2014中考复习第17讲_三角形与全等三角形
2014年中考专题复习 三角形的初步知识
20114年中考专题复习 三角形的初步知识彩虹教育 杨义茂一、考点知识与应用考点一 三角形的性质：1、三角形的内角和是 ，三角形的任意一个外角 和它不相邻两个内角的和，三角形的一个外角 任意一个和它不相邻的内角2、三角形任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边3、三角形具有 性.应用：1、已知三角形的三边长分别是3、x 、9，则化简513x x -+-= ；2、有4根木条,长度分别为6cm ,8cm ,12cm ,20cm ,选其中三根作为边组成三角形,请问:共有多少种组合方法?其中能构成三角形的有几种?3、如图所示，P 为△ＡＢＣ内任意一点，∠１＝∠２，求证：∠ＡＣＢ与∠ＢＰＣ互补。
4、如图，在ΔABC 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC，AF 平分外角∠BAD，BE 与FA 交与点E 。
求∠E 的度数。
考点二 定义与命题:1、定义:_______________________________________________________________2、命题:_____________________________________________________________应用：1、下列语句：①明天下雨吗? ②中国加油！四川加油！③锐角都相等．④过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．其中是命题的有（ ）Ａ、１个 Ｂ、２个 Ｃ、３个 Ｄ、４个 2、下列语句中，属于定义的是（ ）A 、对顶角相等B 、三角形的内角和等于1800C 、连接A 、B 两点并延长至点CD 、连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
3、下列命题中，是假命题的为（ ） A 、邻补角的平分线互相垂直；B 、平行于同一直线的两条直线互相平行；C 、如果一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角一定相等；D 、平行线的一组内错角的平分线互相平行。
4、有如下命题：①无理数就是开方开不尽的数；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③无理数包括正无理数，0，负无理数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0。
中考数学考点专题复习 三角形与全等三角形
剖析
先看一个事实，如图，将等腰△ABC 的底边 BC 延长线上的任一点和顶 点 A 相连，所得的△DAB 和△DAC 无疑是不全等的，由此可知，有两边及 其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等．因此， 在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟．
正解 证明：∵EB＝EC，∴∠3＝∠4.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝ ∠2＋∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.在△AEB和△AEC中， ∵EB＝EC，∠1＝∠2，AB＝AC，∴△AEB≌△AEC(SAS)， ∴∠BAE＝∠CAE
的长可能是下列哪个值( B )
A．11
B．5 C．2 D．1
(2)(2015·巴中)若 a，b，c 为三角形的三边，且 a，b 满足 a2－9＋(b－
2)2＝0，则第三边 c 的取值范围是 1＜c＜5
．
【点评】 三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最 短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确 定三角形第三边长c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b.
[对应训练] 1．(1)(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第 三边的长可能是( )B A．5 B．10 C．11 D．12
(2)(2014·淮安)若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可 以为___4_．(只需填一个整数)
【例2】 (1)(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角(∠A＝30°)的 直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌 面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么 ∠AFE＝( ) D
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．(2015·柳州)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB 的是( D )
2014年中考复习数学新课标(BS)最新复习方案---第4单元(三角形)
过任意三个不在同一直线上的n个 n（n－1） 点中的两个点可以画________条 2 线段上共有n个点(包括两个端点) n（n－1） 时，共有线段________条 2 从一点出发的n条直线可组成 ______个角 n（n－1） n条直线最多有________个交点 2 平面内有n条直线，最多可以把平 n2＋n＋2 面分成________个部分
垂直的性质
第17讲┃几何初步及平行线、相交线
定义
垂线段 性质
从直线外一点引一条直线的垂线，这点 垂线段 和垂足之间的线段叫做______ 直线外各点与直线上各点所连的线段中 垂线段 ，______最短 垂线段 直线外一点到这条直线的________的长 度，叫做点到直线的距离
点到直线的 距离
第17讲┃几何初步及平行线、相交线
平行线的 定义 平行 公理
平行公理 的推论
如果两条直线都与第三条直线平行，那 平行 么这两条直线也互相________
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
第17讲┃几何初步及平行线、相交线
同位角相等，两直线平行 平行线的 判定
内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
平行线的 性质
数学
新课标
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2
回归教材 中考预测
中考数学专题复习全攻略：第二节 三角形的基础知识与全等三角形
第二节 三角形的基础知识与全等三角形知识点一：三角形的分类及性质 1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上， 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接三角形用符号“∆”表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作“∆ABC ”，读作“三角形ABC ”。
5.三角形的分类（1）按角的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形（2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形6.三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
.变式练习1：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.[变式练习2：已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是()A. 5B. 6C. 11D. 16【解析】C组成三角形的三条线段长度须满足“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．此三角形的两边之和为14，两边之差为6，所以此三角形第三边的长可能是11.变式练习3：下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( D )A．2 cm，3 cm，5 cm B．7 cm，4 cm，2 cmC．3 cm，4 cm，8 cm D．3 cm，3 cm，4 cm7.角的关系（1）内角和定理：①三角形的内角和等180°；②推论：直角三角形的两锐角互余.变式练习：在△ABC中，若∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数为( C ) A．35°B．40°C．45°D．50°（2）外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.8.三角形中的重要线段8.三角形中的重要线段四线性质角平分线（1）角平线上的点到角两边的距离相等（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）中线（1）将三角形的面积等分（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边，且等于第三边的一半注意：在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系注意：（1）在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
全等三角形-中考数学总复习精品课件
三角形全等的条件
如何找边相等、 角相等
1.找“角”相等的途径主要有:对顶角相等;两直线平行,同位角、 内错角相等;余角等角代换;角平分线;平行四边形对角相等等.
