人教a版高中数学选修1-1课堂10分钟达标练 3.4 生活中的优化问题举例 探究导学课型 word版含答案
2020-2021学年人教A版数学选修1-1配套学案：3.4 生活中的优化问题举例含答案
3.4生活中的优化问题举例内 容 标 准学 科 素 养 1.了解导数在解决实际问题中的作用．2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.利用数据分析 提升数学建模 及逻辑推理[基础认识]知识点生活中的优化问题预习教材P 101－103，思考并完成以下问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具．本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．某厂家计划用一种材料生产一种盛500mL 溶液的圆柱形易拉罐． (1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？ (2)如何制作使用材料才能最省？ 提示：(1)计算出圆柱的表面积即可．(2)要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x ，列出圆柱表面积S ＝2πx 2＋1000x(x >0)，求S 最小时，圆柱的半径、高即可．知识梳理(1)利用导数解决生活中优化问题的基本思路 (2)解决优化问题的基本步骤①分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；②求导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；③比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值； ④依据实际问题的意义给出答案．[自我检测]1．已知某厂家生产某种产品的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋36x ＋126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．11万件B ．9万件C ．7万件D ．6万件 答案：D2．用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )A ．2 m 3B ．3 m 3C ．4 m 3D ．5 m 3答案：B授课提示：对应学生用书第72页 探究一几何中的最值问题[阅读教材P 101例1]学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2，上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？题型：几何中的最值问题． 方法步骤：①设出版心的高为x ， 得出版心的宽为128x .②建立目标函数S ＝f (x )． ③利用导数求出函数的最小值．[例1]请你设计一个包装盒如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x 应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V 最大，则x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解析](1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ， 高为2(30－x )cm,0<x <30， 所以包装盒侧面积为 S ＝42x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )≤8×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋30－x 22＝8×225，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x ＝15. (2)包装盒容积V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)，所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)． 令V ′>0，得0<x <20； 令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为202cm ，高为102cm ，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.方法技巧面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．跟踪探究1.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．(1)将S 表示为θ的函数；(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积． 解析：(1)BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)． 则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)． (2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)． 令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.当θ变化时，S ′，S 的变化情况如下表：S ′ ＋0 － S极大值所以，当θ＝π3时，S 取得最大值S max ＝37503m 2，此时AB ＝150m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150m.探究二实际生活中的最值问题[教材P 104习题3.4A 组6题]已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系为C ＝100＋4q ，单价p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q .求产量q 为何值时，利润L 最大？解析：利润L ＝pq －C ＝⎝⎛⎭⎫25－18q q －(100＋4q ) ＝－18q 2＋21q －100(0<q <200)，∴L ′＝－14q ＋21.令L ′＝0，得q ＝84.当q ∈(0,84)时，L ′>0；当q ∈(84,200)时，L ′<0. ∴当产量q 为84时，利润L 最大． 产量为84时，利润L 最大．[例2]某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？[解析](1)若商品降低x 元，则一个星期多卖的商品为kx 2件． 由已知条件，得k ·22＝24，解得k ＝6. 若记一个星期的商品销售利润为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋6x 2)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9072，x ∈[0,21]． (2)对(1)中函数求导得f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x 0 (0,2) 2 (2，12) 12 (12，21) 21 f ′(x )－＋－∵f (0)＝9072，f (12)＝11664，∴定价为30－12＝18(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大．方法技巧利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．跟踪探究2.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)解析：(1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，又设由此获得的收益是g (x )(百万元)，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，∴g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0<x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0，∴当x ＝2时，g (x )取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大.