2014中考复习第17讲_三角形与全等三角形
2014年中考专题复习 三角形的初步知识
20114年中考专题复习 三角形的初步知识彩虹教育 杨义茂一、考点知识与应用考点一 三角形的性质：1、三角形的内角和是 ，三角形的任意一个外角 和它不相邻两个内角的和，三角形的一个外角 任意一个和它不相邻的内角2、三角形任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边3、三角形具有 性.应用：1、已知三角形的三边长分别是3、x 、9，则化简513x x -+-= ；2、有4根木条,长度分别为6cm ,8cm ,12cm ,20cm ,选其中三根作为边组成三角形,请问:共有多少种组合方法?其中能构成三角形的有几种?3、如图所示，P 为△ＡＢＣ内任意一点，∠１＝∠２，求证：∠ＡＣＢ与∠ＢＰＣ互补。
4、如图，在ΔABC 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC，AF 平分外角∠BAD，BE 与FA 交与点E 。
求∠E 的度数。
考点二 定义与命题:1、定义:_______________________________________________________________2、命题:_____________________________________________________________应用：1、下列语句：①明天下雨吗? ②中国加油！四川加油！③锐角都相等．④过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．其中是命题的有（ ）Ａ、１个 Ｂ、２个 Ｃ、３个 Ｄ、４个 2、下列语句中，属于定义的是（ ）A 、对顶角相等B 、三角形的内角和等于1800C 、连接A 、B 两点并延长至点CD 、连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
3、下列命题中，是假命题的为（ ） A 、邻补角的平分线互相垂直；B 、平行于同一直线的两条直线互相平行；C 、如果一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角一定相等；D 、平行线的一组内错角的平分线互相平行。
4、有如下命题：①无理数就是开方开不尽的数；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③无理数包括正无理数，0，负无理数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0。
中考数学考点专题复习 三角形与全等三角形
剖析
先看一个事实，如图，将等腰△ABC 的底边 BC 延长线上的任一点和顶 点 A 相连，所得的△DAB 和△DAC 无疑是不全等的，由此可知，有两边及 其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等．因此， 在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟．
正解 证明：∵EB＝EC，∴∠3＝∠4.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝ ∠2＋∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.在△AEB和△AEC中， ∵EB＝EC，∠1＝∠2，AB＝AC，∴△AEB≌△AEC(SAS)， ∴∠BAE＝∠CAE
的长可能是下列哪个值( B )
A．11
B．5 C．2 D．1
(2)(2015·巴中)若 a，b，c 为三角形的三边，且 a，b 满足 a2－9＋(b－
2)2＝0，则第三边 c 的取值范围是 1＜c＜5
．
【点评】 三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最 短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确 定三角形第三边长c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b.
[对应训练] 1．(1)(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第 三边的长可能是( )B A．5 B．10 C．11 D．12
(2)(2014·淮安)若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可 以为___4_．(只需填一个整数)
【例2】 (1)(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角(∠A＝30°)的 直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌 面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么 ∠AFE＝( ) D
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．(2015·柳州)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB 的是( D )
2014年中考复习数学新课标(BS)最新复习方案---第4单元(三角形)
过任意三个不在同一直线上的n个 n（n－1） 点中的两个点可以画________条 2 线段上共有n个点(包括两个端点) n（n－1） 时，共有线段________条 2 从一点出发的n条直线可组成 ______个角 n（n－1） n条直线最多有________个交点 2 平面内有n条直线，最多可以把平 n2＋n＋2 面分成________个部分
垂直的性质
第17讲┃几何初步及平行线、相交线
定义
垂线段 性质
从直线外一点引一条直线的垂线，这点 垂线段 和垂足之间的线段叫做______ 直线外各点与直线上各点所连的线段中 垂线段 ，______最短 垂线段 直线外一点到这条直线的________的长 度，叫做点到直线的距离
点到直线的 距离
第17讲┃几何初步及平行线、相交线
平行线的 定义 平行 公理
平行公理 的推论
如果两条直线都与第三条直线平行，那 平行 么这两条直线也互相________
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
第17讲┃几何初步及平行线、相交线
同位角相等，两直线平行 平行线的 判定
内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
平行线的 性质
数学
新课标
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回归教材 中考预测
中考数学专题复习全攻略：第二节 三角形的基础知识与全等三角形
第二节 三角形的基础知识与全等三角形知识点一：三角形的分类及性质 1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上， 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接三角形用符号“∆”表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作“∆ABC ”，读作“三角形ABC ”。
5.三角形的分类（1）按角的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形（2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形6.三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
.变式练习1：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.[变式练习2：已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是()A. 5B. 6C. 11D. 16【解析】C组成三角形的三条线段长度须满足“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．此三角形的两边之和为14，两边之差为6，所以此三角形第三边的长可能是11.变式练习3：下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( D )A．2 cm，3 cm，5 cm B．7 cm，4 cm，2 cmC．3 cm，4 cm，8 cm D．3 cm，3 cm，4 cm7.角的关系（1）内角和定理：①三角形的内角和等180°；②推论：直角三角形的两锐角互余.变式练习：在△ABC中，若∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数为( C ) A．35°B．40°C．45°D．50°（2）外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.8.三角形中的重要线段8.三角形中的重要线段四线性质角平分线（1）角平线上的点到角两边的距离相等（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）中线（1）将三角形的面积等分（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边，且等于第三边的一半注意：在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系注意：（1）在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
全等三角形-中考数学总复习精品课件
三角形全等的条件
如何找边相等、 角相等
1.找“角”相等的途径主要有:对顶角相等;两直线平行,同位角、 内错角相等;余角等角代换;角平分线;平行四边形对角相等等.