2.找“边”相等主要借助中点、平行四边形对边相等来证明.
三角形全等的证明
如何找边相等、 角相等
3．判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的．
垂足分别是点 D，E，AD＝3，BE＝1，则 DE 的长是( B )
3 A.2
B．2
C．2 2
D. 10
61．2如0° 图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.
7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB， ③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是_②_____(只填序号)．
A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC
平移加翻折型
2．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，且 BC＝5，∠A＝70°，∠B＝75°，EC＝2，则下列结论中错误的是
( C)
A．BE＝3 B．∠F＝35° C．DF＝5 D．AB∥DE
平移型
3．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果
对称型
解：(1)在△ABC 和△ADC 中，AABC＝ ＝AADC，，∴△ABC≌△ADC(SSS)， BC＝DC，
∴∠BAC＝∠DAC，即 AC 平分∠BAD (2) 由 (1) 得 ∠BAE ＝ ∠ DAE ， 在 △BAE 和 △DAE 中 ，
BA＝DA， ∠BAE＝∠DAE，∴△BAE≌△DAE(SAS)，∴BE＝DE AE＝AE，
中考数学总复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 第17讲 等腰三角形与直角三角形课件
2．（2016·江西 12 题 3 分）如图是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB＝8，AD＝7， E 为 AB 上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点 P 落在长 方形 ABCD 的某一条边上，则等腰三角形 AEP 的底边长是_5___2_或__4__5_或___5__________.
1224/9/2021
如答图 2 所示， 当∠B′ED＝90°时，点 C 与点 E 重合．
∵AB′＝10，AC＝6，∴B′E＝4． 设 BD＝DB′＝x，则 DE＝CD＝8－x. 在 Rt△B′DE 中，DB′2＝DE2＋B′E2，即 x2＝（8－x）2 ＋42．解得 x＝5，∴BD＝5． 综合所述，BD 的长为 2 或 5．
第一部分 教材同步复习
第四章 三角形
第17讲 等腰三角形与直角三角形
12/9/2021
Байду номын сангаас
知识要点 · 归纳
知识点一 等腰三角形的性质与判定
概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
（1）两底角相等，即∠B＝∠C； （2）两腰相等，即 AB＝AC； 性质 （3）是轴对称图形，有一条对称轴，即 AD； （4）“三线合一”（即顶角的①__平_分__线___、底边上的中线和底边上的高互 相重合）
• （2）若图形中含折叠，考虑用折叠的性质，然后在直角三角形中，设 未知量，列方程求解．
• （3）若所求为线段和（或可转化为线段和的形式），考虑用证全等转 化到直角三角形中求解.
1227/9/2021
12/9/2021
122/9/2021
重难点2 直角三角形的多解题 重点 例3 （2018·宜春模拟）如图，Rt△ABC 纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， 点 D 在边 BC 上，以 AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB′D，AB′与边 BC 交于点 E.若△DEB′为直角三角形，则 BD 的长是__2_或__5___.
中考一轮复习--第17讲 全等三角形
2
考点梳理
自主测试
2.如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作
PM∥AB交AF于M,作PN∥CD交DE于N.
(1)①∠MPN=
;
②求证:PM+PN=3a;
(2)如图2,点O是AD的中点,连接OM,ON,求证:OM=ON;
(3)如图3,点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否
1
1
1
1
=BP,PC=DN. ∴GM=2AM,HP=2BP,PL=2PC,NK=2ND,
∵AM=BP,PC=DN,∴MG+HP+PL+KN=a,GH=LK=a,∴MP+PN=
MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a.
