Programming for Combinatorial Optimization Problems CP-AI-OR 01,
组合优化

0 0 3 4 4 7
0 0 3 4 5 7
0 0 3 4 5 7
启发式算法
• 在实际应用中,可以通过数值模拟的方法 来衡量算法的性能,从而免去了理论证明 的困难和局限,使我们可以充分地利用经 验和技巧,自由地调整算法的步骤和参 数,设计出性能尽可能好的算法。这样的 算法称为启发式算法(heuristic)
k 0 w • 实例 0 0 C 5, n 4 p1 3, p2 4, p3 5, p4 6 1 0 w1 2, w2 3, w3 4, w4 5 2 0 • 最优值为 7,最优 3 0 解为物品1,2 放入 4 0 背包 5 0
1 2 3 4
0 0 3 3 3 3
• 由初始条件和递推关系可逐步求得 I (n, C), 外层循环为 k 0,, n ,内层循环为 w 0,, C • 该动态规划时间复杂性为 Ο(nC) ,背包问题 的实例规模为 Ο(n log2 B), B max{ p j , wj , C} , 因此它是一个伪多项式算法
背包问题的动态规划
中国邮递员问题
• 一位邮递员从邮局选好邮件去投 递,然后返回邮局。他必须经过 由他负责投递的每条街道至少一 次。如何为这位邮递员设计一条 投递线路,使其耗时最少。
中国邮递员问题
• Euler环游(一笔画)
• 经过图中所有边恰好一 次的回路称为Euler 回路 ,含有Euler回路的图称 为Euler 图 • 图是Euler 图的充要条件 是图中没有奇度顶点
P NP 假设下
• NP 类中的问题既不是没有多项式时间算法的问题 ,也不是最难的问题。
P NP 假设下
P 与NP-hard
• P问题
• 图的最短路 • 图的最大流、最小割 • 背包问题 • 划分问题 • 图的独立集、团、顶 点覆盖 P 问题 线性规划 (二维)匹配 指派 Euler圈 中国邮递员 最小生成树 NP-hard问题 整数规划 三维匹配 二次指派 Hamiltion圈 TSP 最小Steiner树
pyomo 模拟退火 解方程

pyomo 模拟退火解方程Pyomo是一个用于建模和求解数学优化问题的Python库,而模拟退火是一种全局优化算法,通常用于解决复杂的非线性方程或函数的最优化问题。
在Pyomo中使用模拟退火算法来解方程,通常需要以下步骤:1. 定义目标函数,首先需要将要解决的方程转化为目标函数的形式。
这可能涉及到将方程转化为等式或不等式的形式,以便进行优化求解。
2. 建立优化模型,使用Pyomo来建立数学优化模型,将目标函数和约束条件进行数学建模。
这包括定义决策变量、目标函数以及任何约束条件。
3. 配置模拟退火算法,Pyomo提供了接口来调用不同的优化算法,包括模拟退火算法。
需要配置模拟退火算法的参数,如初始温度、降温速度等。
4. 求解优化问题,调用Pyomo的求解器来求解配置好的优化模型,其中包括使用模拟退火算法来寻找方程的最优解。
举例来说,假设我们要使用模拟退火算法来解决以下方程的最优解问题:\[ \text{最小化} \quad f(x) = (x-2)^2 + 3 \]其中 \(x\) 是决策变量,我们想要找到使得 \(f(x)\) 最小化的 \(x\) 值。
首先,我们需要将这个方程转化为Pyomo的目标函数形式。
然后,建立Pyomo优化模型,定义决策变量 \(x\) 和目标函数\(f(x)\)。
接着,配置模拟退火算法的参数,如初始温度、降温速度等。
最后,调用Pyomo的求解器,使用模拟退火算法来求解这个优化问题,找到使得 \(f(x)\) 最小化的 \(x\) 值。
总之,使用Pyomo和模拟退火算法来解方程涉及到数学建模、优化模型配置和求解器调用等步骤。
这些步骤需要仔细考虑,以确保得到准确的方程解。
最优化方法 程序设计

最优化方法程序设计最优化方法是一种数学方法,通常用于找到最大或最小值。
在程序设计中,最优化方法被广泛应用于解决各种问题,例如优化算法、机器学习和数值分析等。
