选修2-2 第二章 推理与证明知识方法总结
人教版高中数学选修2-2知识点汇总
人教版高中数学必修2-2知识点第一章导数及其应用一.导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像，我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3.导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数.()y f x =的导函数有时也记作y '，即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.基本初等函数的导数公式：若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；若()f x x α=，则1()f x x αα-'=；若()sin f x x =，则()cos f x x'=若()cos f x x =，则()sin f x x '=-；若()x f x a =，则()ln x f x a a'=若()x f x e =，则()xf x e '=若()log x a f x =，则1()ln f x x a '=若()ln f x x =，则1()f x x '=2.导数的运算法则[()()]()()f xg x f x g x '''±=±[()()]()()()()f xg x f x g x f x g x '''∙=∙+∙2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=3.复合函数求导()y f u =和()u g x =，称则y 可以表示成为x 的函数，即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况；求函数()y f x =的极值的方法是：如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极小值；3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系；求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识，求函数的最大(小)值，从而解决实际问题第二章推理与证明1.归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。
_高中数学第二章推理与证明2
跟踪练习
(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相 加 得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
人教版 选修2-2
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明 命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明 ，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式 的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出 发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式；
2019-2020学年高中数学选修2-2第二章推理科与证明章末复习讲义
第二章推理与证明知识系统整合规律方法收藏1.图形中的归纳推理问题主要涉及某些固定图形的个数，所以常常需要转化成数列问题来求解，常用的思路有两种：(1)直接查个数，找到变化规律后再猜想；(2)观察图形的变化规律.2.探索性问题是数学中的一类重要问题，如探讨数列的通项、前n 项和、立体几何、解析几何中的性质等，在处理时，先采用合情推理猜想、再采用演绎推理的论证方法.3.对于较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“结论”，还是由“结论”靠向“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析或综合显得较为困难．为保证探索方向准确且过程快捷，人们又常常把分析与综合两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．把分析法与综合法两者结合起来进行思考，寻求问题的解答途径的方式就是人们通常所说的分析综合法，也就是常说的“两路夹攻，一攻就通”的证明思路.4.解决数学中的证明问题，既要掌握常用的证明方法的思维过程、特点，又要有牢固的数学基础知识．另外，还应掌握证明的一些常用方法与技巧，证明常用的方法与技巧有以下几种：(1)换元法．换元法是结构较为复杂且量与量之间的关系不甚明了的命题，通过恰当地引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结果，使其转化为便于研究的形式．常见的有代数换元与三角换元．在应用换元法时，要注意新变量的取值范围，即代换的等价性.换元法步骤：①设元(或构造元)――→ 转化②求解――→ 等量③回代――→ 等价原则④检验(2)放缩法．放缩法常用于证明不等式．欲证A ≥B ，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得B ≤B 1，B 1≤B 2，…，B i ≤A 或A ≥A 1，A 1≥A 2，…，A i ≥B ，再利用传递性，以达到证明的目的，这种方法叫放缩法．应用放缩法时，放缩目标必须确定，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，常用的放缩方法有增项、减项或利用分式的性质、不等式性质、已知不等式、函数的性质等.其放缩技巧主要有以下几种：①添加或舍去一些项，如： a 2＋1>|a |；n n ＋1>n ；②将分子或分母放大(或缩小) 当a ，b ，c >0时，a b ＋c ＋b a ＋c ＋ca ＋b >a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋c ＋ca ＋b ＋c；③利用基本不等式，如：lg 3·lg 5<⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3＋lg 522＝lg 15<lg 16＝lg 4；④利用常用结论 ⅰ.1k的放缩：2k ＋k ＋1<22k <2k ＋k －1；ⅱ.1k 2的放缩(a)：1kk ＋1<1k 2<1k k －1(程度大)； ⅲ.1k 2的放缩(b)：1k 2<1k 2－1＝1k ＋1k －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1(程度小)；ⅳ.1k2的放缩(c)：1k 2<44k 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1－12k ＋1(程度更小)；ⅴ.分式放缩还可利用真(假)分数的性质：b a >b ＋m a ＋m (b >a >0，m >0)和b a <b ＋ma ＋m(a >b >0，m >0). (3)判别式法．判别式法是根据已知或构造出来的一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出结论的方法．利用判别式法证明时，应先将问题转化为与二次三项式相关的问题，再利用判别式法求解，要注意二次项系数是否为零.此外还有导数法、添项法、几何法、构造函数法等. 5.用数学归纳法证题的步骤(1)证明当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1或n 0＝2)时结论正确.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时结论也正确. 在完成了这两个步骤以后，就可以断定结论对于从n 0开始的所有正整数n 都正确. 应用数学归纳法证明时要注意以下几点：(1)步骤要完整、规范，即“两步一结论”缺一不可，且第二步证明一定要用到归纳假设. (2)n 的第一个值n 0应根据具体问题来确定.(3)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，并不一定都是证明n ＝k ＋1时结论也正确．如用数学归纳法证明“当n 为正偶数时x n－y n能被x ＋y 整除”，第一步应验证n ＝2时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成假设当n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋2时，命题也成立.(4)用数学归纳法可证明有关正整数的问题，但并不是所有的正整数问题都可以用数学归纳法证明的．例如：用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n (n ∈N *)的单调性就难以实现.一般来说，从n ＝k 时的情形过渡到n ＝k ＋1的情形时，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难．