2020年湖北省武汉市武昌区四月调研数学试卷(文科)(有答案解析)
2020年湖北省武汉市武昌区四月调研数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集，集合，，则集合A. B. C. D.2.已知复数，则复数z的虚部为A. B. C. D.3.已知双曲线C：的焦距为8，一条渐近线方程为，则A. B. C. D.4.某班学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是A. 45B. 50C. 55D. 605.已知l，m是两条不同的直线，平面，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知向量，，则A. B.C. D.7.已知点在幂函数的图象上，设，，，则A. B. C. D.8.函数的图象大致为A. B.C. D.9.一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是A. 6 海里B. 海里C. 海里D. 海里10.已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，，，，面面ABC，则球O的表面积为A. B. C. D.11.已知函数的部分图象如图所示，则A. B. C. D.12.已知函数是定义域为R的偶函数，且满足，当时，，则函数在区间上零点的个数为A. 9B. 10C. 18D. 20二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线过圆C：的圆心，则的最小值是______．14.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为______．15.给出以下式子：；；其中，结果为的式子的序号是______．16.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，椭圆的焦距为2c，过C外一点作线段，分别交椭圆C于点A、B，若，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列的各项均为正数，为等差数列的前n项和，，．求数列的通项；设，求数列的前n项和．18.如图，在三棱柱中，平面ABC，，，M，N分别是AB，的中点．求证：直线平面；求点到平面的距离．19.某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间单位：小时．应抽查男生与女生各多少人？根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：时间小时频率若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？男生女生总计每周平均体育锻炼时间不超过2小时每周平均体育锻炼时间超过2小时总计附：．20.已知A是抛物线E：上的一点，以点A和点为直径两端点的圆C交直线于M，N两点．若，求抛物线E的方程；若，抛物线E与圆在x轴上方的交点为P，Q，点G为PQ的中点，O为坐标原点，求直线OG斜率的取值范围．21.已知函数．若是的极值点，求的极大值；求实数t的范围，使得恒成立．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；直线l与圆C交于A，B两点，点，求的值．23.已知函数．当时，求不等式的解集；若函数的值域为A，且，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，，，故选：C．根据并集的定义进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：B解析：解：，则复数z的虚部为．故选：B．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：A解析：解：由题意，，则，又，且，解得，．双曲线C的方程为．故选：A．由题意求得c与的值，结合隐含条件列式求得，，则答案可求．本题考查双曲线的简单性质，是基础的计算题．4.答案：D解析：解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是，样本容量即该班的学生人数是人．故选：D．根据频率分布直方图中频率小矩形的高组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量求出班级人数．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，是基础题目．5.答案：A解析：解：当平面时，若”则“”成立，即充分性成立，若，则或，即必要性不成立，则“”是“”充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键．难度不大．6.答案：D解析：解：向量，，和的坐标对应不成比例，故、不平行，故排除A；显然，，故、不垂直，故排除B；，显然，和的坐标对应不成比例，故和不平行，故排除C；，故，故D正确，故选：D．由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论．本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题．7.答案：B解析：解：由幂函数的定义可知，，，点在幂函数上，，，幂函数解析式为，在R上单调递增，，，，，，故选：B．先利用幂函数的定义求出m的值，得到幂函数解析式为，在R上单调递增，再利用幂函数的单调性，即可得到a，b，c的大小关系．本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，是中档题．8.答案：A解析：解：函数的定义域为且且，，则函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除BD；当时，，则且，故排除C．故选：A．由函数的奇偶性可排除BD，由函数的趋近性可排除C，由此得出正确选项．本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．9.答案：A解析：解：由题意可知：，，又．在中，由正弦定理得，即，．故选：A．先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角，再结合AB可求，应用正弦定理即可求解．本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解．属于较易的题目．10.答案：D解析：解：如图；设AB的中点为D；，，，为直角三角形，且斜边为AB，故其外接圆半径为：；设外接球球心为O；，面面ABC，可得面PAB；且．在CD上；故有：；球O的表面积为：．故选：D．由题意画出图形，找出外接圆的圆心及三棱锥的外接球心为O，通过求解三角形求出三棱锥的外接球的半径，则答案可求．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查考查思维能力与计算能力，是中档题．11.答案：A解析：解：由图象可知，，所以，．，将代入得，，结合，．．．故选：A．先利用最高点纵坐标求出A，再根据求出周期，再将代入求出的值．最后将代入即可．本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换．据图求式问题要注意结合五点法作图求解．属于中档题．12.答案：B解析：解：函数在区间上零点的个数等价于函数与图象在上交点的个数，由，得函数图象关于对称，为偶函数，取，可得，得函数周期为2．又当时，，且为偶函数，当时，，，作出函数与的图象如图：由图可知，两函数图象共10个交点，即函数在区间上零点的个数为10．故选：B．由已知可得函数的周期与对称轴，函数在区间上零点的个数等价于函数与图象在上交点的个数，作出函数与的图象如图，数形结合即可得到答案．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属中档题．13.答案：4解析：解：经过圆的圆心，，即．，当且仅当时取等号．则的最小值是4．故答案为：4．直线经过圆的圆心，可得，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．本题考查了圆的标准方程、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．14.答案：解析：解：从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共10个，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为．故答案为：．基本事件总数，利用列举法求出抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10个，由此能求出抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率．