D．232-3．（2022·陕西·西安高新第一中学初中校区九年级期末）如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O 上的两点，且AD DC CB==，则四边形ABCD的周长等于（）A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm题型二：：弧、弦、圆心角关系求证4．（2022·安徽滁州·九年级期末）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分别为M、N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP．下列四个说法：①AB=CD；②OM=ON；③P A=PC；④∠BPO=∠DPO；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2021·山东德州·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②AM BN=；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝12AB；④若M为AN的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（）A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．①②③④6．（2021·全国·九年级专题练习）如图，AB 为⊙O 直径，CD 为弦，AB ⊥CD 于E ，连接CO ，AD ，∠BAD ＝25°，下列结论中正确的有（ ）①CE ＝OE ；②∠C ＝40°；③ACD ＝ADC ；④AD ＝2OEA ．①④B ．②③C ．②③④D ．①②③④题型三：求圆弧的度数问题7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB ，CD 是O 的弦，延长AB ，CD 相交于点P ．已知30P ∠=︒，80AOC ∠=︒，则BD 的度数是（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．10°8．（2011·河南·中考模拟）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C= 45º，AB=4，则⊙O 的半径为【 】A ．2B ．4C ．2D ．9．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，有一圆O 通过A 、B 、C 三点，且AD 与圆O 相切于A 点．若=58B ∠︒，则BC 的度数为何？（ ）A ．116B ．120C ．122D ．128题型四：圆周角定理10．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）下列命题中：①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；④圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴．其中正确的说法有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，等腰ABC 内接于O ，其中AB BC =，下列结论不一定成立的是（ ）A ．12∠=∠B ．24∠∠=C ．21AOB ∠=∠D ．41AOC ∠=∠12．（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠CDB =26°，则∠AOC 的度数（ ）A ．108°B ．154°C ．118°D ．128°题型五：等（同）弧所对圆周角问题13．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，∠CAB =24° ，则∠ADC 的度数为（ ）A ．124°B ．114°C ．116°D ．126°14．（2022·福建省福州第一中学九年级阶段练习）如图，CD 是O 的直径，O 上的两点A ，B 分别在直径CD 的两侧，且78ABC ∠=︒，则AOD ∠的度数为（ ）A ．12︒B ．22︒C ．24︒D ．44︒15．（2022·四川广元·九年级专题练习）如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，BC ＝CD ，∠DAC ＝36°，∠ACD ＝44°，则∠ADB 的度数为（ ）A ．55°B ．64°C ．65°D ．70°题型六：90°所对的圆周角是直径问题16．（2022·云南·昭通市昭阳区第一中学九年级期末）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 、BC 是⊙O 的弦，若∠A ＝30°，则∠B 的度数为（ ）A ．70°B ．90°C ．40°D ．60°17．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点P 在矩形的内部，连接P A ，PB ，PC ，若∠PBC ＝∠P AB ，则PC 的最小值是（ ）A．6 B．73﹣3 C．213﹣4 D．413﹣418．（2021·山西实验中学模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝18°，D 为AC的中点，则∠DAC的度数是（）A．36°B．44°C．52°D．55°题型七：圆内接多边形问题19．（2022·全国·九年级单元测试）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC ＝75°，则∠C的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°20．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠D＝110°，则∠BAC的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．90°21．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（）A．3B．2 C．23D．4题型八：圆心角、圆周角的综合问题22．（2021·江苏·阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．