2.找“边”相等主要借助中点、平行四边形对边相等来证明.
三角形全等的证明
如何找边相等、 角相等
3．判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的．
垂足分别是点 D，E，AD＝3，BE＝1，则 DE 的长是( B )
3 A.2
B．2
C．2 2
D. 10
61．2如0° 图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.
7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB， ③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是_②_____(只填序号)．
A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC
平移加翻折型
2．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，且 BC＝5，∠A＝70°，∠B＝75°，EC＝2，则下列结论中错误的是
( C)
A．BE＝3 B．∠F＝35° C．DF＝5 D．AB∥DE
平移型
3．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果
对称型
解：(1)在△ABC 和△ADC 中，AABC＝ ＝AADC，，∴△ABC≌△ADC(SSS)， BC＝DC，
∴∠BAC＝∠DAC，即 AC 平分∠BAD (2) 由 (1) 得 ∠BAE ＝ ∠ DAE ， 在 △BAE 和 △DAE 中 ，
BA＝DA， ∠BAE＝∠DAE，∴△BAE≌△DAE(SAS)，∴BE＝DE AE＝AE，
中考数学总复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 第17讲 等腰三角形与直角三角形课件
2．（2016·江西 12 题 3 分）如图是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB＝8，AD＝7， E 为 AB 上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点 P 落在长 方形 ABCD 的某一条边上，则等腰三角形 AEP 的底边长是_5___2_或__4__5_或___5__________.
1224/9/2021
如答图 2 所示， 当∠B′ED＝90°时，点 C 与点 E 重合．
∵AB′＝10，AC＝6，∴B′E＝4． 设 BD＝DB′＝x，则 DE＝CD＝8－x. 在 Rt△B′DE 中，DB′2＝DE2＋B′E2，即 x2＝（8－x）2 ＋42．解得 x＝5，∴BD＝5． 综合所述，BD 的长为 2 或 5．
第一部分 教材同步复习
第四章 三角形
第17讲 等腰三角形与直角三角形
12/9/2021
Байду номын сангаас
知识要点 · 归纳
知识点一 等腰三角形的性质与判定
概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
（1）两底角相等，即∠B＝∠C； （2）两腰相等，即 AB＝AC； 性质 （3）是轴对称图形，有一条对称轴，即 AD； （4）“三线合一”（即顶角的①__平_分__线___、底边上的中线和底边上的高互 相重合）
• （2）若图形中含折叠，考虑用折叠的性质，然后在直角三角形中，设 未知量，列方程求解．
• （3）若所求为线段和（或可转化为线段和的形式），考虑用证全等转 化到直角三角形中求解.
1227/9/2021
12/9/2021
122/9/2021
重难点2 直角三角形的多解题 重点 例3 （2018·宜春模拟）如图，Rt△ABC 纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， 点 D 在边 BC 上，以 AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB′D，AB′与边 BC 交于点 E.若△DEB′为直角三角形，则 BD 的长是__2_或__5___.
中考一轮复习--第17讲 全等三角形
2
考点梳理
自主测试
2.如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作
PM∥AB交AF于M,作PN∥CD交DE于N.
(1)①∠MPN=
;
②求证:PM+PN=3a;
(2)如图2,点O是AD的中点,连接OM,ON,求证:OM=ON;
(3)如图3,点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否
1
1
1
1
=BP,PC=DN. ∴GM=2AM,HP=2BP,PL=2PC,NK=2ND,
∵AM=BP,PC=DN,∴MG+HP+PL+KN=a,GH=LK=a,∴MP+PN=
MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a.
考点梳理
自主测试
(2)证明:如图2,连接OE,
∵六边形ABCDEF是正六边形,AB∥MP,PN∥DC,O为AD中点,
考点梳理
自主测试
考点二
类型
一般
三角
形的
判定
全等三角形的判定
图
形
已知条件
A1B1=A2B 2,
B1C1=B2C2,
A1C1=A2C2
∠B1=∠B2,
B1C1=B2C2,
∠C1=∠C2
∠B1=∠B2,
∠C1=∠C2,
A1C1=A2C2
A1B1=A2B 2,
∠B1=∠B2,
B1C1=B2C2
是否全等 形成结论
应邻边.