本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：解析：解：，；，，，；；故答案为：由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解．本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．16.答案：解析：解：因为，所以点A是线段的中点，又因为点O为线段的中点，所以，且，因为点，所以轴，则，所以轴，则点A为椭圆上顶点，所以，则，所以，，设，则，解得，所以，则．故答案为：．根据条件可得判断，且，从而得到点A为椭圆上顶点，则有，解出B 的坐标即可得到比值．本题考查椭圆的基本性质，考查直线位置关系的判断，方程思想，属于中档题．17.答案：解：由题意，设等差数列的公差为，则，整理，得，解得舍去，或，，．由知，，，，两式相减，可得：，．解析：本题第题先设等差数列的公差为，然后根据等差数列的通项公式及已知条件可列出关于d的方程，解出d的值，即可得到数列的通项；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式，然后运用错位相减法计算前n项和．本题主要考查等差数列基本量的计算，以及运用错位相减法计算前n项和．考查了转化与化归思想，方程思想，错位相减法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18.答案：解：证明：连接，，则且N为的中点；是AB的中点．所以：；平面ABC，平面ABC，，在三棱柱中，，，，，平面，平面，平面，平面，；又，，四边形正方形，，，而，且平面，平面，平面，设到平面的距离为h，因为，，所以，因为，；，所以：．解析：先利用已知条件证得以及，进而得到平面；求出三角形的面积，利用体积公式求解即可．本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，一般证明面面垂直都用线面垂直转化为面面垂直，而点到面的距离常用体积转化来求．19.答案：解：因为男生人数：女生人数：：11，所以男生人数为，女生认识我人，由频率频率直方图可知学生每周平均体育锻炼时间超过2小时的人数为：人，每周平均体育锻炼时间超过2小时的女生人数为37人，联表如下：男生女生总计每周平均体育锻炼时间不超过2小时71825每周平均体育锻炼时间超过2小时383775总计4555100因为，所以有的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关．解析：根据人数比值，求出男生，女生人数，填表，代入公式求值，比较，判断．本题考查独立性检验，熟记公式，计算，属于中档题．20.答案：解：设且，则圆心，圆C的直径，圆心C到直线的距离，因为，所以，即，，整理可得，所以，所以抛物线的方程为：；联立抛物线与圆的方程整理可得，，设，，则，，所以中点G的横坐标，，所以，令，则，解得，所以直线OG斜率的取值范围解析：设A的坐标，由题意可得圆心C的坐标，求出C到直线的距离．由半个弦长，圆心到直线的距离及半径构成直角三角形可得p的值，进而求出抛物线的方程；将抛物线的方程与圆的方程联立可得两根之和及两根之积，进而求出中点G的坐标，再求出直线OG的斜率的表达式，换元可得斜率的取值范围．本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，及换元方法的应用，属于中档题．21.答案：解：，，由题意可得，，解可得，，易得，当，时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得极大值；由在时恒成立可得，在时恒成立，令，则，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解可得，当时，在上单调递减，在，上单调递增，此时不合题意，舍去；当时，，即在上单调递增，此时不合题意；当时，在上单调递减，在，上单调递增，此时不合题意，综上，时，恒成立．解析：先对函数求导，结合极值存在的条件可求t，然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；由已知代入可得，在时恒成立，构造函数，结合导数及函数的性质可求．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值及利用导数与函数的性质处理不等式的恒成立问题，体现了分类讨论思想的应用．22.答案：解：直线l的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．圆C的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．把直线l的参数方程为为参数，代入圆的直角坐标方程，得到，所以．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，．，当时，原不等式可化为，；当时，原不等式可化为，，此时不等式无解；当时，原不等式可化为，，综上，原不等式的解集为或．当时，，函数的值域．，，；当时，，函数的值域．，，，综上，a的取值范围为．解析：将代入中，然后由，利用零点分段法解不等式即可；根据条件分和两种情况，由建立关于a的不等式，然后求出a的取值范围．本题考查了绝对值不等式的解法和利用集合间的关于求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．。
【湖北4月调考】2020年湖北省高三(4月)线上调研考试 数学(文)(高清含答案)
Ａ．第三组的频数为 １８人
Ｂ．根据频率分布直方图估计众数为 ７５分
Ｃ．根据频率分布直方图估计样本的平均数为 ７５分
Ｄ．根据频率分布直方图估计样本的中位数为 ７５分
７．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好， 隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函 数的解析式来琢磨函数的图像特征．如函数 ｙ＝－２ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓｘ＋１，ｘ∈［－π２，π２］的图象 大致为
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
３．已知 ｘ＝２０．１，ｙ＝ｌｏｇ５２，ｚ＝ｌｏｇ０．５２，则
Ａ．ｙ＜ｘ＜ｚ
Ｂ．ｙ＜ｚ＜ｘ
Ｃ．第三象限 Ｃ．ｚ＜ｘ＜ｙ
Ｄ．第四象限 Ｄ．ｚ＜ｙ＜ｘ
４．已知平面向量 ｍ，ｎ均为单位向量，若向量 ｍ，ｎ的夹角为 π３，则 ｜３ｍ＋４ｎ｜＝
Ａ．３７
Ｂ．２５
Ｃ．槡３７
Ｄ．５
５．若不等式 １ｘ＋１－１４ｘ≥ｍ对 ｘ∈（０，１４）恒成立，则实数 ｍ的最大值为
８．函数 ｆ（ｘ）＝槡３ｃｏｓ（２ｘ－π２）＋ｃｏｓ（π＋２ｘ）的单调增区间为
Ａ．［－π６ ＋ｋπ，π３ ＋ｋπ］，ｋ∈Ｚ
Ｂ．［－π３ ＋ｋπ，π６ ＋ｋπ］，ｋ∈Ｚ
Ｃ．［－５１π２＋ｋπ，１π２＋ｋπ］，ｋ∈Ｚ
Ｄ．［－１π２＋ｋ４ｘ的焦点，过焦点 Ｆ的直线 ｌ交抛物线的准线于点 Ｐ，点 Ａ在抛物
２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试
文科数学试卷
２０２０．４
本试卷共 ５页，２３题（含选考题）。全卷满分 １５０分。考试用时 １２０分钟。
★祝考试顺利★
注意事项： １．考试过程中，请考生自觉遵守考试纪律等相关规定，诚信应考，不得有作弊、泄露试题等行为。请家
湖北省2020届高三4月调研考试数学试卷(文)有答案(精校版)