(1)如图1，若AD为120°，BC为50°，求∠E的度数；(2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD．23．（2022·江苏·泰州市民兴中英文学校九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，点F是CD延⊥于点E．长线上的一点，且AD平分BDF∠，AE CD(1)求证：AB AC =．(2)若18BD =，2DE =，求CD 的长．24．（2020·浙江省义乌市廿三里初级中学九年级阶段练习）如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且OD ⊥AC ，OD 与AC 交于点E ．(1)若∠CAB ＝20°，求∠CAD 的度数；(2)若AB ＝8，AC ＝6，求DE 的长．一、单选题25．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一一三中学校九年级阶段练习）下列四个命题中，真命题是( )A ．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等B ．圆是轴对称图形， 任何一条直径都是圆的对称轴C ．平分弦的直径一定垂直于这条弦D ．等弧所对的圆周角相等26．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，A ，B 是⊙O 上的点，∠AOB ＝120°，C 是AB 的中点，若⊙O 的半径为5，则四边形ACBO 的面积为（ ）A．25 B．253C．2534D．253227．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，2BC AC=，弦CD AB⊥于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则CBF∠的度数为（）A．18°B．21°C．22.5°D．30°28．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=30°；②∠DOB=2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．429．（2021·陕西·商南县富水镇初级中学九年级期中）如图，O的弦AB、CD相交于点E，且AB CD=．求证：BE DE=．30．（2022·山东临沂·九年级期末）如图，AB 是O 的直径，弦AD 平分BAC ∠，过点D 分别作DE AC ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，O 与AC 交于点G ．(1)求证：EG BF =；(2)若O 的半径6r =，2BF =，求AG 长．一：选择题31．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，30CDB ∠=︒，⊙O 的半径为2，则弦CD 的长为（ ）A ．3B ．32C ．23D ．9 32．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）如图，在O 中，已知直径AB 垂直弦CD ，70BOD ∠=︒，那么BAC ∠的度数等于（ ）A ．55︒B ．45︒C ．35︒D ．25︒33．（2022·全国·九年级单元测试）如图，AB 是直径，点C ，D 在半圆AB 上，若40BAC ∠=︒，则ADC ∠=（ ）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒34．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA ，OC ．若∠ABC=70°，则∠OCA 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°35．（2022·浙江·宁波市鄞州区中河街道宋诏桥初级中学九年级期末）在圆内接四边形ABCD 中，∠BAD 、∠ADC 的角平分线交于点E ，过E 作直线MN 平行于BC ，与AB 、CD 交于M 、N ，则总有MN ＝( )A ．BM +DNB ．AM +CNC ．BM +CND ．AM +DN36．（2022·浙江温州·九年级期中）如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，6AC BC ==，点D ，E 分别在AC 和BC 上，2CD =，若以DE 为直径的⊙O 交AB 的中点F ，则⊙O 的直径是（ ）A ．23B ．2C ．25D ．5二、填空题37．（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，四边形ABCD 是半圆O 的内接四边形，其中AB 是直径，点C 是弧DB 的中点，若∠C ＝110°，则∠ABC 的度数=______．38．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点A 、B 、C 、D 均在O 上，若65AOD ∠=︒，AO DC ∥，则∠B 的度数为______．39．（2022·安徽淮南·一模）如图，在扇形BOC 中，60BOC ∠=︒，OD 平分BOC ∠交弧BC 于点D ．点E 为半径OB 上一动点，若2OB =，则CE DE +长的最小值为______．40．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是圆O 上的点，AC AE =，∠B ＝116°，则∠D 的度数为______度．41．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校九年级阶段练习）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠C ＝45°，半径OB 的长为3，则AB 的长为_____．42．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在O 中、三条劣弧AB 、BC 、CD 的长都相等，弦AC 与BD 相交于点E ，弦BA 与CD 的延长线相交于点F ，且40F ∠=︒，则AED ∠的度数为________．43．（2022·黑龙江·大庆市祥阁学校九年级期中）在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，点N 是线段BC 的中点，点E ，G 分别为射线DA ，线段AB 上的动点，CE 交以DE 为直径的圆于点M ，则GM +GN 的最小值为_____．三、解答题44．