考法
对应练1如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一
C
个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是( )
全等三角形中考复习公开课获奖课件
通过不断练习和反思，逐渐提高 解决全等三角形问题的能力
05
知识拓展与延伸
相似三角形简介
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两 个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应 边成比例；相似三角形的周长比 等于相似比；相似三角形的面积
比等于相似比的平方。
相似三角形的判定
02
全等三角形的判定方法
本次课程重点讲解了SSS、SAS、ASA、A深了学生对这些判定方法的理解和掌握。
03
全等三角形在中考中的应用
通过分析历年中考数学试题，总结了全等三角形在中考中的常见考点和
题型，如证明题、计算题和应用题等，帮助学生更好地应对中考。
注意事项
在应用角边角定理时，必 须确保所比较的两角和夹 边是对应相等的。
直角三角形全等条件
定理内容
斜边和一条直角边对应相等的两 个直角三角形全等。
应用举例
在证明两个直角三角形全等时，如 果已知斜边和一条直角边相等，可 以直接应用此定理。
注意事项
在应用此定理时，必须确保所比较 的斜边和直角边是对应相等的，并 且两个三角形都是直角三角形。
的解题能力。
解题策略与技巧分享
熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理，理解其本质和内涵。 学会根据已知条件和图形特点选择合适的证明方法，如SSS、SAS、ASA、AAS等。
掌握一些常用的辅助线作法，如中线、垂线、角平分线等，以便更好地解决问题。
实战演练，提升应试能力
选取具有代表性的中考真题进行模拟 演练，让学生亲身体验考试氛围和难 度。
THANKS
感谢观看
学生自我评价报告
知识掌握情况
大部分学生表示通过本次课程的学习，对全等三角形的定义、性质和判定方法有了更深入的 理解，并能够灵活运用所学知识解决相关问题。
中考数学全程复习方略第十七讲全等三角形课件
(2)(2019·宜昌中考)如图,在△ABC中, D是BC边上的一点,AB=DB,BE平分∠ABC, 交AC边于点E,连接DE. ①求证:△ABE≌△DBE. ②若∠A=100°,∠C=50°,求∠AEB的度数.
【自主解答】
①∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠DBE,
AB DB,
在△ABE和△DBE中, ABE DBE, ∴△ABE≌△DBE(SAS).BE BE，
A.0.5
B.1
C.1.5
D.2
2.(2019·北京东城区模拟)如图, 已知∠1=∠2,AC=AD,要使△ABC≌ △AED,还需添加一个条件,那么在 ①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④∠B=∠E,这四个关系 中可以选择的是 ( C ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
3.(2019·邵阳中考)如图,已知AD=AE,请你添加一个条 件,使得△ADC≌△AEB,你添加的条件是____A_B_=_A_C_或__ _∠__A_D_C_=_∠__A_E_B_或__∠__A_B_E_=_∠__A_C_D____.(不添加任何字母和 辅助线) 世纪金榜导学号
(2)如图2所示,在新修的小区中,有一条“Z”字形绿色 长廊ABCD,其中AB∥CD,在AB,BC,CD三段绿色长廊上各 修一个小凉亭E,M,F,且BE=CF,点M是BC的中点,在凉亭M 与F之间有一池塘,不能直接到达,要想知道M与F之间的 距离,只需要测出线段ME的长度,这样做合适吗?请说明 理由.
【变形题1】(变换条件)“如上图,BC=EF,AC=DF”, 添加一个条件____∠__C_=_∠__F_(_A_B_=_D_E_或__A_D_=_B_E_,_答__案__不__ __唯__一__)___,使得△ABC≌△DEF.