2019年湖北省高三四月调考文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若复数1,z i z =+为z 的共轭复数，则z z ⋅= 2 D.2i2.设集合(){}(){}(),|,,,|1,,|11y U x y x R y R A x y y x B x y x ⎧⎫=∈∈==+==⎨⎬+⎩⎭，则U A C B =IA.(){}1,0- B. {}1- C. {}1,0- D.∅3.设等比数列{}n a 中，若22462,14a a a a =++=，则公比q = A.3 B. 3±2±4.已知点()()1,0,1,0A B -为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右顶点，点M 在双曲线上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120o ，则该双曲线的标准方程为A. 2214y x -=B. 2212y x -=C.221x y -=D.2212y x -= 5.已知tan 52x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1sin cos x x =A. 265B. 265-C. 265±D.526-6. 设,,a b c r r r均为非零向量，则a c =r r 是a c b c ⋅=⋅r r r r 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知圆22:4C x y +=，直线:l y x =，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离小于1的概率为 A.34 B. 23 C. 12 D.138. 已知函数()()cos 0,,2xx f x a R a e ωϕπωϕ+⎛⎫=><∈ ⎪⋅⎝⎭在区间[]3,3-上的图象如图所示，则a ω可取 A. 4π B. 2π C.π D.2π 9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5y =，则满足条件的实数x 的个数为 A. 4 B. 3 C. 2D. 110.网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 22D. 221+11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F,设过抛物线上一点P 处的切线为1l ，过点F且垂直于PF 的直线为2l ，则1l 与2l 交点Q 的横坐标为A. 34-B. 1-C. 43- D.不能确定 12. 已知实数,x y 满足()2221x y +-=223x y+的取值范围是A. 3,2⎤⎦B. []1,2C. (]0,2D. 3⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为为 .14. 已知函数()2143ln 2f x x x x =-+-在(),1t t +上存在极值点，则实数t 的取值范围是 . 15. 某单位植树节计划种杨树x 棵，柳树y 棵，若实数,x y 满足约束条件2527x y x y x ->⎧⎪-<⎨⎪<⎩，则该单位集合栽种这两种树的棵树最多为 .16. 已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且0,0n n a b >>，记数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ，若()()111,131nn a b S n n N *===-⋅+∈，则数列25n n a b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的最大项为第 项.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且cos .a C b= （1）求B ；（2）设CM 是角C 的平分线，且31,4CM a ==，求b .18.（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1BB 上，两条直线,MA MC 与平面ABCD 所成角均为θ，AC 与BD 交于点O.（1）求证：AC OM ⊥； （2）当1112AB BM BB ===时，求点1D 到平面AMC 的距离.19.（本题满分12分）在某小学体育素质达标运动会上，对10名男生和10名女生在一分钟跳绳的次数进行统计，得到如下所示茎叶图:（1）已知男生组中数据的中位数为125，女生组数据的平均数为124，求,x y 的值；（2）从一分钟内跳绳次数不低于110次且不高于120次的学生中任取两名，求两名学生中至少有一名男生的概率.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的长轴AB 为的长为6，离心率为1.3（1）求椭圆E 方程；（2）过椭圆E 的右焦点F 的直线与椭圆E 交于M,N 两点，记AMB ∆的面积为1S ，ANB ∆的面积为2S ，当12S S -取得最大值时，求12S S +的值.21.（本题满分12分）已知函数()214ln .xf x x-=（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的121,,x x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，且12x x ≠，不等式()()12221212f x f x kx x x x -≤-⋅恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
湖北省武汉市武昌区 2020 届高三年级四月调研测试文科数学试题
武昌区2020 届高三年级四月调研测试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U = R ，集合A = {x | 0 <x ≤ 2}，B = {x | x - 1 < 0} ，则A B =A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. (-∞,2]D. (-∞,1]2．已知复数z =534i+，则复数z 的虚部为A.45B.45- C.45i D.45-i3．已知双曲线C :2222x ya b-= 1(a > 0, b > 0) 的焦距为8，一条渐近线方程为y 3x ，则CA.221412x y-= B.221124x y-= C.2211648x y-= D.2214816x y-=4．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40) ，[40,60) ，[60,80) ，[80,100].若低于60 分的人数是18 人，则该班的学生人数是A.45B.48C.54D.605．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“ l // α”是“ l ⊥m ”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知向量a = (1,-2) ，b = (3,-1) ，则A. a // bB. a ⊥bC. a // ( a-b )D. a ⊥( a -b )高三文科数学第1 页（共5 页）高三文科数学 第 2 页（共 5 页）2 3 23 7．已知点(m ,8) 在幂函数 f ( x ) = (m - 1)x n 的图像上，设a = f () ，b = f (ln π) ，c = f ( n) ， 则A. b < a < cB. a < b < c C .b < c < a D.a < c < b8．函数48ln ||()e ex xx x f x --=+的图像大致为A. B.C. D.9．一艘海轮从A 处出发，以每小时 24 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海 轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°， 在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°， 那么B ，C 两点间的距离是 A. 6 海里B. 6 海里C. 8 海里D. 8 海里10．已知三棱锥 P - ABC 的顶点都在球O 的球面上， PA = ，PB = ， AB = 4 ， CA = CB = ，面 PAB ⊥ 面 ABC ，则球O 的表面积为A. 10π3. B. 256π C. 409π D.503π2 14 10高三文科数学 第 3 页（共 5 页）3 11．已知函数 f ( x ) = A sin(ωx + ϕ )( A > 0,ω > 0,0 < ϕ <2π) 的部分图像如图所示，则 f (34π) =A. 2 - 6 4B. 2 + 6 4C. 6 - 2 4D.6 + 2212．已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数，且满足 f ( x ) = f (2 - x ) ，当 x ∈[0, 1] 时，f ( x ) = x ，则函数 F ( x ) = f ( x ) +x + 4在区间[-10, 9] 上零点的个数为 1 - 2xA ．9B ．10C ．18D ．20 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
湖南湖北四校2020届高三学情调研联考数学(文)试题及答案
