2011年高考理数新课标试卷及答案
2011年新课标高考数学试题及答案（理科）
2011年新课标高考数学试题及答案（理科）Part IV Translation & WritingTranslationA. Translate the following sentences from Chinese intoEnglish.1) 约翰同时干许多事情。
我觉得他应当休息一下。
(work on, all at once, take a break)John works on many things all at once. I think he should takea break2) 杨教授说的话有着神奇的力量。
许多同学接受他的忠告，开始专注学业了。
(what, magical, advice, focus on)What Prof. Yang said has magical power. On his advice, many students began to focus on their schoolwork.3) 由于星期天晚上汤姆没有提示他将做何种选择，我无法弄清楚他会如何完成这项任务。
(clue, option, fgure out, accomplish) As Tom gave no clue Sunday night about which option he would choose, I can’t figure out how he will accomplish the task4) 我的父亲是极负责任的人。
虽然他总是很忙，但他设法每天都给家庭留出一些时间。
(responsibility, on the go, set aside) My father is a man of great responsibility. Though he is on the go all the time, he manages to set aside some time for the family every day.5) 这个项目的成功与否取决于我们如何确定轻重缓急。
2011年新课标高考数学试题及答案（理科）
2011年新课标高考数学试题及答案（理科）Part IV Translation & WritingTranslationA. Translate the following sentences from Chinese intoEnglish.1) 约翰同时干许多事情。
我觉得他应当休息一下。
(work on, all at once, take a break)John works on many things all at once. I think he should takea break2) 杨教授说的话有着神奇的力量。
许多同学接受他的忠告，开始专注学业了。
(what, magical, advice, focus on)What Prof. Yang said has magical power. On his advice, many students began to focus on their schoolwork.3) 由于星期天晚上汤姆没有提示他将做何种选择，我无法弄清楚他会如何完成这项任务。
(clue, option, fgure out, accomplish) As Tom gave no clue Sunday night about which option he would choose, I can’t figure out how he will accomplish the task4) 我的父亲是极负责任的人。
虽然他总是很忙，但他设法每天都给家庭留出一些时间。
(responsibility, on the go, set aside) My father is a man of great responsibility. Though he is on the go all the time, he manages to set aside some time for the family every day.5) 这个项目的成功与否取决于我们如何确定轻重缓急。
2011年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）复数212ii +=- （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）||2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ） 720 （C ） 1440 （D ） 5040 （4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 （B ） 12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ） 45-（B ）35- （C ） 35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为（A （B （C ） 2 （D ） 3（8）51()(2)ax x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）—40 （B ）—20 （C ）20 （D ）40（9）曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ） 163（D ） 6 （10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题1:||1p +>a b ⇔2[0,)3πθ∈ 2:p ||+a b 1>⇔θ∈2(,]3ππ 3:||1p ->a b ⇔θ∈[0,)3π 4:||1p ->a b ⇔θ∈(,]3ππ其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p （11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则 （A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减 （C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增 （12）函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-剟的图象所有交点的橫坐标之和等于（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为_________．（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB =6，BC =锥O ABCD -的体积为_____________．（16）ABC ∆中，60,B AC =︒=，则AB +2BC 的最大值为_________． 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==． （I ）求数列{}n a 的通项公式．（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1{}nb 的前n 项和．（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中， 已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．（21）（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=．（I ）求,a b 的值；（II ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：,,,C B D E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求,,,C B D E 所在圆的半径．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB .（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >．（I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集． （II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学答案（1）C 【解析】212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C ． （2）B 【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．（3）B 【解析】框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720，选B ．（4）A 【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为P =3193=，选A ． （5）B 【解析】由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B ．（6）D 【解析】条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。