做题时要注意具体问题具体分析.学科思想培优一、归纳推理和类比推理的应用例1 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A.289 B ．1024 C ．1225 D ．1378[解析] 由图形可得三角形数构成的数列通项a n ＝n2(n ＋1)，正方形数构成的数列通项b n ＝n 2，则由b n ＝n 2(n ∈N *)可排除D.又由a n ＝n 2(n ＋1)，当a n ＝289时，即验证是否存在n ∈N *，使得n (n ＋1)＝578，经计算n 不存在；同理，依次验证，有1225×2＝49×50，且352＝1225，故选C.[答案] C 拓展提升解决此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，注意抽象出的是数列的哪类公式.例2 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________.[解析] 在进行类比推理时，应该注意平面图形中的点、线分别与空间图形中的线、面类比；平面图形的长度、面积分别与空间图形中的面积、体积类比，结论易得.[答案] S 21＋S 22＋S 23＝S 24 拓展提升类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、类比、归纳而得出结论．通常情况下，平面图形的边长、面积往往类比空间几何体的面积、体积.二、演绎推理的应用例3 将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)所有偶数都能被2整除，0 是偶数，所以0能被2整除；(2)循环小数是有理数，0.332·是循环小数，所以0.332·是有理数； (3)通项公式a n ＝2n ＋3的数列{a n }为等差数列； (4)函数f (x )＝x 3是奇函数.[解] (1)所有偶数都能被2整除，(大前提) 0是偶数，(小前提) 0能被2整除．(结论)(2)循环小数是有理数，(大前提)0.332·是循环小数，(小前提)0.332·是有理数．(结论)(3)数列{a n }中，如果当n ≥2时，a n －a n －1为常数，则{a n }为等差数列，(大前提) 通项公式a n ＝2n ＋3时，若n ≥2，则a n －a n －1＝2n ＋3－[2(n －1)＋3]＝2(常数)，(小前提)通项公式a n ＝2n ＋3表示的数列{a n }为等差数列．(结论)(4)对于定义域关于原点对称的函数f (x )，若f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，(大前提)函数f (x )＝x 3的定义域关于原点对称，f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，即f (－x )＝－f (x )，(小前提)所以函数f (x )＝x 3是奇函数．(结论) 拓展提升用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提；有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提同时省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.三、直接证明例4 设a ，b ，c 为三角形三边，面积S ＝12(a ＋b ＋c )，且S 2＝2ab ，试证：S <2a .[证明] (分析法)要证S <2a ，由于S 2＝2ab ，即2a ＝S 2b ，所以只需证S <S 2b，即证b <S ，因为S ＝12(a ＋b ＋c )，所以只需证b <12(a ＋b ＋c )，即证b <a ＋c ，由于a ，b ，c 为三角形三边，所以上式显然成立，于是原命题成立.(综合法)因为a ，b ，c 为三角形三边，所以a ＋c >b ，所以a ＋b ＋c >2b ， 又因为S ＝12(a ＋b ＋c )，即a ＋b ＋c ＝2S ，所以2S >2b ，所以S ·S >b ·S ，由于S 2＝2ab ，所以2ab >bS ，即2a >S ，所以原命题得证. 拓展提升知识链之间的等价联系是产生一题多解的本质所在，掌握了这个“法宝”，必然会促进解题能力的逐步提高.四、反证法例5 设{a n }是公比为q 的等比数列. (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列. [解] (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 11－q n1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾， ∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列. 拓展提升当命题结论中出现“至多”“至少”“不可能”“都不”“不是”等否定性词语时，常用反证法．对于“否定”型命题，从正面证明需要证明的情况太多，直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.五、数学归纳法例6 用数学归纳法证明：对一切n∈N *,1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1.[证明] (1)当n ＝1时，左边＝1， 右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋1＋1，只需证3k 2k ＋1＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋3.因为3k ＋12k ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k 2k ＋1＋1k ＋12＝34k ＋12－1－1k ＋12＝1－k ＋12k ＋12[4k ＋12－1]＝－k k ＋2k ＋124k 2＋8k ＋3≤0，所以3k 2k ＋1＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋3，即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋1＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立.由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立. 拓展提升本题在知道结果以后，执果索因，用分析法进行证明．在解题过程中数学归纳法通常与其他方法综合运用，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法.例7 已知点的序列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1，x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此猜想数列{a n }的通项公式，并加以证明. [解] (1)当n ≥3时，x n ＝x n －1＋x n －22；(2)a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝x 2＋x 12－x 2＝－12(x 2－x 1)＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝x 3＋x 22－x 3＝－12(x 3－x 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝14a ，由此猜想a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1a (n ∈N *)，用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，a 1＝x 2－x 1＝a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120a ，猜想成立；②假设当n ＝k (n ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k －1a 成立，那么，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋1＋x k2－x k ＋1＝－12(x k ＋1－x k )＝－12a k ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k －1a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12(k ＋1)－1a ，即当n ＝k ＋1时猜想也成立. 根据①和②，可知{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1a (n ∈N *).拓展提升由已知求出数列的前n项，提出猜想，然后再用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式的方法，证明的关键是根据已知条件和假设寻找a k与a k＋1或S k与S k＋1之间的关系，从而为数学归纳法的实施做了必要的准备．。
