三角形中位线中的常见辅助线-)
三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
方法二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。
其他位置的也要能看出常见考点构造三角形中位线考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点;②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用． 典型例题【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．举一反三1. 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．2. 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠． 举一反三1. 已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．2. 已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，求证： AMF BNE ∠=∠（2）当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请证明．【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．举一反三1.如图所示，在三角形ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE=DF ．过E 、 F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：（1）DEM FDN ∆∆≌；（2）PAE PBF ∠=∠．EDE DB C3. 已知：在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =4. 如图所示，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE 的中点．（1）求证MB MC =．（2）设BAD CAE ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．5. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME（1）如图1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是 （2）如图2所示，若AB≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3）在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．图 1 图 2 图3 【例4】 以ABC ∆的两边AB 、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是________；线段AM 与DE 的数量关系是________；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．举一反三1. （1）如图1，BD 、CE 分别是ABC △的外角平分线，过点A 作AD BD AE CE ⊥⊥、,垂足分别为D E 、，连接DE ．求证：()12DE BC DE AB BC AC =++，∥（2）如图2，BD CE 、分别是ABC △的内角平分线，其他条件不变；图1F E D CB A （3）如图3，BD 为ABC △的内角平分线，CE 为ABC △的外角平分线，其他条件不变。
则在图2、图3两种情况下，DE BC 、还平行吗？它与ABC △三边又有怎样的数量关系？请你写出猜测，并给与证明． 2. 已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB 边上的高线CH 与ABC ∆的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：EF AB ∥．【例5】 等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，AC BD =，AC 与BD 交于点O ，60AOB ∠=︒，P 、Q 、R 分别是OA 、BC 、OD 的中点，求证：PQR ∆是正三角形．举一反三1. AD 是ABC ∆的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：13AE AC =． 【例6】 如左下图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，E 、F 分别是AC 、BD 中点．求证：EF AB ∥，且()12EF AB CD =-． 举一反三2. 在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问题：如图1，已知ABC ∆，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，分别以AB BC ，为边向外作ABD ∆和BCE ∆，且DA DB =，EB EC =，90ADB BEC ∠=∠=︒，连接DE 交AB 于点F ，探究线段DF 与EF 的数量关系。
小慧同学的思路是：过点D 作DG AB ⊥于G ，构造全等三角形，通过推理使问题得解小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，30ABC ∠=︒，60ADB BEC ∠=∠=︒小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF 与EF 的数量关系（2）如图2，若30ABC ∠=︒，60ADB BED ∠=∠=︒，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若2,ADB BEC ABC ∠=∠=∠原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明。