2011数学卷(全国新课标[1].理)含答案
![2011数学卷(全国新课标[1].理)含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/3a1e661a59eef8c75fbfb381.png)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数212i i +-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A）13（B）12（C）2 3（D）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2y x=上，则cos2θ= （A）45-（B）35-（C）3 5（D）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A（B （C ）2 （D ）3 （8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 （9）由曲线y 直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103（B ）4 （C ）163（D ）6（10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P（11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增(12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2011年高考理科数学试题及答案—全国课标版
2011年高考理科数学试题—全国课标版第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的5个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数212ii +-的共轭复数是 （A ）35i - (B)35i (C)i - (D) i2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（A ）3y x = (B)||1y x =+ (C) 21y x =-+ (D)||2x y -= 3.执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 （A ）120 (B)720 (C)1440 (D)50404.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一兴趣小组的概率为（A ）13 (B)12 (C)23 (D)345.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45-(B)35- (C) 35 (D) 456.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为7.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A,B 两点，||AB 为C 的实轴长2倍，则C 的离心率为（A (B)(C)2 (D)38.51()(2ax x x x+-）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A ）－40 (B )－20 (C)20 (D)409.由曲线y =，直线2y x =-及y 轴围成的图形的面积为（A ）103 (B)4 (C)163(D)610.已知a 与b 均为单位向量，其中夹角为θ，有下列四个命题1p ：||1+>a b ⇔θ∈[0,23π） 2p :||1+>a b ⇔θ∈(23π,π] 3p : ||1->a b ⇔θ∈[0, 3π） 4p :||1->a b ⇔θ∈(3π,π]其中真命题是（A ）1p ，4p (B) 1p ，3p (C) 2p ，3p (D) 3p ，4p 11.设函数()f x =sin()cos()x x ωϕωϕ+++（ω＞0，||ϕ＜2π）的最小正周期为π，且()f x -=()f x ，则()f x（A ）在（0，2π）单调递减 (B)在（4π，34π）单调递减(C) 在（0，2π）单调递增 (D)在（4π，34π）单调递增12.函数11y x=-的图像与函数2sin y x π=（－2≤x ≤4）的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个考题考生都必须作答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分. 13.若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 .14.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F ,2F 在x 轴上，，过1F 作直线l 交C 于A ,B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为 .15.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球面上，且AB =6，BC =,则棱锥O ABCD -的体积为 .16.在ABC ∆中，060B =,AC =则2AB BC +的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）等比数列{n a }的各项均为整数，且1223a a +=1，23a =269a a ，（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设n b =31323log log log n a a a +++ ，求数列{1nb }的前n 项和.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，DAB ∠=060，AB =2AD ,PD ⊥底面ABCD .(Ⅰ)证明：PA BD ⊥;（Ⅱ）若PD =AD ，求二面角A PB C --的余弦值.19. （本小题满分12分）某种产品以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：(Ⅰ)分别估计用A 配方，B 配方生产产品的优质品率；(Ⅱ)已知用B 配方生产的一件产品的利润y （单位：元）与其质量指标值的关系为y = 2 942 941024 102t t t -<⎧⎪≤<⎨⎪≥⎩，从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为ξ（单位：元），求ξ的分布列与数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率).20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知A(0，－1),B 点在直线3y =-上，M 点满足MB ∥OA ,MA AB =MB BA,M 点的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值.21. （本小题满分12分）已知函数()f x =ln 1a x bx x++，曲线y=()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为230x y +-=. （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）如果当x ＞0，且x ≠1时，()f x ＞ln 1x kx x+-，求k 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所作第一题记分，作答时请写清题号.22. （本小题满分12分）选修4—1：几何选讲如图，D ,E 分别是ABC ∆的边AB ,AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ,AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两根. (Ⅰ)证明：C ，B ,D ,E 四点共圆；(Ⅱ)若A ∠=090，且m =4，n =6，求C ，B ,D ,E 所在圆的半径.