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高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；6、常见的导数和定积分运算公式:若()g x均可导（可积），则有：f x，().用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数'()f x②令'()f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令'()f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数'()f x(3)求方程'()f x=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/()果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
最新人教版高中数学选修2-2第二章《数学归纳法》知识梳理
2.3 数学归纳法1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：第一步，归纳奠基：证明当n 取______________时命题成立．第二步，归纳递推：假设____________时命题成立，证明当________时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．数学归纳法的第一步中n 的初始值怎样确定？ 【做一做1】 用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)，在验证n ＝1时，等式左边为( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3【做一做2】 设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( )A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1【做一做3】 在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线有12n (n －3)条时，第一步验证n等于__________．2．数学归纳法的框图表示答案：1．第一个值n 0(n 0∈N *) n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *) n ＝k ＋1 思考讨论提示：数学归纳法的第一步中n 的初始值应根据命题的具体情况而确定，不一定是n 0＝1，如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，其初始值n 0＝3.【做一做1】 C 因为左边式子中a 的最高指数是n ＋1，所以当n ＝1时，a 的最高指数为2，根据左边式子的规律可得，当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 2.【做一做2】 C 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，①得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1).②由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1＝12k ＋1－12(k ＋1).故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1)，故选C. 【做一做3】 3 ∵三角形是边数最少的凸多边形， ∴需验证的第一个n 值为3. 2．n ＝n 0 n ＝k ＋1 正整数1．如何理解数学归纳法？ 剖析：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”；第二步解决的是延续性问题，又称“归纳递推”．运用数学归纳法证明有关命题应注意以下几点：(1)两个步骤缺一不可．(2)在第一步中，n 的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数(有时需取n ＝n 0，n 0＋1等)，证明应视具体情况而定．(3)第二步中，证明n ＝k ＋1时，必须使用假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效．(4)证明n ＝k ＋1成立时，要明确求证的目标形式，一般要凑出假设里给出的形式，以便使用假设，然后再去凑出当n ＝k ＋1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性．数学归纳法的理论根据是皮亚诺的归纳公理：任何一个正整数集A ，若①1∈A ；②由k ∈A 可推出k ＋1∈A ，则A 含有所有的正整数．2．运用数学归纳法要注意哪些？剖析：正确运用数学归纳法应注意以下几点： (1)验证是基础．数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n 0，这个n 0就是我们要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题．(2)递推是关键．数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程，必须把归纳假设“n ＝k ”作为条件来导出“n ＝k ＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次．(3)正确寻求递推关系．我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的，那么如何寻求递推关系呢？ ①在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的．②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n 处在哪个位置．③在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．题型一 用数学归纳法证明等式 【例题1】 用数学归纳法证明：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)． 分析：第一步先验证等式成立的第一个值n 0；第二步在n ＝k 时等式成立的基础上，等式左边加上n ＝k ＋1时新增的项，整理出等式右边的项．反思：在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：①验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.②递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．③利用假设是核心：在第(2)步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明方法就不是数学归纳法．题型二 用数学归纳法证明不等式【例题2】 已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)． (2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． 分析：(1)求f ′(x )→得到式子a n ＋1≥(a n ＋1)2－1→利用数学归纳法证明a n ≥2n －1(n ∈N *)(2)由a n ≥2n －1得1＋a n ≥2n →11＋a n ≤12n →利用放缩法证明不等式成立 反思：利用数学归纳法证明与n 有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一，应用过程中注意：①证明不等式时，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现．②与n 有关的不等式的证明有时并不一定非用数学归纳法不可，还经常用到不等式证明中的比较法、分析法、配方法、放缩法等．题型三 用数学归纳法证明几何问题【例题3】 有n 个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成f (n )＝n 2－n ＋2部分．分析：解答本题的关键是在第二步中如何正确地应用假设．反思：用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成(k ＋1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n ＝k ＋1和n ＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．