授课提示：对应学生用书第73页[课后小结]正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．[素养培优]解决实际优化问题时忽略定义域甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为b (b >0)，固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域． (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？易错分析解决实际应用问题时，要注意问题中某些关键量的实际限制条件或隐含条件．若忽视这些限制条件或隐含条件导致最值错误．考查数据分析及数学运算．自我纠正 (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv ，全程运输成本为 y ＝a ·s v ＋b v 2·s v＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋b v ， 故所求函数及其定义域为y ＝s ⎝⎛⎭⎫av ＋b v ，v (0，c ]．(2)由题意知s ，a ，b ，v 均为正数． 由y ′＝s ⎝⎛⎭⎫b －av 2＝0，得v ＝ab，v ∈(0，c ]． ①若ab ≤c ，则v ＝ab是极值点， 即当v ＝ab时，全程运输成本y 最小． ②若ab>c 因为v ∈(0，c ]，此时y ′<0，则函数在(0，c ]上为减函数，所以当v ＝c 时，y 最小．综上所述，为使全程运输成本y 最小，当ab ≤c 时，行驶速度v ＝ab ；当ab>c 时，行驶速度v ＝c .。
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：3-4《生活中的优化问题举例》
(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数
关系式； (2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？
[解析] (1)由意可知次品率 p＝日产次品数/日产量，
每天生产 x 件，次品数为 xp，正品数为 x(1－p)． 3x 因为次品率 p＝ ，当每天 x 件时， 4x＋32
3x 3x 有 x· 件次品，有 x1－4x＋32 件正品． 4x＋32
a 时， y ′≤ 0 ； v ∈ b
a 时，y′≥0.所以 ， c b
ab 当 v＝ b 时，全程运输成本 y 最小．
ab ②若 >c，v∈(0，c]，此时 y′<0，即 y 在(0，c] b 上为减函数． 所以当 v＝c 时，y 最小． 综上可知，为使全程运输成本 y 最小． ab ab ab 当 b ≤c 时，行驶速度 v＝ b ；当 b >c 时，行 驶速度 v＝c.
答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的
体积最大，最大容积为16000cm3.
[点评] 在解决实际应用问题中，如果函数在区间内 只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还 是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．
已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物 线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的 长和宽． [解析] 如图所示，设出AD的长，进而求出AB，表示
[例3] 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入
成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，
本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投 入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出 厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知 年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售
2018年秋人教A版高二数学选修1-1课件：第三章 3.4生活中的优化问题举例 (共76张PPT)
高中数学人教A版选修1-1课件：3.4《生活中的优化问题举例》课时1
２.半径为６cm时，利润最大。
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16
换一个角度: 如果我们不用导 数工具,直接 从函数的图象(图 1.4 4)上观察,你有什么发现?
从 图象上容易看出,当 r 3 时,
f3 0,即瓶子半径是3cm 时,
饮料的利润与饮料瓶的成本恰 好相等;当r 3时,利润才为正值.
A h
B b
ED
600 C
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23
解：由梯形面积公式，得 S= 1 (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC，
2
DE= 3 h,BC=b∴AD= 2 3 h+b, A
ED
3
3
h
∴S= 1 ( 2 3 h 2b)h ( 3 h b)h ①
23
3
B
b
∵CD= h 2 h ,AB=CD.∴l= 2 h ×2+b②
当r 0,2时,fr是减函数,你能
解释它的实际意义吗?
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y
23
o
r
图1.4-4
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由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。
解决优化问题的一般步骤：
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论， 找出问题的主要关系；
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
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练习1.一条长为 l 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，
(人教)高中数学选修1-1【精品课件】3-4 生活中的优化问题举例
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
问题导学
当堂检测
例 1 请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再 沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四 棱柱形状的包装盒.E,F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边 的两个端点.设 AE=FB=x(cm).
(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2 )最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出 此时包装盒的高与底面边长的比值.
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2.请设计一个帐篷,它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱,上部的形 状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥(如图所示),试问当帐篷的顶点 O 到底面 中心 O1 的距离为多少时,帐篷的体积最大?
