2020-2021学年浙江省八年级下学期数学竞赛卷1(解析版)
第2章 一元二次方程 章末检测卷-2020-2021学年八年级数学下学期高频考点专题突破(解析版)
第2章一元二次方程章末检测卷（浙教版）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级模拟）下面关于x 的方程中①20ax bx c ++=；②223(9)(1)1x x --+=；③2150x x++=；④232560x x -+-=；⑤2233(2)x x =-；⑥12100x -=是一元二次方程的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义对各小题进行逐一判断即可．【详解】解：①当0a =时，20ax bx c ++=是一元一次方程，故错误；②223(9)(1)1x x --+=是一元二次方程，故正确；③2150x x++=是分式方程，故错误；④232560x x -+-=是一元三次方程，故错误；⑤2233(2)x x =-可化为12120x -=是一元一次方程，故错误；⑥12100x -=是一元一次方程，故错误．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．2．（2020ꞏ浙江鄞州初二期末）把一元二次方程()2(3)31x x x +=-化成一般形式，正确的是（）A ．22790x x --=B ．2 2590x x --=C ．24790x x ++=D ．2 26100x x --=【答案】A【分析】方程左边利用完全平方公式将原方程的左边展开，右边按照整式乘法展开，然后通过合并同类项将原方程化为一般形式．【解析】由原方程，得x 2+6x+9=3x 2-x ，即2x 2-7x-9=0，故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．（2020ꞏ浙江上虞初二期末）如图，某小区规划在一个长40m 、宽26m 的长方形场地ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为2144m ，那么通道的宽x 应该满足的方程为（）A ．(402)(26)4026x x ++=⨯B ．(40)(262)1446x x --=⨯C ．214464022624026x x x ⨯++⨯+=⨯D ．(402)(26)1446x x --=⨯【答案】D【分析】设道路的宽为xm ，将6块草地平移为一个长方形，长为（40-2x ）m ，宽为（26-x ）m ．根据长方形面积公式即可列方程（40-2x ）（26-x ）=144×6．【解析】解：设道路的宽为xm ，由题意得：（40-2x ）（26-x ）=144×6．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解题的关键．4．（2020ꞏ安徽省初三二模）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m +2＝0有两个不相等实数根，且m 为正整数，则此方程的解为（）A ．x 1＝﹣1，x 2＝3B ．x 1＝﹣1，x 2＝﹣3C ．x 1＝1，x 2＝3D ．x 1＝1，x 2＝﹣3【答案】C【分析】由根的情况，依据根的判别式得出m 的范围，结合m 为正整数得出m 的值，代入方程求解可得．【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m +2＝0有两个不相等实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（m +2）＞0，解得：m ＜2，∵m 为正整数，∴m ＝1，则方程为x 2﹣4x +3＝0，解得：x 1＝1，x 2＝3，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.5．（2020ꞏ山东省初三期中）已知4是关于x 的方程x 2－（m ＋1）x ＋2m ＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（）A ．7B ．10C ．11D ．10或11【答案】D【分析】把x＝4代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解析】把x＝4代入方程得16−4（m＋1）＋2m＝0，解得m＝6，则原方程为x2−7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，∵这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4＋4＋3＝11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3＋3＋4＝10；综上所述，该△ABC的周长为10或11．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．6．（2020ꞏ杭州市八年级期中）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根为（）A．2017B．2020C．2019D．2018【答案】B【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＋2＝0，设t＝x﹣1得到at2＋bt＋2＝0，利用at2＋bt＋2＝0有一个根为t＝2019得到x﹣1＝2019，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．【详解】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＋2＝0，设t＝x﹣1，所以at2＋bt＋2＝0，而关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，所以at2＋bt＋2＝0有一个根为t＝2019，则x﹣1＝2019，解得x＝2020，所以一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．故选：B．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，考查方程中的整体未知数，掌握以上知识是解题的关键．7、（2020年成都市初三半期）根据下列表格对应值：x 3.24 3.25 3.262++‐0.020.010.03ax bx c判断关于x的方程20(0)++=≠的一个解x的范围是（）ax bx c aA.x＜3.24B.3.24＜x＜3.25C.3.25＜x＜3.26D.3.25＜x＜3.28【答案】B【解析】当3.24＜x ＜3.25时，2ax bx c ++的值由负连续变化到正，说明在3.24＜x ＜3.25范围内一定有一个x 的值，使20ax bx c ++=，即是方程20ax bx c ++=的一个解.故选B .【考点】利用夹逼法求近似解8．（2020ꞏ江苏省初三期中）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如下图1，2，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A ．289B ．1225C ．1024D ．1378【答案】B【分析】图1中求出1、3、6、10，…，第n 个图中点的个数是1+2+3+…+n ，即12n n +（）；图2中1、4、9、16，…，第n 个图中点的个数是n 2．然后把各数分别代入，若解出的n 是正整数，则说明符合条件是所求．【解析】根据题意得：三角形数的第n 个图中点的个数为12n n +（）；正方形数第n 个图中点的个数为n 2．A 、令12n n +（）=289，解得：n =12-（不合题意）；再令n 2=289，n =±17；不符合条件，错误；B ．令12n n +（）=1225，解得n 1=49，n 2=﹣50（不合题意）；再令n 2=1225，n 1=35，n 2=﹣35（不合题意，舍去），符合条件，正确．C ．令12n n +（）=1024，解得：n =12-±（都不合题意）；再令n 2=1024，n =±32；不符合条件，错误；D ．令12n n +（）=1378，解得n 1=52，n 2=﹣53（不合题意）；再令n 2=1378，n =（不合题意，舍去），不符合条件，错误．故选B ．【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．9．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级期末）已知关于x 的方程2(21)(1)0kx k x k +++-=有实数根，则k 的取值范围为（）A ．18k ≥-B ．18k >-C ．18k ≥-且0k ≠D ．18k <-【答案】A【分析】由于k 的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．【详解】解：当k=0时，x-1=0，解得：x=1；当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x 的方程kx 2+（2k+1）x+（k-1）=0有实根，∴△=（2k+1）2-4k×（k-1）≥0，解得18k ≥-且k≠0，综上：k 的取值范围是18k ≥-，故选A ．【点睛】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．10.（2020ꞏ绵阳市初三期末）关于x 的方程0122=-++k kx x 的根的情况描述正确的是.A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【答案】B。
初二数学竞赛试卷[下学期]浙教版
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初二数学竞赛试卷姓名 得分一、填空题（每小题3分，共30分）1．当x 时，x 23-有意义，x 时12+-x 有意义 2．当x= 时，分式1036522-++-x x x x 的值为零。
3．已知方程02)6(92=-++-k x k x 有两个相等的实数根，则k= 这两个相等的根是 4．如图，在△ABC 中，AB=AC ，EF 是AB 的垂直平分线，若BC=10，△BFC 的周长为22，则△ABC 的周长是5．若实数a,b 满足039)2(22=+-+-a ab a 则a= b=6．若 —2<x<2 化简=--+-x x x 34427．若322-+-a ax x 是一个完全平方式，则a 的值8．已知 521=+x x ，则=-xx 19．m 为 时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根10．如图，若直角三角形两直角边上的中线ＡＥ，ＢＤ的长分别为５和102 则斜边ＡＢ＝A BCEF C D E二、选择题（每小题３分，共３０分）１．已知方程032=+-x kx 有两个实数根，则k 的取值范围---------------------（ ）A 0121≠≤k k 且 B 121≥k C 121≤k D 0121≠<k k 且 2．如果等腰三角形的两条边长是方程01222=+-x x 的两个根，则它的周长是（ ）A 123123-+或B 123+C 123-D 122+3．三角形内有一点，这点到三个顶点的距离相等，则这个点一定三角形的--（ ）A 三边垂直平分线的交点B 三条中线的交点C 三条高线的交点D 三条内角平分线的交点 4．计算56145614--+的值------------------------------------------------------（ ）A 1 B5 C 52 D 55．一项工程，甲队独做需用m 天，乙队独做需用n 天，若甲，乙两队合作完成这项工程，所需天数------------------------------------------------------------------------------（ ）A n m 11+B mn n m +C n m mn +D n m +6．已知，b a b a +=+111那么baa b +等于------------------------------------------------（ ）A —1B 1C —2D 2 7．若0<a<1，则a a aa +⨯+÷-+11)11(2122可化简为--------------------------------（ ） Aa a+-11 B 11+-a a C 21a - D 12-a 8．已知542c b a ==则cb a cb a +--+2的值------------------------------------------------------（ ）A 1B 3C 921D 1139．如图，S △ABC=6，BD ：DC=3：5，AK ：KD=4：5，则 S △CDK=------------------（ ）A 15B 12.5C 7.5D 14.510．若yx y yx y y x +--==则51,31等于-----------------------------------------（ ）A 31B 3C 31- D —3三．解答题1． 解方程：（每小题5分，共10分）（1）0242142222=+-+---xx x x x x（2）1211)10)(9(1)1(1)1(1=+++⋅⋅⋅+++-x x x x x x2．方程0)2443()1(2222=++++++b ab a x a x 有实根，求a,b 的值（10分）3．甲乙两车分别从A ，B 两地相向而行，已知甲车比乙车早出发15分钟，甲，乙两车的速度比2：3，相遇时甲车比乙车少走6千米，并且乙车从B 地到A 地需要211小时，求A ，B 两地相距的距离为多少千米？（10分）4．如图，Rt △ABC 中 ∠C=90o，D 为AB 上点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC ，BD=21，DE+BC=1求证：∠ABC=30o （10分）ACEB D。
2020-2021学年浙江省宁波市南三县八年级(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年浙江省宁波市南三县八年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）.1．下列各式中，为最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x+1＝0B．x2＝2x﹣1C．2y﹣x＝1D．x2+3＝3．下面四个图标中，中心对称图形个数是（）A．0B．1个C．2个D．3个4．数据21、12、18、16、20、21的众数和中位数分别是（）A．21和19B．21和17C．20和19D．20和185．利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设（）A．四边形中至多有一个内角是钝角或直角B．四边形中所有内角都是锐角C．四边形的每一个内角都是钝角或直角D．四边形中所有内角都是直角6．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．四条边都相等B．对角线相等C．对角线互相垂直平分D．对角线平分一组对角7．已知函数y＝﹣，又x1，x2对应的函数值分别是y1，y2，若0＜x1＜x2，则有（）A．0＜y2＜y1B．0＜y1＜y2C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜08．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，HE＝8，则DF等于（）A．4B．8C．12D．169．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB ＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长10．如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，若要求出两个阴影部分周长的差，只要知道下列哪个图形的面积（）A．正方形①B．正方形②C．正方形③D．大长方形二、填空题（每小题4分，共24分）11．若二次根式有意义，则x的取值范围是．12．五边形的外角和为．13．某招聘考试由笔试和面试两部分组成，小明笔试成绩90分，面试成绩85分，若笔试成绩、面试成绩按3：2来确定最终成绩，则小明的最终成绩是分．14．若m是方程x2+x﹣1＝0一个根，则代数式2m2+2m+2021的值为．15．如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连结AE，交BD于点F．若∠CDE ＝30°，则∠DFC的度数为．16．