题型四 易错辨析【例题4】 用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝12n (3n －1)．错解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，需证1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12(k ＋1)(3k ＋2)(*)．由于等式左边是一个以1为首项，公差为3，项数为k ＋1的等差数列的前n 项和，其和为12(k ＋1)(1＋3k ＋1)＝12(k ＋1)(3k ＋2)，所以(*)式成立，即n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．错因分析：判断用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步假设是否被应用，如果没有用到假设，那就是不正确的．错解在证明当n ＝k ＋1等式成立时，没有用到假设“当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立”，故不符合数学归纳法证题的要求．答案：【例题1】 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时结论成立，即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k . 那么n ＝k ＋1时，利用归纳假设有：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2 ＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1).∴即n ＝k ＋1时等式也成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *等式恒成立． 【例题2】 (1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即a k ≥2k －1； 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k－1＋2)＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立， 综上所述，命题成立． (2)解：11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n＜1. ∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n .∴11＋a n ≤12n . ∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n≤12＋122＋…＋12n ＝1－12n ＜1. 【例题3】 证明：(1)当n ＝1时，分为两部分，f (1)＝2，命题成立； (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，被分成f (k )＝k 2－k ＋2部分；那么当n ＝k ＋1时，依题意，第k ＋1个圆与前k 个圆产生2k 个交点，第k ＋1个圆被截为2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，∴平面上增加了2k 个区域．∴f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2，即n ＝k ＋1时命题成立， 由(1)(2)知命题成立．【例题4】 正解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12k (3k －1)＋(3k ＋1)＝12(3k 2＋5k ＋2)＝12(k ＋1)(3k ＋2)＝12(k ＋1)[3(k ＋1)－1]， 即当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．1用数学归纳法证明3n≥n 3(n ≥3，n ∈N )，第一步应验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝42已知f (n )＝11112n n n ++++＋ (21)，则( ) A ．f (n )共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝1123+B ．f (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝111234++C ．f (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝1123+D ．f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝111234++3已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111234-+-＋…＋11n -＝1112242n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪++⎝⎭时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立4设平面内有n 条直线，其中任何两条直线不平行，任何三条直线不共点．若k 条直线将平面分成f (k )个部分，k ＋1条直线将平面分成f (k ＋1)个部分，则f (k ＋1)＝f (k )＋__________.5用数学归纳法证明2222111111234n n+++⋅⋅⋅+<-(n ≥2，n ∈N *)．答案：1．C 由题知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立，选C. 2．D 由题意知f (n )最后一项的分母为n 2， 故f (2)＝2111232++，排除选项A ，选项C. 又f (n )＝211101()n n n n n ++++++-…， 所以f (n )的项数为n 2－n ＋1项．故选D.3．B 因为假设n ＝k (k ≥2为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B.4．k ＋1 第k ＋1条直线与原来的k 条直线相交，有k 个交点，这k 个交点把第k ＋1条直线分成k ＋1部分(线段或射线)，这k ＋1部分把它们所在的平面区域一分为二，故平面增加了k ＋1部分．5．分析：证明：(1)当n ＝2时，左边＝21124=，右边＝11122-=. 因为1142<，所以不等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即2222111111234k k++++<-…， 则当n ＝k ＋1时，22222211111111234(1)(1)k k k k +++++<-+++… ＝22222(1)1(1)111(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k +-+++-=-<-+++ ＝111k -+. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．。
高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法 利用数学归纳法解题要点素材 新人教A版选修2-2
利用数学归纳法解题要点
数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，
第一步：验证n取第一个自然数时成立
第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。
最后一步总结表述。
需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：证明1：所有的马都是一种颜色
首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。
第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。
那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号：
1, 2, 3……n, n+1
对其中（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色；
对（2、3……n、n+1）这些马，我们也可以得到它们是一种颜色；
由于这两组中都有（2、3、……n）这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。
这个证明的错误来于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（1）和（2）——它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。