真题演练1. 已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==，ABO DCO =∠∠. 连接AD BC 、、，点M 、 N 、P 分别为AO 、DO 、BC 的中点.（1）如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠，则PMN △的形状是________________，此时AD BC=________； （2）如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN △∽BAO △，并计算AD BC 的值（用含α的式子表示）；（3）在图2中，固定AOB △，将COD △绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.图1 图22. 如图，D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M 、N 分别是CE 、CF 的中点.（1）求证：△DMN 是等边三角形；（2）连接EF ，Q 是EF 中点，CP ⊥EF 于点P . 求证：DP ＝DQ .同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？ 她考虑将△NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.3. 在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ．（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当AB ≠AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1 图24. 探究问题：已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD 、BE 交于点O .（1）△ABC 为等边三角形，如图1，则AO ︰OD =__________；（2）当小明做完（1）问后继续探究发现，若△ABC 为一般三角形（如图2），⑴中的结论仍成立，请你给予证明.（3）运用上述探究的结果，解决下列问题：30ABO DCO ∠=∠=︒如图3，在△ABC 中，点E 是边AC 的中点，AD 平分∠BAC , AD ⊥BE 于点F ，若AD =BE =4.求：△ABC 的周长.图1 图2 图35. 如图1，在四边形ABCD 中，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，则BME CNE ∠=∠（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ，连结HE HF 、，根据三角形中位线定理，证明HE HF =，从而12∠=∠，再利用平行线性质，可证得BME CNE ∠=∠．）问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF ，分别交DC AB 、于点M N 、，判断OMN △的形状，请直接写出结论．问题二：如图3，在ABC △中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=°，连结GD ，判断AGD △的形状并证明． 图1 图2 图36. 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2:1．请你用此性质解决下面的问题.已知：如图，点O 为等腰直角三角形ABC 的重心，90CAB ∠=︒，直线m 过点O ,过A B C 、、三点分别作直线m 的垂线，垂足分别为点D E F 、、.（1）当直线m 与BC 平行时（如图1），请你猜想线段BE CF 、和AD 三者之间的数量关系并证明；（2）当直线m 绕点O 旋转到与BC 不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD BE CF 、、三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．7. 以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作AOB 和COD ，其中（1）点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点，连接FM 、EM ．（2） ①如图1，当点D 、C 分别在AO 、BO 的延长线上时，FM EM=_______； ②如图2，将图1中的AOB 绕点O 沿顺时针方向旋转α角（060α<<），其他条件不变，判断FMEM的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（3）如图3，若BO=N在线段OD上，且2NO=．点P是线段AB上的一个动点，在将AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．.。
三角形中位线中的常见辅助线
欢迎共阅三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一 中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
方法二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。
其他位置的也要能看出常见考点构造三角形中位线考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点;②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用． 典型例题【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =． 举一反三1. 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．2. 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠． 举一反三1. 已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．2. 已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，求证： AMF BNE ∠=∠（2）当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请证明．【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．举一反三1.如图所示，在三角形ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE=DF ．过E 、 F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：（1）DEM FDN ∆∆≌；EDM B C A E D M B C AM B C A（2）PAE PBF ∠=∠．3. 已知：在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =4. 如图所示，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE 的中点．（1）求证MB MC =．（2）设B A D C A E ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．5. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME （1）如图1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是（2）如图2所示，若AB≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3）在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．图1 图2 图3 【例4】 以ABC ∆的两边AB 、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是________；线段AM 与DE 的数量关系是________；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．举一反三1. （1）如图1，BD 、CE 分别是ABC △的外角平分线，过点A 作AD BD AE CE ⊥⊥、,垂足分别为D E 、，连接DE ．求证：()12DE BC DE AB BC AC =++，∥ （2）如图2，BD CE 、分别是ABC △的内角平分线，其他条件不变； （3）如图3，BD 为ABC △的内角平分线，CE 为ABC △的外角平分线，其他条件不变。
初中数学三角形中14种辅助线添加方法
初中数学三角形中14种辅助线添加方法在三角形中，常用的辅助线有中线、高线、中垂线、角平分线等。
下面是三角形中14种辅助线添加方法：1. 三角形中线的添加方法：在三角形的每个顶点上作一条连接对边中点的线段，则这些线段交于一点，且该点到三角形各顶点的距离相等，即为三角形的重心。
2. 三角形中垂线的添加方法：从三角形的顶点向所对边作垂线，垂足分别为A、B、C，则三个垂足所在直线相交于一点，为三角形的垂心。
3. 三角形高线的添加方法：从三角形的顶点向所对边作垂线，垂线所在直线与所对边的交点称为底部端点，连接三个底部端点，则构成一个矩形，其中两个对角线分别为三角形的两个高。
4. 角平分线的添加方法：从角的顶点向其对边作角平分线，将角平分为两个相等的角，且角平分线上的任意一点到两侧边的距离相等。
5. 外接圆的添加方法：三角形三边的中垂线交于一点，则以该点为圆心，三角形三个顶点分别为圆上的三个点的圆称为三角形的外接圆。
6. 内切圆的添加方法：三角形三条边所在直线的交点为内心，以内心为圆心，作内切圆，该圆与三角形的三边相切。
7. 垂直平分线的添加方法：从线段的中点向垂直于该线段的方向作一条线段，则该线段垂直于原线段且平分其长度。
8. 外角平分线的添加方法：从三角形的一顶点作一条射线，使其不在所在直线内，将相邻两个角的外部划分成两个大小相等的角，则这条射线为该顶点所对的角的外角平分线。
9. 旁切圆的添加方法：以三角形的某一边为半径，在其外侧作一条与该边平行的直线，使其与另外两边所在直线相交，其交点则为旁切圆心。
10. 中位线的添加方法：连接三角形任意两个顶点，则连接这两个顶点的中点的线段称为三角形的中位线，三角形三条中位线交于一点，即为三角形重心。
11. 等腰三角形的中线、高线和垂心重合。
12. 等边三角形的中线、高线、垂心和外心重合。
13. 直角三角形的垂心落在斜边上，且斜边上的高线与斜边垂直。
14. 任意三角形的外心到三个顶点的距离相等。
三角形中常用的辅助线
三角形问题的常用辅助线作法一、由角平分线想到的辅助线 （一）、截取构全等（二）、过角分线上的点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
（三）、作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
（四）、过角平分线上一点作角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。
或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。
如图4-1和图4-2所示。
图4-2图4-1ABC BIG二、由中点想到的辅助线在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形（二）、由中线应想到延长中线（倍长中线）题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。
（三）、由中点应想到利用三角形的中位线（四）、直角三角形斜边上的中线性质三、全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：（一）、截长补短：具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．（二）、借助角平分线造全等：可自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（三）、倍长中线（线段）造全等：遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．（四）、平移变换：过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”（五）、旋转（六）、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．（七）、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（等面积法）三角形问题的常用辅助线作法一、由角平分线想到的辅助线 （一）截取构全等例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。
八年级数学上册第12章三角形中常见辅助线的作法(人教版)
三角形中常见辅助线的作法
1、延长中线构造全等三角形
例1 如图1，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD 的取值范围．
提示：延长AD至A＇，使A＇D＝AD，连结BA＇．根据“SAS”易证△A＇BD≌△ACD，得AC＝A＇B．这样将AC转移到△A＇BA中，根据三角形三边关系定理可解．
2、引平行线构造全等三角形
例2 如图2，已知△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F．
求证：DF=EF．
提示：此题辅助线作法较多，如：
①作DG∥AE交BC于G；
②作EH∥BA交BC的延长线于H；
再通过证三角形全等得DF＝EF．
3、作连线构造等腰三角形
例3 如图3，已知RT△ACB中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE⊥AB，垂足为D，交BC于E．
求证：BD=DE=CE．
提示：连结DC，证△ECD是等腰三角形．
4、利用翻折，构造全等三角形．
例4 如图4，已知△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC交BC于D．求证：AC＝AB＋BD．