中考数学专题复习讲座 第十七讲 三角形与全等三角形
2013年中考数学专题复习第十七讲三角形与全等三角形【基础知识回顾】三角形的概念：1、由直线上的三条线段组成的图形叫三角形2、三角形的基本元素：三角形有条边个顶点个内角二、三角形的分类：按边可分为三角形和三角形，按角可分为三角形三角形三角形【名师提醒：等边三角形属于特殊的三角形，锐角三角形和钝角三角形有事称为三角形】三、三角形的性质：1、三角形的内角和是三角形的任意一个外角和它不相得两个内角的和三角形的一个外角任意一个和它不相邻的内角2、三角形任意两边之和第三边，任意两边之差第三边3、三角形具有性【名师提醒：1、三角形的外角是指三角形一边和另一边的组成的角，三角形有个外角，三角形的外角和事，是其中各外角的和2、三角形三边关系定理是确定三条线段否构成三角形和判断限度间不等关系的主要依据】四、三角形中的主要线段：1、角平分线：三角形的三条角平分线都在三角形部且交于一点，这些是三角形的心它到得距离相等2、中线：三角形的三条中线都在三角形部，且交于一点3、高线：不同三角形的三条高线位置不同，锐角三角形三条高都连三角形直角三角形有一条高线在部，另两条河重合，钝角三角形有一条高线在三角形部，两条在三角形部4、中位线：连接三角形任意两边的线段叫做三角形的中位线。
定理：三角形的中位线第三边且等于第三边的【名师提醒：三角形的平分线、中线、高线、中位线都是且都有条】五、全等三角形的概念和性质：1、的两个三角形叫做全等三角形2、性质：全等三角形的、分别相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）周长、面积分别对应【名师提醒：全等三角形的性质是证明线段、角等之间数量关系的最主要依据】一、全等三角形的判定：1、一般三角形的全等判定方法：①边角边，简记为②角边角：简记为③角角边：简记为④边边边：简记为2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外，还可以用来判定【名师提醒：1、判定全等三角形的条件中，必须至少有一组对应相等，用SAS 判定全等，切记角为两边的2、判定全等三角形的有关条件要特别注意对应两个字】【重点考点例析】考点一：三角形内角、外角的应用例1 （2012•南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A．360° B．250° C．180° D．140°思路分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．故选B．点评：此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．对应训练1．（2012•泉州）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，点D、E分别在BC、AC的延长线上，则∠1= °．1．80分析：先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据对顶角相等求出∠1的度数即可．解：∵△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-60°-40°=80°，∴∠1=∠ACB=80°．故答案为：80．点评：本题考查的是三角形的内角和定理，即三角形内角和是180°．考点二：三角形三边关系例2 （2012•泸州）已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（）A．13 B．11 C．11 或13 D．12或152．分析：首先从方程x2-6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．解：由方程x2-6x+8=0，得：解得x1=2或x2=4，当第三边是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；当第三边是4时，三角形的周长为4+3+6=13．故选A．点评：考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之．对应训练1．（2012•义乌市）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（）A．2 B．3 C．4 D．8思路分析：根据三角形三边关系，可令第三边为X，则5-3＜X＜5+3，即2＜X＜8，又因为第三边长为偶数，所以第三边长是4，6．问题可求．解：由题意，令第三边为X，则5-3＜X＜5+3，即2＜X＜8，∵第三边长为偶数，∴第三边长是4或6．∴三角形的三边长可以为3、5、4．故选：C．点评：此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关键．考点三：三角形全等的判定例3 （2012•乐山）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个思路分析：①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；②当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；③由割补法可知四边形CDFE的面积保持不变；④△DEF是等腰直角三角形EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值，此时点C到线段EF的最大距离．解：①如图，连接CD；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF；∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；②当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项错误；③如图2所示，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，可以利用割补法可知四边形CDFE的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变；故此选项错误；④△DEF是等腰直角三角形EF，当EF∥AB时，即EF取最小值此时点C到线段EF．故此选项正确；故正确的有2个，故选：B．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CDFE的面积等于正方形CMDN面积是解题关键．例4 （2012•珠海）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．求证：（1）△ADA′≌△CDE；（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．思路分析：（1）根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，则∠A′DE=90°，再计算出∠A′ED=45°，根据等角对等边可得AD=ED，即可利用SAS证明△AA′D≌△CED；（2）首先由AC=A′C，可得点C在AA′的垂直平分线上；再证明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，进而得到点E也在AA′的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线可得直线CE 是线段AA′的垂直平分线．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠A′DE=90°，根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，，∴∠A′ED=45°，∴A′D=DE，在△AA′D和△CED中： AD=CD，∠ADA′=∠EDC，A′D=ED，∴△AA′D≌△CED（SAS）；（2）∵AC=A′C，∴点C在AA′的垂直平分线上，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAE=45°，∵AC=A′C，CD=CB′，∴AB′=A′D，在△AEB′和△A′ED中：∠EAB′=∠EA′D，∠AEB′=∠A′ED ，AB′=A′D，∴△AEB′≌△A′ED，∴AE=A′E，∴点E也在AA′的垂直平分线上，∴直线CE是线段AA′的垂直平分线．点评：此题主要考查了正方形的性质，以及旋转的性质，关键是熟练掌握正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；找准旋转后相等的线段．对应训练3．（2012•鸡西）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）=2BC；②S△AEF≤14S△ABC；③S四边形AEDF=AD•EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．分析：先由ASA 证明△AED ≌△CFD ，得出AE=CF ，再由勾股定理即可得出BE+CF=AB= 2BC ，从而判断①；设AB=AC=a ，AE=CF=x ，先由三角形的面积公式得出S △AEF =-12（x-12a ）2+18a 2， 14S △ABC =14×12a 2=18a 2，再根据二次函数的性质即可判断②； 由勾股定理得到EF 的表达式，利用二次函数性质求得EFa ，而a ，所以EF ≥AD ，从而④错误；先得出S 四边形AEDF =S △ADC =12AD ，再由EF ≥AD 得到AD •EF ≥AD 2，∴AD •EF ＞S 四边形AEDF ，所以③错误；如果四边形AEDF 为平行四边形，则AD 与EF 互相平分，此时DF ∥AB ，DE ∥AC ，又D 为BC 中点，所以当E 、F 分别为AB 、AC 的中点时，AD 与EF 互相平分，从而判断⑤． 