数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1，2，3……的数都成立，而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块，但它不会推倒第二块。
即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等，但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。
人教版高中数学选修2-2第二章推理与证明复习小结优质课件
现命题等，著名哲学家康德说：“每当理智缺乏可靠论证思
路时，类比法往往能指明前进的方向．”
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人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
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特别提醒： (1) 归纳推理是由部分到整体，个体到一般
的推理，其结论正确与否，有待于严格证明．
(2) 进行类比推理时，要合理确定类比对象，不能乱 比，要对两类对象的共同特点进行对比．
[ 思维点击 ] 归纳猜想 ――→ fn推理与证明
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1 [规范解答] 因为 an＝ 2， n＋1 f(n)＝(1－a1)(1－a2)„(1－an) 1 3 所以 f(1)＝1－a1＝1－4＝4，
1 1－ f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)· 9
推理与证明章末小结
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人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
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一、合情推理和演绎推理
1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事
实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后 提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体， 个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理 是由一般到特殊的推理．
推出结论的线索不够清晰； (2) 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨 论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
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人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
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三、数学归纳法
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是
论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必 须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传 递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不 可，第二步中证明“当n ＝k ＋1 时结论正确”的过程中，必
第8讲 选修2-2复习小结(教师版)
第8讲 选修2-2复习小结一．基础知识回顾(一)推理与证明1.归纳与内比：(1)归纳推理：从个别事实中推演出一般性的结论的推理．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．由归纳推理得到的结论不一定成立。
(2)类比推理：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同的推理．类比推理是由特殊到特殊的推理．由类比推理得到的结论不一定成立。
我们把归纳推理和类比推理统称为合情推理（3）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．（4）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2.数学证明方法：(1)综合法：①定义：由因导果法②框图表示：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (其中P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论)．(2)分析法①定义：执果索因法②框图表示：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件.（3）反证法：①定义：在证明数学命题时，先假定 成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明原命题成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．② 反证法的证题步骤：(1)假设:命题结论不成立（命题结论反面成立）；(2)正确推理，推出矛盾；(3)否定假设，肯定原命题．（4）数学归纳法：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n 取初始值时命题成立；②(归纳递推)假设当n ＝k (k∈N *，且n≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时结论也正确．那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立．（二）导数及其应用1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f(x)，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)，则当Δx≠0时，商00()()f x x f x x +-△△＝Δy Δx 称作函数y ＝f(x)在区间[x 0，x 0＋Δx](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．2．函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f(x)在点x 0处的瞬时变化率0limx y x →△△△通常称为f(x)在x ＝x 0处的导数，并记作f′(x 0)，即00'()l i m x y f x x →=△△△． (2)几何意义：函数f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f(x)上点(x 0，f(x 0))的切线的斜率．导函数y ＝f′(x)的值域即为切线斜率的取值范围． 3．函数f(x)的导函数：如果函数y ＝f(x)在开区间(a ，b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a ，b)内可导，其导数也是开区间(a ，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作y′或f′(x)．4．基本初等函数的导数公式表（右上表）5．导数运算法则：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) ；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f′x g x －f x g′x [g x ]2 [g(x)≠0]．（4）复合函数的求导法则：设函数u ＝φ(x)在点x 处有导数u x ′＝φ′(x)，函数y ＝f(u)在点x 处的对应点u 处有导数y u ′＝f′(u)，则复合函数y ＝f(φ(x))在点x 处有导数，且y′x ＝y′u ·u′x ，或写作f′x (φ(x))＝f′(u)φ′(x)．5．导数和函数单调性的关系：(1)若f′(x)>0在(a ，b)上恒成立，则f(x)在(a ，b)上是增函数，f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；(2)若f′(x)<0在(a ，b)上恒成立，则f(x)在(a ，b)上是减函数，f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间(3)若在(a ，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a ，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a ，b)上为增函数，若在(a ，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a ，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a ，b)上为减函数．