提示：将△ADB沿AD翻折，使B点落在AC上点B＇处，再证BD=B＇D ＝B＇C，易得△ADB≌△ADB＇，△B＇DC是等腰三角形，于是结论可证．
5、作三角形的中位线
例5 如图5，已知四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线交EF的延长线于点M、N．求证：∠BME＝∠CNE．提示：连结AC并取中点O，再连结OE、OF．则OE∥AB，OF∥CD，故∠1＝∠BME，∠2＝∠CNE．且OE=OF，故∠1＝∠2，可得证．。
三角形中位线中的常见辅助线
三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一:倍长中线解读:凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的.方法二：构造中位线解读:凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边,从而达到构造三角形中位线的目的。
方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形,或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线解读:只要出现直角三角形，或直角,则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系.其他位置的也要能看出常见考点构造三角形中位线考点说明：①凡是出现中点，或多个中点,都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点；②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”,这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用．CEDBA典型例题【例1】 已知：AD 是ABC △的中线,AE 是ABD △的中线,且AB BD =，求证:2AC AE =．举一反三1. 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．2. 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD 于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．MNF EDCB A举一反三1. 已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．GBCDEFM N A2. 已知:在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．MN ABEF DC(N )M F EDCBA(1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时,点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ,连结HE 、HF ，求证:AMF BNE ∠=∠（2）当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系?请证明．【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒,BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA举一反三1.如图所示,在三角形ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE=DF ．过E 、 F 分别作直线CA 、CB 的垂线,相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：（1)DEM FDN ∆∆≌; （2）PAE PBF ∠=∠．3. 已知:在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =PNMCBA4. 如图所示，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE 的中点．（1)求证MB MC =．（2)设BAD CAE ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．。
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常有的协助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是结构全等三角形，结构二条边之间的相等，结构二个角之间的相等【三角形协助线做法】图中有角均分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称此后关系现。
角均分线平行线，等腰三角形来添。
角均分线加垂线，三线合一试一试看。
线段垂直均分线，常向两头把线连。
要证线段倍与半，延伸缩短可试验。
三角形中两中点，连结则成中位线。
三角形中有中线，延伸中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形3.角均分线在三种添协助线4.垂直均分线联络线段两头5.用“截长法”或“补短法” ：碰到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后组成等边三角形7.角度数为 30、60 度的作垂线法：碰到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是组成30-60-90 的特别直角三角形，而后计算边的长度与角的度数，这样能够获得在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创建边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：碰到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特别直角三角形，或40-60-80 的特别直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样能够获得在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创建边、角之间的相等条件。
常有协助线的作法有以下几种：最主要的是结构全等三角形，结构二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折”法结构全等三角形．2)碰到三角形的中线，倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转”法结构全等三角形．3)碰到角均分线在三种添协助线的方法，（1）能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点经常是角均分线的性质定理或逆定理．（ 2）能够在角均分线上的一点作该角均分线的垂线与角的两边订交，形成一对全等三角形。