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，AD为O的直径，BAD CAD∠=∠，连接BC．点E在O上，=AB BE，求证：∠；(1)BC平分ACE∥．(2)AB CE45．（2022·浙江·金华市第四中学九年级）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为AC的中点，OD与AC交于点E．OD BC(1)证明：∥(2)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；(3)若AB＝4，AC＝3，求DE的长．46．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O 的弦，且AF⊥BC，垂足为D．若BE=6，AB=8．(1)求证：BE=CF；(2)若∠ABC=∠EAC，求AC的长．47．（2022·全国·九年级）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点，弦CD与弦EF交于点P，PB平分∠DPF，连DF交AB于点G．(1)求证：CD＝EF；(2)若∠DPF＝60°，PE∶PF＝1∶3，AB＝13OG的长．48．（2022·陕西·西安辅轮中学九年级期末）问题提出(1)如图1，A、B为⊙O外的两点，请在⊙O上画出所有使得AC＋BC的值最小的C点．问题探究(2)如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝4，求BC＋CD的值；问题解决(3)如图3，某城市要修建一块草坪，草坪由三条线段AB、BC、CD和圆弧AD周成，计划在圆弧AD段用花来布置成标志性造型，AB和CD段栽种观赏性树木，BC临湖．已知点E为BC上一点，BE＝CE＝6，AD长为4 ，且AD 上任意一点F，满足∠BFE＝30°，为了降低成本，现计划使得AB＋CD最小，求AB＋CD的最小值．49．（2022·全国·九年级）（1）【学习心得】小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A 为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．1．C【分析】先求出∠COB 的度数，由圆周角定理求出∠BAC 的度数，再根据弧、弦之间的关系求出∠ABD =45°，即可得到答案．【详解】解：∵∠COD =126°，∴∠COB =54°， ∴1=272BAC COB =︒∠∠， ∵BD 是圆O 的直径，∴∠BAD =90°，∵AB AD =，∴AB =AD ，∴∠ABD =∠ADB =45°，∴∠AGB =180°-∠BAG -∠ABG =108°，故选C ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的弦相等，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知圆周角定理是解题的关键．2．C【分析】先由AC BC =得出90,AOC BOC ∠=∠=︒再利用∠DAB ＝30°通过解直角三角形AOE 求出OE 的长即可得到CE 的长．【详解】解：∵AC BC =∴90,AOC BOC ∠=∠=︒又∵∠DAB ＝30°∴2AE OE =由勾股定理得，222AO OE AE += ∴222(3)(2)OE OE +=∴1OE =(负值舍去) ∴31CE CO OE ===故选：C【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系和勾股定理等知识，熟练掌握树敌太多一口价解答本题的关键．3．B【分析】连接OD、OC，根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD是等边三角形，然后由AD DC CB==可得===2cm，于是可以求出结果．AD DC CB【详解】解：如图,连接OD、OC．==，∵AD DC CB∴∠AOD=∠DOC=∠COB，AD DC CB==；∠AOD+∠DOC+∠COB=180°，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°；OA=OD，∴△AOD是等边三角形，⊙O的半径等于2cm，∴AD=OD=OA=2cm；==，AD DC CB∴AD=CD=BC=OA=2cm；∴四边形ABCD的周长为:AD+CD+BC+AB=5210⨯=cm;故选：B．【点睛】本题考查了心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相等．4．D【分析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．【详解】解：如图连接OB、OD；∵AB=CD，∴AB=CD，故①正确；∵OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴AM =MB ，CN =ND ，∴BM =DN ，∵OB =OD ，∴Rt △OMB ≌Rt △OND ，∴OM =ON ，故②正确；∵OP =OP ，∴Rt △OPM ≌Rt △OPN ，∴PM =PN ，∠OPB =∠OPD ，故④正确；∵AM =CN ，∴P A =PC ，故③正确，综上，四个选项都正确，故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．5．B【分析】连接OM ，ON ，BN ，先证明四边形CMND 是矩形，得到CM =DN ，然后证明Rt △OCM ≌Rt △ODN 得到OC =OD ，∠COM =∠DON ，即可判断①②；当四边形MCDN 是正方形时，MC =CD ，则CM =2OC ，OM ==，2AB OM ===，即可判断③；若M 是AN 的中点，可得∠AOM =∠MON =∠BON =60°，则△ONB 是等边三角形，即可判断④．【详解】解：如图所示，连接OM ，ON ，BN ，∵MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，∴∠OCM =∠ODN =90°，∵MN ∥AB ，∴∠CMN +∠MCD =180°，∴∠CMN =90°，∴四边形CMND 是矩形，∴CM =DN ，又∵OM =ON ，∴Rt △OCM ≌Rt △ODN （HL ），∴OC =OD ，∠COM =∠DON ，∴OA -OC =OB -OD 即AC =BD ，AM BN = ，故①②正确；当四边形MCDN是正方形时，MC=CD，∵OC=OD，∴CM=2OC，∴225OM OC CM OC=+=，∴2255===，故③错误；AB OM OC MN若M是AN的中点，∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，∵ON=OB，∴△ONB是等边三角形，∵ND⊥OB，∴OD=BD，故④正确，故选B．