湖南湖北四校2020届高三学情调研联考文科数学试题卷 考试时间：2020年4月24日本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟. 考生注意：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝考试顺利一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}04P x R x =∈≤≤，{}3Q x R x =∈<，则P Q =U （ ） A.[]3,4B.(]3,4-C.(],4-∞D.()3,-+∞2.x ，y 互为共轭复数，且()2346x y xyi i +-=-则x y +=（ ） A.2B.1C.22D.43.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30︒，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A.20B.27C.54D.644.如图，在ABC △中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+uuu v uu u v uuu v，则λμ=（ ）A.13B.12C.23D.25.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =+，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.a c b <<6.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（ ）A.23B.6C.22D.27.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左，右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，又点23,2b N c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b +>，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A.1353⎛⎝B.)131,5,3⎛+∞ ⎝⎭UC.()513,+∞UD.5,138.为计算11111123499100S =-+-++-L ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ） A.1i i =+B.2i i =+C.3i i =+D.4i i =+9.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为（ ）B.32C.3410.已知函数()()22π2sin cos sin 024r f x x x ωωωω⎛⎫=⋅-->⎪⎝⎭在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值1，则w 的取值范围是（ ）A.30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B.13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.过双曲线()222210x y a b a b-=>>右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点，若0OA AB ⋅=uu r uu u r ，O 为坐标原点，且OAB △内切圆半径为12a ，则该双曲线的离心率为（ ）112.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（ ）A.B.C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是. 14.观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中,,F V E 所满足的等式是.15.设函数()()1xf x ex =-，函数()g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是.16.某小商品生产厂家计划每天生产A 型、B 型、C 型三种小商品共100个，生产一个型小商品需5分钟，生产一个B 型小商品需7分钟，生产一个C 型小商品需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个A 型小商品可获利润8元，生产一个B 型小商品可获利润9元，生产一个C 型小商品可获利润6元.该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大日利润是元.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分.17.已知数列{}{},n n a b 满足：114a=，1n n a b +=，121n n n b b a +=-.（1）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （2）设1223341n n n S a a a a a a a a +=++++L ，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立.18.如图，ABCD 是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，24EB FD ==.（1）求证：EF AC ⊥； （2）求几何体EFABCD 的体积.19.在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图.（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率； （2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为()11911,2,31010n n n P P n --⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，其中i P 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且1P 定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立. ①求该团队挑战成功的概率；②该团队以i P 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人数X 的可能值及其概率.20.如图，设抛物线()21:40C y mx m =->的准线l 与x 轴交于椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点21,F F 为2C 的左焦点.椭圆的离心率为12e =，抛物线1C 与椭圆2C 交于x 轴上方一点P ，连接1PF 并延长其交1C 于点Q ，M 为1C 上一动点，且在,P Q 之间移动.（1）当32a b+取最小值时，求1C 和2C 的方程； （2）若12PF F △的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ △面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程. 21.已知函数()ln xf x a x e=+，其中a 为常数.（1）若直线2y x e=是曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值； （2）当1a =-时，若函数()()ln xg x f x b x=-+在[)1,+∞上有两个零点.求实数b 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x ty t=--⎧⎨=+⎩，（t 为参数），曲线1:C y =以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为π4ρα⎛⎫= ⎪⎝⎭-. （1）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为,A B ，点P 在1C 上，求BA BP ⋅uu r uu r的取值范围；（2）若直线l 与2C 交于M N ,两点，点Q 的直角坐标为()2,1-，求QM QN -的值. 23.[选修4–5：不等式选讲]已知函数()223f x x x m =+++，R m ∈. （1）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）若(),0x ∀∈-∞，都有()2f x x x≥+恒成立，求m 的取值范围.湖南湖北四校2020届高三学情调研联考文科数学试题卷参考答案及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B【解析】由题意得，[]0,4P =，()3,3Q =-，(]3,4P Q =-∴U ，故选B. 2.C 【解析】设x a bi =+，y a bi =-，代入得()()2222346a a bi i -+=-，所以()224a =，()2236a b +=，解得1a =，1b =，所以x y +=3.B 解析：设大正方体的边长为x ，12x x -，设落在小正方形内的米粒数大约为N ，则2212200x x N x ⎫-⎪⎝⎭=，解得：27N ≈. 