2019年吉林省中考数学试卷

2019年吉林省中考数学试卷副标题一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A. 3B. 2C. 1D. -1【答案】D【解析】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为-1，故选：D．直接利用数轴得出结果即可．本题考查了数轴、根据数轴-1是解题关键．2.如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：故选：D．找到从上面看所得到的图形即可．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3.若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（）A. a+1B. a-1C. a×1D. a÷1【答案】B【解析】解：A．a+1＞a，选项错误；B．a-1＜a，选项正确；C．a×1=a，选项错误；D．a÷1=a，选项错误；故选：B．根据一个数加上一个正数的和大于本身，加上一个负数小于本身，减去一正数小于本身，减去一个负数大于本身，乘以1等于本身，除以1也等于本身，逐一进行比较便可．本题主要考查了实数的大小比较，具体考查了一个数加1，减1，乘1，除以1，值的大小变化规律．基础题．4.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A. 30°B. 90°C. 120°D.180°【答案】C【解析】解：∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选：C．根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．5.如图，在⊙O中，AB⏜所对的圆周角∠ACB=50°，若P为AB⏜上一点，∠AOP=55°，则∠POB的度数为（）A. 30°B. 45°C. 55°D. 60°【答案】B【解析】解：∵∠ACB=50°，∴∠AOB=2∠ACB=100°，∵∠AOP=55°，∴∠POB=45°，故选：B．根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．6.曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（）A. 两点之间，线段最短B. 平行于同一条直线的两条直线平行C. 垂线段最短D. 两点确定一条直线【答案】A【解析】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．故选：A．利用两点之间线段最短进而分析得出答案．此题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关键．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.分解因式：a2-1=______．【答案】（a+1）（a-1）【解析】解：a2-1=（a+1）（a-1）．故答案为：（a+1）（a-1）．符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．8.不等式3x-2＞1的解集是______．【答案】x＞1【解析】解：∵3x-2＞1，∴3x＞3，∴x＞1，∴原不等式的解集为：x＞1．故答案为x＞1．利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2再除以3，不等号的方向不变．本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．9.计算：y2x2•xy=______．【答案】12x【解析】解：y2x2•xy=12x，故答案为：12x．根据分式乘除法的法则计算即可．本题考查了分式的乘除法，熟记法则是解题的关键．10.若关于x的一元二次方程（x+3）2=c有实数根，则c的值可以为______（写出一个即可）．【答案】5（答案不唯一，只有c≥0即可）【解析】解：一元二次方程化为x2+6x+9-c=0，∵△=36-4（9-c）=4c≥0，解上式得c≥0．故答为5（答案不唯一，只有c≥0即可）．由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范围．本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，关键在于求出c的取值范围．11.如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC=70°，∠CED=50°，则∠B=______°．【答案】60【解析】解：∵ED ∥BC ，∴∠CED =∠C =50°，又∵∠BAC =70°，∴△ABC 中，∠B =180°-50°-70°=60°，故答案为：60．利用平行线的性质，即可得到∠CED =∠C =50°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B 的度数．本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．12. 如图，在四边形ABCD 中，AB =10，BD ⊥AD ．若将△BCD沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为______．【答案】20【解析】解：∵BD ⊥AD ，点E 是AB 的中点，∴DE =BE =12AB =5，由折叠可得，CB =BE ，CD =ED ，∴四边形BCDE 的周长为5×4=20， 故答案为：20．根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到DE =BE =12AB =5，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE 的周长为5×4=20． 本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．13. 在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为______m ．【答案】54【解析】解：设这栋楼的高度为hm ，∵在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋楼的影长为60m ， ∴1.83=ℎ90，解得h =54（m ）．故答案为：54．根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．14. 如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°．D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在AB ⏜上．若OD =8，OE =6，则阴影部分图形的面积是______（结果保留π）．【答案】25π-48【解析】解：连接OC，∵∠AOB=90°，四边形ODCE是平行四边形，∴▱ODCE是矩形，∴∠ODC=90°．∵OD=8，OE=6，∴OC=10，∴阴影部分图形的面积=90⋅π×102-8×6=25π-48．360故答案为：25π-48．连接OC，根据同样只统计得到▱ODCE是矩形，由矩形的性质得到∠ODC=90°．根据勾股定理得到OC=10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）15.先化简，再求值：（a-1）2+a（a+2），其中a=√2．【答案】解：原式=a2-2a+1+a2+2a=2a2+1，当a=√2时，原式=5．【解析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．