寒假七年级第13讲：全等三角形的综合应用

第13讲 全等三角形的综合应用（1）一、新知探索证明思路：几何命题都可以表述成这种形式：A （条件） B （结论） 1、分析法：B （结论） C D …… A （条件）2、翻译法： abA （条件） cB （结论）……z二、典例剖析考点一：基本型的应用例1. 已知：E 是正方形ABCD 边AD 上任意一点，FG⊥BE。

求证：FG=BE 。

证明： 设FG 和BE 交于O做FM ⊥CD 交BE 于N ∵ABCD 是正方形∴AD=AB=FM (1)∠BAE=∠FMG=90° (2)∵FG ⊥BE ∴∠FON=∠FMG=90° ∵∠OFN=∠MFG∴△OFN ∽△MFG∴∠FGM=∠FNO∵FM ∥AD∴∠BEA=∠FNO=∠FGM (3)∴△ABE ≌△MFG(AAS)∴BE=FG【变式】如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．求证：① AE ＝CD ； ② 若AC ＝12 cm ，求BD 的长．（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC ．又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE=CD ；（2）解：由（1）得AE=CD ，AC=BC ，∴△CDB ≌△AEC （HL ），∴BD=EC=BC=AC ，且AC=12．∴BD=6．例2.在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90º,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且AE=CF.(1)求证:Rt △ABE ≌Rt △CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF 度数.A B C D E F G分析：(1) 两个直角三角形中,一组直角边和斜边对应相等,两直角三角形全等,由题, ∠ABC=90º，所以∠CBF=90º,在Rt△ABE和Rt△CBF中, AE="CF," AB=BC,所以Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).(2) 由题,AB="BC," ∠ABC=90°,所以∠CAB=∠ACB=45°,所以∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°,由(1)知道Rt△ABE≌Rt△CBF(HL),所以∠BCF=∠BAE=15°,所以∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.解：(1) ∵∠ABC=90º，∴∠CBF=90º,在Rt△ABE和Rt△CBF中,AE="CF," AB=BC,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).(2) 由题,AB="BC," ∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°,∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°,由(1)知道Rt△ABE≌Rt△CBF(HL),∴∠BCF=∠BAE=15°,∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.变式：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，∴∠EAD=∠EDA=45°，∴AE=DE，∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，∴∠EAB=∠EDC，∵D是AC的中点，∴AD=AC，∵AC=2AB，∴AB=AD=DC，∵在△EAB和△EDC中∴△EAB≌△EDC（SAS），∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，∴BE⊥EC根据AC=2AB，点D是AC的中点求出AB=CD，再根据△ADE是等腰直角三角形求出AE=DE，并求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EC考点二：全等三角形的综合应用例3.已知：点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于点O 。

① 求证：AN=BM② 求: ∠AOB 的度数。

③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 相交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。

例4.如图，A 、B 、C 不在一条直线上时，△ACM,△CBN 都是等边三角形。

AN=BM 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。

例5.已知: 正方形ABCG 和正方形CDEF 有公共顶点C 。

试证：BF=DG例6.已知：如图，AC∥BD，EA 、EB 分别平分∠CAB、∠DBA，CD 过点E 。

法一：证明：解：在△ACE 和△AFE 中AC=AF∠1=∠2AE=AE∴△ACE ≌△AFE （SAS ）∴∠5=∠6 A B C M N O P Q A CB MN A B C D E F G CA E BD∵AC∥BD∴∠C+∠D=180∵∠5+∠6=180∴∠6=∠D在△EFB和△BDE中∠6=∠D∠3=∠4BE=BE∴△EFB≌△EDB（AAS）∴FB=DB∴AC+BD=AF+FB=AB ；法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F∵AC∥BD∴∠F=∠4∵∠3=∠4∴∠F=∠3在△AEF和△AEB中∠5=∠6BE=FE∠4=∠F∴△AEF≌△AEB（AAS）∴AB=AF，BE=FE在△BED和△FEC中∴△BED≌△FEC（ASA）∴BD=FC∴AB=AF=AC+CF=AC+BD。