如图，过原点的直线交反比例函数y＝图象于P，Q两点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于A，B两点．若b﹣a＝7，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（本大题共8小题，共66分）17．计算：（1）﹣+；（2）（﹣1）2+（﹣1）（1+）．18．解方程：（1）2x2+3x＝0；（2）x2﹣8x﹣9＝0．19．博才中学要从甲、乙两名同学中选拔一名同学代表学校参加“华罗庚金杯”数学竞赛活动．这两位活动同学最近四次的数学测验成绩如下表：（单位：分）第一次第二次第三次第四次甲75708590乙85827578（1）根据表中数据，分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的平均分；（2）经计算，甲、乙两位同学这四次数学测验成绩的方差分别为S甲2＝62.5，S乙2＝14.5，学校决定选派成绩较为稳定的同学去参加比赛，你认为应选哪位同学？请说明理由．20．矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝4，求菱形ABCD的周长．21．如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y1＝的图象上．一次函数y2＝x+b的图象经过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围．22．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：（1）当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利元．（2）在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？23．在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD上一动点，以CE为边，在CE的右侧作正方形CEFG，连结BF．（1）如图1，当点E与点A重合时，则BF的长为．（2）如图2，当AE＝1时，求点F到AD的距离和BF的长．（3）当BF最短时，请直接写出此时AE的长．24．我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）如图1，四边形ABCD的顶点A，B，C在网格格点上，请你在图1的5×7的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形ABCD，要求顶点D在网格格点上．（2）如图2，AD⊥DC，∠C＝90°，BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD为“等邻边四边形”．（3）如图3，在（2）的条件下，∠ABC＝60°，CD＝2，E是BC的中点，点M是BD 边上一点，当四边形CEMD是“等邻边四边形”时，求BM的长．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列各式中，为最简二次根式的是（）A．B．C．D．解：A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不合题意；C、＝，不是最简二次根式，不合题意；D、＝，不是最简二次根式，不合题意；故选：A．2．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x+1＝0B．x2＝2x﹣1C．2y﹣x＝1D．x2+3＝解：A、x+1＝0是一元一次方程，故此选项不合题意；B、x2＝2x﹣1是一元二次方程，故此选项符合题意；C、含有2个未知数，2y﹣x＝1不是一元二次方程，故此选项不合题意；D、含有分式，x2+3＝不是一元二次方程；故此选项不合题意．故选：B．3．下面四个图标中，中心对称图形个数是（）A．0B．1个C．2个D．3个解：根据中心对称图形的定义可知从左到右第1个图形和第三个图形是中心对称图形，第二和第四个图形不是中心对称图形．故选：C．4．数据21、12、18、16、20、21的众数和中位数分别是（）A．21和19B．21和17C．20和19D．20和18解：在这一组数据中21是出现次数最多的，故众数是21；数据按从小到大排列：12、16、18、20、21、21，中位数是（18+20）÷2＝19，故中位数为19．故选：A．5．利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设（）A．四边形中至多有一个内角是钝角或直角B．四边形中所有内角都是锐角C．四边形的每一个内角都是钝角或直角D．四边形中所有内角都是直角解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有内角都是锐角．故选：B．6．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．四条边都相等B．对角线相等C．对角线互相垂直平分D．对角线平分一组对角解：菱形和矩形的性质合在一起得到了正方形．正方形具有而菱形不具有的性质即为矩形的特性，由矩形对角线相等满足条件．故选：B．7．已知函数y＝﹣，又x1，x2对应的函数值分别是y1，y2，若0＜x1＜x2，则有（）A．0＜y2＜y1B．0＜y1＜y2C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0解：∵函数y＝﹣中，k＝﹣3＜0，∴每个象限内y随x的增大而增大，∵x2＞x1＞0，∴y1＜y2＜0，故选：C．8．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，HE＝8，则DF等于（）A．4B．8C．12D．16解：∵AH⊥BC，E为AC边的中点，∴AC＝2HE＝16，∵D，F分别为BC，AB边的中点，∴DF＝AC＝8，故选：B．9．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB ＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，整理得：x2+ax﹣b2＝0（a≠0，b≠0），∵△＝a2+4b2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为﹣b2＜0，即方程的根一正一负，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B．10．如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，若要求出两个阴影部分周长的差，只要知道下列哪个图形的面积（）A．正方形①B．正方形②C．正方形③D．大长方形解：如图，设HI＝x，HN＝y，正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，正方形③的边长为c．∴ON＝a﹣x，NE＝b﹣y，PD＝c+b﹣x，PI＝a﹣y，IG＝b﹣x，GR＝b﹣c，RS＝c，DS ＝a+b﹣y﹣c．∴C六边形PIGRSD＝PI+IG+GR+RS+DS+PD＝a﹣y+b﹣x+b﹣c+c+a+b﹣y﹣c+b+c﹣x＝2a﹣2y+4b﹣2x，C四边形OBEN＝ON+OB+BE+NE＝a﹣x+b﹣y+a﹣x+b﹣y＝2a﹣2x+2b﹣2y．∴C六边形PIGRSD﹣C四边形OBEN＝2b．∴只要知道正方形②的边长b，就可以求出两个阴影部分周长的差．∴只要知道正方形②的面积，就可求出两个阴影部分周长的差．故选：B．二、填空题（每小题4分，共24分）11．若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥﹣1．解：由题意得：x+1≥0，解得：x≥﹣1，故答案为：x≥﹣1．12．五边形的外角和为360°．解：∵多边形的外角和为360°，∴五边形的外角和为360°，故答案为：360°．13．某招聘考试由笔试和面试两部分组成，小明笔试成绩90分，面试成绩85分，若笔试成绩、面试成绩按3：2来确定最终成绩，则小明的最终成绩是88分．解：小明的最终成绩是：＝88（分）．故答案为：88．14．若m是方程x2+x﹣1＝0一个根，则代数式2m2+2m+2021的值为2023．解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴m2+m﹣1＝0，∴m2+m＝1，∴2m2+2m+2021＝2（m2+m）+2021＝2×1+2021＝2023．故答案为：2023．15．如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连结AE，交BD于点F．若∠CDE ＝30°，则∠DFC的度数为105°．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∵DC＝DE，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠ADE＝90°+30°＝120°，∴∠DAE＝30°，∴∠AFD＝180°﹣25°﹣45°＝105°，在△ADF和△CDF中，，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DFC＝∠AFD＝105°，故答案为：105°．16．如图，过原点的直线交反比例函数y＝图象于P，Q两点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于A，B两点．若b﹣a＝7，则图中阴影部分的面积为14．解：连接OA，OB，延长BP交x轴于点C，如图，设点C（m，0）m＞0．则P（m，），A（m，）．∴OC＝m，PC＝，AC＝．∴S△POC＝OC•PC＝a，S△AOC＝＝b．∴S△AOP＝S△AOC﹣S△COP＝b﹣a＝．∵P，Q关于原点成中心对称，∴OP＝OQ．∴S△APO＝S△AQO．∴S△APQ＝2S△AOP＝7．同理可得：S△BPQ＝2S△BOP＝7．所以S阴影＝S△PQB+S△PQA＝7+7＝14．故答案为：14．三、解答题（本大题共8小题，共66分）17．计算：（1）﹣+；（2）（﹣1）2+（﹣1）（1+）．解：（1）原式＝3﹣2+＝；（2）原式＝2﹣2+1+2﹣1＝4﹣2．18．解方程：（1）2x2+3x＝0；（2）x2﹣8x﹣9＝0．解：（1）2x2+3x＝0，分解因式得：x（2x+3）＝0，可得x＝0或2x+3＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣；（2）x2﹣8x﹣9＝0，分解因式得：（x﹣9）（x+1）＝0，可得x﹣9＝0或x+1＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝9．19．博才中学要从甲、乙两名同学中选拔一名同学代表学校参加“华罗庚金杯”数学竞赛活动．这两位活动同学最近四次的数学测验成绩如下表：（单位：分）第一次第二次第三次第四次甲75708590乙85827578（1）根据表中数据，分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的平均分；（2）经计算，甲、乙两位同学这四次数学测验成绩的方差分别为S甲2＝62.5，S乙2＝14.5，学校决定选派成绩较为稳定的同学去参加比赛，你认为应选哪位同学？请说明理由．解：（1）甲＝×（75+70+85+90）＝80，＝×（75+78+85+82）＝80；乙（2）∵S甲2＝62.5，S乙2＝14.5，∴S甲2＞S乙2，∴乙的成绩更稳定，应选派乙同学．20．矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝4，求菱形ABCD的周长．【解答】证明：（1）在矩形EFGH中，EH＝FG，EH∥GH，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠BFH，∵∠BFG＝180°﹣∠BFH，∴∠BFG＝∠DHE，在菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，在△BGF与△DEH中，，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE．（2）连结EG．在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵E为AD的中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE∥BG且AE＝BG，∴四边形EFGH中，EG＝FH＝4，∴AB＝4，∴菱形周长为16．21．如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y1＝的图象上．一次函数y2＝x+b的图象经过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围．解：（1）∵点A（2，5）是直线y2＝x+b与反比例函数y1＝的图象的一个交点，∴5＝2+b，k＝2×5＝10，∴b＝3，即k和b的值分别为10、3，故反比例函数和一次函数的解析式分别为y1＝和y2＝x+3；（2）解方程组，得或，∴点B（﹣5，﹣2），观察函数图象可知，y1＞y2时，x的取值范围为：x＜﹣5或0＜x＜222．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：（1）当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利14000元．（2）在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？解：（1）（120﹣20）×（100+2×20）＝14000（元）．故答案为：14000．（2）设每箱降价x元，则每箱的利润为（120﹣x）元，每天可售出（100+2x）箱，依题意得：（120﹣x）（100+2x）＝14400，整理得：x²﹣70x+1200＝0，解得：x1＝30，x2＝40．∵每箱饮料获利大于80元，∴120﹣x＞80，∴x＜40，∴x＝30．答：要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价30元．23．在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD上一动点，以CE为边，在CE的右侧作正方形CEFG，连结BF．（1）如图1，当点E与点A重合时，则BF的长为．（2）如图2，当AE＝1时，求点F到AD的距离和BF的长．（3）当BF最短时，请直接写出此时AE的长．解：（1）如图，连接DF，∵∠CAF＝90°，∠CAD＝45°，∴∠DAF＝45°，在△CAD和△FAD中，，∴△CAD≌△FAD（SAS），∴DF＝CD，∴∠ADC＝∠ADF＝90°，∴C，D，F共线，∴BF2＝BC2+CF2＝42+82＝80，∴，故答案为4；（2）如图，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，FH⊥BC交BC的延长线于K，∵四边形CEFG是正方形，∴EC＝EF，∠FEC＝90°，∴∠DEC+∠FEH＝90°，又∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠DEC+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠FEH，又∵∠EDC＝∠FHE＝90°，在△ECD和△FEH中，，∴△ECD≌△FEH（AAS），∴FH＝ED，∵AD＝4，AE＝1，∴ED＝AD﹣AE＝4﹣1＝3，∴FH＝3，即点F到AD的距离为3，∴∠DHK＝∠HDC＝∠DCK＝90°，∴四边形CDHK为矩形，∴HK＝CD＝4，∴FK＝FH+HK＝3+4＝7，∵△ECD≌△FEH，∴EH＝CD＝AD＝4，∴AE＝DH＝CK＝1，∴BK＝BC+CK＝4+1＝5，在Rt△BFK中，；（3）∵当A，D，F三点共线时，BF的最短，∴∠CBF＝45°，∴FH＝DH，由（2）知FH＝DE，EH＝CD＝4，∴ED＝DH＝4÷2＝2，∴AE＝2．24．我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）如图1，四边形ABCD的顶点A，B，C在网格格点上，请你在图1的5×7的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形ABCD，要求顶点D在网格格点上．（2）如图2，AD⊥DC，∠C＝90°，BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD为“等邻边四边形”．（3）如图3，在（2）的条件下，∠ABC＝60°，CD＝2，E是BC的中点，点M是BD 边上一点，当四边形CEMD是“等邻边四边形”时，求BM的长．【解答】（1）解：当BC＝CD时，如图1﹣1所示：当AB＝AD时，如图1﹣2或图1﹣3所示：（2）证明：∵AD⊥DC，∠C＝90°，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD为“等邻边四边形”；（3）解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝30°，∵∠DCB＝90°，CD＝2，∴DB＝2CD＝4，∴，∵E是BC的中点，∴，①当DM＝DC＝2时，如图3所示：则BM＝BD﹣DM＝2；②当EM＝EC＝时，过E作EH⊥DB于H，如图4所示：∵BE＝EC＝EM＝，∴BH＝MH，在Rt△BEH中，∠EBH＝30°，∴EH＝BE＝，BH＝EH＝，∴BM＝2BH＝3；③当ME＝MD时，如图5所示：设ME＝MD＝x，由②得，，，则，在Rt△MEH中，EM2＝MH2+EH2，即，解得：，即，∴，综上所述，当四边形CEMD是“等邻边四边形”时，BM为2或3或．。
