高等结构动力学复模态分析基础
结构动力学分析中的模态分析技术研究
结构动力学分析中的模态分析技术研究一、引言结构动力学指的是研究建筑物或其他工程结构在外部不规则加载下的运动特性、振动特性、固有频率、振动模式等的学科。
结构动力学的研究对于提高建筑物以及其它工程结构物在地震、风灾以及自然灾害等外部荷载下的抗震、抗风、以及其他抗震能力和稳定性起着非常重要的作用。
而模态分析技术则是结构动力学研究的一个重要的分析方法，在建设工程师的日常工作中通过对结构模态进行分析，可以有效的评估建筑物的稳定性。
二、模态分析技术的基本概念模态分析技术是一种用来计算和观察建筑物振动特征的工具，也被称为振型分析、频率响应分析。
模态分析的目的是为了找到建筑物或结构在某些特定条件下的固有频率和振型，频率与振型是对结构的响应表格进行评价的基础。
通过计算建筑物共振频率，并多角度观察它固有的振型，可以确定任何仍需改进的结构点，为进一步建设工程提供更加精确的数据。
三、模态分析的分类常见的模态分析通过计算建筑物的固有频率和振形偏差来确定任何仍需改进的结构点。
而这种分析方式涉及到不同的分类。
1.线性模态分析线性模态分析的目的是确定建筑物或结构的固有频率、振动模式和动态响应，它可以为未来的建筑物设计和改进提供重要信息和数据。
线性模态分析是一个有效的方法，可以确定建筑物在自然灾害发生时的稳定性。
2.非线性模态分析非线性模态分析是建立在线性分析基础上的，在非线性分析中，建筑物或结构在动荷载作用下会出现非线性振动现象，常见的非线性振动现象包括弹塑性振动和不稳定振动等。
四、模态分析技术的应用模态分析技术在建设工程中有着广泛的应用，下面介绍其中的几个模式。
1.模态分析在风电场中的应用模态分析技术可以用于风电场的安装设计，通过分析风力发电机的固有频率和振型，优化风电场的结构设计，提高风电机的稳定性和抗风能力，改善建筑物的周围环境。
2.模态分析在桥梁工程中的应用模态分析技术可用于评估桥梁的稳定性、预测桥梁的运动模式以及确定桥梁的动态响应。
第3讲 多自由度系统复模态分析
与振动微分方程合写为系统的状态方程 其中
C P M
K Q 0
Px ' Qx ' f '(t )
M ,对称矩阵,正定 0
x x ' , 称为状态空间矢量 x
0 , 对称矩阵，正定或半正定 M
f (t ) f '(t ) 0
自由振动复模态
令 f (t ) 0 ，则 Px ' Qx ' 0 t 设特解为 x ' Φ ' e 式中 Φ ' — x ' 的幅值列阵。 代入上式得广义特征值问题 ( P Q)Φ ' 0 特征值方程为 P Q 0 这是 的2n次实系数代数方程。式 Mx Cx Kx f (t ) 与式 Px ' Qx ' f '(t ) 所表示的系统为同一系统，故应有 相同的特征值。
Φ ' PΦ ' diag[ai , ai ] Φ 'T QΦ ' diag[bi , bi* ]
其中
式中 y '
y y' * y
得解耦方程组
diag[ai , ai* ] y ' diag[bi , bi* ] y ' 0
— x ' 在这一复矢量空间中的坐标矢量， 2n 维； y、y* — n 阶列阵。
kmi mmi
i
2
kmi mmi
对角线元素可得
2Re i mmi cmi 0
kmi mmi 0
* i i
(i 1, 2,…, n)
定义复模态固有频率为 mi
i mi
结构动力学中的模态分析研究
结构动力学中的模态分析研究在结构动力学研究中，模态分析是一项重要的技术，用于研究结构的固有振动模态。
通过模态分析，我们可以得到结构的固有频率、振型以及结构的动力特性，这对于设计及改进结构的稳定性和安全性具有重要意义。
本文将详细介绍模态分析的原理、实验准备和过程以及该技术在实际应用中的专业性角度。
模态分析原理:模态分析基于结构动力学原理，主要使用了弹性力学和振动理论的知识。
根据牛顿运动定律以及弹性体的振动理论，可以推导出结构的振动模态方程。
根据该方程，可以得到结构的固有频率和对应的振动模态。
通过测量结构在不同频率下的加速度响应，可以确定结构的固有频率和振型。
实验准备和过程：1. 实验设备准备：- 数据采集系统：包括加速度传感器、信号放大器、模态分析器等，用于测量结构的加速度响应。