考点梳理
自主测试
(2)证明:如图2,连接OE,
∵六边形ABCDEF是正六边形,AB∥MP,PN∥DC,O为AD中点,
考点梳理
自主测试
考点二
类型
一般
三角
形的
判定
全等三角形的判定
图
形
已知条件
A1B1=A2B 2,
B1C1=B2C2,
A1C1=A2C2
∠B1=∠B2,
B1C1=B2C2,
∠C1=∠C2
∠B1=∠B2,
∠C1=∠C2,
A1C1=A2C2
A1B1=A2B 2,
∠B1=∠B2,
B1C1=B2C2
是否全等 形成结论
应邻边.
考法
对应练1如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一
C
个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是( )
全等三角形中考复习公开课获奖课件
通过不断练习和反思，逐渐提高 解决全等三角形问题的能力
05
知识拓展与延伸
相似三角形简介
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两 个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应 边成比例；相似三角形的周长比 等于相似比；相似三角形的面积
比等于相似比的平方。
相似三角形的判定
02
全等三角形的判定方法
本次课程重点讲解了SSS、SAS、ASA、A深了学生对这些判定方法的理解和掌握。
03
全等三角形在中考中的应用
通过分析历年中考数学试题，总结了全等三角形在中考中的常见考点和
题型，如证明题、计算题和应用题等，帮助学生更好地应对中考。
注意事项
在应用角边角定理时，必 须确保所比较的两角和夹 边是对应相等的。
直角三角形全等条件
定理内容
斜边和一条直角边对应相等的两 个直角三角形全等。
应用举例
在证明两个直角三角形全等时，如 果已知斜边和一条直角边相等，可 以直接应用此定理。
注意事项
在应用此定理时，必须确保所比较 的斜边和直角边是对应相等的，并 且两个三角形都是直角三角形。
的解题能力。
解题策略与技巧分享
熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理，理解其本质和内涵。 学会根据已知条件和图形特点选择合适的证明方法，如SSS、SAS、ASA、AAS等。
掌握一些常用的辅助线作法，如中线、垂线、角平分线等，以便更好地解决问题。
实战演练，提升应试能力
选取具有代表性的中考真题进行模拟 演练，让学生亲身体验考试氛围和难 度。
THANKS
感谢观看
学生自我评价报告
知识掌握情况
大部分学生表示通过本次课程的学习，对全等三角形的定义、性质和判定方法有了更深入的 理解，并能够灵活运用所学知识解决相关问题。
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第17讲
三角形与全等三角形
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考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
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考点一
三角形的分类
按边分：
三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形
不等边三角形三边互不相等
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按角分：
三角形 锐角三角形 斜三角形 钝角三角形
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方法总结 已知两边，求第三边的范围时，求出较短的两条线 段的和与最长的线段相比， 若大于最长的线段则能组成 三角形 .
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考点二
三角形的内角和与外角
例 2 (2013· 衡阳)如图，∠1＝100° ，∠C＝70° ，则 ∠A 的大小是( )
A．10°
考点知识梳理
B．20°
C．30°
D．80°
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【点拨】∵∠1 是 △ ABC 的外角， ∴∠1＝ ∠ A＋ ∠ C.又 ∵∠1＝ 100° ， ∠C＝ 70° ， ∴∠ A＝ 100° － 70° ＝ 30° .故选 C. 【答案】 C
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3．如图，在△ ABC 中，∠ B＝ 67° ，∠ C＝ 33° ， AD 是△ ABC 的角平分线， 则∠ CAD 的度数为( A． 40° C． 50° B． 45° D． 55° A )
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2．(2013· 泉州)在△ABC 中，∠A＝20° ，∠B＝60° ， 则△ABC 的形状是( D A．等边三角形 C．直角三角形 ) B．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：∵∠A＝20° ，∠B＝60° ，∴∠C＝180° －20° －60° ＝100° .∴这个三角形是钝角三角形．故选 D.
直角三角形
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考点二
三角形的性质
1．三角形的内角和是 180° ，三角形的外角等于与它 不相邻的两个内角的和， 三角形的外角大于任何一个和 它不相邻的内角． 2．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三 边． 3．如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大 小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳 定性．
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考点一
三角形的三边关系
例 1 (2013· 宜昌)下列每组数分别表示三根木棒的 长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是 ( ) A．1,2,6 C．1,2,3 B．2,2,4 D．2,3,4
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方法总结 在三角形中，求角的度数，可以利用外角的性质将 它转化为三角形的内角，然后根据内角和求解.
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考点三 全等三角形的性质与判定 例 3 (2013· 北京 )如图，已知点 D 是 AC 上一点， AB＝ DA， DE∥ AB，∠ B＝∠ DAE. 求证： BC＝ AE.