最优化方法的核心思想是通过迭代的过程,从初始值开始逐步优化目标函数的取值,直到达到最优解。
常见的最优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。
在程序设计中,我们通常使用这些最优化方法来解决诸如优化调度、资源分配、模型拟合等问题。
在程序设计中,常用的最优化方法主要包括以下几种:1.梯度下降法(Gradient Descent):梯度下降法是一种常用的优化方法,主要用于求解无约束的非线性优化问题。
通过计算目标函数的梯度方向,更新参数值,直到达到最优解。
2.牛顿法(Newton's Method):牛顿法是一种求解无约束的非线性优化问题的方法。
通过利用目标函数的海森矩阵,求解方程组,找到最优解。
3.遗传算法(Genetic Algorithm):遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化方法,主要用于求解复杂的优化问题。
通过模拟个体的基因变异和交叉等操作,逐步优化目标函数的取值。
4.蚁群算法(Ant Colony Algorithm):蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的优化方法,主要用于求解组合优化问题。
通过模拟蚂蚁的行为,在搜索空间中寻找最优解。
5.粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization):粒子群优化算法是一种模拟鸟群觅食行为的优化方法,主要用于求解多维连续优化问题。
通过模拟粒子在搜索空间中的移动和交互,逐步优化目标函数的取值。
当选择最优化方法进行程序设计时,需要根据具体的问题性质和约束条件选择合适的方法,并根据实际情况进行参数调优,以获得更好的优化效果。
算术优化算法的参数

算术优化算法的参数
算术优化算法(Arithmetic Optimization,AO)是一种优化算法,用于在数学和计算领域中解决各种优化问题。
算术优化算法通常使用启发式方法来寻找问题的最优解,它通过迭代搜索空间来逐步逼近最优解。
算术优化算法的参数包括:
1. 迭代次数:算术优化算法通常需要进行多次迭代才能找到最优解。
迭代次数决定了算法的搜索深度和时间成本。
2. 搜索策略:算术优化算法通常采用一种启发式搜索策略,如模拟退火、遗传算法、粒子群优化等。
搜索策略决定了算法的搜索方向和效率。
3. 目标函数:算术优化算法通常需要针对特定的目标函数进行优化。
目标函数是指需要优化的数学表达式,它描述了问题的最优解。
4. 初始解:算术优化算法通常从一个初始解开始搜索。
初始解的选择会影响算法的搜索效率和结果。
5. 停止条件:算术优化算法通常需要设置停止条件,以确定何时停止搜索。
停止条件可以是达到预设的最大迭代次数、找到满足一定精度要求的解等。
需要注意的是,算术优化算法的具体参数可能会因问题类型和具体应用而有所不同。
因此,在实际应用中,需要根据具体问题选择合适的参数并进行实验和调整,以获得最佳的优化效果。
组合优化及算法 共36页PPT资料

Combinatorial Optimization
组合优化是运筹学的后继课程,同时也是运筹学的 一个重要独立分支,是一类重要的优化问题
• 最优化(数学规划)
– 连续优化(数学规划): – 数学规划(线性规划、非线性规划)、非光
滑优化、全局优化、锥优化等 – 离散优化:网络优化、组合优化、整数规划等 – 不确定规划:随机规划、模糊规划等
30! / 10e+10 > 2.65e+22 (秒) 即 2.65e+22 / (365*24*60*60)
> 8.4e+13 (年)
计算复杂性的概念
多项式时间算法
构造算法的目的是能够解决问题(或至少是问题某个 子类)的所有实例而不单单是某一个实例
问题(Problem)是需要回答的一般性提问,通常含有若干个满 足一定条件的参数. 问题通过下面的描述给定:(1)描述所有
实例I,算法A总能找到一个可行解,那么这个算法
称为该问题的近似算法.
最优算法:如果进一步,如果这个可行解的目标值 总等于最优解值,则称A为最优算法.