【答案】解：画树状图如下：共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种结果，则取出的扇子和手绢都是．红色的概率为14【解析】画出树状图，共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能，由概率公式即可得出结果．此题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x=4时，求y的值．【答案】解：（1）y是x的反例函数，所以，设y=kx(k≠0)，当x=2时，y=6．所以，k=xy=12，所以，y=12x；（2）当x=4时，y=3．【解析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）直接利用x=4代入求出答案．此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键．18.如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．【答案】证明：由题意可得：AE=FC，在平行四边形ABCD中，AB=DC，∠A=∠C在△ABE和△CDF中，{AE=CF ∠A=∠C AB=CD，所以，△ABE≌△CDF（SAS）．【解析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案．此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确掌握基本作图方法是解题关键．19.图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD=∠CHD=90°．【答案】解：（1）如图，菱形AEBF 即为所求．（2）如图，四边形CGDH 即为所求．【解析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．本题考查作图-应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20. 问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a 根竹签，b 个山楂．若每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，则下列等式成立的是______（填写序号）．（1）bc +d =a ；（2）ac +d =b ；（3）ac -d =b ．【答案】（2）【解析】问题解决解：设竹签有x 根，山楂有y 个，由题意得：{5x +4=y 8(x −7)=y， 解得：{x =20y =104， 答：竹签有20根，山楂有104个；反思归纳解：∵每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，则ac +d =b ，故答案为：（2）．问题解决设竹签有x 根，山楂有y 个，由题意得出方程组：{5x +4=y 8(x −7)=y，解方程组即可；反思归纳由每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，得出ac +d =b 即可．本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．21. 墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A 与地面的距离AB为170cm ，花洒AC 的长为30cm ，与墙壁的夹角∠CAD 为43°．求花洒顶端C 到地面的距离CE （结果精确到1cm ）．（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）【答案】解：过C作CF⊥AB于F，则∠AFC=90°，在Rt△ACF中，AC=30，∠CAF=43°，∵cos∠CAF=AF，AC∴AF=AC•cos∠CAF=30×0.73=21.9，∴CE=BF=AB+AF=170+21.9=191.9≈192（cm），答：花洒顶端C到地面的距离CE为192cm．【解析】过C作CF⊥AB于F，于是得到∠AFC=90°，解直角三角形即可得到结论．本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．22.某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．其中最具有代表性的一个方案是______；（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为______人；②统计图中人数最多的选项为______；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．【答案】方案三1000 手机【解析】解：（1）最具有代表性的一个方案是方案三，故答案为：方案三；（2）①这次接受调查的居民人数为260+400+150+100+90=1000人；②统计图中人数最多的选项为手机；=52.8万人，③80×260+4001000答：该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数52.8万人．故答案为：1000，手机．（1）根据三个方案选出最具有代表性的一个方案即可；（2）①把电脑、手机、电视、广播、其他，这五个选项的总人数相加即可； ②从统计图中找出人数最多的选项即可；③用80×该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的人数所占的百分比即可得到结论．本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；也考查了用样本估计总体．23. 甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B 地，乙车立即以原速原路返回到B 地．甲、乙两车距B 地的路程y （km ）与各自行驶的时间x （h ）之间的关系如图所示．（1）m =______，n =______；（2）求乙车距B 地的路程y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当甲车到达B 地时，求乙车距B 地的路程．【答案】4 120【解析】解：（1）根据题意可得m =2×2=4，n =280-280÷3.5=120； 故答案为：4；120；（2）设y 关于x 的函数解析式为y =kx （0≤x ≤2），因为图象经过（2，120），所以2k =120，解得k =60，所以y 关于x 的函数解析式为y =60x ，设y 关于x 的函数解析式为y =k 1x +b （2≤x ≤4），因为图象经过（2，120），（4，0）两点，所以{2k 1+b =1204k 1+b =0， 解得{k 1=−60b =240， 所以y 关于x 的函数解析式为y =-60+240（2≤x ≤4）；（3）当x =3.5时，y =-60×3.5+240=30． 所以当甲车到达B 地时，乙车距B 地的路程为30km ．（1）观察图象即可解决问题；（2）运用待定系数法解得即可；（3）把x =3代入（2）的结论即可．此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式．24. 性质探究如图①，在等腰三角形ABC 中，∠ACB =120°，则底边AB 与腰AC 的长度之比为______． 理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4√3，则它的面积为______； （2）如图②，在四边形EFGH 中，EF =EG =EH ．①求证：∠EFG +∠EHG =∠FGH ；②在边FG ，GH 上分别取中点M ，N ，连接MN ．若∠FGH =120°，EF =10，直接写出线段MN 的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为______（用含α的式子表示）．