4.A 【解析】()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u uu r u u u r u u u r u u u r r u u u r ，所以14λ=，34μ=，从而求得13λμ=.5.D 解析：Q 函数()f x 是偶函数，()()f x f x ∴=-在R 上恒成立，0m ∴=，∴当0x ≥时，易得()21x f x =-为增函数，()()0.52log 3log 3af f ∴==，，()2log5b f =，()2c f =，22log 32log 5<<Q，a c b ∴<<6.C 由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -， 故1AC =，2PA =，BC PC ==AB =PB =12112ABC PAC S S ∴==⨯⨯=△△，122PAB S =⨯⨯=△12PBC S =⨯=△，∴该多面体的侧面最大面积为.故选C.7.B 解析：双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b +>， 即()2min4MF MNb +>，又2 21232222b MF MN aMF MN a NF aa+≥++≥+=+2223244382ba b a b aba∴+>⇒+>34802b a ba b a⇒⋅+->⇒>或23ba<2221bea∴=+，5e>或131N<<8.B详解：由11111123499100S=-+-++-L得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i=+，选B.9.C【解析】3cos cos5a Bb A c-=Q∴由正弦定理，得3sin cos sin cos sin5A B B A C-=，()()sin sinC A B C A Bπ=-+⇒=+Q，()3sin cos sin cos sin cos cos sin5A B B A A B A B∴-=+，整理，得sin cos4sin cosA B B A=，同除以cos cosA B，得tan4tanA B=，由此可得()2tan tan3tan3tan11tan tan14tan4tantanA B BA BA B B BB--===+++，AQ、B是三角形内角，且tan A与tan B同号，A∴、B都是锐角，即tan0A>，tan0B>，114tan4tan4tan tanB BB B+≥⋅=Q()33tan144tantanA BBB-=≤+，当且仅当14tantanBB=，即1tan2B=时，()tan A B-的最大值为34.10.B解析：2ππ2cos1cos1sin242xx xωωω⎛⎫⎛⎫-=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q，()()2sin1sin sin sinf x x x x xωωωω=+-=.令π2π2x kω=+可得π2π2kxωω=+，()f xQ在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，π0π2ω∴≤≤解得12ω≥.令ππ2π2π22k x kω-+≤≤+，解得：π2ππ2π22k kxωωωω-+≤≤+，()f xQ在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，2ππ325π365ωω⎧-≥-⎪⎪∴⎨⎪≤≤⎪⎩，解得35ω≤.综上，1325ω≤≤.故选：B.11.A解析：因为0a b>>，所以双曲线的渐近线如图所示，设内切圆圆心为M，则M在AOB∠平分线OF上，过点M分别作MN OA⊥于N，MT AB⊥于T，由FA OA⊥得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得FA b=，又OF c=，所以OA a=，312NA MN a==-，所以332NO a=-，所以tan3MNbAOFa NO=∠==，得23213bea⎛⎫=+=⎪⎝⎭.故选A.12.D解析：方法一：本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的.适合空间想象能力略差学生.设2PA PB PC x===，,E F分别为,PA AB中点，EF PB∴∥，且12EF PB x==，ABC△Q为边长为2的等边三角形，3CF∴=又90CEF∠=︒23CE x∴=-12AE PA x==AEC△中余弦定理()2243cos22x xEACx+--∠=⨯⨯，作PD AC⊥于D，PA PC=Q，DQ为AC中点，1cos2ADEACPA x∠==，2243142x xx x+-+∴=，2212x ∴+=，212x ∴=，2x =，PA PB PC ∴===2AB BC AC ===，,,PA PB PC∴两两垂直，2R ∴==2R ∴=，344338V R ππ∴==⨯=，故选D. 方法二：PA PB PC ==Q ，ABC △为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，CE AC C =I ，EF ∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，PAB ∴∠=90︒，PA PB PC ∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==R =，34433V R ππ∴===，故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- 14.2F V E +-=解析：凸多面体的面数为F .顶点数为V 和棱数为E ，①正方体：6F =，8V =，12E =，得86122F V E +-=+-=； ②三棱柱：5F =，6V =，9E =，得5692F V E +-=+-=； ③三棱锥：4F =，4V =，6E =，得4462F V E +-=+-=.根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F .V 和棱数E 满足如下关系：2F V E +-= 再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立. 因此归纳出一般结论：2F V E +-= 故答案为：2F V E +-= 15.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭解析：()()1x f x e x =-Q ，()xf x xe '∴=，∴对于任意的[]2,2x ∈-，当[)2,0x ∈-时，()0f x '<，当(]0,2x ∈时，()0f x '>，即()f x 在[)2,0-上为减函数，在(]0,2上为增函数.0x ∴=为()f x 在[]2,2-上的极小值点，也是最小值点且最小值为[]2,2-，∴对于任意的[]12,2x ∈-，()1min 1f x =-，而总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，()()12min min f x g x >.()g x mx =∵，∴①0m =时，()20g x =，不合题意，②0m >时，()[]22,2g x mx m m =∈，此时1m <-，不合题意，③0m <时，()[]222,g x mx m m =∈，()2min 2g x m ∴=，21m ∴<-，12m <-. 16.850【解析】依题意，每天生产的玩具A 型商品x 个、B 商品y 个、C 商品的个数等于：100x y --，所以每天的利润()89610023600T x y x y x y =++--=++.约束条件为：()*57410060010000,0,,x y x y x y x y x y N ++--≤⎧⎪--≥⎨⎪≥≥∈⎩，整理得*3200100,x y x y x y N ⎧+≤⎪+≤⎨⎪∈⎩.目标函数为23600T x y =++.如图所示，做出可行域.初始直线0:230l x y +=，平移初始直线经过点A 时，T 有最大值.由3200100x y x y +=⎧⎨+=⎩得5050x y =⎧⎨=⎩.最优解为()50,50A ，此时max 850T =（元）.即最大日利润是850元.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（1）()()()111122n n n n n n n n b b b a a b b b +===-+--Q ，11112n nb b +∴-=--，12111111n n n n b b b b +-∴==-+---.