6．函数的极值：(1)判断f(x 0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．7．函数的最值：(1)函数f(x)在[a ，b]上必有最值的条件如果函数y ＝f(x)的图象在区间[a ，b]上连续，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f(x)在[a ，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y ＝f(x)在(a ，b)内的极值；②将函数y ＝f(x)的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（三）定积分1．定积分的几何意义：如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分的几何意义是直线x ＝a ，x ＝b (a≠b，y ＝0和曲线y ＝f(x))所围成的曲边梯形的面积．2．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)dx ＝k ʃb a f(x)dx (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x)±f 2(x)]dx ＝ʃb af 1(x)dx±ʃb a f 2(x)dx ；(3)ʃb a f(x)dx ＝ʃc a f(x)dx ＋ʃb c f(x)dx(其中a<c<b).3．微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)dx ＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成F(x)|b a ，即ʃb a f(x)dx ＝F(x)|b a ＝F(b)－F(a)．4．定积分在几何中的应用：(1)当x ∈[a ，b]且f(x)>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a≠b)，y＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝ʃb a f(x)dx (2)当x ∈[a ，b]且f(x)<0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝－ʃb a f(x)dx .(3)当x ∈[a ，b]且f(x)>g(x)>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a≠b)和曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)围成的平面图形的面积S ＝ʃb a [f(x)－g(x)]dx .(4)若f(x)是偶函数，则ʃa －a f(x)dx ＝2ʃa 0f(x)dx ；若f(x)是奇函数，则ʃa －a f(x)dx ＝0.5．定积分在物理中的应用：(1)匀变速运动的路程公式：做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a ，b]上的定积分，即s ＝ʃb a v(t)dt ．(2)变力做功公式：一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a<b)(单位：m)，则力F 所做的功W ＝ʃb a F(x)dx .（四）复数的引入1．数系的扩充：数系扩充的脉络是：符号表示为N *⊆N ⊆Z ⊆Q ⊆R ⊆C ，2．复数的有关概念：(1)复数的概念：形如a ＋bi (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．（2）复数的分类：若b ＝0，则a ＋bi 为实数，若b≠0，则a ＋bi 为虚数，若a ＝0且b≠0，则a ＋bi 为纯虚数．(3)复数相等：a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数：a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的．(6)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋bi的模，记作|z|或|a ＋bi|，即|z|＝|a ＋bi|＝a 2＋b 2.3．复数的运算：(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋bi)·(c＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ；④除法：z 1z 2＝a ＋bi c ＋di ＝a ＋bi c －di c ＋di c －di ＝ac ＋bd ＋bc －ad i c 2＋d 2 (c ＋di≠0)． 二．典例精析：探究点一：数学证明方法例4：（1）已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2≥ab＋bc ＋ca. （2）若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c. （3）若x ，y 都是正实数，且x ＋y>2，求证：1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立． （4）数列{a n }满足a n >0，S n ＝12(a n ＋1a n)，求S 1，S 2，猜想S n ，并用数学归纳法证明． 证明（1）∵a，b ，c>0，根据基本不等式，有a 2b ＋b≥2a，b 2c ＋c≥2b，c 2a＋a≥2c. 三式相加：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c≥2(a＋b ＋c)．当a ＝b ＝c 时取等号．即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a＋b ＋c.（2）证明：要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a·b·c)，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc.因为a ，b ，c 是不全相等的正数，则a ＋b 2≥ab>0，b ＋c 2≥bc>0，c ＋a 2≥ca>0.且上述三式中的等号不全成立，所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc.所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c.（3）证明：假设1＋x y <2和1＋y x <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x ＋y≥2x＋2y ，所以x ＋y≤2，这与已知条件x＋y>2相矛盾，因此1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立．（4）解 ∵a n >0，∴S n >0，由S 1＝12(a 1＋1a 1)，变形整理得S 21＝1，取正根得S 1＝1.由S 2＝12(a 2＋1a 2)及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1得S 2＝12(S 2－1＋1S 2－1)，变形整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2.同理可求得S 3＝ 3.由此猜想S n ＝n.用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立．(2)假设当n＝k 时，结论成立，即S k ＝k.那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)＝12(S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k)＝12(S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k)．整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1.故当n ＝k ＋1时，结论成立．变式迁移4：（1）设a ，b ，c>0，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a＋b ＋c. （2）已知a>0，求证： a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2. （3）若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.