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，等弧所对的圆心角相等，正方形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．6．B【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．【详解】解：∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，∴CE=DE，BC BD=，ACB ADB=，∴∠BOC=2∠A=40°，ACB BC ADB BC+=+，即ADC ADC=，故③正确；∵∠OEC=90°，∠BOC=40°，∴∠C=50°，故②正确；∵∠C≠∠BOC，∴CE≠OE，故①错误；作OP∥CD，交AD于P，∵AB ⊥CD ，∴AE ＜AD ，∠AOP=90°，∴OA ＜PA ，OE ＜PD ，∴PA+PD ＞OA+OE∵OE ＜OA ，∴AD ＞2OE ，故④错误；故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．7．C【分析】如图，连接OB ，OD ，AC ，先求解100OAC OCA ∠+∠=︒，再求解50PAO PCO ∠+∠=︒，从而可得260BOA COD ∠+∠=︒，再利用周角的含义可得3608026020BOD ∠=︒-︒-︒=︒，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OB ，OD ，AC ，∵80AOC ∠=︒，∴100OAC OCA ∠+∠=︒，∵30P ∠=︒，∴50PAO PCO ∠+∠=︒，∵OA OB =，OC OD =，∴OBA OAB ∠=∠，OCD ODC ∠=∠，∴50OBA ODC ∠+∠=︒，∴260BOA COD ∠+∠=︒，∴3608026020BOD ∠=︒-︒-︒=︒．∴BD 的度数20°．【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．8．A【详解】解：连接OA，OB∵∠C=45°∴∠AOB=90°又∵OA=OB，AB=4∴OA=．故选A．9．D【分析】连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，由切线的性质和//AD BC求得AM垂直平分BC，进而得到BAC∠的度数，根据圆周角定理即可解答．【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，AD与圆O相切于A点，∴⊥，MA ADAD BC，//AM BC∴⊥，∴＝，BM MC∴垂直平分BC，AMAB AC∴＝，＝＝，∴∠∠︒58ACB B＝＝，∴∠︒-⨯︒︒BAC18025864BC的度数为128︒，【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理和梯形的性质，解决本题的关键利用切线的性质和梯形的性质构造等腰三角形，求出BC所对的圆周角．10．A【分析】根据垂径定理、圆周角定理、轴对称和等弧的知识点一一判断即可．【详解】解：①平分弦的直径不一定垂直于弦，不一定平分弦所对的两条弧，故原说法错误；②同弧或等弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故原说法错误；③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原说法错误；④圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，故原说法正确；综上所述，正确的说法有1个；故选：A．【点睛】本题考查命题与定理，熟练掌握相应的知识点是解题的关键．11．C【分析】根据等腰三角形的性质可判断A，根据全等三角形的判定与性质可判断B，根据圆周角定理可判断C和D．【详解】解：A．∵OB=OC，∴∠1=∠2，故A正确；B．∵AB=BC，AO=CO，BO=BO，∴△AOB≌△COB，∴∠1=∠4，∠2=∠ABO，∴∠1=∠4=∠2=∠ABO，故B正确；C．∵∠AOB=2∠ACB=2∠1+2∠ACO，故C错误；D．∵∠AOC=2∠ABC=2∠2+2∠ABO=4∠2，∠1=∠2，∴∠AOC=4∠1，故D正确．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．12．D【分析】先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠CDB=52°，然后利用邻补角的定义计算∠AOC的度数．【详解】解：∵∠BOC和∠CDB都对BC，∴∠BOC=2∠CDB=2×26°=52°，∴∠AOC=180°-∠BOC=128°．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13．B【分析】连接BD ，先根据圆周角定理得到∠ADB ＝90°，∠BDC ＝∠CAB ＝24°，即可得到∠ADC 的度数．【详解】解：连接BD ，如图：∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠CAB ＝∠BDC ＝24°，∴∠ADC ＝∠BDC ＋∠ADB ＝24°+90°＝114°．故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．14．C【分析】连接BD ，由直径所对的圆周角等于90度可得90CBD ∠=︒，进而可知ABD ∠，再由圆周角定理即可求解．【详解】解：如图；连接BD ，∵ CD 是O 的直径，90CBD ∴∠=︒，∵78ABC ∠=︒，∴907812∠=∠-∠=︒-︒=︒ABD CBD ABC ，AD AD =，∴224∠=∠=︒AOD ABD ．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于90度，掌握圆周角定理和推论是解题的关键．15．B【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到DC BC =，再利用圆周角定理得到∠BAC ＝∠DAC ＝36°，∠ABD ＝∠ACD＝44°，然后根据三角形内角和计算∠ADB的度数．