解:设 OO1 为 x m,则 1<x<4. 由题设可得正六棱锥底面边长为(单位:m) 32 -(x-1) =
3 4
2
8 + 2������-������ 2.于是底面正六边形的面积为(单位:m2)
3 3 (8+2x-x2). 2
6· ·( 8 + 2������-������ 2)2=
人教版高中数学选修1-1《3.4生活中的优化问题举例》
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装满为止，最终解释权归本店所有
三、探究新知
用边长为30cm的正方形包装纸的四角切去相等的正方 形，再把它的边沿虚线折起，做成一个装蛋糕的容器， 思考：如何设计容器的高和底边长，使得容器能装蛋糕 的体积最大？最大体积是多少？
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如何求容器的体积的最大值
转化：把求容器的体积最大值的问题
四周空白面积为：
128 S ( x 4)( 2) 128, x x的范围是： x 0
如何来表示海报的空白面积
2dm
转化：把求海报空白面积的最小值转
x + 4
128dm2
128 化为求函数 S ( x 4)( 2) 128, x 0 x 的最小值问题。 128 S ( x 4)( 2) 128, x 0 x 512 128 2 x 8 128 x
V(x)＝(30－2x)2·x
(0<x<15)
＝4x3－120x2＋900x.
∴V′(x)＝12x2－240x＋900， ∴当x＝5时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值． 令V′(x)＝0，得x＝5，或x＝15(舍去) 答：当容器的高为 5cm，底面边长为 20cm时，所做的容器 当0<x<5时，V′(x)>0，当5<x<15时，V′(x)<0. 能装最多的蛋糕。
答：当版心高为16dm,宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
五、变式训练
一条长为l的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个 正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度分 别是多少？ 解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x, 其中0<x<l
则两个正方形面积和为：
高中数学人教版A版选修1-1学案：3.4 生活中的优化问题举例
[学习目标]1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.知识点一优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.知识点二利用导数解决生活中优化问题的基本思路优化问题→用函数表示的数学问题优化问题的答案←用导数解决的数学问题知识点三解决优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值；(4)依据实际问题的意义给出答案.题型一用料最省问题例1如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解如题图，由题意知，只有点C 位于线段AD 上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C 距点D 为x km ，则BC ＝BD 2＋CD 2＝x 2＋402，又设总的水管费用为y 元，依题意有y ＝3a (50－x )＋5a x 2＋402(0<x <50). ∴y ′＝－3a ＋5axx 2＋402.令y ′＝0，解得x ＝30.在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x ＝30km 处取得最小值，此时|AC |＝50－x ＝20 (km).∴供水站C 建在A 、D 之间距甲厂20km 处，可使水管费用最省.反思与感悟用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.跟踪训练1某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8m 2，问：x ，y 分别是多少时用料最省？(精确到0.001m)解依题意，有xy ＋12·x ·x2＝8，∴y ＝8－x 24x ＝8x －x4(0＜x ＜42)，于是框架用料长度为 l ＝2x ＋2y ＋2⎝⎛⎭⎫2x 2＝⎝⎛⎭⎫32＋2x ＋16x . l ′＝32＋2－16x2＝0，解得x 1＝8－42，x 2＝42－8(舍去).当0＜x ＜8－42时，l ′＜0；当8－42＜x ＜42时，l ′＞0，∴当x ＝8－42时，l 取得最小值.此时，x ＝8－42≈2.343m ，y ≈2.828m.即当x 为2.343m ，y 为2.828m 时，用料最省.题型二面积、容积的最值问题例2如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18000，由此得y ＝18000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫18000x －20＋25＝18000xx －20＋25x ， ∴S ′＝18000[(x －20)－x ](x －20)2＋25＝－360000(x －20)2＋25. 令S ′>0得x >140，令S ′<0得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S (x )的最小值为S (140). 当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24500，故当广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小.反思与感悟(1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值. (2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；④求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案.跟踪训练2如图，在二次函数f (x )＝4x －x 2的图象与x 轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD ，求这个矩形的最大面积.解设B (x,0)(0＜x ＜2)，则A (x,4x －x 2). 从而|AB |＝4x －x 2，|BC |＝2(2－x ). 故矩形ABCD 的面积为S (x )＝|AB |·|BC | ＝2x 3－12x 2＋16x (0＜x ＜2). S ′(x )＝6x 2－24x ＋16，令S ′(x )＝0，得x 1＝2＋233，x 2＝2－233.∵x 1∉(0,2)，∴x 1舍去.∴当x ＝2－233时，S max ＝3239.因此，当点B 为⎝⎛⎭⎫2－233，0时，矩形的最大面积是3239.