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考点三
全等三角形的概念与性质
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边 、对应角 分别相等； (2)全等三角形的对应线段(角平分线、 高线、 中线、 中位线 )相等、周长相等、面积相等．
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【点拨】由 AE＝ AD，且 ∠ A 是公共角，①添加 ∠ AEB ＝ ∠ ADC ， 用 “ASA” 证 明 ； ② 添 加 ∠CEB ＝ ∠ BDC，再由等角的补角相等得出 ∠AEB＝ ∠ ADC，用 “ASA”证明； ③添加 ∠B＝ ∠C，用 “AAS”证明； ④添 加 AB＝ AC，用 “SAS”证明； ⑤添加 BD＝ CE，再由等 式的性质得出 AB＝ AC，用 “SAS”证明． 【答案】 ∠ AEB＝∠ ADC( 或∠ CEB＝∠ BDC 或 ∠ B＝∠ C 或 AB＝ AC 或 BD＝ CE)
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考点四 角平分线的性质的应用 例 4 (2013· 长沙 )如图， BD 是∠ ABC 的平分线， P 是 BD 上的一点，PE⊥ BA 于点 E， PE＝ 4 cm，则点 P 到边 BC 的距离为 _____cm.
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3．(2013· 湘西州)如图，一副分别含有 30° 和 45° 角 的两个直角三角板，拼在一起，其中∠C＝90° ，∠B＝ 45° ， ∠E＝30° ，则∠BFD 的度数是( A A．15° C．30° B．25° D．10° )
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5． 已知， 如图， 点 E， A， C 在同一直线上， AB∥ CD， AB＝ CE， AC＝ CD.求证： BC＝ ED .
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证明：∵ AB∥ CD，∴∠ BAC＝∠ ECD.又∵ AB＝ CE， AC＝ CD，∴△ BAC≌ ECD(SAS)．∴ BC＝ ED.
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4．三角形中的重要直线或线段 (1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点， 这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等． (2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做 三角形的垂心． (3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做 三角形的重心．
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考点四
全等三角形的判定
1．如果两个三角形的三条边分别对应相等 ，那么 这两个三角形全等，简记为 SSS. 2 ．如果两个三角形有两边及其 夹角 分别对应相 等，那么这两个三角形全等，简记为 SAS.
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3 ．如果两个三角形的两角及其 夹边 分别对应相 等，那么这两个三角形全等，简记为 ASA. 4．如果两个三角形的两角及其中一角的对边分别对 应相等，那么这两个三角形全等，简记为 AAS. 5．如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对 应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为 HL.
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考点五 全等三角形的开放性问题 例 5 (2013· 郴州 )如图，点 D， E 分别在线段 AB， AC 上 ， AE ＝ AD ， 不 添 加 新 的 线 段 和 字 母 ， 要 使 △ ABE≌△ ACD， 需添加的一个条件是_______(只写一 个条件即可 )．
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6．已知：如图，AB＝ AE，∠ 1＝∠ 2，∠ B＝∠ E. 求证： BC＝ ED.
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证 明 ： ∵∠1 ＝ ∠2 ， ∴∠ 1 ＋ ∠ BAD ＝ ∠2 ＋ ∠ BAD， 即∠ BAC＝∠ EAD.又∵ AB＝ AE， ∠ B＝∠ E， ∴△ BAC≌△ EAD(ASA)． ∴ BC＝ ED.
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4．如图所示， AB＝ DB，∠ ABD＝∠ CBE，请你 添加一个适当的条件 ∠ BDE＝ ∠ BAC(或 BE＝ BC 或 ∠ ACB＝ ∠ DEB) 即可)． ， 使△ ABC≌△ DBE(只需添加一个
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一、选择题(每小题 4 分，共 56 分) 1．(2013· 长沙)如果一个三角形的两边长分别是 2 和 4，则第三边长可能是( A．2 C．6 B．4 D．8 B )
解析：设第三边长为 x，则 4－2＜x＜4＋2，即 2＜x＜6.故选 B.
考点训练
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【点拨】过点 P 作 PF⊥ BC 于点 F，因为 BD 平分 ∠ ABC， PE⊥ BA， PE＝ 4 cm，所以 PF＝ PE＝ 4 cm. 【答案】 4 方法总结 题目中若有角平分线这一条件，常考虑添加垂线 段，利用角的平分线的性质证明线段相等或计算长度 .
F
考点知识梳理
中考典例精析
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
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【点拨】 本题考查全等三角形的判定与性质的综合 应用． 证明：∵ DE ∥ AB， ∴∠ CAB＝∠ EDA. 在 △ ABC 与△ DAE 中，