【详解】解：∵BC＝CD，∴DC BC=，∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是AD，∴∠BAC＝∠DAC＝36°，∴∠=∠+∠=︒，72BAD BAC DAC∵∠ABD＝∠ACD＝44°，∴∠ADB＝180°−∠BAD−∠ABD＝180°−72°−44°＝64°，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．16．D【分析】根据直径所对的圆周角是90°得出∠ACB=90°，再根据直角三角形的两锐角互余得出即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，能根据圆周角定理得出∠ACB=90°是解此题的关键．17．C【分析】判断出点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P，此时PC取得最小值，利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，即∠PBC+∠PBA=90°，∵∠PBC＝∠P AB，∴∠PBA+∠P AB=90°，即∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P，此时PC取得最小值，∵四边形ABCD 是矩形，AB =8，BC =6，∴OB =OP =12AB =4， 由勾股定理得CO 222246213OB BC +=+=PC =2134故选：C ．【点睛】本题考查了点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P 位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．18．A【分析】根据圆周角定理得到∠BAC ＝90°，求出∠B ，根据圆内接四边形的性质求出∠D ＝108°，根据圆心角、弧、弦三者的关系定理解答即可．【详解】解：∵BC 为圆O 的直径，∴90BAC ︒∠=，∴9072B ACB ︒∠=-∠=︒∵四边形ABCD 为圆O 内接四边形，∴180B D ∠∠=︒＋，∴18072108D ∠=︒-︒=︒因为D 为弧AC 中点，∴AD CD =∴AD ＝CD ．∴DAC DCA ∠=∠． ∴180108362DAC ︒-︒∠=︒＝ 故选：A【点睛】本题考查的是圆内接四边形的对角互补，弧、弦、角关系，以及直径对的圆周角是直角等相关知识点，根据题意找出相关的角度关系是解题关键．19．D【分析】根据圆中等弦对等弧对等角，以及圆内接四边形的对角互补，进行计算即可．【详解】解：∵AB＝AD＝CD，∴BA DA DC==，∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC，设∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝x，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，即3x+75°＝180°，解得：x＝35°，∴∠DBC＝35°，在△BDC中，∠BDC＝75°，∠DBC＝35°，∴∠BCD＝180°﹣75°﹣35°＝70°．故选D．【点睛】本题考查了圆中等弦对等弧对等角，以及圆内接四边形的对角互补，熟练掌握相关知识点是解题的关键．20．A【分析】利用圆内接四边形的性质求出∠B，再利用圆周角定理求出∠CAB即可．【详解】解：∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC＝110°，∴∠ABC＝70°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝20°．故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．D【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可．【详解】解：连接OD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠A=60°，∵OD=OA，∴△AOD是等边三角形，∴AD=OD=OA，∵AD=2，∴OA=OD=OB=2，∴AB=2+2=4，故选：D．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键．22．(1)∠E＝35°(2)见解析【分析】（1）先求出∠ACD，∠BAC的度数，再根据三角形外角的性质得出答案；（2）先根据“ASA”证明△ACE≌△DBE，得出BE=CE，再结合已知条件得出答案即可.（1）连接AC，∵AD为120°，BC为50°，∴1120602ACD∠=⨯︒=︒，150252BAC∠=⨯︒=︒，∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°；（2）证明：连接AC、BD，∵BC BC =，∴∠A ＝∠D ，在△ACE 和△DBE 中，A D AE DE E E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACE ≌△DBE （ASA ），∴BE ＝CE ，∵AE ＝DE ，∴AE -BE ＝DE -CE ，即AB ＝CD ．【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．23．(1)见解析(2)14【分析】（1）由同弧所对圆周角相等得出∠ACB =∠ADB ．根据四边形的外接圆性质，可以得∠ADF =∠ABC ．利用AD 平分∠BDF ，可以得到∠ADF =∠ADB ，从而得出∠ABC =∠ACB ，即证明AB =AC ；（2）过A 作BD 的垂线于点G ，构造两个全等三角形△AED ≅△AGD 和△AGB ≅△ACE ，得出GD =ED ，BG =CE ，即可求得CD 长．（1）∵ AD 平分∠BDF ，∴∠ADF =∠ADB ．∵∠ABC +∠ADC =180°，∠ADC +∠ADF =180°，∴∠ADF =∠ABC ，∵∠ACB =∠ADB ，∴∠ABC =∠ACB ，∴ AB =AC ．（2）如图，过点A作AG⊥BD于点G．∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，∴AG=AE，∠AGB=∠AEC=90°．又∵AD=AD，∴△AED≌△AGD(HL)，∴GD=ED=2．在Rt△AEC和Rt△AGB中，AE AG AB AC=⎧⎨=⎩，∴△AEC≌△AGB(HL)，∴BG=CE．