典型组合优化问题
• 背包问题 • 装箱问题 • 平行机排序问题 • 图与网络优化问题
最小支撑树、最短路、最大流、最小费用流、最大基数匹 配问题 • 指派问题 • 旅行售货商问题 • 斯坦纳最小树问题
计算复杂性的概念
多项式时间算法
例 构造算法将n个自然数从小到大排列起来
算法
输入自然数a(1),a(2),…,a(n). for (i=1;i<n;i++)
for (j=i+1;j<=n;j++) if (a(i)>a(j)){ k=a(i);a(i)=a(j);a(j)=k; }
c语言最优化问题的编程

C语言最优化问题的编程1. 简介在计算机科学中,最优化问题是指在给定约束条件下,寻找使得目标函数达到最大或最小值的变量取值。
C语言是一种高效、强大的编程语言,可以用于解决各种最优化问题。
本文将介绍C语言中最优化问题的编程方法和常用算法。
2. 最优化问题的定义最优化问题可以形式化地定义为:minimize f(x)subject to g(x) <= 0h(x) = 0其中,f(x)是目标函数,g(x)是不等式约束条件,h(x)是等式约束条件。
我们的目标是找到使得目标函数f(x)取得最小值的变量取值x。
3. 求解最优化问题的算法3.1. 穷举法穷举法是一种简单但效率较低的求解最优化问题的方法。
它通过遍历所有可能的解空间来寻找最优解。
在C语言中,可以使用嵌套循环和条件判断来实现穷举法。
double exhaustive_search(double lower_bound, double upper_bound, double step_s ize) {double min_value = INFINITY;double min_x;for (double x = lower_bound; x <= upper_bound; x += step_size) {double value = f(x);if (value < min_value) {min_value = value;min_x = x;}}return min_x;}上述代码中,lower_bound和upper_bound分别是变量x的取值范围的下界和上界,step_size是每次迭代的步长。
函数f(x)计算目标函数的值。
通过遍历x的所有可能取值,并比较目标函数的值,最终找到使得目标函数最小化的x。
3.2. 梯度下降法梯度下降法是一种常用且高效的求解最优化问题的方法。
它利用目标函数在当前点处的梯度信息来指导搜索方向,并通过迭代逐步接近最优解。
数学建模装箱问题
2 对于每个物品 Jj 总是放在能容纳它的具 有最小标号的箱子
计算复杂性为 Onlogn
但精度比NF 算法更高
§3 装箱问题的近似算法
Theorem 3 4
zFF (I ) 7 . zopt (I ) 4
7 17 1 4 10 20
Theorem 3 5 对任意实例 I ;
个箱子中第一个物品,因此这两个箱子中物品的总长度
大于 C ;所以前 2k 个箱子中物品的总长度大于 Ck
n
这与 w i
i1
考虑实例
I
Ck
:C
=矛1,盾w .1 ,w 2 , ,zzw o Np4 FtN ((II )) 1 2 ,22 ,1 N 从 ,1 2 ,而 2 1 N ,RN,F1 2 ,2 1 2 N .