2020-2021学年浙江省绍兴市越城区八年级(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年浙江省绍兴市越城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）.1．下列变形中，正确的是（）A．（2）2＝2×3＝6B．＝﹣C．＝D．＝2．下列四个条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对角相等B．一组对边相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直3．经过点（2，4）的双曲线的表达式是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝4．将一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，那么a+b的值为（）A．9B．11C．14D．175．若a＜1，化简﹣1＝（）A．a﹣2B．2﹣a C．a D．﹣a6．某校八年级一、二班学生参加同一次数学考试，经统计成绩后得到如表：班级参加人数中位数方差平均数一班557813575二班558112675任课张老师根据上表分析对本次考试得出如下结论：①一、二两班学生的平均水平相同；②二班的优秀人数多于一班的优秀人数（成绩≥80分为优秀）；③一班成绩波动情况比二班成绩波动大．上述结论正确的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③7．“古越龙山”酿酒公司由于注重对市场调研和新产品的研发，新研制的某款瓶装酒获得市场的认可，今年四月份销售了50万瓶，按市场供需趋势预计今年二季度可销售182万瓶．设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2＝182B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182C．50（1+2x）＝182D．50+50（1+x）+50（1+2x）2＝1828．如图，边长为10的菱形ABCD，E是AD的中点，O是对角线的交点，矩形OEFG的一边在AB上，且EF＝4，则BG的长为（）A．3B．2C．D．19．设A，B，C，D是反比例函数y＝（k≠0）图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．将一组数，，3，2，，…，3，按下面的方式进行排列：，，3，2，；3，，2，3，；…若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（）A．（5，2）B．（5，3）C．（6，2）D．（6，5）二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）11．已知一个五边形的4个内角都是100°，则第5个内角的度数是度．12．请写一个比小的正整数，您写的正整数是（写出一个即可）．13．已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0的一个根，则k的值为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点M、N分别在边AB、AC上，且MN⊥AC．将四边形BCNM沿直线MN翻折，点B、C的对应点分别是点B′、C′，如果四边形ABB′C′是平行四边形，那么∠BAC＝度．15．如表为某班某次数学考试成绩的统计表．已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，则x2﹣y2的值等于．成绩（分）20304050607090100次数（人）235x6y34 16．如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形．我们在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为．三、解答题（本大题共52分）17．（1）解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）；（2）计算：（﹣）﹣﹣|﹣3|．18．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：EB∥DF．19．为喜庆建党百年华诞，某校选拔一名选手参加我区“庆建党百年，忆红色初心”主题演讲比赛，经研究，按各项目得分情况对选拔赛参赛选手进行考评．下列是入围选手李明、张华在选拔赛中各项目的得分情况和各项目在总分中所占比率的扇形图：服装普通话主题演讲技巧项目选手李明85708085张华90757580结合以上信息，回答下列问题：（1）求服装项目得分占总分的百分率及普通话项目对应扇形的圆心角大小；（2）求李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数；（3）根据你所学的知识，帮助学校在李明、张华两人中选择一人参加“庆建党百年，忆红色初心”主题演讲比赛，并简要说明你的理由．20．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根是1，且系数a、b 满足等式＝b+5．（1）求a、b、c的值；（2）解关于x的方程：cx2+bx+a﹣1＝0．21．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y ＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y ＝图象的交点坐标；（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y ＝的图象没有公共点．22．如图，已知△ABC，∠A＜90°，我们可利用菱形的性质在△ABC上画出菱形ADEF，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上．（1）请使用直尺与圆规，按要求在△ABC上画出菱形ADEF（不写作法，保留画图痕迹）；（2）如果∠A＝60°，AD＝4，点M在边AB上，且满足EM＝ED，求四边形AFEM的面积；（3）如果AB＝AC，求的值．23．如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F，连接DE．（1）试判断四边形BE'FE的形状，并证明你的判断；（2）如图②，若DA＝DE，证明：CF＝FE'；（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．参考答案一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）.1．下列变形中，正确的是（）A．（2）2＝2×3＝6B．＝﹣C．＝D．＝【分析】根据二次根式的性质，可得答案．【解答】解；A、（2）2＝12，故A错误；B、＝，故B错误；C、＝5，故C错误；D、＝，故D正确；故选：D．2．下列四个条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对角相等B．一组对边相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【分析】由平行四边形的判定定理即可求解．解：能判定四边形是平行四边形的条件是：对角线互相平分，理由如下：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选：C．3．经过点（2，4）的双曲线的表达式是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【分析】把点的坐标代入双曲线解析式，能使解析式成立的则双曲线经过该点，反之不经过．解：∵＝1≠4，故A不经过，∵＝≠4，故B不经过，∵＝4，故C经过，∵＝，故D不经过，故选：C．4．将一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，那么a+b的值为（）A．9B．11C．14D．17【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，确定出a与b的值，即可求出a+b的值．解：方程x2﹣6x﹣5＝0，移项得：x2﹣6x＝5，配方得：x2﹣6x+9＝14，即（x﹣3）2＝14，∴a＝3，b＝14，则a+b＝17．故选：D．5．若a＜1，化简﹣1＝（）A．a﹣2B．2﹣a C．a D．﹣a【分析】根据公式＝|a|可知：﹣1＝|a﹣1|﹣1，由于a＜1，所以a﹣1＜0，再去绝对值，化简．解：﹣1＝|a﹣1|﹣1，∵a＜1，∴a﹣1＜0，∴原式＝|a﹣1|﹣1＝（1﹣a）﹣1＝﹣a，故选：D．6．某校八年级一、二班学生参加同一次数学考试，经统计成绩后得到如表：班级参加人数中位数方差平均数一班557813575二班558112675任课张老师根据上表分析对本次考试得出如下结论：①一、二两班学生的平均水平相同；②二班的优秀人数多于一班的优秀人数（成绩≥80分为优秀）；③一班成绩波动情况比二班成绩波动大．上述结论正确的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【分析】根据表格可得一、二两班学生的平均分都是55分，因此平均水平相同；一班中位数比80小，因此二班的优秀人数多于一班的优秀人数；一班方差大，因此一班成绩波动情况比二班成绩波动大．解：①一、二两班学生的平均水平相同，说法正确；②二班的优秀人数多于一班的优秀人数（成绩≥80分为优秀），说法正确；③一班成绩波动情况比二班成绩波动大，说法正确；故选：A．7．“古越龙山”酿酒公司由于注重对市场调研和新产品的研发，新研制的某款瓶装酒获得市场的认可，今年四月份销售了50万瓶，按市场供需趋势预计今年二季度可销售182万瓶．设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2＝182B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182C．50（1+2x）＝182D．50+50（1+x）+50（1+2x）2＝182【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的销量，然后根据题意可得出方程．解：依题意得五、六月份的销量产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．故选：B．8．如图，边长为10的菱形ABCD，E是AD的中点，O是对角线的交点，矩形OEFG的一边在AB上，且EF＝4，则BG的长为（）A．3B．2C．D．1【分析】由菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，由直角三角形的性质可求OE＝AE＝AD＝5，由矩形的性质可求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF＝3，即可求解．解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝5；∵四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2，故选：B．9．设A，B，C，D是反比例函数y＝（k≠0）图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当直线AC和直线BD关于直线y＝x对称时，此时OA＝OC＝OB＝OD，即四边形ABCD 是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故选：B．10．将一组数，，3，2，，…，3，按下面的方式进行排列：，，3，2，；3，，2，3，；…若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（）A．（5，2）B．（5，3）C．（6，2）D．（6，5）【分析】根据观察，可得，根据排列方式，可得每行5个，根据有序数对的表示方法，可得答案．解：3＝，3得被开方数是的被开方数的30倍，3在第六行的第5个，即（6，5）是（6，2）故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）11．已知一个五边形的4个内角都是100°，则第5个内角的度数是140度．【分析】利用多边形的内角和定理即可求出答案．解：因为五边形的内角和是（5﹣2）180°＝540°，4个内角都是100°，所以第5个内角的度数是540﹣100×4＝140°．12．请写一个比小的正整数，您写的正整数是1（答案不唯一）（写出一个即可）．【分析】先判断出在哪两个整数之间，再选择比它小的正整数即可．解：∵2＜＜3，∴比小的正整数有2，1．故答案为：1．13．已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0的一个根，则k的值为﹣3．【分析】把x＝2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0得4k+2k2﹣4+2k+4＝0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．解：把x＝2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0得4k+2k2﹣4+2k+4＝0，整理得k2+3k＝0，解得k1＝0，k2＝﹣3，因为k≠0，所以k的值为﹣3．故答案为﹣3．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点M、N分别在边AB、AC上，且MN⊥AC．将四边形BCNM沿直线MN翻折，点B、C的对应点分别是点B′、C′，如果四边形ABB′C′是平行四边形，那么∠BAC＝60度．【分析】只要证明△ABC是等边三角形即可解决问题．解：如图，∵四边形MNC′B′是由四边形MNCB翻折得到，∴∠C＝∠C′，∵AB∥B′C′，∴∠C′＝∠BAC，∴∠C＝∠BAC，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC，∴∠BAC＝60°，故答案为60．15．如表为某班某次数学考试成绩的统计表．已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，则x2﹣y2的值等于15．成绩（分）20304050607090100次数（人）235x6y34【分析】根据全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分和表格中的数据，可以计算出x、y的值，然后即可求得x2﹣y2的值．解：∵全班共有38人，∴2+3+5+x+6+y+3+4＝38，∴x+y＝15，∵表格中的众数为50分，中位数为60分，∴，解得6＜x≤8且x＞y，又∵x、y为整数，x+y＝15，∴x＝8，y＝7，∴x2﹣y2＝82﹣72＝64﹣49＝15，故答案为：15．16．如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形．我们在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为．【分析】如图2，由题意可设AB＝CD＝x，则可以用x表示出S2，又由于S1＝S2，S1+S2＝m2，所以可以得到m与x的关系式，在直角△ABC中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，等量代换进行运算，即可解决．解：设图2中AB＝x，则CD＝AB＝x，∴S△ACD＝＝，∴S2＝4S△ACD＝2x2，∵S1＝S2，S1+S2＝m2，∴4x2＝m2，∴m＝2x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，∴x2+（x+n）2＝m2，∴x2+（x+n）2＝4x2，∴，∴，∴．故答案为：．