椭圆内的直角三角形课件.
椭圆中的内接三角形的性质探究
在椭圆中，内接三角形是指三角形的顶点在椭圆上，而三角形的三条边都是与椭圆的渐近线相切的。
内接三角形具有以下性质：1.内接三角形的三条边都是椭圆的渐近线。
由于内接三角形的三条边都是与椭圆的渐近线相切的，所以内接三角形的三条边都是椭圆的渐近线。
2.内接三角形的两个顶点在椭圆的渐近线上。
由于内接三角形的顶点在椭圆上，而椭圆的渐近线是椭圆的边界，所以内接三角形的两个顶点一定在椭圆的渐近线上。
3.内接三角形的底边是椭圆的最短距离。
由于内接三角形的三条边都是椭圆的渐近线，所以内接三角形的底边一定是椭圆的最短距离。
4.内接三角形的顶点是椭圆的极点。
由于内接三角形的顶点在椭圆上，而椭圆的极点是椭圆上最远离圆心的点，所以内接三角形的顶点一定是椭圆的极点。
5.内接三角形的底边是椭圆的直径。
由于内接三角形的底边是椭圆的最短距离，而椭圆的直径是椭圆的最长距离，所以内接三角形的底边一定是椭圆的直径。
6.内接三角形的顶点是椭圆的焦点。
由于内接三角形的顶点是椭圆的极点，而椭圆的焦点是椭圆的极点到圆心的距离最大的点，所以内接三角形的顶点一定是椭圆的焦点。
7.内接三角形的顶点到圆心的距离等于椭圆的长半轴。
由于内接三角形的顶点是椭圆的焦点，而椭圆的长半轴是椭圆的焦点到圆心的距离，所以内接三角形的顶点到圆心的距离一定等于椭圆的长半轴。
8.内接三角形的底边是椭圆的直径，所以内接三角形是一个等边三角形。
9.内接三角形的底边是椭圆的直径，所以内接三角形的底边是椭圆的对称轴。
10.内接三角形的底边是椭圆的直径，所以内接三角形的底边是椭圆的中心线。
11.内接三角形的两个内角都是直角。
由于内接三角形的底边是椭圆的直径，所以内接三角形的两个顶点到圆心的距离都是椭圆的半径，也就是说，内接三角形的两个内角都是直角。
这是因为，在平面几何中，当两条距离都等于半径的线段从圆心出发并延伸到圆上时，这两条线段所成的角一定是直角。
12.内接三角形的外角总和为180度。
椭圆内接三角形为直角三角形的一个充要条件
椭圆内接三角形为直角三角形的一个充要条件
椭圆是一种非常常见的曲线，它主要用于建筑、机器、日常生活等多种用途。
椭圆内接三角形是指椭圆围成的正多边形中与椭圆外接圆相切，由椭圆及其外接圆切线组成的三角形，一般也称为椭圆三角形。
一个椭圆内接三角形是直角三角形的充分条件是，椭圆母线要与直角三角形中一条边垂直。
由于椭圆是由椭圆各级别辐射线及其外接圆切线组成的，因此要使椭圆中的某边与椭圆母线垂直，那么这边的切线就必须平行于椭圆母线。
而对于任意一个椭圆，它的外接圆切线都不会平行于椭圆母线，因此椭圆内接三角形不可能是直角三角形。
我们可以利用高等几何知识得出这个结论，例如，我们知道任意一个椭圆的内接多边形都是凸的，而且斜边的斜率均是恒定的。
因此，由于内接三角形中的两个斜边的斜率是不同的，在此情况下内接三角形肯定不是直角三角形。
总之，从几何学的角度来讲，椭圆内接的三角形不可能是直角三角形，这是几何学定理的结论。
它既蕴含着理性以及证明的方法，又能给我们提供一种立体感，以及原理知识。
椭圆及其标准方程ppt课件
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
说课椭圆及其标准方程(2)公开课一等奖课件PPT
汇报人：可编辑
2023-12-23
目 录
• 课程导入 • 椭圆的标准方程 • 椭圆的几何性质 • 椭圆的实际应用 • 课堂练习与巩固 • 课程总目的
01
02
03
激发学生学习兴趣
通过有趣的导入内容，引 起学生对本节课主题的兴 趣，使他们更加投入地参 与到课堂中。
在说课环节，部分学生的表达不够流 畅，需要加强口语表达能力的训练。
下节课的展望
针对学生在本节课中存在的问题 ，制定针对性的练习和巩固措施 ，帮助他们更好地掌握椭圆的标
准方程。
加强口语表达能力的训练，提高 学生的说课水平。