（4）用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n(n≥2，n∈N *)． 证明：(1)a 2＋b 2＋c 2－13＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－1)＝13[3a 2＋3b 2＋3c 2－(a ＋b ＋c)2]＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc)＝13[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2]≥0，(2) 证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a>0，故只要证 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a 2＋4 a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．（3）证明：假设a ，b ，c 都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.∵a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，∴x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)≤0，①又∵(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，π－3>0，∴(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)>0.②①式与②式矛盾，∴假设不成立，即a ，b ，c 中至少有一个大于0.（4）证明 当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．:假设n ＝k(k≥2，k∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k，则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋ (1)2＋1k ＋12<1－1k ＋1k ＋12＝1－k ＋12－k k k ＋12＝1－k 2＋k ＋1k k ＋12<1－k k ＋1k k ＋12＝1－1k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．探究点二：导数及其应用例 2.已知函数kf x x x x k =+-+>2()l n (1)(0),2（1）当2k =时，求曲线()(1,(1y f x f =在点处的切线方程；（2）当1k ≠时，求函数()f x 的单调区间c解：（I ）当2k =时，2()ln(1)f x x x x =+-+，1'()121f x x x=-++由于(1)ln 2f =，3'(1)2f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 3ln 2(1)2y x -=-即 322ln 230x y -+-=（II ）(1)'()1x kx k f x x+-=+，(1,)x ∈-+∞当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x +-==+，得10x =，210k x k -=>所以在(1,0)-和1(,)k k-+∞上'()0f x >；在1(0,)k k -上'()0f x <故()f x 在(1,0)-和1(,)k k-+∞单调递增，在1(0,)k k -单调递减当1k >时，(1)'()01x kx k f x x +-==+，得11(1,0)k x k-=∈-，20x =.所以在1(1,)k k --和(0,)+∞上'()0f x >；在1(,0)k k-上'()0f x <故()f x 单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，减区间是1(,0)k k- 变式训练2：已知函数3()f x ax bx c =++在点1x =处取得极值8c -.（1）求,a b 的值； （2）若()f x 有极大值18，求()f x 在[－3,3]上的最大值．解：（1）因3()f x ax bx c =++，故2()3f x a x b '=+由于()f x 在点1x =处取得极值8c -.故有(1)30(1)8f a b f a b c c '=+=⎧⎨=++=-⎩，412a b =⎧∴⎨=-⎩（2） 由（1）知3()412f x x x c =-+2()121212(1)(1)f x x x x '∴=-=-+可知[3,1],()x f x ∈--是增函数，[1,1],()x f x ∈-是减函数，[1,3],()x f x ∈是增函数；由此知()f x 在1x =-时取得极大值(1)818f c -=+=，即10c =此时(1)18,(3)82,f f -==因此函数()f x 的最大值是(3)82.f = 探究点三：导数的实际应用例3：已知某家企业的生产成本z （单位：万元）和生产收入ω（单位：万元）都是产量x （单位：t ）的函数，其解析式分别为：32187580z x x x =-+-， 15x ω=（1）试写出该企业获得的生产利润y （单位：万元）与产量x （单位：t ）之间的函数解析式； （2）当产量为多少时，该企业能获得最大的利润？最大利润是多少？解：（1）∵利润＝收入－成本，即y z ω=-∴3215(187580)y x x x x =--+- 32186080(0)x x x x =-+-+≥ （2）233660y x x '=-+-解方程0y '=，得12,10x x == 根据x ，x ，列出下表10x =是函数的极大值点，比较2x =和10x =的函数值，(2)24y =，(10)280y =∴产量为10t 时该企业能获得最大的利润，最大利润为280万元. 变式训练3：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （km/h ）的函数解析式可以表示为880312800013+-=x x y )1200(≤≤x ，已知甲、乙两地相距100km .（1）当汽车以40km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解: (1)当40=x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=h 要耗油5.175.2)840803401280001(3=⨯+⨯-⨯(升) (2)当速度为x km/h ，汽车从甲地到乙地行驶了x 100h ，耗油量为)(x f 升，依题意得313100()(8)12800080f x x x x =-+ 4158********-+=x x 233264080800640)('xx x x x f -=-=(0120)x <≤令0)('=x f ，得80=x 当)80,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 是减函数 当)12080(，∈x 时，0)('>x f ，)(x f 是增函数 ∴当80=x 时，)(x f 取得极小值：45)880803801280001()80(3⨯+⨯-⨯=f 25.11445==(升)因此，当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量少，最少为11.25升。
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第二章推理与证明知识复习一、合情推理与演绎推理1．合情推理（合情推理对于数学发现的作用，为复数铺垫）合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：部分到整体，特殊到一般（2）类比推理：特殊到特殊①关于类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：（亮点）(一)空间问题与平面问题多面体多边形；面边；体积面积；二面角平面角；面积线段长；（二）四则运算加法乘法；减法除法；乘法乘方；除法开方；②平面几何与立体几何：③圆与球的性质的类比：③直角三角形与直角四面体的类比：⑤等差数列与等比数列的类比：推理与证推理证明合情推理演绎推理归纳类比综合分析反证直接证明间接证明数学归纳S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列 S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列 前n 项和：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (a 1＋a n )2 前n 项积：T n ＝b 1·b 2·…·b n ＝(b 1·b n )n若a k ＝0，2k ＞n ＋1，k ，n ∈N *则有 a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2k －n －1 若b k ＝1，2k ＞n ＋1，k ，n ∈N *则有 b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 2k －n －1 若c n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则数列{c n }也是等差数列若d n ＝nb 1·b 2·…·b n ，则数列{d n }也是等比数列若c n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 1＋2＋3＋…＋n，则数列{c n }也是等差数列.