三、解答题（本大题共52分）17．（1）解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）；（2）计算：（﹣）﹣﹣|﹣3|．【分析】（1）先移项得到2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程；（2）先根据二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，然后化简后合并即可．解：（1）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（2﹣3x）＝0，x﹣3＝0或2﹣3x＝0，所以x1＝3，x2＝；（2）原式＝﹣3﹣2+﹣3＝﹣6．18．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：EB∥DF．【分析】作辅助线BD（连接BD，交AC于点O，连接DE，FB），构建平行四边形EBFD，由“平行四边形对边互相平行”的性质证得结论．【解答】证明：如图，连接BD，交AC于点O，连接DE，FB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO．∵AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形EBFD是平行四边形，∴EB∥DF．19．为喜庆建党百年华诞，某校选拔一名选手参加我区“庆建党百年，忆红色初心”主题演讲比赛，经研究，按各项目得分情况对选拔赛参赛选手进行考评．下列是入围选手李明、张华在选拔赛中各项目的得分情况和各项目在总分中所占比率的扇形图：项目服装普通话主题演讲技巧选手李明85708085张华90757580结合以上信息，回答下列问题：（1）求服装项目得分占总分的百分率及普通话项目对应扇形的圆心角大小；（2）求李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数；（3）根据你所学的知识，帮助学校在李明、张华两人中选择一人参加“庆建党百年，忆红色初心”主题演讲比赛，并简要说明你的理由．【分析】（1）根据统计图的数据可以求得服装项目得分占总分的百分率及普通话项目对应扇形的圆心角大小；（2）根据统计表中的数据可以求得李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数；（3）根据统计图和统计表中的数据可以分别计算出李明和张华的成绩，然后比较大小，即可解答本题．解：（1）服装项目得分占总分的百分率是：1﹣20%﹣30%﹣40%＝10%，普通话项目对应扇形的圆心角是：360°×20%＝72°；（2）李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数是85，中位数是：（80+85）÷2＝82.5；（3）李明得分为：85×10%+70×20%+80×30%+85×40%＝80.5，张华得分为：90×10%+75×20%+75×30%+80×40%＝78.5，∵80.5＞78.5，∴李明的演讲成绩好，故选择李明参加“庆建党百年，忆红色初心”主题演讲比赛．20．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根是1，且系数a、b满足等式＝b+5．（1）求a、b、c的值；（2）解关于x的方程：cx2+bx+a﹣1＝0．【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件可得到a＝2，则b＝﹣5，再根据一元二次方程解的定义得a+b+c＝0，从而可求出c的值；（2）利用求根公式法解方程．解：（1）∵a﹣2≥0且2﹣a≥0，∴a＝2，∴b+5＝0，解得b＝﹣5；把x＝1代入方程ax2+bx+c＝0得a+b+c＝0，∴2﹣5+c＝0，解得c＝3；（2）方程cx2+bx+a﹣1＝0变形为3x2﹣5x+1＝0，∵Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．21．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y＝图象的交点坐标；（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y＝的图象没有公共点．【分析】（1）将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（2，3），将（2，3）代入反比例函数表达式，即可求解；（2）一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，联立①②即可求解；（3）设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，联立①③并整理得：kx2+5x﹣6﹣0，则△＝25+24k ＜0，解得：k＜﹣，即可求解．解：（1）将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（2，3），将（2，3）代入反比例函数表达式并解得：k＝2×3＝6，故反比例函数表达式为：y＝①；（2）一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，联立①②并解得：，故交点坐标为（﹣2，﹣3）和（3，2）；（3）设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，联立①③并整理得：kx2+5x﹣6＝0，∵两个函数没有公共点，故△＝25+24k＜0，解得：k＜﹣，故可以取k＝﹣2（答案不唯一），故一次函数表达式为：y＝﹣2x+5（答案不唯一）．22．如图，已知△ABC，∠A＜90°，我们可利用菱形的性质在△ABC上画出菱形ADEF，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上．（1）请使用直尺与圆规，按要求在△ABC上画出菱形ADEF（不写作法，保留画图痕迹）；（2）如果∠A＝60°，AD＝4，点M在边AB上，且满足EM＝ED，求四边形AFEM的面积；（3）如果AB＝AC，求的值．【分析】（1）作△ABC的角平分线AE，作线段AE的垂直平分线交AB于D，交AC于F，连接DE，EF，四边形ADEF即为所求；（2）分两种情形分别求解即可；（3）利用三角形的中位线定理即可解决问题．解：（1）D，E，F的位置如图所示，（2）由题意，当∠A＝60°，AD＝4时，△ADF，△EFD，△EMD都是等边三角形，边长为4，∴S四边形AFEM＝3×＝12，当D，M重合时，S四边形AFEM＝2×＝8，综上所述，四边形AFEM的面积为12或8；（3）当AB＝AC时，易知DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC，∴＝．23．如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F，连接DE．（1）试判断四边形BE'FE的形状，并证明你的判断；（2）如图②，若DA＝DE，证明：CF＝FE'；（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．【分析】（1）结论：四边形BE'FE是正方形．根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．（2）如图②中，过点D作DH⊥AE于点H则∠AHD＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°，证明△ADH≌△BAE（AAS），可得结论．（3）如图①，过点D作DH⊥AE于点H．由△ADH≌△BAE，推出AH＝BE＝E'F，利用勾股定理求解即可．解：（1）结论：四边形BE'FE是正方形．理由：如图①中，∵△CBE'是由Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到的，∴∠CE'B＝∠AEB＝90°，∠EBE'＝90°，又∵∠BEF+∠AEB＝90°，∴∠BEF＝90°，∴四边形BE'FE是矩形，由旋转可知BE＝BE'，∴四边形BE'FE是正方形．（2）如图②中，过点D作DH⊥AE于点H则∠AHD＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°，∵DA＝DE，∴AH＝EH＝AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，在△ADH和△BAE中，，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE，由旋转可知AE＝CE'，由（1）可知四边形BE'FE是正方形，∴BE＝E'F，∴E'F＝AH＝AE＝CE'，∴CF＝E'F．（3）如图1，过点D作DH⊥AE于点H．∵△ADH≌△BAE，∴AH＝BE＝E'F，∵CF＝3，∵AB2＝AE2+BE2，∴225＝（BE+3）2+BE2，∴BE＝9，BE＝﹣12（舍去），∴DH＝AE＝CE'＝12，∴EH＝12﹣9＝3，在Rt△DEH中，DE＝＝＝3．。
浙江省八下数学期末期末模拟试卷2020-2021学年八下数学期末达标检测试题含解析
浙江省八下数学期末期末模拟试卷2020-2021学年八下数学期末达标检测试题 注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）．A ．27x π=B ．25x y +=C ．11x x =+D ．24x x +=2．在▱ABCD 中，∠C=32°，则∠A 的度数为（ ）A ．148°B ．128°C ．138°D ．32° 3．如图，为的平分线，于，，，则点到射线的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．六边形的内角和为( )A ．720°B ．360°C ．540°D ．180° 5．如图是由四个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中5AE =，12BE =，则EF 的长是( )A ．7B ．8C ．2D ．36．如图，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=，AB AC =，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转40得到出'''A B C ∆，'CB 与AB 相交于点D ，连接'AA ，则''B A A ∠的度数为（ ）A．10B．15C．20D．307．在同一平面直角坐标系中，函数y＝1x与函数y＝－x＋b（其中b是实数）的图象交点个数是（）．A．0个B．1个C．2个D．0或1或2个8．函数11yx=-的自变量x的取值范围是（）A．x≠0B．x≠1C．x≥1D．x≤19．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3在直线y＝x+b上，点B1，B2，B3在x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3都是等腰直角三角形，若已知点A1（1，1），则点A3的纵坐标是（）A．B．C．D．10．如图，在长方形AGFE中，AEF绕点A旋转，得到ABC，使B，A，G三点在同一条直线上，连接CF，则ACF是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．小明得到育才学校数学课外兴趣小组成员的年龄情况统计如下表：年龄（岁）13 14 15 16人数（人） 5 15 x 10-x那么对于不同x 的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（ ）A ．众数，中位数B ．中位数，方差C ．平均数，中位数D ．平均数，方差12．如图①，正方形ABCD 中，点P 以每秒2cm 的速度从点A 出发，沿AB BC →的路径运动，到点C 停止．过点P 作,PQ BD PQ ∥与边AD （或边CD ）交于点,Q PQ 的长度(cm)y 与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图②所示．当点P 运动3秒时，APQ 的面积为（ ）A ．24cmB ．26cmC ．262cmD ．242cm二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝∠EAF ＝60，∠BAE ＝20，则∠CEF ＝________．14．一组数据3，5，a ，4，3的平均数是4，这组数据的方差为______．15．已知△ABC 的一边长为 10，另两边长分别是方程 x 2 - 14 x + 48 = 0 的两个根若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片的最小半径是_______________．16．如图，在平行四边形ABCD 中，BE CD ⊥，BF AD ⊥，垂足分别为E 、F ，2CE =，1DF =，60EBF ︒∠=，则平行四边形ABCD 的面积为_________．17． “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为_____尺．18．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是升.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在平面内，菱形ABCD 的对角线相交于点O，点O 又是菱形B1A1OC1的一个顶点，菱形ABCD≌菱形B1A1OC1，AB=BD=1．菱形B1A1OC1绕点O 转动，求两个菱形重叠部分面积的取值范围，请说明理由．20．（8分）已知边长为4的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC﹣CB﹣BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．（1）求出该反比例函数解析式；（2）连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求点Q的坐标；（3）用含t的代数式表示以点Q、P、D为顶点的三角形的面积s，并指出相应t的取值．21．（8分）已知：如（图1），在平面直角坐标中，A(12，0)，B(6，6)，点C为线段AB的中点，点D与原点O关于点C 对称．（1）利用直尺和圆规在（图1）中作出点D 的位置（保留作图痕迹），判断四边形OBDA 的形状，并说明理由； （2）在（图1）中，动点E 从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA 运动，到达点A 时停止；同时，动点F 从点O 出发，以每秒a 个单位的速度沿OB→BD→DA 运动，到达点A 时停止．设运动的时间为t （秒）． ①当t=4时，直线EF 恰好平分四边形OBDA 的面积，求a 的值；②当t=5时，CE=CF ，请直接写出a 的值．22．（10分）已知：如图，已知直线AB 的函数解析式为 210y x =+，AB 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点 ． （1）在答题卡上直接写出A ，B 两点的坐标；（2）若点P （a ，b ）为线段AB 上的一个动点，作PE ⊥y 轴于点E ，PF ⊥x 轴于点 F ，连接EF ．问：①若PBO 的面积为 S ，求S 关于a 的函数关系式；② 是否存在点P ，使EF 的值最小？若存在，求出EF 的最小值；若不存在，请说明理由．23．（10分）如图1，矩形OABC 摆放在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，3OA =，2OC =，过点A 的直线交矩形OABC 的边BC 于点P ，且点P 不与点B 、C 重合，过点P 作CPD APB ∠=∠，PD 交x 轴于点D ，交y 轴于点E ．（1）若APD △为等腰直角三角形．①求直线AP 的函数解析式；②在x 轴上另有一点G 的坐标为()2,0，请在直线AP 和y 轴上分别找一点M 、N ，使GMN △ 的周长最小，并求出此时点N 的坐标和GMN △周长的最小值．（2）如图2，过点E 作EF AP 交x 轴于点F ，若以A 、P 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，求直线PE 的解析式．24．（10分）（1）计算：201810116()12( 3.14)2π--++---- （1）化简求值：2112()111x x x x+÷+--，其中x=1． 25．（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，过点A 作AE//BC 与过点D 作CD 的垂线交于点E.