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足OP =2OM,P 点的轨迹为2C .(Ⅰ)求2C 的方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB .24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()f x =||3x a x -+，其中a ＞0.（Ⅰ）当a =1时，求不等式()f x ≥32x +的解集； （Ⅱ）若不等式()f x ≤0的解集为{|1x x ≤-}，求a 的值.2011年高考理科数学试题—全国课标版答案一、选择题CBBABD BDCAAD 二、填空题13.－6 14.221168x y +=15.16.三、解答题17.【命题意图】本题考查等比数列的通项公式、性质、等差数列的前n 项和公式及拆项相消求和法，是容易题目.【解析】（Ⅰ）设数列{n a }的公比为q ，由23a =269a a 得23a =249a ，所以2q =19， 由条件可知q ＞0，故q =13. 由122+3a a =1得112+3a a q =1，所以1a =13， 故数列{n a }的通项公式为n a =13n. （Ⅱ）n b =31323log log log n a a a +++ =(12)n -+++ =(1)2n n +- 故1nb =2(1)n n -+=112()1n n --+， 12111nb b b +++ =111112[(1)()()]2231n n --+-++-+ =21n n -+ 所以数列{1nb }的前n 项和为21n n -+.【解题指导】数列题目由压轴题调整为大题第一题，题目难度降了很多，符合课标对这部分的要求，数列题重点考查等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式，简单递推数列问题、分组求和、拆项相消、错位相减、倒序求和等常见数列求和方法.18. 【命题意图】本题考查了线面、线线垂直的判定与性质、利用向量法求二面角的方法,是容易题目.【解析】(Ⅰ) ∵DAB ∠=060,AB =2AD ,由余弦定理得BD, ∴22BD AD +=2AB , ∴BD ⊥AD ,又∵PD ⊥面ABCD ， ∴BD ⊥PD ， ∴BD ⊥面PAD ， ∴PA BD ⊥（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，则A （1,0，0），B （00），P （0,0,1），AB =（－10），PB =（01），BC =（－1,0，0）.设平面PAB 的法向量为n =（1x ，1y ，1z ），则0AB PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ,即1110x z ⎧-=⎪-=，取1y =1，则1x1z= ∴n设平面PBC 的法向量为m =(2x ,2y ,2z ),则0BC PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m，即2100x z =⎧⎪-=，取2y =－1，则2x =0，2z =m =(0,－1,，cos m,n=7-，故二面角A PB C --的余弦值为. 【解题指导】空间几何体重点考查空间线线、线面、面面的平行、垂直判定与性质，利用向量法和几何法求异面直线所成角、线面角、二面角问题,难度与大纲版要求变化不大，是拿分题目.19. 【命题意图】本题主要考查给出试验结果的频数分布计算相应的频率，将频率当概率计算随机变量的分布列与数学期望.【解析】(Ⅰ)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为228100+=0.3， ∴用A 配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3. 由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为3210100+=0.42， ∴用B 配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42.（Ⅱ）用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入[90,94),[94,102),[102,110]的频率分别额为0.04,0.54,0.42，∴(2)P ξ=-=0.04，(2)P ξ==0.54，(4)P ξ==0.42， 即ξ的分布列为ξ的数学期望ξE =-20.04+20.54+40.42⨯⨯⨯=2.68.【解题指导】概率统计是每年必考的题目，侧重考查在统计下的概率计算，重点要掌握抽样方法、数据处理方法茎叶图、直方图，会利用茎叶图、直方图中的信息计算期望、方差、中位数、众数等，掌握离散型随机变量的常见分布：二项分布、两点分布、几何分布、超几何分布等，会求简单随机变量的分布列、数学期望、方差，会根据正态分布的图像解正态分布问题，掌握线性回归分析、独立性检验的思想方法.20. 【命题意图】本题以向量为载体考查求曲线方程的方法，考查了抛物线的切线、点到直线的距离公式、利用基本不等式求最值等，是中档题目. 【解析】(Ⅰ)设M (x ，y )，由已知得B (x ,－3)，A (0,—1), ∴MA =(x -,1y --)，MB =(0,3y --)，AB=(x ,－2),由题意可知()MA MB AB + =0，即(,42)(,2)x y x ----=0，化简整理得2124y x =-， ∴曲线C 的方程为2124y x =-；（Ⅱ）设P (0x ,0y )为曲线C ：2124y x =-上一点，∴200122y x =-，y '=12x ，∴l 的斜率为012x ， ∴直线l 的方程为0y y -=001()2x x x -，即2000220x x y y x -+-=∴O 点到l 的距离d=22014x +12≥2，当x =0时取等号，∴O 点到l 的距离的最小值为2.【解题指导】本题以向量为载体给出曲线上的点满足的条件，故用直接法求方程，抛物线的切线可用导数求切线方程，然后利用点到直线的距离公式化为函数问题，再用函数求最值的方法求解.21. 【命题意图】本题考查了利用导数解函数的切线问题、已知含参数的不等式在某个范围上成立求参数范围问题及分类讨论思想，是难题.【解析】(Ⅰ)()f x '=2221(ln )(1)x a x b x x x+--+, ∵直线23x y +-=0的斜率为12-，且过点（1,1），∴(1)f =1且(1)f '=12-， 即1122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得a =1，b =1；（Ⅱ）由(Ⅰ)知()f x =ln 11x x x++， ∴ln ()()1x kf x x x -+-=221(1)1)(2ln )1k x x x x--+-（ 设()h x =2(1)1)2ln k x x x--+（（x ＞0），则()h x '=22(1)(1)2k x xx -++ ①当k ≤0时，由()h x '=222(1)(1)k x x x+--知，当1x ≠时，()h x '＜0，而(1)h =0，故当x ∈（0,1）时，()h x ＞0，可得21()01h x x >-； 当x ∈（1，+∞）时，()h x ＜0，可得21()01h x x >-， 从而当x ＞0，且x ≠1时，ln ()()1x k f x x x -+-＞0，即()f x ＞ln 1x kx x +-； ②当0＜k ＜1时，由于当x ∈（1，11k-）时，2(1)(1)2k x x -++＞0，故()h x '＞0，而(1)h =0，故x ∈（1，11k -）时，()h x ＞0，可得21()1h x x-＜0与题设矛盾； ③当k ≥1时，此时()h x '＞0，而(1)h =0，故当x ∈(1,+∞)时，()h x ＞0，可得21()01h x x <-，与题设矛盾， 综上所述，k 的取值范围为（—∞，0].【解题指导】对切线问题，从求切线入手求解；对已知不等成立求参数范围问题，若参变分离后，易求含未知数的一端的最值，常用此法，否则分类讨论，注意分类时要做到不重不漏.22. 【命题意图】本题考查了四点共圆的判定与圆的性质，是容易题.【解析】(Ⅰ)连结DE ，根据题意在ADE ∆和ACB ∆中，A D AB ⨯=mn =AE AC ⨯, 即AD AEAC AB=,又DAE CAB ∠=∠, ∴ADE ∆∽ACB ∆, ∴ADE ACB ∠=∠,∴C,B,D,E 四点共圆（Ⅱ）当m =4，n =6时，方程2140x x mn -+=的两根为1x =2，2x =12，故AD =2，AC =12，取CE 的中点G ，DB 的中点F ,分别过G ，F 作AC ,AB 的垂线，两垂线交于H 点，连结DH ,由(Ⅰ)知C,B,D,E 四点共圆，∴C,B,D,E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH ， ∵A ∠=090，∴GH ∥AB ,HF ∥AC , ∴HF =AG =5，DF =1(122)2-=5，∴C,B,D,E 四点所在圆的半径为【解题指导】对证明四点故圆问题，可证对角互补或一外角等于内对角或通过证明其中三点与非这四点中另外两点分别在两个圆上，因这两个圆的由不共线的三个公共点，必重合而得证，求圆的半径注意利用圆的性质.23. 【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标，是容易题型。