题型三成本最省，利润最大问题例3甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为b (b >0)；固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为sv ，全程运输成本为 y ＝a ·s v ＋b v 2·s v ＝s (a v ＋b v )，∴所求函数及其定义域为y ＝s (av ＋b v )，v ∈(0，c ] (2)由题意s 、a 、b 、v 均为正数. y ′＝s (b －av 2)＝0得v ＝ab，v ∈(0，c ]. ①若ab≤c ，则当v ＝ab时，全程运输成本y 最小； ②若ab>c ，则v ∈(0，c ]， 此时y ′<0，即y 在(0，c ]上为减函数. 所以当v ＝c 时，y 最小.综上可知，为使全程运输成本y 最小， 当ab≤c 时，行驶速度v ＝a b； 当ab>c 时，行驶速度v ＝c . 反思与感悟正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路.另外需注意： ①合理选择变量，正确给出函数关系式. ②与实际问题相联系.③必要时注意分类讨论思想的应用.跟踪训练3某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解(1)若商品降低x 元，则一个星期多卖的商品为kx 2件. 由已知条件，得k ·22＝24，解得k ＝6.若记一个星期的商品销售利润为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋6x 2)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9072，x ∈[0,21].(2)对(1)中函数求导得f ′(x )的变化情况如下表：↗↘∴x ＝12时，f (x )取得极大值. ∵f (0)＝9072，f (12)＝11664，∴定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.分类讨论思想的应用例4某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3m 3，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元，设该容器的建造费用为y 千元.(1)写出y 出关于r 的函数关系式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r .分析首先根据容积(体积)求出r ，l 的关系，即用r 表示l ，根据l ≥2r ，即可求出r 的取值范围，根据一个圆柱的侧面积和一个球的表面积公式建立建造费用y 关于r 的函数关系式，然后利用导数求解这个函数的极值点，通过讨论极值点与r 的取值范围之间的关系求得容器建造费用最小时r 的值.解(1)设容器的容积为V ，由题意，知V ＝πr 2l ＋43πr 3.又因为V ＝80π3，所以l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝⎛⎭⎫20r 2－r . 由于l ≥2r ，故0＜r ≤2. 所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43⎝⎛⎭⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c . 所以y 关于r 的函数关系式为y ＝4π(c －2)r 2＋160πr ，该函数的定义域为(0,2]. (2)由(1)，得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2＝8π(c －2)r 2⎝⎛⎭⎫r 3－20c －2，0＜r ≤2. 由于c ＞3，所以c －2＞0. 当r 3－20c －2＝0时，r ＝320c －2.令320c －2＝m ，则m ＞0. 所以y ′＝8π(c －2)r 2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2). ①当0＜m ＜2，即c ＞92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′＜0； 当r ∈(m,2]时，y ′＞0.所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点. ②当m ≥2，即3＜c ≤92时，当r ∈(0,2]时，y ′≤0，函数单调递减， 所以r ＝2是函数y 的最小值点.综上所述，当3＜c ≤92时，建造费用最小时r ＝2(m)；当c ＞92时，建造费用最小时r ＝320c －2(m).解后反思在求解本题时，要特别注意函数的定义域，即r 的取值范围(0,2].因为由y ′＝0解得的r 值320c －2不一定在定义域(0,2]内，所以需分类讨论.1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A.8B.203C.－1D.－8 答案C解析原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时底面边长为() A.3V B.32V C.34V D.23V 答案C解析设底面边长为x ， 则表面积S ＝32x 2＋43xV (x >0). ∴S ′＝3x2(x 3－4V ).令S ′＝0，得x ＝34V .3.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为() A.13万件B.11万件 C.9万件D.7万件 答案C解析因为y ′＝－x 2＋81，所以当x ＞9时，y ′＜0；当x ∈(0,9)时，y ′＞0.所以，函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增.所以x ＝9是函数的极大值点.又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点， 所以函数在x ＝9处取得最大值.4.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r 与年产量x 的关系是r ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000， x ＞400，则总利润最大时，年产量是()A.100B.150C.200D.300 答案D解析设年产量为x 时，总利润为y ，依题意，得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－20000－100x ，0≤x ≤400，80000－20000－100x ，x ＞400， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －12x 2－20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x ＞400，所以y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0＜x ＜400，－100，x ＞400，由y ′＝0，得x ＝300.经验证，当x ＝300时，总利润最大.5.用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5m ，则当高为________m 时，容器的容积最大. 答案1解析设高x m ，则V ＝x (x ＋0.5)⎝⎛⎭⎫14.84－0.5－2x ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，x ∈(0,1.6)， 所以V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令V ′＝0，解得x ＝1或x ＝－415(舍去).当0＜x＜1时，V′＞0，当1＜x＜1.6时，V′＜0，所以当x＝1时，容器的容积取得最大值.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.。