解：∵Rt △ABC 中，AB=AC ，点D 为BC 中点，∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD ，∵∠MDN=90°，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF ．在△AED 与△CFD 中，EAD C AD CD ADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AED ≌△CFD （ASA ），∴AE=CF ，在Rt △ABD 中，2BC ==． 故①正确；设AB=AC=a ，AE=CF=x ，则AF=a-x ．∵S △AEF =12AE •AF=12x （a-x ）=-12（x-12a ）2+18a 2，∴当x=12a时，S△AEF有最大值18a2，又∵14S△ABC=14×12a2=18a2，∴S△AEF≤14S△ABC．故②正确；EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2（x-12a）2+1 2 a2，∴当x=12a时，EF2取得最小值12a2，∴EF≥2a（等号当且仅当x=12a时成立），而AD=2a，∴EF≥AD．故④错误；由①的证明知△AED≌△CFD，∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=1 2 AD2，∵EF≥AD，∴AD•EF≥AD2，∴AD•EF＞S四边形AEDF故③错误；当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．故⑤正确．综上所述，正确的有：①②⑤，共3个．故选C．点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积，函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度．4．（2012•肇庆）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形．4．分析：（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC=BD，AB=BA，得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD，（2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC与△BAD是直角三角形，在△ABC和△BAD中，∵ AC=BD， AB=BA，∠ACB=∠ADB ，∴△ABC≌△BAD，∴BC=AD，（2）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB，∴△OAB是等腰三角形．点评：本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练．考点四：全等三角形开放性问题例5 （2012•义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．思路分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）；解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．（2）证明：在△BDF和△CDE中∵BD CDEDC FDB DE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF≌△CDE．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．对应训练5．（2012•衡阳）如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．5．分析：首先由AF=DC可得AC=DF，再由BC∥EF根据两直线平行，内错角相等可得∠EFD=∠BCA，再加上条件EF=BC即可利用SAS证明△ABC≌△DEF．解：补充条件：EF=BC，可使得△ABC≌△DEF．理由如下：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即：AC=DF，∵BC∥EF，∴∠EFD=∠BCA，在△EFD和△BCA中， EF=BC ∠EFD=∠BCA EF=BC ，∴△EFD≌△BCA（SAS）．点评：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，HL．【聚焦山东中考】1.（2012•烟台）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为度．1.85分析：先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可．解答：解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，∴∠MDB=180°-∠ADF-∠EDF=180°-100°-30°=50°，∴∠BMD=180°-∠B-∠MDB=180°-45°-50°=85°．故答案为：85．点评：本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．2．（2012•聊城）将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（）A．75° B．90° C．105° D．120°2．分析：先根据直角三角形的性质得出∠BAE及∠E的度数，再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论．解答：解：∵图中是一副直角三角板，∴∠BAE=45°，∠E=30°，∴∠AFE=180°-∠BAE-∠E=105°，∴∠α=105°．故选C．点评：本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．3．（2012•德州）不一定在三角形内部的线段是（）A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．三角形的中位线3．分析：根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答．解答：解：因为在三角形中，它的中线、角平分线一定在三角形的内部，而钝角三角形的高在三角形的外部．故选C．点评：本题考查了三角形的高、中线和角平分线，要熟悉它们的性质方可解答．4．（2012•济宁）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC 的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等4．分析：连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．解：如图，连接NC，MC，在△ONC 和△OMC 中ON OM NC MC OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ONC ≌△OMC （SSS ），∴∠AOC=∠BOC ，故选A ．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．5．（2012•滨州）如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=20°，则∠C= ．5．40°分析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B 的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC 的度数，再由三角形内角和定理解答即可．解：∵AB=AD ，∠BAD=20°，∴∠B=18018020 22BAD ︒-∠︒-︒==80°， ∵∠ADC 是△ABD 的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，∵AD=DC ，∴∠C=18018010022ADC︒-∠︒-︒==40°．点评：本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．6．（2012•潍坊）如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）6．∠BDE=∠BAC分析：根据∠ABD=∠CBE可以证明得到∠ABC=∠DBE，然后根据利用的证明方法，“角边角”“边角边”“角角边”分别写出第三个条件即可．解：∵∠ABD=∠CBE，∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠ABC=∠DBE，∵AB=DB，∴①用“角边角”，需添加∠BDE=∠BAC，②用“边角边”，需添加BE=BC，③用“角角边”，需添加∠ACB=∠DEB．故答案为：∠BDE=∠BAC或BE=BC或∠ACB=∠DEB．（写出一个即可）点评：本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件有一边与一角，根据不同的证明方法可以选择添加不同的条件，需要注意，不能使添加的条件符合“边边角”，这也是本题容易出的地方．7．（2012•临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．7．3分析：根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B，然后利用“角边角”证明△ABC 和△FEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF，再根据AE=AC-CE，代入数据计算即可得解．