- 激励器：用于施加激励信号以产生结构的振动。
- 数据处理软件：用于分析和处理采集的振动数据。
2. 实验前准备：- 对结构进行几何参数和材料性质的测量，以获取结构的几何尺寸和物理特性。
- 确定激励位置和方式，根据结构的特点选择适当的激励方式，如冲击激励或连续激励。
- 安装加速度传感器，并校准传感器以确保准确测量。
3. 实验过程：- 施加激励信号：按照预定的激励方式施加激励信号，生成结构的振动。
- 采集振动数据：通过数据采集系统获取结构在激励下的加速度响应数据。
- 数据处理和分析：利用数据处理软件对采集的数据进行滤波和傅里叶变换等处理，得到结构的频域响应。
- 模态参数识别：通过分析频域响应数据，确定结构的固有频率、阻尼比以及模态振型。
实验应用和专业性角度：模态分析在结构动力学研究和工程实践中具有广泛的应用。
以下是几个重要的应用和涉及的专业性角度：1. 结构设计与改进：- 通过模态分析，可以确定结构的固有频率，评估结构的稳定性和自由振动特性，以指导结构的设计与改进。
- 固有频率信息有助于识别结构的薄弱环节，进而进行结构的优化设计。
高等结构动力学讲义概要共88页
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
工程力学中的结构动力模态分析
工程力学中的结构动力模态分析在工程力学的广袤领域中，结构动力模态分析宛如一把神奇的钥匙，能够帮助我们解锁结构在动态载荷下的行为特征和内在规律。
这一重要的分析方法在众多工程领域中都发挥着举足轻重的作用，从航空航天的飞行器设计，到土木工程中的桥梁与高层建筑，再到机械工程中的各类机械装备，都离不开它的身影。
那么，什么是结构动力模态分析呢？简单来说，它是研究结构在振动状态下的固有特性的一种方法。
这些固有特性包括结构的固有频率、振型以及阻尼比等。
通过对这些特性的深入了解，工程师们能够更好地预测结构在实际工作中的动态响应，从而优化设计，提高结构的可靠性和安全性。
为了更直观地理解，我们可以想象一个简单的例子——一座桥梁。
当车辆在桥上行驶时，桥体会产生振动。
如果这种振动的频率与桥梁的固有频率接近，就可能引发共振现象，导致桥梁结构的损坏甚至坍塌。
而通过结构动力模态分析，我们可以事先确定桥梁的固有频率和振型，从而采取相应的措施，比如改变桥梁的结构设计或者增加阻尼装置，来避免共振的发生。
在进行结构动力模态分析时，通常需要建立结构的数学模型。
这个模型可以是基于有限元方法、边界元方法或者其他数值分析方法。
有限元方法是目前应用最为广泛的一种。
它将结构离散成许多小的单元，通过求解这些单元的力学方程，得到整个结构的动态特性。
建立好数学模型后，接下来就是求解模型的特征值和特征向量。
特征值对应的就是结构的固有频率，而特征向量则代表了结构的振型。
在求解过程中，需要考虑各种边界条件和约束条件，以确保结果的准确性。
然而，实际的结构往往是复杂多样的，存在着各种不确定性因素，比如材料的不均匀性、制造误差、连接方式的复杂性等。
这就给结构动力模态分析带来了挑战。
为了克服这些困难，工程师们需要不断改进分析方法和技术，提高模型的精度和可靠性。
在实验方面，结构动力模态分析通常通过模态试验来进行。
在试验中，会在结构上布置一系列的传感器，用于测量结构在激励作用下的响应。
结构动力学分析 - 复件
4.1谐响应分析方法
谐响应分析有三种方法，分别为：完全法、模态叠加法和缩 减法。三种方法在谐响应分析方面的共同点有：所有载荷必 须随时间正弦变化；所有载荷必须有相同频率；不允许有非
线性特性；只考虑线性问题；
4.2 谐响应分析的基本步骤
ANSYS谐响应分析的主要步骤有8步：
(1) 模型建立和网格划分(前处理) (2) 建立初始条件 该步骤中设置位移边界条件等。 (3) 设定求解器及其参数 该步骤中确定求解器和其他参数，如求解所用方法、预应力效应等。 GUI：Main Menu>Solution> Analysis Type>Analysis Options
结构谐响应分析是指结构在承受外力为随时间变化的简谐力( 亦即sin或cos函数形式)时，结构的响应，所以1-2可以表示成
Mx Cx Kx Fsin t
(1 4)