例7.已知：四边形ABCD是正方形，M为BC上任意一点，MN⊥AM且MN交∠ECD的平分线于N。

求证：AM=MN证明：连接AC交MN于P，过M作MF∥AC交AB于F．则△ABC和△FBM均为等腰直角三角形，BF=BM；又∵BA=BC，∴AF=MC，∵∠AMN=∠ACN=90°，∠APM=∠NPC，∴∠1=∠2．又MF∥AC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3；又∵∠AFM=∠MCN=135°．在△AFM和△MCN中，∠3＝∠1∠AFM＝∠MCNAF＝MC∴△AFM≌△MCN（AAS），∴AM=MN．三、自我亮剑1.如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．证明：∵D是BC边上的中点，∴BD=CD，又∵分别过点B、C作AD延长线及AD的垂线BE、CF，∴CF∥BE，∴∠E=∠CFD，∠DBE=∠FCD∴△BDE≌△CDF，∴CF=BE．2.（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF 交于点O，∠AOF=90°．求证：BE=CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．求GH的长．（3）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．直接写出下列两题的答案：①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH=______；②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH=______（用n的代数式表示）．（1）证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EAB+∠AEB=90°．∵∠EOB=∠AOF=90°，∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF；（2）方法1：如图，过点A作AM∥GH交BC于M，过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，∴EF=BN，GH=AM，∵∠FOH=90°，AM∥GH，EF∥BN，∴∠NO′A=90°，故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM=BN，∴GH=EF=4；方法2：过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，得FM=GN，由（1）得，∠HGN=∠EFM，得△FME≌△GNH，得FE=GH=4．（3）①∵是两个正方形，则GH=2EF=8，②4n．作业第一部分：1.如图，已知ABC △中，45ABC ∠=，是高AD 和BE 的交点，4CD =，则线段DF的长度为（ ）. A ．22 B ． 4 C ．32 D ．422.如图 ，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD =3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（ ）A ．5cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm第二部分：3.如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。

