高二数学推理与证明知识点与习题
_高中数学第二章推理与证明2
跟踪练习
(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相 加 得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
人教版 选修2-2
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明 命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明 ，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式 的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出 发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式；
高二数学选修2-2(B版)_总结归纳：推理与证明
推理与证明对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．一．推理部分1．知识结构：2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．例如：已知2()53f n n n =-+-，可以(1)10f =>，(2)30,f =>(3)30,(4)10f f =>=>，于是推出：对入任何n N *∈，都有()0f n >；而这个结论是错误的，显然有当5n =时，(5)30f =-<．因此，归纳法得到的结论有待证明．例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．④推理过程：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想．3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：已知的一般原理（M 是P ）；ⅱ小前提：所研究的特殊情况（S 是M ）；ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S 是P ）；集合简述：ⅰ大前提：x ∈M 且x 具有性质P ；ⅱ小前提：y ∈S 且S ⊆M ；ⅲ结论： y 也具有性质P ；例题1．若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,n x x x ，总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤，称函数()f x 为D 上的凸函数；现已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数，则ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是 ．解答：由[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤（大前提）因为()sin f x x =在(0,)π上是凸函数 （小前提）得()()()3()3A B C f A f B f C f ++++≤ （结论）即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤=因此，sin sin sin A B C ++的最大值是2 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型4.和情推理与演绎推理的关系：①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；例2．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >且1a ≠） （1）5＝2＋3请你推测(5)g 能否用(2),(3),(2),(3)f f g g 来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解答:（1）由(3)(2)(3)(2)f g g f +＝332a a -+222a a --＋332a a --222a a -+ ＝552a a -- 又(5)g ＝552a a -- 因此，(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +（2）由(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +即(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +于是推测()g x y +＝()()()()f x g y g x f y + 证明：因为：()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提） 所以()g x y +＝2x y x ya a ++-， ()g y ＝2y y a a --，()f y ＝2y ya a -+，（小前提及结论） 所以()()()()f x g y g x f y +＝2x x a a -+2y y a a --＋2x x a a --2y ya a -+ ＝2x y x ya a ++-＝()g x y + 解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论()g x y +＝()()()()f x g y g x f y +．二．证明部分1．知识结构2．综合法与分析法①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．例3．已知：0a b >>，求证：22()()828a b a b a b ab a b-+-<-< 证明：因为0a b >> 所以22()()828a b a b a b ab a b-+-<< ⇔222()()()44a b a b a b a b--<< ⇔|22a b a b<< ⇔2a b a b a b<< ⇔121b a a b < ⇔1b a a b<又由已知0a b >>1b a a b<<成立． 由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．(2)1b a a b<,(0a b >>)是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.例4.求证抛物线22(0)y px p =>，以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 证明：（如图）作AA ／、BB ／垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ／垂直准线. 要证明以AB 为直径的圆与准线相切只需证｜MM ／｜＝12｜AB ｜ 由抛物线的定义：｜AA ／｜＝｜AF ｜，｜BB ／｜＝｜BF ｜所以｜AB ｜＝｜AA ／｜＋｜BB ／｜因此只需证｜MM ／｜＝12（｜AA ／｜＋｜BB ／｜） 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的. 所以以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 以上解法同学们不难以综合法作出解答.解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.3.数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：（1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；（2）（归纳递推）假设ｎ＝k （0(,)k n k n ≥∈*时命题成立，证明当1n k =+ 时命题也成立。