∵BD=18，∴BG=BD-GD=18-2=16，∴CE=BG=16，∴CD=CE-DE=16-2=14．【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．24．(1)∠CAD=35°；(2)DE7【分析】（1）由OD⊥AC，求出∠AOD，根据等腰三角形的性质求出∠OAD，进一步计算即可求解；（2）由勾股定理求出BC，根据垂径定理得出AE=EC，再根据三角形中位线定理求出OE，结合图形进一步计算即可求解．（1）解：∵OD⊥AC，∴∠AOD=90°-∠CAB=70°，∵OA=OD，∴∠OAD =180702︒-︒=55°， ∴∠CAD =55°-20°=35°；（2）解：∵AB 是半圆O 的直径，∴∠C =90°，∵AB =8，AC =6，∴BC ==∵OD ⊥AC ，∴AE =EC ，∵OA =OB=OD =4，∴OE =12BC ，∴DE【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理、三角形中位线定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、灵活运用勾股定理是解题的关键．25．D【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A 进行判断，根据对称轴的定义对B 进行判断，根据垂径定理的推论对C 进行判断，根据圆周角定理的推论对D 进行判断．【详解】解：A 、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选项错误，不符合题意；B 、圆是轴对称图形， 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合题意；C 、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意；D 、等弧所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握圆心角、弧、弦的关系，圆的对称性，垂径定理及圆周角定理的推论．26．D【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC =∠BOC =60°，易得△OAC 和△OBC 都是等边三角形，即可解决问题．【详解】解：连OC ，如图，∵C 是AB 的中点，∠AOB =120°，∴∠AOC =∠BOC =60°，又∵OA =OC =OB ，∴△OAC 和△OBC 都是等边三角形，∴S 四边形AOBC =2132525322⨯⨯= 故选：D ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质．27．D【分析】由圆周角定理可求∠ACB =90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC =30°，∠CAB =60°，由直角三角形的性质可求∠CAH =∠ACE =30°，即可求解．【详解】解：∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠ABC +∠CAB =90°，∵2BC AC =，∴∠CAB =2∠ABC ，∴∠ABC =30°，∠CAB =60°，∵CD ⊥AB ，∴∠AEC =90°，∴∠ACE =30°，∵点H 是AG 的中点，∠ACB =90°，∴AH =CH =HG ，∴∠CAH =∠ACE =30°，∵∠CAF =∠CBF ，∴∠CBF =30°，【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB的度数是本题的关键．28．B【分析】根据AC=CD=DB和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断④．【详解】解：∵AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，∴BD=BE，∴∠DOB=∠BOE=∠COD=13×180°=60°，∴①错误；∠CED=12∠COD=12×60°=30°=12∠DOB，即∠DOB=2∠CED；∴②正确；∵BE的度数是60°，∴AE的度数是120°，∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，∵∠CED=30°，∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长，连接CD，∵AC=CD=DB=AF，并且弧的度数都是60°，∴∠D=12×120°=60°，∠CFD=12×60°=30°，∴∠FCD=180°-60°-30°=90°，∴DF是⊙O的直径，即DF=AB=10，∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；综上所述，正确的个数是2个．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M 的位置是解此题的关键．【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【详解】证明：AB CD =，C ABD ∴=，AB AC CD AC ∴-=-，即AD BC =，B D ∴∠=∠，BE DE ∴=；【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．30．(1)见详解(2)AG = 8．【分析】（1）连接BD ，GD ，证明DEG DFB ≌，即可得到结论；（2）先证明DEA DFA ≌，可得AE =AF ，结合EG ＝BF =2，即可得到答案．（1）解：连接BD ，GD ，∵弦AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC 、DF ⊥AB ，∴DE =DF ，∠DEG =∠DFB =90°，∵∠GAD =∠F AD ，∴=GD DB ，∴DG =DB ，在Rt △DEG 和Rt △DFB 中，==DE DF DG DB ⎧⎨⎩， ∴DEG DFB ≌（HL ），∴EG ＝BF ；（2）解：∵∠GAD =∠F AD ，∠DEG =∠DFB =90°，AD =AD ，∴DEA DFA ≌（AAS ），∴AE =AF ，∵⊙O 的半径r ＝6，BF ＝2，∴AE =AF =2×6-2=10，∵EG ＝BF =2，∴AG =AE -EG =10-2=8．【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，圆周角与弧，弧与弦关系，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形的性质是解题的关键．