若d n ＝(b 1·b 22·b 33·…·b n n )11＋2＋3＋…＋n ，则数列{d n }也是等比数列.2.演绎推理一般到特殊根据一般性的真命题（或逻辑规则），推出某个特殊性命题为真的推理称为演绎推理．是演绎推理的主要模式， 构成包括三部分⑴大前提---已知的一般性原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况；三段论的推理规则：M P （M 是P ）S M（S 是M ）S P（S 是P ）（大前提）（小前提）（结论）.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P.MS⇒⇒⇒三段论的推理规则：M P （M 是P ）S M （S 是M ）S P （S 是P ）（大前提）（小前提）（结论）.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P.MS合情推理与演绎推理的区别:• 1 特点 ①归纳是由特殊到一般的推理; ②类比是由特殊到特殊的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的 推理.• 2 从推理的结论来看：合情推理的结论不一定正确,有待证明; 演绎推理得到的结论一定正确.【例1】 有个小偷在警察面前作了如下辩解：是我的录象机，我就一定能把它打开．看，我把它打开了．所以它是我的录象机．请问这一推理错在哪里？（ ）A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．以上都不是二、直接证明与间接证明1．综合法 顺推，由因导果综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．2．分析法 逆推，执果索因分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法．3．反证法（1）否定性命题即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。
（2）限定式命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。
原结论词 反议词 原结论词 反议词 至少有一个一个也没有对所有的x 都成立存在某个x 不成立b c a b a c.⇒⇒⇒符号表示：如果，，则间接证明：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
反证法步骤（1） 反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；（2） 归谬：由“反设”出发，以通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件﹑已知的公理﹑定理﹑定义﹑反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；（3） 结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。
⑴定义:设(){}p n 是一个与正整数相关的命题集合,如果(1)证明起始命题1p (或0p )成立;(2)在假设p ｋ成立的前提下，推出p ｋ+１也成立，()p n 对一切正整数都成立.数学归纳法法4．数学归纳法步骤:① 证明当n 取第一个值n 0时命题成立；② 假设n =k （k ≥n 0， k ∈N*）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 步骤： 递推基础不可少，（基础） 归纳假设要用到，（依据） 结论写明莫忘掉。
（结论）一、问题探究1、数学归纳法的归纳奠基中n0一定等于1吗？2、为什么可以先假设n=k (k ≥n0,k ∈N*) 时命题成立?“假设”怎么可以作为条件来使用呢？二、思维误区1、证明n=k+1时命题成立时，必须用上n=k 时的假设，否则第二步也就不能成为传递的依据，这样就需要从n=k+1的式子中分离出n=k 时的式子，或将n=k+1的情况用n=k 的情况表示。
2、有关“和式”与“积式”，一定要“数清”是多少项的和或积，以正确确定n=1时及n=k 变化到n=k+1“和”或“积”的情况。
题型一、用数学归纳法证明恒等式例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n 3=41 n 2（n ＋1）2 证明：① 当n =1时，左边=13=1，右边=()11114122=+⋅⋅， 故等式成立．② 假设n =k （N ∈k ，且k ≥1）时等式成立。
即13＋23＋33＋…＋k 3＋=41k 2(k +1)2成立．则当n =k ＋1时，13＋23＋33＋…＋k 3＋(k +1)3 =322)1()1(41+++k k k =[])1(4)1(4122+++k k k ()()221141++=k k ()[]221)1(141+++=k k ． 即当n =k ＋1 时等式也成立．综合①，②，对一切N ∈n ，等式都成立．题型二、用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式． 例题解析（不等式证明）------放缩法例2 归纳法证明++++++312111n n n …n 31＞109 （n ＞1，且N ∈n ）． 证明：① n =2时，左边=201961514131=+++＞109=右边，不等式成立. ② 假设n =k （N ∈k ， k ≥2）时不等式成立，即++++2111k k …k 31+＞109成立． ——4分则当 n =k ＋1时，++++3121k k …k 31+131++k 331231++++k k =（++++2111k k …k 31+）＋（131+k 331231++++k k －11+k ）＞109＋（131+k 331231++++k k －11+k ）＞109＋（331+k 331331++++k k －11+k ） =109即当n =k ＋1时不等式也成立． 综合①，②，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立．题型三、用数学归纳法证明整除问题（整除问题）例3. 用数学归纳法证明32n ＋2－8 n －9()N ∈n 能被64整除．证明：① 当n =1时，32＋2－8×1－9=64 显然能被64整除，命题成立． ② 假设n =k （ k ≥1，N ∈k ）时命题成立．即32k ＋2－8k －9能被64整除．则当n =k ＋1时， 32（k ＋1）＋2－8（k ＋1）－9=9·32k ＋2－8 k －8－9 =9（32k ＋2－8 k －9）＋64 k ＋64． ∵ 32k ＋2－8 k －9与64均能被64整除， ∴ 32（k ＋1）＋2－8（ k ＋1）－9能被64整除． 即当n =k ＋1时命题也成立．综合①，②，对一切N ∈n ，32n ＋2－8n －9能被64整除．题型四、用数学归纳法证明几何问题例4：平面内有n 条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，求证它们：（1）共有()()f n n n =-121个交点（2）互相分割成()g n n =2条线段（3）把平面分割成()()h n n n =++1211个部分。
分析：从图形的性质出发，进行分析。
证明： （i ）当n =1时()()()f g h 101112===，，与图形性质相同，命题成立。
（ii ）假设()n k k =-≥12时，命题成立，则当n k =时，考查n k =-1及增加一条直线l ，这一条直线与原来的k -1条直线的关系是它们都相交，各有一个交点。
()()∴=-+-f k f k k 11 又因为增加的一条直线l 被原来的k -1条直线分割成k 段（即增加的k -1个点把l分成k 段）而l 又把原来的k -1条直线每条多分出一段（即增加的k -1个交点把各交点所在的线段一分为二），若增加了k k +-1条线段。
()()()∴=-++-=-+-g k g k k k g k k 11121 又因为l 被分成k 段，每段把该段所在的部分平面分成两部分，总共多出k 个部分平面。
()()∴=-+h k h k k 1 由假设易知()()()()()f k k k g k k h k k k =-==++12112112，，故n k =时命题成立。
由（i ）（ii ）知，对任何n N ∈命题都成立。