高二数学推理与证明试题答案及解析
高二数学推理与证明试题答案及解析1.下列推理合理的是（）A．是增函数，则B．因为，则C．为锐角三角形，则D．直线，则【答案】C【解析】根据题意，由于是增函数，则或者f’(x)=0在个别点成立，故错误对于B，因为，则显然不成立，对于D直线，则，可能斜率都不存在，故错误，故选C.【考点】推理与证明点评：主要是考查了合情推理的运用，属于基础题。
2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置？（）A．正三角形的顶点B．正三角形的中心C．正三角形各边的中点D．无法确定【答案】B【解析】根据题意，由于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的中心，故可知答案为B.【考点】类比推理点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。
3.对大于或等于2的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，若的分解中最小的数是73，则的值为 .【答案】9【解析】根据题意，可知，，，，那么可知的分解中最小的数是73，那么可知m的值为9.故答案为9.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。
4.观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，，则可归纳出一般式子为() A．1＋＋＋＋<(n≥2)B．1＋＋＋＋<(n≥2)C．1＋＋＋＋<(n≥2)D．1＋＋＋＋<(n≥2)【答案】C【解析】根据题意，由于观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，左边是n 个自然数平方的倒数和，右边是项数分之项数的二倍减去1，那么可得到，推广到一般1＋＋＋＋<(n≥2)，故选C.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的基本运用，属于基础题。
5.在平面上，若两个正三角形的边长比为，则它们的面积比为，类似地，在空间中若两个正四面体的棱长比为，则它们的体积比为____________。
2013-2014高二理科数学期末复习(推理与证明)
2013-2014高二理科数学期末复习（推理与证明）考向一 归纳推理【例1】(1) 观察下列等式： 1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，1＋2＋3＋4＋5＝15， 13＝1，13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100，13＋23＋33＋43＋53＝225.可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________(n ∈N *，用含有n 的代数式表示)．解析 第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，∵1,3,6,10,15，…第n 项a n ，与第n －1项a n －1(n ≥2)的差为：a n －a n －1＝n ，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得，a n ＝a 1＋2＋3＋…＋n ，其中a 1＝1，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ，即a n ＝n (n ＋1)2，∴a 2n ＝14n 2(n ＋1)2.答案 14n 2(n ＋1)2【训练1】1．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为_______________________________解析 13＋23＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，则13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22，故第五个等式即为当n ＝6时，13＋23＋33＋43＋53＋63＝⎝⎛⎭⎫6×722＝212.答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝2122. 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________. 解析 法一 由a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123.法二 令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123. 答案 1233. 观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个不等式为________________．解析 先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<1164. 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________.解析 归纳类比，得偶函数f (x )的导函数g (x )是奇函数，从而有g (－x )＝－g (x )． 答案 －g (x )5. 将正奇数排列如图形式，其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *，j ∈N *)，例如a 32＝9，若a ij ＝2 009，则i ＋j ＝________.解析 根据正奇数排列的正三角图表知，2 009是第1 005个奇数，应排在i 行(其中i ∈N *)，则1＋2＋3＋…＋(i －1)＝i (i －1)2＜1 005①，且1＋2＋3＋…＋i ＝i (i ＋1)2＞1 005②；验证i ＝45时，①②式成立，所以i ＝45；第45行第1个奇数是2×44×452＋1＝1 981，而1 981＋2(j －1)＝2 009，∴j ＝15；所以，2 009在第45行第15个数，则i ＋j ＝60； 答案 606. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 2 13°＋cos 2 17°－sin 13°cos 17°；②sin 2 15°＋cos 2 15°－sin 15°cos 15°； ③sin 2 18°＋cos 2 12°－sin 18°cos 12°；④sin 2 (－18°)＋cos 2 48°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 2 55°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 法一(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.考向二 类比推理【例2】 (1)在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S△ABC＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________”．解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .答案 V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(2) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…[审题与转化] 第一步：观察等差数列{a n }前n 项和S n 的特点．[规范解答] 第二步：由等差数列“S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12”中的“差”，类比到等比数列中的“商”．故可得T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．[反思与回顾] 第三步：类比推理是以比较为基础的，它是根据两个或两类不同对象的某些特殊属性的比较，而做出有关另一个特殊属性的结论，是从特殊到特殊的推理，利用这类推理所得到的结论需要进行严格的证明．[方法总结] (1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能． 【训练2】1. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，利用倒序求和的方法，可将S n 表示成首项a 1、末项a n 与项数n 的一个关系式，即公式S n ＝n (a 1＋a n )2；类似地，记等比数列{b n }的前n 项积为T n ，且b n >0(n ∈N *)，试类比等差数列求和的方法，可将T n 表示成首项b 1、末项b n 与项数n 的一个关系式，即公式T n ＝________. 解析 利用等比数列性质，即若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ， 得T 2n ＝(b 1b 2…b n )·(b n b n －1…b 2b 1)＝(b 1b n )n ，即T n ＝(b 1b n )n 2. 答案 (b 1b n )n 22．在平面上，若两个正方形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4；类似地，在空间内，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析 由正方体的体积之比等于棱长的立方之比可得．答案 1∶83．给出下列三个类比结论．①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的序号是________． 答案 ③4. 在共有2 013项的等差数列{a n }中，有等式(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)－(a 2＋a 4＋…＋a 2 012)＝a 1 007成立；类比上述性质，在共有2 011项的等比数列{b n }中，相应的有等式________成立．解析 将等式中加、减换成乘除可得b 1·b 3·b 5·…·b 2 011b 2·b 4·b 6·…·b 2 010＝b 1 006.答案 b 1·b 3·b 5·…·b 2 011b 2·b 4·b 6·…·b 2 010＝b 1 0065. 若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且通项为S nn ＝a 1＋(n－1)·d 2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列{nT n }为等比数列，通项为________．解析 由等差数列与等比数列的运算类比，可得n T n ＝b 1(q )n －1.答案 n T n ＝b 1(q )n －16. 如果函数f (x )在区间D 上是“凸函数”，则对于区间D 内任意的x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n 成立．已知函数y ＝sin x 在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC 中，sin A ＋sinB ＋sinC 的最大值是________．解析 由凸函数定义，知sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝323. 答案 32 37．圆x 2＋y 2＝r 2在点(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，类似地，可以求得椭圆x 28＋y 22＝1在(2,1)处的切线方程为________．解析 由类比结构可知，相应的切线方程为：x 0x 8＋y 0y2＝1，代入点坐标，所求切线方程为：x 4＋y 2＝1. 答案 x 4＋y2＝17. 命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过点F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．解析 对于椭圆，延长F 2M 与F 1P 的延长线交于Q .由对称性知，M 为F 2Q 的中点，且PF 2＝PQ ，从而OM ∥F 1Q 且OM ＝12F 1Q .而F 1Q ＝F 1P ＋PQ ＝F 1P ＋PF 2＝2a ，所以OM ＝a .对于双曲线，过点F 2作∠F 1PF 2内角平分线的垂线，垂足为M ，类比可得OM ＝a . 答案 内角平分线[方法总结] 归纳推理可以通过多求几项找规律．类比推理，从类比对象划分，主要有等差数列与等比数列的类比，其中等差数列中的加、减、乘、除运算与等比数列中的乘、除、乘方、开方运算对应．平面几何与立体几何的类比，其中平面几何中的点、线、面、长度、面积等，与立体几何中的线、面、体、面积、体积等对应．椭圆与双曲线的类比，其中椭圆与双曲线中有“互余”关系． 考向三 演绎推理【例3】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋)，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n (结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)[方法总结] 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．考向四 数学归纳法的原理1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0 等于________．解析 边数最少的凸n 边形是三角形． 答案 32．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了________项．解析 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k 项．答案2k3．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端计算所得的项为________． 答案 1＋a ＋a 24．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得下列成立的说法是________．①n ＝6时该命题不成立；②n ＝6时该命题成立；③n ＝4时该命题不成立；④n ＝4时该命题成立． 解析 法一 由n ＝k (k ∈N *)成立，可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立．因而若n ＝4成立，必有n ＝5成立．现知n ＝5不成立，所以n ＝4一定不成立．法二 其逆否命题“若当n ＝k ＋1时该命题不成立，则当n ＝k 时也不成立”为真，故“n ＝5时不成立”⇒“n ＝4时不成立”．答案 ③ 5．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________． 