有以下四个结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF ； ③O 为BC 的中点； ④AG ：DE =3：4，其中正确结论的序号是 .（错填得0分，少填酌情给分）第三部分：4.已知：如图,D 是△ABC 的边BC 上的点,且CD=AB,∠ADB=∠BAD,AE 是△ABD 中线, 求证: AC=2AE. B AE CD作AB 中点F ，连接DF ．∵∠ADB=∠BAD ，∴BD=AB ，又∵CD=AB ，∴CD=BD ，即D 为BC 中点，∵F 是AB 中点，∴DF ∥AC 且DF=AC ，又∵AB=BD ，E 、F 分别为BD 、AB 中线，∴DE=AF=AB=BD ，∵∠ADB=∠BAD ，∴∠FAD=∠EDA ，在△ADF 与△ADE 中，AD=AD ∠FAD=∠EDA第3题DE=AF∴△ADF≌△ADE（SAS），∴AE=DF，∴AC=2DF=2AE．课外题1．如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，EF垂直CD于F，EG垂直AD于G，求证：BE=FG．证明：如图，连接DE，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC，∵在△ABE和△ADE中，AB=AD∠BAC=∠DACAE=AE∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE=DE，∵EF⊥CD于F，EG⊥AD于G，∠ADC=90°，∴四边形EFDG是矩形，∴DE=FG，∴BE=FG．已知：如图，D为线段AB上一点（不与点A、B重合），CD⊥AB，且CD=AB，AE⊥AB，BF⊥AB，且AE=BD，BF=AD．（1）如图1，当点D恰是AB的中点时，请你猜想并证明∠ACE与∠BCF的数量关系；（2）如图2，当点D不是AB的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；（3）若∠ACB=α，直接写出∠ECF的度数（用含α的式子表示）．（1）猜想：∠ACE=∠BCF．证明：∵D是AB中点，∴AD=BD，又∵AE=BD，BF=AD，∴AE=BF．∵CD⊥AB，AD=BD，∴CA=CB．∴∠1=∠2．∵AE⊥AB，BF⊥AB，∴∠3=∠4=90°．∴∠1+∠3=∠2+∠4．即∠CAE=∠CBF．∴△CAE≌△CBF．∴∠ACE=∠BCF．…（2）∠ACE=∠BCF仍然成立．证明：连接BE、AF．∵CD⊥AB，AE⊥AB，∴∠CDB=∠BAE=90°．又∵BD=AE，CD=AB，△CDB≌△BAE．…∴CB=BE，∠BCD=∠EBA．在Rt△CDB中，∵∠CDB=90°，∴∠BCD+∠CBD=90°．∴∠EBA+∠CBD=90°．即∠CBE=90°．∴△BCE是等腰直角三角形．∴∠BCE=45°．…同理可证：△ACF是等腰直角三角形．∴∠ACF=45°．…∴∠ACF=∠BCE．∴∠ACF-∠ECF=∠BCE-∠ECF．即∠ACE=∠BCF．…（3）∠ECF的度数为90°-α．…分析：（1）D恰是AB的中点时，则AD是AB的中垂线，则CA=CB，易证∠CAE=∠CBF，则易证△CAE≌△CBF，得到∠ACE=∠BCF；（2）连接BE、AF，则易证△CDB≌△BAE，则△BCE和△ACF都是等腰直角三角形，则∠ACF=∠ECB=45°，即可证得：∠ACE=∠BCF；（3）根据∠ACF=∠ECB=45°，再依据∠ECF=∠ACF-∠ACE=∠ACF-（∠ACB-∠BCE）即可求解．2．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°．求证：BF=AE．（2）如图2，正方形ABCD边长为12，将正方形沿MN折叠，使点A落在DC边上的点E处，且DE=5，求折痕MN的长．（3）已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．直接写出下列两题的答案：①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH=______；②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH=______．（用n的代数式表示）（1）证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EAB+∠AEB=90°．∵∠EOB=∠AOF=90°，∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，在△ABE和△BCF中，∠EAB＝∠FBCAB＝BC∠ABC＝∠C＝90°，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：如图2，连接AE，过点N作NH⊥AD于H，由折叠的性质得，AE⊥NM，∴∠DAE+∠AMN=90°，∠MNH+∠AMN=90°，∴∠DAE=∠MNH，在△ADE和△NHM中，∠DAE＝∠MNHAD＝NH∴△ADE≌△NHM（ASA），∴AE=MN，∵DE=5，∴由勾股定理得，AE==13，∴MN=13；（3）解：如图3、4，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，∵∠FOH=90°，∴∠MFE=∠NAH，又∵∠EMF=∠HNG=90°，∴△EFM∽△HNG，∴GHEF=GNFM，图3，GN=2FM，∴GH=2EF=2×4=8，图4，GN=nFM，∴GH=nEF=4n．故答案为：8，4n．3．如图，D是△ABC的BC边上一点且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：∠C=∠BAE．证明：延长AE到F，使EF=AE，连接DF，∵AE是△ABD的中线∴BE=ED，在△ABE与△FDE中∵BE＝DE∠AEB＝∠DEFAE＝EF∴△ABE≌△FDE（SAS），∴AB=DF，∠BAE=∠EFD，∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD，∴∠BAE+∠EAD=∠BAD，∠BAE=∠EFD，∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD，∴∠ADF=∠ADC，∵AB=DC，∴DF=DC，在△ADF与△ADC中∵AD＝AD∠ADF＝∠ADCFD＝DC∴△ADF≌△ADC（SAS）∴∠C=∠AFD=∠BAE．4.如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．（1）求证：AN=BM；（2）求∠NOB的度数．（3）若把原题中“△ACM和△BCN是两个等边三角形”换成两个正方形（如图），AN与BM 的数量关系如何？请说明理由．