∴数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以4-为首项，1-为公差的等差数列. ∴14(1)31n n n b =---=---，∴12133n n b n n +=-=++. （2）113n n a b n =-=+Q . ()()()12231111114556344444n n n n S a a a a a a n n n n +∴=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅=-=⨯⨯++++ ()()()()21368244334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+∴-=-=++++.由条件可知()()213680a n a n -+--<恒成立即可满足条件，设()()()21328f n a n a n =-+--，当1a =时，()380f n n =--<恒成立，当1a >时，由二次函数的性质知不可能成立.当1a <时，对称轴3231102121a a a -⎛⎫-⋅=--< ⎪--⎝⎭，()f n 在[)1,+∞为单调递减函数. ()()()113684150f a a a =-+--=-<，154a ∴<，∴时4n aSb <恒成立.综上知：1a <时，4n aS b <恒成立. 18.【解析】（1）连接DB ，DF ⊥平面ABCD ，EB ⊥平面ABCD ，EB FD ∴∥，E ∴，F ，D ，B 四点共面，AC EB ∴⊥，设DB AC O =I ，ABCD Q 为菱形，AC DB ∴⊥.DB EB B =I ，AC ∴⊥平面EFDB ，EF ⊂Q 平面EFDB ，AC EF ∴⊥.（2）EB FD ∥Q ，EB BD ⊥，EFDB ∴为直角梯形，在菱形ABCD 中，60DAB ∠︒＝，2AB =，2BD =，3AO CO ==∴梯形EFDB 的面积()24262S +⨯==，AC ⊥Q 平面EFDB ，114333EFABCD C EFDB A EFDB V V V S AO S CO --∴==⨯+⨯=+. 19.解析：（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，()0.0150.014550.03450.0447450.5b ∴⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得0.026b =；0.0430.032550.010100.5a ∴⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =；∴甲在1分钟内解密成功的频率是10.01100.9f =-⨯=（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为10.9P =；第二个出场选手解密成功的概率为2910.910.911010P =⨯+⨯=， 第三个出场选手解密成功的概率为23910.920.9291010P ⎛⎫=+⨯= ⎪⎝⎭⨯， 所以该团队挑战成功的概率为0.90.10.910.10.090.9290.999361P =+⨯+⨯⨯=（或令“该团队挑战成功”的事件为A ，“挑战不成功”的事件为A ，()()()()10.910.9110.9290.10.090.0710.000639P A ⨯=---=⨯=，∴该团队挑战成功的概率为()()110.00016390.999361P A P A =-=-=②由①可知按i P 从小到大的顺序的概率分别1p ，2p ，3p ，根据题意知X 的取值为1，2，3；则()10.9P X ==，()()210.90.910.091P X ==-⨯=， ()()()310.910.910.10.090.009P X ==--=⨯=.20.（1）因为1,2c c m e a ===，则2,a m b ==，所以2a b +取最小值时1m =， 此时抛物线21:4C y x =-，此时22,3a b ==，所以椭圆2C 的方程为22143x y +=； （2）因为1,2c c m e a ===，则2,a m b ==，设椭圆的标准方程为2222143x y m m +=， ()()0011,,,P x y Q x y 由2222214334x y m m y mx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得03y m =，即23m P ⎛- ⎝⎭， 于是153m PF =，21723m PF a PF =-=，12623m F F m ==，又12PF F △的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =.此时抛物线方程为212y x =-，()(13,0,F P --，则直线PQ的方程为)3y x =+.联立)2312y x y x⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得192x =-或12x =-（舍去），于是9,2Q ⎛-- ⎝.所以252PQ ==，设(()2,12t M t t ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭到直线PQ的距离为d，则2753022d t ⎛=⨯+- ⎝⎭，当t =max 752d ==，所以MPQ △的面积最大值为12522⨯=.此时:MP y =+.21.（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1a x ae f x e x ex+'=+=，曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为2y x e =.由题意得000012,2ln a e x e x x a x ee ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得1a =，0x e =.所以a 的值为1. （2）当1a =-时，()ln xf x x e =-，则()11x e f x e x ex-'=-=，由()0f x '>，得x e >，由()0f x '<，得0x e <<，则()f x 有最小值为()0f e =，即()0f x ≥，所以()ln ln x x g x x b e x=--+，()0x >，由已知可得函数ln ln x x y x x e =+-的图象与直线y b =有两个交点， 设()()ln ln 0x x h x x x x e=+->，则()22211ln 1ln x ex e e x x h x x x e ex -+--'=+-=， 令()2ln x ex e e x x ϕ=+--，()222e ex e x x e x x x ϕ--'=--=， 由220ex e x --<，可知()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()0,+∞上为减函数，由()0e ϕ=，得0x e <<时，()0x ϕ>，当x e >时，()0x ϕ<，即当0x e <<时，()0h x '>，当x e >时，()0h x '<，则函数()h x 在()0,e 上为增函数，在(),e +∞上为减函数，所以，函数()h x 在x e =处取得极大值()1h e e =， 又()11h e =-，()322331341h e e e e e=+-<-<-<-， 所以，当函数()g x 在[)1,+∞上有两个零点时，b 的取值范围是11b e e -≤<， 即11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 22.（1）由题意可知：直线l 的普通方程为10x y ++=，()1,0A ∴-，()0,1B -1C 的方程可化为()2210x y y +=≥，设点P 的坐标为()cos ,sin θθ，0θπ≤≤，cos sin 1114BA BP πθθθ⎛⎫⎡⎤∴⋅=-++=-+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭uu r uu r（2）曲线2C 的直角坐标方程为：()()22228x y ++-=直线l的标准参数方程为212x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m 为参数），代入2C得：270m -=设,M N 两点对应的参数分别为12,m m121270m m m m +=-<故12,m m异号12QM QN m m ∴-=+=23.答案：（1）当2m =-时，()()410322321023452x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪⎛⎫=++--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得102x ≤≤当30,132x -<<≤恒成立. 当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）()()43032233023432x m x f x x x m m x x m x ⎧⎪++≥⎪⎪⎛⎫=+++=+-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--+≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩， 当(),0x ∈-∞时，()33022233432m x f x x x m x m x ⎧⎛⎫+-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=+++=⎨⎛⎫⎪--+≤- ⎪⎪⎝⎭⎩当302x -<<时，()3f x m =+，当()3,432x f x x m ≤-=--+单调递减， ()f x ∴的最小值为3m +设()()20g x x x x=+<当20,x x x ->-+≥-，当且仅当2x x -=-时，取等号2x x ∴+≤-即x =()g x取得最大值-.要使()2f x x x≥+恒成立，只需3m +≥-3m ≥-.。