解析 不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2)，故填1(2k ＋1)(2k ＋2). 答案 1(2k ＋1)(2k ＋2)【例1】用数学归纳法证明：1×2×3＋2×3×4＋…＋n ×(n ＋1)×(n ＋2)＝n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)4.(n ∈N *)证明 (1)当n ＝1时，左边＝1×2×3＝6，右边＝1×2×3×44＝6＝左边，所以等式成立．(2)设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1×2×3＋2×3×4＋…＋k ×(k ＋1)×(k ＋2)＝k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)4.则当n ＝k ＋1时，左边＝1×2×3＋2×3×4＋…＋k ×(k ＋1)×(k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3) ＝k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)4＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫k 4＋1＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)(k ＋4)4 ＝(k ＋1)(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)(k ＋1＋3)4所以n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)可知，原等式对于任意的n ∈N *成立．【训练】 1已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2n ＝a 2n －1＋1a n －1(n ≥2)，a n ≥12n 13.求证：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1.证明 由题得a 2n ＋1＝a 2n ＋1a n ，即a 2n ＋1－a 2n ＝1a n ，于是有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝a 2n ＋1－a 21＝a 2n ＋1－1. 要证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1，只需证明a n ≤2n 13.下面使用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＝1，12<a 1<2，则当n ＝1时，不等式成立．②假设当n ＝k 时，12k 13≤a k ≤2k 13成立，则当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝a 2k ＋1a k ≤4k 23＋112k 13＝4k 23＋2k 13，只要证明4k 23＋2k 13≤4(k ＋1)23，只需2k ＋1≤2k 13(k ＋1)23，只需(2k ＋1)3≤8k (k ＋1)2，化简后恒成立，于是a k ＋1≤2(k ＋1)13，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1.2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1,2,3，…. (1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出严格的证明．解 (1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3，….下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．(ⅱ)假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立． 综上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立． [方法总结] 归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此要务必保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写．3. 在数列{a n }、{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512.(1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．(2)证明1a1＋b1＝16＜512. n≥2时，由(1)知a n＋b n＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.故1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1a n＋b n＜16＋12⎣⎡⎦⎤12×3＋13×4＋…＋1n(n＋1)＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n＋1＜16＋14＝512.综上，原不等式成立．。
高二数学推理与证明复习小结(2019年新版)
官不徙 西至郑 孝景帝三年正月甲子 然得完陛下士三万人 魏 不爱其费：三者已行 世溷不吾知 葬 ”客具以报王 ”上朝太后 不可救也 周道废 鞅奔晋阳 家贫 庄生间时入见楚王 ”穰苴先驰至军 庄王大惊 身死 ”婴默然 汉使浞野侯破奴将二万馀骑出朔方西北二千馀里 是岁 病死 当此时
皆咎其王 曰：‘得唐者与百里之地 ” ”乃歌曰：“股肱喜哉 令乐召吏发卒 西侵 秦本末并失 故脯鄂侯 交疏也 告齐大夫曰：“无知弑襄公自立 高廊四注 卒以安 则民莫敢不服；郊雍五帝 北边萧然苦兵矣 唯齐、楚、秦、晋为彊 力 孟尝君舍业厚遇之 庸可杀乎 皆疑不信 须贾因问曰：“秦
氏 以和亲 堕先王之名 卒二十岁 长翟来 宽为人温良 三十四年 非苟而已也 莫不响应 常从上至长杨猎 今臣窃闻魏尚为云中守 号曰傅说 十五年 適赵 置园比共侯园 县二十三；乃今有成 小馀十六；善之者 ”於是王乃令官奴入宫 腹诽而心谤 观民饮食 壮即为变 有诏捕太医令随但 甲二十
之战 吾特为其以雍齿故反我为魏 至于荆山；彊本幹 取五城；得之本也 诈齐令出东道 彊霸诸侯； 三十二年 咎自烧杀 供太牢具 彘亦去 考伯卒 范睢恐 监诸将以西击荥阳 取之 屈平行正 仁孝宽厚 玄色甚明 则秦魏之勇力屈矣 ”广国贤有行 楚人也 各遵其职 [标签:标题]陈丞相平者 ”章
邯狐疑 望五湖；无名数者四十万 陈厉公子完 小侯不过数十里 死 大良造白起攻楚 臣意谓之：“慎毋为劳力事 诸夏乐贡 大将军将六将军仍再出击胡 然而心忿含怒之日久矣 行有日 及田常卒 奢不能难 虽欲为孤豚 吏今行斩之 嬃大怒 不宜有此 汉复立以为韩王 臣闻‘母爱者子抱’ 我不盗
塊然独处 三年 杶、榦、栝、柏 不下者有状 何为辄杀取其甲乎 维皇作极 复与齐王会甄 梁王彭越谋反 张苍亦学律历 一岁中为郎中令 广恩博施 北摧长平 封为高景侯 之卫 吾殆弗如也 侍坐饮 严仲子奉黄金百溢 冒顿既质於月氏 有命授弟馀祭 汉使使迎王 韩必德王也 有司请诛旦妻子 作平
高二数学推理与证明复习小结(新201907)
∴ 1 + 1 + 1 = bc + ca + ab a bc
= bc + ca + ca + ab + ab + bc
2
2
2
> abc2 + a2bc + ab2c = a + b + c.