分析得到结构位移(或应力、应变等)随频率变化的幅频曲线。 谐响应分析是用于确定线性结构在承受随时间按正弦(简谐) 规律变化的载荷时稳态响应的一种方法。通过动力响应随频 率变化规律可以了解结构的动力工作性能，以此作为判断结 构能否避免共振的参考依据，同时也可以利用共振的有利方 面，对结构进行优化。
(1 2)
隐式算法
显式算法
完全法
缩减法
完全法
缩减法
动力学方程 求解方法
2.1 直接积分法
式1-2中包含了n(自由度个数)个联立的二阶常微 分方程式，可以将它化成2n个一阶的常微分方程式， 然后直接积分去解变位x，这就是直接积分法的基本 构想。当在进行直接积分时，有很多方法可以利用， 但可以归纳成两类方法：隐式算法和显式算法。 ANSYS计算时采用的算法是隐式算法，而LS-DYNA 则是采用显式算法。比较两种算法显式算法要求积分 时间步长的值非常小(否则不容易收敛)，较适合于非 常短暂的冲击和高度非线性问题的分析。隐式算法则 可以容许较大的积分时间步长，但是对于短暂的冲击、 高度非线性问题的分析则常有收敛的困难。
高等结构动力学(云大土木系)01-结构动力学基础r.
m2
例如：房屋结构一 般简化为层间剪切 模型。
m3
例如：
m
m1
m2
mk
mN
m1 x1 m2 x2 mk xk
mN xN
2. 广义坐标法
假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列 规定的位移曲线的和来表示：
适用于质量分布比较均 匀，形状规则且边界条 件易于处理的结构。 例如：右图简支梁的变 形可以用三角函数的线 性组合来表示。
简谐荷载 周期 确定 非周期 动荷载 风荷载 不确定 地震荷载 其他无法确定变化规律的荷载 非简谐荷载 冲击荷载 突加荷载 其他确定规律的动荷载
确定性荷载：荷载的变化是时间的确定性函数。
FP
例如： 简谐荷载
t
FP
冲击荷载
t
FP
突加荷载
t
非确定性荷载： 荷载随时间的变化是不确定的或不确知的， 又称为随机荷载。 例如：
输出 （动力反应）
第三类问题：荷载识别。
第四类问题：控制问题
实验研究
• • • • • • 材料性能的测定； 结构动力相似模型的研究； 结构固有（自由）振动参量的测定； 结构动力响应的测定； 振动环境试验等； 风洞试验；
•
振动台试验。
实验研究
§1-4 结构离散化方法
1. 集中质量法
把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些 位置上，成为一系列离散的质点或质量块 。 适用于大部分质量 集中在若干离散点 上的结构。
2、张亚辉、林家浩编著，结构动力学基础 大连理工出版社
3、杨茀康编著，结构动力学，人民交通出版社 4、徐赵东等编著，结构动力学，科学出版社 5、A.K.Chopra,Dynamics of structures.Prentice Hall.2000
高等结构振动学-第7章-多自由度系统的复模态理论基础
{0} f (t)}
{
}Tr
{
f
(t
)}
（7－41）
在零初始条件下，（7－40）的解为：
1
zr ~ r
t 0
~ Fr
(t )er
(t
)d
1
~ r
t 0
{
}Tr
{
f
(
)}er
(t
)d
（7－42）
因为：
{y}
{x} {x}
[
]{z(t
（7－35）
将（7－35）代入（7－8），并前乘[ ]T 得到 2n 个完全解耦的方程：
diag([~ r ]){z} diag([K~]){z} {F~(t)}
（7－36）
其中，
{ddFii~aa(ggt)[[}K~~rr][][][T{]FT]T[([KtM)}][][] ]
（7－11）
设其特征解为： {y(t)} { }e t
代入方程（7－11），得到： ([M ] [K ]){ } {0}
（7－12） （7－13）
其特征方程为：
[M ] [K] 0
（7－14）
将[M ], [K ]的定义式代入：
即：
[0] [m]
[m]
[c]
（7－1）
则在系统的主模态空间中，系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵是完全