（1）如图1，若CE 交AD 于点F ，BC=6，∠B=30°，求AE 的长（2）如图2，求证AE+CE=BC26．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，． ①求证：13h h =；②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】【分析】只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．【详解】A、是关于x的一元一次方程，不符合题意；B、为二元二次方程，不符合题意；C、是分式方程，不符合题意；D、只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为1，是一元二次方程，符合题意；故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，为整式方程；特别注意二次项系数不为1．2、D【解析】【分析】的度数.根据平行四边形的性质：对角相等即可求出A【详解】四边形ABCD是平行四边形，∴A C ∠=∠，32C ∠=︒，∴32A ∠=︒.故选：D .【点睛】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等.3、B【解析】【分析】过C 作CF ⊥AO ，根据勾股定理可得CM 的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可得CF=CM ，进而可得答案．【详解】解：如图，过C 作CF ⊥AO 于F∵OC 为∠AOB 的平分线，CM ⊥OB ，∴CM=CF ，∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3，故选：B ．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．4、A【解析】【分析】根据多边形内角和公式2180()n -⨯︒ ，即可求出.【详解】根据多边形内角和公式2180()n -⨯︒，六边形内角和(62)180720=-⨯︒=︒ 故选A.【点睛】本题考查多边形内角和问题，熟练掌握公式是解题关键.5、C【解析】【分析】由图易知EG 与FG 的长，然后根据勾股定理即可求出EF 的长.【详解】解：如图，由题意可知：AE=BG=FC=5，BE=CG=12，∴EG=BE-BG=12-5=7，FG=CG-FC=12-5=7，∴在Rt △EGF 中，EF=22EG FG +=72.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 6、C【解析】【分析】由旋转的性质可得AC=A'C ，∠ACA'=40°，∠BAC=∠B'A'C=90°，由等腰三角形的性质可得∠AA'C=70°=∠A'AC ，即可求解．【详解】∵将△ABC 绕点C 顺时针旋转40°得到△A′B′C ，∴△ABC ≌△A′B′C∴AC=A′C,∠ACA′=40∘,∠BAC=∠B′A′C=90°，∴∠AA′C=70°=∠A′AC∴∠B′A′A=∠B′A′C−∠AA′C=20°故选C.【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于得出得∠AA'C=70°=∠A'AC. 7、D【解析】【分析】联立两个函数可得210x bx -+-=，再根据根的判别式确定交点的情况即可．【详解】联立两个函数得 10x b x-+-= 210x bx -+-=24b =-∴根的判别式的值可以为任意数∴这两个函数的图象交点个数是0或1或2个故答案为：D ． 【点睛】本题考查了函数交点的问题，掌握根的判别式是解题的关键．8、B【解析】根据题意若函数y=有意义，可得x-1≠0； 解得x≠1；故选B9、D【解析】【分析】设点A 2，A 3，A 4坐标，根据等腰直角三角形的性质、结合函数解析式，即可求解．【详解】解：∵A 1（1，1）在直线y ＝x +b 上，∴y＝x+．设A2（x2，y2），A3（x3，y3），则有y2＝x2+，y3＝x3+．又∵△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3都是等腰直角三角形．∴x2＝2y1+y2，x3＝2y1+2y2+y3，将点坐标依次代入直线解析式得到：y2＝y1+1y3＝y1+y2+1＝y2又∵y1＝1∴y2＝，y3＝（）2＝，∴点A3的纵坐标是，故选：D．【点睛】此题主要考查了一次函数点坐标特点，以及等腰直角三角形斜边上高等于斜边长一半．解题的关键是找出点与直线之间的关系，进而求出点的坐标.10、D【解析】【分析】证明∠GAE＝90°，∠EAB＝90°，根据旋转的性质证得AF＝AC，∠FAE＝∠CAB，得到∠FAC＝∠EAB＝90°，即可解：∵四边形AGFE 为矩形，∴∠GAE ＝90°，∠EAB ＝90°；由题意，△AEF 绕点A 旋转得到△ABC ，∴AF ＝AC ；∠FAE ＝∠CAB ，∴∠FAC ＝∠EAB ＝90°，∴△ACF 是等腰直角三角形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用旋转的性质来分析、判断、解答． 11、A【解析】【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．【详解】由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10，则总人数为：5+15+10=30，故该组数据的众数为14岁，中位数为：14+142=14岁， 即对于不同的x ，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选A ．【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．12、B【解析】【分析】由图②知，运动2秒时，y PQ ==，距离最长，再根据运动速度乘以时间求得路程，可得点P 的位置，根据线段的和差，可得CP 的长，最后由APQ ABP ADQ CPQ ABCD SS S S S =---正方形即可求得答案．由图②知，运动2秒时，42y =，y 的值最大，此时，点P 与点B 重合，则42PQ BD ==，∵四边形ABCD 为正方形，则222AB AD BD +＝，∴4AB AD ==，由题可得：点P 运动3秒时，则P 点运动了32⨯=6cm ，此时，点P 在BC 上，如图：∴862CP =-=cm ，∴点P 为BC 的中点，∵PQ ∥BD ， ∴点Q 为DC 的中点，∴APQ ABP ADQ CPQ ABCD S S S S S =---正方形21114424222222=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 6=．故选：B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象以及平行线的性质、正方形的性质、三角形中位线定理，由图②知，运动2秒时，42y =二、填空题（每题4分，共24分）13、20°【解析】【分析】首先证明△ABE ≌△ACF ，然后推出AE=AF ，证明△AEF 是等边三角形，得∠AEF=60°，最后求出∠CEF 的度数．【详解】解：连接AC ， 在菱形ABCD 中，AB=CB ， ∵ABC ∠=60°，∴∠BAC=60°，△ABC 是等边三角形，∵∠EAF=60°， ∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC ，即：∠BAE=∠CAF ，在△ABE 和△ACF 中，BAE CAF AB AC B ACF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ABE ≌△ACF （ASA ），∴AE=AF ， 又∠EAF=∠D=60°，则△AEF 是等边三角形， ∴∠AEF=60°，又∠AEC=∠B+∠BAE=80°，则∠CEF=80°-60°=20°．故答案为：20°．【点睛】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定以及三角形的内角和定理，有一定的难度，解答本题的关键是正确作出辅助线，然后熟练掌握菱形的性质．14、0.3．【解析】试题分析：∵3，5，a ，4，3的平均数是4，∴（3+5+a+4+3）÷5=4，解得：a=5， 则这组数据的方差S 3=15[（3﹣4）3+（5﹣4）3+（5﹣4）3+（4﹣4）3+（3﹣4）3]=0.3，故答案为0.3． 考点：3．方差；3．算术平均数．15、1【解析】【分析】求出方程的解，根据勾股定理的逆定理得出三角形ABC 是直角三角形，根据已知得出圆形正好是△ABC 的外接圆，即可求出答案．解：解方程x 2-14x+48=0得：x 1=6，x 2=8，即△ABC 的三边长为AC=6，BC=8，AB=10，∵AC 2+BC 2=62+82=100，AB 2=100，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C=90°∵若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片正好是△ABC 的外接圆，∴△ABC 的外接圆的半径是12AB=1， 故答案为1．【点睛】 本题考查勾股定理的逆定理，三角形的外接圆与外心，解一元二次方程的应用．16、123【解析】【分析】利用已知条件及直角三角形中30︒角所对直角边是斜边的一半即可求出BC 、AB 的长，在Rt BEC ∆中，利用勾股定理可求出BE 的长，以DC 为底，BE 为高求其面积即可.【详解】解：,BE CD BF AD ⊥⊥90,90AFB BEC ︒︒∴∠=∠=四边形ABCD 是平行四边形,,,AB DC AB DC AD BC AD BC ∴==90,90CBF AFB ABE BEC ︒︒∴∠=∠=∠=∠=906030EBC FBC EBF ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=同理可得30ABF ︒∠=在Rt BEC ∆中，2CE =2224,4223BC CE BE ∴===-=3AF AD DF BC DF ∴=-=-=26AB AF ∴==6DC AB ∴==623123ABCD S DC BE ∴==⨯=平行四边形故答案为: 123【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形中30︒角所对直角边是斜边的一半及勾股定理的综合运用，灵活运用直角三角形的性质确定线段长度是解题的关键.17、57.5【解析】【分析】根据题意有△ABF ∽△ADE ，再根据相似三角形的性质可求出AD 的长，进而得到答案.【详解】如图，AE 与BC 交于点F ，由BC //ED 得△ABF ∽△ADE ，∴AB :AD =BF :DE ，即5:AD =0.4:5，解得：AD =62.5（尺），则BD =AD －AB =62.5－5=57.5（尺）故答案为57.5.【点睛】本题主要考查相似三角形的性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等.18、1【解析】解：由图象可得出：行驶160km ，耗油（35﹣25）=10（升），∴到达乙地时邮箱剩余油量是35﹣15=1（升）．故答案为1．三、解答题（共78分）19、253≤s253．【解析】【分析】分别求出重叠部分面积的最大值，最小值即可解决问题【详解】如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴AB=BD=AD=1，∴△ABD是等边三角形，当AE=EB，AF=FD时，重叠部分的面积最大，最大面积=12S△ABD=12×3×12=253，如图2中，当OA1与BC交于点E，OC1交AB与F时，作OG⊥AB与G，OH⊥BC于H．易证△OGF≌△OHE，∴S四边形BEOF=S四边形OGBH=52×53253观察图象图象可知，在旋转过程中，重叠部分是三角形时，当点E与B重合，此时三角形的面积最小为2534，综上所述，重叠部分的面积S 253≤s≤32．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布20、（1）y=16x；（2）Q1（165，4）；Q2（4，83），Q3（4，85）；（3）s1=8t（0＜t≤1）；s2=﹣2t2+2t+8（1≤t≤2）；s3=﹣10t+1（2≤t≤125）．【解析】试题分析：（1）根据正方形ABCD的边长为4，可得C的坐标为（4，4），再用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）分点Q在CD，BC，AB边上，根据全等三角形的判定和性质求得点Q的坐标；（3）分点Q在CD，BC，AB边上，由三角形面积公式和组合图形的面积计算即可求解．试题解析：解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴C的坐标为（4，4），设反比例解析式为y=k，将C的坐标代入解析式得：k=16，则反比例解析式为y=16x；（2）当Q在DC上时，如图所示：此时△APD≌△CQB，∴AP=CQ，即t=4﹣4t，解得t=45，则DQ=4t=165，即Q1（165，4）；当Q在BC边上时，有两个位置，如图所示：若Q在上边，则△QCD≌△PAD，∴AP=QC，即4t﹣4=t，解得t=43，则QB=8﹣4t=83，此时Q2（4，83）；若Q在下边，则△APD≌△BQA，则AP=BQ，即8﹣4t=t，解得t=85，则QB=85，即Q3（4，85）；当Q在AB边上时，如图所示：此时△APD≌△QBC，∴AP=BQ，即4t﹣8=t，解得t=83，因为0≤t≤125，所以舍去．综上所述Q1（165，4）；Q2（4，83），Q3（4，85）；（3）当0＜t≤1时，Q在DC上，DQ=4t，则s=×4t×4=8t；当1≤t≤2时，Q在BC上，则BP=4﹣t，CQ=4t﹣4，AP=t，则s=S正方形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ=16﹣12AP•AD﹣12PB•BQ﹣12DC•CQ=16﹣12t×4﹣12（4﹣t）•[4﹣（4t﹣4）]﹣12×4（4t﹣4）═﹣2t2+2t+8；当2≤t≤125时，Q在AB上，PQ=12﹣5t，则s=12×4×（12﹣5t），即s=﹣10t+1．总之，s1=8t（0＜t≤1）；s2=﹣2t2+2t+8（1≤t≤2）；s3=﹣10t+1（2≤t≤125）．考点：反比例函数综合题．21、（1）四边形OBDA是平行四边形，见解析；（2）①3226275或275或1227125【解析】【分析】（1）作射线OC，截取CD=OC，然后由对角线互相平分的四边形是平行四边形进行可得到四边形的形状；（2）①由直线EF恰好平分四边形OBDA的面积可知直线EF必过C，接下来，证明△OEC≌△DFC，从而可求得DF的长度，于是得到BF=2，然后再由两点间的距离公式求得OB的长，从而可求得a的值；②先求得点E的坐标，然后求得EC的长，从而得到CF1的长，然后依据勾股定理的逆定理证明∠OBA=90°，在△BCF1中，依据勾股定理可求得BF的长，从而可求得a的值，设点F的坐标（b，6），由CE=CF列出关于b的方程可求得点F2的坐标，从而可求得a的值，在Rt△CAF3中，取得AF3的长，从而求得点F运动的路程，于是可求得a的值．【详解】解：（1）如图所示：四边形OBDA是平行四边形．理由如下：∵点C为线段AB的中点，∴CB=CA．∵点D与原点O关于点C对称，∴CO=CD．∴四边形OBDA是平行四边形．（2）①如图2所示；∵直线EF恰好平分四边形OBDA的面积，∴直线EF必过C（9，3）．∵t=1，∴OE=1．∵BD∥OA，∴∠COE=∠CDF．∵在△OEC和△DFC中COE CDFOC ODOCE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△OEC≌△DFC．∴DF=OE=1．∴BF=4-1=2．由两点间的距离公式可知2266+2．∴1a=62+2．∴a=2+322． ②如图3所示：∵当t=3时，OE=3，∴点E 的坐标（3，0）．由两点间的距离公式可知22(95)(30)-+-．∵CE=CF ，∴CF=3．由两点间的距离公式可知2，又∵OA=4．∴△OBA 为直角三角形．∴∠OBA=90°．①在直角△F 1BC 中，CF 1=3，2，∴BF 17．∴OF 127．∴a=6275②设F 2的坐标为（b ，6）22(9b)(63)-+-．解得；b=3（舍去）或b=5．∴BF 2=5-6=6．∴OB+BF 22+6．∴a=6275． ③∵BO ∥AD ，∴AF 3．∴DF 3∴OB+BD+DF 3+4．∴a=125．综上所述a 75． 【点睛】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了平行四边形的判定、全等三角形的性质和判定、勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，两点间的距离公式求得F 1B ，F 2D ，F 3A 的长度是解题的关键．