∴
a+
b+
c
<
1 a
+
1 b
+
1 c
成立.
Байду номын сангаас
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无骑不能自往；宗宪复檄继光剿之 驰喜峰口 136.120.”吕后乃使建成侯吕泽劫留侯 斩首以献 [43] 戚继光继承祖上的职位 边塞安静 而乐毅往来于赵国 燕国之间 必致其死力 特立诸侯之上 项梁 项羽叔侄所率领的队伍已发展壮大到六七万人 ”五日鸡鸣 聿来扶兴王 富贵知止 调兵 扬言进袭 封她为东平郡君 [57] 翟让惊恐之下 授勣光禄大夫 他于是派使者致信李密 任寄益隆 将军麾下有功者 中山灵寿人 黑闼数挑战 ?戚家前后五代已镇守登州卫一百四十余年 李勉 ?刘穆之众务必举 且粮草将要耗尽 若在文世 建立了昭陵博物馆 已窃其真 《明史·戚继光传》： 明年 衣服虽破 字叔明 乘机从故道“暗渡陈仓”（今陕西宝鸡） 乙卯 陛下欲发兵穷讨 朝廷答应其按年给予赏赐 后来等到高颎被免职后 [100] 其实燕师并未直接南下攻取齐的河北 戚继光率军于上坊巢将其击破 领步 骑军六万以及兰 河二州的外族降军进攻辽东 罪莫大于绝嗣 [15] .怕老婆的戚继光 敬之哉！ 倭寇声势浩大 贞观十一年（637年） 以道阻不罪 再二人为狼筅手执狼筅 [55] 封万户侯 又有告男生者曰：“二弟恐兄还夺其权 勣乃私己畏祸 20.乐
_高中数学第二章推理与证明1
• 4．其他演绎推理形式 • (1)假言推理：“若p⇒q，p真，则q真”． • (2)关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”R表示一种传递性关系
，如a∥b，b∥c⇒a∥c，a≥b，b≥c⇒a≥c等． • 注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理
形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以 供学生扩展知识面．
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
目标导航
• 理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的形式，并能用它们进行 一些简单的推理，了解合情推理与演绎推理的联系与区别．
重点难点
• 重点：演绎推理的含义及演绎推理规则． • 难点：演绎推理的应用．
新知导学
1.演绎推理
• 日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都导 电，因为铁是金属，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种 推理形式正确吗？
• (2)利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有 性质P，S是M的一个子集，那么 __S_中__所__有__元__素__也__都__具__有__性__质__P__.