2011·新课标全国(理科数学)高考卷
2011·课标全国卷(课标理数)课标理数1.L4[2011·课标全国卷] 复数2＋i1－2i 的共轭复数是( )A ．－35i B.35iC ．－iD ．i课标理数1.L4[2011·课标全国卷] C 【解析】2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5i5＝i ，所以其共轭复数为－i.故选C.课标理数2.B3，B4[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x | 课标理数2.B3，B4[2011·课标全国卷] B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝⎛⎭⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标理数3.L1[2011·课标全国卷] 执行如图1－1所示的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )图1－1A ．120B ．720C ．1440D ．5040 课标理数3.L1[2011·课标全国卷] B 【解析】 k ＝1时，p ＝1； k ＝2时，p ＝1×2＝2； k ＝3时，p ＝2×3＝6；k ＝4时，p ＝6×4＝24； k ＝5时，p ＝24×5＝120； k ＝6时，p ＝120×6＝720.课标理数4.G2，K2[2011·课标全国卷] 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34课标理数4.G2，K2[2011·课标全国卷] A 【解析】 甲、乙两名同学参加小组的情况共有9种，参加同一小组的情况有3种，所以参加同一小组的概率为39＝13.课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a ，2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35. 解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.课标理数6.G2[2011·课标全国卷] 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图1－2所示，则相应的侧视图可以为( )图1－2 图1－3 课标理数6.G2 [2011·课标全国卷] D 【解析】 由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，如下图，故侧视图选D.图1－4课标理数7.H6[2011·课标全国卷] 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3课标理数7.H6[2011·课标全国卷] B 【解析】 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，直线过右焦点F ，且垂直于x 轴交双曲线于A ，B 两点，则||AB ＝2b 2a＝4a ，所以b 2＝2a 2，所以双曲线的离心率e ＝1＋b 2a2＝ 3.课标理数8.J3[2011·课标全国卷] ⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40课标理数8.J3[2011·课标全国卷] D 【解析】 令x ＝1得各项系数和为⎝⎛⎭⎫1＋a1(2－1)5＝(1＋a )＝2, ∴a ＝1，所以原式变为⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5，⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ⎝⎛⎭⎫－1x 5－r＝(－1)5－r 2rC r 5x2r －5. 令2r －5＝－1，得r ＝2； 令2r －5＝1，得r ＝3，所以常数项为(－1)5－222C 25＋(－1)5－323C 35＝(－4＋8)C 25＝40.课标理数9.B13[2011·课标全国卷] 由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163D ．6 课标理数9.B13[2011·课标全国卷] C 【解析】 如图，由{y ＝x ，y ＝x －2 解得x ＝4或x ＝1.经检验x ＝1为增根，∴x ＝4，∴B (4，2)，又可求A (0，－2)，图1－4所以阴影部分的面积S ＝ ⎠⎛04(x －x ＋ 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－x 22 ＋ 2x ⎪⎪⎪40 ＝ 163.课标理数10.F3[2011·课标全国卷] 已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |＞1θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3；p 2：|a ＋b |＞1θ∈⎝⎛⎦⎤2π3，π p 3：|a －b |＞1θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3；p 4：|a －b |＞1θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π.其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4课标理数10.F3[2011·课标全国卷] A 【解析】 因为||a ＋b >1||a 2＋2a ·b ＋||b 2>1a ·b >－12||a ||b cos θ＝cos θ>－12θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3，所以p 1为真命题，p 2为假命题．又因为||a －b >1||a 2－2a ·b ＋||b 2>1a ·b <12||a ||b cos θ＝cos θ<12θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π，所以p 4为真命题，p 3为假命题．课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] A 【解析】 原式可化简为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4，因为f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，所以ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4，又因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4＝±2cos2x ，所以φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又因为||φ<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以f (x )＝2cos2x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减．课标理数12.B9[2011·课标全国卷] 函数y ＝11－x 的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8课标理数12.B9[2011·课标全国卷] D 【解析】 当x ＝12时，y ＝11－12＝2；当x ＝32时，y＝11－32＝－2. 所以函数图象如图所示，所以有8个根，且关于点(1，0)对称，所以所有根的总和为8.图1－5课标理数13.E5[2011·课标全国卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y的最小值为________．