22、（1）()()0,10,5,0A B -；（2）①525S a =+（-5≤a≤0）； ②存在，【解析】【分析】（1）由直线AB 解析式，令x=0与y=0分别求出y 与x 的值，即可确定出A 与B 的坐标；（2）①把P 坐标代入直线AB 解析式，得到a 与b 的关系式，三角形POB 面积等于OB 为底边，P 的纵坐标为高，表示出S 与a 的解析式即可；②存在，理由为：利用三个角为直角的四边形为矩形，得到四边形PFOE 为矩形，利用矩形的对角线相等得到EF=PO ，由O 为定点，P 为动点，得到OP 垂直于AB 时，OP 取得最小值，利用面积法求出OP 的长，即为EF 的最小值．【详解】解：（1）对于直线AB 解析式y=2x+10，令x=0，得到y=10；令y=0，得到x=-5，则A （0，10），B （-5，0）；（2）连接OP ，如图所示， ①∵P （a ，b ）在线段AB 上，∴b=2a+10， 由0≤2a+10≤10，得到-5≤a≤0， 由（1）得：OB=5， ∴()1210,2PBO S OB a =•+ 则()52105252S a a =+=+（-5≤a≤0）； ②存在，理由为：∴四边形PFOE 为矩形， ∴EF=PO ，∵O 为定点，P 在线段AB 上运动，∴当OP ⊥AB 时，OP 取得最小值，∵ 1122AB OP OB OA •=•， 2251055,AB =+=∴ 5550,OP •=∴EF=OP=2 5.55= 综上，存在点P 使得EF 的值最小，最小值为25．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查的是：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，矩形的判定与性质，勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．23、（1）①直线AP 解析式3y x =-+， ②N(0,25),GMN ∆26；（2）22y x =-. 【解析】【分析】（1）①利用矩形的性质确定A 、B 、C 点的坐标，再利用等腰三角的性质确定45BAP BPA ∠=∠=︒，所以2BP AB ==，确定P 点的坐标，再根据A 点的坐标确定确定直线AP 的函数表达式. ②作G 点关于y 轴对称点G'(-2,0)，作点G 关于直线AP 对称点G''(3,1)连接G'G''交y 轴于N ，交直线AP 于M ，此时ΔGMN 周长的最小．（2）过P 作PM ⊥AD 于M ，先根据等腰三角形三线合一的性质证明DM=MA ，再根据角角边定理证明ΔODE ≌ΔMDP ，根据全等三角形的性质求出点P 、D 的坐标，代入直线解析式得k=2,b=-2，所以直线PE 的解析式为y=2x-2.【详解】（1）①∵矩形OABC ，3,2OA OC ==∴()()()3,0,0,2,3,2A C B ，,3,90,2AO BC AO BC B CO AB ==∠=︒==∕∕∵APD ∆为等腰直角三角形∴45PAD ∠=︒∵AO BC ∕∕∴45BPA PAD ∠=∠=︒∵90B ∠=︒∴45BAP BPA ∠=∠=︒∴2BP AB ==∴()1,2P设直线AP 解析式y kx b =+，过点A ，点P∴203k b k b =+⎧⎨=+⎩ ∴13k b =-⎧⎨=⎩∴直线AP 解析式3y x =-+②作G 点关于y 轴对称点()'2,0G -，作点G 关于直线AP 对称点()''3,1G连接'''G G 交y 轴于N ，交直线AP 于M ，此时GMN ∆周长的最小．∵()()'2,0,''3,1G G -∴直线'''G G 解析式1255y x =+ 当0x =时，25y =，∴20,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴GMN ∆周长的最小值为26（2）如图：作PM AD ⊥于M∵BC OA ∕∕ ∴CPD PDA ∠=∠且CPD APB ∠=∠∴PD PA =，且PM AD ⊥ ∴DM AM =∵四边形PAEF 是平行四边形 ∴PD DE =又∵,PMD DOE ODE PDM ∠=∠∠=∠∴PMD ODE ∆∆≌∴,OD DM OE PM == ∴OD DM MA ==∵2,3PM OA == ∴2,2OE OM ==∴()()0,2,2,2E P -设直线PE 的解析式y mx n =+222n m n =-⎧⎨=+⎩∴22m n =⎧⎨=-⎩∴直线PE 解析式22y x =-【点睛】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质、角边角定理以及一次函数的应用.24、（1）3；（1）122x -+，16- . 【解析】【分析】（1）根据实数的运算法则，先算乘方和开方，再算加减，注意0指数幂和负指数幂的运算；（1）根据分式的乘除法则先化简，再代入已知值计算.解：（1）原式=﹣+1﹣1=3；（1）原式=11(1)+(1)(1)(1)(1)2x xx x x x x⎡⎤---⎢⎥+-+-⎣⎦•=(1) (1)(1)2x xx x x--+-=﹣122x+，当x=1时，原式=11= 2226 --⨯+．【点睛】本题考核知识点：实数运算，分式化简求值.解题关键点：掌握实数运算法则和分式的运算法则,要注意符号问题.25、（1）2；（2）见详解.【解析】【分析】（1）由点D是AB中点，∠B=30°得到△ACD是等边三角形，由30°角所对直角边等于斜边的一半，得到AC=1AB 2，由BC=6，即可得到AC=AE2=；（2）延长ED，交BC于点G，可证△ADE≌△BDG，得到AE=BG，然后证明△CDE≌△CDG，得到CE=CG，然后即可得到AE+CE=BC.【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，∴AD=BD=CD，∵∠B=30°，∴∠BCD=∠B=30°，∠BAC=60°∴△ACD是等边三角形.∴AC=AD=1 AB 2∵AE//BC，CD⊥DE，∴∠CAE=∠ACB=90°，∠CDE=90°，∴△ACE≌△DCE，∴∠ACE=∠DCE=30°，在Rt △ABC 中，222AC BC AB +=，BC=6，∴222AC 62AC +=（）， ∴AC 23=，同理，在Rt △ACE 中，()222AC AE 2AE +=解得：AE 2=，∴AE 的长度为：2.（2）如图，延长ED ，交BC 于点G ，则∵点D 是AB 的中点，∴AD=BD ，∵AE ∥BC ，∴∠EAD=∠GBD ，∵∠ADE=∠BDG ，∴△ADE ≌△BDG （ASA ），∴AE=BG .DE=DG∵CD ⊥ED ，∴∠CDE=∠CDG=90°,又CD=CD ，∴△CDE ≌△CDG （SAS ）,∴CE=CG ，∵BC=BG+CG ，∴BC=AE+EC.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，30°角所对直角边等与斜边的一半，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，准确地得到边之间的关系.26、（1）9或5；（2）①见解析，②见解析【分析】（1）分两种情况：①如图1-1，得出正方形ABCD 的边长为2，求出正方形ABCD 的面积为9；②如图1-2，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF=2由勾股定理求出AB=225AE BE +=，即可得出答案；（2）①过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），得出△ABE ≌△CDM （AAS ），得出BE=DM 即可；②由①得出AE=BF=h 2+h 2=h 2+h 1，得出正方形ABCD 的面积S=AB 2=AE 2+BE 2，即可得到答案.【详解】解：（1）①如图，当点B D ，分别在14,l l 上时，面积为：339⨯=；②如图，当点B D ，分别在23,l l 上时，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF=2，∴AB=2222215AE BE +=+=，∴正方形ABCD 的面积=AB 2=5；综上所述，正方形ABCD 的面积为9或5；（2）①证明：过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，如图所示：则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中，90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），∴△ABE ≌△CDM （AAS ），∴BE=DM ，即h 1=h 2．②解：由①得：AE=BF=h 2+h 2=h 2+h 1，∵正方形ABCD 的面积：S=AB 2=AE 2+BE 2，∴S=（h 2+h 1）2+h 12=2h 12+2h 1h 2+h 3．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．。
2020学年浙江省绍兴市八年级数学竞赛卷(含答案)
八年级学生数学创新与思维发展初赛一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分) 1. 已知0<a ，那么a a 22-可化简为（ ）A ．3a -B ．3aC ．a -D ．a2. 对于有理数d c b a ,,,，我们规定：cabc ad db -=，若12-x812<-，那么满足条件x 的最小整数是（ ） A. －4B ．－3C ．－2D ．13. 如图，以直角ABC ∆的三条边a ,b ,c 为边，向外分别做正方形、等边三角形和半圆，且面积分别为1S ，2S 和S ，则下列结论正确的是（ ） A ．1212S S S +>B ．1212S S S +<C ．1212S S S +=D ．12S S S +=4. 已知一元二次方程x 2＋ax ＋b =0的两个根为连续整数，则a 2－4b =（ ） A ．14-B ．14C ．－1D ．1 5. 如图，一个菱形被分割成4个直角三角形和1个矩形后仍是中心 对称图形.若只知道下列选项中哪个角度，就一定能算出矩形 EFGH 的长与宽之比.这个选项是（ ） A ．∠BAFB ．∠CBGC ．∠BADD ．以上选项都不可以6.如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE =120°, ∠B =∠E =90°，AB =BC ，AE =DE ，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）A. 100° B ．120° C. 90° D. 60°二、填空题（本题有5小题，每小题6分，共30分.）7. 多项式ax 2﹣4ax +4a 分解因式，结果是 ． 8. 在平行四边形ABCD 中，AB ＞BC ，∠ACB =45°，BC =24，EF 、GH 分别是△ABC 、△ADC 的中位线．作点B 关于直线EF 的对称点为M ， 点D 关于直线HG 的对称点为点N ，如图．若MN =2，则EF= .9. 在平面直角坐标系中，点A 是两条互相垂直的直线y=kx ＋k 与y=mx －3m 的垂足，点B 的坐标是（4，－4），则线段AB 的最小值是 .10. 若b a ,满足753=+b a ,且b a m 32-=,则m 的取值范围是 . 11. 在△ABC 中，∠BAC =18°，AD 是∠BAC 的平分线，过A 作DA 的垂线交直线BC 于点M ， 若BM=BA ＋AC ，则∠ABC 的度数是 ．三、解答题（本题有3小题，第12题12分，第13、14题14分，共40分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 12. (本题12分) （1）计算：1121231234124849233444555550505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)记“*”表示一种运算符号，我们规定：))(1(11*A y x xy y x +++=． 已知321*2=，求2019*2020．13.(本题14分)环行跑道的一周插了若干红、黄两种颜色的彩旗，已知一共变色了46次（一个红旗与一个黄旗相邻或一个黄旗与一个红旗相邻，称为一次变色），现可将相邻的旗子对调，如果若干次对调后，变色次数减少为26次.试说明：在对调过程中，必有一个时刻，彩旗的变色次数恰好为28次.14.(本题14分)已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O，连结AF、CE．（1）如图1，求证：四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．参考答案一、选择题（本大题有6小题，每小题5分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）二、填空题（本题有5小题，每小题6分，共30分） 7.2)2(-x a 8.5 9.3 10.521-≤m ≤314 11.48°或108° 评分说明:第10小题给出一个正确范围得3分,第11小题给出一个正确答案得3分.三、解答题（本题有3小题，第12题12分，第13、14题14分，共40分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 12.(本题12分) 解：（1）设s=1121231234124849233444555550505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 又s=1213214321494812334445555505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,…………2分 相加得：2s=1+2+3+4+…+49, …………………………………1分 又2s=49+48+47+…+2+1, …………………………………1分 相加得：4s=50×49=2450, …………………………………1分 故：s=612.5. …………………………………1分 （2）32)1)(12(11211*2=+++⨯=A ，解得A =1. …………………………………2分 即)1)(1(11*+++=y x xy y x. …………………………………1分 所以2019*2020=202120201202020191⨯+⨯=408039922021120191=-． ………3分 13.(本题14分)解:首先说明:将相邻的旗子对调一次,变色次数或不变,或增加2次,或减少2次. ………4分显然,如果对调的两旗同色,则不改变色数. ………2分以下为了方便,用○表示红色旗,用△表示黄色旗. ………1分可设对调前两旗为○△,因对调一次只可能影响这两旗相邻旗子的变色数,因此考虑到对称性,只需要考虑如下几种对调前的情形:○○△△;○○△○;△○△○;△○△△.(变色数依次为1,2,3,2). ………2分将中间两旗对调后变为:○△○△;○△○○;△△○○;△△○△,(变色数依次为3,2,1,2). ………2分由此可见,变色数或增加2次,或不变,或减少2次. ………1分由原来的变色数为46,经过若干次增2、减2,现在成为26,故必须经过46与26之间的所有偶数.特别地,必有一刻得到了数28. ………2分14.(本题14分)（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE. ………1分∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC. ………1分∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形. ………1分又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形. ………1分②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8－x）cm，………1分在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8－x）2=x2，解得x=5，∴AF=5cm．………1分（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；………1分同理: P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．………1分因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形. ………1分∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，∴PC=5t，QA=12－4t，………1分∴5t =12－4t ，解得t =34. ………1分∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t =34秒．②由题意得，以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P 、Q 在互相平行的对应边上． 下分三种情况：i ）当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时，AP =CQ ，即a =12－b ，得a +b =12； 1分 ii ）当P 点在BF 上、Q 点在DE 上时，AQ =CP ，即12－b =a ，得a +b =12； 1分 iii ）当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时，AP =CQ ，即12－a =b ，得a +b =12． 1分综上所述，a 与b 满足的数量关系式是a +b =12（ab ≠0）．。