解耦的。当结构的阻尼矩阵可以假设为比例阻尼或者满足上面的解耦条件时，
可以采用实模态理论进行振动分析，即用实模态构成的模态坐标变换式对方程
进行坐标变换，使方程解耦后，采用模态叠加法进行动力学响应计算。
但是对于一般的线性阻尼系统，系统的振动方程无法用实模态矩阵进行解
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4
å ( ) = elit i =1
fiTMx(0) ai
fi
( ) 代入初始条件及复模态
令复常数为
Ti =
fiTMx(0) ai
éêêêë
x1 x2
ùúúúû
=
e(-n1 +iwd1)tT1f1
+ e(-n1-iwd1)tT2f2
+ e(-n2 +iwd2 )tT3f3
+ e(-n2 -iwd2 )tT4f4
对于特征值问题，设
x = felt
x Î Rn
得到：
(Ml2 + Cl + K)f = 0
f 有非零解的充要条件 ：Ml2 + Cl + K = 0
一般粘性阻尼系统的特征方程
2n 个特征值： 1，2，，2n 实数或复数
3. 物理空间的复模态
一般粘性阻尼系统的特征方程: Ml2 + Cl + K = 0
复模态分析基础
• 1. 引言1－粘性阻尼单自由度系统自由振动 • 2. 引言2－对称阻尼矩阵 • 3. 物理空间的复模态 • 4. 状态空间的复模态 • 5. 复模态叠加法
董兴建 上海交通大学 振动，冲击，噪声研究所
机械大楼 A832
1. 引言1－粘性阻尼单自由度系统自由振动
粘性阻尼单自由度系统自由振动方程
Apz + Bpz = ΦTP(t)
Ψ
=
éêêêë
ΦΛ Φ
ùúúúû
在复模态空间已经完全解耦，第 i 个方程写为
aizi + bizi = fiTP(t)
或者 zi - lizi =
1 ai
-l
i
fiTP(t)
=
bi ai
得到复模态空间的解
ò zi (t )
=
zi (0)elit
+1 ai
t 0
fT
mx + cx + kx = 0
衰减系数
n
定义： 2n = c
m
wn2
=
k m
那么有：
x
+ 2nx
+
w2
n
x
=
0
进一步令
z= n w
n
从而有 x + 2zwnx + wn2x = 0
相对阻尼系数
z
特征根：
s1,2
=
-zw
n
i
w
n
1- z2
阻尼固有频率
wd = wn 1 - z 2
欠阻尼自由振动解：
x = e-zwnt (c1 cos wdt + c2 sin wdt)
2n 个特征值： 1，2，，2n 实数或复数
相对应，2n 个特征向量:
f1 ,f2 ,,f2n
因为特征方程的系数都是实的
(fi Î Rn´1)
所以特征值为复数时，必定以共轭形式成对出现
相应地，特征向量也是共轭成对的复向量 复模态 或 复振型
复模态矩阵： Φ = éêë f1 f1 f2n ùúû
这是一种具有相位关系的振型，不再具有原来主振型的意义
当特征值为具有负实部的复数时，每一对这样的共轭特征值 对应系统中具有特定的频率和衰减系数的自由衰减振动
4. 状态空间的复模态
系统在物理空间中的坐标只有n 个，而复模态却有 2n 个，所 以不能用 上述的复模态矩阵 对前面的物理坐标下的振动方程 进行解偶。为此，引入状态空间方程。
Mx + Cx + Kx = P(t)
在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略阻 尼力的存在，近似地当作无阻尼系统
当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂的 情况下，阻尼的影响是不能忽略的。
一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼
2. 引言2－对称阻尼矩阵
有阻尼的 n 自由度系统： Mx + Cx + Kx = P(t)
= ( e-zwntA cos wdt - q )
无阻尼自由振动解： x = c1 cos wnt + c2 sin wnt
= A cos( wnt - q )
2. 引言2－对称阻尼矩阵
实际机械系统中不可避免地存在着阻尼: 材料的结构阻尼，介质 的粘性阻尼等. 阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达