专题——三角形中常见的辅助线
三角形中常见的辅助线的作法一、斜边中线模型构成：Rt △ABC,∠ACB=090,D 为AB 边的中点 目的：找等量关系，或2倍（1/2）的关系。
结果：AD=CD=BD例 1 已知：△ABC 中，∠A=060，CE ⊥AB,BD ⊥AC 求证：DE=12BC例2、如图，直角三角形ABC 中，∠C=90 ，M 是AB 中点，AM=AN ，MN//AC 求证：MN=AC 例3已知：△ABC 中，CE ⊥AB,BD ⊥AC ，M,N 分别为BC,DE 的中点 求证：MN ⊥ED例4如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 与D,M 为BC 边的中点，AB=10cm,则MD 长为多少？例5如图 ，Rt △ABC 中，∠C=090，CD 平分∠C ，E 为AB 中点，PE ⊥AB,交CD 延长线于P,那么∠PAC+∠PBC 的大小是多少？ADCMABDEC213N CE D B A MN CD BA MNMBCA等腰三角形底边的中线例1、如图所示，在ABC 中，AB=2AC ，AD 平分∠BAC 且AD=BD ，求证：CD ⊥AC例2如图所示，等腰直角三角形ABC ，∠BAC=90︒，点D 是BC 的中点 二、“三线合一”模型“角平分线”+垂线→等腰三角形”构成：OC 为∠A0B 的角平分线，BC ⊥OC 于C 点 目的：构造等腰三角形结果： ⑴[边]：BC=AC,OA=OB →OC 为△OAB 的中线⑵[角]：∠3=∠4，∠ACO=090→ OC 为△ABO 的高线 ⑶[全等]：△ACO ≌△BCO例 1 已知：AD 是△ABC 的∠A 的平分线，CD ⊥AD 于D,BE ⊥AD 于AD 的延长线于E,M 是BC 边上的中点。
求证：ME=MD例２已知：△ABC 为等腰直角三角形，∠A=090,∠１＝∠2,CE ⊥BE求证：BD=2CE例3 已知：△ABC 中，CE 平分∠ACB ，且AE ⊥CE,∠AED+∠CAE=1800(∠3+∠4=1800)求证：DE ∥BC例4 已知：在△ABC 的两边AB 、AC 上分别取BD=CE ，F 、G 分别为DE 、BC 的中点，∠A 的平分线AT 交BC 于T 求证：FG ∥AT4321C BAO 654321MGFE D CB A 4321FE D BA54321F EDCBA MK N L FE DA例5、如图，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点 （1）求证：AF ⊥CD（2）在你连接BE 后，还能得出什么新结论？三、三角形中位线模型构成：△ABC 中，D 为AB 边中点目的：找中位线，构造：①2倍关系②相似三角形结果：①DE ∥BC,DE=12BC ②△ADE ∽△ABC例1 已知：在△ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC 于D,DE ⊥AC 于E,F 为DE 中点 求证：AF ⊥BE例2 已知 BD 、CE 为△ABC 的角平分线，AF ⊥CE 于F,AG ⊥CE 于F,AG ⊥BD 于G求证：①FG ∥BC ② FG=12(AB+AC-BC)例3 已知 ，如图在ABCD 中，P 为CD 中点，AP 延长线交BC 延长线于E,PQ ∥CE 交DE 于Q求证：PQ=12BC例4 已知：梯形ABCD 中，AB=DC,AC ⊥BD,E 、F 为腰上中点，DL ⊥BC,M 为DL 与EF 的交点 求证：EF=DLA BCD E GFED HCB A4321G F N ME CD B AL MK HFEDCBAQ PED CBAOF DC BA108054321ECBAD例 5 已知：锐角△ABC 中，以AB 、AC 为斜边向外作等腰直角△ADB ，△AEC,M 为 BC 中点，连结DM 、ME四“补长截短”模型（1） 截长法： 构成：线段a,b,c目的：确定一线段，找令一线段的等量关系结果：→ a-b '=c ⇒a=b+c ， b=b ' （2）补短法： 构成：线段a,b,c目的：构造一等长线段，再找等量关系结果：c=c '，b+c '=a ⇒a=b+c例1 已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC求：（1）若∠B=2∠C,则AB+BD=AC (2) 若AB+BD=AC,则∠B=2∠C例2：在ABC 中，∠C=2∠B ，AD ⊥BCY 于D ，求证BD=AC+CD例3如图所示，等腰直角ABC 中，∠BAC=90︒过点A 做直线DE ，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ，求证：DE=BD+CE例4已知：等腰△ABC 中，AB=AC, ∠A=0108,BD 平分∠ABC求证：BC=AB+DC7654321MG F EDCBAc ab c4321E BDCACD B ACBEDA54321GMFE D CB A例6、已知如图所示，在ABC 中，AB=AC ∠A=100︒，BD 平分∠ABC 交AC 于D求证：BC=AD+BD例 7 已知：在正方形ABCD 中，M 是CD 的中点，E 是CD 上一点，且∠BAE=2∠DAM求证：AE=BC+CE例 8已知：在正方形ABCD 中，E 为BC 上任一点，∠EAD 的平分线交DC 于F 求证：BE+DF=AE构造等边三角形、等腰三角形例9、如图，已知∠ABD=∠ACD=60︒∠ADB=90︒-12∠BDC 且∠BAC=20︒求：∠ACB 的度数。
三角形的中位线知识、方法总结
三角形的中位线知识、方法总结
三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
一个三角形有三条中位线，这个定义有双重性，既是性质，也是判定。
需要注意的是，三角形中位线与中线是不同的，中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，而中位线是连接三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的线段。
三角形中位线定理表明，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
这个定理可以用来证明平行关系、倍分关系，以及转移线段和转移角。
常用的辅助线是连接中点和构造中位线，可以分离基本图形，如全等和平行四边形。
可以用两种证明方法证明三角形中位线定理。
第一种方法是延长中位线，构造一个全等三角形，证明出两边平行，从而得出结论。
第二种方法是连接四边形的对角线，证明出中点四边形是平行四边形，从而得出结论。
中点三角形是由原三角形的三边中点顺次连接而成的新三角形。
中点三角形的各个边长分别是原三角形三边长的一半，
且分别平行，角的度数与原三角形分别相等。