解：∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠ECF=∠B，在△ABC和△FEC中，∠ECF=∠B EC=BC ∠ACB=∠FEC=90°，∴△ABC≌△FEC（ASA），∴AC=EF，∵AE=AC-CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5-2=3cm．故答案为：3．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质证明得到∠ECF=∠B是解题的关键．8．（2012•济宁）如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO= ．8分析：根据等边三角形性质和三线合一定理求出∠BAF=30°，推出AB=AE，根据SAS证△BAO ≌△EAO，推出∠AEO=∠ABO=30°即可．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∠ABC=60°，AB=BC，∵BF⊥AC，∴∠ABF=12∠ABC=30°，∵AB=AC，AE=AC，∴AB=AE，∵AO平分∠BAE，∴∠BAO=∠EAO，∵在△BAO和△EAO中∵ AB=AE，∠BAO=∠EAO， AO=AO ，∴△BAO≌△EAO，∴∠AEO=∠ABO=30°，∴tan∠AEO=tan30°三角函数值等知识点的应用，关键是证出∠AEO=∠ABO，题目比较典型，难度适中．【备考真题过关】一、选择题1．（2012•云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°1．分析：首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可．解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=12∠BAC=12×80°=40°故选A．点评：本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简单．三角形内角和定理在小学已经接触过．2．（2012•梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A．150° B．210° C．105° D．75°2．分析：先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°，∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°．故选A．点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3．（2012•漳州）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．90°3．分析：根据直角三角形的两锐角互余求出∠1的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．解：如图，∠1=90°-60°=30°，所以，∠α=45°+30°=75°．故选C．点评：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．4．（2012•广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A．5 B．6 C．11 D．164．分析：设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．解：设此三角形第三边的长为x，则10-4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．故选C．点评：本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．5．（2012•郴州）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，4cm B．4cm，6cm，8cm C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm5．分析：根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．解：根据三角形的三边关系，知A、1+2＜4，不能组成三角形；B、4+6＞8，能够组成三角形；C、5+6＜12，不能组成三角形；D、2+3=5，不能组成三角形．故选B．点评：此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．6．（2012•玉林）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有（）A．4对 B．6对 C．8对 D．10对6．分析：根据菱形四边形等，对角线互相垂直且平分，结合全等三角形的判定即可得出答案．解：图中全等三角形有：△ABO ≌△ADO 、△ABO ≌△CDO ，△ABO ≌△CBO ；△AOD ≌△COD ，△AOD ≌△COB ；△DOC ≌△BOC ；△ABD ≌△CBD ，△ABC ≌△ADC ，共8对．故选C ．点评：此题考查了全等三角形的判定及菱形的性质，注意掌握全等三角形的几个判定定理，在查找时要有序的进行，否则很容易出错．7．（2012•贵阳）如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AB=DE ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一个条件是（ ）A ．∠BCA=∠FB ．∠B=∠EC ．BC ∥EFD ．∠A=∠EDF7．分析：全等三角形的判定方法SAS 是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE ，BC=EF ，其两边的夹角是∠B 和∠E ，只要求出∠B=∠E 即可． 解：A 、根据AB=DE ，BC=EF 和∠BCA=∠F 不能推出△ABC ≌△DEF ，故本选项错误；B 、∵在△ABC 和△DEF 中AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），故本选项正确；C 、∵BC ∥EF ，∴∠F=∠BCA ，根据AB=DE ，BC=EF 和∠F=∠BCA 不能推出△ABC ≌△DEF ，故本选项错误；D 、根据AB=DE ，BC=EF 和∠A=∠EDF 不能推出△ABC ≌△DEF ，故本选项错误．故选B ．点评：本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，注意：有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．三、填空题8．（2012•呼和浩特）如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．8．66.5°分析：根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得12∠DAC+12ACF=12（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=2272；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF；又∵∠B=47°（已知），∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理），∴12∠DAC+12ACF=12（∠B+∠ACB）+12（∠B+∠BAC）=12（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=2272（外角定理），∴∠AEC=180°-（12∠DAC+12ACF）=66.5°；故答案是：66.5°．点评：本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质．解题时注意挖掘出隐含在题干中已知条件“三角形内角和是180°”．9．（2012•娄底）如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO=28°，则∠MFE= 度．9．56分析：先根据平行线的性质得出∠NOE=∠FEO，再根据角平分线的性质得出∠NOE=∠EOF，由三角形外角的性质即可得出结论．解：∵FE∥ON，∠FEO=28°，∴∠NOE=∠FEO=28°，∵OE平分∠MON，∴∠NOE=∠EOF=28°，∵∠MFE是△EOF的外角，∴∠MFE=∠NOE+∠EOF=28°+28°=56°．故答案为：56．点评：本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．10．（2012•白银）如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A= 度．10．50分析：根据等角对等边的性质可得∠A=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠A+∠B=∠ACE，∴∠A=12∠ACE=12×100°=50°．故答案为：50．点评：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．11．（2012•绥化）若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是．11．11或13分析：题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解答：解：有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长=3+3+5=11；②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13．