浙江省新昌县实验中学2021-2021学年八年级数学竞赛试卷(PDF版,含解析)
浙江省新昌县实验中学2021-2021学年八年级数学竞赛试卷共 26 题一、单选题1、已知下列命题：①若a﹥b则a＋b﹥0；②若a≠b则a2≠b2；③角的平分线上的点到角两边的距离相等；④平行四边形的对角线互相平分。
其中原命题和逆命题都正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、下列计算正确的是（）A. B.C. D.3、为使有意义，x的取值范围是（）A.x＞B.x≥C.x≠D.x≥ 且x≠4、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（）A.10%B.15%C.20%D.25%5、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、正五边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有10个不同的点，，…… , 记（i ＝ 1，2，……，10），那么的值为（）A.4B.14C.40D.不能确定7、如图．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（）A.3个B.4个C.5个D.6个8、如果关于的方程没有实数根，那么的最大整数值是（）A.-3B.-2C.-1D.09、如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是（）A.-5B.1C.13D.19-4k10、如图，在 ABCD中，BC=7厘米，CD=5厘米，∠D=50°，BE平分∠ABC，下列结论中错误的是（）A.∠C=130°B.∠BED=130°C.AE=5厘米D.ED=2厘米二、填空题11、已知，那么代数式的值为________.12、已知，则 ________.13、已知，则一元二次方程的根的情况是________.14、如图，菱形的边长为1，；作于点，以为一边，做第二个菱形，使；作于点，以为一边做第三个菱形，使；……依此类推，这样做的第n个菱形的边的长是________.15、如图，矩形OABC中，O是原点，OA＝8，AB＝6，则对角线AC和BO的交点H的坐标为________.16、一元二次方程可以配方成 ________.17、 ________.18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A=________.19、如图，矩形ABCD两邻边分别为3、4，点P是矩形一边上任意一点，则点P到两条对角线AC、BD的距离之和PE+PF为________.20、如图，在△ABC 中，∠1=∠2= ∠B=20°，则∠ADE=________.三、解答题21、解方程22、如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于E.求证：AC=CE.23、如图（1），在ΔABC中，AB=BC=5，AC=6，ΔABC沿BC方向平移得到△ECD，连接AE、AC和BE相交于点O。
2020-2021学年八年级下学期第一次学科竞赛数学试题
2020-2021学年度第二学期第一次8年级数学竞赛试题一．选择题（共12小题）1．无论x取任何实数，下列一定是二次根式的是（）A．B．C．D．2．下列运算正确的是（）A．•＝B．9×＝C．×＝12D．•＝63．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞0且x≠2D．x≥0且x≠24．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠C﹣∠B B．a：b：c＝4：5：6C．a2＝b2﹣c2D．a＝，b＝，c＝15．已知△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，D，E，F分别为△ABC各边的中点，则△DEF的周长为（）A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm6．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．7．如图，▱ABCD中，EF∥AD，GH∥CD，EF、GH相交于O，则图中平行四边形的个数为（）A．9B．8C．6D．48．若＝x﹣3成立，则满足的条件是（）A．x＞3B．x＜3C．x≥3D．x≤39．计算的结果是（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．BC＝2BE B．∠A＝∠EDA C．BC＝2AD D．BD⊥AC11．如图，小巷左、右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙角的距离为1米，梯子顶端距离地面3米，若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙上，此时梯子顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A．（+1）米B．3米C．米D．2米12．在学完二次根式的乘除法之后，小明借助计算机完成了以下计算：＝10，＝100，＝1000，＝10000，…．通过计算，小明发现了其中规律，那么按照上述规律，计算的结果是（）A．102020B．102021C．102022D．102019二．填空题（共6小题）13．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是．14．如图，字母b的取值如图所示，化简：|b﹣1|+＝．15．如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1.3米，则梯子顶端A下滑了米．16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠BCF；④∠ABE＝∠CDF；其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是．（只填序号）17．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为．18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为．三．解答题（共6小题）19．计算（1）（2）20．如图所示，四边形ABDC，BD⊥CD，BD＝6，CD＝8，AB＝24，AC＝26，求该四边形的面积．21．如图，在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积；（3）求CD的长．23．如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF．①求证：AB＝DE；②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．24．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）（1）当t＝3时，BP＝；（2）当t＝时，点P运动到∠B的角平分线上；（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；北城英才学校 姓名班级考号_______ ----------------------------装--------------------------订---------------------------------线--------------2020-2021学年度第二学期8年级数学竞赛试题答题卡一．选择题（每小题4分，共48分）二．填空题（每小题5分，共30分） 13. 14. 15. 16.17. 18.三．解答题（共6小题）19．计算（每小题5分，共10分）（1） （2）20.（12分）21（12分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案22.（12分）（1）（2）（3）23.（12分）（1）（2）.24．（14分）初中数学试卷答案一．选择题（共12小题）1．故选：C．2．故选：D．3．故选：D．4．故选：B．5．故选：B．6．故选：D．7．故选：A．8．故选：C．9．故选：A．10．故选：C．11．故选：A．12．故选：B．二．填空题（共6小题）13．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是5或．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：设第三边为x（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得32+42＝x2，所以x＝5；（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得32+x2＝42，所以x＝；所以第三边的长为5或．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．14．如图，字母b的取值如图所示，化简：|b﹣1|+＝4．【分析】先利用数轴表示数的方法得到2＜b＜5，再利用二次根式的性质得原式＝|b﹣1|+|b﹣5|，然后去绝对值后合并即可．【解答】解：由数轴得2＜b＜5，所以原式＝|b﹣1|+＝|b﹣1|+|b﹣5|＝b﹣1+5﹣b＝4．故答案为4．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类的关键．也考查了数轴．15．如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1.3米，则梯子顶端A下滑了0.9米．【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC＝2.4米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理得CE＝1.5米，所以AE＝0.9米，即梯子的顶端下滑了0.9米．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，∴AC＝＝＝2.4米，在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝1.3+0.7＝2米，∴EC＝＝＝1.5米，∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣1.5＝0.9米．故答案为：0.9．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理，注意掌握勾股定理的表达式．16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠BCF；④∠ABE＝∠CDF；其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是②③．（只填序号）【分析】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②③不能证明对角线互相平分，只有①④可以，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，OA＝OC，①OE＝OF，则四边形DEBF是平行四边形；故①能判定四边形DEBF是平行四边形；②DE＝BF时，不能证明OE＝OF，故②不能判定四边形DEBF是平行四边形；③∠ADE＝∠BCF时，不能证明OE＝OF，故③不能判定四边形DEBF是平行四边形；④∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，又∵OB＝OD，∴四边形DEBF是平行四边形；故④能判定四边形DEBF是平行四边形；故答案为：②③．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．17．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为16．【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE，从而得到b的面积＝a的面积+c 的面积．【解答】解：如下图，∵∠ACB+∠ECD＝90°，∠DEC+∠ECD＝90°∴∠ACB＝∠DEC∵∠ABC＝∠CDE，AC＝CE，在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴BC＝DE（如上图），根据勾股定理的几何意义，∵AB2+BC2＝AC2，∴b的面积＝a的面积+c的面积＝5+11＝16．【点评】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为6．【分析】设别BC，AC，AB三边为直径的三个半圆面积分别表示为S1、S2、S3，证明S1+S2＝S3；推出S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC，由此即可解决问题．【解答】解：设别BC，AC，AB三边为直径的三个半圆面积分别表示为S1、S2、S3，则有：S1＝π（）2＝，同理，S2＝，S3＝，∵BC2+AC2＝AB2，∴S1+S2＝S3；∴S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC，在直角△ABC中，BC＝＝3，则S阴影＝S△ABC＝AC•BC＝×4×3＝6．故答案为6．【点评】本题考查勾股定理，三角形的面积，圆面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，证明S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC是解题的关键．三．解答题（共6小题）19．计算（1）（2）【分析】（1）根据二次根式的性质、零指数幂的运算法则计算；（2）根据二次根式的除法法则、二次根式的性质计算．【解答】（1）＝3﹣2+1＝2；（2）＝2﹣+3﹣2+1+2＝+4．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算、零指数幂，掌握二次根式的混合运算法则、二次根式的性质是解题的关键．20．如图所示，四边形ABDC，BD⊥CD，BD＝6，CD＝8，AB＝24，AC＝26，求该四边形的面积．【分析】连接BC，根据已知条件运用勾股定理求得BC，运用勾股定理逆定理可证△ABC为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积差即为四边形ABDC 的面积【解答】解：如图，连接BC，∵BD⊥DC，∴∠D＝90°，∴△DBC为直角三角形，∵BC2＝BD2+CD2＝82+62＝102，∴BC＝10，在△ABC中，∵AB2+BC2＝100+576＝676，AC2＝262＝676，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，∴S四边形ABDC＝S△ABC﹣S△BCD＝×10×24﹣×6×8＝96．【点评】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形，使面积的求解过程变得简单．21．如图，在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？【分析】要求树的高度，就要求BD的高度，在直角三角形ACD中运用勾股定理可以列出方程式，CD2+AC2＝AD2，其中CD＝CB+BD．【解答】解：设BD高为x，则从B点爬到D点再直线沿DA到A点，走的总路程为x+AD，其中AD＝而从B点到A点经过路程（20+10）m＝30m，根据路程相同列出方程x+＝30，可得＝30﹣x，两边平方得：（10+x）2+400＝（30﹣x）2，整理得：80x＝400，解得：x＝5，所以这棵树的高度为10+5＝15m．