四个三角形都全等，中点三角形周长是原三角形的周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。
中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。
中点四边形是由任意四边形各边中点顺次连接而成的四边形。
不管原四边形的形状如何改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
可以连接对角线，构造中位线，证明出中点四边形是平行四边形。
中考专题之与三角形有关的辅助线
第一节等腰三角形常用的辅助线例1、文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形,写出“已知”“求证”如图,她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD,垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”;数学老师看了两位同学的辅助线作法后,说：“彬彬的做法是正确的,而文文的做法需要订正;”1请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；2根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程;例2、如图,已知AD∥BC,AB=AD＋BC,E为DC的中点;求证：∠ABE=∠CBE;例3、已知：如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,在CD延长线上取一点F,使FE=FC,EF交AD于P;求证：AE=2DF;连接CE,取CE中点HFHE全等于FHC,FH垂直于CE角BEC=角ECFCE/EB=CF/CH=根号5CF=根号5CH=根号5CE/2=根号5根号5BE/2=BE5/2=AB5/4DF=CF-CD=AB/4=AB/21/2=AE1/2例4、已知：如图,在△ABC中,AB=AC,D点在AB上,E在AC延长线上,且BD=CE,连结DE交BC于点F;求证：DF=EF;DF=EF证明如下：过点D作平行于BC的直线交AC于点G因为AB=AC；DG//BC所以BD=CG又BD=CE,故CG=CE又因为CF//DG所以CF是三角形DEG的中位线所以F是DE的中点所以DF=EF综合演练：1、如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD、CD上的两个动点,且满足AE＋CF=2;1求证：△BDE≌△BCF；2判断△BEF的形状,并说明理由；3设△BEF的面积为S,求S的取值范围;1AE+CF=2=CD=DF+CF∴AE=DFAB=BD∠A=∠BDF=60°∴△BDE全等于△BCF2由1得BE=BF且∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60°∴△BEF是等边三角形33√3/4<=S<=√3第二节直角三角形常用的辅助线例1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,求证：AC＋CD=AB;综合演练：Rt 斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处;则∠A等于1、如图,CD是ABCA、25°B、30°C、45°D、60°2、如图1,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP;1在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；2将△EFP沿直线l向左平移到图2所示的位置时,EP交AC于点Q,连结AP、BQ;猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;3将△EFP沿直线l向左平移到图3所示的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP、BQ;你认为图2中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗若成立,给出证明；若不成立,请说明理由;3、如图,在锐角△ABC中,BE、CF是高,在BE、CF或其延长线上分别截取CP=AB,BQ=AC,分别过P、Q作PM第三节全等三角形的辅助线例1、已知：如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AC边上一点,BE与AD交于F,若AE=EF;求证：AC=BF;例2、1已知：如图1在四边形ABCD中,BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC;求证：∠BAD＋∠C=180°;2已知：如图2在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D;求证：∠BAD=∠DAC＋∠C;例3、已知：如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P为△ABC内一点,若∠PBC=10°,∠PCB=30°,求∠PAB 的度数;例4、已知：如图,BD是四边形ABCD的∠ABC的平分线,∠A＋∠BCD=180°;求证：AD=DC;例5、已知：如图,在△ABC中,DE∥GF∥BC,且AD=GB;求证：AE=CF;例6、已知：如图,P为∠AOB平分线OP上一点,PC⊥OA于C,∠OAP＋∠OBP=180°;求证：AO＋BO=2OC; 例7、如图,在△ABC中,∠B=60°,AD、CE是△ABC的角平分线,且交于点O;求证：AC=AE＋CD;综合演练：1、操作：如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连结MN;探究：线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明;说明：1如果你经历反复探究,没有找到解决问题上的方法,请你把探究过程中的某种思路写出来要求至少写3步；2在你经历说明1的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明;①AN=NC如图②；②DM∥AC如图③;附加题：若点M、N分别是射线AB、AC上的点,其他条件不变,再探索线段BM、MN、NC之间的关系,在图④中画出图形,丙说明理由;① ② ③ ④2、如图,两个全等的含30°,60°的三角形ADE 和ABC,E 、A 、C 在一条直线上,连结BD,取BD 的中点M,连结ME 、MC,试判断△EMC 的形状,并说明理由;3、如图①,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片如图②,量得他们的斜边长为10cm ,较小锐角为30°,再将这两张三角形纸片摆成如图③所示的形状,但点B 、C 、F 、D 