故答案为：11或13．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．12．（2012•柳州）如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC= °．12．40分析：根据角平分线的性质得出∠ABD=∠DBC 进而得出∠DBC 的度数．解答：解：∵BD 是∠ABC 的角平分线，∠ABC=80°，∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC=12×80°=40°， 故答案为：40．点评：此题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线性质得出∠ABD=∠DBC 是解题关键．13．（2012•绵阳）如图，BC=EC ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△DEC ，则应添加的一个条件 为 ．（答案不唯一，只需填一个）．13．AC=CD分析：根据∠1=∠2，求出∠BCA=∠ECD ，根据SAS 证明亮三角形全等即可．解答：解：添加的条件是AC=CD ，理由是：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA ，∴∠BCA=∠ECD ，∵在△ABC 和△DCE 中BC CE BCA ECD AC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DCE ，故答案为：AC=CD ．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的发散思维能力，本题题型较好，是一道具有开放性的题目，答案不唯一．三、解答题14．（2012•铜仁地区）如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF．14．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：首先利用平行线的性质得出∠AED=∠CFB，进而得出DE=BF，利用SAS得出即可．证明：∵AE∥CF∴∠AED=∠CFB，∵DF=BE，∴DF+EF=BE+EF，即DE=BF，在△ADE和△CBF中，AE=CF ∠AED=∠CFB DE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS）．点评：此题主要考查了全等三角形的判定，利用两边且夹角对应相等得出三角形全等是解题关键．15．（2012•赤峰）如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE．15．分析：（1）以A为圆心，以任意长为比较画弧，分别交AB和AC于一点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间的距离为半径画弧，两弧交于一点，过这点和A作射线，交BC 于D，则，AD为所求；（2）推出∠BAE=∠CAE，根据SAS证△BAE和△CAE全等即可．（1）解：如图所示：（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵在△ABE和△ACE中AB=AC ∠BAE=∠CAE AE=AE ，∴△ABE≌△ACE（SAS）．点评：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，作图-基本作图的应用，主要考查学生的动手操作能力和推理能力．16．（2012•重庆）已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．16．分析：由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再有条件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA证明△ABC ≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC=ED．证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即：∠EAD=∠BAC，在△EAD和△BAC中：∠B=∠E，AB=AE，∠BAC=∠EAD，∴△ABC≌△AED（ASA），∴BC=ED．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．1．（2012•扬州）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为E．求证：BE=DE．2．（2012•镇江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB 的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．3．（2012•佛山）如图，已知AB=DC，DB=AC（1）求证：∠ABD=∠DCA．注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？4．（2012•滨州）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．（1）求证：△ADF≌△CBE；（2）求正方形ABCD的面积；（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．×2×1+1×1（5．（2012•长春）感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F 在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为 6 ．。
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第17讲
三角形与全等三角形
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考点一
三角形的分类
按边分：
三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形
不等边三角形三边互不相等
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按角分：
三角形 锐角三角形 斜三角形 钝角三角形
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方法总结 已知两边，求第三边的范围时，求出较短的两条线 段的和与最长的线段相比， 若大于最长的线段则能组成 三角形 .
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考点二
三角形的内角和与外角
例 2 (2013· 衡阳)如图，∠1＝100° ，∠C＝70° ，则 ∠A 的大小是( )
A．10°
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B．20°
C．30°
D．80°
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【点拨】∵∠1 是 △ ABC 的外角， ∴∠1＝ ∠ A＋ ∠ C.又 ∵∠1＝ 100° ， ∠C＝ 70° ， ∴∠ A＝ 100° － 70° ＝ 30° .故选 C. 【答案】 C
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3．如图，在△ ABC 中，∠ B＝ 67° ，∠ C＝ 33° ， AD 是△ ABC 的角平分线， 则∠ CAD 的度数为( A． 40° C． 50° B． 45° D． 55° A )
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2．(2013· 泉州)在△ABC 中，∠A＝20° ，∠B＝60° ， 则△ABC 的形状是( D A．等边三角形 C．直角三角形 ) B．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：∵∠A＝20° ，∠B＝60° ，∴∠C＝180° －20° －60° ＝100° .∴这个三角形是钝角三角形．故选 D.
直角三角形
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考点二
三角形的性质
1．三角形的内角和是 180° ，三角形的外角等于与它 不相邻的两个内角的和， 三角形的外角大于任何一个和 它不相邻的内角． 2．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三 边． 3．如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大 小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳 定性．
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考点一
三角形的三边关系
例 1 (2013· 宜昌)下列每组数分别表示三根木棒的 长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是 ( ) A．1,2,6 C．1,2,3 B．2,2,4 D．2,3,4
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方法总结 在三角形中，求角的度数，可以利用外角的性质将 它转化为三角形的内角，然后根据内角和求解.