最新精编高中人教A版选修1-1高中数学强化训练3.4生活中的优化问题举例和答案
§3.4 生活中的优化问题举例课时目标 通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________，通过前面的学习，我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具，运用________，可以解决一些生活中的______________．2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值．3．解决优化问题的基本思路是：用函数表示的数学问题→用函数表示的数学问题 ↓优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的_________ _过程．一、选择题1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2 (0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．其他2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )A ．32米，16米B ．30米，15米C ．40米，20米D ．36米，18米4．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( )A ．3VB ．32VC ．34VD ．23V 5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( ) A ．33 cm B ．1033 cmC ．1633 cmD ．2033cm6．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r 与年产量x 的关系是r ＝⎩⎨⎧400x －12x 2xx ，则总利润最大时，年产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300二、填空题7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．8．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________．9．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．三、解答题10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？11．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？能力提升12．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)13．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－18q，求产量q为何值时，利润L最大．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤．(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)写出答案．§3.4 生活中的优化问题举例答案知识梳理1．优化问题 导数 导数 优化问题 作业设计1．B [V ′(x )＝60x －32x 2＝0，x ＝0或x ＝40.可见当x 2．C [y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍去)．当0<x <9时，y ′>0；当x >9时，y ′<0，故当x ＝9时，函数有极大值，也是最大值．]3．A [要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x 米，则长为512x米，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x(x >0)，则L ′＝2－512x 2.令L ′＝0，得x ＝±16.∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．]4．C [设底面边长为a ，直三棱柱高为h . 体积V ＝3a 2h ，所以h ＝4V 3a2， 表面积S ＝2·34a 2＋3a ·4V 3a2＝32a 2＋43Va ， S ′＝3a －43Va 2，由S ′＝0，得a ＝34V .经验证，当a ＝34V 时，表面积最小．]5．D [设高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ， 体积V ＝π3x ·(202－x 2) (0<x <20)，V ′＝π3(400－3x 2)，由V ′＝0，得x ＝2033或x ＝－2033(舍去)．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2033时，V ′>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2033，20时，V ′<0，所以当x ＝2033时，V 取最大值．]6．D [由题意，总成本为c ＝20 000＋100x ， 所以总利润为p ＝r －c＝⎩⎨⎧300x －x 22－20 000x60 000－100x x，p ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x x －x，p ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300； 当x >400时，p ′<0恒成立， 易知当x ＝300时，总利润最大．] 7．5解析 依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离．于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝－20x 2＋45＝0得x ＝5(x ＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 8．1∶1解析 设窗户面积为S ，周长为L ，则S ＝π2x 2＋2hx ，h ＝S 2x －π4x ，所以窗户周长L ＝πx ＋2x ＋2h ＝π2x ＋2x ＋S x ，L ′＝π2＋2－Sx 2.