31．C【分析】先根据圆周角定理得到∠COB =60°，再根据垂径定理得到CE =DE ，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CE ，从而得到CD 的长．【详解】解：∵30CDB ∠=︒，∴∠BOC =60°，∵CD AB ⊥，∴CD =2CE ，∠CEO =90°，∴∠OCE =30°，∴OC =2OE ，∵⊙O 的半径为2，即OC =2，∴OE =1， ∴223CE OC OE ，∴2CD CE ==故选：C【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理，勾股定理．32．C【分析】连接OC ，由等腰三角形的“三线合一”可得70COB BOD ∠=∠=︒，从而利用圆周角定理即可求解．【详解】解：连接OC ，直径AB 垂直弦CD ，70BOD ∠=︒，OC =OD ，70COB BOD ∴∠=∠=︒， 11703522BAC BOC ∴∠=∠=⨯︒=︒， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．33．C【分析】连接BC ，由直径所对的圆周角是直角可求得∠B 的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得∠ADC 的度数．【详解】解：连接BC ，AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，40BAC ∠=︒，9050B BAC ∴∠=︒-∠=︒，四边形ABCD 是圆的内接四边形，180ADC B ∴∠+∠=︒，18050130ADC ∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角及圆内接四边形的性质，连接BC 并运用这两个性质是解题的关键．34．A【分析】先根据等腰三角形性质得∠OCA =∠OAC ，GMF 由圆周角定理求得∠AOC =140°，然后利用三角形内角和求解即可．【详解】解：∵OA =OC ，。
九年级数学： 24.1.3 弧、弦、圆心角
24.1.3 弧、弦、圆心角1.下列四个命题：①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等.其中正确命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，在⊙O中，已知弦AB=DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的个数为( )①∠DOE=∠AOB；②弧AB=弧DE；③OF=OC；④AC=EF.A.1个B.2个C.3个D.4个第2题图第3题图3.如图，AB是半圆O的直径，E是OA的中点，F是OB的中点，ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F.在下列结论中：①弧AM=弧MN=弧BN;②ME=NF；③AE=BF;④ME=2AE.正确的有____.4.如图所示，⊙O1和⊙O2为两个等圆，O1A∥O2D，O1O2与AD相交于点E，AD与⊙O1和⊙O2分别交于点B，C，求证：AB=CD.5.如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC 于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：弧GE=弧EF.参考答案1.B 2.D 3.①②③4.证明：∵O1A∥O2D，∴∠A=∠D.∵O1A=O1B，∴∠A=∠O1BA，∴∠AO1B=180°-∠A-∠O1BA=180°-2∠A.同理∠DO2C=180°-2∠D,∴∠AO1B=∠DO2C.又∵⊙O1和⊙O2为两个等圆，∴AB=CD.5.证明：连接AF，如图所示. ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠GAE=∠B，∠EAF=∠AFB.又∵AB=AF，∴∠B=∠AFB.∴∠GAE=∠EAF.∴弧GE=弧EF.。
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弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 如图，在⊙O 中，若圆心角∠AOB=100°，C 是上一点，则∠ACB 等于( )． A ．80° B ．100° C ．130° D ．140°2．已知，如图, AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°。
给出以下五个结论：①∠EBC ＝22.5°；②BD ＝DC ；③AE ＝2EC ；④劣弧 AE 是劣弧 DE的2倍；⑤AE ＝BC 。
其中正确的有( )个A. 5B. 4C. 3D. 2第1题图 第2题图 第3题图3．如图，设⊙O 的半径为r ，弦的长为a ，弦与圆心的距离为d ，弦的中点到所对劣弧中点的距离为h ，下面说法或等式：①r d h =+ ②22244r d a =+ ③已知r 、a 、d 、h 中任意两个，可求其它两个。
其中正确结论的序号是( )A ．仅①B ．②③C ．①②③D ．①③4．（2015•威海）如图，已知AB=AC=AD ，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD 的度数为（ ）A ．68°B ． 88°C ． 90°D ．112°5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个第5题图 第6题图6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，⊙O ，则弦CD 的长为( )．A．32cm B．3cm C．D．9cm二、填空题7．.如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________.8．（2015•青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F=．9．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,CD 则∠AED=°.10．如图所示，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD、CB的延长线相交于P，则∠P＝________°．