【答案】√3 4√3 2sinα【解析】性质探究解：作CD ⊥AB 于D ，如图①所示：则∠ADC =∠BDC =90°，∵AC =BC ，∠ACB =120°，∴AD =BD ，∠A =∠B =30°，∴AC =2CD ，AD =√3CD ，∴AB =2AD =2√3CD ，∴AB AC =2√3CD 2CD=√3； 故答案为：√3；理解运用（1）解：如图①所示：同上得：AC =2CD ，AD =√3CD ，∵AC +BC +AB =8+4√3，∴4CD +2√3CD =8+4√3，解得：CD =2，∴AB =4√3，∴△ABC 的面积=12AB ×CD =12×4√3×2=4√3； 故答案为：4√3（2）①证明：∵EF =EG =EH ，∴∠EFG =∠EGF ，∠EGH =∠EHG ，∴∠EFG +∠EHG =∠EGF +∠EGH =∠FGH ；②解：连接FH ，作EP ⊥FH 于P ，如图②所示：则PF =PH ，由①得：∠EFG +∠EHG =∠FGH =120°，∴∠FEH =360°-120°-120°=120°，∵EF =EH ，∴∠EFH =30°，∴PE =12EF =5，∴PF=√3PE=5√3，∴FH=2PF=10√3，∵点M、N分别是FG、GH的中点，∴MN是△FGH的中位线，∴MN=12FH=5√3；类比拓展解：如图③所示：作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD，∠BAD=12∠BAC=α，∵sinα=BDAB，∴BD=AB×sinα，∴BC=2BD=2AB×sinα，∴BC AB =2AB⋅sinαAB=2sinα；故答案为：2sinα．性质探究作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由等腰三角形的性质得出AD=BD，∠A=∠B=30°，由直角三角形的性质得出AC=2CD，AD=√3CD，得出AB=2AD=2√3CD，即可得出结果；理解运用（1）同上得出则AC=2CD，AD=√3CD，由等腰三角形的周长得出4CD+2√3CD=8+4√3，解得：CD=2，得出AB=4√3，由三角形面积公式即可得出结果；（2）①由等腰三角形的性质得出∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，得出∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH即可；②连接FH，作EP⊥FH于P，由等腰三角形的性质得出PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，由四边形内角和定理求出∠FEH=120°，由等腰三角形的性质得出∠EFH=30°，由直角三角形的性质得出PE=12EF=5，PF=√3PE=5√3，得出FH=2PF=10√3，证明MN是△FGH的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；类比拓展作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD=CD，∠BAD=12∠BAC=α，由三角函数得出BD=AB×sinα，得出BC=2BD=2AB×sinα，即可得出结果．本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、四边形内角和定理、就直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．25.如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=3cm，E为边BC上一点，BE=AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以√2cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s 的速度沿折线AD-DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE=______cm，∠EAD=______°；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当PQ=54cm时，直接写出x的值．【答案】3√2 45【解析】解：（1）∵AB =3cm ，BE =AB =3cm ，∴AE =√AB 2+BE 2=3√2cm ，∠BAE =∠BEA =45°∵∠BAD =90°∴∠DAE =45°故答案为：3√2，45（2）当0＜x ≤2时，如图，过点P 作PF ⊥AD ，∵AP =√2x ，∠DAE =45°，PF ⊥AD∴PF =x =AF ，∴y =S △PQA =12×AQ ×PF =x 2， （2）当2＜x ≤3时，如图，过点P 作PF ⊥AD ，∵PF =AF =x ，QD =2x -4∴DF =4-x ，∴y =12x 2+12（2x -4+x ）（4-x ）=-x 2+8x -8当3＜x ≤72时，如图，点P 与点E 重合．∵CQ =（3+4）-2x =7-2x ，CE =4-3=1cm∴y =12（1+4）×3-12（7-2x ）×1=x +4（3）当0＜x ≤2时∵QF =AF =x ，PF ⊥AD∴PQ =AP∵PQ =54cm∴√2x =54∴x =5√28 当2＜x ≤3时，过点P 作PM ⊥CD∴四边形MPFD 是矩形∴PM =DF =4-2x ，MD =PF =x ，∴MQ =x -（2x -4）=4-x∵MP 2+MQ 2=PQ 2，∴（4-2x ）2+（4-x ）2=2516∵△＜0∴方程无解当3＜x ≤72时，∵PQ 2=CP 2+CQ 2，∴2516=1+（7-2x ）2，∴x =258综上所述：x =258或5√28 （1）由勾股定理可求AE 的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD 的度数；（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．26.如图，抛物线y=（x-1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，-3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h=9时，直接写出△BCP的面积．【答案】解：（1）将点C（0，-3）代入y=（x-1）2+k，得k=-4，∴y=（x-1）2-4=x2-2x-3；（2）令y=0，x=-1或x=3，∴A（-1，0），B（3，0），∴AB=4；抛物线顶点为（1，-4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，S=12×4×4=8；（3）①当0＜m≤1时，h=-3-（m2-2m-3）=-m2+2m；当1＜m≤2时，h=-1-（-4）=1；当m＞2时，h=m2-2m-3-（-4）=m2-2m+1；②当h=9时若-m2+2m=9，此时△＜0，m无解；若m2-2m+1=9，则m=4，∴P（4，5），∵B（3，0），C（0，-3），∴△BCP的面积=12×8×4-12×5×1-12×（4+1）×3=6；【解析】（1）将点C（0，-3）代入y=（x-1）2+k即可；（2）易求A（-1，0），B（3，0），抛物线顶点为（1，-4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值；（3））①当0＜m≤1时，h=-3-（m2-2m-3）=-m2+2m；当1＜m≤2时，h=-1-（-4）=1；当m＞2时，h=m2-2m-3-（-4）=m2-2m+1；②当h=9时若-m2+2m=9，此时△＜0，m无解；若m2-2m+1=9，则m=4，则P（4，5），△BCP的面积=12×8×4-12×5×1-12×（4+1）×3=6；本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．。