由L ′＝0，得x ＝2Sπ＋4，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， 2S π＋4时，L ′<0， x ∈⎝⎛⎭⎪⎫ 2Sπ＋4，＋∞时，L ′>0，所以当x ＝2Sπ＋4时，L 取最小值， 此时h x ＝2S －πx 24x 2＝2S 4x 2－π4＝π＋44－π4＝1.9．3解析 设半径为r ，则高h ＝27ππr 2＝27r 2.∴水桶的全面积S (r )＝πr 2＋2πr ·27r2＝πr 2＋54πr.S ′(r )＝2πr －54πr2，令S ′(r )＝0，得r ＝3.∴当r ＝3时，S (r )最小．10．解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝mx－1 (0<x <m )，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋mx(2＋x )x＝256m x＋m x ＋2m －256 (0<x <m )．(2)由 (1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．11．解 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则依题意有f (x )＝(30－x －9)·(432＋kx 2) ＝(21－x )·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k ·22，于是有k ＝6， 所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]． (2)根据(1)，有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：极小值30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．12．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N *)，f ′(x )＝48－10 800x2，令f ′(x )＝0得x ＝15. 当x >15时，f ′(x )>0； 当0<x <15时，f ′(x )<0.因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．13．解 收入R ＝q ·p ＝q ⎝ ⎛⎭⎪⎫25－18q ＝25q －18q 2.利润L ＝R －C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25q －18q 2－(100＋4q )＝－18q 2＋21q －100 (0<q <200)，L ′＝－14q ＋21，令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，解得q ＝84.因为当0<q <84时，L ′>0； 当84<q <200时，L ′<0， 所以当q ＝84时，L 取得最大值． 所以产量q 为84时，利润L 最大．。
高二数学选修1、3-4生活中的优化问题举例
A 版 数 学
当140＋0ππ<x<100 时 S′>0，
∴当 x＝41＋00ππ时 S′取极小值，这个极小值也就是函数
的最小值，
故当弯成圆的铁丝长为140＋0ππcm 时，面积之和最小．
第三章 导数及其应用
[点评] 该题中涉及的量较多，一定要通过建立各个
量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．
成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分
与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分
人 教
A
为a元．
版 数
学
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，
并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
第三章 导数及其应用
[误解] (1)依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．
本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模
型．
人
解决最优化问题的关键是建立函数模型，因此需先审
教 A
版
清题意，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设
数 学
定所求最大值或最小值的因变量y与自变量x，把实际问题
时间为vs，全程运输成本为 y＝a·vs＋bv2·vs＝sav＋bv，所求
人
函数及其定义域为 y＝sav＋bv，v∈(0，c]．
教 A 版 数
学
(2)由题意知 s、a、b、v 均为正数，
由 y′＝sb－va2＝0 得 v＝± ab，又 0<v≤c，所以当
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课堂10分钟达标练
1.某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2(0
A.30 B.40 C.50 D.20
【解析】选B.V′(x)=60x-x2=0,x=0或x=40.
x (0,40) 40 (40,60)
V′(x) + 0 -
V(x) 单调递增↗ 极大值 单调递减↘
可见当x=40时,V(x)达到最大值.
2.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为
y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 ( )
A.13万件 B.11万件
C.9万件 D.7万件
【解析】选C.y′=-x2+81,令y′=0,解得x=9或x=-9(舍去),当0
<0.所以当x=9时,y取得最大值.
3.甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位:年)的函数关系如图所示.
( )
现有下列四种说法:
①前四年该产品产量增长速度越来越快;
②前四年该产品产量增长速度越来越慢;
③第四年后该产品停止生产;
④第四年后该产品年产量保持不变.
其中说法正确的有 ( )
A.①④ B.②④ C.①③ D.②③
【解析】选B.增长速度是产量对时间的导数,即图象中切线的斜率.由图象可知,②④是正确
的.
4.把长60cm的铁丝围成矩形,当长为________cm,宽为________cm时,矩形面积最大.
【解析】设长为xcm,则宽为(30-x)cm,所以面积S=x(30-x)=-x2+30x,
由S′=-2x+30=0,得x=15,30-x=15.
答案:15 15
5.做一个无盖的圆柱形水桶,若需其体积是27π,且用料最省,则此时圆柱的底面半径为多
少?
【解析】设底面半径为r,则高h=.
所以S=2πr·h+πr2=2πr·+πr2=+πr2,S′=2πr-,令S′=0,得r=3.
经验证,当r=3时,S最小.
因此,圆柱的底面半径为3时用料最省.
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