若 B2 能放得下;则 J3 放入 B2 , 否则启用 B3, J3 放入 B3
第八章 装箱问题
一般地;J1,…,Jj 已放入 B1,…,Bi 箱子,对于 Jj+1, 则依次检查 B1,B2,…,Bi,将 Jj+1 放入首先找到的能 放得下的箱子,如果都放不下,则启用箱子 Bi+1 ,将 Jj+1 放入 Bi+1 ,如此继续,直到所有物品装完为止
第八章 装箱问题
§3 装箱问题的近似算法
一 NF Next Fit 算法 设对物当品前J要1;装J2,的…物,品Jn 的Ji 只长关度心分具别有为最w1大,下w2标,…的,已w使n
箱用子过B的1,箱B子2,B…j 能的否长装均得为下C ,按物品给定的顺序装箱 能 先则将JJi 1放放入入BBj ;1, 如否果. 关w1闭wB2j;JCi 放则入将新J箱2 放子入BBj+11 .… 如果 w 1 w 2 w j C 而 w 1 w 2 w j w j 1 C 则 B1 已放入 J1;J2,…,Jj,将其关闭,将 Jj+1 放入 B2
编程英语中英文对照
编程英语中英文对照Data Structures 基本数据结构Dictionaries 字典Priority Queues 堆Graph Data Structures 图Set Data Structures 集合Kd-Trees 线段树Numerical Problems 数值问题Solving Linear Equations 线性方程组Bandwidth Reduction 带宽压缩Matrix Multiplication 矩阵乘法Determinants and Permanents 行列式Constrained and Unconstrained Optimization 最值问题Linear Programming 线性规划Random Number Generation 随机数生成Factoring and Primality Testing 因子分解/质数判定Arbitrary Precision Arithmetic 高精度计算Knapsack Problem 背包问题Discrete Fourier Transform 离散Fourier变换Combinatorial Problems 组合问题Sorting 排序Searching 查找Median and Selection 中位数Generating Permutations 排列生成Generating Subsets 子集生成Generating Partitions 划分生成Generating Graphs 图的生成Calendrical Calculations 日期Job Scheduling 工程安排Satisfiability 可满足性Graph Problems -- polynomial 图论-多项式算法Connected Components 连通分支Topological Sorting 拓扑排序Minimum Spanning Tree 最小生成树Shortest Path 最短路径Transitive Closure and Reduction 传递闭包Matching 匹配Eulerian Cycle / Chinese Postman Euler回路/中国邮路Edge and Vertex Connectivity 割边/割点Network Flow 网络流Drawing Graphs Nicely 图的描绘Drawing Trees 树的描绘Planarity Detection and Embedding 平面性检测和嵌入Graph Problems -- hard 图论-NP问题Clique 最大团Independent Set 独立集Vertex Cover 点覆盖Traveling Salesman Problem 旅行商问题Hamiltonian Cycle Hamilton回路Graph Partition 图的划分Vertex Coloring 点染色Edge Coloring 边染色Graph Isomorphism 同构Steiner Tree Steiner树Feedback Edge/Vertex Set 最大无环子图Computational Geometry 计算几何Convex Hull 凸包Triangulation 三角剖分Voronoi Diagrams Voronoi图Nearest Neighbor Search 最近点对查询Range Search 范围查询Point Location 位置查询Intersection Detection 碰撞测试Bin Packing 装箱问题Medial-Axis Transformation 中轴变换Polygon Partitioning 多边形分割Simplifying Polygons 多边形化简Shape Similarity 相似多边形Motion Planning 运动规划Maintaining Line Arrangements 平面分割Minkowski Sum Minkowski和Set and String Problems 集合与串的问题Set Cover 集合覆盖Set Packing 集合配置String Matching 模式匹配Approximate String Matching 模糊匹配Text Compression 压缩Cryptography 密码Finite State Machine Minimization 有穷自动机简化Longest Common Substring 最长公共子串Shortest Common Superstring 最短公共父串DP——Dynamic Programming——动态规划recursion —— 