故答案为：15m．【点评】本题考查的是勾股定理的灵活运用，要求在变通中熟练掌握勾股定理．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积；（3）求CD的长．【分析】（1）根据勾股定理计算；（2）根据三角形的面积公式计算即可；（3）根据三角形的面积公式计算．【解答】解：（1）由勾股定理得，AB＝＝25；（2）△ABC的面积＝×BC×AC＝150；（3）由三角形的面积公式可得，×AB×CD＝150则CD＝＝12．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．23．如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF．①求证：AB＝DE；②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．【分析】①利用平行四边形的性质，判定△ABF≌△DEF，即可得出AB＝DE；②利用角平分线以及平行线的性质，即可得到AF＝AB＝3，进而得出BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，依据△ABF≌△DEF，可得DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，进而得到△BCE的周长．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，∵AF＝DF，∴△ABF≌△DEF，∴AB＝DE；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠AFB，∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝3，∴AD＝2AF＝6∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，∵△ABF≌△DEF，∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，∴CE＝6，BE＝EF+BF＝10，∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝10+6+6＝22．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．24．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）（1）当t＝3时，BP＝6；（2）当t＝8时，点P运动到∠B的角平分线上；（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．【分析】（1）根据题意可得BP＝2t，进而可得结果；（2）根据∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，可得四边形ABCD是矩形，根据角平分线定义可得AF＝AB＝4，得DF＝4，进而可得t的值；（3）根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上运动时，分别用含t的代数式表示△ABP的面积S即可；（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，根据题意分情况讨论：①当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到AB边的距离也为4，②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到DE边的距离也为4，③当点P在CD上，点P到AB边的距离为8，但点P到AB、BC边的距离都小于8，进而可得当t＝2s或t＝3s时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．【解答】解：（1）BP＝2t＝2×3＝6，故答案为：6；（2）作∠B的角平分线交AD于F，∴∠ABF＝∠FBC，∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBC，∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝4，∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4，∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16，∴2t＝16，解得t＝8．∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；故答案为：8；（3）根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，S△ABP＝×BP×AB＝×2t×4＝4t；（0＜t＜4）；②当点P在CD上运动时，S△ABP＝×AB×BC＝×4×8＝16；（4≤t≤6）；③当点P在AD上运动时，S△ABP＝×AB×AP＝×4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）；。
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2020-2021学年浙江省八年级下学期数学竞赛卷1 一．选择题（共8小题）1．设a＝﹣2，则代数式a3+4a2﹣a+6的值为（）A．6B．4C．2+2D．2﹣2【解答】解：∵a＝﹣2，∴（a+2）2＝（）2，即a2+4a＝1，∴a3+4a2﹣a+6＝a（a2+4a）﹣a+6＝a×1﹣a+6＝6．故选：A．2．关于x的方程x2﹣bx+4＝0有两个相等的正实数根，则b的值为（）A．4B．﹣4C．﹣4或4D．0【解答】解：∵关于x的方程x2+bx+4＝0有两个相等的正实数根，∴△＝b2﹣4×1×4＝b2﹣16＝0，解得：b＝4．故选：A．3．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝（）A．360°B．450°C．540°D．720°【解答】解：如图，在四边形ACEH中，∠A+∠C+∠E+∠1＝360°，在四边形BDFP中，∠B+∠D+∠F+∠2＝360°，∵180°﹣∠1+180°﹣∠2+∠G＝180°，∴∠A+∠C+∠E+∠1+∠B+∠D+∠F+∠2+180°﹣∠1+180°﹣∠2+∠G＝360°+360°+180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝360°+180°＝540°．故选：C．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4，那么BC的长等于（）A．3B．5C．2D．【解答】解：如图，作EQ⊥x轴，以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，则A（0，3）．设B（x，0），由于O点为以AB一边向三角形外作正方形ABEF的中心，∴AB＝BE，∠ABE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBQ＝90°，∴∠BAC＝∠EBQ，在△ABC和△BEQ中，∴△ACB≌△BQE（AAS），∴AC＝BQ＝3，BC＝EQ，设BC＝EQ＝x，∴O为AE中点，∴OM为梯形ACQE的中位线，∴OM＝，又∵CM＝CQ＝，∴O点坐标为（，），根据题意得：OC＝4＝，解得x＝5，则BC＝5．故选：B．5．如图正方形ABCD的顶点A在第二象限y＝图象上，点B、点C分别在x轴、y轴负半轴上，点D在第一象限直线y＝x的图象上，若S阴影＝，则k的值为（）A．﹣1B．C．D．﹣2【解答】解：如图，过点A作AG⊥x轴，过点D作DE⊥x轴，作DF⊥AG交y轴于H，∴四边形DHOE是矩形∵∠ADC＝∠HDE＝90°∴∠ADC﹣∠FDC＝∠HDE﹣∠FDC∴∠ADF＝∠CDE，∵点D在第一象限直线y＝x的图象上，∴DH＝DE，且∠ADF＝∠CDE，∠DHM＝∠DEN∴△DHM≌△DEN（ASA）∴S△DHM＝S△DNE，∴＝S四边形DHOE＝DH×DE∴DH＝DE＝同理可证：△AFD≌△BGA≌△COB≌△DHC∴AF＝HD＝BG＝OC，AG＝DF＝BO＝HC∴OC＝HD＝＝AF＝BG∴CH＝∴AG＝＝BO∴GO＝∴点A坐标（﹣，）∴k＝﹣×＝﹣故选：B．6．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝54°，则∠B＝（）A．54°B．60°C．66°D．72°【解答】解：过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；则四边形ABGF是平行四边形，所以AF＝BG，即G是BC的中点；连接EG，在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，则BG＝GE＝FG＝BC；∵AE∥FG，∴∠EFG＝∠AEF＝∠FEG＝54°，∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝108°，∴∠B＝∠BEG＝180°﹣108°＝72°．故选：D．7．若m是关于x的方程x2﹣2020x+1＝0的根，则（m2﹣2020m+4）•（m2﹣2020m﹣5）的值为（）A．18B．﹣18C．20D．﹣20【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2020x+1＝0的根，∴m2﹣2020m+1＝0，∴m2﹣2020m＝﹣1，∴（m2﹣2020m+4）•（m2﹣2020m﹣5）＝（﹣1+4）×（1﹣5）＝﹣18．故选：B．8．如图，四边形OABC为平行四边形，A在x轴上，且∠AOC＝60°，反比例函数y＝（k ＞0）在第一象限内过点C，且与AB交于点E．若E为AB的中点，且S△OCE＝8，则OC的长为（）A．8B．4C．D．【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点E作EF⊥x轴于点F，如图：∵四边形OABC为平行四边形，∴OC＝AB，OC∥AB，∴∠EAF＝∠AOC＝60°，在Rt△COD中，∵∠DOC＝60°，∴∠DOC＝30°，设OD＝t，则CD＝t，OC＝AB＝2t，在Rt△EAF中，∵∠EAF＝60°，AE＝AB＝t，∴AF＝，EF＝AF＝t，∵点C与点E都在反比例函数y＝的图象上，∴OD×CD＝OF×EF，∴OF＝＝2t，∴OA＝2t﹣＝t，∴S四边形OABC＝2S△OCE，∴t×t＝2×8，∴解得：t＝（舍负），∴OC＝．故选：D．二．填空题（共6小题）9．已知关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围﹣3≤k＜4且k≠．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴，解得：﹣3≤k＜4且k≠．故答案为：﹣3≤k＜4且k≠．10．若＜0，化简﹣﹣3的结果为﹣2x．【解答】解：由题意得，或，解得，﹣2＜x＜，则原式＝|5﹣3x|﹣|x﹣2|﹣3＝5﹣3x﹣2+x﹣3＝﹣2x，故答案为：﹣2x．11．如图，双曲线y＝（x＞0）的图象上．△OA1B1，△A1A2B2，…，△A n﹣1A n B n均为正三角形，过B1作B1C⊥x轴于C，过B2作B2D⊥x轴于D，则点A n的坐标为（，0）．【解答】解：∵点B1，B2在双曲线y＝（x＞0）的图象上，∴OC•B1C＝3，∵△OA1B1，△A1A2B2，…，△A n﹣1A n B n均为正三角形，∴B1C＝OC，∴OC＝，∴OA1＝2，∴；连接OB2，则OD•B2D＝3，∵OD＝OA1+A1D＝2+，，∴∴，∴，同理可得，，…由上可知，．故答案为：（，0）．12．P是正方形ABCD内一点，AB＝5，P A＝，PC＝5，则PB＝或2．【解答】解：如图所示，∴PB＝＝或PB＝＝2，故答案为：或2．13．已知x1，x2，x3，x4，x5为正整数，任取四个数求和，只能得到44，45，46，47这样四个结果，则这5个数的众数是11．【解答】解：根据题意，设这个重复的和为z，可得：（x1+x2+x3+x4+x5）×4＝44+45+46+47+z，可得：z＝46，可得五个数据之和为57，所以五个数据为：10，11，12，13，11，故答案为：1114．如图，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是或．【解答】解：∵点B是y＝kx和y＝的交点，y＝kx＝，∴点B坐标为（，2），同理可求出点A的坐标为（，），∵BD⊥x轴，∴点C横坐标为，纵坐标为，∴BA＝，AC＝，BC＝，∴BA2﹣AC2＝k＞0，∴BA≠AC，若△ABC是等腰三角形，①当AB＝BC时，则＝，解得：k＝±（舍去负值）；②当AC＝BC时，同理可得：k＝；故答案为：或．三．解答题（共4小题）15．已知x﹣y＝6，，求的值．【解答】解：∵x﹣y＝6，∴，∴，∵+＝•+•＝（+）＝9，∴，即，∴＝（﹣）＝×＝4．16．已知实数a，b，c满足：a+b+c＝2，abc＝4．（1）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求|a|+|b|+|c|的最小值．【解答】解：（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a＞0，且b+c＝2﹣a，．于是b，c是一元二次方程的两实根，≥0，a3﹣4a2+4a﹣16≥0，（a2+4）（a﹣4）≥0．所以a≥4．又当a＝4，b＝c＝﹣1时，满足题意．故a，b，c中最大者的最小值为4．（2）因为abc＞0，所以a，b，c为全大于0或一正二负．①若a，b，c均大于0，则由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c＝2矛盾．②若a，b，c为或一正二负，设a＞0，b＜0，c＜0，则|a|+|b|+|c|＝a﹣b﹣c＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，由（1）知a≥4，故2a﹣2≥6，当a＝4，b＝c＝﹣1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故|a|+|b|+|c|的最小值为6．17．如图，四边形ABCD是矩形，E是对角线BD上不同于B、D的任意一点，AF＝BE，∠DAF＝∠CBD．（1）求证：△ADF≌△BCE；（2）求证：四边形ABEF是平行四边形；（3）试确定当点E在什么位置时，四边形AEDF为菱形？并说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，在△ADF和△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS）；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠BAD＝90°，∴∠DBC＝∠ADB，∵∠DAF＝∠CBD，∴∠DAF＝∠ADB，∴AF∥BE，∵AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形；（3）解：当E为BD的中点时，四边形AEDF变为菱形，理由如下：如图所示：∵E为BD的中点，∠BAD＝90°，∴AE＝BE＝DE，∵AF＝BE，AF∥BD，∴AF∥DE，AF＝DE，AF＝AE，∴四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形．18．请你利用直角坐标平面上任意两点（x1，y1），（x2，y2）间的距离公式d＝解答下列问题：已知：反比例函数y＝与正比例函数y＝x的图象交于A，B两点（A在第一象限），点F1（﹣2，﹣2），F2（2，2）在直线y＝x上．设点P（x0，y0）是反比例函数y＝图象上的任意一点，记点P与F1，F2两点之间的距离之差d＝|PF1﹣PF2|．（1）试比较线段AB的长度与d的大小，并由此归纳出双曲线的一个重要定义（用简练的语言表述）．（2）现请你在反比例函数y＝第一象限内的分支上找一点P，使点P到F2（2，2）和点C（6，4）的距离之和最小，求点P的坐标．【解答】：解由y＝和y＝x组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为，（，）、（﹣，﹣），线段AB的长度＝4．∵点P（x0，y0）是反比例函数y＝图象上一点，∴y0＝．∴PF1＝＝||，PF2＝＝||，∴d＝|PF1﹣PF2|＝|||﹣|||，当x0＞0时，d＝4；当x0＜0时，d＝4．因此，无论点P的位置如何，线段AB的长度与d一定相等．由此可知：到两个定点的距离之差（取正值）是定值的点的集合（轨迹）是双曲线．（2）由条件PF2＝PF1﹣4，知PF2+PC＝PF1+PC﹣4，由F1，﹣P，C三点共线时最小，此时可解得P（2，1）．。