（1）证明：∵△ACM、△CBN都是等边三角形，∴AC=CM，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，∴∠ACN=∠BCM，∵在△ACN和△MCB中AC＝CM∠ACN＝∠MCB，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN=MB；（2）∵∠BON=∠AOM，且∠AOM=∠NAB+∠ABM，∴∠BON=∠NAB+∠ABM．∴∠BON=∠CMB+∠ABM．∵∠CMB+∠ABM=∠ACM=60°，∴∠BON=60°．（3）AN=BM，理由如下：∵四边形AFMC和四边形NCBF是正方形，∴AC=CM，∠ACN=∠MCB=90°，CN=CB，在△ACN和△MCB中，AC＝CM∠ACN＝∠MCB＝90°，∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM．5.已知如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交CM于点E，BM 交CN于点F，求证：（1）CE=CF；（2）EF∥AB．证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即：∠ACN=∠MCB，在△CAN和△MCB中，AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，∴△CAN≌△MCB（SAS），∴∠CMB=∠CAN又∵∠ACM=∠MCN=60°，AC=NC∴△ACE≌△MCF∴CE=CF．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN=∠CMB，又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，∴∠MCF=∠ACE，在△CAE和△CMF中，＝∠CMFCA＝CM∠ACE＝∠MCF∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE=CF，∴△CEF为等腰三角形，又∵∠ECF=60°，∴△CEF为等边三角形．∴∠CEF=∠MCA=60°∴EF∥AB6.已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.(1)求证：AN=BM;(2)求证：△CEF为等边三角形证明(1):∵△ACM，△CBN是等边三角形∴AC="MC,BC=NC," ∠ACM="60°," ∠NCB="60°在△CAN和△MCB中AC=MC,∠ACN=∠MCB,NC=" BC"∴△CAN≌△MCB(SAS)∴AN="BM(2) ∵△CAN≌△MCB∴∠CAN=∠MCB又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB="180°-60°-60°=60°"∴∠MCF=∠ACE在△CAE和△CMF中∠CAE=∠CMF,CA=CM,∠ACE=∠MCF∴△CAE≌△CMF(ASA)∴CE="CF" ∴△CEF为等腰三角形,又∵∠ECF="60°"∴△CEF为等边三角形.8.如图，已知点C是AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形．(1)说明AN= MB.(2)将△ACM绕点C按逆时针旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图画出符合要求的图形．(3)在(2)所得到的图形中，结论“AN=BM”是否成立，若成立，说明理由；若不成立，也请说明理由．(4)在(2)所得到的图形中，设AM的延长线与BN相交于点D，请你判断△ABD的形状，并说明你的理由．解：（1）证明：∵△ACM、△CBN都是等边三角形，ACM+ MCN= MCN+ NCB．即ACN= MCB，AC= CM，BC= CN，ACM= MCN= NCB=60°∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM.（2）如图所示：（3）成立理由：∵△ACM，△CBM是等边三角形，∴NCB= ACM，CM =AC，BC= CN，∴△CMＢ≌△CAN∴BM=AN．（4）△ABD为等边三角形，∵NBC= 60°，NAB=CAM =60°．∴ADB= 60°∴△ABD为等边三角形．9．（1）已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，求证：AN=BM，这时可以证明≌，得到AN=BM；（2）如果去掉“点C为线段AB上一点”的条件，而是让△CBN绕点C旋转成图2的情形，还有“AN=BM”的结论吗？如果有，请给予证明．分析：（1）AN=BM，理由为：由△ACM和△CBN都是等边三角形，根据等边三角形的边长相等分别得到边长相等，三个内角相等，由∠ACM和∠NCB相等，两边加上∠MCN，得到∠ACN 与∠MCB相等，利用SAS即可得到三角形ACN与三角形MCB全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；（2）AN=BM，理由为：由△ACM和△CBN都是等边三角形，根据等边三角形的边长相等分别得到边长相等，三个内角相等，由∠ACM和∠NCB相等，两边加上∠MCN，得到∠ACN与∠MCB 相等，利用SAS即可得到三角形ACN与三角形MCB全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．解：（1）相等．证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=CM，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，又∠ACN=∠MCN+∠ACM=∠MCN+60°，∠MCB=∠MCN+∠BCN=∠MCN+60°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中AC=MC∠ACN=∠MCBCN=CB∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN=BM；（2）相等．证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=CM，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，又∠ACN=∠MCN+∠ACM=∠MCN+60°，∠MCB=∠MCN+∠BCN=∠MCN+60°，在△ACN和△MCB中AC=MC∠ACN=∠MCBCN=CB∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN=BM．10、已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN=BM；（2）求证：△CEF为等边三角形；（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．