递归编程词汇A2A integration A2A整合abstract 抽象的abstract base class (ABC)抽象基类abstract class 抽象类abstraction 抽象、抽象物、抽象性access 存取、访问access level访问级别access function 访问函数account 账户action 动作activate 激活active 活动的actual parameter 实参adapter 适配器add-in 插件address 地址address space 地址空间address-of operator 取地址操作符ADL (argument-dependent lookup)ADO(ActiveX Data Object)ActiveX数据对象advanced 高级的aggregation 聚合、聚集algorithm 算法alias 别名align 排列、对齐allocate 分配、配置allocator分配器、配置器angle bracket 尖括号annotation 注解、评注API (Application Programming Interface) 应用(程序)编程接口app domain (application domain)应用域application 应用、应用程序application framework 应用程序框架appearance 外观append 附加architecture 架构、体系结构archive file 归档文件、存档文件argument引数(传给函式的值)。
ab剪枝算法
ab剪枝算法在计算机科学的领域中,剪枝(pruning)是一种常用的优化技术,它可以帮助我们在搜索问题的解空间中减少无效的搜索,从而提高算法的效率。
ab剪枝算法就是一种经典的剪枝算法,它在博弈树搜索中被广泛应用。
ab剪枝算法是一种极小极大算法的优化方法,它能够减少博弈树搜索的节点数量,从而提高搜索效率。
在博弈树搜索中,我们通常会遍历所有可能的走法,并计算每个走法对应的局面评估值。
然而,这种暴力搜索的方法往往会导致搜索空间巨大,计算量巨大,效率低下。
ab剪枝算法的核心思想是利用博弈树搜索过程中的剪枝操作,减少不必要的搜索。
具体来说,ab剪枝算法在搜索过程中设定了两个界限,即alpha和beta值。
alpha值表示当前搜索路径中已经搜索到的最大值,beta值表示当前搜索路径中已经搜索到的最小值。
在搜索过程中,如果发现某个节点的局面评估值已经超过了alpha或beta值,就可以提前终止对该节点的搜索,从而剪掉该节点以及其子节点,减少搜索空间。
ab剪枝算法的实现过程可以分为两个阶段:搜索阶段和剪枝阶段。
在搜索阶段,我们会按照某种搜索策略遍历所有可能的走法,并计算每个走法对应的局面评估值。
在搜索过程中,我们会不断更新alpha和beta值,以及当前搜索路径中的最大值和最小值。
在剪枝阶段,我们会根据alpha和beta值对搜索路径进行剪枝操作,从而减少搜索空间。
ab剪枝算法的优势在于其能够大大减少搜索空间,提高搜索效率。
相比于传统的暴力搜索方法,ab剪枝算法能够极大地减少计算量,提高算法的执行速度。
在博弈类问题中,ab剪枝算法往往能够在有限的时间内找到最优解,从而为玩家提供最佳的决策。
除了在博弈树搜索中的应用,ab剪枝算法还可以应用于其他领域,如优化问题的求解。
通过合理地设置alpha和beta值,我们可以在搜索过程中提前发现无效的解,从而减少搜索空间,提高算法效率。
总结来说,ab剪枝算法是一种常用的优化技术,它能够在搜索问题中减少无效的搜索,提高算法的效率。
程序设计中的算法优化策略
程序设计中的算法优化策略算法优化是程序设计中的重要环节,它涉及到如何提高算法的效率和性能。
在程序设计中,算法优化策略主要包括减少时间复杂度、减少空间复杂度和优化算法实现。
在本文中,将从这三个方面来探讨程序设计中的算法优化策略。
一、减少时间复杂度时间复杂度是算法性能的重要指标之一,它表示算法执行所需要的时间,通常用大O表示法来表示。
在程序设计中,常见的时间复杂度有O(1)、O(n)、O(logn)、O(nlogn)等。
为了减少时间复杂度,我们可以采取以下策略:1.使用合适的数据结构:根据算法的特点和要求,选择合适的数据结构可以大大提高算法的效率。
例如,对于查找操作比较频繁的情况,可以使用哈希表来存储数据,以达到O(1)的时间复杂度。
2.优化循环结构:循环结构是程序中常见的一种重复操作,因此优化循环结构对于提高算法的效率非常重要。
可以通过减少循环次数、避免不必要的循环等方式来优化循环结构。
3.分治法:对于规模较大的问题,可以采用分治法来分解成多个规模较小的子问题,然后分别解决这些子问题,最后将子问题的解合并得到原问题的解。
通过分治法可以有效减少问题的规模,从而提高算法的效率。
二、减少空间复杂度空间复杂度是算法所需要的内存空间大小,同样也是算法性能的重要指标。
在程序设计中,我们可以通过以下策略来减少空间复杂度:1.使用原地算法:原地算法是指算法执行过程中不需要额外的内存空间,所有的操作都在原始数据上进行。
使用原地算法可以减少额外的内存开销,提高算法的空间效率。
2.释放无用的内存:在程序执行过程中,可能会生成大量的临时变量和中间结果,这些变量可能会占用大量的内存空间。
如果这些变量在后续的计算中不再使用,就应该及时释放这些变量所占用的内存空间,以减少空间复杂度。
三、优化算法实现除了减少时间复杂度和空间复杂度外,优化算法实现也是提高程序性能的重要手段。
在程序设计中,我们可以采取以下策略来优化算法的实现:1.使用高效的算法:选择合适的算法可以大大提高程序的性能。
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