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考点三 全等三角形的性质与判定 例 3 (2013· 北京 )如图，已知点 D 是 AC 上一点， AB＝ DA， DE∥ AB，∠ B＝∠ DAE. 求证： BC＝ AE.
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考点三
全等三角形的概念与性质
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边 、对应角 分别相等； (2)全等三角形的对应线段(角平分线、 高线、 中线、 中位线 )相等、周长相等、面积相等．
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【点拨】由 AE＝ AD，且 ∠ A 是公共角，①添加 ∠ AEB ＝ ∠ ADC ， 用 “ASA” 证 明 ； ② 添 加 ∠CEB ＝ ∠ BDC，再由等角的补角相等得出 ∠AEB＝ ∠ ADC，用 “ASA”证明； ③添加 ∠B＝ ∠C，用 “AAS”证明； ④添 加 AB＝ AC，用 “SAS”证明； ⑤添加 BD＝ CE，再由等 式的性质得出 AB＝ AC，用 “SAS”证明． 【答案】 ∠ AEB＝∠ ADC( 或∠ CEB＝∠ BDC 或 ∠ B＝∠ C 或 AB＝ AC 或 BD＝ CE)
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考点四 角平分线的性质的应用 例 4 (2013· 长沙 )如图， BD 是∠ ABC 的平分线， P 是 BD 上的一点，PE⊥ BA 于点 E， PE＝ 4 cm，则点 P 到边 BC 的距离为 _____cm.
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3．(2013· 湘西州)如图，一副分别含有 30° 和 45° 角 的两个直角三角板，拼在一起，其中∠C＝90° ，∠B＝ 45° ， ∠E＝30° ，则∠BFD 的度数是( A A．15° C．30° B．25° D．10° )
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5． 已知， 如图， 点 E， A， C 在同一直线上， AB∥ CD， AB＝ CE， AC＝ CD.求证： BC＝ ED .
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证明：∵ AB∥ CD，∴∠ BAC＝∠ ECD.又∵ AB＝ CE， AC＝ CD，∴△ BAC≌ ECD(SAS)．∴ BC＝ ED.
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4．三角形中的重要直线或线段 (1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点， 这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等． (2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做 三角形的垂心． (3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做 三角形的重心．
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考点四
全等三角形的判定
1．如果两个三角形的三条边分别对应相等 ，那么 这两个三角形全等，简记为 SSS. 2 ．如果两个三角形有两边及其 夹角 分别对应相 等，那么这两个三角形全等，简记为 SAS.
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3 ．如果两个三角形的两角及其 夹边 分别对应相 等，那么这两个三角形全等，简记为 ASA. 4．如果两个三角形的两角及其中一角的对边分别对 应相等，那么这两个三角形全等，简记为 AAS. 5．如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对 应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为 HL.
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考点五 全等三角形的开放性问题 例 5 (2013· 郴州 )如图，点 D， E 分别在线段 AB， AC 上 ， AE ＝ AD ， 不 添 加 新 的 线 段 和 字 母 ， 要 使 △ ABE≌△ ACD， 需添加的一个条件是_______(只写一 个条件即可 )．
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6．已知：如图，AB＝ AE，∠ 1＝∠ 2，∠ B＝∠ E. 求证： BC＝ ED.
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证 明 ： ∵∠1 ＝ ∠2 ， ∴∠ 1 ＋ ∠ BAD ＝ ∠2 ＋ ∠ BAD， 即∠ BAC＝∠ EAD.又∵ AB＝ AE， ∠ B＝∠ E， ∴△ BAC≌△ EAD(ASA)． ∴ BC＝ ED.
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4．如图所示， AB＝ DB，∠ ABD＝∠ CBE，请你 添加一个适当的条件 ∠ BDE＝ ∠ BAC(或 BE＝ BC 或 ∠ ACB＝ ∠ DEB) 即可)． ， 使△ ABC≌△ DBE(只需添加一个
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一、选择题(每小题 4 分，共 56 分) 1．(2013· 长沙)如果一个三角形的两边长分别是 2 和 4，则第三边长可能是( A．2 C．6 B．4 D．8 B )
解析：设第三边长为 x，则 4－2＜x＜4＋2，即 2＜x＜6.故选 B.
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【点拨】过点 P 作 PF⊥ BC 于点 F，因为 BD 平分 ∠ ABC， PE⊥ BA， PE＝ 4 cm，所以 PF＝ PE＝ 4 cm. 【答案】 4 方法总结 题目中若有角平分线这一条件，常考虑添加垂线 段，利用角的平分线的性质证明线段相等或计算长度 .
F
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【点拨】 本题考查全等三角形的判定与性质的综合 应用． 证明：∵ DE ∥ AB， ∴∠ CAB＝∠ EDA. 在 △ ABC 与△ DAE 中，