增加探究性学习的内容，满足学 生的探究需求，培养他们的创新
思维和实践能力。
THANKS
观测数据
通过观测椭圆轨道上的天体，可以获 取精确的天文数据，有助于科学家研 究宇宙的奥秘。
工程设计
桥梁设计
桥梁的曲线设计有时采用椭圆形状，以实现结构的稳定和美 观。
建筑设计
椭圆在建筑设计中也常被用作装饰元素或结构设计的灵感来 源。
05
课堂练习与巩固
基础练习
01
02
03
04
椭圆的标准方程
请写出椭圆的标准方程，并解 释其含义。
形。
04
椭圆的实际应用
地球轨道研究
椭圆轨道
地球围绕太阳的公转轨道是一个 椭圆，通过研究椭圆的性质，可 以更好地理解地球的运动规律。
卫星轨道
卫星的轨道设计也经常采用椭圆 形，利用椭圆的特性实现卫星的 精确控制和稳定运行。
天文观测
天体轨迹
椭圆形状在天文学中广泛用于描述行 星、卫星和其他天体的运动轨迹。
新教材高中数学第二章椭圆的几何性质课件新人教B版选择性必修第一册ppt
为 B，右焦点为 F，若∠ABF＝90°，则椭圆 C 的离心率为( )
A．
5－1 2
B．
3－1 2
C．1＋4 5
D．
3＋1 4
【思路导引】1.设|PF2|＝m，则根据平面几何知识可求|F1F2|，|PF1|，再结合椭圆定 义可求离心率． 2．根据∠ABF＝90°可知 kAB·kBF＝－1，转化成关于 a，b，c 的关系式，再根据 a， b 和 c 的关系进而求得 a 和 c 的关系，则椭圆的离心率可得．
必备知识·自主学习
导思
1.椭圆的几何性质主要有哪些？ 2．椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
1.椭圆的几何性质
2.椭圆的离心率
c
(1)定义：焦距与长轴长的比__a__ ．
c
(2)记法：e＝__a__． (3)范围：_0_<_e_<_1_．
(4)e与椭圆形状的关系：e越接近1，椭圆越扁平，e越接近0，椭圆越接近于
圆．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)椭圆xa22 ＋yb22 ＝1(a＞b＞0)的长轴长是 a.(
)
(2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( )
(3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为 10，8，则椭圆的方程为2x52
＋1y62 ＝1.(
)
(4)设 F 为椭圆xa22 ＋yb22 ＝1(a＞b＞0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF|的最大
所以所求的椭圆方程为4x82 ＋1y22 ＝1.
备选类型 分类讨论思想在椭圆中的应用(数学抽象)
【典例】(2020·北京高二检测)已知椭圆x52
(1)椭圆过点(3，0)，离心率 e＝
6 3
椭圆的几何性质优秀课件公开课
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-1-2椭圆的几何性质
人 教 B 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[解析]
x2 y2 将椭圆方程变形为 ＋ ＝1. 1 1 4 9
1 1 ∴a＝2，b＝3， ∴c＝ 1 1 5 4－9＝ 6 .
人 教 B 版 数 学
∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a＝1， 5 c 5 5 2c＝ 3 ，离心率 e＝a＝ 3 ，焦点坐标为 F1(－ 6 ，0)， 5 1 1 1 F2( 6 ，0)，顶点坐标为 A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－3)， 1 B2(0，3).