分析：（1）可通过全等三角形来得出简单的线段相等，证明AN=BM，只要求出三角形ACN 和MCB全等即可，这两个三角形中，已知的条件有AC=MC，NC=CB，只要证明这两组对应边的夹角相等即可，我们发现∠ACN和∠MCB都是等边三角形的外角，因此它们都是120°，这样就能得出两三角形全等了．也就证出了AN=BM．（2）我们不难发现∠ECF=180-60-60=60°，因此只要我们再证得两条边相等即可得出三角形ECF是等边三角形，可从EC，CF入手，由（1）的全等三角形我们知道，∠MAC=∠BMC，又知道了AC=MC，∠MCF=∠ACE=60°，那么此时三角形AEC≌三角形MCF，可得出CF=CE，于是我们再根据∠ECF=60°，便可得出三角形ECF是等边三角形的结论．（3）判定结论1是否正确，也是通过证明三角形ACN和BCM来求得．这两个三角形中MC=AC，NC=BC，∠MCB和∠ACN都是60°+∠ACB，因此两三角形就全等，AN=BM，结论1正确．根据图1，当把MC逆时针旋转90°后，AC也旋转了90°，因此∠ACB=90°，很显然∠FCE ＞90°，因此三角形FCE绝对不可能是等边三角形．证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即：∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，∴△ACN≌△MCB（SAS）．∴AN=BM．（2）∵△CAN≌△MCB，∴∠CAN=∠CMB．又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，∴∠MCF=∠ACE．在△CAE和△CMF中∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，∴△CAE≌△CMF（ASA）．∴CE=CF．∴△CEF为等腰三角形．又∵∠ECF=60°，∴△CEF为等边三角形．（3）如右图，∵△CMA和△NCB都为等边三角形，∴MC=CA，CN=CB，∠MCA=∠BCN=60°，∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB，即∠MCB=∠ACN，∴△CMB≌△CAN，∴AN=MB，结论1成立，结论2不成立．11.如图所示，已知△ACM和△CBN都是等边三角形，点A、C、B在同一直线上，连接AN、MB．（1）求证：AN=BM．（2）若等边三角形CBN绕顶点C顺时针旋转后（旋转角），此时AN与BM是否还相等?若相等，给出证明；若不相等，说明理由．（1）证明：在三角形ACM和NCB中，因为，△ACM和△CBN是等边三角形，所以，AC=MC，CB=CN．∠ACM=∠NCB=60°，∠MCN=60°，∠ACN=∠MCB=120°．所以△ACN≌△MCB．所以，AN=BM．（2）AN与BM相等．旋转角为，当时，如下图因为，△ACM和△CBN是等边三角形，所以，AC=MC，CB=CN．∠ACN=60°+∠MCN∠MCB=60°+∠MCN∠ACN=∠MCB．所以，△ACN≌△MCB．所以，AN=BM．当时，A、C、N三点共线，M、C、B三点共线，AN=AC+CN，BM=MC+CB=AC+CN所以，AN=BM．当时，如下图，因为，△ACM和△CBN是等边三角形，所以，AC=MC，CB=CN．∠ACN=60°+∠ACB．∠MCB=60°+∠ACB∠ACN=∠MCB．∴△ACN≌△MCB∴AN=BM．12、已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，可以说明：△ACN ≌△MCB，从而得到结论：AN=BM．现要求：（1）将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上．请对照原题图在下图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所得到的图形中，结论“AN=BM”是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）在（1）所得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并说明你的结论的正确性．分析：（1）可以C为圆心以CA为半径，画弧交BC于A，然后分别以C，A为圆心，以CA 长为半径，画弧在BC下方交于M连接CM，AM，三角形ACM就是所求的三角形．（2）还成立，可通过证明三角形ACN和BCM来实现，这两个三角形中，CN=BC，CA=CM，这两组对应边的夹角都等于60°，因此两三角形全等，即可得出AN=BM．（3）MA的延长线与BN相交于D点，那么对顶角DAB和CAM都应该是60°，∠NBC也是60°，那么三角形ABD是等边三角形．∠DAB=∠NCB=60°，因此MD∥CN，∠MCB=∠NBC=60°，因此CM∥NB，因此四边形CMDN就是个平行四边形．证明：（1）如下图．（2）结论“AN=BM”还成立．证明：∵CN=CB，∠ACN=∠MCB=60°，CA=CM，∴△ACN≌△MCB．∴AN=BM．（3）△ABD是等边三角形，四边形MDNC是平行四边形，证明：∵∠DAB=∠MAC=60°，∠DBA=60°，∴∠ADB=60°．∴△ABD是等边三角形，∵∠ADB=∠AMC=60°，∴ND∥CM，∵∠ADB=∠BNC=60°∴MD∥CN∴四边形MDNC是平行四边形．13如图，已知点E为正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，延长DG交AB于点F．求证：BF=CE．证明：在正方形ABCD中，∠DAF=∠ABE=90°，DA=AB=BC，∵DG⊥AE，∴∠FDA+∠DAG=90°．又∵∠EAB+∠DAG=90°，∴∠FDA=∠EAB．在Rt△DAF与Rt△ABE中，DA=AB，∠FDA=∠EAB，∴Rt△DAF≌Rt△ABE．∴AF=BE．∵AB=BC，∴BF=CE．14、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上．（1）如图1，连接DF、BF，证明：BF=DF；（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，在旋转的过程中线段DF与BF的长还相等吗？若相等，请证明；若相不等，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等．并以图2为例说明理由．分析：（1）根据已知证明△DGF≌△BEF．（2）观察DG的位置，找包含DG的三角形，要使两条线段相等，只要找到与之全等的三角形，即可找到与之相等的线段．解答：（1）证明：∵四边形AEFG是正方形∴GF=EF=AG=AE∠DGF=∠BEF=90°∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB∴AD-AG=AB-AE即DG=BE∴△DGF≌△BEF∴BF=DF（2）BF≠DE 连接BE 有BE=DG 理由如下：∵∠DAB=∠GAE=90°∴∠DAG=∠BAE又AD=AB AG=AE∴△DAG≌△BAE∴BE=DG ．。