课标理数13.E5[2011·课标全国卷] －6 【解析】 作出可行域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3，y ＝x －9 解得A (4，－5)． 当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最小值，将A (4，－5)代入， 得z ＝4＋2×(－5)＝－6.图1－6课标理数14.H5[2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________________．课标理数14.H5[2011·课标全国卷] x 216＋y 28＝1 【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为离心率为22，所以22＝1－b 2a2， 解得b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.图1－7又△ABF 2的周长为||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||BF 2＋||AF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝2a ＋2a ＝4a ，，所以4a ＝16，a ＝4，所以b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.课标理数15.G8[2011·课标全国卷] 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝23，则棱锥O －ABCD 的体积为________． 课标理数15.G8[2011·课标全国卷] 83 【解析】 如图，由题意知，截面圆的直径为62＋（23）2＝48＝43，所以四棱锥的高||OO 1＝OA 2－O 1A 2＝16－12＝2，所以其体积V ＝13S 矩形ABCD ·||OO 1＝13×6×23×2＝8 3.图1－8课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 27 【解析】 因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°，由正弦定理，有AB sin C ＝BC sin A ＝AC sin B ＝3sin60°＝2， 所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A ＝2(sin120°cos A －cos120°sin A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A＝27sin(A ＋φ)，(其中sin φ＝327，cos φ＝527) 所以AB ＋2BC 的最大值为27.课标理数17.D5[2011·课标全国卷] 等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．课标理数17.D5[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n （n ＋1）2.故1b n ＝－2n （n ＋1）＝－2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝－2nn ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.图1－9课标理数18.G5，G10，G11[2011·课标全国卷] 如图1－9，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：P A ⊥BD ；(2)若PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值． 课标理数18.G5，G10，G11[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD ＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD . 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD ， 所以BD ⊥平面P AD .故P A ⊥BD .图1－10(2)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，DA 、DB 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0，0，1)， AB →＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)，BC →＝(－1，0，0)． 设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，3y －z ＝0.因此可取n ＝(3，1，3)．设平面PBC 的法向量为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝0，m ·BC →＝0，可取m ＝(0，－1，－3)．cos 〈m ，n 〉＝－427＝－277.故二面角A －PB －C 的余弦值为－277.课标理数19.I2，K6，K8[2011·课标全国卷] 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表(1)分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，t ＜94，2，94≤t ＜102，4，t ≥102.从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)课标理数19.I2，K6，K8[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3. 由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94)，[94，102)，[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此P (X ＝－2)＝0.04，P (X ＝2)＝0.54，P (X ＝4)＝0.42， 即X 的分布列为X 的数学期望EX ＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.课标理数20.H9，H2[2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值． 课标理数20.H9，H2[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)．所以MA →＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )，AB →＝(x ，－2)． 再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →＝0， 即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0， 所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点，因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.因此直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0. 则O 点到l 的距离d ＝||2y 0－x 20x 20＋4，又y 0＝14x 20－2， 所以d ＝12x 2＋4x 20＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2， 当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.课标理数21.B12[2011·课标全国卷] 已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果当x ＞0，且x ≠1时，f (x )＞ln x x －1＋kx，求k 的取值范围．