11.如图所示，在半径为3的⊙O中，点B是劣弧 AC的中点，连接AB并延长到D，使BD＝AB，连接AC、BC、CD，如果AB＝2，那么CD＝________．（第10题图）（第11题图）12．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为AN︵中点，P直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值是 .N（第12题图）13．已知⊙O 的半径OA=2，弦AB 、AC 分别为一元二次方程x 2-（的两个根，则∠BAC 的度数为_______．三、解答题14.如图，在⊙O 中， AB BCCD ==，OB ，OC 分别交AC ，BD 于Ｅ、Ｆ，求证OE OF =15.（2015•宁波模拟）如图，等腰△ABC 中，AC=BC ，⊙O 为△ABC 的外接圆，D 为上一点，CE⊥AD 于E ，求证：AE=BD+DE ．16．如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 为 AE 的中点，CD ⊥AB 于D ，交AE 于F ，连接AC ，求证：AF ＝CF ．17.如图所示，⊙O 的直径AB 长为6，弦AC 长为2，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ， 求四边形ADBC 的面积．【答案与解析】一、选择题1．【答案】C．【解析】设点D是优弧AB上一点（不与A、B重合），连接AD、BD；则∠ADB=∠AOB=50°；∵四边形ADBC内接于⊙O，∴∠C=180°-∠ADB=130°；故选C．2．【答案】C．【解析】①②④正确.3．【答案】C．【解析】根据垂径定理及勾股定理可得①②③都是正确的.4．【答案】B．【解析】如图，∵AB=AC=AD，∴点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上；∵∠CBD=2∠BDC，∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，∴∠CAD=88°，故选B．5．【答案】D．【解析】与∠BCE相等的角有5个，∠DAE=∠AED=∠ABD，∠BAD=∠BAE+∠DAE=∠BAE+∠ABD=∠BCE，同理∠ADO=∠ODE=∠OED=∠BCE，且∠ACD=∠BCE.6．【答案】B．【解析】∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝2∠CDB＝60°，又AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴ ∠OCD ＝30°，12CE CD =，在Rt △OEC 中，∵ OC =cm ，∴ OE =cm ． 2222294CE OC OE =-=-=⎝⎭(cm )．∴ 32CE =cm ，∴ CD ＝3cm ．二、填空题 7．【答案】3； 8．【答案】40°；【解析】∵∠A=55°，∠E=30°，∴∠EBF=∠A+∠E=85°， ∵∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°﹣55°=125°， ∵∠BCD=∠F+∠CBF，∴∠F=125°﹣85°=40°．9．【答案】30°； 10．【答案】40°；【解析】∵ ∠AOC ＝130°，∴ ∠ADC ＝∠ABC ＝65°， 又AB ⊥CD ，∴ ∠PCD ＝90°－65°＝25°，∴ ∠P ＝∠ADC －∠PCD ＝65°－25°＝40°． 11．【答案】43；【解析】连结OA 、OB ，交AC 于E ，因为点B 是劣弧 AC 的中点，所以 OB ⊥AC ，设BE=x,则OE=3-x ，由AB 2-BE 2=OA 2-OE 2得 22-x 2=32-（3-x ）2,解得23x =，423CD BE ==. 或连接OA 、OB ，△OAB ∽△BCD ，AB CD OA BC =，232CD =，43CD =． 12．【答案】；【解析】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，则P 点就是所求作的点．（如图）此时PA+PB 最小，且等于AC 的长．连接OA ，OC ，根据题意得弧AN 的度数是60°，则弧BN 的度数是30°，根据垂径定理得弧CN 的度数是30°， 则∠AOC=90°，又OA=OC=1，则AC= ．13.【答案】15°或75°.【解析】方程x 2-（的解为x 1x 2不妨设： （1）如图，OM ⊥AB 于M ，ON ⊥AC 于N ．∵∴∵OA=2，在Rt △MAO 中，∠MAO=45°，∴在Rt △NAO 中，∠NAO=30°，∴∠BAC=15°； （2）如图，∠BAC=75°．三、解答题14.【答案与解析】如图，∵ AB BC CD ==，∴ AC BD=, ∴AC BD =,∵B,C 是 ,AC BD的中点， ∴1,,2BF CE AC OB AC OC BD ==⊥⊥, ∴Rt OBF Rt OCE ≌, ∴OE OF =15.【答案与解析】证明：如图，在AE 上截取AF=BD ，连接CF ，CD ； 在△ACF 和△BCD 中∴△ACF≌△BCD， ∴CF=CD，∵CE⊥AD 于E ， ∴EF=DE，∴AE=AF+EF=BD +DE ．16.【答案与解析】证法一：连接BC ，如图所示．∵ AB 是直径，∴ ∠ACB ＝90°，即∠ACF+∠BCD ＝90°． 又∵ CD ⊥AB ，∴ ∠B+∠BCD ＝90°，∴ ∠ACF ＝∠B ．∵ 点C 是 AE 的中点， ∴ AC CE=， ∴ ∠B ＝∠CAE ，∴ ∠ACF ＝∠CAE ，∴ AF ＝CF ．证法二：如图所示，连接BC ，并延长CD 交⊙O 于点H ．∵ AB 是直径，CD ⊥AB ，∴ A C A H =． ∴ 点C 是 AE 的中点， ∴ A C C E =， ∴ A H C E =． ∵ ∠ACF ＝∠CAF ， ∴ AF ＝CF ．17.【答案与解析】∵ AB 是直径，∴ ∠ACB ＝∠ADB ＝∠90°． 在Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝2，∴ B C∵ ∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴ ∠DCA ＝∠BCD ． ∴ A D D B=，∴ AD ＝BD ．∴ 在Rt △ABD 中，AD 2+BD 2＝AB 2＝62，∴ AD ＝BD ＝ ∴ 11C 22ABC ABD ADBC S S S A BC AD BD ∆∆=+=+ 四边形2112922=⨯⨯⨯=+。