特征值相同
得特征值问题： ( Al + B )y = 0
l = -n iwd
y
=
éêêêë
lf f
ùúúúû
4. 状态空间的复模态
复模态的正交性及其归一化
正交性：
Ay + By = 0
y = yelt
yT
i
Ayj
=
0
yiTAyi = ai
yiTByj = 0 yiTByi = bi
-l = bi i ai
ùúúúû
+
éêêêë -2cc
-c 2c
ùúúúû
éêêêë
x1 x2
ùúúúû
+
éêêêë
2k -k
-k 3k
ùúúúû
éêêêë
x1 x2
ùúúúû
=
éêêêë
0 0
ùúúúû
例题
2. 求解复模态
假设
éêêêë
x1 x2
ùúúúû
=
éêêêë
fe1 fe2
ùúúúû
elt
得到矩阵特征值问题
êêêëé
最后，由复模态空间返回到物理空间
å2n
x(t) = Φz(t) = fizi(t)
+
Mx(0)
+
Cx(0))
y=
éêêêë
x x
ùúúúû
i =1
å =
2n elit i=1 ai
fifiT
éë M (x(0) +
lix(0)) +
Cx(0)ùû
å ò + 2n 1 f fT i=1 ai i i
t P(t)eli (t-t)dt
0 2m 0
0 0 3m
ùúúúúúû
CP
= ΦTCΦ =
éêêêêêë
c -c
c
-c
c -c
c -c
c
ùúúúúúû
C = éêêêêêëc00
0 0 0
0 0 0
ùúúúúúû
ΦTKΦ
=
éêêêêêë
6k 0 0
0 6k 0
0 0 12k
ùúúúúúû
非对角
2. 引言2－对称阻尼矩阵
若 CP 非对角，则在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或正则坐标 方法都不再适用，振动分析将变得十分复杂
相对阻尼系数：
i
c pi
2i m pi
ampi bk pi
2i m pi
1a (
2 i
bi )
（3）由实验测定n 阶振型阻尼系数 i (i 1 ~ n)
7
3. 物理空间的复模态
• 一般粘性阻尼系统的响应
• 当阻尼矩阵 C 不允许忽略非对角元素，以上近似方法不成立 • 须用复模态进行求解
n 自由度系统：Mx + Cx + Kx = P(t)
=
ëéêêê
2r11e-n1t 2r21e-n1t
cos(wd1t cos(wd1t
- q11) + - q21) +
2r12e-n2t 2r22e-n2t
cos(wd 2t cos(wd 2t
-
qq1222))ùúúúû
0
y = Ψz
Ψ
=
éêêêë
ΦΛ Φ
ùúúúû
例题
如图，三个阻尼器的阻尼系
数相同，为 c = 0.5 km
2
已知始条件为：
x1(0) = x2(0) = 0 x1(0) = 0 x2(0) = v
用复模态方法求系统的自由振动。
1. 系统的自由振动方程为
éêêêë m0
0 2m
ùúúúû
éêêêë
x1 x2
令：cPi / mPi = 2ziwi
hi
+ 2ziwihi
+ wi2hii
=
1 mPi
Qi
(t
)
zi 第 i 阶振型阻尼比或模态阻尼比
2. 引言2－对称阻尼矩阵
（2） 将矩阵 C 假设为比例阻尼
假定 C 有下列形式： C = aM + bK a, b：为常数
代入 Cp = ΦTCΦ 中 Cp = ΦT(aM + bK)Φ = aMp + bKp 对角阵
x Î Rn
假定已经得到无阻尼系统下的模态矩阵 Φ及谱矩阵 Λ
作坐标变换 x = Φh ΦTMΦh + ΦTCΦh + ΦTKΦh = ΦTP(t)
Mph + Cph + Kph = Q(t)
Cp = ΦTCΦ
模态阻尼矩阵
虽然主质量矩阵与主刚度矩阵是对角阵，但阻尼矩阵一般非
对角阵，因而主坐标 h 下的强迫振动方程仍然存在耦合。
i
P(t
)e
li
(t
-t
)dt
5. 复模态叠加法
zi
- lizi
=
1 ai
fiTP(t)
ò zi (t )
=
zi (0)elit
+1 ai
t 0
fT
i
P(t
)eli
(t
-t