课标理数21.B12[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x －ln x （x ＋1）2－bx 2，由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1，1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f ′（1）＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12， 解得a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x，所以f (x )－⎝⎛⎭⎫ln x x －1＋k x ＝11－x 2⎣⎡⎦⎤2ln x ＋（k －1）（x 2－1）x . 考虑函数h (x )＝2ln x ＋（k －1）（x 2－1）x (x >0)，则h ′(x )＝（k －1）（x 2＋1）＋2xx 2.①设k ≤0，由h ′(x )＝k （x 2＋1）－（x －1）2x 2知， 当x ≠1时，h ′(x )＜0，而h (1)＝0，故当x ∈(0，1)时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＞0； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得11－x 2h (x )＞0. 从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－⎝⎛⎭⎫ln x x －1＋k x ＞0， 即f (x )＞ln x x －1＋k x. ②设0＜k ＜1，由于当x ∈⎝⎛⎭⎫1，11－k 时，(k －1)(x 2＋1)＋2x ＞0，故h ′(x )>0，而h (1)＝0，故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，11－k 时，h (x )>0，可得11－x 2h (x )<0.与题设矛盾． ③设k ≥1，此时h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＜0，与题设矛盾．综合得，k 的取值范围为(－∞，0]．课标理数22.N1[2011·课标全国卷]图1－11如图1－11，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．课标理数22.N1[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)证明：连结DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即AD AC ＝AE AB，又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB ， 因此∠ADE ＝∠ACB ，即∠ACB 与∠EDB 互补，所以∠CED 与DBC 互补，所以C ，B ，D ，E 四点共圆．图1－12(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC ，从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5， 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.课标理数23.N3[2011·课标全国卷] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数) M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的参数方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |. 课标理数23.N3[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝2 3.课标理数24.N4[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．课标理数24.N4[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式可化为不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2. 因为a ＞0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2. 由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2.。
2011年高考试题——数学理(新课标卷)
读 万 卷 书 行 万 里 路2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标)理科数学解析第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数212ii+-的共轭复数是 （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35（D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 （9）由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P（11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x=-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷)数学试题 (理科)(解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国新） 数学（理）试题解析第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）(2011全国新课标卷理)复数212i i+-的共轭复数是 ( ) （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i 解析：212i i +-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C（2）(2011全国新课标卷理)下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是( )（A ）3y x = （B ） 1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ） 2x y -=解析:由图像知选B（3）(2011全国新课标卷理)执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )（A ）120 （B ）720（C ）1440 （D ）5040解析：框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720选B（4）(2011全国新课标卷理)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=选A（5）(2011全国新课标卷理)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ= ( )（A ）45-（B ）35- （C ）35 （D ）45解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B（6）(2011全国新课标卷理)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为( )解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。