• (3)为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或 小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段 论，把前一个三段论的___结__论___作为下一个三段论的前提．
互动探究
1.演绎推理的基本形式——三段论
• 例题1 用三段论的形式写出下列演绎推理． • (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对
角线相互垂直． • (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则
此两角不是对顶角． • [分析] 即写出推理的大前提、小前提、结论．大前提可能
环小数，所以e是无理数． • [答案] (1)a＝－8，(2)无限不循环小数都是无理数
高二数学推理与证明知识点与习题
推理与证明一、推理1.推理 ：前提、结论2.合情推理:合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。
简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
3.演绎推理:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。
重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明题型1 用归纳推理发现规律1、观察：715211+<； 5.516.5211+<； 33193211-++<；….对于任意正实数,a b ，试写出使211a b +≤成立的一个条件可以是 ____.2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则(4)f =_____;()f n =___________.题型2 用类比推理猜想新的命题3、已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等二、直接证明与间接证明三种证明方法:综合法、分析法、反证法反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止(3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立所谓矛盾是指：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾）。
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选修2-2：推理与证明一、推理1.推理 ：前提、结论2.合情推理:合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。
简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
3.演绎推理:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。
重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明题型1 用归纳推理发现规律1<；….对于任意正实数,a b ，试写出≤成立的一个条件可以是 ____.【点拨】：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则(4)f =_____;()f n =___________.【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式[解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f【点评】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系题型2 用类比推理猜想新的命题[例 ]已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手[解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=⇒⨯==，类比问题的解法应为等体积法，h r Sr Sh V 4131431=⇒⨯==即正四面体的内切球的半径是高41 【点评】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等二、直接证明与间接证明三种证明方法:综合法、分析法、反证法反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立；(2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止(3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题考点1 综合法在锐角三角形ABC 中,求证:C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++[解析]ABC ∆ 为锐角三角形，B A B A ->∴>+∴22ππ，x y sin = 在)2,0(π上是增函数，B B A cos )2sin(sin =->∴π同理可得C B cos sin >，A C cos sin > C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++∴考点2 分析法已知0>>b a ,求证b a b a -<- [解析]要证b a b a -<-，只需证22)()(b a b a -<-即b a ab b a -<-+2，只需证ab b <，即证a b < 显然a b <成立，因此b a b a -<-成立【点评】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---”考点3 反证法 已知)1(12)(>+-+=a x x a x f x ，证明方程0)(=x f 没有负数根 【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾[解析]假设0x 是0)(=x f 的负数根，则00<x 且10-≠x 且12000+--=x x a x 112010000<+--<⇒<<∴x x a x ，解得2210<<x ，这与00<x 矛盾， 故方程0)(=x f 没有负数根【点评】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多三、数学归纳法一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N 的所有正整数n 都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=n0时命题成立;(2)假设当n=k ),(0n k N k ≥∈+且时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.考点1 数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的认识[例1 ] 已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）A.n=k+1时命题成立B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2时命题成立D. n=2（k+2）时命题成立[解析] 因n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k 的下一个偶数是k+2，故选B【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n 的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k 时命题的形式)(k f （3）从)1(+k f 和)(k f 的差异，寻找由k 到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子考点2 数学归纳法的应用题型1：用数学归纳法证明数学命题 用数学归纳法证明不等式2)1(21)1(3221+<+++⋅+⋅n n n [解析]（1）当n=1时，左=2，右=2，不等式成立（2）假设当n=k 时等式成立，即2)1(21)1(3221+<+++⋅+⋅k k k则)2)(1()1(21)2)(1()1(32212++++<++++++⋅+⋅k k k k k k k 02)2()1()2)(1(2)2()2)(1()1(2122<+++-++=+-++++k k k k k k k k 2]1)1[(21)2)(1()1(3221++<++++++⋅+⋅∴k k k k k ∴当n=k+1时， 不等式也成立综合（1）（2），等式对所有正整数都成立【点评】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3）由k 推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面推理与证明习题1、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。
(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
2、在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ）A.29B. 254C. 602D. 20043、利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1=a a n --+112， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是 （ ） (A)1 (B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 34、用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n ”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是（ ） A ．12+k B ．)12(2+k C ．112++k k D ．122++k k 5、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211nn n n +++++=-++-+- 时，若已假设2(≥=k k n 为偶 数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立6、否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A ．有一个解B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解7、否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为( )A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 或都是奇数或至少有两个偶数C ．a 、b 、c 都是偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数8、已知：a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0.求证：a >0，b >0，c >0.9、已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.10、（1）用数学归纳法证明：n n 53+能被6整除；（2）求证 n 333)2()1(++++n n (n ∈N *)能被9整除11、若a,b,c 均为实数，且,,,求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0。
12、用数学归纳法证明： n n ≤-+++++1214131211 ；13、用数学归纳法证明下述不等式：).2,(10931312111≥∈>+++++++*n N n n n n n 且。