湖北省武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学答案
武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学试卷参考答案及评分标准填空题：12. 1213.14.解答题：15.（13分）解： （1）由题意，cos cos sin 3sin sin C A C B A=−，得：3sin cos sin cos cos sin B C A C A C −=.所以3sin cos sin cos cos sin sin()B C A C A C A C =+=+.又sin()sin()sin A C B B π+=−=，且sin 0B ≠，所以1cos 3C =.由sin 0C >，故sin C ==. …………6分（2）1sin 2S ab C ==15ab =.由余弦定理，222222cos 10c a b ab C a b =+−=+−. 又22226()6()180c a b a b =−=+−.联立得：2234a b +=，c =8a b +==.所以ABC ∆的周长为8a b c ++=+.…………13分16.（15分）解：（1）1a =−时，2()ln f x x x x =++，1'()12f x x x=++.'(1)4f =，(1)2f =.所求切线方程为4(1)2y x =−+，整理得：42y x =−.…………5分（2）2121'()2x ax f x a x x x−+=−+=. 因为0x >，故0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上递增.当0a >时，对于221y x ax =−+，28a ∆=−.若0a <≤0∆≤，此时'()0f x ≥，()f x 在(0,)+∞上递增.若a >2210x ax −+=，得0x =>.0x <<时，'()0f x >，()f x 递增；x >'()0f x >，()f x 递增；x <<'()0f x <，()f x 递减；综上所述：a ≤()f x 在(0,)+∞上递增；a >()f x 在上递增，在上递减，在)+∞上递增， …………15分17.（15分）解：（1）连接,DA EA ，11DA =，12AA =，160DA A ∠=︒，2212212cos 603DE =+−⋅⋅⋅︒=.满足22211DA DA AA +=，所以1DA DA ⊥，即DA AB ⊥.平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ，由DA AB ⊥，得DA ⊥平面ABC . 由BC ⊂平面ABC ，得DA BC ⊥，又DE BC ⊥，且DA DE D =，所以BC ⊥平面DAE .由AE ⊂平面DAE ，得BC AE ⊥.设,3BE t CE t ==，有2222(3)BA t AC t −=−，解得：1t =.所以4BC =，满足222BA AC BC +=，即AC AB ⊥，所以AC ⊥平面11ABB A . 由1BB ⊂平面11ABB A ，得1AC BB ⊥.…………8分（2）以A 为坐标原点，,,AB AC AD 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系. (0,0,3)D ，33(,,0)22E ，1(1,0,3)A −，1(1,0,0)DA =−，135(,,3)22EA =−−.设平面1DEA 的法向量(,,)n x y z =，由1100n DA n EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0353022x x y z −=⎧⎪⎨−−+=⎪⎩，取1z =，得到平面PBD 的一个法向量(0,2,1)n =.又11(1,0,3)BB AA ==−，设直线1与平面1所成角的大小为， 则11||315sin |cos ,|||||54n BB n BB n BB θ⋅=<>===⋅⋅所以直线1BB 与平面1DEA 所成角的正弦值为1510.…………15分18.（17分）解：（1）设1122(,),(,),(,)P P A x y B x y P x y . 由2y x =，得'2y x =，所以1l 方程为：1112()y x x x y =−+，整理得：2112y x x x =−. 同理，2l 方程为：2222y x x x =−.联立得：122P x x x +=，12P y x x =. 设直线AB 的方程为(1)2y k x =−+，与抛物线方程联立得：220x kx k −+−=故12x x k +=，122x x k =−，所以2P k x =，2P y k =−，有22P P y x =−.所以点P 在定直线22y x =−上. …………6分（2）在12,l l 的方程中，令0y =，得12(,0),(,0)22x xM N ， 所以PMN ∆面积121211|||||()|24P S MN y x x x x =⋅=−= 故221212()()32x x x x −=，带入可得：22(48)(44)32k k k k −+−+=.22[(2)8][(2)4]0k k −+−−=，解得：0k =或4k =.所以点P 的坐标为(0,2)−或(2,2).…………11分（3）抛物线焦点1(0,)4F ，由1(,0)2xM 得直线MF 斜率1112MF MPk x k =−=−，所以MF MP ⊥，同理NF NP ⊥，所以PF 是PMN ∆外接圆的直径. 若点T 也在该圆上，则TF TP ⊥. 由74TF k =，得直线TP 的方程为：4(1)27y x =−−+.又点P 在定直线22y x =−上，联立两直线方程，解得点P 的坐标为1614(,)99.…………17分19.（17分）解：（1）1()(1)k P X k p p −==−， 1211(1)[12(1)3(1)...(1)]nk n k k p p p p p n p −−=−=+−+−++−∑，记2112(1)3(1) (1)n n S p p n p −=+−+−++−，则21(1)(1)2(1)...(1)(1)(1)n n n p S p p n p n p −−=−+−++−−+−，相减得：211(1)(1)...(1)(1)n n n pS p p p n p −=+−+−++−−−1(1)1(1)(1)(1)1(1)n n n n p p n p n p p p−−−−=−−=−−−−由题意：1(1)1()lim()lim[(1)]nn n n n p E X pS n p p p→∞→∞−−==−−=.…………5分（2）（i ）2222(1)(1)2(1)(2)E p E p p p E =−⋅++⋅+−⋅+.解得：221pE p+=. …………8分 （ii ）期待在1n E −次试验后，首次出现连续(1)n −次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为1(1)n E −+；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是n E ，此时总的试验次数为1(1)n n E E −++.即11(1)(1)(1)n n n n E p E p E E −−=⋅++−⋅++.整理得：11(1)n n E E p−=+，即1111()11n n E E p p p −+=+−−.所以11111()11n n E E p pp −+=+−−. 由（1）知11E p=，代入得：1(1)nn np E p p−=−.…………17分。
武昌区2020届高三4月调研测试文数答案
令 5 p t(4 t 5) ，则 kOG
20 t t2
t2
20 1 1 1 1 1( ) ，
t2 t 5 t 4
2
2
解得 0 kOG ，即直线 OG 斜率的取值范围为 (0, ) .