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2011年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理科)第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1.复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是 （A ）2y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -=3.执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）50404.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组， 每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个 兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12（C ）23 （D ）345.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边 在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）46.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（B ）7.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）38.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）409.由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 （A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 10.已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P 11.设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 12.函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题——第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22）题——第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 。
14.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，。
过l 的直线 交于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。
15.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。
16.在ABC 中，60,B AC == 2AB BC +的最大值为 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 求数列{}n a 的通项公式.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.18.(本小题满分12分)如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；(Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。
19.（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表(1)分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B 配方生产一件产品的利润（单位：元）与其质量指标值的关系式为2,94,2,94102,4,102.t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ，∙=∙，M 点的轨迹为曲线C 。
（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。
21.（本小题满分12分） 已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围。
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
做答时请写清题号。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合。
已知AE的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根。
（Ⅰ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（Ⅱ）若90A ∠=︒，且4,6m n ==，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径。
23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数） M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。
（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集 （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值。
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷参考答案一、选择题（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D 二、填空题（13）-6 （14）221168x y+=（15）（16）三、解答题（17）解：（Ⅰ）设数列{an }的公比为q，由23269a aa=得32349a a=所以219q=。
有条件可知a>0,故13q=。
由12231a a+=得12231a a q+=，所以113a=。
故数列{a n}的通项式为a n=13n。
（Ⅱ）111111log log...lognb a a a=+++(12...)(1)2nn n=-++++=-故12112()(1)1nb n n n n=-=--++12111111112...2((1)()...())22311nnb b b n n n+++=--+-++-=-++所以数列1{}nb的前n项和为21nn-+(18)解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD∠=︒=,由余弦定理得BD=从而BD2+AD2= AB2，故BD⊥AD 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD 所以BD⊥平面PAD. 故PA⊥BD（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则()1,0,0A,()0B,()C -,()0,0,1P 。
(11),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-设平面PAB 的法向量为n=（x,y,z ），则00z =-=因此可取n=设平面PBC 的法向量为m ，则 00m PB m BC ⋅=⋅=可取m=（0，-1， cos ,7m n ==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 （19）解（Ⅰ）由实验结果知，用A 配方生产的产品中优质的平率为228=0.3100+，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
由实验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（Ⅱ）用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[)[)[]90,94,94,102,102,110的频率分别为0.04，,054,0.42，因此P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X 的分布列为X 的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20）解：(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA=（-x,-1-y ）,MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).再由愿意得知（MA +MB ）• AB=0,即（-x,-4-2y ）• (x,-2)=0.所以曲线C 的方程式为y=14x 2-2. (Ⅱ)设P(x 0,y 0)为曲线C ：y=14x 2-2上一点，因为y '=12x,所以l 的斜率为12x 0 因此直线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即200220x x y y x -+-=。
则O 点到l的距离2d =又200124y x =-，所以201412,2x d +==≥当20x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.（21）解：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得1a =，1b =。