[说明] 已知直线的斜率，常设直线的斜截式方程， 已知弦的长度，考虑弦长公式列方程，求参数．
人 教 B 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[例 7] 的值．
x2 y2 1 已知椭圆 2 ＋m＝1(m>0)的离心率为2，求 m
人 教 B 版 数 学
[误解]
∵a2＝2，b2＝m，∴c2＝2－m，
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
4b2 ∴|PF1|· 2|＝ ， |PF 3
|PF1|＋|PF2| 2 又∵|PF1|· 2|≤ |PF ＝a2， 2
人 教 B 版 数 学
c 1 1 ∴3a ≥4(a －c )，∴a≥2，∴e≥2.
2 2 2
又∵椭圆中 0<e<1，∴所求椭圆的离心率的取值范围 1 是2≤e<1.
(选修1-1)
x2 y2 方法二：设椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)， 2 则 M(c，3b) c2 4b2 代入椭圆方程，得a2＋9b2＝1， c2 5 所以 2＝ ， a 9 c 5 5 所以 ＝ ，即 e＝ . a 3 3
高中数学选择性必修一课件：椭圆的简单几何性质(第1课时)
由①得 c2≥b2，即 c2≥a2－c2，
∴a2≤2c2，∴e2＝ac22≥12.
又 0<e<1，∴e∈ 22，1. 由②得 c2－b2<c2，此式恒成立．
综上所述，椭圆的离心率 e 的取值范围是 22，1. 方法三：设椭圆与 y 轴的一个交点为 P，连接 PF1，PF2. ∵椭圆上存在一点 M，使∠F1MF2＝90°， ∴∠F1PF2≥90°，则 c≥b， ∴c2≥b2＝a2－c2，∴ac22≥12，∴e≥ 22或 e≤－ 22， 又 0<e<1，∴椭圆的离心率 e 的取值范围为 22，1.
3.1.2 椭圆的简单几何性质(第1课时)
要点 1 椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在 x 轴上
图形 标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
焦点在 y 轴上 ay22＋bx22＝1(a>b>0)
范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性
离心率
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
(±a，0)，(0，±b)
c趋近于a，b＝ a2－c2越小 ―→ 椭圆越__扁_平__
1．下列说法是否正确？ ①椭圆的中心一定是原点； ②椭圆有一个对称中心及无数条对称轴； ③椭圆的长轴一定比短轴长． 答：①不正确，②不正确，③正确．
2．椭圆性质的补充 (1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心 的距离的最小值为短半轴长 b)，到中心距离最大的点是长轴的两个端点(即椭圆 上的点到椭圆中心的距离的最大值是长半轴长 a)． (2)椭圆上到焦点距离最大的点(称为“远日点”)和最小的点(称为“近日 点”)是长轴的两个端点，最大距离为 a＋c，最小距离为 a－c.
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绘图步骤
以椭圆的短半轴绘制一比二的阿氏圆。
绘图步骤
第四步：以两圆的交点绘制直接三角形。
绘图步骤
第五步：以短半轴的中点和直角三角形的顶点绘制 水平和垂直线，交于中点，连接交点和短半轴的端 点。
绘图步骤
第六步：移动中点和短半轴的端点的连线以中点为 基点到椭圆的中心。
绘图步骤
第七步：移动长直角边的顶点到直线与椭圆的交点， 使用同样下图：
椭圆内的直角三角形
AutoCAD绘图
绘图分析
已知： 椭圆：长轴90，短轴50，在椭圆内绘制一个直角三角形，长直角边是 短直角边的两倍长。斜边两个端点在椭圆上，并且和短半轴平行。
绘图分析
以上内容下载后可见
绘图步骤
第一步：绘制椭圆。
绘图步骤
第二步：以椭圆的短半轴绘制两点圆。
绘图步骤
第三步：以椭圆的短半轴绘制一比二的阿氏圆。