2
2
………….(12 分)
21．（本题 12 分）
t 解：（1） f (x) 2x t 2 ，因为 x 2 是 f (x) 的极值点，
每周平均体育锻炼时间超过 2 小时 38 37 75
总计
45 55 100
因为 K 2
n(ad bc)2
100 (18 38 7 37)2
3.892 3.841 ，
(a b)(c d )(a c)(b d )
25 75 55 45
所以，有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”. …(12 分)
2
2
即1 x02 ( x0 2)2 y02 ，将 y02 2 px0 代入，
4
4
化简，得 (2 p 4)x0 0 ，所以 p 2 .
所以，抛物线 E 的方程为 y2 4x .
………….(4 分)
（2）由
y 2 ( x
2 px, 5)2
y2
得 9,
x2
2(5
p)x
16
0
，且
（2）设 C1 到平面 B1MC 的距离为 h .
1
1
1
1
因为 MP 2 ， SB1CC1 2 ，所以VM B1C1C 3 SB1CC1 MP 12 .
2
6
1
3
因为 CM 2 ， B1C
2 ， B1M
2
武昌区2020届高三年级四月调研考试文数答题卡 (2)
说明：全部答题一共需要拍 7 张照片上传，填空题（共 4 小题）一张，解答题 17，18， 19，20，21，22 或 23 各一张，每张纸不超过一张 A4 纸大小即可。 二、填空题：（每题 5 分，共 20 分） 13．
____________________ 14．
____________________ 15．
____________________ 16．
____________________ （说明：填空题拍一张照片上传）
三、解答题：（共 70 分） （一）必考题： 17.（12 分）
数学答题卡（第 1 页 共 6 页）
18. （12 分）
数学答题卡（第 2 页 共 6 页）
19. （12 分）Fra bibliotek男生 每周平均体育锻炼时间不超过 2 小时 每周平均体育锻炼时间超过 2 小时 总计
女生
总计
数学答题卡（第 3 页 共 6 页）
20. （12 分）
数学答题卡（第 4 页 共 6 页）
21. （12 分）
数学答题卡（第 5 页 共 6 页）
（二）选考题： 22.或 23. （10 分）（请标明选择的题号）
数学答题卡（第 6 页 共 6 页）
〖附16套高考模拟卷〗湖北省武汉市2020-2021学年高三毕业生四月调研测试数学试卷含解析
湖北省武汉市2020-2021学年高三毕业生四月调研测试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ） A ．6B ．1C ．32D ．32-2．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ） A ．4πB ．38π C ．2π D ．58π 3．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i4．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y =C ．2y x =±D ．y =5．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π6．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m n x y 的系数之和为（ ） A ．640B ．416C ．406D ．236-7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1638．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥9．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1010．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 11．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ） A ．33-B ．3C ．33- D ．3212．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C 处，由C 向西开26百海里到达D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）A ．3B ．32C ．4D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
[首发]湖南湖北四校2020届高三学情调研联考数学(文)试题含答案+详解
,
5 2
11．过双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
右焦点
F
的直线交两渐近线于
A、B
两点，若
uur OA
uuur AB
0
，O
为
坐标原点，且 △OAB 内切圆半径为 3 1 a ，则该双曲线的离心率为
2
A. 2 3
3
B. 3
C. 4 3
3
D. 3 1
12．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA PB PC ，△ABC 是边长为 2 的正三
ta（n A
B）
tanA tanB 1 tanAtanB
3tanB 1 4tan2B
1
3
， A、B 是三角形内角，且
4tanB
tanB
tanA 与 tanB 同号， A、B 都是锐角，即 tanA＞0，tanB＞0，
1 4tanB 2 1 4tanB 4
tanB
tanB
ta（n A B）
9 、C【解析】 acosB bcosA 3 c ∴由正弦定理，得 5
sinAcosB sinBcosA 3 sinC， 5
C （A B） sinC si（n A B） ，，
∴ sinAcosB sinBcosA 3（sinAcosB cosAsinB）， 5
整理，得 sinAcosB 4sinBcosA ，同除以 cosAcosB，得 tanA 4tanB ，由此可得
日利润是__________元.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。
2023年武汉市高三4月调研考试数学试卷+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023年武汉市高中毕业生四月调研考试数学试卷的。
1.已知集合，，则( )A. B.C.D.2.若复数是纯虚数，则实数( )A. B. C. D.3.已知，则( )A.B.C. D. 4.正六边形ABCDEF 中，用和表示，则( )A.B.C.D. 5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题.现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则( )A. 55 B. 49C. 43D. 376.设抛物线的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，过P 作l 的垂线，垂足为Q ，若直线QF 的倾斜角为，则( )A. 3B. 6C. 9D. 127.阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数;若为无理数，则取无理数，，此时为有理数.”依据这段文字可以证明的结论是( )A.是有理数B.是无理数C. 存在无理数a ，b ，使得为有理数D. 对任意无理数a ，b ，都有为无理数8.已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的k 所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则( )A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是( )A. 招商引资后，工资性收入较前一年增加B. 招商引资后，转移净收入是前一年的倍C. 招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的D. 招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍10.椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有( )A. B.C.D.11.函数的图象可能是( )A.B.C.D.12.三棱锥中，，，，直线PA与平面ABC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，则下列说法中正确的有( )A. 三棱锥体积的最小值为B. 三棱锥体积的最大值为C. 直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角D. 直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。