在同一直线上,且点C 与点F 重合;在图③至图⑥中统一用F 表示;小明在对这两张三角形纸进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决;1将图③中的△ABF 沿BD 向右平移到图④的位置,使点B 与点F 重合,请你求出平移的距离;2将图③中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图⑤的位置,F A 1交DE 于点G,请你求出线段FG 的长度; 3将图③中的△ABF 沿直线AF 翻折到图⑥的位置,AB 交DE 于点H,请证明：AH=DH;① ② ③ ④ ⑤ ⑥4、已知：点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等,且OB=OC;1如图1,若点O 在边BC 上,求证：AB=AC ；2如图2,若点O 在△ABC 的内部,求证：AB=AC ；3若点O 在△ABC 的外部,AB=AC 成立吗 请画图表示;1 25、请阅读下列材料：问题：如图1,在菱形ABCD 和菱形BEFG 中,点A,B,E 在同一条直线上,P 是线段DF 的中点,连结PG ,PC;若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG 与PC 的位置关系及PC PG 的值; 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决;请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题：1写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PCPG 的值； 2将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转,使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变如图2;你在1中得到的两个结论是否发生变化 写出你的猜想并加以证明;3若图1中∠ABC=∠BEF=)900(2 <<αα,将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度,原问题的其他条件不变,请你直接写出PCPG 的值;用含α的式子表示1 2第四节相似三角形中常用的辅助线例1、如图,△ABC中,点D、E在BC上,且BD=DE=EC,又AB上的中线CF分别交AD、AE于G、H, 求FG：GH：HC;例2、如图,□ABCD中,点E在AB上,AE=2BE;点F是BC的中点,连结EF交对角线BD于点G;求：BG：BD的值;例3、已知：如图,过△ABC的顶点C任作一条直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E;求证：AE：ED=2AF：FB;例4、如图,△ABC中,AB=8,AC=6,点D在AB上,且AD=2;试在边AC上找一点E,使△ADE与原三角形△ABC 相似,求AE的长;例5、如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=4,点D 在AB 的延长线上,且BD=AB,动点P 在线段BC 上移动,作直线DP 交AC 于点E;设BP=x ,AE=y ;1求y 关于x 的函数解析式及定义域；2当PB 为何值时,直线DP 恰将△ABC 的面积平分例6、如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,矩形DEFG 的顶点D 在AB 上,E 、F 在BC 上,G 在AC 上;1设BE=x ,y S DEFG 四边形,求y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围;2连结EG,当x 取何值时,EG ∥AB 求此时矩形DEFG 的面积;例7、如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠A=90°,BC=8,AB=12,AD=a ;试问：能否在边AB 上找到点P,使得△ADP 与△BCP 相似 并说明a 的取值对点P 的个数是否有影响,请加以说明;例8、如图,在△ABC 内有一点O,连结AO 、BO 、CO 并分别延长后与BC 、CA 、AB 相交于点D 、E 、F;求证：1=++CFOF BE OE AD OD ;综合演练：1、已知：如图,在△ABC 中,D 为AB 边上一点,∠A=36°,AC=BC,AD AB AC ⋅=2;1试说明：△ADC 和△BDC 都是等腰三角形；2若AB=1,求AC 的值；3试构造一个等腰梯形,该梯形连同它的两条对角线,得到了8个三角形,要求构造出的图形中有尽可能多的等腰三角形;标明各角的度数2、如图所示,一段街道的两边缘所在的直线分别为AB 、PQ,并且AB ∥PQ;建筑物的一端DE 所在的直线MN ⊥AB 于点M,交PQ 于点N;小亮从胜利街的A 处,沿着AB 方向前进,小明一直站在点P 的位置等候小亮; 1请你在图纸中画出小亮恰好看见小明时的视线,以及此时小亮所在位置用点C 标出2已知MN=20m ,MD=8m ,PN=24m ,求1中的点C 到胜利街口的距离CM;3、已知：如图1,在ABC Rt ∆中,∠C=90°,AC=4cm ,BC=3cm ,点P 由B 出发沿BA 向点A 匀速运动,速度为1cm ∕s ；点Q 由A 出发沿CA 方向向点C 匀速运动,速度为2cm ∕s ；连结PQ;若设运动的时间为)20)((<<t s t ,解答下列问题：1当t 为何值时,PQ ∥BC2说明理由；4如图2,连结PC,并把△PQC 沿QC 翻折,得到四边形C PQP ',那么是否存在某一时刻t ,使四边形C PQP '为菱形 若存在,求出此时菱形的边长；若不存在,说明理由;1 24、如图,四边形ABCD 为一梯形纸片,AB ∥CD,AD=BC,翻折纸片ABCD,使点A 与点C 重合,折痕为EF,已知CE ⊥AB;1求证：EF ∥BD;2若AB=7,CD=3;求线段EF 的长;5、如图,在ABC Rt 中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,点P 从点D 出发沿DE 方向运动,过点P 作PQ ⊥BC 于Q,过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R,当点Q 与点C 重合时,点P 停止运动;设BQ=x ,QR=y ; 1求点D 到BC 的距离DH 的长；2求y 关于x 的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；3是否存在点P,使△PQR 为等腰三角形 若存在,请求出所有满足要求的x 的值；若不存在,请说明理由;。
初二数学-三角形问题中常见的辅助线作法总结讲课稿
初二数学-三角形问题中常见的辅助线作法总结三角形问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。